CUADERNO DE PRÁCTICAS ASIGNATURA CRISTALOGRAFÍA 1ER CURSO CIENCIAS QUÍMICAS Jacinto Alonso Azcárate

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PROYECCIONES CRISTALINAS Una proyección de un cristal es un medio de representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional. Diferentes tipos de proyección se usan para fines distintos, pero cada una de ellas se lleva a cabo según reglas definidas de tal manera que la proyección tiene una relación conocida y constante con el cristal. 1.1. PROYECCIÓN ESFÉRICA Debido a que el tamaño y forma de las distintas caras de un cristal son accidentales del proceso de crecimiento, se desea reducir a un mínimo este aspecto en la proyección del cristal. Al mismo tiempo es importante realzar la relación angular entre las caras. Mediante este tipo de proyección situamos las caras de acuerdo con sus relaciones angulares y sin consideraciones de su forma o tamaño. Imaginémonos un modelo hueco de un cristal que contenga un punto brillante de luz en su interior. Situemos ahora este modelo dentro de una gran esfera hueca de material translúcido y hagamos que el foco luminoso ocupe se centro. Si ahora hacemos un orificio en cada cara de tal manera que el rayo de luz que emerge por el orificio sea perpendicular a la cara, estos rayos de luz incidirán en la superficie interna de la esfera y formarán una mancha brillante. El conjunto se parece a un planetario en el cual el modelo cristalino con su luz y sus orificios es el proyector, y la esfera traslúcidad es la cúpula. Si ahora marcamos en la esfera la posición de cada mancha de luz, podemos eliminar el modelo y tendremos un registro permanente de las caras del cristal. Cada una de estas caras viene representada en la esfera por un punto denominado polo de la cara. Ésta es la proyección esférica .

Figura 1.- Proyección esférica de una figura cúbica

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La posición de cada polo y por tanto sus relaciones angulares con los demás pueden fijarse mediante sus coordenadas angulares en la esfera. Esto se lleva a cabo de manera similar a la localización de puntos en la superficie terrestre por medio de la longitud y latitud. Latitud: Distancia que hay desde un punto de la superficie terrestre al Ecuador, contada por los grados de su meridiano Longitud: Distancia de un lugar respecto al primer meridiano, contada por grados en el Ecuador

Figura 2.- Latitud y longitud de un punto en la Tierra 1.2. PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA La proyección esférica debe de ser proyectada sobre un plano, es importante al proceder a reducir la proyección esférica de un cristal a una superficie plana, que se preserve la relación angular de las caras de modo que éstas revelen la verdadera simetría. Esto puede hacerse mediante la proyección estereográfica. La proyección estereográfica es una representación en un plano de la mitad de la proyección esférica, usualmente el hemisferio norte. El plano de la proyección es el plano ecuatorial de la esfera, y el círculo primitivo (que limita a la proyección) es el propio ecuador. Si se observan los polos de las caras cristalinas situadas en el hemisferio norte de la proyección esférica con el ojo puesto en el polo sur, las

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intersecciones de las visuales con el plano ecuatorial serían las que indicarían los polos correspondientes en la proyección estereográfica. Podemos así construir una proyección estereográfica tranzando líneas desde el polo sur a los polos de las caras en el hemisferio norte. Los polos correspondientes en la proyección estereográfica se sitúan en los puntos donde estas líneas cortan al plano ecuatorial.

Figura 3.- Relación entre la proyección esférica y estereográfica

Puesto que en la práctica se sitúan los polos directamente en la proyección estereográfica, es necesario determinar las distancias estereográficas en relación con los ángulos de la proyección esférica. En la figura 4 se representa una sección vertical a través de la proyección esférica de un cristal en el plano “meridiano cero”, esto es, el plano que contiene el polo de (010). N y S son respectivamente el polo norte y sur de la esfera de proyección, O es el centro del cristal proyectado. Consideremos la cara (011). OD es la perpendicular a la cara (011) y D es el polo de esta cara en la proyección esférica. La línea trazada desde el polo sur, SD corta la línea del plano del ecuador FG en el punto D´ , el polo estereográfico de (011). El ángulo NOD se conoce como ángulo D (rho). Con el fin de situar D´ directamente en la proyección estereográfica, es necesario determinar la distancia OD´ en función del ángulo D. Como el triángulo SOD es isósceles, se puede deducir que

tg D/2 =OD´/r o OD´ = r tg D/2

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Así, con el fin de hallar la distancia proyectada estereográficamente a partir del centro de proyección del polo de una cara dada, se multiplican las tangentes naturales de la mitad de D de esa cara por el radio de la proyección. La distancia así obtenida se tendrá expresada en las unidades utilizadas para medir el radio del círculo primitivo de la proyección.

Figura 4.- Sección de la esfera de proyección mostrando la relación de los polos esféricos a los estereográficos Además de determinar la distancia a la que el polo debe situarse respecto del centro de la proyección es también necesario determinar su “longitud” o ángulo 2 (fi). Puesto que el ángulo se mide en el plano del ecuador, que es también el plano de la proyección estereográfica, puede deducirse directamente por medio de un transportador de ángulos. Es necesario fijar primero la posición del “meridiano cero” situando un punto sobre el círculo primitivo que representará el polo de (010). La línea recta que pase por este punto y por el centro de la proyección es el meridiano cero. Con la arista del transportador a lo largo de esta línea y el punto central situado en el centro de la proyección, puede marcarse el ángulo 2. Sobre la línea recta trazada desde el centro de la proyección pasando por este punto se encuentran todos los posibles polos de las caras que tienen el ángulo 2 especificado. Los ángulos 2 positivos se sitúan en sentido de las agujas del reloj a partir de (010); los negativos lo hacen en sentido opuesto (figura 5). Para situar el polo de la cara que tenga este valor 2, es necesario buscar la tangente natural de una mitad de D, multiplicada por el radio de la proyección, y situar la distancia resultante sobre la línea 2.

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Figura 5.- Proyección estereográfica de las caras cristalinas

Cuando los polos de las caras del cristal se situan estereográficamente, se hace patente la simetría de la distribución (figura 6).

Figura 6.- Proyección estereográfica del sólido de la figura 1.

Un círculo máximo de proyección esférica es el lugar geométrico de los polos de las caras que forman una zona. Cuando se proyectan estereográficamente, los círculos máximos verticales son diámetros de la proyección; todos los demás círculos máximos se proyectan como arcos circulares que subtienden un diámetro. El caso extremo de estos círculos máximos es el del círculo primitivo de la proyección, que es el círculo máximo común a las proyecciones esférica y estereográfica. Los polos de las caras

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cristalinas verticales se hallan sobre el círculo primitivo y así se proyectan sin distorsión angular. 1.3. PLANTILLA ESTEREOGRÁFICA En la proyección estereográfica se facilita mucho la medición y trazado de ángulos mediante una plantilla. La plantilla estereográfica se denomina también de Wulff (Figura 7).

Figura 7.- Plantilla estereográfica o de Wulff

Tanto los círculos máximos como los menores están dibujados en la plantilla a intervalos de 2 º. El centro exacto de la plantilla puede perforarse mediante una chincheta desde la parte posterior. La punta de la chincheta en el centro de la plantilla esteriográfica actuará de pivote alrededor del cual puede girar una hoja de papel transparente. La figura 8 muestra esta superposición de una hoja transparente sobre la plantilla estereográfica. Se traza el círculo exterior (primitivo) sobre la cubierta y se marcan las direcciones E-O y N-S. El extremo oriental de la linea E-O se marcará con 2 = 0º; el extremo meridional de la N-S se marcará con 2 = 90º y el extremo septentrional de la misma línea con 2 = -90º. De este modo, los ángulos 2 pueden representarse directamente a lo largo del círculo primitivo en el sentido de las agujas del reloj (+) o en el sentido contrario (-). El ángulo D puede localizarse directamente a lo largo de dos grandes círculos verticales (el N-S y el E-O, que se cortan en el centro de la proyección); sólo a lo largo de estas dos direcciones se obtienen graduaciones apropiadas para la representación directa de ángulos. El ángulo D de cualquier cara que se proyecta sobre el centro de la proyección (en la posición de la chincheta) es igual a 0º. Cualquier cara que se encuentre sobre el

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perímetro exterior del círculo primitivo tiene un ángulo D = 90º. Por tanto, cualquier ángulo D entre 0º y 90º viene representado hacia fuera desde el centro de la proyección (alejándose de la posición de la chincheta) a lo largo de las direcciones E-O o N-S. Si una combinación de los ángulos 2 y D es tal que el ángulo 2 no es ni 0º ni 90º y D tampoco es 0º ni 90º, la cubierta transparente debe girarse alrededor del centro hasta que la dirección de 2 del plano específico coincida con la dirección N-S ó E-O. Solo entonces puede el ángulo D de dicho plano representarse. En la figura 8 si un plano se caracteriza por 2 =30º y D = 60º, la localización del ángulo del polo al plano viene marcada por una linea corta a 2 = 30º sobre la circunferencia; a continuación este ángulo 2 = 30º se gira hasta buscar su coincidencia con las líneasE-O o N-S y el ángulo D = 60º se representa directamente usando la graduación disponible sobre la plantilla estereográfica subyacente.

Figura 8.- Ilustración del uso de la plantilla estereográfica

En la práctica en vez de medir las ángulos 2 y Dm se mide usualmente ángulos interfaciales, que pueden expresarse como ángulos respecto a las caras (010) o (001) del cristal. Los ángulos interfaciales medidos, o los ángulos 2 y D disponibles en los trabajos de referencia en la bibliografía, pueden representarse fácilmente con ayuda de la plantilla estereográfica. 1.4 PROYECCIÓN DE UN CRISTAL ORTORRÓMBICO La figura 9a es un dibujo de un cristal ortorrómbico de anglesita (PbSO4) y la figura 9b relaciona los ángulos 2 y D de las caras del cristal que se encuentran en el cuadrante positivo. En la figura 9c se ilustran los procesos de localización de los polos de estas caras en la proyección estereográfica. El punto de partida, como en todas las proyecciones, es el (010), cara b. El polo de esta cara debe situarse sobre el círculo primitivo en 0º. Los ángulos interfaciales b v n = 32 ½ º y b v m = 52º pueden medirse y marcarse como ángulos 2 sobre el círculo primitivo. La cara c es (001) ; forma un ángulo de 90º con b y su polo debe situarse en el centro de la proyección. La cara o está en zon con c y b y, por tanto, tiene un ángulo 2 = 0º. Su ángulo D, c v o = 52º puede medirse directamente y situarse a lo largo del círculo máximo vertical. La cara d está situada en una zona vertical a 90º de la zona c, o, b. Por tanto, 2 = 90º y c v d = 39 ¼º que puede situarse según el círculo vertical de la plantilla. El polo de la cara y no puede ser situado directamente, pero los ángulos b v y = 45º y c v y = 57º pueden ser medidos. Para localizar este polo, la proyección se gira 90º (en dirección N-S) de tal manera que b quede situada según los radios de los círculos menores de la plantilla, y se

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traza el círculo de 45º. Este círculo menor es el lugar geométrico de todos los polos a 45º de b.

Figura 9.- Cristal ortorrómbico de anglesita con simetría 2/m2/m2/m El lugar geométrico de c v y = 57º es un círculo centrado sobre el polo de 001, que es el centro de la proyección estereográfica donde la chincheta taladra el papel. Este círculo es de colatitud y puede dibujarse fácilmente con un compás, después de medir la extensión del mismo, por ejemplo a los largo de la dirección E-O de la plantilla estereográfica para D= 57º. El punto donde este círculo de colatitud corta al pequeño círculo de b v y = 45º es el polo de y. Para comprobar esta posición, se mide el ángulo m v y = 38º. Esto se logra fácilmente localizando el polo en “m” en la posición 2 = 90º (extremo sur) de la plantilla estereográfica y leyendo la diferencia angula entre “m” e “y” a lo largo de uno de los grandes círculos inclinados. Ciertamente se puede trazar un círculo pequeño con “m” a 2 =90º , el cual cortará el polo de y. Una vez localizado el polo “y”, sus ángulos 2 y D pueden leerse directamente de la plantilla estereográfica. El valor 2 resulta ser 32 ½ º y el valor D = 57º. En la figura 9d se han representado todas las caras del cristal de anglesita indicadas en la figura 9b y no sólo aquéllas del cuadrante superior positivo de la proyección estereográfica. La distribución de estos polos es congruente con la combinación de elementos de simetría 2/m2/m2/m. Existen tres ejes binarios que forman entre sí ángulos de 90º, así como tres planos de simetría que se cortan en el centro de la proyección estereográfica. Dos de estos planos de simetría se sitúan verticalmente, tal como se indica a lo largo de las direcciones N-S y E-O, y el tercero, se sitúa paralelo a la página situada en el plano del círculo primitivo.

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Realizar una proyección estererográfica de las siguientes figuras indicando la posición de las caras, elementos de simetría, grupo puntual al que pertenece , sistema cristalino y notación de la caras SISTEMA CÚBICO 1A.- Cubo 2A.- Rombododecaedro 3A.- Tetraquishexadro 4A.- Octaedro 5A.- Triaquisoctaedro 6A.- Trapezoedro 7A.- Hexaquisoctaedro 8A.- Tetraedro 10A.- Triaquistetraedro 11A. Pentagonododecaedro 12A.- Diploedro 14A.- Tetartoedro SISTEMA HEXAGONAL 1B.- Prisma hexagonal 2B.- Prisma dihexagonal 3B.- Bipirámide hexagonal 4B. Bipiramide dihexagonal 5B.- Pirámide hexagonal 6B.- Pirámide dihhexagonal 7B.- Prisma trigonal 8B.- Prisma ditrigonal 9B.- Bipirámide trigonal 10B.- Bipirámide ditrigonal SISTEMA TRIGONAL 1C.- Romboedro 2C.- Escalenoedro hexagonal 3C.- Bipirámide trigonal 4C.- Pirámide ditrigonal 5C.- Trapezoedro trigonal SISTEMA TETRAGONAL 1D.- Prisma tetragonal 2D.- Prisma ditetragonal 3D.- Bipirámide tetragonal 4D.Bipirámide ditetragonal 5D.- Pirámide tetragonal 6D.- Biesfenoide tetragonal 7D.- Escalenoedro tetragonal 8D.-Trapezoedro tetragonal 11D.- Biesfenoide ditetragonal SISTEMA RÓMBICO 1E.- Prisma rómbico 2E.- Bipirámide rómbica 3E.- Pirámide rómbica 4E.- Biesfenoide rómbico 5E.- Pinacoides rómbicos SISTEMA MONOCLÍNICO 1F.- Pinacoides monoclínicos 3F.- Cristal de augita 1G.- Pinacoides monoclímicos

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1F PINACOIDES MONOCLÍNICOS

1G. PINACOIDES MONOCLÍNICOS

3F. COMBINACIÓN DE PINACOIDES Y DOMO

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E. PRISMA RÓMBICO

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2E BIPIRÁMIDE RÓMBICA

3E PIRÁMIDE RÓMBICA

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4E. BIESFENOIDE RÓMBICO

5E. PINACOIDES ROMBICOS

1D. PRISMA TETRAGONAL

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D. PRIS

D. BIPI

2 MA DITETRAGONAL 3 RÁMIDE TETRAGONAL

4D. BIPIRÁMIDE DITETRAGONAL

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D. PIR

D. ESCALENOEDRO TETRAGONAL

5 ÁMIDE TETRAGONAL

6D. BIESFENOIDE TETRAGONAL

7

15

D. TRAPEZ ETRAGONAL

C.ROM

8 OEDRO T

11D BIESFENOIDE DITETRAGONAL

1

BOEDRO

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2C. ESCALENOEDRO HEXAGONAL 3C. BIPIRAMIDE TRIGONAL

C. PIR

4 ÁMIDE DITRIGONAL

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C. TRAPEZOEDRO TRIGONAL

B. PRISMA HEXAGONAL

5 1

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2B. PRISMA DIHEXAGONAL

19

AL

AL

B. PIR

3B. BIPIRAMIDE HEXAGON 4B. BIPIRÁMIDE DIHEXAGON 5 ÁMIDE HEXAGONAL

B. PRISMA DITRIGONAL

6B. PIRÁMIDE DIHEXAGONAL 7B. PRISMA TRIGONAL 8

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9B. BIPIRÁ

0B. BIPIRÁMIDE DITRIGONAL

A. CU

MIDE TRIGONAL 1

1 BO

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A. RO

2 MBODODECAEDRO

3A. TETRAQUISHEXAEDRO

4A. OCTAEDRO

22

A. TRIAQUISOCTAEDRO

RO

5

6A. TRAPEZOED

7A. HEXAQUISOCTAEDRO

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9A. GIROEDRO

8A. TETRAEDRO

10A. TRIAQUISTETRAEDRO

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2A. DIPLOEDRO

11A. PENTAGONODOCECAEDRO

1

14A. TETARTOEDRO

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