integrales algebraicas

5/11/2018 Integrales Algebraicas - slidepdf.com

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Cálculo Integral

http://www.uvmnet.edu/



¿Qué es el Cálculo Integral?




El teorema fundamental del cálculo integral consiste en laafirmación de que la derivación e integración de una funciónson operaciones inversas. Esto significa que toda funcióncontinua integrable verifica que la derivada de su integral esigual a ella misma. Este teorema es central en la rama de lasmatemáticas denominado análisis matemático o cálculo.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla deBarrow, denominada en ocasiones segundo teoremafundamental del cálculo, y que permite calcular la integral deuna función utilizando la antiderivada de la función al ser

integrada.




Aunque los antiguos matemáticos griegos como Arquímedes yacontaban con métodos aproximados para el cálculo devolúmenes, áreas y longitudes curvas, fue gracias a una ideaoriginalmente desarrollada por el matemático inglés IsaacBarrow y los aportes de Isaac Newton y Gottfried Leibniz queeste teorema pudo ser enunciado y demostrado.

ISAAC BARROW

Nació en Octubre de 1630 en LondresInglaterra y falleció el 4 de mayo de 1677en Londres, Inglaterra.




ISAAC NEWTON

Nació el 4 de enero de 1643 en la villa deWoolsthorpe,Lincolnshire,Inglaterra.

Falleció el 31 de marzo de 1727 enLondres, Inglaterra

GOTTFRIED LEIBNIZ

Nació el 1 de julio 1646 en Leipzig,Saxon,Alemania).

Falleció el 14 noviembre 1716 enHannover, Alemania.




El cálculo integral, encuadrado en el Cálculo Infinitesimal, esuna rama de las Matemáticas en la cual se estudia el cálculo apartir del proceso de integración o antiderivación, es muy

común en la ingeniería y en la matemática en general y seutiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes deregiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes,

Descartes, Newton y Barrow, éste último fue el que junto conaportes de Newton, crearon el Teorema fundamental delCálculo Integral que propone que la derivación y la integraciónson procesos inversos.




En Cálculo Infinitesimal, la función primitiva o antiderivada deuna función f es una función F cuya derivada es f , es decir ;

F ′ = f .

Una condición suficiente para que una función f admita

primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dichointervalo.




Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admiteuna infinidad, que difieren entre sí en una constante:si F 1 y F 2 son dos primitivas de f , entonces existe un númeroreal C , tal que:

F 1 = F 2 + C .

A C se le conoce como constante de integración . Comoconsecuencia, si F es una primitiva de una función f , el conjuntode sus primitivas es F + C . A dicho conjunto se le llama integralindefinida de f y se representa como:





∫ f ó ∫ f(x) dx

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce comointegración indefinida y es por tanto el inverso de laderivación. Las integrales indefinidas están relacionadas conlas Integrales definidas a través del teorema fundamental delCálculo Integral, y proporcionan un método sencillo de calcularintegrales definidas de numerosas funciones.





Significado grafico del Cálculo Integral





Una de las nociones fundamentales de la integral, es quegráficamente representa el área bajo la curva.Veamos como surge esta interesante noción:

¿Cómo podríamos calcular el área bajo esta curva?





Una noción principal podría generarse de la forma siguiente :Tratemos de cubrir toda el área debajo de la curva llenando concírculos, de los cuales conocemos el área.





Sin embargo, existen espacios que aun no han sido cubiertos yque podría resultar impráctico llenar los espacios con círculosmas pequeños.

Gráfica de la función en la que la parte de amarillo no ha sidollenada con círculos aunque pudieran llenarse.





También podríamos intentar llenar el área bajo la curva contriángulos, pero al igual que el llenado con círculos resultaimpráctico en el sentido de que tendremos que calcular el áreade diferentes triángulos rectángulos o cualquier otro y calcular

su área en particular.





Como podemos ver el área que falta por cubrir es menor,aunque aun sigue resultando impráctico este método.





¿Qué sucede si realizamos una aproximación con otra figuraregular como lo es un rectángulo?





Como podemos sabemos, resulta práctico calcular el área deun rectángulo, han quedado algunas áreas sin llenar y algunosrectángulos han pasado sobre el margen de la curva





Observamos que el área del rectángulo de lado y f ( X1 )esta descrita como:





Para el segundo rectángulo de lado ∆X2 y f ( X2 ) tendríamosque el área esta descrita como:

Área del segundo rectángulo = f ( X2 ) ∆X2

Si sumamos todas las áreas de los rectángulos tendremos:

Área aproximada debajo de la curva = ∑ f ( Xi ) ∆Xi





A medida que hacemos crecer el número de rectángulos quecubren el área bajo la curva tendremos una mejoraproximación, al igual que sucedería con los círculos y lostriángulos. Al hacer crecer el número de rectángulos implicara

que los incrementos sean mas pequeños a fin de obtener unamejor aproximación.





Recordemos del Cálculo Diferencial que los elementosdiferenciales se generan a partir de incrementos pequeños porlo que podríamos pensar que a medida que hacemos crecerlos rectángulos tendremos:

Esta fue la forma clásica en surge el concepto de integral,posteriormente a esta aproximación se fue modificando sunotación hasta adquirir la simbología





Por lo que una aproximación mas acorde para el área bajo lacurva lo podemos representar como:

este símbolo es conocido como la integral.





La antiderivada

Es una forma de ver la operación inversa de la derivación,

clásicamente, se realiza de la siguiente forma:

a) Encontrar la función f(x) de la cual su derivada es conocida.

b) Dado el diferencial de la función d f(x) encontrar la funciónf(x)





La función que se pide se le conoce como integral de ladiferencial dada y al procedimiento utilizado para encontrar laintegral se le conoce como integración. Al igual que el símbolode derivada, el símbolo de integración, cuyo operador nos

indicara la operación mencionada, ha tenido toda una evoluciónque fue acompañado de rasgos históricos hasta llegar alsímbolo.

Concretamente diremos que





aunque esta relación no es del todo general es correcta y nosserá útil para incursionar el análisis de este concepto.

Así por ejemplo podemos tener:

f1(x) = 3x

y con ello

f1´(x) dx = 3 dx

por lo que





por lo que:

pero podemos observar que si la función es:

f2(x) = 3x+5

f2(x) = f1(x)+5

Entonces

f2´(x) dx = 3dx





por lo que:

podemos entonces pensar que en general pudimos agregar af1(x) cualquier constante y tener el mismo diferencial por lo queuna expresión mas general a considerar es la siguiente:

a la constante c que se agrega se le conoce como constante deintegración. A la expresión anterior se le conoce como integral

indefinida





Retomemos el ejemplo:

que sucede si aplicamos el operador de derivadas en ambosmiembros de la expresión:

lo que hace pensar que al aplicar el operador de derivada aloperador de Integración obtenemos la función a integrar.





De forma mas general tendremos:

Como podemos observar el operador de derivada en una

operador inverso al de integración, hemos concluido esto enbase a la expresión anterior. Sin embargo, si el operador deintegral antecede al símbolo de derivada la expresión nosiempre será cierta, y en ocasiones, no siempre podremosobtener una solución.





Formulas de Integrales

de funciones Algebraicas.





Integrales de funciones Algebraicas.

1) La integral de una constante ( k ) por una variable f(x), seráigual a la constante ( k ) por la integral de la variable más

una constante de integración.

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx + c

dx xdx x )1(3)1(3

22

xdx xdx 22

dx xdx x33)3(2)3(2






2) La integral de una suma de variables f(x) + g(x) , será iguala la suma de integrales de las variables más una constante

de integración.

∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx + c

dx xdxdx xdx x x 32)132(22

bdxaxdxdxbax )(






3) La integral del diferencial de una variable será igual a lavariable más una constante de integración.

∫ dx = x + c

∫ dp = p + c

∫ dz = z + c∫ dt = t + c∫ dy = y + c






4) La integral de la variable “ x ” elevada a la potencia “ n ”, será igual a:

donde: n ε R excepto para n= -1

cn

x

dx x

nn

1

1

c x

dx x3

3

2

c xc x

dx x 353

5

32

5

3

3

5

c x

c x

dx x

2

2

3 12

c xc x

dx x

434

3

41

3

4

4

3






5) La integral de una función ( u ) elevada a la potencia “ n ”, será igual a:

donde u = f (x) ; n ε R

c x

dx x4

)3()3(

43

cn

uduu

n

n

1

1





Solución de Integrales de funciones Algebraicas.





Sean:

∫ dx = x + c

El procedimiento de solución consiste en aplicar directamentela formula:

cn

xdx x

nn

1

1

cn

uduu

nn

1

1





Para poder aplicar la formula debemos:

1) Identificar la función “ u ” 2) Diferenciar la variable “ u “

3) Verificar si en la expresión a integrar, tenemos eldiferencial exacto de la variable.4) En este caso aplicar directamente la formula5) Si no es así, completar el diferencial exacto de la variable:

dxdx

dudu )(





Ejemplo:u = 6x -1

du = 6 dxFalta un 6 para completar el diferencial exacto de la variable

Ahora ya podemos aplicar la formula:

dx x 2)16(

dx x6

6)16(2

dx x 6)16(

6

1

c xc x

3

3

)16(

18

1

3

)16(

6

1





Ejemplo:u = 6x -1

du = 6 dxFalta un 6 para completar el diferencial exacto de la variable


dx x 2)16(

dx x6

6)16(2

dx x 6)16(

6

1

c xc x

3

3

)16(

18

1

3

)16(

6

1





Ejemplo: =u = 3x4 - 2

du = 12x3 dxFalta un 12 para completar el diferencial exacto de la variable


dx x x 34 )23( dx x x 32

1

4 )23(

dx x x32

14

12

12)23(

dx x x32

14

12)23(

12

1

c xc x

23

42

34

)23(18

1

2

3

)23(

12

1





La integral definida

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la

necesidad de mejorar los métodos de medición de áreassubtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica deintegración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII,paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teoríassobre derivadas y en el cálculo diferencial.





Concepto de integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el

valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado elintervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, sedefine una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], sellama integral definida de la función entre los puntos a y b alárea de la porción del plano que está limitada por la función, eleje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x= b.





La integral definida de la función entre los extremos delintervalo [a, b] se denota como:

La integral definida cumple las siguientes propiedades:1) Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto,

[a, a], es igual a cero.

2) Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral espositiva; si la función es menor que cero, su integral esnegativa.

b

a

dx x f )(





La integral definida cumple las siguientes propiedades:3) La integral de una suma de funciones es igual a la suma de

sus integrales tomadas por separado.

4) La integral del producto de una constante por una funciónes igual a la constante por la integral de la función (esdecir, se puede «sacar» la constante de la integral).

5) Al permutar los límites de una integral, ésta cambia designo. Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces secumple que (integración a trozos):

c

a

b

a

c

b

dx x f dx x f dx x f )()()(





Notación de laintegral definida





El símbolo de la integral ∫

El signo utilizado para denotar la operación de integraciónfue ideado por el matemático y filósofo alemán GottfriedWilhelm Leibniz (1646-1716), quien quiso así referirse a lasuma de las ordenadas diferenciales situadas bajo unacurva. Por tanto, ? no es sino una “s” estilizada, inicial de lapalabra suma.





Ejemplo:

5

2

32

3

1 xdx x

3325

3

1

3

17


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