MODELADO GEOMETRICO Y ANALISIS POR FM

2.1 CONCEPTOS BASICOS DE MODELADO

Puede considerarse que los campos de la ingeniería desarrollan sus aplicaciones basados en modelos, al igual que muchas acciones de la vida diaria. Los modelos se usan para explicar y controlar fenómenos a nuestro alrededor y pueden predecir eventos que están por ocurrir.

Se define un modelo como un ente que representa de forma precisa algo que será realizado o que ya existe. Para los efectos de simulación de sistemas, se considera un modelo a una descripción matemática de un sistema físico que puede obtenerse a partir de la evaluación de su conducta basado en mediciones estimadas, observadas o realizadas directamente sobre el sistema que se pretende modelar. 

2.2 CONCEPTOS BASICOS DE ELEMENTOS FINITOS

 La base del método de los elementos finitos es la representación de un cuerpo por un ensamble de subdivisiones llamadas elementos y nodos.

Elementos: Estos elementos se interconectan a través de puntos llamados nodos.

Nodos: Una manera de discretizar un cuerpo o estructura es dividirla en un sistema equivalente de cuerpos pequeños, tal que su ensamble representa el cuerpo original. La solución que se obtiene para cada unidad se combina para obtener la

solución total. Por ende, La solución del problema consiste en encontrar los desplazamientos de estos puntos y a partir de ellos, las deformaciones y las tensiones del sistema analizado. Las propiedades de los elementos que unen a los nodos, están dadas por el material asignado al elemento, que definen la rigidez del mismo, y la geometría de la estructura a modelizar (a partir de las Leyes de la Elástica). Las de formaciones y las fuerzas externas se relacionan entre sí mediante la rigidez y las relaciones constitutivas del elemento. Trabajando en régimen elástico, las ecuaciones que definen el sistema pueden expresarse de forma matricial como se muestra a continuación:

[K]. {δ}= {F}

Donde:

 [K]: es la matriz rigidez del sistema {δ}: es el vector desplazamientos

{F}: es el vector de esfuerzos

2.3 EL METODO DEL ELEMENTO FINITO

El método de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM en inglés) es un método numérico general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales

parciales muy utilizado en diversos problemas de ingeniería y física.

El MEF está pensado para ser usado en computadoras y permite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema físico sobre geometrías complicadas. El MEF se usa en el diseño y mejora de productos y aplicaciones industriales, así como en la simulación de sistemas físicos y biológicos complejos. La variedad de problemas a los que puede aplicarse ha crecido enormemente, siendo el requisito básico que las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evolución temporal del problema a considerar sean conocidas de antemano.

El MEF permite obtener una solución numérica aproximada sobre un cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) —sobre el que están definidas ciertas ecuaciones diferenciales en forma débil o integral que caracterizan el comportamiento físico del problema— dividiéndolo en un número elevado de subdominios no-intersectantes entre sí denominados «elementos finitos». El conjunto de elementos finitos forma una partición del dominio también denominada discretización. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados «nodos». Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito; además, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llama «malla».

Los cálculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados nodos), que sirven a su vez de base para discretización del dominio en elementos finitos. La generación de la malla se

realiza usualmente con programas especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa a los cálculos que se denomina pre-proceso. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valor de un conjunto de variables incógnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad. El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de ecuaciones lineales (o linealizadas). La matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema. El número de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al número de nodos.

Típicamente el análisis de los elementos finitos se programa computacionalmente para calcular el campo de desplazamientos y, posteriormente, a través de relaciones cinemáticas y constitutivas las deformaciones y tensiones respectivamente, cuando se trata de un problema de mecánica de sólidos deformables o más generalmente un problema de mecánica de medios continuos. El método de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones). Además el método es fácilmente adaptable a problemas de transmisión de calor, de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones (mecánica de fluidos computacional, CFD) o de campo electromagnético. Dada la imposibilidad práctica de encontrar la solución analítica de estos problemas, con frecuencia en la práctica ingenieril los métodos numéricos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la única alternativa práctica de cálculo.

Una importante propiedad del método es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente más finas, la solución numérica calculada converge rápidamente hacia la solución exacta del sistema de ecuaciones.

2.4 ELEMENTO RESORTE

2.5 ELEMENTO TIPO BARRA

2.6 ELEMENTO TIPO VIGA

Sabemos que en los elementos tipo viga las fuerzas internas involucran tres incógnitas: una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento, por lo tanto conociendo las fuerzas de extremo y aplicando el método de las secciones en cualquier punto de la viga nos daría como resultado un tramo de viga estáticamente determinado con tres ecuaciones estáticas disponibles y tres incógnitas por determinar.  Observemos que la clave es conocer las fuerzas de extremo de elemento, es decir, aquellas que se ejercen en las uniones con otros elementos pertenecientes al sistema estructural y de ahí proceder a determinar las fuerzas internas por la estática.  Podemos concluir que el elemento a analizar es estáticamente determinado así pertenezca a un sistema indeterminado.Esto explica porque la metodología y el objetivo de los métodos de análisis es determinar las fuerzas de unión y de ahí seguir con el análisis independiente de cada elemento.Teniendo en cuenta estas consideraciones podemos aislar un elemento tipo viga, considerarlo con sus fuerzas extremas como fuerzas de reacción y analizarlo hasta encontrar las fuerzas internas:  

  

Notemos que al partir el elemento una sección ejerce sobre la otra fuerzas equivalentes a un apoyo de empotramiento, podemos decir, que las conexiones que se generan a lo largo del elemento son uniones rígidas y las fuerzas en cada sección son iguales y de sentido contrario.Para el estudio de los elementos tipo viga se utilizará la siguiente convención:Cortante: Las fuerzas cortantes positivas son aquellas que producen una rotación horaria del elemento 

Momento: Los momentos positivos son aquellos que producen concavidad hacía arriba en el elemento horizontal o tracciones en la fibra inferior.  Para elementos verticales esta convención se puede complicar un poco por lo tanto regirá el criterio de dibujar el diagrama de momentos para la cara traccionada. Fuerza axial: Se considera una fuerza axial positiva cuando ella implica tracción en el elemento.Las acciones de las fuerzas internas en vigas se ilustran mejor por medio de diagramas de fuerza axial (P), diagramas de fuerza cortante (V) y diagramas de momento flector (M).  Los diagramas representan la variación de estas fuerzas a lo largo del elemento, dibujando en las abscisas la longitud del elemento y en las ordenadas el valor de la fuerza interna.   Para axial y cortante los valores positivos se

dibujan por encima del elemento pero para los momentos se dibujará el diagrama para el lado traccionado del elemento, así, si el elemento es horizontal el lado positivo del diagrama estará para abajo.  La convención para momentos rige para cualquier ubicación de este en el espacio y es independiente del origen escogido, ya sea este en el extremo derecho o izquierdo del elemento. Relación entre momento cortante y cargaEn el caso de cargas distribuidas actuando perpendicular al elemento se puede encontrar una relación con las fuerzas internas de cortante y momento por medio del siguiente análisis de una sección infinitesimal del elemento. Aplicando equilibrio a la sección de viga indicada tenemos: 

Integrando a ambos lados, tenemos:

La variación del cortante en un tramo de viga dado es igual al área bajo la curva de carga.  (Note que el equilibrio se hizo con la carga negativa, por lo tanto no se debe involucrar otra vez su signo en la ecuación).Dividiendo por  dL a ambos lados tenemos:

,  donde podemos decir que la pendiente a la curva del diagrama de cortante es igual al negativo de la carga distribuida.Ahora con la ecuación de momentos tenemos:

Considerando una longitud muy pequeña del trozo de viga analizado, el término con dL2 se aproxima a cero, y la ecuación nos queda 

Integrando:

De donde la segunda integral representa el área bajo la curva del diagrama de cortantes en un tramo de viga dado y podemos concluir que la variación del diagrama de momentos en un tramo de vigas es igual al área bajo la curva del diagrama de cortante.Dividiendo a ambos lados por dL, tenemos:

Donde la pendiente del diagrama de momentos en cualquier punto es igual al valor del cortante en ese punto.

2.7 SOFTWARE PARA FEA

El análisis de elementos finitos (FEA) es el modelado de productos y sistemas en un entorno virtual, con el propósito de encontrar y resolver potenciales (o actuales) problemas estructurales o de rendimiento. FEA es la aplicación práctica del método de elementos finitos (FEM), que es utilizado por ingenieros y científicos parar matemáticamente modelar y resolver numéricamente problemas de complejas estructuras, fluidos y de multifísica. El software FEA puede ser utilizado

En una amplia gama de industrias, pero es más comúnmente utilizado en las industrias aeronáutica, biomecánica y de automoción.

Uno de los modelos de elementos finitos (FE) cuenta con un sistema de puntos, llamados "nodos", que constituyen la forma del diseño. Conectados a estos nodos están los mismos elementos finitos que forman la malla de elementos finitos y contienen el material y las propiedades estructurales del modelo, la definición de cómo va a reaccionar a ciertas condiciones. La densidad de la malla de los elementos finitos puede variar a través del material, en función del cambio esperado en los niveles de estrés de un área en particular. Partes que experimentan grandes cambios en stress por lo general requieren una densidad de malla superiores a los que la experiencia de variación supone poco o ningún esfuerzo. Los puntos de interés pueden incluir los puntos de fractura del material previamente probado, filetes, esquinas, detalles complejos, y áreas de alto estrés.

Los modelos FE pueden ser creados usando elementos en una dimensión (1D haz), dos dimensiones (2D Shell) o tridimensionales (3D sólido). Mediante el uso de vigas y conchas en lugar de elementos sólidos, un modelo representativo se puede crear con menos nodos sin comprometer la precisión. Cada combinación de modelos requiere una diversa gama de propiedades que se definen como:

Áreas de la sección Momentos de inercia torsión constante

Espesor de la chapa resistencia a la flexión corte transversal

Para simular los efectos de los entornos reales de trabajo en la FEA, los distintos tipos de carga se puede aplicar a la modelo de elementos finitos, incluyendo:

nodal: fuerzas, momentos, los desplazamientos, velocidades, aceleraciones, temperatura y flujo de calor

Elemental: carga distribuida, presión, temperatura y flujo de calor

Las cargas de aceleración del cuerpo (la gravedad)

Los tipos de análisis son:

estática lineal: análisis lineal con las cargas aplicadas y las limitaciones que son estáticas

estática y la dinámica no lineal: los efectos debidos al contacto (donde una parte del modelo entra en contacto con otra), las definiciones de material no lineal (plasticidad, elasticidad, etc.) y el desplazamiento de gran tamaño (las cepas que superan la teoría de baja cilindrada que limitan un enfoque de análisis lineal)

Modos Normal: frecuencias naturales de vibración Respuesta dinámica: las cargas o movimientos que varían

con el tiempo y la frecuencia Pandeo: carga crítica en la que una estructura se vuelve

inestable

La transferencia de calor: el cambio de conducción, radiación

Los resultados típicos calculados por el programa incluyen:

nodal desplazamientos, velocidades y aceleraciones Las fuerzas elementales, deformaciones y tensiones

Beneficios de la FEAFEA puede ser utilizado en el diseño de nuevos productos, o para refinar un producto ya existente, para asegurar que el diseño será capaz de realizar las especificaciones antes de la fabricación. Con FEA puede:

Predecir y mejorar el rendimiento y fiabilidad del producto Reducir la creación de prototipos físicos y pruebas Evaluar los diferentes diseños y materiales Optimizar el diseño y reducir el uso de materiales

Software FEAEstos son algunos ejemplos de aplicaciones de software FEA:

NX Nastran es un solucionador de elementos finitos que analiza el estrés, la vibración, fallo estructural / durabilidad, transferencia de calor, el ruido / acústica y flutter / aeroelasticidad.

Femap es un CAD-independiente, para la ingeniería FEA avanzada. Se proporciona a los ingenieros y analistas con

una solución de modelado de FEA para manejar incluso las tareas más complejas con facilidad, precisión y rentabilidad.

Solid Edge Simulation es una herramienta FEA integrada para los ingenieros de diseño para validar los diseños de piezas y montaje digital en el entorno de Solid Edge. Basado en la probada tecnología de modelado de Femap de elementos finitos, Solid Edge Simulation reduce significativamente la necesidad de prototipos físicos, reduciendo así los costes de material y las pruebas, así como el ahorro de tiempo de diseño.

Los siguientes componentes de software son utilizados por los desarrolladores de software FEA como base para sus aplicaciones:

Parasolid es el software 3D de modelado de componentes geométricos, permitiendo a los usuarios de Parasolid el modelado de piezas complejas y ensamblajes. Se utiliza como motor de la geometría en cientos de diferentes CAD, CAM y CAE.

2.8 MODELADO DE SUPERFICIE

El modelado de superficie, es una técnica de modelado que se emplea solo para crear modelos tridimensionales. Utiliza primitivas bidimensionales (superficies), planas o alabeadas, que el diseñador debe ubicar para componer el modelo. Puesto que se modelan las superficies exteriores de los objetos, resulta difícil realizar los modelos ocultando las aristas  que no sean visibles des de un punto de vista determinado.

Es la estimación de los valores de una superficie en cualquiera de sus puntos, partiendo de un conjunto de datos de muestreo (x, y, z), denominados puntos de control.

Constituye un conjunto de facetas (patches) a partir de los atributos del modelo de malla (lados y aristas), para entregar una representación más completa del objeto. El resultado de cortar un modelo de este tipo por un plano es un conjunto de curvas.

Existen dos enfoques para la presentación de la superficie externa del objeto: 

1) El objeto se representa con una lista de facetas, descritas por los lados y las aristas que la delimitan. La lista de caras puede incluir solamente informaciones geométricas propias de cada faceta (tamaño, posición respecto a un origen, etc.), o puede estar estructurada en un conjunto más complejo, donde los nodos de tipo “cara” se ligan a los nodos arista a través de los nodos “lados”. Estas conexiones pueden presentarse en forma de gráficas o de una estructura de árbol.

2). El objeto se representa empleando superficies de “forma libre”, que el usuario manipula interactivamente a través de puntos llamados de “control”. Se utiliza una superficie representada por ecuaciones paramétricas, que efectúa una aproximación de la envoltura exterior del objeto. Estas ecuaciones paramétricas dan como resultado una malla de elementos finitos de forma específica (generalmente cuadrados o triangulares) y utilizan puntos característicos para cambiar la forma final de la superficie. El modelo algebraico describe un sólido a partir de su frontera. (Conjunto de superficies que separa el sólido de la parte del espacio no ocupada por el).

La frontera se puede ver como la piel del sólido. Obviamente cualquier superficie no determina un sólido. Para que un conjunto de superficies describan un sólido deben satisfacer la siguiente propiedad.

El modelado con superficies permite al usuario obtener una mayor precisión geométrica y un gran realismo cuando desean obtenerse diseños de productos basados en geometrías complejas. 

2.9 MODELADO DE SOLIDOS

Modelado de sólidos es el conjunto de teorías, técnicas y sistemas orientados a la representación “completa en cuanto a información” de sólidos. Con los sólidos representados necesitaremos, además de visualizarlos y editarlos, calcular sus propiedades físicas (por ejemplo su peso o su centro de gravedad), y simular sobre ellos procesos físicos (como la transmisión de calor en su interior).Se utiliza información geométrica y topológica, permitiendo la integración y automatización de todos los procesos de CAD/CAM.El modelado de sólidos mediante B-rep se basa en que todo objeto sólido está limitado por un número finito de caras, que están compuestas a su vez por un número finito de aristas, compuestas a su vez por vértices. Las caras pueden ser a su vez curvas o planas, aunque el modelo más extendido consiste en considerar exclusivamente caras

planas, considerando las curvas como mallas poligonales. Con estos principios, existen varias estructuras de datos muy utilizadas que siguen por lo general la norma de jerarquía Vértice-Arista-Cara. Una de ellas es la utilizada en el libro de Foley, denominada SPHIGS (versión simplificada del estándar PHIGS). También podemos destacar el método Winged-edge o de aristas voladoras, del cual se puede encontrar una amplia explicación en libro de Mantyla antes mencionado.El modelo de sólidos es el procesamiento de la información geométrica y espacial de los objetos geométricos y espaciales de los objetos en tercera dimensión (3D o 3-D), es parte del modelado geométrico o gráfico. Los modelos de un objeto son los datos necesarios para representar al objeto completo, cuando se toma la parte geométrica como la base descriptiva del mismo se dice que son modelos geométricos. Además existen otros tipos de modelos: los modelos de figura representados por imágenes; los modelos de superficie que detallan la información en una curva de superficie sin suficiente información geométrica; y los modelos de “alambres”, donde se agrega una tercera coordenada a las figuras de segunda dimensión.

2.10 MODELADO DE ELEMENTOS Y SISTEMAS DE MAQUINAS

La simulación dinámica, usada en conjunción con el modelado de ensambles, introduce la necesidad de unir

componentes de distintos materiales y geometrías. Así que, las herramientas para la ingeniería asistida por computador deben tener capacidades comprensivas para utilizar fácilmente fiables conectores en los modelos, los cuales pueden incluir uniones que permiten movimiento relativo entre los componentes, remaches, y soldaduras.Modelos típicos de MSS están compuestos de cuerpos rígidos (ruedas, ejes, cuadros, motores, cabina, y remolque) conectados por uniones ideales y elementos de fuerza. Las uniones y los eslabones pueden ser modelados como eslabones rígidos, resortes o amortiguadores para así simular las características dinámicas de los componentes de un camión real.La transferencia de fuerza a través de los componentes de un ensamble por conducto de conectores, los hace susceptibles a esfuerzos altos. Es más sencillo y fácil el idealizar conectores como uniones rígidas en estos sistemas. Esta idealización provee un estudio básico del comportamiento del ensamble en términos de entender las características del sistema; los ingenieros deben modelar uniendo parámetros como lo son las piezas de enlace en forma precisa para cuando se realice el análisis de esfuerzos puedan determinarse posibles fallas."El representar conectores como uniones rígidas asume que los conectores transfieren las cargas a través de los componentes sin deformarse ni sin ellos pasar por estrés. Esta idealización no realista lleva a predicciones incorrectas

de estrés en las regiones locales a los conectores, exactamente las cuales son los lugares donde más posiblemente la falla se iniciará. “Comprensiblemente, la inclusión detallada de cada punto de conexión y/o mecanismo en un ensamble es impráctico para ser modelado, Así es que representaciones mejoradas de conectores que son simples de usar y fiables deben ser investigados para su uso caso por caso.