objetivos: comprender como interactúan partículas cargadas con la materia. 1 métodos y terapias...

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Objetivos: Comprender como interactúan partículas cargadas con la materia.

Métodos y Terapias 2.2 Interacción Partículas Cargadas-Materia

www.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-2-2-Interaccion-Particulas-Cargadas-Materia-08.08

Dr. Willy H. GerberInstituto de Fisica

Universidad Austral de ChileValdivia, Chile

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Scattering

α

β

γ

n, p


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Scattering “suave” (b»a): exitar

TransfiereEnergía

b

a


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Scattering “suave” (b»a) : ionizar

TransfiereEnergía


5

Scattering “duro” (b≈a) : ionizar

TransfiereEnergía


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Scattering “duro” (b≈a) : ionizar + fotón

GeneraElectrón y

Rayos γ


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Scattering de Coulomb (b«a): Bremsstrahlung

GeneraRayos γ


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Scattering de Coulomb (b«a): Elástico

Solo desvío


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Mecanismo de daño de Células

Transferencia de energía a átomos

Generación de fotones y electrones


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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada

Supongamos que el núcleo tiene carga Ze, que la distanciamínima que alcanza la partícula de carga ze es b y que la velocidad es tan alta que en primer orden la trayectoria se puede considerar recta y el núcleo inmóvil:


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Si se descompone la expresión del impulso transferido de la forma:

Los primeros dos términos representan la fuerza de Coulomb máxima y el tercero un tiempo característico:

El desarrollo se calculo para el caso no-relativista, en dicho caso

con y


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Por ello en el caso que limitamos el efecto relativista solo a la partícula:

La energía cinética del objetivo seria en la aproximación no relativista:

Si comparamos la energía transferida al núcleo y a los electrones

Con lo que se concluye que la primera puede ser despreciada frente a la energía absorbida por los electrones


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La energía absorbida por un electrón (Z=1) es:

La partícula que se dispara contra el material va impactando electrones en su ruta. En una distancia dx


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Para pasar del parámetro b al de la energía entregada a la materia:

o

se obtiene el diferencial

y con ello la distribución de probabilidades


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La distribución de energías:

tiene mayormente una contribución para bajas energías en donde encontramos ante todo procesos de ionización y excitación. Para energías mayores, en que la contribución es menor, observamos la generación de electrones secundarios (radiación δ)

Partícula

Electron δ

Si se acota el espectro P(E) a energías menores a las que generan los electrones δ se tendría la energía transmitida al material.


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La variación promedia de la energía es:

con el radio clásico del electrón:

so obtiene:

o


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Las energías limites están dadas por:

la energía mínima que corresponde a la energía de ionización:

La energía máxima a ser transferida:

Se obtiene así:

O el stopping power


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La relación calculada con mecánica cuántica y tomando en cuentael efector pantalla ε y la polarización de los electrones δ entregando la ecuación de Bethe-Bloch:

Hans Bethe(1906-2005)

Felix Bloch(1905-1983)

Esta ecuación solo vale para partículas pesadas y no para electrones.


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Perdida de energía por colisiones

Perdida de energía por Bremsstrahlung (radiación)

El Stopping Power total se calcula de la suma ponderado por la densidad de los elementos relevantes para el tipo de mecanismo


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Relación con dosis

La energía entregada al material por trecho (Linear energy transfer) recorrido por la partícula es:

que se puede estimar el Stopping Power

La dosis se define como la suma del Stopping Power sobre las energías, ponderado con el espectro:

con


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Camino recorrido

El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante:

Para el caso del Stopping Power de colisiones con z cargas y m masa:

Con lo que se obtiene una dependencia del camino recorrido en función de la energía y parámetros del proyectil:


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Relación con dosis

La energía entregada al material por trecho (Linear energy transfer) recorrido por la partícula es:


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Modelamiento simplificado

Al ser las ecuaciones difíciles de integrar se prosigue resolviendo los problemas en forma numérica o mediante modelos simplificados. Ejemplo se modela la curva de penetración mediante un polinomio simple:

100%

50%

Energía mas probable

C1 = 0.22 MeVC2 = 1.98 MeV/cmC3 = 0.0025 MeV/cm2

C4 = 2.33 MeV/cm

La energía media en la superficie es

con

con

C5 = 0.88 MeV1/2cm

Profundidad equivalente

con

Contaminación con Bremsstrahlungwww.gphysics.net – UFRO-2008-Master-Fisica-Medica-2-2-Interaccion-Particulas-Cargadas-Materia-08.08

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Ley de Bragg

El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante:

Camino R [cm]

William L. Bragg(1890-1971)

Deposito de energía en unaprofundidad especifica


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Modelo de Difusión de Electrones

Basado en la teoría de un gas de electrones de Fermi-Eyges

Con la desviación estándar definida por

y la potencia lineal de scattering (cambio del cuadrado del ángulo de desviación con la distancia)

Enrico Fermi(1901-1954)


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Calculo de la potencia linear de scattering

con

y


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Aproximaciones Pencil Beam

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Φ(0)

Φ(z)

z

3. Consideramos que los fotones que resultan del scattering son también absorbidos como energía sin estudiarse su propagación posterior.

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Diagrama de la forma de la función peso:


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Lo que da el Kernel (de Hogstrom)

con


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