diapos proyeccion estereográfica concluido (4)

7/22/2019 Diapos Proyeccion Estereogrfica Concluido (4)

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Proyeccion estereogrfica


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Proyeccin que se obtiene

proyectando el globo sobre un plano

mediante un foco situado en el polo

opuesto del punto de contacto del

globo con el plano de proyeccin.

Tanto los meridianos como los

paralelos son crculos. La

deformacin aumenta simtricamente

hacia el exterior a partir del punto

central.

Tiene una sola propiedad: todos los

crculos en el globo aparecen como

crculos en la proyeccin.

Definicin


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La proyeccin esfrica es un mapa de la tierra

dibujado sobre la superficie de una esfera.

Como deduce la proyeccin esfrica a una

proyeccin bidimensional.

Relacin con la proyeccion esferica

Como se genera la proyeccin estereogrfica

Por tanto

cartgrafos reducen la superficie de la tierra

prcticamente redonda a un mapa plano.


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Pero la esfera no puede ser

representada sin distorsin por

una hoja de papel

Afortunadamente al hacer un mapade las caras de un cristal no nos

preocupa ni su tamao ni su forma.

Queremos representar solo las

posiciones angulares de las caras

de tal manera que pueda representar

una visin idealizada del cristal querevele su simetra real.

Para estos propsitos, dos proyeccionesson las ms tiles:

la proyeccin estereogrfica: es la

mejor para determinar la simetra,

es la ms compacta y la de

construccin ms fcil, y por lo tanto

la que trataremos.

La proyeccin gnomnica: es mejorpara trazar los dibujos de los

cristales(proyecciones clinogrficas)


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de la proyeccin esfrica de un cristal en el planomeridianoceroesto es, el plano que contiene el polo

de (010). El ngulo (phi) de cualquier cara que est

situada en esta seccin es 0 a la derecha del centro y

180 a la izquierda del mismo.

N y S son el polo Norte y el polo Sur de la esfera de

proyeccin, respectivamente y O es el centro del cristalproyectado. Consideremos la cara (011).

OD es la perpendicular a la cara (011) y D es el polo de

esta cara en la proyeccin esfrica. La lnea desde el

polo Sur, SD, corta la lnea del plano del Ecuador FG en

el punto D que es el polo estereogrfico de (011).



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Entonces se sabe

El ngulo NOD se conoce como ngulo o(rho) con el fin de situar D directamente

en la proyeccin estereogrfica es

necesario determinar la distancia OD en

funcin del ngulo .

ya que el tringulo SOD es issceles

ang ODS=ang OSD, ang ODS + ang

OSD =ang NOD = , por lo tanto, ang

OSD = /2.OS=r, el rayo de la

proyeccin.

tg /2= OD/r, o OD=r.tg /2.



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Cuando los polos de lascaras del cristal se sitan

estereogrficamente, la

simetra de su distribucin

es aparente como la

siguiente figura:


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Plantilla

estereogrfica

En la proyeccin estereogrfica se facilita

mucho la medicin y trazado de ngulos

mediante una plantilla.

En la Figura se representauna de 5 cm de radio,

conocida como red de Wulff

en honor a un cristalgrafo

ruso, G. V. Wulff

Tanto los crculos mximos

como los menores estndibujados en la plantilla a

intervalos de 2 grados

Sobre ella pueden situarse el

conjunto de polos

correspondientes a la

proyeccin de un cristal y

luego leer correctamente losngulos entre dos caras

cualesquiera.



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Consideraremos una esfera unitaria arriba del plano complejo con el polo

sur de la esfera localizado en el origen del plano z. Se ver a

continuacin como extender el plano complejo a la superficie de unaesfera cuyo polo sur corresponde al origen y su polo norte corresponde

al punto z infinito. Todos los dems puntos del plano complejo pueden

ser mapeados de una coleccin de uno a uno en la superficie de la

esfera usando la siguiente construccin. Conectaremos el punto z en el

plano con el polo norte usando una lnea recta. Esta lnea interfecta a laesfera al punto P, y de esta manera cada punto z(=x+iy)en el plano

complejo corresponde nicamente al punto P en la superficie de la

esfera.


Ejemplo matemtico de proyeccin estereogrfica


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Ahora tenemos que el punto P : (X,Y, Z) en la esfera corresponde con

el punto z=x + iy en el plano

complejo buscando en la superficie

de la esfera, (X, Y, Z), el punto de

interseccin de la lnea desde elpolo norte de la esfera, N : (0, 0,

2), al punto z= x + iy en el plano.

La construccin es como sigue.

Consideramos tres puntos en las

tres dimensiones.



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N = (0, 0, 2): polo norte P = (X, Y, Z): punto en la esfera

C= (x, y, 0):punto en el plano complejo

Como ambos son puntos de una lnea, de ah que la diferencia de los

puntos P-Ndebe ser un mltiplo escalar de la diferencia C

N, llamada

(X, Y, Z 2)= s(x, y, -2)



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Donde s es un nmero real. La ecuacin de la esfera dada por

X2+ Y2+(Z-1)2= 1

Entonces, implica que

X = sx, Y = sy Z=2-2s

Sustituyendo estos en la ecuacin de la esfera:S2(x2+y2+4) 4s = 0

La cual solamente tiene la solucin no trivial,

Donde z2 =x2 +y2. De aqu, dado un punto z= x + iyen el plano,

tendremos en la esfera la nica correspondencia:



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Y vemos que bajo este mapeo, el origen del plano complejo z=0 es el polo

sur de la esfera (0, 0, 0) y todos los puntos en z = es el polo norte (0, 0,

2). Y as, teniendo un punto P = (X; Y, Z) podemos encontrar su nicaimagen en el plano complejo, es decir:

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