Proyeccin grfica

La proyeccin grfica es una tcnica de dibujo empleada para representar un objeto en una superficie. La figura se obtiene utilizando lneas auxiliares proyectantes que, partiendo de un punto denominado foco, reflejan dicho objeto en un plano, a modo de sombra.

Los elementos principales de la proyeccin son como muestran las figuras el punto de vista o foco de proyeccin (V), el punto que se desea proyectar (A), el punto proyectado (A'), la lnea proyectante (VAA') y el plano sobre el que se proyecta, que recibe diferentes denominaciones como plano de proyeccin, plano de cuadro o plano imagen ( ).

Clasificacin generalProyeccinTipoSubtipo

CentralVarios tipos de perspectiva con puntos de fuga

ParalelaOrtogonalIsomtrica (Tres angulos iguales (120), coef. de reduccin iguales)

Dimtrica (Dos ngulos iguales, dos coeficientes distintos)

Trimtrica (Tres ngulos y coeficientes distintos)

OblicuaPerspectiva caballera

Proyeccin centralCuando todas las lneas proyectantes pasan por un punto, se habla de proyeccin central o proyeccin cnica, ste es el caso, por ejemplo, de la sombra de un objeto sobre una superficie cuando es alumbrado por una lmpara (foco puntual).Es la adoptada en el sistema de representacin cnico, o simplemente perspectiva cnica.Una variante de este sistema de representacin lo constituye la proyeccin estereogrfica empleada para la representacin plana de la superficie de una esfera, y que se obtiene proyectando todos los puntos de la esfera desde uno de ellos sobre el plano tangente en el punto diametralmente opuesto, o sobre un plano paralelo a este, trazado por el centro de la esfera.

Proyeccin paralelaCuando las lneas proyectantes son paralelas como el anterior objeto alumbrado por la luz del Sol, se habla de proyeccin paralela o proyeccin cilndrica. Es un caso particular de proyeccin central, donde el foco del haz proyectante estara a distancia infinita.

El sistema didricoEs el caso del sistema didrico, en el que adems se cumple que las lneas proyectantes son perpendiculares (ortogonales) al plano de proyeccin. En este sistema, a diferencia de los dems, no se obtiene una representacin volumtrica del objeto en perspectiva, sino su alzado, planta y perfil. A partir de dichas vistas, se puede conseguir una representacin tridimensional del objeto en el sistema axonomtrico, cuyas lneas proyectantes pueden ser tanto ortogonales como oblicuas, siendo la [[perspectiva caballera].

El dibujo acotadoUna variante del sistema didrico, es que, en la prctica, no pueden describirse adecuadamente con los sistemas anteriormente sealados. Son muy utilizados en arquitectura, ingeniera, topografa, etc

Proyeccin grficaMtodosProyeccin cnica

Proyeccin paralelaProyeccin ortogonal

Proyeccin oblicua

AplicacionesSistema didrico

Perspectiva

Proyeccin cartogrfica

Proyeccin cnica

Proyeccin cnica.Proyeccin cnica se denomina al sistema de representacin grfico en donde el haz de rayos proyectantes confluye en un punto (el ojo del observador), proyectndose la imagen en un plano auxiliar situado entre el objeto a representar y el punto de vista.Es el sistema de representacin que ayuda a reproducir (normalmente en un plano) las imgenes del modo ms fiel, con un resultado muy similar a como lo percibimos realmente.Es el sistema empleado en la perspectiva cnica.La proyeccin cnica se utiliza para elaborar dibujos realistas de objetos, mapas de la Tierra, etc.Proyeccin paralela

La proyeccin paralela de un cubo en un plano vertical.En la geometra Euclidiana, la Proyeccin paralela es un mtodo para generar una vista de un slido, consiste en proyectar puntos en la superficie del slido a lo largo de lneas paralelas sobre el plano proyectante. Al seleccionar diferentes posiciones de vista, podemos proyectar los puntos visibles del objeto sobre el plano proyectante para obtener diversas vistas bidimensionales del objeto. Esta tcnica de representacin grfica se utiliza en diseos de ingeniera y arquitectura para representar un objeto con un conjunto de vistas que mantienen las proporciones relativas del objeto. De esta manera se puede reconstruir el objeto a partir de las vistas principales.Tipos de proyeccin paralela Ortogonal: Paralela a la normal al plano de proyeccin (planta, perfil, alzado). Axonomtrica (planos de proyeccin no normales a un eje principal). Oblicua: Direccin de proyeccin no normal al plano de proyeccin.

Proyeccin ortogonal

La proyeccin ortogonal del segmento AB sobre la recta L es el segmento PQ.En geometra Euclidiana, Proyeccin ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyeccin (o a la recta de proyeccin), establecindose una relacin entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.En el plano, la proyeccin ortogonal es aquella cuyas lneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyeccin L.As, dado un segmento AB, bastar proyectar los puntos "extremos" del segmento mediante lneas proyectantes auxiliares perpendiculares a L, para determinar la proyeccin sobre la recta L.Una aplicacin de proyecciones ortogonales son los teoremas de las Relaciones mtricas en el tringulo mediante las cuales se puede calcular la dimensin de los lados de un tringulo.El concepto de proyeccin ortogonal se generaliza a espacios euclidianos de dimensin arbitraria, inclusive de dimensin infinita. Esta generalizacin juega un papel importante en muchas ramas de matemtica y fsica.Casos de proyeccin ortogonal en el planoProyeccin ortogonal de un punto La proyeccin ortogonal de un punto P en una recta L es otro punto A que se obtiene trazando una lnea auxiliar perpendicular a L desde el punto A. Lgicamente, si el punto P pertenece a la recta L, coinciden: P = A .

Proyeccin ortogonal de un segmento Caso general: si el segmento dado AB no es paralelo la recta L, la proyeccin ortogonal es segmento PQ que se obtiene trazando lneas perpendiculares a L desde los puntos extremos. La magnitud de la proyeccin siempre es menor que la del segmento dado.

Si el segmento PQ y la recta L son paralelos, la proyeccin ser: AB = PQ, que se obtiene de forma anloga.

Si el segmento AB tiene un punto comn con la recta L, la proyeccin se obtiene de modo similar.

Si el segmento AB corta a la recta L, la proyeccin se obtiene de forma anloga.

Proyeccin oblicua

En geometra euclidiana, proyeccin oblicua es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al plano de proyeccin, establecindose una relacin entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.En el plano, la proyeccin oblicua es aquella cuyas lneas proyectantes auxiliares son oblicuas a la recta de proyeccin.As, dado un segmento, bastar proyectar los puntos "extremos" del segmento mediante lneas proyectantes auxiliares oblicuas, para determinar la proyeccin sobre la recta.

3.2 Proyecciones

La proyeccin es la representacin grfica de un objeto sobre una superficie plana, obtenida al unir las intersecciones sobre dicho plano de las lneas proyectantes de todos los puntos del objeto desde el vrtice.En trminos generales, las proyecciones transforman puntos en un sistema decoordenadas de dimensin n a puntos en un sistema de coordenadas con dimensin menor que n. De hecho, durante mucho tiempo se ha usado la graficacin por computador paraestudiar objetos n-dimensionales por medio de su proyeccin sobre dos dimensiones.

La proyeccin de objetos tridimensionales esdefinida por rayos de proyeccin rectos,llamados proyectores, que emanan de un centro de proyeccin, pasan por cada punto delobjeto e intersecan un plano de proyeccin para formar la proyeccin. Por lo general, el centro de proyeccin se encuentra a una distancia finita del plano de proyeccin. Sinembargo, en algunos tipos de proyecciones es conveniente pensar en funcin de un centrode proyeccin que tienda a estar infinitamente lejos.

En la figura se presentan dos proyecciones diferentes de la misma lnea. Afortunadamente, la proyeccin de una lnea esen s unalnea, de manera que slo hayqueproyectar los puntos extremos. La clase de proyecciones que trataremos aqu se conoce como proyecciones geomtricas planas, ya que la proyeccin es sobre un plano y no sobre una superficie curva y porque usa proyectores rectos y no curvos. Varias proyecciones cartogrficas son noplanas o no geomtricas.

Al definir una proyeccin de perspectiva se especifica explcitamente su centro de proyeccin; en el caso de unaproyeccin paralela, se indica su direccin de proyeccin. El centro de proyeccin es unpunto, por lo cual tienecoordenadas homogneas de laforma (x, y, z, 1). Como la direccin de proyeccin es un vector (es decir, la diferencia entre dos puntos), lo podemos calcular restandolos dos puntosd = (x, y, z, 1) - (x', y', z', 1) = (a, b, c, 0).

3.2.1 proyecciones paralelas

Se obtiene transfiriendo las descripciones de los objetos al plano de visualizacin segn unas trayectorias de proyeccin que pueden tener cualquier direccin relativa seleccionada con respecto al vector normal del plano de visualizacin.

Las proyecciones paralelas se clasifican en dos tipos, dependiendo de la relacin entre la direccin de la proyeccin y la normal al plano de proyeccin. En las proyecciones paralelas ortogrficas, estas direcciones son las mismas (o en sentido contrario): de manera que la direccin de la proyeccin es normal al plano de proyeccin. Esto no ocurre en la proyeccin paralela oblicua, esta se definen utilizando un vector de direccin para las lneas de proyeccin, y esta direccin puede especificarse de varias formas.

Los tipos ms comunes de proyecciones ortogrficas son la de relacin frontal, elevacin superior o elevacin de plano y la de elevacin lateral. En todas ellas, el plano de proyeccin es perpendicular al eje principal, que por lo tanto es la direccin de la proyeccin como por ejemplo:

Sin embargo, cada proyeccin slo muestra una cara del objeto, de manera que puede ser difcil deducir la naturaleza tridimensional del objeto proyectado, incluso si se estudian simultneamente varias proyecciones del mismo objeto.Las proyecciones ortogrficas axonomtricas usan planos de proyeccin que no son normales a un eje principal y que por ende muestran varias caras de un objeto al mismo tiempo.

Las proyecciones oblicuas combinan las propiedades de las proyecciones ortogrficas frontal, superior y lateral con las de una proyeccin axonomtrica: el plano de proyeccin es normal a un eje principal, de manera que la proyeccin de la cara del objeto paralela a este plano permite medir ngulos y distancias. Tambin se proyectan otras caras del objeto, lo que permite medir las distancias sobre los ejes principales, aunque no los ngulos. En la figura siguiente se muestra la construccin de una proyeccin oblicua. Observe que la normal al plano de proyeccin la direccin de la proyeccin no son iguales.

En el caso general de proyeccin paralela, se puede escoger cualquier direccin para las rectas de proyeccin (siempre y cuando no sean paralelas a la superficie de proyeccin). Supongamos que la direccin de proyeccin est dada por el vectory que la imagen va ser proyectada sobre el planoxy. Si tenemos un puntodel objeto, queremos determinar el punto proyectado.Empecemos por definir las ecuaciones de la recta que pasa por un puntoy tiene la direccin de las rectas de proyeccin. De forma paramtrica:

Ahora nos preguntamos dnde corta esta lnea al planoxy. Es decir, cuales son los valores dexycuandoz=0.

Estas ecuaciones son de hecho una transformacin que se pueden escribir en forma matricial

o, de otra forma, en coordenadas homogneas

3.2.2 proyecciones isomtricas

Una de las grandes ventajas del dibujo isomtrico es que se puede realizar el dibujo de cualquier modelo sin utilizar ninguna escala especial, ya que las lneas paralelas a los ejes se toman en su verdadera magnitud. As por ejemplo, el cubo cuando lo dibujamos en forma isomtrica queda con todas sus aristas de igual medida.

Una proyeccin isomtrica es un mtodo grfico de representacin, ms especficamente una axonomtrica1 cilndrica2 ortogonal.3Constituye una representacin visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, forman ngulos de 120, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.

La proyeccin axonomtrica ms comnmente utilizada es la proyeccin isomtrica, que se genera alineando el plano de proyeccin (o el objeto) de modo que el plano intersecte todos los ejes de coordenadas sobre los que est definido el objeto, denominados ejes principales, a la misma distancia del origen.Los tres ejes principales se acortan de forma igual en una proyeccin isomtrica, por lo que se mantienen las proporciones relativas; Este no es el caso en una proyeccin axonomtrica general, donde los factores de escala pueden ser diferentes para las tres direcciones principales.Una de las grandes ventajas del dibujo isomtrico es que se puede realizar el dibujo de cualquier modelo sin utilizar ninguna escala especial, ya que las lneas paralelas a los ejes se toman en su verdadera magnitud. As por ejemplo, el cubo cuando lo dibujamos en forma isomtrica queda con todas sus aristas de igual medida.

3.2.3 Proyeccin de perspectiva

Este tipo de proyeccin cambia los tamaos de los objetos de modo que aquellos que estn mas alejados de la posicin de visin se desplieguen de menor tamao que los que estn mas prximos a la posicin de visin. Las lneas paralelas sobre la superficie de un objeto se proyectan ahora en lneas que tienden a converger. Los objetos desplegados como proyecciones en perspectivas parecen ms naturales, ya que est es la manera en que el ojo y los lentes de una cmara forman imgenes.

Las tcnicas de la proyeccin perspectiva son generalizaciones de los principios empleados por los artistas al preparar dibujos en perspectiva de objetos y escenas tridimensionales. El plano que la contiene se vuelve el plano de vista. Los dibujos en perspectiva se caracterizan por el acortamiento perspectivo y los puntos de fuga. El acortamiento perspectivo es la ilusin de que los objetos y longitudes parecen ms pequeos conforme aumenta su distancia con respecto al centro de proyeccin. La ilusin de que, cierto conjunto de lneas paralelas parecen unirse en un punto es otra caracterstica de los dibujos en perspectiva. A dichos puntos se les denomina puntos principales de fuga estn formados por la interseccin aparente de lneas paralelas a uno de los tres ejes principales x, y o z.

El plano de vista que tiene esta proyeccin se sita normalmente entre los objetos y el observador que son definidas por punto de referencia de vista y vector normal al plano de vista. Por ejemplo:

Para obtener una proyeccin de perspectiva de un objeto tridimensional, se proyectan puntos a lo largo de lneas de proyeccin que se interceptan en el centro de proyeccin. Por ejemplo como se muestra en la imagen:

Si el centro de proyeccin est eny el punto del objeto es

entonces el rayo proyectante ser la recta que pasa por estos dos puntos y est dada, en forma paramtrica, por las ecuaciones

En punto proyectadoser el punto de interseccin de esta recta con el planoxy, donde la coordenadazes nula.

de otra forma:

Esta proyeccin puede ponerse en la forma de una matriz de transformacin si tenemos en cuenta las propiedades de las coordenadas homogneas. La forma de esta matriz ser:

Para demostrar que esta transformacin funciona, consideremos el punto,en coordenadas homogneas tendremosque multiplicado por la matriz anterior nos da

De esta expresin se deducen fcilmente las coordenadas del punto proyectado que coinciden con las obtenidas anteriormente de forma analtica.

3.2.4 identificacin de superficies y lneas visibles.

Es posible aclarar las relaciones de profundidad identificando las lneas visibles. Existe mtodos para realizar esto, el mtodo ms sencillo es el de resaltar las lneas visibles o mostrarlas de un color diferente otra tcnica que se utiliza es muy comn para los diseos de ingeniera, que es el despliegue de las reas no visibles como son las lneas de rayas, uno planteamiento mas consiste en eliminar las lneas ocultas. Pero si se realiza esto, se puede eliminar la informacin de la forma de la superficie traseras del objeto. Estos mtodos mencionados de lnea visible tambin identifican las superficies de los objetos.

Si se debe de desplegar algn objeto con color o con una superficie sombreada se aplican procedimientos de de representacin de superficies para las superficies visibles, para que se obscurezcan las superficies ocultas. Algunos de los algoritmos de superficie visible dicen que la visibilidad esta establecida pxel por pxel a lo largo de la pantalla y otros algoritmos determinan la visibilidad para las superficies de un objeto como un todo. Representacin de superficie Se puede obtener un realismo mayor si se representan las superficies de los objetos al utilizar condiciones de iluminacin de una escena y de las caractersticas que se le asignen a la superficie. Las condiciones de luz se establecen al identificar el color y la ubicacin de las fuentes de luz, al igual de definir efectos de iluminacin de fondo. Las propiedades de la superficie pueden incluir in formacin de la superficie si est trasparente u opaca, al igual si es suave o rugosa.