CONTENIDO

PRESENTACIÓN…………………………………………………………………………………………………………………………….

INTRODUCCIÓN..........................................................................................................................................................................

RECOMENDACIONES.................................................................................................................................................................

PROPÓSITOS GENERALES.......................................................................................................................................................

UNIDAD I LIMITES...................................................................................................................................................... TEMA 1.1. LIMITES......................................................................................................................................................................

SUBTEMA 1.1.1. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE Y LIMITES LATERALES........................................................................

SUBTEMA 1.1.2. TEOREMAS (PROPIEDADES DE LOS LÍMITES).....................................................................................

SUBTEMA 1.1.3. LÍMITES DE FUNCIONES………………………………………………………………………………………...

SUBTEMA 1.1.4. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO…………………..………………………………………...

TEMA 1.2. TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN...................................................................................................

SUBTEMA 1.2.1. CONDICIONES DE CONTINUIDAD..........................................................................................................

SUBTEMA 1.2.2. TEOREMAS DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS…….............................................

AUTO EVALUACIÓN....................................................................................................................................................................

UNIDAD II LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA…..................................................................... TEMA 2.1. LA DERIVADA……………………………………..........................................................................................................

SUBTEMA 2.1.1. RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEA…............................................................................

SUBTEMA 2.1.2. LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA...................................................................

SUBTEMA 2.1.3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA…........................................................................

SUBTEMA 2.1.4. DIFERENCIABILIDAD EN UN INTERVALO……………….........................................................................

TEMA 2.2. REGLAS DE DERIVACIÓN……………………............................................................................................................

SUBTEMA 2.2.1. REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS.................................................................

SUBTEMA 2.2.2. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS…………………………………………………………………………………………………………………

SUBTEMA 2.2.3. REGLA DE LA CADENA……………………………….................................................................................

TEMA 2.3. DERIVACIÓN IMPLÍCITA……………….....................................................................................................................

SUBTEMA 2.3.1. DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.............................................................................................

TEMA 2.4. ECUACIONES Y; LONGITUDES DE RECTAS RELACIONADAS CON LA DERIVADA...........................................

SUBTEMA 2.4.1. ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y LA NORMAL………….........................................................................

SUBTEMA 2.4.2. LONGITUDES DE LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL…................................................................ AUTO EVALUACIÓN....................................................................................................................................................................

UNIDAD III VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS….................................................. TEMA 3.1. APLICACIONES DE LA DERIVADA….......................................................................................................................

SUBTEMA 3.1.1. CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS CON LA PRIMERA DERIVADA............

SUBTEMA 3.1.2. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR……................................................................................................

SUBTEMA 3.1.3. CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON LA SEGUNDA DERIVADA…............................

SUBTEMA 3.1.4. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES…..................................................................................

SUBTEMA 3.1.5 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN …………………………………………………………………….

AUTO EVALUACIÓN....................................................................................................................................................................

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS...............................................................................................

RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES.........................................................................................................

BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................................................................

1

2

3

4

5

6

7

7

9

14

24

28

28

32

33

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37

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41

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59

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89

89

93

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99

100

100

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145

148

PRESENTACIÓN

EL COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE CAMPECHE, CON LA FINALIDAD DE MEJORAR EL

PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE, HA DECIDIDO TRABAJAR CON ANTOLOGÍAS COMO ELEMENTO

FUNDAMENTAL DE APOYO.

PARA VENCER LOS RETOS QUE PRESENTA EL ENTRAR A UN NUEVO MILENIO, LAS ANTOLOGÍAS

SON UNA HERRAMIENTA MAS PARA LOS DOCENTES Y LOS ALUMNOS EN EL AULA POR MEDIO DEL CUAL

SE PUEDE TENER UNA BIBLIOGRAFÍA BASE PARA NO TENER QUE USAR VARIOS LIBROS EN UNA MISMA

ASIGNATURA, LOGRANDO ASÍ UNA UNIFORMIDAD EN LAS ASIGNATURAS QUE COMPRENDEN LOS

PLANES DE ESTUDIO DE LOS DIFERENTES PLANTELES DE LA ENTIDAD.

LA ANTOLOGÍA FACILITA LA LOCALIZACIÓN DE LOS DIFERENTES CONCEPTOS DE LAS

ASIGNATURAS, FACILITANDO LA INVESTIGACIÓN, CONSTITUYENDO TAMBIÉN AHORRO EN EL MATERIAL

BIBLIOGRÁFICO Y FACILITA EL PROCESO DE ESTUDIO Y PREPARACIÓN DEL ALUMNO PARA LOS

EXÁMENES DE ACREDITACIÓN DE LAS DIFERENTES ASIGNATURAS.

2

INTRODUCCIÓN

LA PRESENTE ANTOLOGÍA DE LA ASIGNATURA DE CALCULO DIFERENCIAL ESTA ENCAMINADO A

LA UTILIZACIÓN DE LOS PROCESOS DE DERIVACIÓN Y APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS.

LOS CONTENIDOS DE LA ANTOLOGÍA SE ENCUENTRAN RESUMIDOS EN TRES UNIDADES QUE

CONTEMPLAN: FUNCIONES, LIMITES, CONTINUIDAD, DERIVADAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

EN LA FORMA DE TRATAR ESTOS TEMAS, SE TOMO ENCUENTA LOS LIBROS SEÑALADOS EN LA

DOSIFICACIÓN, TRATANDO DE QUE LOS CONCEPTOS SE EXPLIQUEN DE MANERA CLARA Y OBJETIVA,

EVITANDO CAER EN LA AMBIGÜEDAD Y QUE LOS EJERCICIOS SE EXPLIQUEN Y RESUELVAN DE MANERA

DETALLADA DE TAL MANERA QUE EL ALUMNO PUEDA ESTUDIAR ESTE TEXTO SIN TENER TANTA

DEPENDENCIA POR PARTE DEL PROFESOR.

ESTA ANTOLOGÍA TRATA DE BAJAR UN POCO EL NIVEL QUE MANEJAN LOS TEXTOS DE CÁLCULO,

LOS CUALES SON MUY POCO EXPLÍCITOS EN LA RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS, YA QUE MUCHAS VECES

AL ALUMNO LE CUESTA TRABAJO ENTENDER QUE PROCEDIMIENTOS ALGEBRAICOS SE SIGUEN PARA

OBTENER LAS RESPUESTAS DE LOS DIFERENTES EJERCICIOS.

SE RECOMIENDA LEER EL MATERIAL CUIDADOSAMENTE PARA ENTENDER E INTERPRETAR LOS

CONCEPTOS PARA PODER RESOLVER LOS EJERCICIOS PROPUESTOS QUE SE DAN EN LOS TEMAS

PRÁCTICOS. UNA VEZ QUE SE RESUELVEN LOS EJERCICIOS PROPUESTOS, EL ALUMNO DEBE DE

RESOLVER LA AUTO EVALUACIÓN QUE SE DA AL FINAL DE CADA UNIDAD, EN LA QUE DEBE DE TENER

UN RESULTADO DE AL MENOS EL 90% DE RESPUESTAS CORRECTAS PARA PODER DECIR ASÍ QUE YA

HUBO UNA CORRECTA ASIMILACIÓN DE LOS TEMAS TRATADOS EN ESTA UNIDAD.

3

RECOMENDACIONES

EMPLEA LA ANTOLOGÍA COMO UN TEXTO BASE INFORMATIVA ACERCA DE LOS CONTENIDOS MÍNIMOS

SOBRE LA ASIGNATURA.

MANEJA LA ANTOLOGÍA COMO TEXTO ORIENTADOR DE LOS CONTENIDOS TEMÁTICOS A REVISAR EN LAS

SESIONES DE CLASE.

UTILIZA LA ANTOLOGÍA COMO UN TEXTO DE ESTUDIO PREVIO A LAS SESIONES DE CLASE.

RESUELVE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS BASÁNDOTE EN LOS EJEMPLOS RESUELTOS EN LA ANTOLOGÍA

Y EN LAS EXPLICACIONES DADAS POR TU PROFESOR DE LA ASIGNATURA, EN CASO DE QUE NO TE DE LA

RESPUESTA QUE APARECE AL FINAL DE LA ANTOLOGÍA, CONSULTA CON TU PROFESOR PARA QUE TE

ACLARE LAS DUDAS Y TE ORIENTE SOBRE EL PROCEDIMIENTO A SEGUIR PARA LA RESOLUCIÓN DE ESOS

EJERCICIOS.

RESUELVE LAS AUTOEVALUACIONES QUE SE DAN AL FINAL DE CADA UNIDAD. ESTAS AUTOEVALUACIONES

NO SON CUESTIONARIOS QUE DEBAS RESOLVER CONSULTANDO TUS TEXTOS, SI NO QUE DEBES DE

RESOLVERLAS SIN TENER MAS APOYO QUE EL DE TU FORMULARIO Y TU CALCULADORA. SI NO LOGRAS

TENER AL MENOS EL 90% DE LAS RESPUESTAS CORRECTAS, REPASA LOS CONCEPTOS Y RESUELVE MAS

EJERCICIOS PARA REAFIRMAR TUS CONOCIMIENTOS Y PRESENTA DE NUEVO ESTAS AUTOEVALUACIONES.

RECUERDA QUE ESTA ANTOLOGÍA REPRESENTA LOS CONTENIDOS MÍNIMOS QUE DEBES DE TENER SOBRE

ESTAS ASIGNATURAS, POR LO QUE TE RECOMENDAMOS CONSULTAR LA BIBLIOGRAFÍA PARA AUMENTAR

TUS CONOCIMIENTOS Y NO CERRARTE SOLAMENTE EN LO QUE SE TE DA EN ESTE TEXTO.

4

PROPÓSITOS GENERALES EN LA ASIGNATURA DE CALCULO DIFERENCIAL SE PRETENDE QUE EL ALUMNO:

ABORDE LOS CONTENIDOS CON UN ENFOQUE ALGEBRAICO, LÓGICO Y GEOMÉTRICO, CONJUNTANDO

UNA FORMACIÓN INTEGRAL.

DESARROLLE LAS HABILIDADES QUE LE PERMITAN RESOLVER CUALQUIER PROBLEMA SOBRE

FUNCIONES Y LIMITES Y TENGA LA CAPACIDAD DE RESOLVER CUALQUIER DERIVADA MEDIANTE EL

USO CORRECTO DE LAS FORMULAS DE DERIVACIÓN, LOGRANDO CON ESTO APLICAR EL CÁLCULO

DIFERENCIAL EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN NUESTRA VIDA COTIDIANA.

INTERPRETE CORRECTAMENTE LA UTILIZACIÓN DE LOS SÍMBOLOS USADOS EN EL CÁLCULO

DIFERENCIAL.

AGRUPE Y RETOME LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS EN LAS ASIGNATURAS ANTECEDENTES DE

MATEMÁTICAS E INTEGRARLOS PARA DOMINAR EL CALCULO DIFERENCIAL Y ADQUIRIR LAS BASES

NECESARIAS PARA PODER ESTUDIAR POSTERIORMENTE, SIN NINGÚN PROBLEMA, EL CÁLCULO

INTEGRAL.

UTILICE ESTOS CONOCIMIENTOS NO SOLO EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS, SI NO TAMBIÉN EN OTRAS

MATERIAS, CON LO CUAL LE DAMOS MAYOR UTILIDAD AL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS.

5

UNIDAD I

6

LIMITES PROPÓSITOS DE LA UNIDAD EL ALUMNO: RESOLVERÁ PROBLEMAS DE LÍMITES EN LAS CIENCIAS NATURALES, ECONÓMICO ADMINISTRATIVAS Y

SOCIALES; MEDIANTE LA APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LÍMITES Y EL EMPLEO DE SUS TEOREMAS MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU COMPORTAMIENTO GRÁFICO, CON UNA ACTITUD ANALÍTICA Y PARTICIPATIVA.

1.1 LIMITES 1.1.1. NOCIÓN INTUITIVA DE LIMITE Y LIMITES LATERALES

OBJETIVOS DEL SUBTEMA: EL ESTUDIANTE: 1. IDENTIFICARA EL LIMITE A PARTIR DE SU NOCIÓN INTUITIVA. (DC, EA) 2. DEFINIRÁ EL CONCEPTO DE LIMITE DE UNA FUNCIÓN Y LA FORMA EN QUE SE DENOTA. (DF, EA) 3. IDENTIFICARA A PARTIR DE EJEMPLOS DADOS LA FORMA COMO SE REPRESENTAN LOS LIMITES

LATERALES. (DC, EA) ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LOS LIMITES: LOS INICIADORES DEL CALCULO FUERON GUILLERMO LEIBNITZ E ISAAC NEWTON EN EL SIGLO XVI A

PARTIR DE LA NECESIDAD DE RESOLVER CIERTOS TIPOS DE PROBLEMAS, AUNQUE HUBO TRABAJOS PREVIOS QUE LE FUNDAMENTAN COMO LO FUE LA OBTENCIÓN DEL VOLUMEN DEL CONO POR DEMOCRITO DE TRACIA Y LA DETERMINACIÓN POR PRIMERA VEZ DEL ÁREA DEL CIRCULO POR HIPÓCRATES (NADA QUE VER CON EL PADRE DE LA MEDICINA).

EL CONCEPTO COMPARTIDO EN AMBOS CASOS (TANTO EN EL CIRCULO COMO EN EL CONO) FUE EL DE LAS

APROXIMACIONES, DE LAS CUALES NACE LA PRIMERA IDEA DE LIMITE, CONCEPTO BÁSICO QUE FUNDAMENTE AL CALCULO.

EN EL CASO DEL CIRCULO HIPÓCRATES REALIZO LA INSCRIPCIÓN DE POLÍGONOS DENTRO DE UNA

CIRCUNFERENCIA, VIENDO QUE A MEDIDA QUE AUMENTABA EL NUMERO DE LADOS EL ÁREA DEL POLÍGONO AUMENTABA, ACERCÁNDOSE CADA VEZ AL VALOR DEL ÁREA DEL CIRCULO, MOTIVO POR EL CUAL POR MEDIO DE APROXIMACIONES DETERMINO QUE LLEGARÍA EL MOMENTO EN QUE EL VALOR DEL ÁREA DEL POLÍGONO INSCRITO SERIA IGUAL AL ÁREA DEL CIRCULO, ES DECIR QUE EL LIMITE DEL POLÍGONO INSCRITO ERA EL ÁREA DEL CIRCULO.

DEFINICIÓN DEL LIMITE DE UNA FUNCIÓN:

7

SI f ES UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN [a, b] CON LA POSIBLE EXCEPCIÓN DE c ∈ [a, b], DECIMOS QUE L ES EL LIMITE DE f CUANDO x TIENDE A c, SI DADO UN ARGUMENTO x MUY CERCANO A c (TAN PRÓXIMO COMO SE DESEE) HALLAMOS QUE SU IMAGEN ESTA TAMBIÉN MUY CERCA DE L.

NOTACIÓN DEL LIMITE DE UNA FUNCIÓN: EL LIMITE DE UNA FUNCIÓN SE PUEDE DENOTAR DE 2 FORMAS: 1. L)x(fim = QUE SE LEE: “EL LIMITE DE UNA FUNCIÓN f, CUANDO x TIENDL

cx→E A c, ES L”

. QUE SE LEE: “LA FUNCIÓN f EN x TIENDE A L, CUANDO x TIENDE A c”

IMITES LATERALES:

ON UNA HERRAMIENTA DESARROLLADA PARA DAR LUGAR A PRECISIONES.

EFINICIÓN DE LÍMITES LATERALES:

ECIMOS QUE:

) L1 ES EL LIMITE DE f POR LA IZQUIERDA CUANDO x TIENDE A c, Y LO REPRESENTAMOS POR:

I CONFORME SE TO RGUMENTOS CERCANOS A c, CON x < c (A SU IZQUIERDA), SE OBSERVA QUE TAM

B) L2 ES EL LIMITE DE f POR LA DERECHA CUANDO x TIENDE A Y LO REPRESENTAMOS POR:

I CONFORME x SE APROXIMA A c CON x > c (A SU DERECHA), SE OBSERVA QUE TAMBIÉN f(x) SE APROXIMA A L

L LIMITE DE LA FUNCIÓN f EN x = c EXISTE, SI EXISTEN SUS LIMITES LATERALES Y ESTOS SON IGUALES. ASÍ, SI TENEMOS:

NTONCES:

cxcxcx →→→

N EJEMPLOS DE LIM TES EJEMPLOS:

im1x +−

ECHA

. LATERAL POR LA IZQUIERDA

. LATERAL POR AMBOS LADOS

2 cxsi,L)x(f →→ L S D D A

1cx −→

L)x(fLim =

S MAN ABIÉN f(x) SE APROXIMA A L1.

c,

2cx +→

L)x(fLim =

S2. PROPIEDAD DE LOS LIMITES LATERALES: E

)x(fLim)x(fLim

cxcx +− →→=

EfLim)x(fLim)x(fLim ==

+−)x(

SO ITES LATERALES LOS SIGUIEN 1. 2xL −

→ LATERAL POR LA DER3

4x5Lim8x

−−→

2

3 1x9Lim10x

−→

8

EMAS (PROPIEDADES) DE LOS LIMITES

BJETIVOS DEL SUBTEMA:

1. IDENTIFICARA LAS FORMAS COMO SE DENOTAN LAS PROPIEDADES O TEOREMAS DE LOS LIMITES DE

CONTENIDO:

MOS QUE EXISTEN Y EL , ENTONCES

TEN E I. LIMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES:

1.1.2 TEOR OEL ESTUDIANTE:

FUNCIONES. (DC, EA)

SEAN f Y g DOS FUNCIONES Y VERIFICA )x(fLim

cx→ )x(gLim

cx→DR MOS:

[ ( ) ( )] ( ) ( )xgLimxfLimxgcxxcx →→→

+=

NCIONES:

xfLim +c

II. LIMITE DE LA DIFERENCIA DE FU( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLim

cxcxcx →→→−=−

III. LIMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES: ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLim

cxcxcx →→→•=•

IV. FUNCIONES: LIMITE DEL COCIENTE DE

( )( )

( )( ) ( ) 0xgLimsi,xgLimxg

xfLimcx

cxcx

≠=⎥⎦

⎢⎣ →

→

→

xfLim⎤⎡

==

EL LIMITE DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A LA MISMA CONSTANTE. VI. LIMITE DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN:

cx→V. LIMITE DE UNA CONSTANTE

tetanconsksikkLimcx→

SI )x(fLim EXISTE, ENTONCES: cx→

( ) ( )xfLimkxfkLimcxcx →→

•=

ES DECIR, LAS CONSTANTES QUE MULTIPLICAN A UNA FUNCIÓN “ENTRAN “ O “SALEN” DEL LIMITE, SIN QUE ESTO LO ALTERE.

VII. LIMITE DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA: ( )NncxLim nn

cx∈=

→

VIII. LIMITE DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL: ( ) ( )cpxpLim

cx=

→

IX. LIMITE PARA FUNCIONES CON RADICALES: ( ) ( ) ( ) 0xfsixfLimxfLim

cxcx≥=

→→

PARA OBTENER EL VALOR DE UN LIMITE, DEBEMOS DE SUSTITUIR EL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE

INDEPENDIENTE, EL RESULTADO QUE DEBEMOS DE OBTENER DEBE DE SER UN VALOR REAL, ES DECIR QUE NO PODEMOS ACEPTAR QUE EL RESULTADO DE UN LIMITE SEA INFINITO.

CUANDO LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE INDEPENDIENTE SEA INFINITO,

PODEMOS RECURRIR A LA FACTORIZACION PARA ROMPER LAS INDETERMINACIONES, EN CASO DE QUE NI CON LA FACTORIZACION PODAMOS ROMPER LAS INDETERMINACIONES, DIREMOS QUE EL RESULTADO DEL LIMITE NO EXISTE O QUE SU VALOR ES INFINITO.

LAS FACTORIZACIONES QUE MAS SE UTILIZAN EN LA RESOLUCIÓN DE LOS LIMITES SON LAS SIG

UIENTES:

FAC POR

UN LIMITE FACTORIZACMAYORMEN ROS TIPOS DE FACTORIZACION, ES DECIR, QUE DESPU TIENEN QUE APLICAR LOS OTROS TIPOS DE FACTORIZACAL EJERCICDESPUÉS DTRINOMIO D

TOR COMÚN MONOMIO

LO GENERAL ESTA DEBE DE SER EL PRIMER TIPO DE FACTORIZACION QUE DEBEMOS DE APLICAR EN QUE NOS HA DADO COMO RESULTADO UNA INDETERMINACIÓN (∞). A VECES CON ESTA ION SE LOGRA ROMPER LA INDETERMINACIÓN, PERO A DECIR VERDAD, ESTA FACTORIZACION

TE SOLO SIRVE PARA DEJAR AL DESCUBIERTO A LO OTSÉS DE APLICAR EL FACTOR COMÚN MONOMIO SE ION QUE SE MENCIONAN MAS ADELANTE, ASÍ QUE POR ESO LO PRIMERO QUE SE LE DEBE HACER

IO DE LIMITE ES BUSCARLE SU FACTOR COMÚN A CADA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y REVISAR SI E ESTA FACTORIZACION APARECIÓ YA SEA UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS O UN EL TIPO x2 + bx + c O ax2 + bx + c.

9

EL PROC

ICIENTES DE TODOS LOS TÉRMINOS, ES DECIR EL NUMERO MAS GRANDE QUE PUEDA

DOS LOS COEFICIENTES DE TAL MANERA QUE LOS RESULTADOS DE TODAS LAS DIVISIONES SEAN NÚMEROS ENTEROS, POR EJEMPLO: SI TUVIÉRAMOS LA EXPRESIÓN: 24x4y2 + 36x3y + 72x2

LOS NÚMEROS QUE PUEDEN DIVIDIR AL 24, AL 36 Y AL 72 DANDO COMO RESULTADOS NÚMEROS S SON EL 2, 4, 6 Y EL 12. TODOS LOS NÚMEROS A ORES SON DIVISORES COMUNES

ERO EL MÁXIMO, O MAS GRANDE DE ELLOS ES EL DOCE, ESE ES EL QUE NOS INTERESA YA QUE

HAY UE CUMPLIR ES QUE SI SE

EDIMIENTO PARA FACTORIZAR POR FACTOR COMÚN MONOMIO ES EL SIGUIENTE. EL FACTOR COMÚN ESTA FORMADO DE DOS PARTES, UNA PARTE NUMÉRICA Y UNA PARTE LITERAL, CADA UNA DE ELLAS SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE FORMA: PARTE NUMÉRICA: SE OBTIENE SACANDO EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) DE LOS COEFDIVIDIR A TO

ENTEROP

NTERI

ES EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR. ASÍ QUE LA PARTE NUMÉRICA DE SU FACTOR COMÚN ES 12. OTRA FORMA DE OBTENERLO ES CON LA FORMA CLÁSICA DE IR DIVIDIENDO LOS NÚMEROS ENTRE SUS FACTORES PRIMOS (2, 3, 5, 7, 11….ETC.) LO QUE CONOCEMOS COMO MITADES, TERCERAS, QUINTAS, SÉPTIMAS, ETC, LA ÚNICA CONDICIÓN QUE QSACA MITAD HAY QUE SACARLA A TODAS LOS NÚMEROS, SI A UNO NO SE LE PUEDE SACAR MITAD ENTONCES NO SE LE SACA MITAD A NINGUNO, PARA LOS NÚMEROS DEL EJEMPLO NOS QUEDARÍA ASÍ:

PARTE LITERAL: ESTA SE FORMA CON LAS VARIABLES DE LOS TÉRMINOS QUE APARECEN EN LA

LITERAL ES x

XPRESIÓN ES 12x . Y QUE TENER EN CUENTA QUE NO SIEMPRE LAS EXPRESIONES TENDRÁN LAS DOS PARTES,

NUMÉRICA O PARTE LITERAL E INCLUSO ALGUNAS NO ODRÁN FACTORIZAR POR FACTOR COMÚN.

DE LOS TÉRMINOS DE LA EXPRESIÓN ULTADOS DE ESTAS DIVISIONES SE

EL FACTOR COMÚN, ES OS, EN EL

MA QUE LA DE LA EXPRESIÓN INICIAL. NO DE LOS TÉRMINOS DE LA EXPRESIÓN

EXPRESIÓN ALGEBRAICA, LA CONDICIÓN QUE TENEMOS QUE CUMPLIR ES QUE LAS VARIABLES SELECCIONADAS APAREZCAN EN TODOS LOS TÉRMINOS, UNA VEZ SELECCIONADAS LAS VARIABLES QUE APARECEN EN TODOS LOS TÉRMINOS, A CADA UNA DE ELLAS SE LE ASIGNARA EL MENOR EXPONENTE CON QUE APARECE EN DICHOS TÉRMINOS. AHORA SI TOMAMOS ESTOS MISMOS TÉRMINOS 24x4y2 + 36x3y + 72x2 Y OBTENEMOS SU PARTE LITERAL, VEREMOS QUE LA ÚNICA VARIABLE QUE APARECE EN LOS 3 TÉRMINOS ES LA x, YA QUE LA y NO APARECE EN EL TERCER TERMINO. EL EXPONENTE QUE LE ASIGNAREMOS A LA x SERÁ EL DOS, YA QUE ESTE ES EL MENOR EXPONENTE CON QUE APARECE, POR LO QUE LA PARTE

2.

ASÍ QUE EL FACTOR COMÚN DE TODA LA E 2

HAHAY ALGUNAS QUE SOLO TENDRÁN PARTETENDRÁN NINGUNA, ES DECIR QUE NO SE PUNA VEZ ENCONTRADO EL FACTOR COMÚN, CADA UNOINICIAL SE DIVIDE ENTRE EL FACTOR COMÚN, LOS RESCOLOCAN EN UN PARÉNTESIS EL CUAL SE MULTIPLICARA POR IMPORTANTE TENER EN CUENTA QUE SI INICIALMENTE LA EXPRESIÓN TENIA 3 TÉRMINPARÉNTESIS DEBEN DE HABER TAMBIÉN 3 TÉRMINOS, ES DECIR, LA CANTIDAD DE TERMINES EN EL PARÉNTESIS DEBERÁ SER LA MISTERMINANDO LA FACTORIZACION SE DIVIDE CADA UINICIAL ENTRE EL FACTOR COMÚN:

6x12x72xy3

x12yx36yx2

x1222

2=

yx242

2

2

3==

EMOS EN UN PARÉNTESIS EL CUAL ESTARÁ

ACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:

NA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS PRESENTA LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS:

) ESTA COMPUESTO DE DOS TÉRMINOS

C) UNO LA FORMA EN QUE SE FACTORIZA ES LA SIGUIENTE:

OS DE ESTAS RAÍCES SE COLOCAN EN PAREJAS EN DOS PARÉNTESIS Y EN EL

PRIMER PARÉNTESIS SE SEPARAN LAS RAÍCES CON UN SIGNO POSITIVO, MIENTRAS QUE EN EL SEGUNDO PARÉNTESIS LAS RAÍCES SE SEPARARAN CON UN SIGNO NEGATIVO. LAS RAÍCES DEL

24

LOS RESULTADOS DE LAS DIVISIONES LOS COLOCARMULTIPLICADO POR EL FACTOR COMÚN. EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: 24x4y2 + 36x3y + 72x2 = 12x2 (2x2y2 + 3xy + 6)

F U AB) AMBOS TÉRMINOS TIENEN RAÍCES CUADRADAS EXACTAS

DE ESTOS TÉRMINOS ES NEGATIVO

SE LE SACAN RAÍCES CUADRADAS A LOS TÉRMINOS LOS RESULTAD

10

TERMINO QUE ERA NEGATIVO EN LA DIFERENCIA DE CUADRADOS SON LAS QUE QUEDAN CON SIGNOS CONTRARIOS EN LOS PARÉNTESIS.

2

SACANDO AÍCES CUADRADAS DE LOS DOS TÉRMINOS DEL BINOMIO:

EJEMPLOS: 1.- x – 16 =

LAS R

xx2 = Y 416 =

COLOCANDO LAS RAÍCES EN LOS PARÉNTESIS, LA RAÍZ QUE QUEDARA CON DIFERENTE SIGNO EN LOS PARÉNTE

SIS SERÁ EL 4 YA QUE EL 16 ERA EL TERMINO NEGATIVO EN LA DIFERENCIA DE CUADRADOS:

A O DE LA FACTORIZACION ES: – 16 = )

.- 4x – 9y =

( ) ( )4x4x −+ EL RESULT D

2 ( ) ( 4x4x −+ x

2 42

SACANDO LAS RAÍCES CUADRADAS DE LOS DOS TÉRMINOS DEL BINOMIO:

x2x4 2 = Y 24 y3y9 =

−⎠

2y3

DO DE LA FACTORIZACION ES:

+ 22 y3x2y3

TRINOMI

UN PAR DE NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS DEN EL VALOR DE c Y QUE AL MISMO

EJEMPLO 1.- x2 + 5

ÉNTESIS Y ASIGNAMOS EL SIGNO DE LOS PARÉNTESIS. DE INOMIO EL SIGNO DE L SEGUNDO TERMINO ES POSITIVO, POR LO QUE EN EL

PRIMER PARÉNTESIS DESPUÉS DE LA x COLOCAREMOS UN SIGNO POSITIVO. EL SIGNO QUE TENDRÁ EL SEGUNDO PARÉNTESIS SERÁ TAMBIÉN POSITIVO YA QUE EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO COMO DIJIMOS ANTES ES POSITIVO Y EL SIGNO DEL TERCER TERMINO ES TAMBIÉN POSITIVO, ASÍ QUE SI MULTIPLICAMOS ESTOS SIGNOS, COMO TENEMOS SIGNOS IGUALES EL

RESULTANTE ES POSITIVO, ESTO QUEDARÍA ASÍ: x + )

EL Rx2 + 5x +

TESIS, LA RAÍZ QUE QUEDARA CON DIFERENTE SIGNO EN LOS PARÉNTESIS SERÁ EL 4 YA QUE EL 16 ERA EL TERMINO NEGATIVO EN LA DIFERENCIA DE CUADRADOS:

⎛⎟⎞⎜⎛ + 2 x2y3x2

COLOCANDO LAS RAÍCES EN LOS PARÉN

⎟⎠⎞⎜

⎝⎝L RESULTAE

4x2 – 9y4 = ⎜⎝⎛ x2 ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟

⎠⎞

O DE LA FORMA x2 + bx + c.

SE ESCRIBEN DOS PARÉNTESIS, EN CADA UNO DE ELLOS SE COLOCA UNA x, EN EL PRIMER PARÉNTESIS SE COLOCA EL SIGNO QUE TENGA EL SEGUNDO TERMINO (bx) MIENTRAS QUE EN EL SEGUNDO PARÉNTESIS SE COLOCA EL SIGNO QUE RESULTA DE LA MULTIPLICACIÓN DE LOS SIGNOS DE L SEGUNDO Y EL TERCER TERMINO. SE BUSCANTIEMPO SUMADOS O RESTADOS DEN b ESTOS DOS NÚMEROS SE COLOCARAN EN LOS PARÉNTESIS DONDE YA TENEMOS LAS x Y LOS SIGNOS, PROCURANDO QUE EL NUMERO MAS GRANDE SE COLOQUE SIEMPRE EN EL PRIMER PARÉNTESIS

S:

x + 6

COLOCAMOS LAS x EN DOS PARACUERDO AL TR

SIGNO(x + ) (

BUSCAMOS AHORA LOS NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EL TERCER TERMINO (TERMINO INDEPENDIENTE, c) Y EN ESTE CASO, COMO LOS SIGNOS DE LOS PARÉNTESIS NOS QUEDARON IGUALES, ESTOS MISMOS NÚMEROS NOS DEBEN DE DAR SUMADOS EL COEFICIENTE DEL SEGUNDO TERMINO (TERMINO LINEAL, b). ESTOS NÚMEROS SON EL 3 Y EL 2. (3) (2) = 6 y 3 + 2 = 5 COLOCAMOS LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN LAS CONDICIONES EN LOS PARÉNTESIS, EL 3 POR SER EL MAYOR SE COLOCARA EN EL PRIMER PARÉNTESIS:

(x + 3) (x + 2)

ESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: 6 = (x + 3) (x + 2)

11

2.- x2 – 2

ÉNTESIS Y ASIGNAMOS EL SIGNO DE LOS PARÉNTESIS. DE NOMIO EL SIGNO DE L SEGUNDO TERMINO ES NEGATIVO, POR LO QUE EN EL

PRIMER PARÉNTESIS DESPUÉS DE LA x COLOCAREMOS UN SIGNO NEGATIVO. EL SIGNO QUE RÁ EL SEGUNDO PARÉNTESIS SERÁ POSITIVO YA QUE EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO DIJIMOS ANTES ES NEGATIVO Y EL SIGNO DEL TERCER TERMINO ES TAMBIÉN NEGATIVO,

EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: x2 – 2.- x2 – 2

ÉNTESIS Y ASIGNAMOS EL SIGNO DE LOS PARÉNTESIS. DE NOMIO EL SIGNO DE L SEGUNDO TERMINO ES NEGATIVO, POR LO QUE EN EL

PRIMER PARÉNTESIS DESPUÉS DE LA x COLOCAREMOS UN SIGNO NEGATIVO. EL SIGNO QUE NTESIS SERÁ POSITIVO YA QUE EL SIGNO DEL SEGUNDO TERMINO

ATIVO Y EL SIGNO DEL TERCER TERMINO ES TAMBIÉN NEGATIVO, S SIGNOS IGUALES EL SIGNO

DO DE LA FACTORIZACION ES: = (x – 6) (x + 4)

A FORMA ax2 + bx + c

CAN POR PAREJAS UN FACTOR DEL PRIMER TERMINO POR UN FACTOR DEL TERCER

TERMINO LOS RESULTADOS DE LAS MULTIPLICAC MAD RESTADOS DEBEN DE DARNOS EL

SEGUNDO TERMINO ( bx ) DEL TRINOMIO, TENEMOS EL TERMINO LINEAL, ENTONCES HAY

TERMINO, LOS FACTORES SE AGRUPAN EN DOS PARÉNTESIS, R EN PARÉNTESIS DIFERENTES LOS FACTORES QUE SE

RON ENTRE SI PARA OBTENER EL SEGUNDO TERMINO EJEMPLO: 1.- 2x2 + 5x + 2

R DE CANTIDADES O PRIMER Y EL TERCER TERMINO).

2x

x – 24

COLOCAMOS LAS x EN DOS PARACUERDO AL TRI

TENDCOMOASÍ QUE SI MULTIPLICAMOS ESTOS SIGNOS, COMO TENEMOS SIGNOS IGUALES EL SIGNO RESULTANTE ES POSITIVO, ESTO QUEDARÍA ASÍ: (x – ) (x + ) BUSCAMOS AHORA LOS NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EL TERCER TERMINO (TERMINO INDEPENDIENTE, c) Y EN ESTE CASO, COMO LOS SIGNOS DE LOS PARÉNTESIS NOS QUEDARON DIFERENTES, ESTOS MISMOS NÚMEROS NOS DEBEN DE DAR RESTADOS EL COEFICIENTE DEL SEGUNDO TERMINO (TERMINO LINEAL, b). ESTOS NÚMEROS SON EL 6 Y EL 4.

y 6 – 4 = 2 (6) (4) = 24 COLOCAMOS LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN LAS CONDICIONES EN LOS PARÉNTESIS, EL 6 POR

SER EL MAYOR SE COLOCARA EN EL PRIMER PARÉNTESIS: (x – 6) (x + 4)

2x – 24 = (x – 6) (x + 4)

x – 24

COLOCAMOS LAS x EN DOS PARACUERDO AL TRI

TENDRÁ EL SEGUNDO PARÉCOMO DIJIMOS ANTES ES NEGASÍ QUE SI MULTIPLICAMOS ESTOS SIGNOS, COMO TENEMORESULTANTE ES POSITIVO, ESTO QUEDARÍA ASÍ: (x – ) (x + )

BUSCAMOS AHORA LOS NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EL TERCER TERMINO (TERMINO INDEPENDIENTE, c) Y EN ESTE CASO, COMO LOS SIGNOS DE LOS PARÉNTESIS NOS QUEDARON DIFERENTES, ESTOS MISMOS NÚMEROS NOS DEBEN DE DAR RESTADOS EL COEFICIENTE DEL SEGUNDO TERMINO (TERMINO LINEAL, b). ESTOS NÚMEROS SON EL 6 Y EL 4. (6) (4) = 24 y 6 – 4 = 2

COLOCAMOS LOS NÚMEROS QUE CUMPLEN LAS CONDICIONES EN LOS PARÉNTESIS, EL 6 POR SER EL MAYOR SE COLOCARA EN EL PRIMER PARÉNTESIS: (x – 6) (x + 4)

EL RESULTA2x – 2x – 24

RINOMIO DE LT

SE FACTORIZA EL PRIMER Y TERCER TERMINO (ax2 Y c ) SE MULTIPLI

IONES SU OS OO B SI N O

QUE CAMBIAR DE ORDEN LOS FACTORES O LOS SIGNOS, SI NI ASÍ LO OBTENEMOS HAY QUE PROBAR CON FACTORIZAR AL PRIMERO Y TERCER TERMINO CON OTRAS CANTIDADES

TES. DIFEREN UNA VEZ OBTENIDO EL SEGUNDO

LO QUE DEBEN DE QUEDASOMULTIPLICA

FACTORIZANDO EL PRIMER Y TERCER TERMINO (SE BUSCAN UN PANÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN EN CADA CASO EL

2 22x 2 x 1

12

El 2x2 SE FACTORIZA EN 2x Y x YA QUE (2x) (x) = 2x2, MIENTRAS QUE EL 2 SE DESCOMPONE O FACTORIZA EN 2 Y 1 YA QUE (2) (1) = 2

=

S LOS FACTORES EN FORMA LINEAL (2x) (2) = 4x y (x) (1) = x

NES

MULTIPLICANDO LOS FACTORES

x42PORx22x2 2

= x1PORx

ULTIPLICAMOM

LTADO DE LAS MULTIPLICACIO SUMANDO EL RESU

x5x1PORx =

x42PORx22x2 2

=

SUMAMOS EL RESULTADO DE LA MULTI x = 5x. EN ESTA OCASIÓN SI TENEMOS COMO RESULTADO DE TODO EL PROCESO EL VALOR ERMINO LINEAL bx (5x) DEL TRINOMIO

ACTOR DEL 2, EN ESTE CASO EL 1, DE IGUAL MANERA N EL FACTOR 1, ENTONCES SE DEBE AGRUPAR CON EL

FACTOR 2, POR LO QUE LA AGRUPACIÓN DE LOS FACTORES EN S PARÉNTESIS NOS QUEDA:

(2x + 1) (x + 2)

EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES: 2x2 + 5x + 2 = (2x + 1) (x + 2) 1.- 6x2 –

FACTORIZANDO EL PRIMER Y TERCER TERMINO (SE BUSCAN UN PAR DE CANTIDADES O NÚMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DEN E CADA CASO EL PRIMER Y EL TERCER TERMINO).

PLICACIONES 4x + DEL T

QUE QUEREMOS FACTORIZAR, POR LO QUE YA ESTAMOS LISTOS PARA EL ULTIMO PASO QUE ES EL DE FORMAR LOS PARÉNTESIS.

AGRUPANDO LOS FACTORES EN PARÉNTESIS EN PARÉNTESIS. COMO EL FACTOR 2x SE MULTIPLICO CON EL FACTOR 2 PARA HALLAR EL COEFICIENTE DEL TERMINO LINEAL, ENTONCES DEBE DE AGRUPARSE CON EL OTRO F

MO EL FACTOR x SE MULTIPLICO COCOOTRO FACTOR, EN ESTE CASO ELLO

x – 12

N

6x2 –123x 3 2x 4

El 6x2 SE FACTORIZA EN 3x Y 2x YA QUE (3x) (2x) = 6x2, MIENTRAS QUE EL –12 SE DESCOMPONE O FACTORIZA EN 3 Y 4 YA QUE (3) (4) = 12, ES IMPORTANTE TENER EN CUENTA QUE COMO NUESTRO TERCER TERMINO ES –12 UNO DE LOS FACTORES EN QUE SE DESCOMPONGA DEBERÁ DE SER NEGATIVO PARA QUE PODAMOS OBTENER EL –12, PERO DE ESE SIGNO NOS OCUPAREMOS MAS ADELANTE, CUANDO HAGAMOS LAS MULTIPLICACIONES YA VEREMOS QUIEN NOS CONVENDRÁ QUE SEA NEGATIVO YA SEA EL 3 O EL 4.

NDO LOS FACTORES

CIONES

MULTIPLICA

x84PORx2x93PORx3

12x6 2

=−=−

−

MULTIPLICAMOS LOS FACTORES EN FORMA LINEAL (2x) (2) = 4x y (x) (1) = x

SUMANDO EL RESULTADO DE LAS MULTIPLICA

12x6 2 −

xSUMAMOS EL RESULTADO DE LA MULTIPLICACIONES

x84PORx2x93PORx3

−=−=−

–9x +8x = –x. EN ESTA OCASIÓN SI TENEMOS COMO RESULTADO DE TODO EL PROCESO EL VALOR DEL TERMINO LINEAL bx (– x) DEL TRINOMIO

13

QUE QUEREMOS FACTORIZAR, POR LO QUE YA ESTAMOS LISTOS PARA EL ULTIMO PASO QUE ES EL DE FORMAR LOS PARÉNTESIS.

AGRUPANDO LOS FACTORES EN PARÉNTESIS EN PARÉNTESIS. COMO EL FACTOR 3x SE

AR EL COEFICIENTE DEL TERMINO LINEAL, ENTONCES DEBE DE AGRUPARSE CON EL OTRO FACTOR DEL –MULTIPLICO CON EL FACTOR –3 PARA HALL

12, EN ESTE CASO EL 4, DE IGUAL MANERA CON EL FACTOR 4, ENTONCES SE DEBE AGRUPAR CON EL

OTRO FACTOR, EN ESTE CASO EL FACTOR –3, POR LO QUE LA AGRUPACIÓN DE LOS FACTORES EN LOS PARÉNTESIS NOS QUEDA: (3x + 4) (2x – 3)

EL RESULTADO DE LA FACTORIZACION ES:

2

TRIGONOMETRICAS Y EXPONENCIALES. OB S DEL SUBTEMA: EL ESTUDIANTE:

RESOLVERÁ EJERCICIOS DE LIMITES DE FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES, TRIGONOMETRICAS Y EXPONENCIALES (FACTORIZACIONES: SOLO DE FACTOR COMÚN MONOMIO,

ITES. (PO, EC) S DE LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, LOGARÍTMICAS Y )

PLICACIÓN DE LOS TEOREMAS DE LIMITES.

ENCIÓN ESPECIAL AL TEOREMA V.

SOLVER L S SIGUIENTES LIMITES:

−→

6.

2.

3.

EJERCICIOS RESUELTOS:

COMO EL FACTOR 2x SE MULTIPLICO

6x – x – 12 = (3x + 4) (2x – 3)

1.1.3. RESOLUCIÓN DE LIMITES DE FUNCIONES: POLINOMIALES, RACIONALES,

JETIVO

1.

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS Y TRINOMIOS DE LA FORMA ( cbxx 2 ++ Y cbxax 2 ++ ). (PO, EA)

2. RESOLVERÁ EJERCICIOS DE OPERACIONES CON LIM3. RESOLVERÁ EJERCICIO

EXPONENCIALES. (PO, ECA HAREMOS UNA M RE O

4. 4x3Lim

→=

5. 10Lim = 7x

cx2500Lim→

=

EN TODOS LOS CASOS ESTAMOS CALCULANDO EL LÍMITE DE UNA CONSTANTE, DE ACUERDO AL TEOREMA

V, EL LIMITE DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A LA MISMA CONSTANTE, ASÍ QUE LOS RESULTADOS DE LOS LIMITES SON LOS SIGUIENTES:

1. 3

4x3Lim

→=

107x

10Lim−→

=

2500cx

2500Lim→

=

ASÍ QUE DE MANERA GENERAL PODEMOS DECIR QUE CUALQUIER CANTIDAD QUE NO TENGA VARIABLE

(CONSTANTE) NO SERÁ AFECTADA POR EL VALOR AL QUE TIENDE LA VARIABLE (x) Y CUANDO SE LE CALCULE SU LIMITE EL RESULTADO SERÁ EL VALOR DE LA CONSTANTE.

HORA SI TRABAJAREMOS CON LIMITES EN LOS CUALES NO ES NECESARIO APLICAR LAS FACTORIZACIONES.

x5Lim

N ESTE CASO PARA HALLAR EL VALOR DEL LIMITE LO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR LA VARIABLE (x) POR EL VALOR AL QUE ESTA TENDIENDO, ES DECIR SOLO SUSTITUIMOS LA x POR 2 Y

ALIZAMOS LA MULTIPLICACIÓN CON LO CUAL OBTENEMOS EL VALOR DEL LIMITE.

x5Lim25x52x2

A

1.

→2x =

E

R

E

( ) 1010 =⇒==→→

Limx

14

2.

STE LIMITE ES MUY PARECIDO AL ANTERIOR LA DIFERENCIA ES QUE TENEMOS DOS TÉRMINOS Y UNO DE ELLO CONSTANTE (3) LA CUAL COMO DIJIMOS AL PRINCIPIO NO SERÁ AFECTADA POR EL VALOR AL QU IENDE LA VARIABLE, ASÍ QUE PARA RESOLVER EL LIMITE LO QUE HAY QUE HACER ES SUSTITUIR LA VAR

( ) =+→

3x2Lim5x

ES ES UNA

E TIABLE (x) POR 5, REALIZAR LA MULTIPLICACIÓN Y DESPUÉS SUMARLE 3, CON LO CUAL YA TENDREMOS EL

RESULTADO DEL LIMITE.

( ) ( ) ( ) 1313 =+⇒=+=+=+→→

3x2Lim3103523x2Lim5x5x

( )=+−

→1x4xLim 2

2x 3.

DESPUÉS DE RESOLVER LOS DOS PRIMEROS EJERCICIOS, DEBEMOS DE DARNOS CUENTA QUE PARA RESOLVER EL LIMITE, LO ÚNICO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR LAS VARIABLES INDEPENDIENTES (VARIABLE QUE TIENDE A UN NUMERO) QUE APARECEN EN LA FUNCIÓN POR EL NUMERO AL QUE TIENDEN, SOLO LAS CONSTANTES NO SERÁN AFECTADAS POR EL VALOR DE ESTA VARIABLE.

( ) ( ) ( ) ( ) 33 −=+−⇒−=+−=+−=+−→→

1x4xLim18412421x4xLim 22x

222x

=+−

→ 2x2xLim

3x 4.

SE SUSTITUYEN LAS “x” POR 3 Y SE HACEN LAS OPERACIONES INDICADAS.

511

=−

⇒=−

=− 2xLim232xLim

5 +++ →→ 2x232x 3x3

.

x

4x 2 −54x

Lim22x +→

E SUSTITUYEN LAS “x” POR 2 Y SE HACEN LAS OPERACIONES INDICADAS. S

( )( )

00 =+

−⇒==

+−

=+

−=

+

−→→ 4x

4xLim80

4444

42

42

4x4xLim

2

2

2x2

2

2

2

2

x

6. ( )taatLim 22

4t+

→

SUSTITUYEN LAS “t” POR 4, YA QUE LA VARIABLE INDEPENDIENTE ES LA t, YA QUE ES LA QUE TIENDE A 4 Y SE HACEN LAS OPERACIONES INDICADAS.

( )

SE

( ) ( ) ( ) ( )2 164a16a =−⇒−=−=−=− taatLima416a4a4ataatLim 2222222 24aa −→→ 4t4

t

27. 4x

x25Lim −→

SE SUSTITUYEN LAS “x” POR 4, EL 4 SE ELEVA AL CUADRADO, AL RESULTADO SE LE RESTA AL 25 Y A LO QUE QUEDE SE LA SACARA RAÍZ CUADRADA.

( ) 33 =−⇒==−=−=−→→

24t

224t

x25Lim91625425x25Lim

EN ALGUNAS OCASIONES (LOS MAS FRECUENTES EN EXAMEN) AL REEMPLAZAR A x POR UN NUMERO

DETERMINADO a, LA FUNCIÓN f(x) ADOPTA ALGUNAS VECES LAS FORMAS 00

O DE ∞∞

; EXPRESIONES QUE

CO O NO REPRESENTAN NINGÚN VALOR DETERMINADO SE LE LLAMA A CADA UNA INDETERMINADA.

UNOS CASOS CON LA SUSTITUCIÓN DIRECTA SE OBTIENE COMO RESULTADO

M

EN ALG 00

, QUE ES UNA

IND C

S TENDREMOS EJERCICIOS EN DONDE SE APLICARAN FACTORIZACIONES PAR

ETERMINACIÓN; PARA EVITARLA Y SEGÚN PROCEDA, PODEMOS FACTORIZAR, RA IONALIZAR EL NUMERADOR Y EL DENOMINADOR, O SUSTITUIR LA RELACIÓN TRIGONOMETRICA POR OTRA EQUIVALENTE.

N LOS SIGUIENTES EJEMPLOE

A HALLAR EL RESULTADO.

15

8. 3x9xLim

2

3x −−

→

SI HACEMOS LA SUSTITUCIÓN DIRECTA DE x POR 3, VEREMOS UE EL RESULTADO DEL LIMITE SERÁ Q

∞ , PERO=00

NO PODEMOS DECIR QUE EL RESULTADO DE UN LIMITE ES INFINITO, POR LO QUE ESTOS

RESULTADOS SERÁN EL INDICADOR DE QUE TENEMOS QUE FACTORIZAR LAS EXPRESIONES DEL LIMITE PARA ROMPER LA INDETERMINACIÓN Y OBTENER COMO RESULTADO UN NUMERO REAL, ENTONCES POR LO PRONTO LA SUSTITUCIÓN DE LAS x POR 3 NOS QUEDA DE LA SIGUIENTE FORMA:

( )

∞==−

=−

=−−

→ 00

099

339

3x9xLim

2

3x

−3 2

OMO DIJIMOS VAMOS A TENER QUE RECURRIR A LA FACTORIZACION PARA VER SI ROMPEMOS LA ENTA QUE EN EL NUMERADOR TENEMOS UNA

RIZAR EN PAGINA 4) EL CUAL PODEMOS S QUE SON IGUALES Y QUE SE

SOLVEMOS EL LIMITE, ES DECIR SE CAMBIAN LAS x PO N LO QUE CON ESO YA TENDREMOS EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCEDIMIENTO ES EL SIG

9.

CINDETERMINACIÓN, SI VEMOS EL LIMITE NOS DAREMOS CUDIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS (FORMA DE FACTOFACTORIZAR. UNA VEZ FACTORIZADO SE ELIMINAN LOS PARÉNTESIENCUENTRAN ARRIBA Y ABAJO Y CON LO QUE QUEDA RE

R 3, COUIENTE:

3x4x2x3xLim

2

2

1x ++

++−→

I HACEMOS LA SUSTITUCIÓN DE LAS x POR –1, TENDREMOS QUE EL RESULTADO SERÁ S ∞=0

S CONCENTRAREMOS EN LA FACTORIZACION Y NO PONDRE S EL PROCEDIMIENTO DE SUSTITUIR DIRECTAMENTE LAS x POR –1.

EN AMBOS CASOS, TANTO EN EL NUMERADOR COMO EN EL DENOMINADOR TENEMOS TRINOMIOS DE LA

2

0, ASÍ QUE

NO MO

FORMA ++ (FORMA EN QUE SE FACTORIZA EN LA PAGINA 5), ASÍ QUE HACEMOS LA FACTORIZACION DE AMBOS TRI

cbxxNOMIOS, SE ELIMINAN LAS EXPRESIONES QUE SIENDO IGUALES SE ENCUENTRAN TANTO EN EL

NUMERADOR COMO EN EL DENOMINADOR, CON LAS EXPRESIONES QUE NOS QUEDEN RESOLVEREMOS EL LIMITE, ES DECIR SUSTITUIREMOS LAS x POR –1, CON LO CUAL HALLAREMOS EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCEDIMIENTO ES EL SIGUIENTE:

10. 25x5xLim

25x −

−→

EN ESTE LIMITE EN EL DENOMINADOR TENEMOS UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS,

FACTORIZÁNDOLA PODREMOS ELIMINAR EL FACTOR (x – 5), SOLO QUE EL FACTOR (x + 5) QUE SOBRA SE ENCUENTRA EN EL DENOMINADOR, ASÍ QUE DESPUÉS DE LA ELIMINAC N DE FACTORES IGUALES LO QUE

NO

IÓ

S QUEDA ES 5x

1 EL UNO LO TENEMOS QUE PONER YA QUE EN LA PAR

+TE DE ARRIBA NO SOBRO NINGÚN

FACTOR, RESOLVEMOS EL LIMITE CON ESTA EXPRESIÓN SUSTITUYENDO LA x POR 5, EL PROCESO QUE SE SIGUE PARA RESOLVER ESTE LIMITE ES EL SIGUIENTE:

11. 24

2

4x x64x4x40x10Lim

−

−→

PARA EMPEZAR LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE, OBSERVAMOS QUE TODOS LOS TÉRMINOS DE AMB0S POLINOMIOS (TANTO EL DE ARRIBA COMO EL DE ABAJO) TIENEN LA VARIABLE x, ASÍ QUE SE LES PUEDE

( ) ( ) ( ) 6=+=+=−

−+=

−−

→→333xLim

3x3x3x

3x9xLim

3x

2

3x

( ) ( )( ) ( )

( )( ) 2

1=

+−+−

=++

=+

++=

++

++−→−→ 31

213x2x

Lim1x3x1x2x

3x4x2x3xLim

1x2

2

1x +

( )( ) ( ) 10

1=

+=

+=

+−−

=−

−→ 55

15x

1Lim5x5x

5x255x

5x25→ xxLim

16

FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN, EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ARRIBA ES 10x, MIENTRAS QUE EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ABAJO ES 4x2, POR LO QUE LA FACTORIZACION POR TERMINO COMÚN HACE QUE EL LIMITE QUEDE DE LA SIGUIENTE FORMA:

( )( )16xx4

4xx10Lim

x64x4x40x10Lim

224x244x

−=

−→→

AHORA PODEMO

2

−−

S SIMPLIFICAR LA DIVISIÓN 2x4

x10 LA CUAL NOS DA x2

5, AL 10 Y AL 4 SE LE SACARON

MITADES Y LAS x SE DIVIDIERON, COMO LA DE MAYOR EXPONENTE ESTA ABAJO POR ESO ES QUE LA x SE QU A EN LA PARTE DE ABAJO, SOLO SE RESTAN SUS EXPONENTES. DESPUÉS DE ESTO EL LIMITE TE QUEDA DE

ED LA SIGUIENTE FORMA:

( )( )

( )( )16xx216xx44 −−→

AHORA REVISANDO LOS PARÉNTESIS VEREMOS QUE EN EL PARÉNTESIS DE LA PARTE DE ABAJO TENEMOS UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS LA CUAL PODEMOS FACTORIZAR, HACIENDO ESTA FACTO

4x54xx10Lim

222−

=−

x

RIZACION EL LIMITE NOS QUEDA:

( )( )

( )( ) ( )4x4xx2

4x54x52 −+

−=

−

16xx −AHORA PODEMOS ELIMINAR LOS FACTORES (x – 4) Y CON LO QUE NOS QUEDA RESOLVEMOS EL LIMITE

SUSTITUYENDO LAS x POR 4 Y HACIENDO LAS OPERACIONES INDICADAS. LA ULTIMA PARTE DEL PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN DEL LIMITE ES:

EL PROCEDIMIENTO COMPLETO DE LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE ES:

.

2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 64

5==

+=

+=

−+−

→ 885

44425

4xx25Lim

4x4xx24x5

4x

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 64

5==

+=

+=

−+−

=−

−=

−

−=

→→→ 885

44425

4xx25Lim

4x4xx24x5

16xx2

4x5

16xx4

4xx10Lim

x64x4x40x10Lim

4x2224x24

2

4x

−

−

x24x4x4x18x30x12Lim

23

234

3x −−

−−→

12

PARA EMPEZAR LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE, OBSERVAMOS QUE TODOS LOS TÉRMINOS DE AMB0S

PO MIOS (TANTO EL DE ARRIBA COMO EL DE ABAJO) TIENEN LA VARIABLE x, ASÍ QUE SE LES PUEDE FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN, EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ARRIBA ES 6x2, MIENTRAS QUE EL TERMINO COMÚN DEL POLINOMIO DE ABAJO ES 4x, POR LO QUE LA FACTORIZACION POR TERMINO COMÚN HACE QUE EL LIMITE QUEDE DE LA SIGUIENTE FORMA:

LINO

( )( )6xxx4

3x5x2x6

x24x4x4x18x30x12L

xim

2

22

23

234

3 −−

−−=

−−

−−→

HORA PODEMOS SIMPLIFICAR LA DIVISIÓN

x4x6 2

LA CUAL NOS DA 2x3

A , AL 6 Y AL 4 SE LE SACARON

MITADES Y LAS x SE DIVIDIERON, COMO LA DE MAYOR EXPONENTE ESTA ARRIBA POR ESO ES QUE LA x SE QU A EN LA PARTE DE ARRIBA, SOLO SE RESTAN SUS EXPONENTES. DESPUÉS DE ESTO EL LIMITE TE QUEDA DE LA SIGUIENTE FORMA:

ED

( )( )

( )( )6xx2

3x5x2x3

6xxx4

3x5x2x6Lxim

2

2

2

22

3 −−

−−=

−−

−−→

HORA REVISANDO LOS PARÉNTESIS VEREMOS QUE EN EL PARÉNTESIS DE LA PARTE DE ARRIBA TENEMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA Y EN LA DE ABAJO TENEMOS UN TRINOMIO DE LA FORMA

LOS CUALES PODEMOS FACTORIZAR, HACIENDO ESTAS FACTORIZACIONES EL LIMITE NOS QU A:

A

cbxax2 ++

cbxx 2 ++ED

17

( )( )

( ) (( ) ( )

)2x3x23x1x2x3

6xx2

3x5x2x32

2

+−−+

=−−

−−

HORA PODEMOS ELIMINAR LOS FACTORES (x – 3) Y CON LO QUE NOS QUEDA RESOLVEMOS EL LIMITE SUSTITUYENDO LAS x POR 3 Y HACIENDO LAS OPERACIONES INDICADAS. LA ULTIMA PARTE DEL PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN DEL LIMITE ES:

L PROCEDIMIENTO COMPLETO DE LA RESOLUCIÓN DE ESTE LIMITE ES:

A

E

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1063

==+

=+

+10

7952

169232

13233

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )[ ]( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1063

==+

=+

+=

++

=+−−+

→ 1079

52169

23213233

2x21x2x3Lim

2x3x23x1x2x

3x

3

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) =

++

=+−−+

=−−

−−=

−−

−−=

−−

−−→→ 2x2

1x2x3Lim2x3x23x1x2x3

6xx23x5x2x3

6xxx43x5x2x6

x24x4x4x18x30x12

3x2

2

2

22

23

234

3Limx

18

EJERCICIOS PROPUESTOS: I. RESUELVE LOS SIGUIENTES LIMITES (NO ES NECESARIO FACTORIZAR): 1. ( )=+−

→5x2x3Lim 2

0x

2. ( )=−+ 20x2x5Lim 23 →2x

3. ( )=−+−−→

9x5x2x2Lim 341x

4. ( ) =−−→10x

5.

21

2 5x2xLim

=++→

4xx4Lim 20x

6. =++→

x4x3x2Lim 231x

. 7 =−+→0x

8.

3 2 8x3xLim

=+−→

315x

3x2Lim

9. =−→ 1xxLim

0x

10. =−+

→ 1x21xLim

2x

11. =−−

−→ 4x2x3Lim

1x

12. =−→ 1x4

Lim1x

13. =−→ 1xx7Lim

2x

14. =+−→ x24

x2Lim

+ 4x5

5x

15. =−→ 1x0x

xLim

16. =−→ x2106x

17.

− 5xLim

=−−

→ 1x2x3Lim

2x

18. =− x310Lim −→ x53x

19. =−

+→ 36x x14

1x4Lim

20. =+++

−→ 5x24x2xLim

2

1x

21. ( )=

−++ 2x2x2 2

−→ x31Lim

3x

22. =+

++→ 3x

6xx7Lim2

0x

23. =−+

++−→ 2xx4

9x2x3Lim2

2

1x

24. =−+

+−→ 1x5x3

5x2x2Lim2

2

2x

25. =−+

−→ x3x3x4Lim

2

2x

26. =−→ 2x2 23x

27.

−− 4x9x7Lim2

=−−−→ 3x2x9

1Lim2

34x

28. =−

→

x5Lim20x

−+ 6x2x4

2

29. =−→ x2

1Lim

43x

30. =+−→ 4x2x3

1Lim2

21x

1.

II. RESUELVE LOS SIGUIENTES LIMITES (EN ALGUNOS CASOS ES NECESARIO FACTORIZAR):

=−+

→ 1x1x3Lim

0x

2. =+−→ 4x

Lim1x

− 2x

3. =−→ 1x4

4Lim1x

+x5

4. =−+ 4xLim

−→ x213x

5. =−−

→ 4xx210Lim

5x

6. =++

−→ 9x43x2Lim

2x

7. ( )1x

Lim1x −→

1xx −

8. =−

−

→ x2x32x3Lim

232x

9. ( )1x

1x2Lim

2

1x −−

→

10. =+

−−→ x5x

25xLim2

2

5x

11.( )

( )22x 2x

Lim−−→

23x +

12. ( )

=+

++−→ 2

2

3x 2x

25x10xLim 22.

13. ( )16x8x

1xLim

2

2

1x ++

+−→

14. =−

−− 10x3x 2

→ 25xLim

25x

15. =−

−+→ 1x

2xxLim2

2

1x

16. =++

+−→ 12x4x

2x3xLim2

2

3x

17. =−+

++−→ 10x3x

15x8xLim2

2

5x

18. =−−

−−→ 8x7x

32x4xLim2

2

8x

19. =−+

−−→ 15x2x

3x2xLim2

2

3x

20. =−−

+−→ 8x2x

4x5xLim2

2

4x

21. =−−

+−→ 18x3x

6x7xLim2

2

6x

=−+

−+→ 8x10x3

10x13x3Lim2

2

2x

23. =−+

−+→ 3x5x2

2x3x2Lim2

2

1x

24. =−+

−+

→ 6x7x515x22x5Lim

2

2

53x

25. =−+

−+→ 2xx3

6x7x3Lim2

2

2x

26. ( ) ( ) =−+−−

−→ 2x6x512x4x5Lim

2

56x

27. =++

++−→ 8x10x3

12x13x3Lim2

2

4x

28. =−−→ 10xx2

Lim25x

−+ 20x3x2 2

2

29. =−−

++

−→ 3x10x81x6x8Lim

2

2

41x

19

30. =+−

−+

−→ 5x11x610x7x6Lim

2

2

21x

TEOREMAS DE LIMITES DE OPERACIONES CON FUNCIONES (NO SE INCLUYE EN EL

EXAMEN DEPARTAMENTAL).

N LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SE HARÁN USO DE LOS PRIMEROS 4 TEOREMAS SOBRE LOS LIMITES, ESTOS TEOREMAS SE UTILIZAN PARA CUANDO SE COMBINAN 2 O MAS FUNCIONES LAS CUALES VAN A REALIZAR LAS ENTRE ELLAS LAS 4 OPERACIONES FUNDAMENTALES.

STOS TEOREMAS NOS DICEN QUE CUANDO SE BUSCA CALCULAR EL LIMITE DE OPERACIONES CON FUNCIONES, PRIMERO DEBEMOS DE CALCULAR EL LIMITE DE CADA FUNCIÓN Y DESPUÉS CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS REALIZAR LAS OPERACIONES QUE SE INDICABAN, ES DECIR, LOS RESULTADOS DE LOS LIMITES SE SUMARAN, RESTARAN, MULTIPLICARAN O DIVIDIRÁN SEGÚN SEA EL CASO.

JERCICIOS RESUELTOS:

E

E

E

. SEA f(x) = 3x2 – 2x + 1, g(x)= x2 – 4 y h(x) = 4x – 3, HALLAR 1 { })x(h)x(g)x(fLim

2x−+

→

EN EL CASO DE SUMAS Y RESTAS SE PUEDEN SUMAR O RESTAR DIRECTAMENTE LAS FUNCIONES YA QUE

EL PROCESO DE REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES NO ES MUY TARDADO, PERO EN EL CASO DE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN, ESTOS PROCESOS SI SON ALGO TARDADOS DE HACER, ASÍ QUE VAMOS A HACER EL EJERCICIO COMO LO SUGIEREN LOS TEOREMAS, ES DECIR VAMOS A HALLAR EL LIMITE DE CADA FUNCIÓN Y AL FINAL HAREMOS CON ESTOS RESULTADOS LAS OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS QUE SE NOS INDICAN PARA CADA FUNCIÓN.

ALCULAMOS PRIMERO EL LIMITE DE f(x), LO QUE HACEMOS ES TOMAR A LA FUNCIÓN f(x) Y LE SUSTITUIMOS LAS x POR EL 2 QUE ES EL VALOR AL QUE TIENDE x EN EL LIMITE:

C

( ) ( ) ( ) 9=+−=+−=+−=+−=→→

14121443122231x2x3Lim)x(fLim 222x2

ALCULAMOS AHORA EL LIMITE DE g(x), HACEMOS LO MISMO QUE CON EL LIMITE DE f(x), PERO AHORA CON LA FUNCIÓN g(x):

222x2

INALMENTE CALCULAMOS EL LIMITE DE h(x):

2x2

A TENIENDO EL VALOR DE LOS 3 LÍMITES REALIZAMOS LAS OPERACIONES QUE SE INDICAN EN EL EJERCICIO, SOLO SUSTITUIMOS EL VALOR OBTENIDO DE CADA LÍMITE:

2

L RESULTADO DEL EJERCICIO ES 4.

. SEA f(x) = 4x2 – 5x – 2 , g(x)= x3 – 4x y h(x) = 10x + 7, HALLAR

x C

( ) 0=−=−=−=→→

44424xLim)x(gLimx F

( ) 5=−=−=−=→→

383243x4Lim)x(hLimx Y

{ } 4=−+=−+

→509)x(h)x(g)x(fLim

x E

2 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ •

−→ )x(h)x(g)x(f

Lim1x

CALCULAMOS EL LIMITE DE f(x):

( ) ( ) ( ) 7=−+=−+=−−−−=−−=−→−→

2542514215142x5x4Lim)x(fLim 221x1x

CALCULAMOS EL LIMITE DE g(x):

−→411

1x1x

( ) ( )41x4xLim)x(g 33 3=+−=−−−=−=−→ 1x1

CALCULAMOS EL LIMITE DE h(x):

Limx

(Lim ) 3−=+−=+−=+=

−→−→71071107x10Lim)x(h

20

YA TENIENDO EL VALOR DE LOS 3 LÍMITES REALIZAMOS LAS OPERACIONES QUE SE INDICAN EN EL EJERCICIO, SOLO SUSTITUIMOS EL VALOR OBTENIDO DE CADA LÍMITE:

( ) ( )

7−=−→

Limx

=−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ •

− 321

337

)x(h)x(g)x(

1

L RESULTADO DEL EJERCICIO ES – 7.

f

E

21

EJERCICIOS PROPUESTOS: SEA f(x) = 2x – 3x + 5, g(x) = x – x + x , h(x) = 10 – 2x. HALLAR: A) { })x(h)x(g)x(fLim

3x−+

→

3 2 4 3 2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ •

−→ )x(h)x(g)x(f

Lim2x

B)

C) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

→ )x(h)x(g)x(f

Lim5x

D) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−•

→)x(f

)x(f)x(g)x(h

Lim1x

E) { })x(h)x(g)x(fLim5x

+−−→

IMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS (NO SE

LINCLUYE EN EL EXAMEN DEPARTAMENTAL)

LA RESOLUCIÓN DE ESTOS LIMITES ES IGUAL A LOS ANTERIORES LIMITES, SOLO REQUIERE DE RECORDAR

N POCO DE LAS CARACTERÍSTICAS DE ESTE TIPO DE FUNCIONES. EJERCICIOS RESUELTOS HALLA EL VALOR DE LOS SIGUIENTES LÍMITES: 1.

PARA RESOLVER ESTE LIMITE SOLO TENEMOS QUE SUSTITUIR LA x POR LOS 45°, ASÍ QUE LO QUE

ENEMOS QUE CALCULA ES EL VALOR DE LA Tan 45°, LA CUAL NOS DA 1, ASÍ QUE HACEMOS LA SUMA Y YA OMO SIGUE:

1145Tan1x

U

( ) =+°→

xTan1Lim45x

TTENEMOS EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCEDIMIENTO ES C

( +

°→Tan1Lim

45x) 2=+=°+=

3

2. ( ) xCos2xSen1Lim +

0x °→ AL IGUAL QUE EL LIMITE ANTERIOR LO ÚNICO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR EL VALOR DE x

PO ERO AL QUE ESTA TENDIENDO, EN ESTE CASO 0°, ASÍ QUE AL SUSTITUIR ESTE VALOR

Y HALLAMOS EL RESULTADO DEL LIMITE.

R EL NUMTENDREMOS QUE CALCULAR EL SENO DE 0° QUE ES IGUAL A CERO Y EL COSENO DE 0° QUE ES IGUAL A 1. DESPUÉS SOLO HACEMOS LAS OPERACIONES INDICADAS

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1==+=°+=+°

°→0x

N EL ULTIMO PASO SE APLICA LA REG

2123

0Cos23

xCos23

1010Sen1xSen1

LA DE EXPONENTES QUE DICE QUE NO IMPORTA A QUE EXPONENTE SE ELEVE EL 1, SU RESULTADO SIEMPRE SERÁ 1.

3

Lim

E

22

3. ( )x2x5x

eeLnLim •→

EN ESTE LIMITE PRIMERO VAMOS A HACER LA MULTIPLICACIÓN QUE SE SEÑALA DENTRO DEL PARÉNTESIS

LA CUAL NOS DA e3x. ENTONCES EL LÍMITE NOS QUEDA:

( ) ( )x35x

x2x5x

eLnLimeeLnLim→→

=•

AHORA APLICAMOS LAS LEYES O PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES,

QUE EN ESTE CASO PODEMOS APLICAR QUE COMO LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL Y LA FUNCIÓN EXPONENCIAL e SON INVERSAS, ENTONCES SE CANCELAN QUEDANDO SOLO 3x, POR LO QUE SOLO CALCULAREMOS EL LIMITE DE 3X Y TENDREMOS ASÍ EL RESULTADO DEL LIMITE, EL PROCESO COMPLETO DE LA RESOLUCIÓN SE DA A CONTINUACIÓN:

( ) ( ) ( ) 15====•

→→→53x3LimeLnLimeeLnLim

5xx3

5xx2x

5x

4. ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x2Ln31xLn21xLn5x4LnLim

4x−−−++

→

PARA RESOLVER ESTE LIMITE NECESITAMOS APLICAR LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS QUE SE

VIERON EN MATEMÁTICAS IV, APLICANDO LAS PROPIEDADES TENEMOS QUE LOS LOGARITMOS SE VAN A CONVERTIR EN LA FRACCIÓN DE UN SOLO LOGARITMO, LOS QUE SON POSITIVOS SE PONDRÁN EN EL NUMERADOR DE ESTA FRACCIÓN Y QUEDARAN MULTIPLICÁNDOSE ENTRE ELLOS, AHORA LOS NEGATIVOS SE IRÁN A LA PARTE DE ABAJO Y QUEDARAN MULTIPLICÁNDOSE ENTRE ELLAS. SI EL LOGARITMO TENIA COEFICIENTE ESTE SE CONVERTIRÁ EN EXPONENTE DE LA FUNCIÓN, HACIENDO ESTOS CAMBIOS, EL LIMITE NOS QUEDARA COMO SIGUE.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

+=−−−−++

→→x 3

5

4x4 3x22x3

1xx4LnLim3x2Ln32x3Ln1xLn5x4Ln

ORA PODEMOS SUSTITUIR EL VALOR AL QUE TIENDE x Y HACER LAS OPERACIONES INDICADAS, MULTIPLICACIÓN (PRIMER PARÉNTESIS), SUMA Y POTENCIA (SEGUNDO PARÉNTESIS), MULTIPLICACIÓN Y

E (T RCER PARÉNTESIS) Y MULTIPLICACIÓN, RESTA Y POTENCIA (CUARTO PARÉNTESIS). DESPUÉS ULTIPLICAMOS LO QUE NOS DIO EL PRIMER PARÉNTESIS POR LO QUE NOS DIO EL SEGUNDO Y TAMBIÉN ULTIPLICAMOS LO QUE NOS DIO EL TERCER PARÉNTESIS POR LO QUE NOS DIO EL CUARTO PARÉNTESIS,

DE ACIONES Y LES USAR UNA CALCULADORA PARA PODER HALLAR EL VALOR DEL LOGARITMO NATURAL QUE NOS QUEDO,

Lim

AH

RM

STA E

MSPUÉS SE DIVIDE EL RESULTADO DE AMBAS MULTIPLIC O ÚNICO QUE NOS QUEDA POR HACER

TODO ESTO SE LLEVA A CABO DE LA SIGUIENTE MANERA:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ===

−−=

−−

+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

+→ 12510

312516Ln

510

312516Ln

38212

516Ln

342243

1444Ln

3x22x3

1xx4LnLim

33

5

3

5

3

5

4x

3.69≈== 688.340Ln250,1

000,50nL

23

1.1.4 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO OBJETIVOS:

. IDENTIFICARA LA FORMA EN QUE SE DENOTAN LOS LIMITES INFINITOS Y LOS LIMITES EN EL INFINITO. (DC, EA) RESOLVERÁ E OS DE LIMITES INFINITOS. (PO, EC)

3. RESOLVERÁ EJERCICIOS DE LÍMITES EN EL INFINITO. (SOLO ALGEBRAICAS). (PO, EA)

1

2. JERCICI

LIMITES INFINITOS: SEA f UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN TODO NUMERO REAL DE UN INTERVALO ABIERTO QUE CONTIENE A c

SALVO, POSIBLEMENTE, EN EL PROPIO c. LA EXPRESIÓN

∞=→

)x(fLimcx

SIGNIFICA QUE PARA TODO M>0 EXISTE UN δ>0 TAL QUE f(x)>M SIEMPRE QUE 0<|x – c|<δ (VÉASE FIGURA 1).

ANÁLOGAMENTE, LA EXPRESIÓN

NI A QUE PARA TODO N<0 EXISTE UN δ>0 TAL QUE f(x)<N SIEMPRE QUE 0<|x – c|<δ. PARA DEFINIR EL LIMITE INFINITO POR LA IZQUIERDA, BASTA SUSTITUIR 0<|x – c|<δ POR c – δ < x < c. Y PARA DEFINIR EL LIMITE INF

−∞=→

)x(fLimcx

SIG FIC

INITO POR LA DERECHA, BASTA SUSTITUIR 0<|x – c|<δ POR c < x < c + δ.

MAS ALLÁ DE LA DEFINICIÓN TAN COMPLEJA DE LOS LIMITES INFINITOS, LO QUE NOS INTERESA ES SABER

IDENTIFICAR LO QUE ES UN LIMITE INFINITO Y DE MANERA SENCILLA PODEMOS DECIR QUE UN LIMITE INFINITO ES CUANDO EL RESULTADO DEL LIMITE ES INFINITO, ES DECIR NO ESTA DETERMINADO. A CONTINUACIÓN PONEMO RDA COMO POR LA DERECHA O DE AMBOS L

1.

S UNOS EJEMPLOS DE LIMITES INFINITOS, TANTO POR LA IZQUIEADOS:

∞=x −+→ 1x1x

Lim

2. ∞=+− 4x

Lim −→ 4x

x

3. ∞=−

+→ 25x

5xLim25x

¡OJO! DE IGUALDAD EN LA EXPRESIÓN NO SIGNIFICA QUE EL LIMITE EXISTA,

ODO DE

∞=)( xfLim EL SÍMBOLO

Tf(x) CUAN

LO CONTRARIO, NOS INDICA LA RAZÓN DE SU NO EXISTENCIA: EL COMPORTAMIENTO NO ACOTADODO x TIENDE A c.

24

RESOLUCIÓN DE LIMITES INFINITOS (NO SE INCLUYE EN EL EXAMEN DEPARTAMENTAL) EN LA RESOLUCIÓN DE LOS LIMITES INFINITOS LO QUE TENEMOS QUE DETERMINAR ES SI EL LIMITE SE VA

IR A + RA ELLO DEBEMOS DE TOMAR UN VALOR QUE ESTE MUY PRÓXIMO A EL (DE PREFERENCIA A MILÉ OS) Y VER CON QUE SIGNO QUEDA EL RESULTADO PARA ASÍ ASIGNARLE EL SIGNO AL ∞.

E ITES INFINITOS.

1.

∞ O A –∞. PAIMOS O MENS

N LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SE RESOLVERÁN LIM

=−−→ 2xx3Lim

2x

PARA RESOLVER ESTE LIMITE TENEMOS QUE ENTENDER QUE EL RESULTADO DE EST LIMITE ES ∞, YA QUE

SI SUSTITUIMOS EL 2 EN LUGAR DE x, LA FUNCIÓN PRESENTA UNA DIVISIÓN ENTRE CERO Y ESO HACE QUE EL RESUPARAPOR TOMAR UN NUMERO MUY PEGADO A 2 PERO QUE ESTE A SU IZQUIERDA, VAMOS A TOMAR 1.999 Y LO VAMOS A SUSTITUIR EN LA FUNCIÓN A LA QUEREMOS CALCULAR SU LIMITE EN LUGAR DE LA x, ESTO QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA

LTADO SEA ∞, ASÍ QUE LO QUE TENEMOS QUE DETERMINAR ES SI LA FUNCIÓN SE VA A IR A +∞ O A –∞. ELLO TENEMOS QUE VER POR DONDE SE ACERCA EL VALOR AL QUE TIENDE x, SI POR LA IZQUIERDA O LA DERECHA, EN ESTE CASO EL VALOR DE x TIENDE A DOS POR LA IZQUIERDA, COMO TENEMOS QUE

.

( )5997

001.029912−=

−=

−=

−

997.59.

999.13x

x

COMO PODEMOS VER EL RESULTADO ES NEGATIVO Y SE VA HACIENDO GRANDE, DE HECHO SI EN LUGAR DE 1.999, USAMOS 1.9999, ELQUE

3

RESULTADO SERÁ UN NUMERO NEGATIVO DE VALOR ABSOLUTO MAYOR QUE EL OBTUVIMOS AHORITA, ESO NOS INDICA QUE CONFORME NOS ACERCAMOS MAS A 2 POR LA IZQUIERDA EL

NUMERO SE VUELVE MAS PEQUEÑO (POR SER NEGATIVO) POR ESO PODEMOS ASEGURAR QUE EL RESULTADO DEL LIMITE ES –∞.

−∞=−−→ 2x2x

2.

x3Lim

=xLim

2

−+ x4 E A, COMO TENEMOS QUE TOMAR UN

NUMERO MUY PEGADO A 4 PERO QUE ESTE A SU DERECHA, VAMOS A TOMAR 4.001 Y LO VAMOS A SUSTITUIR EN LA FUNCIÓN A LA QUEREMOS CALCULAR SU LIMITE EN LUGAR DE LA x, ESTO QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA.

→x 4

N ESTE CASO EL VALOR DE x TIENDE A CUATRO POR LA DERECH

( )01.16008

001.0001.44x−=

−=

−−

008001.16001.44

2

COMO EL RESULTADO NOS QUE DO NEGATIVO, ENTONCES EL RESULTADO DEL LIMITE ES – ∞.

x 2=

−∞=−−→ x42

x 2

x

3.

Lim

=+− 3

−−→

1x5x2Lim

51x

EN ESTE CASO EL VALOR DE x TIENDE A MENOS UN QUINTO POR LA IZQUIERDA, COMO TENEMOS QUE

TOMAR UN NUMERO MUY PEGADO A 51

− PERO QUE ESTE A SU IZQUIERDA, VAMOS A TOMAR –0.2001 Y LO

VAMO A SUSTITUIR EN LA FUNCIÓN A LA QUEREMOS CALCULAR SU LIMITE EN LUGAR DE LA x, ESTO QUEDA DE LA SIGUIENTE MANERA.

S

( )( ) 4.6800

0005.04002.3

10005.134002.0

12001.0532001.02

1x53x2

=−−

=+−−−

=+−−−

=+−

COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN ES POSITIVO EL RESULTADO DEL LIMITE ES +∞.

+∞=+−

−→ 1x53x2Lim

2x

25

LIMITES EN EL INFINITO:

SEA L UN NUMERO REAL: 1 =

∞ SIGNIFICA QUE PARA CADA

DEFINICIÓN:

. x→

( ) LxfLim 0>ε EXISTE UN TAL QUE 0M > ( ) ε<−Lxf SIEMPRE

QUE2 SIGNIFICA QUE PARA CADA

Mx >

( ) LxfLimx

=∞−→

0>ε EXISTE UN 0N < TAL QUE ( ) ε<−Lxf. SIEMPRE

EN LA RESOLUCIÓN DE LOS LIMITES INFINITOS SE UTILIZA FUNDAMENTALMENTE UN TEOREMA SOBRE

LIMITES, EL CUAL NOS DICE QUE EL LIMITE DE UNA CONSTANTE DIVIDIDA ENTRE UNA VARIABLE, CUANDO LA VARIABLE TIENDE A INFINITO ES IGUAL A CERO.

MATEMÁTICAMENTE LO EXPRESAMOS DE LA SIGUIENTE MANERA:

Nx < QUE

0xCLim

x=

∞→, SI C = CONSTANTE

NTE:

SE DIVIDEN TODOS LOS TÉRMINOS ENTRE LA VARIABLE DE MAYOR EXPONENTE

UEDE UNA CONSTANTE DIVIDIDA ENTRE UNA VARIABLE SE AN, YA QUE DE ACUERDO AL TEOREMA DE LIMITES INFINITOS ESTOS TÉRMINOS SON IGUALES

4. LAS CANTIDADES QUE NOS QUEDAN SE DIVIDEN O SE REDUCEN PARA OBTENER ASÍ EL RESULTADO

LOS RESULTADOS QUE PODEMOS OBTENER AL RESOLVER UN LIMITE INFINITO SON LOS SIGUIENTES:

UMERADOR ES UN MÚLTIPLO DEL DENOMINADOR.

OR. NOMINADOR NOS DA CERO. ESTO VA A PASAR CUANDO SE ELIMINEN TODOS LOS

NADOR.

EJEMPLOS:

EL PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UN LIMITE INFINITO ES EL SIGUIE 1. 2. SE EFECTÚAN TODAS LAS DIVISIONES 3. TODOS LOS TÉRMINOS EN DONDE NOS Q

ELIMINA CERO

DEL LIMITE

1. UN NUMERO ENTERO, SI EL N2. UNA FRACCIÓN SI EL NUMERADOR NO ES UN MÚLTIPLO DEL DENOMINADOR. 3. CERO, SI EL NUMERADOR NOS DA CERO. ESTO VA A OCURRIR CUANDO SE ELIMINEN TODOS LOS

TÉRMINOS DEL NUMERAD4. INFINITO, SI EL DE

ÉRMINOS DEL DENOMIT

HALLAR EL LÍMITE DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

1.

432444

2

4

3

4

4234x

x10

x8

x4

x86

x10

xx8

xx4

xx8

xx610x8x4x8x6

Lim++−+

=

++−+

=++−+∞→

DESPUÉS DE ESTO

4324444234634

x536x3x4x5x3

+−+−+−+−4

234

xxxxxxxx6x3x4x5x3 +−+−

APLICAMOS NUESTRO TEOREMA 0xx ∞→

FRACCIONES EN DONDE U

CLim = , CON LO CUAL TODAS LAS

N NUMERO ESTE DIVIDIDO ENTRE x VALDRÁN CERO Y SE ELIMINARA, ASÍ QUE EL LIMITE NOS QUEDA:

2==

66Lim 133

∞→x

COMO 63

ES UNA CONSTANTE, ENTONCES NO IMPORTA A CUANDO TIENDA x, EL RESULTADO DEL LIMITE

SERÁ LA MISMA CONSTANTE.

SI SE OBSERVA EL RESULTADO DE LA ELIMINACIÓN DE TÉRMINOS, SOLO NOS QUEDA

6COEFICIENTES DE LOS TÉRMINOS CUYA VARIABLE TIENE EL EXPONENTE MAS GRANDE (x

3, QUE SON LOS

4). ESTO SIEMPRE VA A OCURRIR, POR LO QUE NOS PODEMOS EVITAR TODOS LOS PASOS ANTERIORES, SI SOLO TOMAMOS LOS COEF IENTE DE LOS TERMINO CUYA VARIABLE TENGA EL MAYOR EXPONENTE DE TODA LA FUNCIÓN. IC

26

NADA MAS HAY QUE CONSIDERAR QUE LA VARIABLE DE EXPONENTE MAS GRANDE DEBE DE SER EL MISMO EN EL NUMERADOR COMO EN EL DENOMINADOR, POR LO QUE SI ESTE EXPONENTE NO SE ENCUENTRA EN AMBOS PARTES (NUMERADOR Y DENOMINADOR), A LA PARTE QUE NO TENGA DICHA VARIABLE, CON ESE MAYOR EXPONENTE, LE ASIGNAREMOS EL VALOR DE CERO.

2. ∞==+−

∞→ 07

8x5x3x7Lim

2

x NO EXISTE

2 TA EN EL DENOMINADOR, ESTA PARTE VALE CERO.

3.

COMO x NO ES

5==+−

+−∞→ 2

10x8x10x2

4x3x10Lim34

34

x

4. 0==+

+∞→ 8

0x10x8

6x2Lim3

5x

R, ESTA PARTE VALE CERO.

5.

COMO x5 NO ESTA EN EL NUMERADO

1−=−

=107

−−∞→ x10

Lim3x

+ 106x10 3

1−=6. −

−+∞→ 1

xxxx

21

313x

MO

=+

=+ 1xxxxLim

21

31

3

CO31

21> , ENTONCES

21

ES EL MAYOR EXPONENTE.

EJERCICIOS PROPUESTOS ( I – D )

1. 5x3x6

Lim3x +∞→

x3x9x4 23

+

++

2. 5x3x53x5x10im

2

2 −+ Lx −+∞→

3.

3x5x103x72 −+ x5x4Lim

2

3

x +

−∞→ −

4. 5x3x5x14

x3x3x10Lim279

245

x ++−

+−∞→

xx

xx 44Lim−−5.

x 4 −∞→ +

4

27

1.2. TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.

O 1. IDENTIFICARA LAS 3 CONDICIONES DE CONTINUIDAD QUE DEBE TENER UNA FUNCIÓN. (DC, EA) 2. R

D INUIDAD: CONT SATISFACEN LAS 3 CONDICIO

I. f(c) ESTA DEFINIDA

QUE UNA FUNCIÓN ES CONTINUA EN UN INTERVALO ABIERTO (a, b) SI ES CONTINUA EN CADA PUNTO DEL INTERVALO.

UNA FUNCIÓN QUE ES CONTINUA EN TODA LA RECTA REAL

1.2.1 CONDICIONES DE CONTINUIDAD.

BJETIVOS:

ESOLVERÁ EJERCICIOS DONDE SE APLIQUEN LAS 3 CONDICIONES DE CONTINUIDAD. (PO, EC)

EFINICIÓN DE CONT

INUIDAD EN UN PUNTO: DECIMOS QUE UNA FUNCIÓN f ES CONTINUA EN c SI SE NES SIGUIENTES:

II. ( ) EXISTExfLimcx→

III. ( ) ( )cfxfLimcx

=→

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO: DECIMOS

( )∞+∞− , SE LLAMA CONTINUA EN TODAS PART

SI NO SE CUMPLE CUALQUIERA DE LAS CONDICIONES ANTERIORES, ENTONCES LA FUNCIÓN SERÁ

DISC

1.- UNA DIVISIÓN ENTRE CERO. 2.- EXTRAER UNA CANTIDAD NEGATIVA. SI SUSTITUIMOS UN VALOR CUALQUIERA A LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y NO SE PRESENTA NINGUNO DE

LOS

UVARIAS DE LAS CONDICIONES DICHAS DE CONTINUIDAD.

ARA PODER SABER SI UNA FUNCIÓN ES CONTINUA EN UN PUNTO, DEBEMOS DE COMPROBAR QUE SE CUMPLAN LAS CON ONTINUIDAD, PARA ELLO SUSTITUIREMOS EL VALOR DEL PUNTO EN NUESTRA FUNCIÓN, OR AMBOS LADOS Y COMPROBAR LOS RESULTADOS OBTENIDOS.

NTOS QUE SE INDICAN:

ES. EXISTEN DOS TIPOS DE DISCONTINUIDAD, LAS EVITABLES Y LAS ESENCIALES. POR LO GENERAL, LA

DISCONTINUIDAD ES EVITABLE CUANDO SE ROMPE POR FACTORIZACION O CUANDO PODEMOS CAMBIAR ALGUNAS DE LAS CONDICIONES DE LA FUNCIÓN Y SERÁ ESENCIAL CUANDO NO PODAMOS HACER LO ANTERIOR.

ONTINUA EN ESE PUNTO. UNA FUNCIÓN ES CONTINÚA SIEMPRE QUE NO SE PRESENTE CUALQUIERA DE LOS SIGUIENTES CASOS:

RAÍZ DE ÍNDICE PAR A UNA

DOS CASOS ANTERIORES, LA FUNCIÓN SERÁ CONTINUA PARA ESE VALOR.

UNA FUNCIÓN f(x) SE DICE QUE ES DISCONTINUA EN EL P NTO x = x0 CUANDO NO SE CUMPLA UNA O

P

DICIONES DE CHALLAR SU LIMITE P

EJERCICIOS DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO (NO APLICAN PARA EL EXAMEN

DEPARTAMENTAL): DETERMINA SI LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON CONTINUAS O DISCONTINUAS, EN LOS PU

1. PARA x = 3, ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=<

=3xSI,x3

3xSI,93xSI,x

xf

2

PARA PODER DETERMINAR SI LA FUNCIÓN ES CONTINÚA O DISCONTINUA, TENEMOS QUE REVISAR UNA

POR UNA LAS CONDICIONES DE CONTINUIDAD, REVISANDO LA PRIMERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD TENEMOS:

I. COMO x = 3, ENTONCES: f(3) = 9

28

II. , EL LIMITE 9x3Lim3x

=+→

POR LA DERECHA EXISTE

TES POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA PODEMOS DECI

EL PUNTO DADO DEBE DE SER EL MISMO QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN, EN ESTE CASO EL VALOR DE LA

NCIÓN EN LE PUNTO DADO ES 9 Y EL LIMITE DE LA FUNCIÓN EN ESTE PUNTO TAMBIÉN ES 9, POR LO QUE LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN EL PUNTO x = 3

A x = 9,

x

9xSI,109xSI,x9

xf2

I. COMO x = 9, ENTONCES f(9) = 10

II. =−→

, EL LIMITE POR LA IZQUIERDA EXISTE

O EL LIMITE TANTO POR LA DERECHA COMO POR LA IZQUIERDA ES EL MISMO (81), ENTONCES EL LIMITE DE LA FUNCIÓN SI EXISTE.

EL VALOR DE LA FUNCIÓN EN EL PUNTO x = 9 ES 10, MIENTRAS QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN EN PUNTO ES 81. LOS ORES NO SON IGUALES, P QUE DECIMOS QUE LA FUNCIÓN NO ES

CONTINUA EN EL PUNTO x = 9, YA QUE NOS EST ALLANDO LA TERCERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD.

ARA ESTE EJERCICIO, PODEMOS DECIR QUE EXISTE UNA DISCONTINUIDAD EVITABLE, YA QUE SI

CAMBIAMOS LA CONDICIÓN f(x) = 10, SI x = 9, POR LA CONDICIÓN f(x) = 81, SI x = 9, LA TERCERA CONDICIÓN DE CONT DAD SI SE CUMPLIRÍA Y POR LO TANTO LA FUNCIÓN SI SERÁ CONTINUA EN EL PUNTO x = 9.

. PARA x = 3,

COMO x = 3, ENTONCES f(3) = 3(3) ⇒ f(3) = 9

. , EL LIMITE POR LA IZQUIERDA EXISTE

, EL LIMITE POR LA DERECHA EXISTE

L LIMITE POR LA IZQUIERDA ES 18, MIENTRAS QUE EL LIMITE POR LA DERECHA ES 9, POR LO TANTO NO

PODEMOS DECIR QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN EXISTA, YA QUE COMO SE DIJO ANTERIORMENTE EL VALOR DEL LIMITE ES ÚNICO Y NO PUEDEN SER DOS AL MISMO TIEMPO, ASÍ QUE COMO NOS FALLA LA SEGUNDA COND ÓN DE CONTINUIDAD, LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA PARA EL PUNTO x = 3.

. PARA x = 3,

9xLim 2

3x=

−→, EL LIMITE POR LA IZQUIERDA EXISTE

DE ACUERDO A LOS RESULTADOS DE LOS LIMIR QUE EL LIMITE DE LA FUNCIÓN ES 9. III. LA TERCERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD NOS DICE QUE EL VALOR DE LA FUNCIÓN EN

FU

2. PAR ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

=<

=

9xSI,

81x9Lim

9x

81xLim9x

=+→

, EL LIMITE POR LA DERECHA EXISTE 2

COM

III.

DICHO VAL OR LO A F

P

INUI

3 ( )⎩⎨⎧

<≥

=3xSI,x63xSI,x3

xf

I. II 18x6Lim

3x=

−→

9x3Lim3x

=+→

E

ICI

4 ( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

>

=−+

=

3xSI,x

3xSI,x3

3xSI,3x3x

xf2

COMO x = 3, ENTONCES f(3) =I. ( ) ( ) ( ) ∞=⇒=⇒−+

= 3f063f

33333f

ESTA DEFINIDO, POR LO ISCONTINUA EN x = 3.

PARA ESTE EJERCICIO TENEMOS QUE EL VALOR DE f(x) AL DARNOS INFINITO, NOQUE NOS FALLA LA PRIMERA CONDICIÓN DE CONTINUIDAD, ASÍ QUE LA FUNCIÓN ES D

29

TAMBIÉN EN ESTE EJERCICIO SE NOS PRESENTA UNA DISCONTINUIDAD ESENCIAL, YA QUE TENDRÍAMOS RA FUNCIÓN PUEDA

SER CONTINUA.

JERCICIOS DE CONTINUIDAD EN UN INTERVALO (NO APLICAN PARA EL EXAMEN

AR RAÍZ DE ÍNDICE PAR A ALGUNA CANTIDAD NEGATIVA, ESTO SOLO PUEDE PRESENTARSE SI LA FUNCIÓN ES RACIONAL (EN EL CASO DE LA DIVISIÓN ENTRE CERO) O IRRACIONAL (EN EL CASO DE RADICALES). LA FUNCIÓN QUE NOS DAN ES LINEAL, ASÍ QUE NINGUNO DE LOS DOS CASOS DE DISCONTINUIDAD PUEDEN PRESENTARSE, POR LO TANTO: ESTA RVALO.

QUE CAMBIAR TODAS LAS CONDICIONES (HACER UNA NUEVA FUNCIÓN), PARA QUE NUEST

E

DEPARTAMENTAL): DETERMINA SI LA FUNCIÓN QUE SE DA ES CONTINÚA EN EL INTERVALO PROPUESTO: 1. ( ) ,2x3xf −= EN [0, 5]. LA FUNCIÓN SOLO SERÁ DISCONTINUA CUANDO AL SUSTITUIRLE ALGÚN NUMERO DEL INTERVALO

RESULTE O SE GENERE UNA DIVISIÓN ENTRE CERO O SE LE TENGA QUE SAC

FUNCIÓN ES CONTINUA EN TODO EL INTE

2. ( )3x2x3xf

+−

= , EN [–1, 3].

ESTA FUNCIÓN ES RACIONAL, ASÍ QUE PUEDE PRESENTARSE LA DIVISIÓN ENTRE CERO. LO QUE NOS

CONVIENE AVERIGUAR ES CUAL ES EL VALOR DE x QUE HACE QUE AL SUSTITUIRLO EN LA ECUACIÓN EL DENOMINADOR NOS DE CERO. COMO EL DENOMINADOR ES x + 3, ENTONCES EL ÚNICO VALOR DE x QUE HACE QUE ESTA ECUACIÓN DE CERO ES –3, ASÍ QUE COMO EN EL INTERVALO PROPUESTO NO ESTA INCLUIDO EL –3, LA FU ÓN ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO. NCI

3. ( )2x3x4xf

−−

= , EN [0, 6].

STA FUNCIÓN ES RACIONAL, COMO EL DENOMINADOR ES x – 2, ENTONCES EL ÚNICO VALOR DE x QUE HACE QUE ESTA ECUACIÓN DE CERO ES 2, ASÍ QUE COMO EN EL INTERVALO PROPUESTO ESTA INCLUIDO EL 2, LA FU CIÓN NO ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO.

E

N

4. ( )5x31xxf−−

= , EN [0, 3].

STA FUNCIÓN ES RACIONAL, COMO EL DENOMINADOR ES 3x – 5, ENTONCES EL ÚNICO VALOR DE x QUE

HACE QUE ESTA ECUACIÓN DE CERO ES

E

53

, ASÍ QUE COMO 53

ESTA UBICADO ENTRE 0 Y 1, EL INTERVALO

PROPUESTO ESTA INCLUIDO EL 53

, LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO.

4. ( ) 1xxf −= , EN [2, 7].

ESTA FUNCIÓN ES IR , PARA ESTE TIPO DE FUNCIONES LO QUE TENEM MPIEZAN A PRESENTAR CANTIDADES NEGATIVAS EN LA FUNCIÓN, PORQUE EL ULTIMO VALOR QUE HACE QUE LA FUNCIÓN SEA CONTINUA ES AQUEL VALOR DE x QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE CERO (YA QUE

RACIONAL, LA FUNCIÓN DENTRO DE LA RAÍZ ES x – 1OS QUE CALCULAR ES A PARTIR DE QUE VALOR DE x SE E

00 = ) Y EL PRIMER VALOR QUE HACE LA FUNCIÓN SEA DISCONTINUA ES AQUEL VALOR DE x QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE –1.

UEL VALOR DE x QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE 0, UNA VEZ HECHO ESTO TENEMOS QUE VERIFICAR QUE VALORES A PARTIR DE ESTE NUMERO S OS QUE DAN CANTIDADES POSITIVAS EN LA FUNCIÓN Y CUALES NEGATIVAS, PARA ENTENDERLO MEJOR, VAMOS AL EJERCICIO, EL VALOR DE x QUE HACE QUE LA ECUACIÓN x – 1 QUE ESTA DENTRO DEL RADICAL DE 0, ES 1. YA SABIENDO QUE EL QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE CERO ES 1, TENEMOS QUE REVISAR QUE NUMEROS SON LOS QUE DAN CANTIDADES POSITIVAS EN LA ECUACIÓN , SI LOS NUMEROS x MAYORES DE 1 O LOS NUMEROS x MENORES DE 1

ENTONCES LO QUE TENEMOS QUE CALCULAR PRIMERO ES AQ

ON L

1x −( )1x > ( )1x <

EL RESULTAD. SI TOMAMOS UN NUMERO MAYOR QUE 1, POR EJEMPLO

EL 2, Y LO SUSTITUIMOS EN LA FUNCIÓN O ES 1, MIENTRAS QUE SI TOMAMOS UN NUMERO

EL INTERVALO. C MO EL INTERVALO EMPIEZA A PARTIR DE 2 Y LLEGA HASTA 7, LA FUNCIÓN ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO PORQUE NO HAY NINGÚN NÚMERO MENOR DE 1.

5.

MENOR QUE 1, POR EJEMPLO EL 0, EL RESULTADO NOS DA 1− , ESTO QUIERE DECIR QUE SI EN NUESTRO INTERVALO HAY ALGÚN NUMERO MENOR QUE 1 LA FUNCIÓN NO SERÁ CONTINUA EN TODO

O

( ) 4xxf += , EN [–8, 5].

30

EL VALOR DE x QUE HACE QUE LA FUNCIÓN DE 0, ES –4, POR LO QUE LOS NUMEROS MAYORES DE –4 SON LOS QUE HACEN CONTINUA A LA FUNCIÓN, MIENTRAS QUE LOS NUMEROS MENORES DE –4 SON LOS QUE LA HACEN CONTINUA, COMO EL INTERVALO DADO CONTIENE NUMEROS MENORES DE –4, ENTONCES LA FUNCIÓN NO ES CONTINUA EN TODO EL INTERVALO.

EJERCICIOS PROPUESTOS ( I – F )

NCIONES SON CONTINUAS EN EL PUNTO QUE SE INDICA:

1.

2.

⎧ −≤+=

4tSI,4t

4. 3

2sSI,3ssg

5

6. +

=3xSI,x103xI,1x2

xh

7.

8.

9.

⎪⎩

⎪

>− 2xSI,x4

g2

10.

⎩

⎪

>+

<

1xSI,2x

1xSIf

DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON CONTINUAS EN EL INTERVALO QUE SE INDICA:

11.

DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES FU

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=−

>=

1xSI,31xSI,1

1xSI,2xf

( )⎩⎨⎧

≥<−

=1xSI,2

1xSI,2xf

3. ⎩⎨ −>− 4tSI,t4

tf ⎧ <− 2xSI,4x2

( )

( )⎩⎨⎧

−>−−≤+

=2sSI,s

)⎪

⎪⎨ == 2xSI,0t

. ( ) ⎧ + ,3x2⎪⎩

⎪⎨⎧

>−≤=

2xSI,x282xSI,xxf

2

( )⎩⎨⎧

≥−<S ⎪

⎨ == 1xSI,4x2

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=

<+=

1rSI,r271rSI,5

1rSI,3r2rg

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−>−

−=−<+

=

2tSI,t1

2tSI,02tSI,t3

tg2

2

(

( )

( ) [ ]5,1EN,3x53xf −+=

12. ( ) [ ]6,1EN7x6xxf

−−

=

13. ( ) [ ]5,1EN4x1xxf

−−

=

14. ( ) [ ]5,10EN10x11xxf −

−−

=

15. ( ) [ ]4,1EN11x21xxf −

−−

=

( ) [ ]1,1EN3x8

9xxf −−−

= 16.

17. ( ) [ ]10,6EN6xxf −=

( ) [ ]2,3EN2xxf −+= 18.

( ) [ ]7,3ENx3xf −= 19.

( ) [ ]2,5ENx5xf −+= 20.

31

1.2.2 TEOREMAS DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS OBJETIVOS 1. DEFINIR OS TEOREMAS DE VALOR INTERMEDIO Y DE VALORES EXTREMOS. (DF, EA)

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

[a, b] Y k ES CUALQUIER NUMERO ENTRE f(a) Y f(b), EXISTE AL MENOS UN NUMERO c EN [a, b], TAL QUE f(c) = k.

NOTA: EL TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO ASEGURA QUE AL MENOS EXISTE UN c, PERO NO

PROPORCIONA UN METODO PARA ENCONTRARLO. TALES TEOREMAS SE DENOMINAN TEOREMAS DE EXISTENCIA.

EL TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO ASEGURA LA EXISTENCIA DE AL MENOS UN NUMERO c EN EL

INTERVALO [a, b]. PUEDE CLARO HABER MAS DE 1 COMO SE INDICA EN LA FIGURA:

:

A L

SI f ES CONTINUA EN EL INTERVALO CERRADO

TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS:

ESTE TEOREMA NOS DICE QUE EN EL RECORRIDO DE LA FUNCIÓN ESTA DEBERA ALCANZAR UN VALOR

M YOR Y UN VALOR MENOR, ESTOS VALORES SON LOS VALORES EXTREMOS, ES DECIR LOS MAS ALEJADOS QUE TENDRA LA FUNCIÓN.

SI f ES CONTINUA ES UN INTERVALO CERRADO [a, b], ENTONCES f ALCANZA UN VALOR MÁXIMO Y

TAMBIEN UN VALOR MÍNIMO EN ESE INTERVALO.

A

32

AUTOEVALUACIÓN UNIDAD I 1. ¿QUIÉNES FUERON LOS INICIADORES DEL ESTUDIO DEL CALCULO? 2. ¿QUE TRABAJOS PREVIOS SIRVIERON PARA FUNDAMENTAR AL CALCULO?, ¿QUIENES LO REALIZARON Y

QUE CONCEPTO BASICO Y FUNDAMENTAL DEL CALCULO SE DETERMINO A PARTIR DE ELLOS? 3. ESCRIBE LA DEFINICIÓN DE LIMITE. 4. RELACIONA LAS NOTACIONES DE LIMITE CON EL TIPO DE LIMITE QUE REPRESENTAN- A. ( ) LIMITE POR LA DERECHA

B. ( ) LIMITE DE UNA FUNCION

C. ( ) LIMITE POR LA IZQUIERDA

5.- REPRESENTA LA NOTACION DEL LIMITE DE LA FUNCIÓN f(x) = 3x – 2 CUANDO x TIENDE A 2, CUANDO x

TIENDE A 2 POR LA DERECHA Y CUANDO x TIENDE A 2 POR LA IZQUIERDA.

L)x(fLimcx

=→

1cx

L)x(fLim =−→

2cx

L)x(fLim =+→

33

6. LLENA LA SIGUIENTE TABLA, PONIENDO EL NOMBRE DEL TEOREMA DEL LIMITE O LA FORMA COMO SE

DENOTA EL TEOREMA SEGÚN LO QUE APAREZCA EN LA LDA, CHECA LA PRIMERA CELDA.

LIMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES

CE

( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLimcxcxcx →→→

+=+

LIMITE DE LA DIFERENCIA DE FUNCIONES

( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLimcxcxcx →→→

•=•

X. LIMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES:

LIMITE DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A UNA POTENCIA

kkLimcx

=→

LIMITE DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

( ) ( ) ( ) 0xfsixfLimxfLimcxcx

≥=→→

( ) ( )xfLimkxfkLimcxcx →→

•=

7. HALLA EL VALOR DE LOS LIMITES QUE SE DAN:

A.4x24x −→

16xLim2 −

B. 3x

6x8x2Lim2 +−

3x −→

C. 16x

12xxLim24x −

−−→

2

D. 4x

Lim2

2x −−−→

E.

x2

9xxLim2

2

3x −+−→

F. 9x

3x2xLim2

2 ++x −∞→

G. 8x

9xxLim4

3

x −

++∞→

8. DESCRIBE BREVEMENTE LO QUE ES CONTINUIDAD EN UN PUNTO, EN UN INTERVALO Y EN TODAS PARTES.

34

9. ACOMPLETA LOS CONCEPTOS QUE SE DAN A CONTINUACIÓN: A. EL TEOREMA ______________________ NOS DICE: SI f ES CONTINUA EN EL INTERVALO CERRADO [a, b] Y k

ES CUALQUIER NUMERO ENTRE f(a) Y f(b), EXISTE AL MENOS UN NUMERO c EN [a, b], TAL QUE f(c) = k.

Y UN VALOR MENOR, ESTOS VALORES SON LOS VALORES EXTREMOS, ES DECIR LO

B. EL TEOREMA ______________________ NOS DICE QUE EN EL RECORRIDO DE LA FUNCIÓN ESTA DEBERA

ALCANZAR UN VALOR MAYOR S MAS ALEJADOS QUE TENDRA LA FUNCIÓN.

35

UNIDAD II

LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA

PROPÓSITOS DE LA UNIDAD

IAS NATURALES, ECONÓMICO-ADMINISTRATIVAS Y SOCIALES, C UN R COLABORATIVO Y R

EL ALUMNO:

RESOLVERÁ PROBLEMAS SOBRE RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA, APLICANDO

SUS PRINCIPIOS, CONCEPTOS Y REGLAS PARA LA INTERPRETACIÓN GRÁFICA EN CONTEXTOS DE LAS CIENC

ONTRIBUYENDO A GENERAR AMBIENTE ESCOLAESPONSABLE.

36

2.1. LA DERIVADA

2.1.1. RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEA OBJETIVOS:

DIFERENCIA ENTRE RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E IN

. RESOLVERÁ EJERCICIO DE RAZÓN DE CAMBIO. (PO, EA)

EA f UNA FUNCIÓN TAL QUE y = f(x); SEAN x1 Y x2 UN PAR DE ARGUMENTOS DE f. DEFINIMOS LA RAZÓN DE CAMBIO DE y CON RESPECTO A x (CAMBIO PROMEDIO)

COMO:

1. EXPLICARA LA

TANTÁNEA. (DC, EA) S2 S RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO S

( ) ( )

12

22

12

12xx

xfxfxxyy

xy

−−

=−−

=∆∆

RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA SEA y = f(x) UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN TODOS LOS PUNTOS DEL INTERVALO [x, x + ∆x],

S ∆x > 0; EN EL INTERVALO [x + ∆x, x, ] SI ∆x < 0. DEFINIMOS LA “RAZÓN DE CAMBIO IN N N

I STANTÁNEO” DE LA FUNCIÓ x E EL ARGUMENTO x, CON EL SIGUIENTE LIMITE:

xyLim

0x ∆∆

→∆

O BIEN CON OTRA NOTACIÓN: ( ) ( )12

220x xx

xfxfLim

−−

→∆

DE ACUERDO A SUS DEFINICIONES LA DIFERENCIA ENTRE AMBAS ES QUE LA RAZÓN

DE CAMBIO PROMEDIO ES UNA RAZÓN DE INCREMENTOS, MIENTRAS QUE LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA ES EL LIMITE DE UNA RAZÓN DE INCREMENTOS

DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN f(x) = 3x+1 EN EL INTERVALO DE VALORES DE x ∈ [3, 7]

A RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO SE DEFINE COMO

EJERCICIOS: 1.

L12

12xxyy

xy

−−

=∆∆ , ASÍ QUE LO QUE

TENEMOS QUE HALLAR SON LOS VALORES DE x∆ (INCREMENTO EN x) Y y∆ (I CREMENTO EN y), SABIENDO QUE Y

OS VALORES DE x QUE NOS SERVIRÁN PARA HALLAR

N 12 xxx −=∆ 12 yyy −=∆ . L x∆ , NOS LOS DAN EN EL

INTERVALO DE VALORES DE x, ASÍ QUE Y , ASÍ QUE 3x1 = 7x2 = x∆ SERÁ IGUAL A:

37xxxx 12

HORA PARA HALLAR LOS VALORES QUE NOS SERVIRÁN PARA HALLAR , HACEMOS USO DE LA IGUALDAD y = f(x), ASÍ QUE LA FUNCIÓN QUE NOS DAN LA PODEMOS ESCRIBIR DE LA FORMA y = 3x +1, ASÍ QUE PARA HALLAR LOS VALORES DE Y S ALORES DE x QUE NOS DIERON EN EL INTERVALO EN LA FUNCIÓN:

4∆x =⇒−=∆⇒−=∆

A y∆

1y 2y OLO TENEMOS QUE SUSTITUIR LOS V

37

( ) 10y1y1 9y133 11 =⇒+=⇒+=

R HALLAR HACEMOS LO MISMO PERO TOMAMOS EL VALOR DE

11 =⇒+=⇒+=

O A CON LOS VALORES DE Y HALLAMOS EL VALOR DE

PA A 2y 2x :

( ) 22y121y173y 2

AH R 1y 2y y∆ :

1022yyy 12

ALMENTE COMO LA RAZÓN DE CAMBIO PR MEDIO ES

12∆y =⇒−=∆⇒−=∆y

FIN O xy

∆∆ , SOLO TENEMOS QUE

DIVIDIR LO QUE NOS DIO ENTRE LO QUE NOS DIO y∆ x∆ :

3∆x∆y

=⇒=∆∆y

412

x

A RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN EN EL INTERVALO DADO ES 3.

. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN

L

( ) 6x22 x5xf 2 −+= EN EL INTERVALO DE VALORE DE x ∈ [–1, 4]

S VALORES DEL INTERVALO: Y TANTO:

1414xxx 12

O LOS VALORES DE Y , LOS SUSTITUIMOS EN LA FUNCIÓN PARA HALLAR Y (PARA HALLAR USAMOS A Y PARA HALLAR USAMOS A ):

856215

61215y

2

2

2

22

2

1

1

1

21

=+=

−+=−+=

−=−=

−−=−−+

ALLAMOS AHORA

382∆y382yyyy 12

INALMENTE HALLAMOS

S DE LO , POR LO 1x1 −= x2 = 4

( ) 5∆x =⇒+=∆⇒−−=∆⇒−=∆ xx

1x 2x ( ) 6x2x5xf 2 −+= 1y 2y 1y

USAND1x 2y 2x

(1 −= ) ( )( )

( ) ( )( )

82y280y

68165y64245y

yCALCULANDO

3

CALCULANDOyyyy

H y∆ :

( ) 85∆y =⇒+=⇒−−=∆⇒−=∆

xy

∆∆ : F

17∆y85∆y∆x∆ 5x

=⇒=

3. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN ( ) 5x2xf += EN EL

INTERVALO DE VALORES DE x ∈ [2, 8]

E LOS VALORES DEL INTERVALO: Y , POR LO TANTO: D 2x1 = 8x2 =

6∆x =⇒−=∆⇒−=∆ 28xxxx 12

38

USANDO LOS VALORES DE Y , LOS SUSTITUIMOS EN LA FUNCIÓN 1x 2x ( ) 5x2xf += PARA HALLAR 1y Y 2y :

( ) ( )

9y54y

516y52y

54y 2

1

1 +=+=+=

582yyCALCULANDO

7

522y

2

2

2

1

1

=+=

+=

=

+=

ALLAMOS AHORA

79yyyy

CALCULANDOy

y 21

y∆ : H

2∆y =⇒−=∆⇒−=∆ 12

FINALMENTE HALLAMOS xy

∆∆ :

31

∆x∆y

=⇒=∆ 6

2x

∆y

4. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN ( )3x5xxf

2

−+

= EN EL

INTERVALO DE VALORES DE x ∈ [5, 10]

Y , POR LO TANTO:

510xxxx 12

S NCIÓN

E LOS VALORES DEL INTERVALO: D 5x1 = 10x2 =

5∆x =⇒−=∆⇒−=∆

( )3x5xxf

2

−+

= ANDO LOS VALORES DE 1x Y 2x , LOS SUSTITUIMOS EN LA FUU

PARA HALLAR Y : 1 2

y y

( )( )

( )( )

35y7

105y

310

15y2

30y

35

2

2

1

1

=

=

−

=

=

−

5100310

52535

+−

+−

y

510y

yCALCULANDOy

2

2

2

2

1

1

1

=

+=

=

ALLAMOS AHORA

1535yyyy 12

INALMENTE HALLAMOS

y

CALCULANDO55 2 +

=y

y∆ : H

20∆y =⇒−=∆⇒−=∆

y∆F : x∆

4∆x∆y

⇒=∆ 5

20x

∆y=

39

EJERCICIOS PROPUESTOS (2 – A1):

.

.

1. [ ]21xxy 2 ,, ∈= 2. [ ]511xxy 2 .,, ∈= 3. [ ]11xx2xy 2 ,, −−= ∈

18. ( )( ) [ 10x ],∈ 3x2xx5x3y 22 ,+−−=

19. [ ]21xx2xy 2 ,, ∈+=

20.

( ) [ ]501xx1xy 32 .,−+= ∈ ,

[ ]30xxy 3 ,, ∈= 4

5 [ ]244xxy 21

.,, ∈=

]3 .,

.

. ( ) [ 2x1xxy 2 , −−−= ∈6 5

7. ( ) [ ]5231xxy 2 .,, −−−= ∈

x

8 [ ]32xx1y 3 ,, ∈−= 9. ( ) [ ]12x2x3xxy 2 −−+−= ∈ ,, 10. ( ) [ ]31x3x7xy 2 ,, ∈−= 11. ( ) ( ) [ ]277x2x5x2y .,, ∈−−= 12. [ ]65x5xxy ,, ∈−= 13. [ ]577xxx21y 2 .,, ∈−−= 14. 15.

( ) [ ]111x3xxy 2 .,, ∈+=

( ) ( ) [ ]500x3x5xy 22 .,, ∈−+= 1 6. ( ) [ ]522x5xxy 2 .,, ∈+=

17. ( ) [ ]31x3x3x2y ,, ∈+−=

21. [ ]31x1x

xy ,, ∈+

=

2

22. [ ]31x1x

xy2

,, ∈−

=

23. [ ]11x

3x2xy ,, −−

= ∈

[ ]100x1x2

1x2xy2

.,, ∈+

−+= 24.

25. [ ]02x1xy 2 ,, −+= ∈

x 26. [ ]31x

x21x2y ,, ∈−+=

27. [ ]43x

7x2xx3y 2 ,, ∈−

+=

28. [ ]53x

1x52x73x2y ,, ∈−

−+= −

29. [ ]116x2x

x1y2

,, ∈−

−=

[ ]10xx52xy 3 2 ,, ∈+−= 30.

40

2.1.2 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA

DEFINIRÁ A LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA. (DF, EA)

ERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA

EA f UNA FUNCIÓN CONTINUA Y SUAVE EN UN INTERVALO [a, b]. SI x ES UN PUNTO D LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN TAL PUNTO SE REPRESENTA POR f ’(x) Y LA DEFINIMOS COMO

)

OBJETIVOS: 1. D SEL INTERVALO, ENTONCES

( ) ( ) (x

f∆

xfxxfLimx

0x

−∆+=′

→∆

ECORDAREMOS QUER ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ ; ENTONCES, PODEMOS COMPROBAR QUE LA DERIVADA PUEDE REPRESENTARSE TAMBIÉN COMO:

( )x0x ∆→∆

yLimx ∆=′

SÍ, LA DERIVADA ES EN SI UNA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO DE DOS VARIABLES RELACIONAD .

IN ERPRETARA GEOMÉTRICAMENTE A LA DERIVADA. (DC, EA)

RIVADA DE UNA FUNCIÓN f, PARA UN ARGUMENTO x, ES NUMÉRICAMENTE IGUAL A LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE DE LA CURVA DADA POR LA FUNCIÓN, EN EL P NTO (x, f(x))

f

AAS

2.1.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

BJETIVOS: O . T1

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. LA DE

U LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN PUEDE REPRESENTARSE DE DIFERENTES FORMAS,

SON COMUNES LAS SIGUIENTES: NOTACIÓN DE DERIVADAS: ( )xf ' → EFE PRIMA DE x, MUY USADA EN FUNCIONES

dxdy D→ ERIVADA DE y CON RESPECTO A x, MUY USADA EN LOS FORMULARIOS

EXPLICARA LA DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO. (DC, EA)

N SE LLAMA DERIVACIÓN. UNA FUNCIÓN ES DERIVABLE ( U DERIVADA EN x EXISTE, Y

'y → YE PRIMA, LA MÁS USADA EN LA RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS.

2.1.4. DIFERENCIABILIDAD EN UN INTERVALO OBJETIVOS: 1. EL PROCESO DE HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓ

O DIFERENCIABLE) EN x SI S

41

DERIVABLE EN UN INTERVALO ABIERTO (a, b) SI ES DERIVABLE EN TODOS Y CADA UNO DE LOS PUNTOS DE ESE INTERVALO.

2.2 REGLAS DE DERIVACIÓN

2.2.1 REGLA N DE FUNCIONES ALGEBRAICAS.

OBJETIVOS:

ICANDO INCREMENTOS (REGLA DE LOS 4 PASOS). (PO, EC)

PLI S FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS. (FO MULAS (PO, EA)

TO O DE DERIVACIÓN POR INCREMENTO (REGLA DE LOS 4 PASOS):

EN LA DEFINICIÓN DE DERIVADA

S DE DERIVACIÓ

1. OBTENDRÁ LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN APL

2. A CARA LAR 1–11)

É DM

STE MÉTODO DE DERIVACIÓN ESTA BASADO E

( ) ( )x

xfxxf( ) Limxyx

0x==

→∆Lim'f

0x ∆−∆+

∆∆

→∆. SI VEMOS DETENIDAMENTE LA ÚLTIMA NOTACIÓN, EN

ELLA ESTA BASADA LA REGLA DE LOS 4 PASOS, QUE SON LOS SIGUIENTES:

LES TENEMOS QUE S

1. . ESTE PASO NOS INDICA QUE A TODAS LAS VARIABLES x MAR SU INCREMENTO EN x ( xx

( )xxf ∆+

U ∆+ ), POR EJEMPLO SI LA FUNCIÓN ES x3xy 2 += , AL SUMARLE x UEDA x∆+ NOS Q ( ) ( )xx3xxy 2 ∆++∆+=

ÓN SE CAMBIARAN O SUST, EN OTRAS PALABRAS PODEMOS DECIR

QUE TODAS LAS x DE LA FUNCI ITUIRÁN POR . DESPUÉS DE AGREGAR LOS , TENEMOS QUE HACER LAS OPRESIONES ALGEBRAICAS CORRESPONDIENTES, COMO DESARROLLAR EL CUADRADO Y LA M DADO.

. S I DICA QUE A LA FUNCIÓN A LA QUE SE SUMO EL SE LE TIENE QUE RESTAR AHORA LA FUNCION INICIAL QUE EN ESTE CASO ES

FACTORIZA LA EXPRESION Y SE D

. DESPUES DE E APLICA EL

( )xx ∆+

( )xx ∆+

( )2xx ∆+

ULTIPLICACIÓN ( )xx3 ∆+ , EN EL CASO DEL EJEMPLO 2. − ESTE PASO NO N( )xf ( )xx ∆+

x3x2 + . 3. DESPUES DE RESTAR LA FUNCION INICIAL, SE

IDE TODO ENTRE x∆ . IV

LA DIVISION S4xyLim

0x ∆∆

→∆, CON LO CUALTODAS LAS

EXPRESIONES QUE TENGAN SE VAN A ELIMINAR Y LO QUE QUEDE SERA LA DERIVADA DE NUEST

JERCICIOS RESUELTOS:

ALLAR LE DERIVADA DE LA FUNCION , APLICANDO LA REGLA DE LOS 4 PASOS.

x∆RA FUNCION.

E

x3xy 2 +=H

SUMANDO LOS INCREMENTOS DE x:

( ) ( ) ( ) x3x3xxx2xy 2 ∆++∆∆++∆+=

T MOS AHORA LA FUNCION INICIAL:

xxx3xy 22 +=∆+∆+

RES A

( ) ( ) x3xxx2x3xx3x3xxx2xyy 2222 ∆+∆+∆+=−−∆++∆+∆+=−∆+ y

42

AHO NTRE x∆RA DIVIDIMOS E , PODEMOS HACERLO FACTORIZANDO POR TERMINO COMUN O SIMPLEMENTE DIVIDIR TERMINO POR TERMINO ENTRE x∆

( ) 3xx2

xx ∆∆x3xxx2 2

+∆−=∆+∆+∆

= y∆

xyLim

0x ∆∆

→∆ A LO QUE NOS QUEDO DE LA DIVISION. FINALMENTE APLICAMOS EL LIMITE

32x +=+∆−=

∆∆

→∆→3xx2Lim

xyLim

0x0x

∆

EJERCICIOS PROPUESTOS: HALLAR LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES APLICANDO LA REGLA DE LOS 4

PASOS. . y = 4 1

. y = 5x 2

3. y = x2 – 2x + 10 4. y = x3 – 2x2 + 5x – 7

3x10y −= 5. FORMULAS DE DERIVACIÓN

R ULAS BASICAS DE DERIVACION

1.

FO M

0Cdxd

= ; SI C = CONSTANTE

A DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A CERO.

.

L

1xdxd

= 2

LA DERIVADA DE x CON RESPECTO A x ES IGUAL A LA UNIDAD. 3. CCx

dx= d

A E UNA CONSTANTE, MULTIPLICADA POR LA VARIABLE x ELEVADA A LA U

LA DERIVAD DNO,CON RESPECTO A x, ES IGUAL A LA CONSTANTE.

1nn nxxdxd −= 4.

A DERIVADA DE x ELEVADA A UNA POTENCIA n, CON RESPECTO A x, ES IGUAL AL

PLRODUCTO DE n POR x ELEVADA A LA n – 1.

43

1nn nCxCx

dxd −= 5.

LA DERIVADA LEVADA A LA n, ES IGUAL AL DE UNA CONSTANTE MULTIPLICADA POR x E

PRODUCTO DE n POR LA CONSTANTE POR x ELEVADA A LA n – 1.

HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES QUE SE DAN A CONTINUACIÓN:

PARA EXPRESAR QUE ESTAMOS OBTENIENDO LA DERIVADA DE LA FUNCION, A LA DERIVADA DE y LA REPRESENTAREMOS COMO y’ (YE PRIMA).

RDO CON LA FORMULA 1 DE DERIVACIÓN:

EJERCICIOS RESUELTOS:

1. 10y =

DE ACUE SI: 10y = ⇒ y’ = 0

21y = 2.

DE ACUERDO CON LA FORMULA 1 DE DERIVACIÓN:

21y =SI: ⇒ y’ = 0

.

163y = 3

DE ACUERDO CON LA FORMULA 1 DE DERIVACIÓN:

SI: 163y = ⇒ y’ = 0

4. xy = DE ACUERDO CON LA FORMULA 2 DE DERIVACIÓN: SI: xy = ⇒ y’ = 1 5. x12y = DE ACUERDO CON LA FORMULA 3 DE DERIVA IÓN: SI: x12y = ⇒ y’ = 12

C

6. x25y −= DE ACUERDO CON LA FORMULA 3 DE DERIVACIÓN: SI: x25y −= ⇒ y’ = –25

44

7. 3xy = DE ACUERDO CON LA FORMULA 4 DE DERIVACIÓN: SI: 3xy = ⇒ y’ = ( )( ) 13x3 − ⇒ y’ = 2x3

58.

E ACUERDO CON LA FORMULA 4 DE DERIVACIÓN:

9. DE ACUERDO CON LA FORMULA 5 DE DERIVACIÓN:

0.

RIVACIÓN:

I: ⇒ y’ =

xy = D SI: 5xy = ⇒ y’ = ( )( ) 15x5 − ⇒ y’ = 4x5

2x4y =

SI: 2x4y = ⇒ y’ = ( )( )( ) 12x42 ⇒ y’ = x8

−

6x12y −= 1 DE ACUERDO CON LA FORMULA 5 DE DE S 6x12y −= ( )( )( ) 16x126 −− ⇒ y’ = 1.

: ⇒ y’ =

23 +−+−

DE ACUERDO CO ORMULAS 1, 3, 4 Y 5 DE DERIVACIÓN:

I: ⇒ y’ =

5x72−

10x4x5x3y 23 +−+= 1

E ACUERDO CON LAS FORMULAS 1, 3, 4 Y 5 DE DERIVACIÓN: D

10x4x5x3y 23 +−+= 4x10x9 2 −+ SI 12. xx10y 46 += 9x6x105x4

N LAS F

9x6x105x4xx10y 2346 +−+−+= 6x210x12x4x60 235 −+−+ S FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES QUE REALIZAN OPERACIONES

ALGEBRAICAS (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISION) AHORA NOS ENFOCAREMOS A LAS DERIVADAS UN POCO MAS COMPLICADAS, LAS QUE

INVOLUCRAN FUNCIONES QUE REALIZAN OPERACIONES ALGEBRAICAS, EMPECEMOS POR LA SUMA Y LA RESTA:

...(v)dxd(u)

dxd...)v(u

dxd

++=++I. (SUMA Y RESTA)

OPERACIONES DE SUMA Y RESTA, LO ÚNICO QUE TENEMOS QUE HACER ES: SACAR POR SEPARADO LA DERIVADA DE CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA FUNCIÓN.

LICAREMOS LA FORMULA DE DERIVADA DE SUMAS Y RESTAS CUANDO:

. EN CASO DE QUE EXISTA UNA RAÍZ, ESTA NO CONTIENE MAS DE DOS TÉRMINOS.

PARA HALLAR LAS DERIVADAS DE FUNCIONES QUE NADA MAS REALIZAN

A

P

A. LA FUNCIÓN NO ESTA EN FORMA DE COCIENTE. B

45

C. SI LOS TÉRMINOS ESTÁN AGRUPAD EN UN PARÉNTESIS, ESTE PARÉNTESIS NO ESTA ELEVADO A UN EXPONENTE DIFERENTE DE UNO.

OS

1. 15x9x8x2y 23 −+−=

( ) ( ) ( ) ( )15dxdx9

dxdx8

dxdx2

dxdy 23 −+−=´

2' +−= 2.

y 916x8x

150x90x18x20y 246 −+−=

( ) ( ) ( ) ( )150dx90dx18dx20d´ 246 −+−= ydxdxdxdx

35 +− y

'= 180x72x120x

(u)dxdv(v)

dxdu(uv)

dxd

+=II. (MULTIPLICACIÓN)

QUIEN ES EL TERMINO U Y QUIEN ES EL TERMINO V. UNA VEZ DEFINIDOS ESTOS TÉRMINOS DEBEMOS DE SEGUIR EL SIGUIENTE PROCEDIMIENTO:

SUSTITUIR LOS VALORES DE u Y v EN LA FORMULA DE DERIVACIÓN. . DERIVAR LAS EXPRESIONES QUE TENGAN DELANTE DE SI EL OPERADOR

D

PARA OBTENER LA DERIVADA DE UN PRODUCTO, DEBEMOS DE EMPEZAR POR DEFINIR

AB

.

IFERENCIAL dxd

C. REALIZAR LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS DE SIMPLIFICACIÓN (SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIONES, DIV C.).

ISIONES, ET

( ) ( )3. v

x3x4u

5x8x3y −++= 223

STITUYENDO EN LA FORMULA: SU

( ) ( ) ( ) ( )dd 232223 5x8x3dx

x3x4x3x4dx

5x8x3´ ++−+−++=

ERIVANDO

y

: ( ) ( ) ( ) ( )x16x95x8x3DdxdxdY3x4x3x4d 2232 +=++−=− :

( )( ) ( ) ( )x16x9x3x43x85x8x3y 2223' +−+−++=

MULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS:

' −−++−+−+−=

DUCIEN O TÉRMINOS SEMEJANTES:

4.

23342334 x48x27x64x3615x40x24x64x9x24y

RE D

1540x72x92x60x y 234' −+−+=

( ) ( )v

x3x8u

10x9y = 343 −−

STITUYENDO EN LA FORMULA: S

U

46

( ) ( ) ( ) ( )10x9dxdx3x8x3x8

dxd10x9´y 334343 −−+−−=

DERIVANDO ( ) ( ) ( ) ( )232334 x2710x9dxdYx9x32x3x8

dxd

=−−=− :

( ) ( ) ( ) ( )234233 x27x3x8x9x3210x9´y −+−−=

MULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS:

REDUCIENDO TÉRMINOS SEMEJANTES:

I.

562356 x81x216x90x320x81x288y' −++−−=

2356 90x320x162x504xy' +−−=

( )

0v,v

(v)dxduu

dxdv

vu

dxd

2≠

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛II (DIVISIÓN)

ARA OBTENER LA DERIVADA DE UN COCIENTE, AL IGUAL QUE EN LA MULTIPLICACIÓN,

P

LA LOS VALORES DE u Y v. COMO EN LA FORMULA SE V

PRIMERO TENEMOS QUE VER QUIEN ES EL TERMINO u Y QUIEN ES EL TERMINO v. EL PROCEDIMIENTO ES EL SIGUIENTE:

. SUSTITUIMOS EN LA FORMUAAN A SUSTITUIR LOS VALORES DE

dxd (u) Y

dxd (v), PODEMOS SACAR ESTOS VALORES

A

DESPUÉS DE LAS MULTIPLICACIONES Y CAMBIOS DE SIGNOS, SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES.

. UNA VEZ REDUCIDO EL NUMERADOR SE PUEDE HACER UNA FACTORIZACION SI CON E IÓN DEL EXPONENTE DEL PARÉNTESIS DEL DENOMINADOR.

5.

NTES DE SUSTITUIRLOS EN LA FORMULA Y CON ESTO, LA DERIVACIÓN QUEDARÍA INCLUIDA EN ESTE PASO.

B. EN EL DENOMINADOR DE LA FORMULA DEBE DE IR EL VALOR DEL TERMINO v ELEVADO AL CUADRADO, PARA NO ESTAR REPITIENDO VARIAS VECES ESTE VALOR, PODEMOS ESCRIBIR NADA MAS v2 EN EL DENOMINADOR Y HASTA EL FINAL SUSTITUIMOS EL VALOR v YA ELEVADO AL CUADRADO. ESTO SE DEBE A QUE LAS OPERACIONES DE REDUCCIÓN SE REALIZAN EN EL NUMERADOR Y NO EN EL DENOMINADOR.

C. CUANDO SE HAGA LA MULTIPLICACIÓN DE LOS PARÉNTESIS DEL LADO DERECHO, DEBEMOS DE PONER LOS RESULTADOS DE ESTAS MULTIPLICACIONES ENCERRADOS TODOS EN UN PARÉNTESIS, YA QUE EL SIGNO NEGATIVO QUE ESTABA DELANTE DE ESTOS DOS PARÉNTESIS, VA A AFECTAR A TODOS ESTOS TÉRMINOS CAMBIÁNDOLES EL SIGNO.

D.

ELLO SE PUEDE HACER UNA REDUCC

x3x2

5x3y2 +

+=

DEFINIMOS LO S VALORES DE u Y v Y DE UNA VEZ SACAMOS SUS DERIVADAS ( u

dxd Y

vxd ’):

d

3x4vdx

v +=⇒→

d

3udxdu

x3x25x3

2

=⇒→

+

+ y =

47

, udxd Y v

dxdSUSTITUYENDO EN LA FORMULA LOS VALORES DE u, v :

( )( ) ( ) ( )

2

2

v3x45x33x3x2y ++−+

=′

EFEC

TUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

( )2

22

v15x20x9x12x9x6y +++−+

=′

CAMBIANDO LOS SIGNOS DE LOS TERMINOS DE ADENTRO DEL PARÉNTESIS:

2

22

v15x29x12x9x6 −−−+

=′

NDO EL VALOR DE v EN EL D

y

REDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES Y SUSTITUYEENOMINADOR:

( )22

2

( )22

2

3x2x +

1520x6x −−− O =′y3x2x +

N LA RESPUESTA OPCIONAL QUE SE DA, COMO TODOS LOS TERMINO

1520x6xy ++−=′

S DEL NUMERADOR SON NEGATIVOS, SE COLOCA DELANTE DEL RESULTADO UN SIGNO NEGATIVO Y CON ELLO TODOS OS SIGNOS DE LOS TERMINOS DEL NUMERADOR CAMBIAN DE NEGATIVOS A POSITIVOS. ESTO SE HACE MAS QUE NADA POR CUESTION DE ESTETICA YA QUE SEGÚN ALGUNOS AUTORES SE VEN MEJOR LAS CANTIDADES EXPRESADAS CON SIGNOS POSITIVOS, PERO DE CUALQUIER FORMA LOS DOS R

E

L

ESULTADOS SON CORRECTOS.

1x2x45x3x8y

2

2

−−

−+= 6.

DEFINIMOS LOS VALORES DE vu Y Y DE UNA VEZ SACAMOS SUS DERIVADAS ( udxd Y

vdxd ’):

2x8vdx

v −=⇒→

SUSTITUYENDO EN LA FORMULA LOS VAL

d

3x16udxdu

1x2x45x3x8

2

2 −=⇒→

−−

−+=

ORES DE u, v

y

, udxd Y v

dxd :

( )( ) ( )( )

2

22

v2x85x3x83x161x2x4 −−+−−−−

=′ y

EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

( )2

223223 16x6x32x12x64 −−+

v CAMBIANDO LOS SIG

10x40x6x24x16x643x +−−+−−−−=′

NOS DE LOS TERMINOS DE ADENTRO DEL PARÉNTESIS:

y

48

2

223223

v10x40x6x24x16x643x16x6x32x12x64y −++−+−−−−−+

=′

R

EDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES Y SUSTITUYENDO EL VALOR DE v:

( )22 12x4x −−

2 1520x6x ++−=′ y

7. 3x22x3y

++

=

EFINIMOS LOS VALORES DE u Y v Y DE UNA VEZ SACAMOS SUS D DERIVADAS ( u

dxd Y

vdxd ’):

2vdxdv

dx3x22x3y

=⇒→++

= 3udu =⇒→

SUSTITUYENDO EN LA FORMULA LOS VALORES DE u, v, u

dxd Y v

dxd :

( ) ( ) ( ) ( )

2v22x333x2y +−+

=′

FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: E

( )4x69x6 +−+y2v

=′

AMBIAND LOS SIGNOS DE LOS TERMINOS DE ADENTRO DEL PARÉNTESIS: C O

2v4x69x6y −−+

=′

REDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES Y SUSTITUYENDO EL VALOR DE v:

( )232x5y+

−=′

8.

x23x23y −

= +

DEFINIMOS LOS VALORES DE u Y v Y DE UNA VEZ SACAMOS SUS DERIVADAS ( u

dx Y d

vdxd ’):

49

2vdv

2udxdu

x23x23y

=⇒→

−=⇒→

+−

=

dx

USTITUYENDO EN LA FORMULA LOS VALORES DE u, v

, udxd Y v

dxd : S

( ) ( ) ( ) ( )

2v2x232x23y −−−+

=′

EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

( )2v

x46x4x6y −−−−=′

CAMBIANDO LOS SIGNOS DE LOS TERMINOS DE ADENTRO DEL PARÉNTESIS:

2vx4x6x46 +−− =′y

REDUCIENDO LOS TERMINOS SEMEJANTES Y SUSTITUYENDO EL VALOR DE v:

( )22x3 +

12−=′ y

IV. (u)

dxdmu)(u

dx1mm −= (POTENCIA)

NO ES TAN COMPLICADO, YA QUE NO HAY Q ALGEBRAICAS DE REDUCCIÓN COMO EN LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN.

L PROCEDIMIENTO ES EL SIGUIENTE:

A. EL TERMINO u VA A ESTAR FORMADO POR TODOS LOS TERMINOS QUE SE ENCUENTREN DENTRO DEL PARÉNTESIS, MIENTRAS QUE EL TERMINO m VA A SER EL E

ITUYEN LOS VALORES DE u Y m EN LA FORMULA DE DERIVACIÓN Y COMO EN LA PARTE FINAL DE DICHA FORMULA, NOS PIDEN LA DERIVADA DEL TERMINO u

d

OBTENER LA DERIVADA DE UNA POTENCIA UE HACER TANTAS OPERACIONES

E

XPONENTE QUE SE ENCUENTRA EN LA PARTE DE AFUERA DEL PARÉNTESIS. B. SE SUST

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ (u)dxd , PODEMOS ACAR DE UNA VEZ ESTA DERIVADA Y SUSTITUIRLA DE ESTA FORMA

EFORMULA DE DERIVACIÓN, LO UNICO

QUE HAY QUE HACER SON LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS DE REDUCCIÓN, EN ESTE CASO, SOLO TENEMOS QUE MULTIPLICAR LOS TERMINOS DE LOS PARÉNTESIS QUE NO TENGAN EXPONENTE EN LA PARTE DE AFUERA.

.

S

N LA FORMULA DE DERIVACIÓN. C. UNA VEZ SUSTITUIDOS LOS VALORES EN LA

( )72 x5x3y += 9

DEFINIMOS LOS VALORES DE u, m Y (u)dxd :’

( ) m

u

x5x3y72

↓+= →

50

ENTONCES SI 5x6(u)dxdx5x3u 2 +=⇒+=

(u)dxdu, m Y : SUSTITUIMOS EN LA FORMULA LOS VALORES DE

( ) ( )

LTIPLICANDO EL NUMERO QUE TENEMOS AL INICIO POR LAS CANTIDADES CUYO PARÉNTESIS NO TIENE EXPONENTE EN LA PARTE DE AFUERA:

L PARÉNTESIS QUE TIENE EXPONENTE EN LA PARTE DE AFUERA,

10.

5x6x5x37y62' ++=

MU

( ) ( )62 5x3x3542xy' ++=

( )62 5x3x + , EPERMANECE IGUAL DURANTE EL PROCESO DE SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN.

( )623 x5x42x9y +−=

DEFINIMOS LOS VALORES DE u, m Y (u)d :’ dx

( ) m

u

x5x42x9y 23

↓+−=

ENTONCES SI

6→

5x6(u)dxdx5x3u 2 +=⇒+=

SUSTITUIMOS EN LA FORMULA LOS VALORES DE u, m Y (u)dx

:

( ) ( )5x84x27x5x42x96y 2523' +−+−=

MULTIPLICANDO LAS EXPRESIONES CUYO PARÉNTESIS NO TIENEN EXPONENTE EN LA

PARTE DE AFUERA O QUE NO SE ENCUENTRAN DENTRO DE ALGUN PARÉNTESIS.

( )

d

( )5232 5x42x9x3048x162xy' +−+−= 11. ( ) 22 3x2y +=

(u)dxdDEFINIMOS LOS VALORES DE u, m Y :

( ) m

u↓

ENTONCES SI

5x222 →

+= y

x4(u)dxd5x2u 2 =⇒+=

(u)dxd : DE u, m Y SUSTITUIMOS EN LA FORMULA LOS VALORES

51

( )( )x43x22y 2' +=

N ESTE EJERCICIO NINGUNO DE LOS PARÉNTESIS TIENE EXPONENTE EN LA PARTE DE AFUERA, POR LO QUE TODOS LOS TERMINOS SE TIENEN QUE MULTIPLICAR PARA HALLAR EL RESULTADO DE LA DERIVADA.

N MOS 2 OPCIONES PARA HACER LA MULTIPLICACION:

A. QUE EL 2 MULTIPLIQUE PRIMERO AL PARENTESIS

E

TE E

( )3x2 2 + Y EL RESULTADO DE ESTO SE MULTIPLIQUE POR Ó: ( )x4

B. QUE EL 2 MULTIPLIQUE PRIMERO AL ( )x4 Y EL RESULTADO DE ESTO SE

MULTIPLIQUE POR EL PARÉNTESIS ( )3x2 2 + .

O IMPORTA EL ORDEN EN QUE SE HAGA LA MULTIPLICACIÓN, SI SEN HIZO EN FORMA C INAL SERA EL MISMO. ORRECTA EL RESULTADO AL F

( )( ) ( )( ) 24x16xy 3' +=⇒+=⇒+= x46x4yx43x22y 22 ''

( ) ( ) ( ) ( ) 24x16xy 3' +=⇒+=⇒+= x83x2yx43x22y 22 ''

DERIVACIÓN DE

FR CCIONARIOS FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES NEGATIVOS Y EXPONENTES

A

SE REPRESENTA ASI:

A CUANDO TENGAMOS QUE DERIVAR FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES

NEGATIVOS, FRACCIONARIOS O AMBOS, TENEMOS QUE RECORDAR DOS LEYES DE EXPONENTES PARA EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

. PARA EXPONENTES NEGATIVOS: UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA QUE ESTE A

CTUANDO COMO FACTOR EN UN COCIENTE, PUEDE PASARSE DEL NUMERADOR AL DENOMINADOR SIEMPRE Y CUANDO LE CAMBIEMOS EL SIGNO AL EXPONENTE DE DICHO FACTOR.

ATEMÁTICAMENTE, LO ANTERIORM

mm

mm 1

aa B. PARA EXPONENTES FRACCIONARIOS: UN EXPONENTE FRACCION

aO1== −

−

ARIO NOS REPRESENTA O NOS VA O RAIZ. ESTO QUIERE DECIR QUE U UEDE CONVERTIR EN UNA RAIZ Y VICEVERSA, DONDE EL NUMERADOR DEL EXPONENTE FRACCIONARIO SE VA A CONVERTIR EN EL EXPONENTE DE LA BASE DENTRO DE LA RAIZ Y EL DENOMINADOR DEL EXPONENTE FRACCIONARIO SE VA A CONVERTIR EN EL INDICE DE LA RAIZ.

a

A DAR LUGAR A UN RADICAL NA POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO SE P

MATEMÁTICAMENTE, LO ANTERIOR SE REPRESENTE ASI:

naa mn

m

=

STAS DOS LEYES DE EXPONENTES NOS VAN SERVIR A VECES AL PRINCIPIO Y AL FINAL DEL PROCESO DE DERIVACION. AL PRINCIPIO PARA AYUDARNOS A QUE LA FUNCION PUEDA DERIVARSE POR MEDIO DE LA FORMULA DE POTENCIA

E

52

CUANDO LA VARIABLE QUE QUERAMOS DERIVAR SE ENCUENTRE EN EL

DENOMINADOR, ALGUNAS VECES PARA NO USAR LA FORMULA DE DERIVACIÓN DE UN COCIENTE, PODEMOS PASAR NUESTRA VARIABLE AL NUMERADOR Y CON ESTO, PODEMOS USAR MEJOR LA FORMULA DE DERIVADA DE UNA POTENCIA.

ALLAR EL VALOR DE LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCH IONES, USANDO LA

FORMULA DE POTENCIA Y PROCURANDO QUE EL RESULTADO NO TENGA EXPONENTES N

E EMPLOS:

1.

EGATIVOS NI FRACCIONARIOS:

J

432 x

1x1

x1y −+=

COMO LOS TERMINOS SOLO ESTAN SUMANDOSE, ENTONCES SOLO TENEMOS QUE

HALLAR LA DERIVADA DE CADA UNO DE LOS TERMINOS, TODOS VAN A LLEVAR EL MISMOS PROCEDIMIENTO.

O PRIMERO QUE HAREMOS SERA PASAR LAS VARIABLES DEL DENOMINADOR AL N

QUE E

POR EJEMPLO EL EXPONENTE DEL PRIMER TERMINO ES –2 ASÍ QUE AL RESTARLE UNO LO QUE TENEMOS ES –2 –1 = –3, ESTO SUCEDERA SIEMPRE QUE DERIVEMOS A UNA V

−−− +−−

TIENEN EXPONENTES NEGATIVOS, LOS COEFICIENTES Y

LUMERADOR, DE ACUERDO CON LA LEY DEL EXPONENTE NEGATIVO, AL PASAR EL

TERMINO AL NUMERADOR, TENEMOS QUE CAMBIARLE EL SIGNO AL EXPONENTE. PASANDO LAS VARIABLES AL NUMERADOR LA FUNCIÓN NOS QUEDA:

432 xxxy −−− −+= AHORA YA PODEMOS DERIVAR CADA UNO DE LOS TERMINOS, SOLO DEBEMOS DE

TENER CUIDADO AL MOMENTO DE RESTARLE LA UNIDAD AL EXPONENTE YA EST AL SER NEGATIVO Y RESTARLE UNO, HACE QUE EL EXPONENTE Y EL UNO TENGAN SIGNOS IGUALES Y EN REALIDAD EN LUGAR DE RESTARLOS TENEMOS QUE SUMARLOS

ARIABLE CON EXPONENTE NEGATIVO. A DERIVADA NOS QUEDA: L

543 x4x3x2y' =

FINALMENTE SOLO TENEMOS QUE VOLVER A PASAR LAS VARIABLES AL

DENOMINADOR PARA QUE ASÍ YA NO TENGAN EXPONENTE NEGATIVO, SOLO PASAREMOS LAS VARIABLES QUE

LOS SIGNOS DE ESTOS PERMANECERAN EN EL NUMERADOR: EL RESULTADO DE LA DERIVADA ES:

543 x4

x3

x2

+−− y'=

EL PROCEDIMIENTO COMPLETO ES:

543 xxx+−=⇒++=⇒++=

432y'xxy

xxxy

2.

432y' −=⇒−−− −−−−−− 543432 x4x3x2x111

32

3x3x9

xy −++= 8

53

PARA ESTE EJERCICIO SOLO PASAREMOS A 3x AL NUMERADOR, ASÍ QUE LA FUNCIÓN NOS QUEDA

323 x3x9x8y −− ++=

EN LA FUNCIÓN TENEMOS DOS TERMINOS SEMEJANTES ( )33 x3Yx8 −− LOS CUALES

PODEMOS SIMPLIFICAR, ASÍ QUE LA FUNCIOS SERIA AHORA:

23 x9x11y += − DERIVANDO LA FUNCIÓN:

x18x33 4 +−= − y'

SANDO AL DENOMINADOR LA VARIABLE CON EXPONENTE NEGATIVO: PA

18xx4

+−= 33

EL PROCEDIMIENTO COMPLETO PASO A PASO ES:

y'

18xx33y'

4+−=⇒+−=⇒+=⇒++=⇒++= −−−−− x18x33y'x9x11yx3x9x8yx3x9

x8 423323323

y

. 3432 x4

941y +−= x5x2

PASAMOS AL NUMERADOR LAS VARIABLES (SOLO PASAN LAS x, SUS COEFICIENTES SE

QUEDAN EN EL DENOMINADOR)

4x9

5x4

2x 2−

y43 −−

++=

ERIVANDO: D

4x36

5x12

2x2y'

543 −−−−+−=

EN EL PRIMER Y EL TERCER TERMINO PODEMOS DIVIDIR EL COEFICIENTE ENTRE EL

DENOMINADOR:

54

3 x12 −−

− x95

x −+−=

ASANDO LAS VARIABLES NEGATIVAS AL DENOMINADOR:

y'

P

543 x9

5x12

x1y' ++−=

EL PROCEDIMIENTO COMPLETO ES:

543 x9

5x12

x1y' ++−=⇒−+−=⇒−+−=⇒+−=⇒+−= −

−−

−−−−−−5

43

543432

432x9

5x12xy'

4x36

5x12

2x2y'

4x9

5x4

2xy

x49

x54

x21y

54

4. 423 xxxy ++= 734

CIONARIO YA PUEDEN SER DERIVADAS, SOLO RECORDAMOS LA TECNICA BASICA DE DERIVACIÓN, EL EXPONENTE MULTIPLICA AL COEFICIENTE DE LA VARIABLE Y AL EXPONENTE DE LA VARIABLE SE LE RESTA UNA UNIDAD. COMO EL COEFICIENTE DE TODOS LOS TERMINOS ES UNO, ENTONCES AL MULTIPLICARLO POR EL EXPONE LA VARIABLE, NOS QUEDARA COMO COEFICIENTE DEL TERMINO LO QUE INICIALMENTE ERA EL EXPONENTE, EN LO QUE RESPECTA A RESTARLE UNA UNIDAD AL EXPONENTE, UNA TECNICA SENCILLA PARA OBTENER EL EXPONENTE DE LA VARIABLE ES QUE AL NUMERO DE ARRIBA LE RESTEMOS EL DE ABAJO Y AL RESULTADO LE PONGAMOS EL DENOMINADOR DE LA

FUNCIÓN, POR EJEMPLO PARA EL

ESTAS FUNCIONES AUNQUE TIENEN EXPONENTE FRAC

NTE DE

34

DE

AL 4 LE RESTAMOS 3, ASÍ QUE QUEDA 1, A ESTE 1

LE PONEMOS EL DENOMINADOR LA FRACCION, ASÍ QUE NOS DARIA 31 QUE ES EL

RESULTADO DE 311

34

=− , ENTONCES DERIVANDO U CIÓN: LA F N

43

21

31

x47x

23x

34y' = ++

MO SE DIJO ANTES NTE FRACCIO R NOS DA LUGAR A UN RADICAL, ASÍ QUE ELIMINAREMOS ESTOS EXPONENTES COLOCANDO A LAS VARIABLES DENTRO DE UN RADICAL, DONDE EL NUMERADOR DEL EXPONENTE FRACCIONRIO SE CONVERTIRA EN EL EXPONENTE DE x Y EL DENOMINADOR DEL EXPONENTE FRACCIONARIO SE CONVERTIRA EN EL INDICE DE LA RAIZ:

LIMINANDO EXPONENTES FRACCIONARIOS:

CO UN EXPONE NA IO

E

4 33 x47x

23x

34y' ++=

EL PROCEDIMIENTO COMP

LETO ES:

4 33 x47x

23x

34y' ++=⇒++=⇒++= 4

321

31

47

23

34

x47x

23x

34y'xxxy

.

5 41

37

211

xxxy ++=

ERIVANDO LA FUNCIÓN: D

43

34

29

17x11y'−

= xx ++

E QUE APLICAR LA REGLA DEL EXPONENTE N O IRA EN EL DENOMINADOR, ESTO P ENTE NEGATIVO.

432 HAREMOS AHORA EL PROCESO DE FORMAR LOS RADICALES, PERO SI OBSERVAMOS

EL TERCER TERMINO, SU EXPONENTE ES NEGATIVO, ASÍ QUE LA DIFERENCIA QUE TENDRA CON LOS OTROS ES QUE SE LE TIEN

EGATIVO, ASÍ QUE LA RAIZ DEL TERCER TERMINSARA CON TODAS LAS x QUE QUEDEN CON EXPONA

FORMANDO LOS RADICALES:

4 3

3 49 1x37x

211y' ++=

x4

55

COMO VERAN EL SIGNO DEL EXPONENTE DETERMINA DONDE QUEDARA LA VARIABLE

(Y EN CONSECUENCIA LA RAIZ, EN EL CASO DE RADICALES), SI EN NUMERADOR O EN EL DENOMINADOR.

EXISTEN FUNCIONES EN LAS CUALES PARA OBTENER LA DERIVADA DE LA MISMA,

TENEMOS QUE UTILIZAR VARIAS FORMULAS DE LAS DE OPERACIONES ALGEBRAICAS. EN ESTE TIPO DE EJERCICIOS DEBEMOS DE ANALIZAR QUE OPERACIÓN ESTA HACIENDO CADA FUNCION PARA QUE PODAMOS SELECCIONAR QUE FORMULAS VAMOS A UTILIZAR Y ALGO MUY IMPORTANTE, EN QUE ORDEN SE VAN A UTILIZAR DICHAS FORMULAS.

EL EJEMPLO QUE SE RESUELVA A CONTINUACIÓN, SE COMBINARAN VARIAS FORMULAS PARA OBTENER EL RESULTADO DE LA DERIVADA.

1.-

NDE CADA UNA DE LAS EXPRESIONES ES UNA POTENCIA.

EN

DERIVAR LA SIGUIENTE FUNCION:

( ) LA FUNCION QUE NOS DAN ES UNA MULTIPLICACIÓN DE DOS EXPRESIONES

ALGEBRAICAS, DO

( )3342 3x55x3y ++=

RESOLVAMOS EL EJERCICIO COMO UN PRODUCTO:

( ) ( ) 3342

v

3x5

u

5x3y↓+

↓+=

( )42 5x3 + Y COMO TERMINO v A ( )33 3x5 +TOMANDO COMO TERMINO u A , SUSTITUIMOS

ESTOS VALORES EN LA FORMULA DE DERIVADA DE UN PRODUCTO:

( ) ( ) ( ) ( )42333342 5x3dxdx

PARA OBTEN

d3x53x5d5x3' +++++=

ER LAS DERIVADAS DE LOS TERMINOS

y

( )33 3x5 + Y ( )42 5x3 + , USAMOS LA FORMULA DE DERIVADA DE UNA POTENCIA, DONDE u VAN A SER LOS TERMINOS QUE ESTAN DENTRO DE LOS PARÉNTESIS Y LOS VALORES DE m VAN A SER 3 Y 4 RESPECTIVAMENTE. EN ESTE PAT

SO SE TERMINA EL USO DEL CALCULO DIFERENCIAL, ODO LO QUE HAGAMOS DESPUÉS DE ESTO, SERAN NADA MAS PROCEDIMIENTOS

ALGEBRAICOS DE SIMPLIFICACIÓN Y REDUCCIÓN DEL RESULTADO.

AQUEMOS LA DERIVADA DE LOS TERMINOS ( )33 3x5 + Y ( )42 5x3 + S

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )232 35x45x +=+=+ 22333 x153x533x5dx

d

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 53x24x +=+=+ x65x345x3d 3242 dx SUSTITUYENDO ESTOS VALORES EN LA DERIVADA DEL PRODUCTO TENEMOS:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )323323242 5x3y' += 5x3x243x53x5x45 ++++

56

ESTA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES MUY COMPLEJA PARA DEJARLA COMO RESULTADO, ICARLA Y P

TERMINO COMUN. PARA DETERMINAR CUAL ES EL TERMINO COMUN, TENEMOS QUE VER QUE E

LLOS DEBERAN SUMARSE)

ASÍ QUE TENEMOS QUE SIMPLIF ARA ELLO RECURRIREMOS AL ALGEBRA.. PARA SIMPLIFICAR EL RESULTADO, PODEMOS FACTORIZAR POR

XPRESIONES APARECEN REPETIDAS EN LOS DOS TERMINOS (RECORDAR QUE EL SIGNO POSITIVO QUE TENEMOS ENTRE LOS PARÉNTESIS HACE QUE TENGAMOS DOS TERMINOS LOS CUALES DESPUÉS DE MULTIPLICARSE ENTRE E

( )5x3 2 + Y , LAS EXPRESIONES QUE APARECEN EN AMBOS TERMINOS SON ( )3x3 + , A CADA UNO DE LOS PARÉNTESIS LE PONDREMOS EL MENOR EXPONENTE CON QUE APARECE EN AMBOS TERMINOS, ASÍ QUE EL TERMINO COMUN DE ESTA EXPRESIÓN ES ( ) ( )2332 3x55x3 ++ .

5

A QUE TENEMOS DEFINIDO EL TERMINO COMUN, LO QUE HAREMOS ES ESCRIBIRLO Y DESPUÉS DE EL ABRIREMOS UN CORCHETE DE LA SIGUIENTE MANERA:

Y

( ) ( ) [ ]

AHORA VIENE LA PARTE MAS COMPLICADA Y QUE CAUSA MAS CONFUSION, ASÍ QUE CUIDADO Y EN CASO DE NO ENTENDERLO, LES SUGIERO LEERLO VARIAS VECES O P N CLASE.

EAMOS PARA QUE NOS SIRVE EL TERMINO COMUN, EL HECHO DE SACAR UN TERMINO COMUN ES PORQUE A CADA UNO DE LOS TERMINOS QUE TENEMOS EN LA DERIVADA LE VAMOS A QUITAR ESTE TERMINO COMUN Y LO QUE NOS QUEDE ES LO Q

2332 3x55x3' ++= y

REGUNTAR E V

UE VAMOS A PONER DENTRO DEL CORCHETE, SUENA ENREDADO PERO VEAMOSLO ASÍ:

EN EL PRIMER TERMINO DE LA DERIVADA TENEMOS ( ) ( )( )3x5x455x3 ++ Y

NUESTRO TERMINO COMUN ES

23242

( ) ( )2332 3x55x3 ++ ESTO QUIERE DECIR QUE

( ) ( )( )23242 3x5x455x3 ++ LO VAMOS A DIVIDIR ENTRE ( ) ( )2332 3x55x3 ++ , ESTO ES

( ) ( ) ( )( ) ( )2332

23242 x455+

3x55x3

3x5

++

+ TENDRIAMOS LO

SIGUIENTE:

x3 , SI LO VEMOS PARÉNTESIS POR PARÉNTESIS

( )( )

( )5x3( )

5x332 +

5x3 242

+=+ ,

( )13x5

23=

+ , Y EL CASO DEL ( )2x45 NO TEN3x5

23 +EMOS NADIE

EN EL TERMINO COMUN QUE LO DIVIDA, ASÍ QUE DESPUÉS DE LA DIVISION QUEDARA IGUAL.

REVISEMOS AHORA EL RESULTADO DE LAS DIVISIONES PARA ENTENDER LO QUE

HICIMOS, PODEMOS DECIR QUE DE ACUERDO A SU EXPONENTE, TENIAMOS 4 PARÉNTESIS DE ( )5x3 2 + PERO COMO SACAMOS TRES PARA EL TERMINO COMUN, ENTONCES SOLO NOS QUEDA UNO PARA COLOCAR DENTRO DEL CORCHETE, DEL PARÉNTESIS ( )2x45 NO TENEMOS NINGUNO EN EL TERMINO COMUN, ASÍ QUE ESTE PARÉNTESIS SE QUEDARA EN EL CORCHETE Y FINALMENTE DE ( )3x5 3 + L PARÉNTESIS TENEMOS DOS DE ELLOS EN EL PRIMER TERMINO DE NUESTRO DERIVADA PERO COMO SACAMOS NO COMUN, NO NOS QUE DA NINGUNO PARA PONER EN EL CORCHETE, SI LO LOGRARON ENTENDER FELICIDADES, SI NO VEAMOES EL R

DOS PARA EL TERMI

ESULTADO DE LA DIVISION: ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( 22

2332)x455x3

3x55x3

3x+=

++

+ 23242 5x455x3 +

57

EL RESULTADO DE LA DIVISION ES LO QUE PONDREMOS DENTRO DEL CORCHETE,

ARA EL SEGUNDO TERMINO DE NUESTRA DERIVADA HAREMOS LO MISMO:

( ) ( )

P

)( ) ( ) ( ( ) ( )3x55x3

x3x243x52332

233

++

+x243x5

5 33

+=+

REGRESANDO A NUESTRA DERIVADA Y PONIENDO DENTRO DEL CORCHETE LOS

RESULTADOS DE LAS DIVISIONES TENEMOS:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]x243x5x455x33x55x3y 3222332' +++++= LAS CANTIDADES QUE QUEDAN DENTRO DEL CORCHETE SE PUEDEN SIMPLIFICAR.

ERO MULTIPLICAMOS LOS PARÉNTESIS PRIM ( ) ( )22 x455x3 + Y ( )( )x243x5 3 + POR SEPARADO ENTRE ELLOS:

( ) ( ) [ x225x1353x55x3y 442332' +++= ]2 ++

ESPUÉS DE LAS MULTIPLICACIONES, AHORA LO QUE TENEMOS QUE HACER ES R UCIR LOS TERMINOS SEMEJANTES DE DENTRO DEL CORCHETE.

INALMENTE POR CUESTIONES DE ESTETICA CAMBIEMOS NUESTRO CORCHETE POR U O DE

ESTOS EJERCICIOS SON COMPLICADOS PORQUE APENAS ESTAMOS ADENTRÁNDONOS E LO QUE SON LAS APLICAC PRACTICAS DE LAS DERIVADAS, PERO SI PODEMOS R

DERIVAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

x72x120 DED

( ) ( ) [ ]x72x120x225x1353x55x3 4242332' +++++= y FN PARÉNTESIS Y YA TENDREMOS EL RESULTAD NUESTRA DERIVADA:

( ) ( ) ( )72x225x255x35x53xy' 242332 ++++=

N IONESESOLVERLOS Y MEJOR AUN COMPRENDERLOS, PODEMOS DECIR CON SEGURIDAD

QUE NOS VAMOS ACERCANDO AL DOMINIO Y CORRECTA APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES MATEMÁTICAS RELACIONADAS CON EL CALCULO DIFERENCIAL.

EJERCICIOS PROPUESTOS ( II – C )

1. 0xxy ++= 2.

3 24

5. 53

2

x1

x41x8y ++= −

6.

653 2 x10x2y ++=

4x

3. 3 33 735 5

734

23

++= x5x9x5y

7.

x5x4x4y ++=

47

83

32

x49x

37x

43y ++=

6543

x6

x5x5x4y −−+= −− 4.

58

14. 8.

49

59

43

21

xxxx

9.

7521y −−−= 3x2y

+= 2x3 +

15. x1

xy+

=

( )5

3 74 73 5

x

9x8xxy −++=

0.

21

216. x2x2y −=

17.

( ) ( 3322 1x24xy −+= 1 )

1.21

21

x2y⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

18.

⎟⎞

⎜⎛

−=

( ) ( )3342 5x23xy −+=

19.

1 x23 +

12. ( )43 1xx3y +−=

13. ( )

x23y −=

21

2xx43y −+= 2

2

t32ts

−

+=

PRIMER PARCIAL

S TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

OBJETIVOS: . APLICARA LAS FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

DIRECTAS. (FORMULAS 14–19). (NO USAR IDENTIDADES PARA REDUCIR EL RESULTADO). (P A)

LAS FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS. (FORMULAS 20–25) (PO, EC)

. APLICARA LAS FORMULAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. (FORMULAS 26–29) (PO, EA)

NCIONES TRASCENDENTALES.

A DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTALES, LA PARTE COMPLICADA ES OBTENER LA DERIVADA DEL TERMINO u QUE ESTA PRESENTE EN DICHA FUNCION, M COMPLICADO SEA ESTE TERMINO u MAS COMPLICADO SERA OBTENER E NUESTRA DERIVADA.

SEÑ LAR QUE EN LAS DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTALES TAMBIEN VAMOS A ENER QUE USAR VARIAS FORMULAS DE DERIVACIÓN, MAYORMENTE COMBINANDO LAS FORMULAS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS CON LAS FORMULAS DE DERIVADS TRASCENDENTALES.

OS SI JERCICIOS SE DETALLAN EL USO DE ESTAS FORMULAS PARA OBTENER LA DERIVADA DE UNA FUNCION TRASCENDENTAL.

ARITMICAS

2.2.2 DERIVADAS DE FUNCIONE

1

O, E2. APLICARA

3

DERIVADAS DE FU EN L S

IENTRAS MAS RESULTADO DE L

CABE AT

EN L GUIENTE E

JEMPLOS:E

LOG

59

1. LA FUNCION QUE NOS DAN ES LOGARITMO COMUN, LA FORMULA PARA OBTENER SU

DERIVADA ES

3x4Logy =

1a,0aQUESIEMPRE

udxdelog

u1)u(log

dxd

aa

≠>

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , TAMBIEN LA PODEMOS MANEJAR COMO

1a,0aQUESIEMPRE

elogu

dx)u(logx aa =

u

dd

≠>

EN LO PERSONAL LA PREFIERO DE ESTA FORMA, NO IMPORTA CUAL

S

d

E USE EL RESULTADO SERA EL MISMO. EL PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LA DERIVADA ES EL SIGUIENTE:EL TERMINO u = 4x3,

POR LO QUE udxd = 12x2. PARA IVADA, SUSTITUIMOS OBTENER LA DER u

dxd EN LA

DERIVADA LOGARITMO COMUN, ESTO QUEDARA DIVIDIDO ENTRE u Y LE AGREGAMOS

u

ud

LA EXPRESIÓN Log e, LA FRACCION dx DEBE DE DIVIDIRSE Y CON ESO TENEMOS YA

EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA.

eLogx3y'=⇒= eLog

x4

x12y'3

2.

2

( )32 x5x16Logy += = LA FUNCION QUE NOS DAN ES LOGARITMO COMUN, LA FORMULA PARA OBTENER SU

DERIVADA ES

1a,0aQUESIEMPRE ≠

2 3

elog)u(log a=

L TERMINO u = 16x + 5x , POR LO QUE

udx a

>

udxd

d

E2

x15x32udxd

+= . PARA OBTENER LA DERIVADA,

SUSTITUIMOS uddx

EXPRESIONES QUE LLEVA LA RESPUESTA DE ESTA DERIVADA (Log e).

EN LA DERIVADA lOGARITMO COMUN Y COPIAMOS TODAS LAS

( ) eLogx5x16 +

x15x3232

2+

=

N

y'

PARA SIMPLIFICAR EL RESULTADO, FACTORIZAMOS POR TERMINO COMUN AL UMERADOR Y AL DENOMINADOR, EL TERMINO COMUN ES x, AL MENOS CON ESTO

LOGRAMOS ELIMINAR UNA x Y REDUCIR EL EXPONENTE DE LAS VARIABLES.

( )( ) eLog

5x16x32y'

+

+=⇒

+

+= eLog

x5x16xx1532xy'

. y = Ln 8x

15x22

E NOS DAN ES LOGARÍTMICA, PERO ESTA CORRESPONDE A UN

L LA FORMULA PARA OBTENER SU DERIVADA ES

33 A FUNCION QUL

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= udxd

u1)uIn(

dxd , OGARITMO NATURAL.

60

TAMBIEN LA PODEMOS MANEJAR C MO Ou

udxd

)uIn(dxd

= EN LO PERSONAL LA PREFIERO DE

ESTA FORMA, NO IMPORTA CUAL SE USE EL RESULTADO SERA EL MISMO. EL PROCEDIMIENTO PARA OBTENER SU DERIVADA VA A SER EL MISMO QUE EL DEL

LOGARITMO COMUN, DE HECHO, LA RESPUESTA SOLO DIFIERE DE LA LOGARITMO COMUN EN QUE EL RESULTADO NO VA A LLEVAR LA EXPRESIÓN Log e.

3EL TERMINO u = 8x , POR LO QUE ud = 16x2. PARA OBTENER LA DERIVADA,

dx

SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA LOGARÍTMICA NATURAL Y LUEGO DIVIDIMOS ESTO

E SI LA FRACCION QUE NOS RESULTE SE PUEDE SIMPLIFICAR.

NTRE u: DEBEMOS REVISAR

3x8=

MPLIFICANDO LA FRACCION (DIVIDIENDO):

2x24y'

SI

x3y'=

–2 4. LA

D

y = Ln 3x

FUNCION ES DE TIPO LOGARITMO NATURAL. LA FORMULA PARA OBTENER SU

ERIVADA ES u

dx)uIn(dxd

= . u

L TERMINO u = 3x–2, POR LO QUE

d

E udxd = – 6x–3. PARA OBTENER LA DERIVADA,

SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA LOGARÍTMICA NATURAL Y LUEGO DIVIDIMOS ESTO

ENTRE u: DEBEMOS REVISAR SI LA FRACCION QUE NOS RESULTE SE PUEDE SIMPLIFICAR.

2

3x6y'−−

= x3 −

SIMPLIFICANDO LA FRACCION (DIVIDIENDO):

x2y' −=

PARA NO COMETER UN ERROR EN LA SIMPLIFICACIÓN DE LA FRACCION, SE ECOMIENDA QUE CUANDO LAS VARIABLES A SIMPLIFICAR TENGAN EXPONENTE

NEGATIVO, ES MEJOR CONVERTIR DICHOS EXPONENTES A POSITIVOS CAMBIANDO DE LUGAR A LAS VARIA DO LAS LEYESLAS DERIVADAS DE CON EXPONEN

R

BLES, UTILIZAN DE EXPONENTES QUE SE VIERON EN VARIABLES TES NEGATIVOS. SI MOVEMOS LAS

VARIABLE ANTES DE LA DIVISION LA FRACCION NOS QUEDA:

61

3x3

COMO SE PUEDE OBSERVAR LA x OMINADOR Y SE CONVIERTE EN x

2x6−=

–3 SE PASA AL DEN

Y LA x PASA AL NUMERADOR Y SE CONVIERTE EN x . DESPUÉS DE ESTO SE HACE LA

XPONENCIALES

y'

3 –2 2

SIMPLIFICACIÓN.

E

.

3x10ay −= 5

LA FUNCION ES DE TIPO EXPONENCIAL DE BASE a. LA FORMULA QUE USAREMOS ES

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= udxdaIna)a(

dd uu , QUE TAMBIEN LA PODEMOS EXPRESAR DE LA FORMA: x

aInaudxd)a(

dxd uu ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= , DE PREFERENCIA PODEMOS MANDAR EL TERMINO ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ udxd DE TODAS

LAS FORMULAS DE DERIVACION TRASCENDENTE AL PMANERAS AL SUSTITUIRLAS EL ULTIMO PASO SIEMPRE ES MANDA

RINCIPIO, PUES DE TODAS R LA EXPRESIÓN

⎟⎠dx

ERIVACIÓN YA TENDRAN ESTE CAMBIO CUANDO LA MENCIONEMOS.

3

⎞⎜⎝

⎛ u AL PRINCIPIO DE LA DERIVADA, DE AQUÍ EN ADELANTE TODAS LAS FORMULAS DE

D

EL TERMINO u ES EL EXPONENTE DE LA FUNCIÓN, ASÍ QUE u = –10x , POR LO QUE

d

udxd

=udxd –30x2. PARA A DERIVADAOBTENER L , SUSTITUIMOS EN LA DERIVADA

EXPONENCIAL DE BASE a Y COPIAMOS TODAS LAS EXPRESIONES QUE LLEVA LA R TESPUES A DE ESTA DERIVADA ( )aInau .

LA FUNCION ES DE TIPO EXPONENCIAL DE BASE a. LA FORMULA QUE USAREMOS ES:

aLna30xy'

6. 3x72x16ay +−=

310x2 −−=

aInaudxd)a(

dxuu ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= d

EL TERMINO u = –16x2 + 7x3, POR LO QUE =udxd –32x + 21x2. PARA OBTENER LA

DERIVADA, SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA EXPONENCIAL DE BASE a Y COPIAMOS

TODAS LAS EXPRESIONES QUE LLEVA LA RESPUESTA DE ESTA DERIVADA.

( ) aLna21x32xy'37x216x2 +−+−=

udxdDEBEMOS DE TENER CUIDADO CON LA RESPUESTA YA QUE COMO TIENE DOS

T

QUE

ERMINOS DEBEMOS AGRUPARLOS EN UN PARÉNTESIS, YA QUE EL RESULTADO DE LA DERIVADA DEBE DE SER UN PRODUCTO, ESTO LO TENDREMOS QUE HACER SIEMPRE

udxd TENGA DOS O MAS TERMINO, CUANDO TIENE UN SOLO TERMINO NO ES

NECESARIO USAR EL PARÉNTESIS.

62

7. 72x9ey += LA FUNCION ES DE TIPO EXPONENCIAL DE BASE e. LA FORMULA QUE USAREMOS ES

uu eudxd)e(

dd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

u = 9x2 + 7, POR LO QUE

x

EL TERMINO =udxd 18x. PARA OBTENER LA DERIVADA,

SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA EXPONENCIAL DE BASE e Y LA UNICA EXPRESIÓN

QUE SE LE AÑADE A udxd ES LA FUNCIÓN 72x9e + QUE ES LO QUE TENIAMOS AL INICIO.

729xe18xy' +=

8. 3x34x10ey −−= LA FUNCION ES DE TIPO EXPONENCIAL DE BASE e. LA FORMULA Q EUE USAREMOS S

uu eudx

)e(x

⎟⎠

⎜⎝

=

EL TERMINO u = 10x

dd

⎞⎛

– R LO QUE

d

4 – 3x3, PO =udxd 3 2 –40x – 9x . PARA OBTENER LA

DERIVADA, SUSTITUIMOS udxd EN LA DERIVADA EXPONENCIAL DE BASE e Y LA UNICA

EXPRESIÓN QUE SE LE AÑADE A udx

ENIAMOS AL INICIO.

( ) 33x410x23 e9x40x −−−−=

d ES LA FUNCIÓN QUE ES LO QUE

T

OTRA FORMA DE ESCRIBIR EL RESULTADO ES DEJAR A LOS TERMINOS DEL PRIMER PARÉNTESIS, PARA ELLO DEBEREMOS DE CAMBIAR EL SIGNO DE LAS CANTIDADES DE A ARÉNTESIS Y TAMBIEN EL SIGNO DE AFUERA DEL PARÉNTESIS (EN ESTE CASO AL NO HABER SIGNO A

1.- y = Log ( 3x2 – 5 )

2.- y = Ln ( x + 3)

3x34x10e −−

y'

FUERA DEL PDELANTE DEL PARÉNTESIS, ASUMIREMOS QUE EL SIGNO DE

FUERA DEL PARÉNTESIS ES POSITIVO), APLICANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE LA DERIVADA TAMBIEN PUEDE SER:

( ) 33x410x23 e9x40x −−+−= y'

EJERCICIOS PROPUESTOS ( II – D ) HALLAR LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS, EN ALGUNOS CASOS HARAS USO DE LAS FORMULAS DE DERIVADAS DE OPERACIONES ALGEBRAICAS:

2

63

6.- x

21

ey−

=

7.- 2xey =

2x3

.- ay =

.- y = Ln ( 4x – 5 )

8

9

10.- ( ) 21

2x3Ln − 11.- y = Ln 3x5

x5ey = 13.-

14.-

3xey = 16.-

2x3y −= 17.- exey = TRIGONOMETRICAS DIRECTAS EN ESTE TIPO DE DERIVADAS SE REALIZA EL MISMO PROCEDIMIENTO QUE EN LAS

DERIVADAS TRASTRABAJO FUERT

CENDENTALES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS, ES DECIR QUE EL E ES OBTENER LA DERIVADA DEL TERMINO u Y UNA VEZ QUE

TENGAMOS LA DERIVADA DE ESTE TERMINO, LA FORMULA DE DERIVACIÓN NOS DIRA P

.

O

R LO QUE

OR QUE FUNCION TRIGONOMETRICA CAMBIA LA DERIVADA CON RESPECTO A LA FUNCION TRIGONOMETRICA QUE TENIAMOS AL PRINCIPIO

1. y = Sen 10x3

LA FUNCION TRIG NOMETRICA QUE NOS ESTAN DANDO ES LA FUNCION SENO, EL

TERMINO u = 10x3, PO udxd u

dxd= 30x2. SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE

D ucosudxd)ERIVADA DE LA FUNCION SENO, usen(

dx⎜⎝

=d

⎟⎠

⎞⎛ , ESTA FORMULA NOS INDICA QUE

LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO DE u CAMBIA A FUNCION COSENO DE u AL DERIVARLA, ASÍ QUE LA DERIVADA NOS DA:

ONOMETRICA QUE NOS ESTAN DANDO ES LA FUNCION COSENO, EL

TERMINO 3

32 10xCos30xy'=

–3 2. y = Cos 4x

LA FUNCION TRIG

udxd = 30x2. SUSTITUIMOS u

dxdu = 10x , POR LO QUE EN LA FORMULA DE

DERIVADA DE LA FUNCION COSENO usenudx

)u(cosdx

⎟⎠

⎜⎝

−= , Edd ⎞⎛ STA FORMULA NOS INDICA

QUE LA NCIÓN COSENO DE u CAMBIA A FUNCION SENO DE u AL D ADA NOS DA:

x –3

DERIVADA DE LA FUERIVARLA, ASÍ QUE LA DERIV y’= – (– 12x –4 ) Sen 4

64

COMO LA DERIVADA DE LA FUNCION COSENO ES NEGATIVA, MULTIPLICAMOS LOS S

y’= 12x Sen 4x –3

PLICANDO LA LEY DE EXPONENTES PARA ELIMINAR LOS EXPONENTES NEGATIVOS

O

IGNOS NEGATIVOS DE LOS FACTORES:

–4

ABTENES EL RESULTADO FINAL:

34 x4Sen

x12y'=

3. y = Tan 20x2

LA FUNCION TRIGONOMETRICA QUE NOS ESTAN DANDO ES LA FUNCION TANGENTE, EL

TERMINO 2u = 20x , POR LO QUE udxd = 40x. SUSTITUIMOS u

dxd EN LA FORMULA DE

DERIVADA DE LA FUNCION TANGENTE usecudxd)u(tan

dxd 2⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= , ESTA FORMULA NOS INDICA

QUE LA DERIVADA G TE DE u CAMBIA A FUNCION SECANTE CUADRADA DE u AL DERIVARLA, ASÍ QUE LA DERIVADA NOS DA:

LA FUNCION TRIGONOMETRICA QUE NOS ESTAN DANDO ES LA FUNCION COSECANTE,

E

DE LA FUNCIÓN TAN EN

y’ = 40x Sec2 20x2

. y = Csc ( 50x3 + 7x ) 4

L TERMINO x7x50u 3 += , POR LO QUE udxd = 150x2 + 7. SUSTITUIMOS u

dxd EN LA

FORMULA DE DERIVADA DE LA FUNCION COSECANTE, uCotuCscudxd)uCsc(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= , ESTA

FORMULA NOS INDICA QUE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSECANTE DE u CAMBIA A FUNCION COSECANTE DE u POR COTANGENTE DE u, ASÍ QUE LA DERIVADA NOS DA:

y 2 + 7 ) Csc ( 50x3 + 7x ) Cot ( 50x3 + 7x )

HORA PASAREMOS A ALGO UN POCO MAS COMPLEJO LLAMÉMOSLO COMBINACIÓN

’ = – ( 150x A

DE FORMULAS, ASÍ QUE CUIDA

DO.

ODEMOS TENER DOS CASOS:

QUE ESTE DENTRO DE LA OTRA. EN ESTE CASO LAS DERIVADAS TRASCENDENTES PUEDEN COMBINARSE ENTRE

EN ESTE CASO LO MAS SEGURO ES QUE ESTEN REALIZANDO ALGUNA OPERACIÓN BRAIC SE PUEDE CONVERTIR (DEPENDIENDO DEL

PODEMOS TENER Y EL MAYOR DOLOR DE CABEZA, YA QUE PODEMOS ENCONTRAR EJERCICIOS DE DERIVACIÓN EN QUE NO

VARIAS FORMULAS D D SCENDENTES

P 1. QUE UNA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES NO SEA INDEPENDIENTE, ES DECIR

ELLAS, ES DECIR EN UN EJERCICIO DE DERIVACIÓN PODEMOS USAR AL MISMO TIEMPO FORMULAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS, EXPONENCIALES Y TRIGONOMETRICAS.

2. QUE DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES SEAN INDEPENDIENTES LA UNA DE LA

OTRA, ESTO ES QUE AL COMBINAR DOS FUNCIONES TRASCENDENTES UNA NO ESTA DENTRO DE LA OTRA

ALGE A, ASÍ QUE ESTO A VECESEJERCICIO) EN LA PEOR PESADILLA QUE

SOLO TENGAMOS QUE USAR E ERIVADAS TRA

65

SINO QUE TAMBIE N A E USAR FORMULAS DE OPERACIONES N TE G MOS QU

ALGEBRAICAS ( muyvuv,u • ).

VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS DE ESTE TIPO DE DERIVACION:

DERIVAR:

DENTRO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA.

BÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN SENO DE u, DONDE

1. 3x10eSeny =

EN ESTE EJERCICIO TENEMOS DOS FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS SON UNA FUNCIÓN TRIGOMETRICA Y UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL. ESTA DERIVADA PERTENECE AL PRIMER CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ESTA

3x10eu , ASÍ QUE USAREMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO DE u: =

ucosudxd)usen(

dd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= . x

PROCEDIMIENTO: COMO TENEMOS QUE HALLAR 3x10eu = u

dxd

BASE e, PARA

, PERO COMO u ESTA

FORMADA POR UNA FUNCION EXPONENCIAL DE PODER HALLAR uu eu

dxd)e(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=ud TENEMOS Qd

UE USAR LA FORMULA , ENTONCES: x

COMO: 3x10eu = USANDO LA FORMULA uu eu

dxd)e(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ⇒ 3x102 ex30u

dxd

=

AHORA SUSTITUIMOS udxd QUE ACABAMOS DE OBTENER Y

3x10eu = EN LA FORMULA

DE LA DE LA FUNCION SENRIVADA DE O ucosudx

)usen(dx

⎟⎠

⎜⎝

RESULTADO DE LA DERIVADA DE . eCose

EN ESTE EJERCIC FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS

SON UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y UNA FUNCIÓN LOGARITMICA. ESTA DERIVADA PERTENECE AL PRIMER CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN LOGARITMICA ESTA DENTRO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

dd ⎞⎛= , POR LO QUE EL

310x230xy'= 310x

2. x3Lnay =

IO TAMBIEN TENEMOS DOS

BÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE

BASE a ELEVADA A LA u, DONDE x3Lnu = , ASÍ QUE USAREMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a ELEVADA A LA u,

aInaudxd)a(

dxd uu ⎟

⎞⎜⎛= .

⎠⎝

PROCEDIMIENTO: COM TENEMOS QUE HALLAR

O x3Lnu = udxd , PERO COMO u ESTA

F NA FUNCION LOGARITMO NATURAL DE u, PARA PODER HALLAR ORMADA POR U

udxd TENEMOS QUE USAR LA FORMULA

u

udxd

)uIn(dxd

= , ENTONCES:

66

COMO: x3Lnu = USANDO LA FORMULAu

udxd

)uIn(d= ⇒

x1ud3ud

=⇒= dxx3dxdx

AHORA SUSTITUIMOS udxd QUE ACABAMOS DE OBTENER Y x3Lnu = EN LA FORMULA DE

LA D DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a ELEVADA A LA u, ERIVADA

aInaud)a(d uu ⎟⎞

⎜⎛= ., POR LO QUE EL E

dxd ⎠⎝R SULTADO DE LA DERIVADA

x ES .

aLna

x1y' 3xLn=

3. y = Tan ( Ln 8x4 )

N ESTE EJERCICIO TAMBIEN TENEMOS DOS FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS SON UNA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA Y UNA FUNCIÓN LOGARITMICA. ESTA DERIVADA PERTENECE AL PRIMER CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN L

E

OGARITMICA ESTA DENTRO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA. BÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN TANGENTE DE u,

DONDE u = Ln 8x4, ASÍ QUE USAREMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN

TANGENTE DE u, usecudxd)u(tan

dxd 2⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= .

COMP udxdROCEDIMIENTO: O u = Ln 8x4 TENEMOS QUE HALLAR , PERO COMO u ESTA

FORMADA POR UNA FUN ION LOGARITMO NATURAL DE u, PARA PODER HALLAR C

udxd

u

udxd

)uIn(dxd

=TENEMOS QUE USAR LA FORMULA , ENTONCES:

OMO: u = Ln 8x4 USANDO LA FORMULACu

udxd

)uIn(dxd

= ⇒ x4u

dxd

x8x32u

dxd

4

3=⇒=

AHORA SUSTITUIMOS udxd QUE ACABAMOS DE OBTENER Y u = Ln 8x4 EN LA FORMULA

DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE DE u, usecudxd)u(tan

dxd 2⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= .POR LO QUE EL

RESULTADO DE LA DERIVADA ES .

42 8xLnSecx4y'=

.

EMOS DOS FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS SON UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y UNA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA. ESTA DERIVADA P CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA ESTA DENTRO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

ÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e ELEVADO A LA u, DONDE u = Sec 15x, AS OS LA FORMULA DE LA

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e ELEVADO A LA u

4 x15Secey = EN ESTE EJERCICIO TAMBIEN TEN

ERTENECE AL PRIMER

B

Í QUE USAREM

, uu eudxd)e(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= .

67

PROCEDIMIENTO: COMO u = Sec 15x TENEMOS QUE HALLAR udx

, PEd RO COMO u ESTA

F A FUNCION SECANTE DE u, PARA PODER HALLAR ORMADA POR UN udxd TENEMOS QUE

USAR LA FORMULA utgusecudxd)u(sec

dxd

= , ENTON

OMO: u = Sec 15x USANDO LA FORMULA

CES:

C utgusecudx

) = ⇒ du(secdxd x15tgx15sec15u

dx= d

R SUSTITUIMOS

udxd AHO A QUE ACABAMOS DE OBTENER Y u = Sec 15x EN LA FORMULA

DE LA DE A LA u,

DE BASE e ELEVADO RIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL uu d ⎞⎛= eu

dx)e(

d⎟⎠

⎜⎝

. POR LO QUE EL RESULTADO DE . xd LA DERIVADA ES

( )15xSece15xtg15xsec15y'=

. Ln Cos 8x

N ESTE EJERCICIO TAMBIEN TENEMOS DOS FUNCIONES TRASCENDENTES, ESTAS SON UNA FUNCIÓN LOGARITMICA Y UNA FUNCIÓN. TRIGONOMETRICA ESTA DERIVADA PERTENECE AL PRIMER CASO DE COMBINACIÓN DE FORMULAS, YA QUE LA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA ESTA DENTRO DE LA FUNCIÓN LOGARITMICA.

ÁSICAMENTE LO QUE TENEMOS QUE DERIVAR ES UNA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL DE u, DONDE , ASÍ QUE USAREMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE

LA FUNCIÓN LOGARITM DE u

25

E

B

2x8Cosu =

O NATURAL , u

udxd

)uIn(dxd

= .

ROCEDIMIENTO: COMO TENEMOS QUE HALLAR

P 2x8Cosu = udxd

R HALLAR

, PERO COMO u ESTA

FORMADA POR UNA FUNCION COSENO DE u, PARA PODE udxd TENEMOS QUE

USAR LA FORMULA usenudxd)u(cos

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= , ENTONCES:

OMO USANDO LA FORMULA: 2x8Cosu = usenudxd)u(cos

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ⇒ 2x8Senx16udxd

−= C

AHORA SUSTITUIMOS udxd QUE ACABAMOS DE OBTENER Y EN LA FORMULA

DE LA

2x8Cosu =

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL DE u, u

)uIn(dx

= . POR LO QUE u

dxd

d

EL RESULTADO DE LA DERIVADA ES:

2x8Cosy' −=

2x8Senx16

MISMO ANGULO (8x2) PODEMOS USAR LAS IDENTIDADES TRIGINOMETRICAS PARA

SIMPLIFICAR EL RESULTADO. EN ESTE CASO USAREMOS LA IDENTIDAD

COMO EN EL RESULTADO NOS QUE DAN DOS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS CON EL

αα

=αCosSen

Tan , ASÍ

68

QUE LA EXPRESIÓN 2x8Cos

x8Sen SE PUEDE CAMBIAR POR 2x8Tan , ASÍ QUE EL RESULTADO

DE LA DERIVADA ES:

28xTan16xy' −=

2

6. y = Sen 4x – Cos 15x2

O TAMBIEN APARECEN DOS FUNCIONE TRASCENDENTES, PERO A DIFERE

MO LAS FUNCIONES ESTAN REALIZANDO UNA OPERACIÓN ALGEBRAICA, TENEMOS QUE SACAR LA DERIVADA DE ESTA OPERACIÓN ALGEBRAICA, EN ESTE CASO UNA DIFERE UNA SUMA O RE

EN ESTE EJERCICI SNCIA DE LOS EJERCICIOS 1, 2, 3, 4 Y 5, EN QUE UNA FUNCION ESTABA O ERA UNA

PARTE DE LA OTRA, LAS FUNCIONES SON INDEPENDIENTES LA UNA DE LA OTRA Y SOLO ESTAN REALIZANDO UNA OPERACION ALGEBRAICA, EN ESTE CASO UNA DIFERENCIA.

CO

NCIA, ASÍ QUE LA FORMULA QUE VAMOS A USAR ES LA DE DERIVADA DESTA: ...)v(

dxd)u(d...)vu(d

±−=±− dxdx

COMO DIJIMOS LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN DIFERENCIA, POR

LO Q 2UE u = Sen 4x Y v = Cos 15x . PARA OBTENER LA udx

TENEMOS QUE UTILIZAR LA

FORMULA DE DERIVADA DE LA FUNCION S

d

ENO ucosudxd)usen(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= , MIENTRAS QUE

PARA OBTENER LA vdxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA SACAR LA DERIVADA DE

LA FUNCION COSENO usenudxd)u(cos

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= .

ucosudxd)usen(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ⇒ x4Cosx4udxd

= COMO: u = Sen 4x USANDO LA FORMULA

COMO: v = Cos 15x2 USANDO LA FORMULA vsenvdxd)v(cos

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ⇒ 2x15Senx30vdxd

−= . EN

ESTE CASO POR MANEJO DE FORMULA, ESTAMOS SUPONIENDO QUE v = u, POR ESO TODAS LAS u DE LA FORMULA DE LA DERIVADA DEL COSENO FUERON CONSIDERADAS COMO v.

HORA SUSTITUIMOS A udxd Y v

dxd EN NUESTRA FORMULA DE SUMA O RESTA:

...)v(dxdxx

d)u(...)vu(d

±−=±− CON LO QUE OBTENEMOS:

y’= 4 Cos 4x – (– 30x Sen 15x2 ) MULTIPLICANDO LOS SIGNOS DEL SEGUNDO PARENTESIS:

A OPERACIÓN LGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN PRODUCTO, QUE T N PRODUCTO

d d

y’ = 4 Cos 4x + 30x Sen 15x2 7. y = Tan 10x3 Cos 20x2 L A POR LO ENDREMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA DE U

)u(dxdxx

dv)v(du)uv(d

+= . d

69

COMO DIJIMOS LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN PRODUCTO, POR LO QUE u = Y . PARA OBTENER LA 3x10Tan 2x20Cosv = u

dxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA

FORMULA DE DERIVADA DE LA FUNCION TANGENTE usecudxdx ⎠⎝

QUE PARA OBTENER LA

d)u(tand 2⎟⎞

⎜⎛= , MIENTRAS

vdxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA SACAR LA DERIVADA

DE LA FUNCION COSENO usenudxd)u(cos

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= .

COMO: 3x10Tanu = USANDO LA FORMULA usecudx

)u(tandx

2⎟⎠

⎜⎝

= ⇒ dd ⎞⎛ 322 x10secx30udx

=

x

d

COMO 20Cosv = USANDO LA FORMULA: 2 usenudxd)u(cos

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ⇒ 2x20Senx40vdxd

−= .

IMOS , AHORA SUSTITU 3x10Tanu = 322 x10secx30u

dxd 2= , Y x20Cosv = 2x20Senx40v

dxd

−= ,

EN NUESTRA FORMULA DE PRODUCTO )u(dx

vdx

u)uv(dx

+= CON LO QUE OBTENd)v(dd EMOS:

( ) ( )322223 x10secx30x20Cosx20Senx40x10Tany' +−=

PARA TENER LISTO EL RESESTO ES, LAS CANTIDADES A E

ULTADO VAMOS A PASAR LOS TERMINOS INDEPENDIENTES, LGEBRAICAS QU NO ESTAN DENTRO DE ALGUNA FUNCIÓN

TRIGONOMETRICA (– 40x Y 30x2) POR CUESTION DE ESTETICA, COMO EL PRIMER TERMINO ES NEGATIVO, MEJOR CAMBIAMOS EL ORDEN DE LOS TERMINOS, PARA QUE EL PRIMER TERMINO SEA EL POSITIVO Y EL SEGUNDO EL NEGATIVO. APLICANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA ES:

−=

233222 20xSen10xTan40x10xSec20xCos30xy'

8. x20Cot

y =

e x4

LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN COCIENTE, POR LO QUE T DERIVADA ALGEBRAICA DE UN PRODUCTO ENDREMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE

( )0v,

v

)v(dxduu

dxdv

vu

ddx 2

≠−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ .

OMO DIJIMOS LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UN COCIENTE, POR LO Q

CUE x4 Y x20Cotv = . PARA OBTENER LA eu = ud TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA

DE DERI ADdx

V FUNCION EXPONENCIAL DE BASE e ELEVADO A LA u, A DE LAuu eu

dxd)e(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ., MIENTRAS QUE PARA OBTENER LA vdxd

TANGEN

TENEMOS QUE UTILIZAR LA

FORMULA SACAR LA DERIVADA DE LA FUNCION CO TE uCscudxd)uCot(

dxd 2⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= .

COMO: x4eu = USANDO LA FORMULA uu eudxd)e(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ⇒ x4e4ud=

dx

MO USANDO LA FORMUL

: x20Cotv = A uCscudxd)uCot(

dxd 2⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ⇒ x20Csc20vdxd 2−= . CO

70

AHORA SUSTITUIMOS x4eu = , x4e4ud

= , x20Cotv = Y x20Csc20vd 2−=dx

, EN NUESTRA dx

FORMULA DE COCIENTE ( )

0v,)v(

vdxduu

dxdv

2≠

−= CON LO QUE OBTENEMOS:

vu

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

( ) ( )2

2x4x4

v

ARA TENER LISTO EL RESULTADO VA

x20Csc20ee4x20Cot −−=

MOS A PASAR LOS TERMINOS INDEPENDIENTES, ESTO ES, LAS CANTIDADES ALGEBRAICAS QUE NO ESTAN DENTRO DE ALGUNA FUNCIÓN TRIGOMOTRICA (4 Y –20). REALIZAMOS LA MULTIPLICACIÓN DE SIGNOS EN EL SEGUNDO TERMIN

y'

P

O DEL NUMERADOR Y AGREGAMOS EL VALOR DE v, QUE QUEDARA ELEVADO AL CUADRADO. REALIZANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA ES:

( )22x4x4

x20Cot

x20Csce20x20Cote4y'

+=

TERMIN

PARA TERMINAR PODEMOS FACTORIZAR EL NUMERADOR POR TERMINO COMUN, EL

O COMUN ES x4e4 , ENTONCES EL RESULTADO FINAL DE LA DERIVADA ES:

( )20xCot

20xCsc520xCote4y'2

24x=

4

LA OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UNA POTENCIA, YA QUE Sen 8x = (Sen 8x4)3 POR LO QUE TENDREMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA

DE UNA POTENCIA PRODUCTO

+

9. y = Sen3 8x

3 4

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= − udxdum)u(

dxd 1mm .

C N ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UNA POTENCIA, POR LO QUE Y . PARA OBTENER LA

COMO DIJIMOS LA OPERA IÓ

4x8Senu = 3m = udxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA

DE DERIVADA DE LA FUNCION SENO ucosudxd)usen(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= .

COMO USANDO LA FORMULA: 4x8Senu = ucosudxd)usen(

dxd

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ⇒ 43 x8Cosx32udxd

=

AHORA SUSTITUIMOS 4x8Senu = , 3m = Y 43 x8Cosx32u

dxd

= , EN NUESTRA FORMULA DE

POTENCIA ⎟⎞

⎜⎛= − u

dxdum)u(

dxd 1mm , CON LO QUE OB

⎠⎝TENEMOS:

)

ARA TENER LISTO EL RESULTADO VAMOS A MULTIPLICAR LOS TERMINOS INDEPENDIENTES (3 Y 32x3). Y COLOCAREMOS EL RESULTADO DE ESTE PRODUCTO AL INICIO, TAMBIEN COLOCAREMOS EL EXPONENTE DE AFUERA DEL PARÉNTESIS DE LA FUNCIÓN SENO ARRIBA DE LA FUNCIÓN SENO, PARA FORMAR LA EXPRESIÓN SENO CUADRADO, REALIZANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA ES:

( ) x8Cosx32x8Sen3y = ( ) ( 4324

P

71

4423 8xCos8xSen96xy'=

10.

y = Sec7 15x4

A OPERACIÓN ALGEBRAICA QUE TENEMOS ES UNA POTENCIA, POR LO QUE TENDREMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA DE UNA POTENCIA

P ODUCTO

L

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= − udxdum)u(

dxd 1mmR .

EBRAICA QUE TENEMOS ES UNA POTENCIA, POR LO Q . PARA OBTENER LA

OMO DIJIMOS LA OPERACIÓN ALGC

UE Y4x15Secu = 7m = udxd TENEMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA

DE DERIVADA DE LA FUNCION SECANTE uTguSecudxd)uSec(

dxd

= .

COMO: USANDO LA FORMULA4x15Secu = uTguSecu

dxd)uSec(

dxd

= ⇒

443 x15tgx15secx60udxd

=

HORA SUSTITUIMOS , A 4x15Secu = 7m = Y 443 x15Tgx15Secx60u

dxd

= , EN NUESTRA

FORMULA DE POTENCIA ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= − udxdum)u(

dxd 1mm , CON LO QUE OBTENEMOS:

)x15Tgx15Secx60

A TENER LI TO EL RESULTADO VAMOS A MULTIPLICAR LOS TERMINOS INDEPENDIENTES (3 Y 32x3). Y COLOCAREMOS EL RESULTADO DE ESTE PRODUCTO AL INICIO, O TENEMOS DOS FUNCIONES SECANTE DE 15X4, PODEMOS JUNTARLAS EN UNA SOLA, COMO UNA ESTA ELEVADA A LA 6 Y LA OTRA A LA UNO, ENTONCES PODEMOS PONER SOLO UNA ELEVADA A LA 7.TAMBIEN COLOCAREMOS EL EXPONENTE DE AFUERA DEL PARÉNTESIS DE LA FUNCIÓN SENO ARRIBA DE LA FUNCIÓN SENO, PARA FORMAR LA EXPRESIÓN SENO CUADRADO, REALIZANDO TODO LO ANTERIOR EL RESULTADO DE NUESTRA DERIVADA ES:

=

( ) ( ) 64x15Sec7= ( 443y'

PAR S

COM

4473 15xTg15xSec420xy'

72

EJERCICIOS PROPUESTOS ( II – E )

.- y = Sen 3x + Cos 2x

.- y = Tan x2

.- y = Tan x

.- y = Cot ( 1 – 2x2 )

.-

1 x4Csc

41y =

2

2 3 4

5 21

3 xSecy =

6.- ( ) 21

x2Cosy = 7.- y = x2 Senx

.- 8x

9.- y = 3 Sen 2x

xCos=y

10.-

x21Cos4y =

11.- y = 4 Tan 5x 12.- x4Cot

41y =

14.-

n x – (x Cos x) + x2 + 4x + 3

16.-

15.- y = Se

x2Seny =

217.- y = Cos ( 1 – x )

19.- y = Sen ( 3x – 2 )

18.- y = Cos ( 1 – x )2

2

13.- x

31Sec9y =

20.- x2SenxTan21y =

COMBINADAS: II – D

3.- y = Ln ( x + 3 ) → ESTO ES LO MISMO QUE

2

( )[ ]23 2xLny += 4.- y = Ln ( x3 + 2 )(x2 + 3 )

15.-

5.- y= Ln Sen 3x 12.- y = Ln ( Sec x + Tan x )

x3Seney =

73

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS (NO APLICA AL EXAMEN DEPARTAMENTAL) DERIVAR: 1. y = Arc Sen ( 2x – 3 ) LA FUNCION QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCION ARCO SENO

2u1)usenarc(

x −= .

udx

d

SE SIGUE EN ESTE EJERCICIO PARA HALLAR LA DERIVADA DE LA FUNCION DADA ES EL SIGUIENTE:

u Y A PARTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS VALORES QUE NOS INDICA LA FORMULA DE LA DERIVADA FUNCION ARCO SENO, ESTOS VALORES SON

dd

EL PROCEDIMIENTO QUE

SE DEFINE CUAL ES EL VALOR DE

udxd Y u2. EL VALOR DE u = 2x – 3, POR LO QUE EL VALOR DE u

dxd

LA F

= 2 Y u2 =

(2x – 3)2. VALORES LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA DERIVADA DE UNCION

A2u1

udxd

)usenarc(d= . RCO SENO

dx −

( )23x21

2 y'−−

=

ESARROLL MOS LA EXPRESIÓN (2x – 3)2, LA CUAL NOS DA 4x2 – 12x + 9, PERO POR EL SIG O QUE ESTA DELANTE DEL PARÉNTESIS TODOS LOS TERMINOS CAMBIAN DE SIGNO.

D A

NO NEGATIV

( ) 9x12x41

2y'9x12x41 2 +−−

22 −+−

=⇒= y'

REDUCIMOS LOS TERMINOS SEMEJANTES DENTRO DEL RADICAL (1 – 9 = –8).

8x12x4

2y' =2 −+−

L TRINOMIO QUE ESTA DENTRO DE LA RAIZ CUADRADA, LO FACTORIZAMOS POR

TERMINO COMUN, EL TERMINO COMUN ES 4. E

( )2x3x4

2y' = 2 −+−

EL CUATRO TIENE RAIZ CUADRADA EXACTA, POR LO QUE LE SACAMOS RAIZ

CUADRADA (2) Y EL RESULTADO SE COLOCA YA EN LA PARTE DE AFUERA DE LA RAIZ CUADRADA.

2x3x2

2= y'

2 −+−

QUE ESTA EN EL NUME OMINADOR. EL RESULTADO DE LA DIVISIÓN ES UNO, POR LO QUE NOS QUEDARA UNO EN EL NUMERADOR.

HACEMOS UNA SIMPLIFICACIÓN YA QUE PODEMOS DIVIDIR EL 2

RADOR ENTRE EL 2 QUE ESTA EN EL DEN

74

23xxy'

2 −+−= 1

= Arc Cos x2 2. y LA FUNCION QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCION ARCO COSENO

2u1

udxd

)ucosarc(dxd

−−= .

EL PROCEDI IENTO QUE SE SIGUE EN ESTE EJERCICIO PARA HALLAR LA DERIVADA DE LA FUNCION DADA ES EL SIGUIENTE:

CUAL ES EL VALOR DE u Y A PARTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS VALORES QUE NOS INDICA LA FORMULA DE LA DERIVADA FUNCIÓN ARCO COSENO,

M

SE DEFINE

ESTOS VALORES SON udxd Y u2.

x2, POR LO QUE EL VALOR DE u’ = 2x Y u2 = (x2)2 ⇒ u2 = x4 EL VALOR DE u =

YA QUE TENEMOS LOS VALORES DE u

dxd Y u2 LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA

DERIV DA2u1

udxd

A DE LA FUNCIÓN ARCO COSENO )ucosarc(dxd

−−= , QUE ES UNA DERIVADA

NEGATIVA.

( )4x1

x2y'−

−=

SOLO QUE N CUENTA QUE DELANTE DE u2 HAY TAMBIÉN UN SIGNO

NEGATIVO, POR LO QUE EL VALOR u2 CAMBIARA DE SIGNO. HAY QUE TENER E

4x1

2xy' −= −

3. y = Arc Tan 3x2

NCIÓN QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCIÓN ARCO TANGENTE LA FU

2u1+

udxd

)utanarc(d= .

d

RTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS VALORES

x SE DEFINE CUAL ES EL VALOR DE u Y A PA

udxd Y u2.

L VALOR DE u = 3x2, POR LO QUE EL VALOR DE u

dxdE = 6x Y u2 = (3x2)2 ⇒ u2 = 9x4.

L OS VALORES DE u

dxd Y u2 LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA

FUNCIÓ2u1

udxd

)utanarc(d= . N ARCO TANGENTE

dx +

49x16xy'+

=

75

4. x

2CosArcy = 1

DERIVAR ES LA FUNCIÓN ARCO COSENO LA FUNCIÓN QUE TENEMOS PARA

2dx)ucos−

−= . u1

ud

arc(dxd

DE u Y A PARTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS V

SE DEFINE CUAL ES EL VALOR ALORES u

dxd Y u2.

EL VALOR DE x21

= , POR LO u QUE EL VALOR DE 21u

dxd

= Y 222

2 x41ux

21u =⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= .

E

udxdD Y u2 LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN ARCO

C2u1

udx)ucosarc(d

−= . OSENO d

dx −

44

OS TÉRMINOS QUE TENEMOS DENT

x

2y'1

2y'22

=⇒

−

= 1

1

x1

1

−

RO DE LA RAÍZ CUADRADA, LOS SUMAMOS S

LIGUIENDO LAS REGLAS DE LA SUMA DE FRACCIONES.

21

4x4 2−

y' =

CUADRADA, SOLO EL DENOMINADOR (4) TIENE RAÍZ CUADRADA EXACTA, ASÍ QUE LE SACAMOS RAÍZ CU

DE LA FRACCIÓN QUE NOS QUEDA DENTRO DE LA RAÍZ

ADRADA.

2x4

1

2−

ODEMOS HACER LA LEY DEL “SÁNDWICH”, CON ESTO YA ELIMINAMOS LA FRACCIÓN

Q

2y' =

PUE TENÍAMOS EN EL DENOMINADOR.

2x42

2y'−

=

MINADOHACEMOS LA DIVISIÓN DEL 2 DEL NUMERADOR CON EL 2 DEL DENO R Y YA

TENEMOS EL RESULTADO DE LA DERIVADA.

76

2x4 −

1=

.

y'

x3TanArcy = 5

LA FUNCIÓN QUE TENEMOS PARA DERIVAR ES LA FUNCIÓN ARCO TANGENTE

2u1+

udxd

)utanarc(d

= .

E DEFINE CUAL ES EL VALOR DE u Y A PARTIR DE ESTE VALOR SE SACAN LOS V

dx SALORES DE u

dxd Y u2.

EL VALOR DE x3u = , ES DECIR u = 3x–1, POR LO QUE EL VALOR DE u

dxd = –3x–2 ES DECIR

2x3ud

−= Y 2

22

2 9u3u =⇒⎟⎞

⎜⎛= .

xx ⎠⎝dx LOS VALORES DE u

dx Y u LOS SUSTITUIMOS EN LA FORMd 2 ULA DE LA DERIVADA DE LA

F2u1

udxd

)utanarc(dxd

+= . UNCIÓN ARCO TANGENTE

2

2

x91

x3

y'+

−=

OS TÉRMINOS QUE TENEMOS EN EL DENOMINADOR, LOS SUMAMOS SIGUIENDO LAS REGLAS DE LA SUMA DE FRACCIONES APLICANDO LA LEY DE LOS SIGNOS DE LA DIVISIÓN LA FRACCIÓN NOS QUEDA NEGATIVA.

L

2

2

x9x +

2x3

−=

S QUE APLICAR LA LEY DEL “SÁNDWICH”.

y'

ARA PODER REDUCIR LA FRACCIÓN TENEMOP

( )9xx 22 += x3

ERIVADA.

2y'

HACEMOS LA DIVISIÓN DE LA x2 DEL NUMERADOR CON LA x2 DEL DENOMINADOR (LA

QUE ESTA FUERA DEL PARÉNTESIS) Y YA TENEMOS EL RESULTADO DE LA D

9x3y'

2 +=

77

EJERCICIOS PROPUESTOS ( II – F )

1.-xaSenArcy =

2.- axSenArcy =

4.-

3.- y = Arc Tan ( 2x – 4 )

2x53CscArcy −

=

5.-

axCosArcy =

.-6cxTanArcy =

7.- 21

xSenArcy =

x8.- y = arc Sec e 9.-

2TanArcy = x53 −

10.-

( )1

5TanArcy = 22 x10x −

78

2.2.3 DERIVACIÓN APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA

ES (P

STE TIPO DE DERIVADAS RELACIONAN A DOS FUNCIONES DEPENDIENTES QUE SE T CIONES LAS VAMOS A DENOMINAR COMO LA FUNCIÓN u Y LA FUNCIÓN y.

L PRINCIPIO, ESTAS DOS FUNCIONES SON DEPENDIENTES, LA FUNCIÓN u ES DEPENDIENTE DE LA VARIABLE x MIENTRAS QUE LA FUNCIÓN y DE LA F

A FORMULA PARA RESOLVER UNA DERIVADA DE FUNCIÓN DE FUNCIÓN ES LA S

OBJETIVOS: 1. APLICARA LA FORMULA DE LA REGLA DE LA CADENA PARA DERIVAR FUNCIONO, EA) EIENEN QUE DERIVAR AL MISMO TIEMPO. ESTAS FUN

COMO SE DIJO A

UNCIÓN u. LIGUIENTE:

dxdudx•=

dudydy

N ESTE TIPO DE DERIVADAS NOS VAN A DAR EL VALOR DE y Y TAMBIÉN EL VALOR DE u Y DESPUÉS AMBAS DERIVADAS SE MULTIPLICAN Y DESPUÉS SE SUSTITUYEN D S u POR SU VALOR INICIAL Y SE HACEN TODAS LAS REDUCCIONES ALGEBRAICAS QUE SEAN POSIBLES PARA OBTENER LA RESPUESTA.

JEMPLOS:

R IV IGUIENTES FUNCIONES APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA:

. HALLAR LA

E. AMBAS FUNCIONES SE DERIVAN

TO AS LA

E HALLA LA DER ADA DE LAS S

dudy1 SI y = 3u2 – u Y u = 7x2 – 5x

COMO PRIMER PASO TENEMOS QUE DERIVAR POR SEPARADO CADA UNA DE LAS

FUNCIONES QUE NOS ESTÁN DANDO:

1u6dudy

uu3y 2 −=⇒−=

5x14dxdux5x7 2 −=u −=⇒

AS EN LA FORMULA DE DERIVADA DE LA CADENA Y DESPUÉS MULTIPLICAMOS ESTAS DERIVADAS:

SUSTITUIMOS LOS VALORES DE LAS DERIVADAS OBTENID

( ) ( ) 5x14u30xu84dxdy

5u30x14xu84dxdy

5x141u6dx

+−−=⇒+−−=⇒−−=

AHORA SE SUSTITUYEN LAS u QUE N

dy

OS HAYAN QUEDADO POR SU VALOR INICIAL (u = 7x – 5x):

2

=dxdy 84x ( 7x2 – 5x ) – 30 ( 7x2 – 5x ) – 14x + 5

DESPUÉS DE LA SUSTITUCIÓN DE LOS VALORES DE u, LO QUE SIGUE A CONTINUACIÓN

S AR D

ON SOLAMENTE PROCEDIMIENTOS ALGEBRAICOS DE REDUCCIÓN QUE VAN A VARI ACUERDO AL TIPO DE FUNCIÓN QUE NOS DEN. E

79

MULTIPLICAMOS LOS PARÉNTESIS.

=dydx

588x3 – 420x2 – 210x2 + 150x – 14x + 5

EDUCIMOS LOS TÉRMINOS SEMEJANTES: R

=dx

588x – 630x + 136x + 5 dy 3 2

3

ERIVANDO LAS FUNCIONES:

2. y = 2u2 + 1 Y u = ( x + 2 ) D

u4du

1u2y 2 =⇒−= dy

( ) ( )23 2x3dx

2xu +=⇒+= du

USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA DE LA REGLA DE LA CADENA: S

=dxdy ( 4u )[ 3 ( x + 2 )2 ]

ULTIPLICANDO LAS DERIVADAS OBTENIDAS: M

=dudy 12u ( x + 2 )2

SUSTITUYENDO EL VALOR INICIAL DE u:

=dx

12 ( x + 2 )3 ( x + 2 )dy 2

ÁN MULTIPLICANDO, APLICANDO LA LEY DE EXPONENTE (an) (am) = an+m, SOLO SUMAMOS LOS EXPONENTES DE ESTAS B

TENEMOS DOS BASES IGUALES (x +2) QUE SE EST

ASES:

=dx

12 ( x + 2 )5 dy

3. xuYuy == DERIVANDO LAS NCION FU ES:

u21dy1dy

u1dyuyu 2

121

=⇒=⇒=⇒=⇒=−

ydu

u2du2du

21

x21

dxdu1

dxdux

21

dxduxyxu

122 =⇒=⇒=⇒=⇒=

x2 2

11−

DE DERIVADA DE LA REGLA DE LA CADENA: SUSTITUYENDO EN LA FORMULA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x21

u21

dxdy

80

MULTIPLICANDO LAS DE IVADAS OBTENIDAS:

R

xu4dx=

dy 1

NDO EL VALOR INICIAL DE u: SUSTITUYE

xx4

1dy=

dx

x SI MULTIPLICAMOS LOS ÍNDICES DE LAS DOS RAÍCES, PODEMOS UNA SOLA RAÍZ. SI MULTIPLICAMOS LOS ÍNDICES ( 2•2 )

OBTENEMOS UNA RAÍZ CUARTA, POR LO QUE LA FRACCIÓN NOS QUEDA:

EN EL DENOMINADOR TENEMOS LA EXPRESIÓN: LA RAÍZ CUADRADA DE LA RAÍZ

CUADRADA DE , EXPRESARLO COMO

xx4

ARA PODER SIMPLIFICAR LAS RAÍCES, ES MEJOR PASAR LAS RAÍCES A SU FORMA DE

1dy4

=

POTENCIA:

dx

P

⎟⎟⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

21

41

xx4dx

⎠⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=1

BASES IGUALES, POR LO QUE SI APLICAMOS LAS LEYES DE EXPONENTES, LO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUMAR LOS EXPONENTES DE AMBAS BASES, ENTONCES EL PRODUCTO DE LAS DOS x NOS VA A

D

dy

LAS RAÍCES NOS QUEDAN COMO EL PRODUCTO DE DOS

AR 4x . 3

31dy

= dx

4x4 PASANDO ESTA FORMA DE POTENCIA A SU FORMA DE RAÍZ, EL RESULTADO DE LA

DERIVADA ES:

4 3x4

1dy=

x2 – 3

FUNCIONES:

dx

4. y = u3 – u2 – u Y u = 2 DERIVANDO LAS

=dudy y´= 3u2 – 2u – 1 Y =

dxdu 4x

USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA DE LA REGLA DE LA CADENA: S

=dxdy ( 3u2 – 2u – 1 ) ( 4x )

ULTIPLICANDO LAS DERIVADAS OBTENIDAS: M

81

=dxdy 12 xu2 – 8xu – 4x

USTITUYENDO EL VALOR INICIAL DE u: S

=dxdy 12x ( 2x2 – 3 )2 – 8x ( 2x2 – 3 ) – 4x

ESARROLLANDO EL EXPONENTE DEL PRIMER PARÉNTESIS: D

=dxdy 12x ( 4x4 – 12x2 + 9 ) – 8x ( 2x2 – 3 ) – 4x

LIMINANDO PARÉNTESIS POR MEDIO DE LA MULTIPLICACIÓN: E

=dxdy 48x5 – 144x3 + 108x – 16x3 + 24x – 4x

EDUCIENDO TÉRMINOS SEMEJANTES: R

=dxdy 48x5 – 160x3 + 128x

3 2 3 2

LAS FUNCIONES:

5.- y = 2u – 4u Y u = 5x – 2x +3x DERIVANDO

=dy 6u2 – 8u Y =

du 15x2 – 4x + 3 du dx

USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA DE LA REGLA DE LA CADENA: S

=dxdy ( 6u2 – 8u ) ( 15x2 – 4x + 3 )

MULTIPLICANDO LAS DERIVADAS OBTENIDAS:

=dx

90x2u2 – 24xu2 + 18u2 – 120x2u + 32xu – 24u

dy

SUSTITUYENDO EL VALOR INICIAL DE u:

=dy 2 3 2 2

dxx( 5x3 – 2x2 +3x ) –

90x ( 5x – 2x +3x ) – 24x( 5x3 – 2x2 +3x )2 + 18( 5x3 – 2x2 +3x )2 – 120x2( 5x3 – 2x2 +3x ) +

3 24( 5x3 – 2x2 +3x)

ADO, PODEMOS FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN (TC) LA EXPRESIÓN, EL TC ES ( 5x3 – 2x2 +3x ):

2 PARA NO TENER QUE DESARROLLAR LOS EXPONENTES DE LOS PARÉNTESIS QUE

ESTÁN ELEVADOS AL CUADR

=dydx

32x – 24] LIMINANDO PARÉNTESIS POR MEDIO DE LA MULTIPLICA

( 5x3 – 2x2 +3x ) [90x2( 5x3 – 2x2 +3x ) – 24x( 5x3 – 2x2 +3x ) + 18( 5x3 – 2x2 +3x ) – 120x2 +

CIÓN: E

82

=dxdy ( 5x3 – 2x2 +3x ) [450x5 – 180x4 + 270x3 – 120x4 + 48x3 – 72x2 + 90x3 – 36x2 + 54x –120x2 +

32x – 24] REDUCIENDO LOS TÉRMINOS SEMEJANTES DE ADENTRO DEL CORCHETE:

=dx

( 5x3 – 2x2 +3x ) ( 450x5 – 300x4 + 408x3 – 228x4 + 86x – 24)

dy

PODEMOS DEJAR ASI EL RESULTADO, PERPERACIONES ALGEBRAICAS QUE NOS AY

O TODAVÍA PODEMOS SEGUIR HACIENDO O UDEN A REDUCIR EL RESULTADO OBTENIDO, SI QUEREMOS SEGUIR REDUCIE DO, TENDREMOS QUE MULTIPLICAR L

NDO EL RESULTAOS TERMINO DE LOS DOS PARÉNTESIS:

=dx

72x3 + 48x2 + 1350x6 – 900x5 + 1224x4 – 684x3 + 258x2 – 7

dy 2250x8 – 1500x7 + 2024x6 – 1140x5 + 430x4 – 120x3 – 900x7 + 600x6 – 816x5 + 456x4 –

1 2x

IENDO TÉRMINOS SEMEJANTES: REDUC

=dy 8 7 6 5 4 3

dx2250x – 2400x + 3990x – 2856x + 2110x – 976x + 306x2 – 72x

JERCICIOS PROPUESTOS ( II – G )

R LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES APLICANDO LA DERIVADA DE LA CADENA:

Y u = 2x + 1.

E OBTENE

.- SI y ES IGUAL A u2 + 3 1

2.- SI

1u1uy

+−

= Y u = x

.- SI y = u3 + 4 Y u = x3 2 + 2x

3 3

4.- SI y = u3 Y u = x2 – 3x 5.- SI y = u Y u = 5x – 10x

83

2.3 DERIVACION IMPLICITAS

S DE FUNCIONES IMPLICITAS

. OBTENDRA LA DERIVADA DE UNA FUNCION IMPLÍCITA. (PO, EA)

ASTA AHORA SOLO HEMOS VISTO DERIVADAS DE FUNCIONES EXPLICITAS, PERO TAMBIEN PODEMOS SA AS A LAS FUNCIONES IMPLÍCITAS.

NES IMPLÍCITAS, PODEMOS DECIR QUE T IGUIENTE:

SE DERIVAN TODOS LOS TERMINOS DE LA FUNCION, NO IMPORTANDO EL TIPO DE NO DE VARIABLE

y, HAY QUE AGREGARLE AL RESULTADO DE SU DERIVADA LA EXPRESIÓN y ’ O

2.3.1 DERIVADA OBJETIVOS 1 H

CARLES DERIVAD PARA OBTENER LA DERIVADA DE FUNCIOENEMOS UN METODO A SEGUIR, QUE ES EL S 1.

VARIABLE QUE TENGAN, SOLO QUE CUANDO DERIVEMOS UN TERMI

dxdy .

dxdy2. LOS TERMINOS QUE NO TENGAN LA EXPRESIÓN y ’ O , SE PASARAN AL SEGUNDO

MIEMBRO (LADO DERECHO) DE LA ECUACIÓN.

3. SE FACTORIZAN LOS TERMINOS QUE DEJAMOS EN EL PRIMER MIEMBRO DE LA

ERMINO COMUN LA EXPRESIÓN y ’ O dxdyECUACIÓN, TOMAMDO COMO T .

4 TODOS LOS TERMINOS QUE QUEDAN ENCERRADOS EN EL PARÉNTESIS, QUE ESTA .

MULTIPLICADO POR y’ O dxdy , SE PASAN AL SEGUNDO MIEMBRO. COMO ESTE

PARÉNTESIS ESTA MULTIPLICANDO, PASARA AL SEGUNDO MIEMBRO DIVIDIENDO.

5. HAY QUE REVISAR SI LA FRACCION QUE SE NOS FORMA EN EL SEGUNDO MIEMBRO SE PUEDE SIMPLIFICAR POR ALGUNA FACTORIZACION DE SU NUMERADOR Y

EA POSIBLE, LA FRACCION SERA EL .

EN UN TERMINO, TANTO A LA VARIABLE x COMO A LA VARIABLE y, PARA DE QUE UTILIZAR LA FORMULA DE LA D RODUCTO.

y SE PONE y´ O

DENOMINADOR, EN CASO DE QUE ESTO NO SRESULTADO DE NUESTRA FUNCION IMPLICITA

CUANDO TENGAMOS

RIVAR ESTE TERMINO TENDREMOS ERIVADA ALGEBRAICA DE UN P EJERCICIOS: OBTENER LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES IMPLÍCITAS:

dxdy , USAREMOS

dxdy 1. – 3x2 + 5y + 8x + 9y4 = 0 PARA

DERIVAMOS LA FUNCIÓN, CUANDO DERIVEMOS ALGUNA y LE AGREGAREMOS LA

EXPRESIÓN dxdy :

– 6x + 5 dydx

+ 8 + 36y3

dxdy = 0

RO A LOS TERMINOS QUE NO TIENEN

dxdy CAMBIANDO DE MIEMB

84

5dxdy + 36 y3

dxdy = 6x – 8

FACTORIZANDO POR TERMINO COMUN (dxdy )

( 5 + 36 y3 ) dx

´ = 6x – 8 dy

AHORA DESPEJAMOS A dxdy

336y5 +

8−

VARIABLE x Y A LA VARIABLE y, POR LO QUE PARA OBTENER EMOS QUE UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA A DE LA MULTIPLICACIÓN, DONDE u = 9x2 Y v = y4.

ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN:

9x

6xdy=

dx

2. 4x3 – 8y4 – 9x2y4 = 0 EL TERMINO 9x2y4 TIENE A LA

SU DERIVADA TENDRLGEBRAICA

USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADAS

2) ( dxd (y4) + (y4)

dx

ERIVANDO LOS PARÉN

d ( 9x2)

TESIS QUE TIENEN ADELANTE EL OPERADOR DIFERENCIAL:

9x2) (4y

D

3 dy ) + (y4) (18x)

LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO:

( dx

MULTIPLICANDO

36x2y3

dxdy + 18xy4

YA QUE TENEMOS LA DERIVADA DE ESTE TERMINO, LO SUSTITUIMOS Y DERIVAMOS

LOS OTROS TÉRMINOS DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA:

2x2 – 32y31dxdy – ( 18xy4 + 36x2y3

dxdy ) = 0

EL SIGNO NEGATIVO QUE ESTA DELANTE DEL PARÉNTESIS, LE VA A CAMBIAR DE

SIGNO A LOS TÉRMINOS QUE ESTÁN DENTRO DE ÉL.

12x2 – 32y3

dxdy – 18xy4 – 36x2y3

dxdy = 0

SEGUNDO MIEMBRO A LOS TÉRMINOS QUE NO TIENEN

ASANDO ALdxdy : P

– 32y3

dxdy – 36x2y3

dxdy = 18xy4 – 12x2

ACTORIZANDO POR TERMINO COMÚN (y’) Y DESPEJANDO A y’:

F

85

( )( ) 323

24

y18x16y6x9xy

dxdy

+

−−=⇒

+−

−=⇒

−−

−=

323

24

323

24

yx18y162

x6xy92dxdy

yx36y32

x12xy18dxdy

N LOS DO ÚLTIMOS PROCEDIMIENTOS, E S SOLO SE BUSCA REDUCIR LA RESPUESTA,

P NO COMÚN, PARA EL NUMERADOR EL TERMINO COM MINADOR EL TERMINO COMÚN ES M

ESIS, SE DIVIDEN Y POR LEYES DE SIGNOS DE VA.

2y3

O E x Y A LA VARIABLE y, POR LO QUE PARA O UTILIZAR LA FORMULA DE DERIVADA A

.

A ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN: (10x3

ARA ELLO FACTORIZAMOS POR TERMIÚN ES DOS, MIENTRAS QUE PARA EL DENO

ENOS 2. LAS CANTIDADES QUE QUEDAN FUERA DEL PARÉNT

LA DIVISIÓN LA FRACCIÓN NOS QUEDA NEGATI . 10x3y3 + 9x2y4 – 5x3y2 = 4x3

ODOS L S TÉRMINOS TIENEN A LA VARIABLT

BTENER SU DERIVADA TENDREMOS QUEGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN. L

ARA 10x3y, TENDREMOS QUE u = 10x3 Y v = y3P

USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADS

) dxd (y3) + (y3)

dxd (10x3)

RADOR DIFERENCIAL:

0x ) (3y

ERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE EL OPED

3 2 dy(1

dx

ULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO:

) + (y3) (30 x2)

M

30x3y2

dxdy + 30x2y3

PARA 9x2y4, TENDREMOS QUE u = 9x2 Y v = y4. SUSTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN: (9x2)

dxd (y4) + (y4)

dxd (9x2)

DERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE EL OPERADOR DIFERENCIAL:

x2) (4y3(9dx

dy ) + (y4) (18x)

ULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO:

2

M

6x y33dx

+ 18xy

PARA 5x3y2, TENDREMOS QUE u = 5x3 Y v = y2.

USTITUYENDO EN LA FORMULA DE D

dy 4

ERIVADA ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN:

x

S

3(5 ) d 2 2

dx (y ) + (y )

dx

d 3 (5x )

86

DERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE EL OPERADOR DIFERENCIAL:

5x3) (2y(dxdy ) + (y2) (15x2)

ULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO: M

10x3ydxdy + 15x2y2

PARA 4x2y3, TENDREMO QUE u = 4x2 Y v = y3.

USTITUYENDO EN LA FORMULA DE DERIVADA ALGEBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN:

2

S

S

) dxd (y3) + (y3)

dxd(4x (4x2)

PERADOR DIFERENCIAL:

2) (3y

DERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE EL O

2

dxdy ) + (y3) (8x) (4x

MULTIPLICANDO LOS PARÉNTESIS DE CADA LADO:

12x2y2

dxdy + 8xy3

SUSTITUIMOS LOS VALORES DE NUESTRAS DERIVADAS EN LA FUNCIÓN, LAS

D SIGNO NEGATIVO.

ERIVADAS OBTENIDAS DEL TERMINO 5x3y2, VAN A CAMBIAR DE SIGNO, PORQUE DELANTE DEL TERMINO HAY UN

30x3y2

dxdy + 30x2y3+ 36x2y3

dxdy + 18xy4´ – 15x2y2 – 10x3y

dxdy = 8xy3 + 12x2y2

dxdy

dxdyAGRUPANDO EN EL PRIMER MIEMBRO A LOS TÉRMINOS QUE TIENEN Y EN EL

S NEN dxdy : EGUNDO MIEMBRO A LOS QUE NO TIE

30x3y2

dxdy 2y3+ 36x

dxdy – 10x3y

dxdy – 12x2y2y´= 8xy3 – 30x2y3 – 18xy4 + 15x2y2

ACTORIZANDO POR TERMINO COMÚN

F (dxdy ) A LOS TÉRMINOS DEL PRIMER MIEMBRO Y

DESPEJANDO A dxdy :

2233222

224323

yx12yx10yx36yx30

yx15xy18yx30xy8dxdy

−−+−

+−−=

COMO TODOS LOS TÉRMINOS TIENEN AL MENOS UNA x O UNA y, PODEMOS

FACTORIZAR POR TERMINO COMÚN, EL TERMINO COMÚN ES xy

( )( ) 12xy10x36xy30xy

15xy18y30xy8ydxdy

22

322

−−+−

+−−=⇒

−−+−

+−−=

xy12x10xy36xy30xy

xy15y18xy30y8xydxdy

22

322

87

EJERCICIOS PROPUESTOS( II – H )

ALLAR LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES IMPLÍCITAS, CONSIDERANDO x COMO LA VARIABLE INDEPENDIENTE:

. y2 = 4px

. x2 = 4py

. b2x2 – a2y2 = a2b2 4. x2 – y2 = xy 5. x3 + y3 = 2nxy

H

1 2 3

6. ayx =+ 7. 3 23 23 2 ayx =+

2 – xy + y2 = 3

8. x2y – xy2 + x2 + y2 = 0 9. x

88

2.4 EC AC NES LONGITUDES DE RECTAS RELACIONADAS CON LA

D

.1 ECUACIÓN D LA TANGENTE Y LA NORMAL

O TENDRA LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA NORMAL A UNA FUNCION EN UN PUNTO DADO. (PO, EA)

GENTE Y LA NORMAL

DERIVADA DE UNA FUNCION GEOMÉTRICAMENTE HABLANDO ES IGUAL AL VALOR DE LA PENDIENTE DE LA RECTA QUE ES TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO D I A CURVA.

PARA HALLAR EL VALOR DE LA PENDIENTE DE LA FUNCION, TENDREMOS QUE DERIVAR A ESTA FUNCION Y SUSTITUIR EL VALOR DE x EN EL PUNTO DE TANGENCIA P (x1 , y1).

ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE APLICAREMOS LA FORMULA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA:

y1 = m ( – x1 )

ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL APLICAREMOS LA FORMULA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA:

U IO YERIVADA 2.4 E OBJETIVOS: 1. B

ECUACIÓN DE LA TAN LA

E D CH

P

y – x P

( )11 xx

m1yy −−=−

E DONDE m ES LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE, x1 Y y1 SON LOS VALORES DEL PUNTO DE TANGENCIA.

OR DEFINICIÓN LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL ES PERPENDICULAR A LA RECTA TANGENTE, POR ESO ES QUE PARA OBTENERLA USAMOS EL VALOR DE LA PENDIENTE PERO DE FORMA INVERSA Y DE SIGNO CONTRARIO.

JEMPLOS:

ALLAR EL VALOR DE LA PENDIENTE Y LAS ECUACIÓNES DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

.- y = 3x2 + 5x – 2 EN EL PUNTO ( –2, 3 )

BTENIENDO LA DERIVADA DE LA FUNCION:

’ = 6x + 5

SANDO LA IGUALDAD DE DERIVADA Y PENDIENTE:

= y’

USTITUYENDO y’ EN LA FORMULA DE LA PENDIENTE:

= 6x + 5, COMO x = –2

D

P

E H

1 O y U m S m

89

SUSTITUYENDO EL VALOR DE x:

= 6 ( –2 ) + 5 = –12 + 5

REDUCIENDO TERM m = –7

ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUA IÓN DE LA RECTA:

3 = –7 ( x + 2 ) PLIFICANDO NOS QUEDA:

3 = –7x – 14

MODA DO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:

x + y – 3 + 14 = 0 ⇒ 7x + y + 11 = 0

PARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUACIÓN DE LA RECTA, SOLO QUE EL VALOR QUE USAREMOS PARA LA PENDIENTE S

m

INOS:

P

C y –

IMS – y

ACO N

7

71m = : ERA:

( )2x

713y +=−

EL 7 SE CAMBIA DE MIEMBRO Y PASARA A MULTIPLICAR A LA EXPRESIÓN y – 3,

MIENTRAS QUE EL 1 MULTIPLICARA A LA EXPRESIÓN x + 2

(y – 3) = 1 ( x + 2 )

y – 21 = x + 2

O N A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 N

– 7y +21 +2 = 0 ⇒ x – 7y + 23 = 0

.- y =

7 SIMPLIFICANDO NOS QUEDA: 7

COM DA DO DE ACUERDOAOS QUEDA: x

x ⇒ y = 21

x P.T.( 4, – 2 )

D ADA DE LA FUNCION:

2

BTENIEN O LA DERIVO

x21'yxy 2 =⇒=

1

USANDO LA IGUALDAD DE DERIVADA Y PENDIENTE: m = y´ SUSTITUYENDO y’ EN LA FORMULA DE LA PENDIENTE:

90

x2m = Y x = 4 1

DE x: SUSTITUYENDO EL VALOR

41m

221m

421m =⇒

•=⇒=

ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LP A RECTA TANGENTE, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA

ECUACIÓN DE LA RECTA:

( )4x41y −=+ 2

ISTRIBUYENDO EL VALOR DE LA PENDIENTE:

( y + 2 ) = 1 ( x – 4 )

IMPLIFICANDO NOS QUEDA:

y + 8 = x – 4

COMODANDO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:

– 4y – 8 – 4 = 0 ⇒ x – 4y – 12 = 0

ARA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA NORMAL, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUACIÓN DE LA RECTA m = – 4:

+ 2 = – 4 ( x – 4 )

IMPLIFICANDO NOS QUEDA:

+ 2 = –4x – 16

COMODANDO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:

x + y + 2 + 16 = 0 ⇒ 4x + y + 18 = 0

.- y = Sen x EN EL PUNTO ( 0, 1 )

BTENIENDO LA DERIVADA DE LA FUNCION:

’ = Cos x

SANDO LA IGUALDAD DE DERIVADA Y PENDIENTE:

= y ’

USTITUYENDO y’ EN LA FORMULA DE LA PENDIENTE:

= Cos x , COMO x = 0

STITUYENDO EL VALOR DE x:

D 4 S 4 A

x P

y S y A

4 3 O y U m S m SU

91

m HA

= Cos 0 LLANDO EL VALOR DEL COSENO DE CERO:

= 1

RA OBTENER LA ECUACIÓN USTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUACIÓN DE LA RECTA:

– 1 = 1( x – 0 )

MPLIFICANDO NOS QUEDA:

– 1 = x

OMODANDO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:

– y + 1 = 0

RA OBTENER LA ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL, SUSTITUIMOS x1, y1 Y m EN LA ECUACIÓN DE LA RECTA, m SERA IGUAL A –1.

– 1 = –1( x – 0 )

SIMPLIFICA y – 1 = –

OMODANDO DE ACUERDO A LA FORMA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ax + by + c = 0 NOS QUEDA:

+ y – 1 = 0

EMPLOS PROPUESTOS ( II – A )

LLAR EL VALOR DE LA PENDIENTE Y LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE DE LAS SIGUIENTES CURVAS EN LOS PUNTOS DE TANGENCIA QUE SE INDICAN:

. y = x – 2x + 4 EN EL PUNTO ( 2, 4 )

2 + 5 EN EL PUNTO ( 1, –3 )

y = 10x4 – 20x3 EN EL PUNTO (–1, –5 )

m PA DE LA RECTA TANGENTE, S

y SI y AC

x PA

y

NDO NOS QUEDA:

x AC

x EJ HA

3 21

2. y = 5x – 4x 3. 4. y = –3x4 – 4x3 + 10x2 – 5x + 10 EN EL PUNTO (–2, 1 ) 5. 3 2 4xy += EN EL PUNTO ( 2, 4 ) . y = 23x5 + 5x3 + 2x – 4 EN EL PUNTO ( 3, 4 ) 6

7. y = 5x3 + 2x2 + 4x + 10 EN EL PUNTO ( 1, 2 )

. y = 3x2 + 5x3 – 2x + 15 EN EL PUNTO ( 2, 3 )

. y = 15x4 + 12x2 + 8x + 5 EN EL PUNTO ( 6, 4 )

8 9

92

10. 52

xy = EN EL PUNTO ( –1, 6 ) .4.2. LONGITUDES DE LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL

BJETIVOS:

DE LA SUBNORMAL A UNA F NCION EN UN PUNTO DADO. (PO, EC)

ONGITUDES DE LA TANGENTE, NORMAL, SUBTANGENTE Y SUBNORMAL. (NO APLICA A

FINE COMO LA LONGITUD DEL SEGMENTO DE TANGENTE COMPRENDIDO ENTRE EL PUNTO DE C

A LONGITUD DEL SEGMENTO DE NORMAL COMPRENDIDO ENTRE EL PUNTO DE TANGENCIA Y EL EJE x. LA LONGITUD DE LA PROYECCIÓN DE ESTE SEGMENTO SOBRE EL EJE x RECIBE EL NOMBRE DE LONGITUD DE SUBNORMAL (SN).

2 O 1. CALCULARA LA LONGITUD DE LA RECTA SUBTANGENTE YU LL EXAMEN DEPARTAMENTAL) LA LONGITUD DE TANGENTE A UNA CURVA EN UNO DE SUS PUNTOS SE DE

ONTACTO Y EL EJE x. LA PROYECCIÓN DE ESTE SEGMENTO SOBRE EL EJE x RECIBE EL NOMBRE DE LONGITUD DE SUBTANGENTE (TS).

LA LONGITUD DE NORMAL SE DEFINE COMO L

LA LONGITUD DE LA SUBTANGENTE ESTARÁ DADA POR: my

TS 0=

LA LONGITUD DE LA SUBNORMAL ESTARÁ DADA POR: SN = my0 NOTA: LAS LONGITUDES DE SUBTANGENTE Y SUBNORMAL SON SEGMENTOS

DIRIGIDOS. ALGUNOS AUTORES SOLO CONSIDERAN SUS MÓDULOS (VALOR ABSOLUTO)

my 0 Y 0my RESPECTIVAMENTE. POR ELLO EN LAS SOLUCIONES NO SE MANTENIDO EN

CUENTA MAS QUE DICHOS MÓDULOS. EJERCICIOS RESUELTOS: 1. HALLAR LA LONGITUD DE LA SUBTANGENTE Y LA SUBNORMAL A LA CURVA xy +2x

– y = 5 EN EL PUNTO (2, 1). PRIMERO TENEMOS QUE DERIVAR LA CURVA, HAY QUE TENER EN CUENTA QUE

TENEMOS UNA DERIVADA IMPLÍCITA.

x12y

dxdy

1x2y

dxdy

2ydxdy

dxdy

x0dxdy

2dxdy

xy−+

=⇒−−−

=⇒−−=−⇒=−++

COMO dxdy

m = , ENTONCES x12y

m+

= , SUSTIT−

UIMOS LOS VALORES DEL PUNTO DE

TANGENCIA EN LA ECUACIÓN DE m.

3m3m21=⇒=⇒

+=

121−

−−

m

93

CALCULAMOS LA LONGITUD DE LA SUBTANGENTE (LSTG):

31LSTG =⇒

−=⇒=

31LSTG

my

LSTG 0

CALCULAMOS LA LONGITUD DE LA SUBNO OR): RMAL (LSN

( ) ( ) 3LSNOR =⇒−=⇒−=⇒= 3LSNOR13LSNORmyLSNOR 0

OMO VERÁN,C LA OBTENCIÓN DE LAS LONGITUDES DE LA SUBTANGENTE Y LA SECDERO

A ENTE Y LA SUBNORMAL DE LAS FUNCIONES

E

UBNORMAL ESTA BASADA EN EJERCICIO PARECIDOS AL DE LA OBTENCIÓN DE LA UACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL, SOLO TENEMOS QUE

IVAR LA FUNCIÓN QUE NOS DEN, IGUALAR LA PENDIENTE CON LA DERIVADA BTENIDA Y LUEGO USAR LA FORMULA CORRESPONDIENTE. EJERCICIOS PROPUESTOS: (CAL-B)

LLAR LAS LONGITUDES DE LA SUBTANGHN EL PUNTO QUE SE INDICA. . 3x2 – 2y2 = 5, EN EL PUNTO (–2, 1). SOL. 1/3 Y 3 1

. 5y2 – 9y + x2 – x – 2 = 0, EN EL PUNTO (3, 1) sol. 1/5 y 5 2

3. xa2

y−

= , EN EL PUNTO (a, a) sol. a/2 y 2a

ay = x2, EN EL PUNTO (a, a) a/2 y 2a

2 2

x2

4. . x – 4y = 9, EN EL PUNTO (5, 2) 16/5 y 5/4

3

5

94

AUTOEVALUACIÓN UNIDAD II PRIMER PARCIAL

1. LA EXPRESIÓN xy∆ RE

∆PRESENTA LA RAZON DE CAMBIO _____________________,

MxyLim ∆IENTRAS QUE LA EXPRESIÓN

0x ∆→∆ REPRESENTA LA RAZON DE CAMBIO

_ ___.

VALO DADO.

∈

C.

_________________ 2. EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS HALLA LA RAZON DE CAMBIO PROMEDIO DE LA

FUNCIÓN EN EL INTER A. [ ]4,1x,1x2xy 2 ∈+−= B. [ ]1,2x,x2xy −−= 3

[ ]1,2x,2531x2x1y 2 −+−= ∈

LUEGO PUEDE DECIR QUE TAMBIEN ES UNA RAZON DE CAMBIO IN

L

3. LA _____________________ DE UNA FUNCION ES EL COCIENTE DEL INCREMENTO DE

LA FUNCION ENTRE EL INCREMENTO DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE, CUANDO ESTE TIENDE A CERO,

STANTANEO. 4. ESCRIBE A MENOS 3 DE LAS FORMAS COMO SE DENOTA UNA DERIVADA- 5. EL PROCESO DE HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SE LLAMA

_____________________. UNA FUNCIÓN ES _____________________ (O DIFERENCIABLE) EN x SI SU DERIVADA EN x EXISTE, Y _____________________ EN UN INTERVALO ABIERTO (a E INTERVALO.

. APLICA LA REGLA DE LOS 4 PASOS PARA OBTENER LA DERIVADA DE LAS

S

, b) SI SE PUEDE DERIVAR EN TODOS Y CADA UNO DE LOS PUNTOS DE ES

6IGUIENTES FUNCIONES: A. 10x6x4x3y 23 +−−=

B. 1x1xy

+= −

C. 1x2y −= 7. HALLA LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES ALGEBRAICAS: A. y= 3x3 – 5 x4 – 3x5+6x6

B.

432 x1

x1

x1y −+=

C. y = (5x3+4x2) (8x2 –3 x3)

95

D. 32

23 x4x5y +=

x3x8 −

. y = (14x3 2+6x)10 E –15x

. ( ) ( )2x41x3y −−= 45F

G. ( ) ( )( )423 xx −

625 xx3x2y −−=

( ) ( )H. ( ) ( )34 5x62x5 +−

43 1x21x −−y =

I. ( ) 1x51xy 2 −= −

.

3x −J3x +

y =

96

AUTOEVALUACIÓN UNIDAD II SEGUNDO PARCIAL

. HALLA LA DERIVADA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES TRASCENDENTALES:

C. D.

.

⎞⎛

8 A. x20ay = B

. x52x10ey −=

3x25Cotx10Seny −=

xSeney =

4x5SecLny = E

F. ( )x3Cosey ⎟⎠

⎜⎝

=

2x4

G. 3x4Sec

x5Tany =

2

. ⎞⎜⎛= ( )x6Cscey 32x ⎟H

⎠⎝

( )( )I.23

x23 exCosy−

= xSen

J. 2xTanArcy =

9. EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS APLICA LA REGLA DE LA CADENA PARA OBTENER

dx. d

A. y=u3 + u2 + 3 Y u = 3x + 5

y

B. y=3u2 + u Y u = 3x2 – 6x

10. OBTEN LA dx

DE LAS SIGUIENTES FUdy NCIONES IMPLICITAS:

A. 3x2 – 5y3 + 4y = 0

0

C. 3x2y3 – 5xy4 – 3y = 0

ENDIENTE DE LA RECTA QUE ES TANGENTE A LA CURVA DADA EN EL PUNTO DE TANGENCIA SEÑALADO EN CADA CASO, HALLAR LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A ESE PUNTO DE TANGENCIA.

B. –2x3 + 4y3 – 5x4 + 6y2 =

11. HALLAR EL VALOR DE LA P

97

A. y = 2x2 + 5x, EN EL PUNTO x=3. B. y = x3. EN EL PUNTO (2, 8)

.C xy = , EN EL PUNTO (16, 4)

2. HALLAR LAS LONGITUDES DE LAS RECTAS SUBTANGENTE Y SUBNORMAL A LA CURVA DADA EN EL PUNTO INDICADO.

, 1).

B. EN EL PUNTO (1, 1)

1

A. xy +2x + y = 5 EN EL PUNTO (2

2x4x3y 2 +−=

C. xy = EN EL PUNTO (4, 2)

98

UNIDAD III

“VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES “

L ALUMNO:

ALCULARÁ NIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN; M N DE LOS CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA, ANALIZANDO DIFERENCIALMENTE, LOS INTERVALOS DONDE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE O

SU GRAFICADO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Y APROXIMACIÓN, MOSTRANDO UNA ACTITUD REFLEXIVA Y DE COOPERACIÓN.

PROPÓSITO DE LA UNIDAD E C LOS VALORES MÁXIMOS Y MÍEDIANTE LA APLICACIÓ

DECRECIENTE, CÓNCAVA O CONVEXA E IDENTIFICANDO LA EXISTENCIA DE PUNTOS DE INFLEXIÓN, PARA

99

3.1. APLICACIONES DE LA DERIVADA 3.1.1 CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS CON EL CRITERIO DE LA

PRIMERA DERIVADA.

A

NTO x = x0 , IÓN PARA LOS PUNTOS INMEDIATAMENTE ANTERIORES Y POSTERIORES AL CONSIDERADO.

EN LA FIG.1, LA CURVA TIENE TANGENTE HORIZONTAL EN LOS PUNTOS R, S Y T. LOS

VALORES DE x, (r, s Y t) PARA LOS CUALES LA FUNCIÓN f(x) ES ESTACIONARIA (f’(x) = 0), ECIBEN EL NOMBRE DE VALORES CRÍTICOS Y LOS PUNTOS CORRESPONDIENTES DE

R, S Y T) EL DE PUNTOS CRÍTICOS.

OBJETIVOS: 1. CALCULARA LOS VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN, PLICANDO EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. (PO, EC) MÁXIMOS Y MÍNIMOS (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA) UNA FUNCIÓN y = f ( x ) TIENE UN MÁXIMO O UN MÍNIMO RELATIVO EN UN PU

UANDO f ( x0 ) ES MAYOR O MENOR QUE LOS VALORES DE LA FUNCC

RLA CURVA (

EN LA FIG. 1, R [( r, f(r)] ES UN MÁXIMO RELATIVO DE LA CURVA YA QUE f(r) ES MAYOR

QUE CUALQUIER f(x). EN ESTAS CONDICIONES, y = f(x) TIENE UN MÁXIMO RELATIVO IGUAL A f(r) EN x = r. EN LA MISMA FIGURA, T [( t, f(t)] ES UN MÍNIMO RELATIVO DE LA CURVA PUESTO QUE f(t) ES MENOR QUE CUALQUIER f(x). POR TANTO, y = f(x) TIENE UN

ÍNIMO RELATIVO IGUAL A f(t) EN x = t. OBSÉRVESE QUE R ES EL PUNTO DE UNIÓN DE UN CO AR ASCENDENTE f’(x) > 0), Y OTRO RB DESCENDENTE (f’(x) < 0), MIENTRAS QUE T

U

RMINAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN f(x) CONTINUA PODEMOS USAR EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

ADA

MAR

NE UN ARCO CT DESCENDENTE (f’(x) < 0) CON OTRO TU ASCENDENTE f’(x) > 0). EN EL PUNTO S, SE UNEN DOS ARCOS DESCENDENTES Y, POR CONSIGUIENTE, EN EL NO HABRÁ NI MÁXIMO NI MÍNIMO RELATIVO.

PARA DETE

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIV

RA EL CASO DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN, LOS PODREMOS HALLAR SIGUIENDO LOS CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA O LA SEGUNDA DERIVADA.

PA

100

LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN SE LOCALIZAN EN LOS

PUNTOS DE TANGENCI RIZONTAL, ES DECIR EN LOS PUNTOS EN LOS CUALES LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SE ANULA, ES DECIR, ES IGUAL A CERO. POR LO T A DERIVADA SE OBTIENE UNA ECUACIÓN CUYAS SOLUCIONES CONTIENEN A LOS VALORES CRÍTICOS.

f’(x) = 0

E ACUERDO CON LAS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES:

ÓN ES DECRECIENTE Y DESPUÉS DE EL, LA DUCE QUE SI LA FUNCIÓN CAMBIA DE

NEGATIVA A POSITIVA, TENDREMOS UN MÍNIMO. ANTES DE UN MÁXIMO LA FUNCIÓN ES CRECIENTE Y DESPUÉS DE EL, LA FUNCIÓN

CE QUE SI LA FUNCIÓN CAMBIA DE POSITIVA

L PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA F RIMERA DERIVADA, ES EL SIGUIENTE:

1 SE SACA LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.

VADA SE IGUALA A CERO.

. LA ECUACIÓN IGUALADA A CERO SE RESUELVE PARA x (GENERALMENTE POR FACTORIZACION). LOS VALORES DE x QUE SATISFAGAN A LA ECUACIÓN, RECIBIRÁN

S EN ELLOS DONDE PROBABLEMENTE SE OS DE LA FUNCIÓN.

UNA VEZ LOCALIZADOS LOS VALORES CRÍTICOS, SE REALIZA UNA PEQUEÑA RECTA ESCOGER LOS VALORES VAMOS A

LOR CRITICO. VAMOS A TOMAR UN VALOR CUALQUIERA ANTERIOR Y UNO POSTERIOR AL VALOR CRITICO (DE PREFENCIA ENTEROS) SIEMPRE Y CUANDO ESTOS VALORES NO REBASEN A OTRO VALOR CRITICO.

. UNA VEZ DEFINIDOS LOS VALORES QUE SERVIRÁN PARA EVALUAR A LOS PUNTOS CRÍTICOS, ESTOS VALORES SE SUSTITUIRÁN EN LA ECUACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA (DE PREFERENCIA EN LA ECUACIÓN FACTORIZADA), Y DE ACUERDO A

AN LOS SIGUIENTES CRITERIOS:

A NEGATIVA, ENTONCES TENDREMOS UN

IVA A POSITIVA, ENTONCES TENDREMOS UN

CAMBIO DE SIGNO, ES DECIR QUE VAYA DE ES EN ESE VALOR

CRITICO NO TENDREMOS NI MÁXIMO NI MÍNIMO.

. HASTA ESTE INSTANTE, YA SABEMOS EN QUE PUNTOS SE LOCALIZAN LOS MÁXIMOS SABEMOS TODAVÍA CUAL ES EL VALOR DE

CADA UNO, PARA HALLAR EL VALOR, TANTO DEL MÁXIMO COMO DEL MÍNIMO, UE SUSTITUIR LOS VALORES CRÍTICOS EN LA ECUACIÓN ORIGINAL, ES

A HO

ANTO: IGUALANDO A CERO LA PRIMER

D

A) ANTES DE UN MÍNIMO LA FUNCI

FUNCIÓN ES CRECIENTE, DE LO QUE SE DE

B)ES DECRECIENTE, DE LO QUE SE DEDUA NEGATIVA, TENDREMOS UN MÁXIMO.

EUNCIÓN, USANDO EL CRITERIO DE LA P .

2. ESTA PRIMERA DERI 3

EL NOMBRE DE VALORES CRÍTICOS Y ELOCALIZARAN LOS MÁXIMOS Y MÍNIM

4.

NUMÉRICA, LA CUAL NOS SERVIRÁ PARAUTILIZAR PARA EVALUAR CADA VA

5

LOS SIGNO OBTENIDOS, SE APLIC A) SI LA FUNCIÓN CAMBIA DE POSITIVA

MÁXIMO RELATIVO EN ESE VALOR CRITICO. B) SI LA FUNCIÓN CAMBIA DE NEGAT

MÍNIMO RELATIVO EN ESE VALOR CRITICO. C) SI LA FUNCIÓN NO PRESENTA UN

NEGATIVA A NEGATIVA O DE POSITIVA A POSITIVA, ENTONC

6

Y MÍNIMOS DE LA FUNCIÓN, PERO NO

TENEMOS Q

101

DECIR, EN LA ECUACIÓN QUE TENÍAMOS AL PRINCIPIO ANTES DE HACER LA DERIVACIÓN.

EJERCICIOS RESUELTOS: HALLAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES,

APLICANDO EL MÉTODO DE LA PRIMERA DERIVADA:

. f(x) = x + 3x – 9x + 3 SACANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

S:

x + 6x – 9 = 0 ⇒ 3(x + 2x – 3) = 0 ⇒ 3 (x + 3) (x – 1) = 0 Y x = 1.

PONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS:

3 21

f’(x) = 3x2 + 6x – 9 IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS

VALORES CRÍTICO

2 23DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = – 3

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 3

LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR CRÍTICO SERÁN:

–2

ARA HACER ESTA EVALUACIÓN, LO QUE TENEMOS QUE HACER ES SUSTITUIR P + 3) (x – 1).

L PRIMER PARÉNTESIS NOS DA –1 Y EN SEGUNDO NOS DA –5, DE ESTOS RESULTADOS LO ÚNICO QUE NOS INTERESA ES EL SIGNO DE CADA RESULTADO, YA QUE ESTOS SIGNOS SON LOS QUE VAMOS A MULTIPLICAR PARA VER COMO ES LA FUNCIÓN ANTES DEL VALOR CRITICO, SI NEGATIVA O POSITIVA.

E CON ESTO SABREMOS COMO ES LA FUNCIÓN DESPUÉS DEL VALOR CRITICO, SI POSITIVA O NEGATIVA.

OS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:

OMO VALOR ANTERIOR: x = –4 Y COMO VALOR POSTERIOR x =C

PRIMERO 4x −= EN LA ECUACIÓN 3(x

L HACER ESTA SUSTITUCIÓN EN EA

LO MISMO SE HARÁ CON x = –2, YA QU

L

EV UANDO EL VALOAL R CRITICO x = 1

HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR CRÍTICO SERÁN:

OMO VALOR ANTERIOR: x = –2 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 2

OS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:

LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA

C LOS PROCEDIMIENT

102

S EN LA FUNCIÓN INICIAL , H

x = –3:

f(–3) = –27 + 3(9) – 9(–3) + 3 EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: f(–3) = –27+ 27 + 27+ 3

FECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:

–3) = 30

x = 1:

1) = (1)3 + 3(1)2 – 9(1) + 3

ESARROLLANDO LOS EXPONENTES:

1) = 1 + 3(1) – 9(1) + 3

FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

1) = 1 + 3 – 9 + 3

AS SUMAS Y RESTAS:

PARA x = –3, TENEMOS UN MÁXIMO = 30 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (–3, 30) PARA x = 1, TENEMOS UN MÍNIMO = – 2

DOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 1, –2).

[ 3x9x3xf(x) 23 +−+= ]SUSTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICO

ALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DEL MÍNIMO RELATIVO.

USTITUYENDOS (–3) = (–3)3 + 3(–3)2 – 9(–3) + 3 f

ESARROLLANDO LOS EXPONENTES: D

E f( SUSTITUYENDO f( D

f( E f( EFECTUANDO L f(1) = – 2 LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:

ESCRIBIÉN 2. 8x6x

21x

31y 23 +−+=

SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

y’ = x2 + x – 6

O PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:

IGUALANDO y’ A CERO Y FACTORIZAND

103

x ⇒ ( x + 3 ) ( x – 2 ) = 0

N:

x = – 3 Y x =

EL EJE DE LAS ABSCISAS:

2 + x – 6 = 0 POR LO QUE LOS VALORES CRÍTICOS SO

2 PONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 3 OS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR

C

COMO VALOR ANTERIOR: x = –4 Y COMO VALOR POSTERIOR x = –2

LRÍTICO SERÁN:

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2

OS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR CRÍTI

OMO VALOR ANTERIOR: x = –2 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 3

L

CO SERÁN: C

8x6x21x

31y 23 +−+=SUSTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL ,

HALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DEL MÍNIMO RELATIVO.

USTITUYENDO x = –3: S ( ) ( ) ( ) ( ) 8363

23ESARROLLANDO EXPONENTES:

1313 23 +−−−+−=− y

D ( ) ( ) ( ) ( ) 8369

2127

313y +−−+−=−

EFECTUANDO MULTIPLICACIONES: ( ) 8189273y +++−=−

23 SIMPLIFICANDO FRACCIONES:

104

( ) 8182993 +++−=−

EDUCIENDO CANTIDADES ENTERAS:

y

R ( )

29173 +=−

EALIZANDO LA SUMA:

y

R ( )

2433 =−

USTITUYENDO AHORA x = 2:

y

S ( ) ( ) ( ) ( ) 82621212 23 +−+= y

23

ESARROL AND EXPONENTES: D L O ( ) ( ) ( ) ( )264

218

32y +−+ 81

=

EFECTUANDO MULTIPLICACIONES: ( ) 812

24

382y +−+=

P ACCIONES: SIM LIFICANDO FR ( ) 8122

38

+−+2 =

DU

y

RE CIENDO LAS CANTIDADES ENTERAS: ( )

3822y +−

=

EALIZANDO LA DIFERENCIA: R( )

322y =

A RESPUESTA DEL EJERCICIO ES: ARA x = –3, TENEMOS UN MÁXIMO =

LP

243

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −2433, ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA:

P

32 ARA x = 2, TENEMOS UN MÍNIMO =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛322, ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA:

3. f(x) = 6x4 – 8x3

ACANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

(x) = 24x3 – 24x2

S f’

105

IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:

4x3 – 24x2 = 0 ⇒ 24x2 (x – 1) = 0

E ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 0 Y x = 1.

ONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS:

2 D P

VALUANDO EL VALOR CRITICO x = 0 E OS VALOREL S QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR

COR: x = –1 Y COMO VALOR POSTERIOR x =

RÍTICO SERÁN: COMO VALOR ANTERI 1

2EN ESTE EJERCICIO, PARA EVALUAR AL VALOR CRITICO x = 0, NOS VEMOS EN LA

NECESIDAD DE TOMAR

, ES DECIR x = 0.5.

UNA CANTIDAD FRACCIONARIA COMO VALOR POSTERIOR, ESTO S QUE ÉSTE ES UN VALOR CRITICO Y C DEBEMOS DE REBASAR A OTRO, NO P

E DEBE A QUE NO PODEMOS TOMAR AL UNO, YAMO PARA EVALUAR A UN VALOR CRITICO, NO O

ODEMOS TOMAR A LOS NUMEROS QUE ESTÁN A LA DERECHA DEL UNO PARA EVALUAR A x = 0.

LOS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:

VALUANDO EL VALOR CRITICO x = 1 E OS VALORL ES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR

COMO VALOR ANTERIOR: x =

RÍTICO SERÁN:

21 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 2

ITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:

C

LOS PROCEDIMIENTOS DE SUST

LTADOS OBTENIDOS EN LA EVALUACIÓN DE LOS VALORES CRÍTICOS, SOLO VAMOS A SUSTITUIR EL VALOR CRITICO EN LA FUNCIÓN IN x8 YA QUE EN

DE ACUERDO CON LOS RESU

1x =ICIAL 4x6f(x) −= , 3 0x = , COMO SE VIO NO HAY NI MÁXIMO NI MÍNIMO. SUSTITUYENDO x = 1

( ) ( )34 1816)1f( −=

106

DESARROLLANDO LOS EXPONENTES:

−=

FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

−=

:

4 3 2

+ 48

UALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:

2x – 4) (x – 3) = 0

R ICIO ES LA FACTORIZACION P

O ORES CRÍTICOS SON x = – 2, x = 2 Y x = 3

ONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS:

( ) ( )1816)1f(

E f( 86)1 EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS

2)1

−= f(

LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES: PARA x = 1, TENEMOS UN MÍNIMO = – 2 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 1, –2). 4. y = x – 4x – 8x + 48x + 10 SACANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN: y’ = 4x3 12x2 – x– 16 IG

4x3 – 12x2 – 16x + 48 = 0 ⇒ (4x3 – 12x2) + (– 16x + 48) = 0 ⇒ 4x2(x – 3) – 16(x – 3) = 0 ⇒ (4x2 – 16) (x – 3) = 0 ⇒ (2x + 4) ( LA FACTORIZACION QUE SE REALIZA PARA ESTE EJE C

R AGRUPAMIENTO. O DE ACUERD A LA FACTORIZACION, LOS VAL P

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 2 LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR

CRÍTICO SERÁN: COMO VALOR ANTERIOR: x = –3 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 0

NOS LLEVAN A: LOS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x =

2

OS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR C

LRÍTICO SERÁN:

107

25COMO VALOR ANTERIOR: x = 0 Y COMO VALOR POSTERIOR x = O x = 2.5

OS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A: L

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 3 OS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR

C

COMO VALOR ANTERIOR: x =

LRÍTICO SERÁN:

25 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 4

LOS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:

S CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL EL VALOR DEL MÁXIMO Y DE LOS MÍNIMOS

RELATIVOS.

2 +−+

ONENTES:

FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

FECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:

++−−=

ESARROLLANDO LOS EXPONENTES:

++−−=

FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

++−−=

SUSTITUYENDO LOS VALORE

,10x48x8x4x 234 ++−− HALLAMOSy =

SUSTITUYENDO x = –2: ( ) ( ) ( ) (82422y 34 −−−−−=− ) ( ) 102482

DESARROLLANDO LOS EXP ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 102484884162y +−+−−−=−

E ( ) +−−+=−y 10963232162

E ( ) 702 −=− y

USTITUYENDO x = 2: S

( ) ( ) ( ) ( ) ( )234y 10248282422

D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 102484884162y

E ( ) 10963232162y

108

EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:

=

NDO x = 3:

23 ++−

70 SCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = (– 2, – 70).

S UN MÁXIMO = 58 SCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (2, 58)

ARA x = 3, TENEMOS UN MÍNIMO = 55 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 3, 55).

SACANDO LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

R LOS V

PO

( ) 582y

SUSTITUYE ( ) ( ) (3433y 4 −= ) ( ) ( ) 1034838

DESARROLLANDO LOS EXPONENTES: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1034898274813y ++−−=

EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: ( ) 1014472108813y ++−−=

EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS: ( ) 553y =

LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES: PARA x = – 2, TENEMOS UN MÍNIMO = –E PARA x = 2, TENEMOE P

5. f(x) = x2 – 10x – 3

f’(x) = 2x – 10

UALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAIGALORES CRÍTICOS: 2x – 10 = 0 ⇒ 2(x – 5) = 0 DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 5

NIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS:

ALUANDO EL VAL

V OR CRITICO x = 5

LOCRÍ

CO

DIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:

E

S VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR TICO SERÁN:

MO VALOR ANTERIOR: x = 4 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 6 LOS PROCE

109

STITUYENDO LOS VALORES CRÍSU TICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL H

SU

DE

DO LAS SUMAS Y RESTAS:

ÍNIMO = – 28

CA A

DA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS V

2 – 4) = 0 ⇒ 4x(x + 2) (x – 2) = 0

0, x = –2 Y x = 2

3x10xf(x) 2 −−= , ALLAMOS EL VALOR DEL MÍNIMO RELATIVO.

STITUYENDO x = 5:

( ) ( ) 35105)5f( 2 −−=

SARROLLANDO EL EXPONENTE:

( ) 351025) −−= 5f( EFECTUANDO LA MULTIPLICACIÓN:

35025)5f( −−=

FECTUANE

28)5f( −= A RESPUESTA DEL EJERCICIO ES: L

PARA x = 5, TENEMOS UN M ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 5, –28). . y = x4 – 8x2 + 10 6

A NDO L DERIVADA DE LA FUNCIÓN: S

’ = 4x3 – 16x y

UALANDO LA PRIMERA DERIVAIG

ALORES CRÍTICOS: x3 – 16x = 0 ⇒ 4x(x4

E ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x =D

ONIENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN EL EJE DE LAS ABSCISAS: P

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 2 LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR

CRÍTICO SERÁN: COMO VALOR ANTERIOR: x = –3 Y COMO VALOR POSTERIOR x = –1

110

LOS PROCEDIMIENTOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 0 LOS VALORES QUE TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR

CRÍTICO SERÁN:

TOS DE SUSTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:

COMO VALOR ANTERIOR: x = –1 Y COMO VALOR POSTERIOR x = 1 LOS PROCEDIMIEN

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2

OS VALO ES Q E TOMAREMOS PARA HACER LA EVALUACIÓN DE ESTE VALOR C

VALOR POSTERIOR x = 3

USTITUCIÓN Y EVALUACIÓN NOS LLEVAN A:

L R URÍTICO SERÁN: COMO VALOR ANTERIOR: x = 1 Y COMO LOS PROCEDIMIENTOS DE S

ENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL H L MÁXIMO Y DE LOS MÍNIMOS RELATIVOS.

PONENTES:

ULTIPLICACIONES:

NDO LAS SUMAS Y RESTAS:

10x8xy 24 +−= SUSTITUY

ALLAMOS EL VALOR DE SUSTITUYENDO x = –2: ( ) ( ) ( ) 102822y 24 +−−−=−

DESARROLLANDO LOS EX ( ) ( ) 1048162y +−=−

EFECTUANDO LAS M ( ) 1032162y +−=−

EFECTUA ( ) 62y −=−

SUSTITUYENDO x = 0:

111

( ) ( ) ( ) 100800y 24 +−=

DESARROLLANDO LOS EXPONENTES:

2 +

UN MÍNIMO = – 6 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = (– 2, – 6).

ARA x = 0, TENEMOS UN MÁXIMO = 10 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (0, 10) PARA x = 2, TENEMOS UN MÍNIMO = – 6 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 2, – 6).

( ) ( ) 100800y +−=

FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: E

( ) 10000y +−=

EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS: ( ) 100y =

SUSTITUYENDO x = 2: ( ) ( )4 −= ( ) 102822y

ESARROLLANDO LOS EXPONENTES: D

( ) ( ) 1048162 +−= y

EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: ( ) 1032162 +−= y

FECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS: E

( ) 62 −= y

LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:

ARA x = – 2, TENEMOSP

P

112

EJERCICIOS PROPUESTOS (II–3) HALLAR LOS VALORES DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA SIGUIENTES FUNCIONES,

A ITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. 1. f(x) = x2 + 2x – 3

3. f(x) = x3 – 12x + 7 4. f(x) = 3x4 – 4x3 – 72x2

5.

PLICANDO AHORA EL CR

2. f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 8

2x6x

25x

31 23 +++

7. f(x) = 2x3 – 9x2 – 24x + 20 8. f(x) = x4 – 18x3 + 81x2

9. y = x – 4x + 1 10. y = 8 – 12x + 6x2 – x3

6. f(x) = x4 – 8x2

2

113

3.1.2 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

BJETIVOS: 1. OBTENDRÁ DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCIONES ALGEBRAICAS.

(MÁXIMO Y’’’’). (PO, EA) . OBTENDRÁ DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

(MÁXIMO Y’’’’). (PO, EC) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR O SUCESIVAS

EMOS VISTO QUE, EN GENERAL, LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE x ES TAMBIÉN UNA FUNCIÓN DE x. PUEDE OCURRIR QUE ESTA FUNCIÓN SEA TAMBIÉN DERIVABLE; EN ESTE CASO LA DERIVADA DE LA PRIMERA DERIVADA SE LLAMA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN PRIMITIVA. ANÁLOGAMENTE, LA DERIVADA DE LA SEGUNDA DERIVADA SE LLAMA LA TERCERA DERIVADA, Y AXIAL, SUCESIVAMENTE, HASTA LA ENÉSIMA DERIVADA.

ESTE TIPO DE DERIVADAS SE CONOCE TAMBIÉN COMO DERIVADAS SUCESIVAS, PARA

OBTENER EL RESULTADO DE ESTAS DERIVADAS TENEMOS QUE DERIVAR VARIAS VECES LA FUNCIÓN QUE NOS ESTÁN DANDO.

EMPLOS:

R EL ORDEN DE DERIVADA QUE SE PIDE EN CADA FUNCIÓN:

R y’’’, SI

SACANDO PRIMERA DERIVADA:

y’ = 2

SACANDO SEGUNDA DERIVADA:

y’’ = 2 ( 2 = 4

SACANDO TERCERA DERIVADA

HA 5 4 3 – 5x2 + 3x

x + 3

’’ = 80x – 36x + 24x – 10

ACANDO TERCERA DERIVADA:

O

2

H

EJ HALLA 1.- HALLA x2ey =

x2e

x2e ) x2e

y’’’ = 2 ( 4 2xe ) = 8 2xe 2.- LLAR y’’’’, SI y = 4x – 3x + 4x SACANDO PRIMERA DERIVADA: y’ = 20x4 – 12x3 + 12x2 – 10 SACANDO SEGUNDA DERIVADA:

3 2 y

S y’’’ = 240x2 – 72x + 24 SACANDO CUARTA DERIVADA:

114

y’’’’ = 480x – 72

OS EJERCICIOS ANTERIORES FUERON MUY SENCILLOS PORQUE SOLO SE USARON D S O TRASCENDENTALES POR SEPARADO, PERO TAMBIÉN SE PUEDEN UTILIZAR DERIVADAS ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTALES EN UN M

ULAS, LA F

LERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICA

ISMO EJERCICIO COMO EN EL EJERCICIO QUE SIGUE A CONTINUACIÓN: .- HALLAR y’’, SI y = Sen 8x3 3

PARA OBTENER LA PRIMERA DERIVADA UTILIZAMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DE

LA FUNCIÓN SENO: ’ = 24x2 Cos 8x3 y

PARA SACAR LA SEGUNDA DERIVADA TENEMOS QUE UTILIZAR DOS FORM

EBRAICA DE LA MULTIPLICACIÓN )u(dxdv)v(

dxdu)uv(d

=ORMULA DE LA DERIVADA ALGdx

+ y

L ( )A FORMULA DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO uSenudx

uCosdx

−=

USTITUYENDO EN

dd

NUESTRA FORMULA DE PRODUCTO )u(dxdv)v(

dxdu)uv(

dxd

+= :

2

S

y’’ = ( 24x )dx

( Cos 8x ) + ( Cos 8x ) d 3 3

dxd ( 24x2 )

CIAL

dxd , DERIVANDO LOS PARÉNTESIS QUE TIENEN ADELANTE AL OPERADOR DIFEREN

PARA DE Cos 8x3 USAMOS LA FORMULA DE LA DERIVADA DEL COSENO

RIVAR LA EXPRESIÓN ( ) uSenu

dxduCos

dxd

−=

2 2 x3 ) + ( Cos 8x3 )( 48x )

CANDO LAS EXPRESIONES QUE NO DEPENDEN DE NINGUNA FUNCIÓN TRIGONOMETRICA Y COLOCÁNDOLOS DELANTE DE CADA TÉRMINO:

NDO LA EXPRESIÓN POR TÉRMINO COMÚN:

’’ = 48x ( –12x3 Sen 8x3 + Cos 8x3 )

DERIVADAS SUCESIVAS EN FUNCIONES CON VARIABLES CON EXPONENTES FRA

4.- HALLAR y’’’’, SI

y’’ = ( 24x )( – 24x Sen 8 MULTIPLI

’’ = – 576x4 Sen 8x3 + 48x Cos 8x3 y

FACTORIZA y TAMBIÉN PODEMOS TENER

CCIONARIOS:

625

710

35

x4x8x3y −−= SACANDO PRIMERA DERIVADA:

619

73

32

619

73

32

x350x

780x5yx4

673 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝

25x810x35 '' −−=⇒⎟⎞

⎜⎛−⎟

⎞⎜⎛−⎟

⎞⎜⎛=

SACANDO SEGUNDA DERIVADA:

y

115

613

74

31

613

74

31

x18950x

49240x

310yx

350

619x

780

73x5

32y '''' −−=⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−−−−

ACANDO TERCERA DERIVADA: S

67

711

34

67

711

34

x108

12350x343960x

910yx

18950

613x

49240

74x

310

31y '''''' −+−=⇒⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−−−−

SACANDO CUARTA DERIVADA:

61

718

37

61

718

37

x648

86450x2401

10560x2740´yx

10812350

67x

343960

711x

910

34y '''''''' −−==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=−−−−

ES CON EXPONENTES NEGATIVOS Y TRANSFORMANDO LAS VARIABLES DE SU FORMA DE POTENCIA A SU FORMA DE RAÍZ:

PASANDO LAS VARIABL

67 183 7

x648

86450

x2401

10560

x27

´40y '''' −−=

JERCICIOS PROPUESTOS ( II – I )

HALLAR LA DERIVA DEL ORDEN QUE SE INDICA:

.- HALLAR y’’’, SI y = x

2.- HALLAR y’’’’’, SI y = 6x

4.- HALLAR y’’, SI

E

41

5

3.- HALLAR y’’’, SI y = arc Tan x

22 xay −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= 2x1xLny 5.- HALLAR y’’’, SI

6.- HALLAR y’’, SI y = 2xy – x2 – 1

7.- HALLAR y’’’, SI

R y’’, SI y = x Arc Cos x

R y’’, SI y = x Arc Tan x

LAR y’’’’, SI y = x3 Ln x

xSeney x3=

8.- HALLA 9.- HALLA 10.- HAL

116

.1.3 CÁLCULO DE VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON EL CRITERIO DE LA SEGUNDA

DERIVADA

BJETIVOS:

. CALCULARA LOS VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN, APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. (PO, EA)

:

COMO SE MENCIONO EN EL SUBTEMA ANTERIOR, LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UN FUNCIÓN, LOS PODEMOS OBTENER APLICANDO EL CRITERIO DE LA PRIMERA D RIVADA. EN ESTE SUBTEMA VEREMOS COMO SE OBTIENEN LATIVOS DE UNA FUNCIÓN APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.

DE UNA CURVA, EL MÁXIMO RELATIVO, SE

EN CURVA EN DONDE ESTA ES CONVEXA. POR EL CONTRARIO, PARA EL PUNTO DONDE SE LOCALIZA EL MÍNIMO RELATIVO, LA CURVA ES CÓNCAVA. DE ACUERDO A LOS CRITERIOS Y PROPIEDADES DE LA CONCAVIDAD, SE ESTABLECE LA SIGUIENTE PROPIEDAD:

SEA f UNA FUNCIÓN TAL QUE SU PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA EXISTAN EN x = c. P

x = c SI:

MÁXIMO RELATIVO EN x = c SI:

ÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA F RIVADA, ES EL SIGUIENTE:

3. LA ECUACIÓN IGUALADA A CERO SE RESUELVE PARA x (GENERALMENTE POR FACTORIZACION). LOS VALORES DE x QUE SATISFAGAN A LA ECUACIÓN, RECIBIRÁN EL NOMBRE DE VALORES CRÍTICOS Y ES EN ELLOS DONDE PROBABLEMENTE SE LOCALIZARAN LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA FUNCIÓN

4. UNA VEZ LOCALIZADOS LOS VALORES CRÍTICOS, SE SACA LA SEGUNDA DERIVADA

LO ÚNICO QUE NOS VA A INTERESAR ES EL SIGNO DE LA CANTIDAD Y EN BASE AL SIGNO, APLICAREMOS LOS SIGUIENTES CRITERIOS:

3

O 1

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

ERIVADA O EL DE LA SEGUNDA DELOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RE

DE ACUERDO CON LA CONCAVIDADCUENTRA EN ALGÚN PUNTO DE LA

ARA LA CURVA DE f:

A) EXISTE UN MÁXIMO RELATIVO EN

0(c)''fY0(c)'f <=

B) EXISTE UN

0(c)''fY0(c)'f >= EL PROCEDIMIENTO PARA HALLAR LOS MUNCIÓN, APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DE 1. SE SACA LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN. 2. ESTA PRIMERA DERIVADA SE IGUALA A CERO.

DE LA FUNCIÓN.

5. YA QUE TENEMOS LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN, EN ELLA VAMOS A SUSTITUIR LOS VALORES CRÍTICOS QUE ENCONTRAMOS. DEL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN ,

117

A. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA ES MENOR QUE CERO, ES DECIR, ES NEGATIVA, ENTONCES EN ESE VALOR CRITICO TENDREMOS UN MÁXIMO.

. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA ES MAYOR QUE CERO, ES DECIR, ES POSITIVA, ENTONCES EN ESE VALOR CRITICO TENDREMOS UN MÍNIMO.

C. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA

6. HASTA ESTE INSTANTE, YA SABEMOS EN QUE PUNTOS SE LOCALIZAN LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA FUNCIÓN, PERO NO SABEMOS TODAVÍA CUAL ES EL VALOR DE CADA UNO, PARA HALLAR EL VALOR, TANTO DEL MÁXIMO COMO DEL MÍNIMO, TENEMOS QUE SUSTITUIR LOS VALORES CRÍTICOS EN LA ECUACIÓN ORIGINAL, ES

CIÓN QUE TENÍAMOS AL PRINCIPIO ANTES DE HACER LA

I COMPARAMOS LOS DOS MÉTODOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS, VEREMOS

QUE LA ÚNICA DIFERENCIA ESTA EN LA FORMA DE CÓMO EVALUAR LOS VALORES CRÍTICOS, PARA SABER SI EN ELLOS HAY UN MAXIMINO, MÍNIMO O SI NO HAY NI MÁXIMO NI MÍNIMO.

MÉTODO USEMOS, DEBEMOS DE OBTENER EL MISMO RESULTADO EN NUESTROS EJERCICIOS, PRUEBA DE ELLO ES QUE SE VOLVERÁN A RESOLVER, POR EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA, LOS MISMOS EJERCICIOS QUE SE USARON PARA EXPLICAR EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

JERCICIOS RESUELTOS:

Y LOS MÍNIMOS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES, APLICANDO A LA SEGUNDA DERIVADA.

1. f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 3

A FUNCIÓN: f’(x) = 3x2 + 6x – 9

CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:

2 2 3 (x + 3) (x – 1) = 0

DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = – 3 Y x = 1. HASTA AQUÍ, HEMOS HECHO LO MISMO QUE CUANDO USAMOS EL CRITERIO DE LA

PRIMERA DERIVADA, PERO EN LO QUE VAMOS A HACER AHORA ES DONDE SON DIFERENTES ESTOS DOS CRITERIOS.

SACAMOS AHORA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

f’’(x) = 6x + 6

OS, TENEMOS QUE SUSTITUIRLOS EN LA ECUACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA QUE ACABAMOS DE OBTENER.

B

DERIVADA ES IGUAL A CERO, ENTONCES EN ESE VALOR CRITICO NO TENDREMOS NI MÁXIMO NI MÍNIMO.

DECIR, EN LA ECUADERIVACIÓN.

S

NO IMPORTA QUE

E HALLAR LOS MÁXIMOSHORA EL CRITERIO DE

SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE L

IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A

3x + 6x – 9 = 0 ⇒ 3(x + 2x – 3) = 0 ⇒

PARA EVALUAR LOS PUNTOS CRÍTIC

118

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 3

(– 3) = 6(– 3) + 6 ⇒ f’’(– 3) = –18 + 6 ⇒ f’’(– 3) = – 6 ⇒ f’’(– 3) = –

OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA D EGATIVA, ENTONCES EN x = –3, TENDREMOS UN MÁXIMO RELATIVO.

CIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA D REMOS UN M

ARA HALLAR EL VALOR DEL MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVO, HACEMOS OTRA VEZ LO MISMO QUE EN EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, SUSTITUIR LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL.

USTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL , HALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DEL MÍNIMO RELATIVO.

SUSTITUYENDO x = –3: f(–3) = (–3)3 + 3(–3)2 – 9(–3) + 3

ESARROLLANDO LOS EXPONENTES: f(–3) = –27 + 3(9) – 9(–3) + 3

EFECTUA DO LAS MULTIPLICACIONES:

f(–3)

EFECTUAN :

f(–3) =

SUSTITUYE 1:

f(1) = 3 (1) + 3

O LOS EXPONENTES:

1) = 1 + 3(1) – 9(1) + 3

O ES: PARA x = –3, TENEMOS UN MÁXIMO = 30

f’’

CERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD N

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 1 f’’(1) = 6(1) + 6 ⇒ f’’(1) = 6 + 6 ⇒ f’’(1) = 12 ⇒ f’’(1) = + COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD NEGATIVA, ENTONCES EN x = 1, TENDÁXIMO RELATIVO. P

[ 3x9x3xf(x) 23 +−+= ]S

D

N

= –27+ 27 + 27+ 3

DO LAS SUMAS Y RESTAS

30

NDO x =

(1)3 + (1)2 – 9

ESARROLLANDD

f(

FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: E

1) = 1 + 3 – 9 + 3 f( EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS: f(1) = – 2 LA RESPUESTA DEL EJERCICI

119

ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (–3, 30) PARA x = 1, TENEMOS UN MÍNIMO = – 2 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 1, –2). 2. 8x6x

21x

31y 23 +−+=

SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

LLAR LOS VALORES CRÍTICOS:

SACAMOS AHORA LA SEGUNDA DE

COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD NEGATIVA, ENTONCES EN x = –3, TENDREMOS UN M

EV y’’

SUSTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL

y’ = x2 + x – 6

IGUALANDO y’ A CERO Y FACTORIZANDO PARA HA

x2 + x – 6 = 0 ⇒ ( x + 3 ) ( x – 2 ) = 0 POR LO QUE LOS VALORES CRÍTICOS SON: x = – 3 Y x = 2

RIVADA DE LA FUNCIÓN: y’’ = 2x + 1 EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 3 y’’(– 3) = 2(– 3) + 1 ⇒ y’’(– 3) = – 6 + 1 ⇒ y’’(– 3) = – 5 ⇒ y’’(– 3) = –

ÁXIMO RELATIVO.

ALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2

(2) = 2(2) + 1 ⇒ y’’(2) = 4 + 1⇒ y’’(2) = 5 ⇒ y’’(2) = +

COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = 2, TENDREMOS UN MÍNIMO RELATIVO.

8x6x

23ALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DEL MÍNIMO RELATIVO.

STITUYENDO x = –3:

1x1y 23 +−+= ,

H

US( ) ( ) ( ) ( ) 8363

213

313y 23 +−−−+−=−

DESARROLLANDO EXPONENTES: ( ) ( ) ( ) ( ) 8369

2127

313y +−−+−=−

EFECTUANDO MULTIPLICACIONES: ( ) 818

239273y +++−=−

CCIONES: SIMPLIFICANDO FRA ( ) 818

2993y +++−=−

120

REDUCIENDO CANTIDADES ENTERAS: ( )

2173y +=−

9

EALIZANDO LA SUMA: R ( )

2433 =− y

SUSTITUYENDO AHORA x = 2: ( ) ( ) ( ) ( ) 8262

212

312y 23 +−+=

DESARROLLANDO EXPONENTES: ( ) ( ) ( ) ( ) 8264

218

312y +−+=

FECTUANDO MULTIPLICACIONES: E ( ) 812

24

382y +−+=

IMPLIFICANDO FRACCIONES: S ( ) 8122

382y +−+=

NTIDADES ENTERAS:

REDUCIENDO LAS CA ( )

3822 +−= y

REALIZAN

DO LA DIFERENCIA:

( )322y =

O ES:

ARA x = –3, TENEMOS UN MÁXIMO =

LA RESPUESTA DEL EJERCICI

243 P

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −2433, ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA:

32 PARA x = 2, TENEMOS UN MÍNIMO =

ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: ⎟⎠⎝ 3

2,

4 3

⎞⎜⎛ 2

. f(x) = 6x – 8x SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN: f’(x) = 24x3 – 24x2 IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS

VALORES CRÍTICOS:

3

121

24x3 – 24x2 = 0 ⇒ 24x2 (x – 1) = 0

E ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 0 Y x = 1.

ACAMOS AHORA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

x)’’ = 72x2 – 48x

VALUANDO EL VALOR CRITICO x = 0

(0) = 72(0)2 – 48(0) ⇒ f’’(0) = 72(0) – 48(0) ⇒ f’’(0) = 0 – 0 ⇒ f’’(0) = 0

OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA CERO, ENTONCES EN x = 0, NO TENDREMOS NI UN MÁXIMO NI UN MÍNIMO RELATIVO.

1

(1) = 72(1)2 – 48(1) ⇒ f’’(1) = 72(1) – 48(1) ⇒ f’’(1) = 72 – 48 ⇒ f’’(1) = 24 ⇒ f’’(1) = +

OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = 1, TENDREMOS UN MÍNIMO RELATIVO.

E ACUERDO CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS EN LA EVALUACIÓN DE LOS

VALORES CRÍTICOS, SOLO VAMOS A SUSTITUIR EL VALOR CRITICO EN LA FUNCIÓN INICIAL , YA QUE EN , COMO SE VIO NO HAY NI MÁXIMO NI MÍNIMO.

SUSTITUYENDO x = 1

−=

EXPONENTES:

FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

−=

FECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:

−=

A RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:

ARA x = 1, TENEMOS UN MÍNIMO = – 2

SACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

D S f( E f’’ C

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = f’’

C

D1x =

34 x8x6f(x) −= 0x =

( ) ( )34 1816)1f(

DESARROLLANDO LOS

( ) ( )1816)1f( −= E

86)1f( E f( 2)1 L PESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 1, –2).

4. y = x4 – 4x3 – 8x2 + 48x + 10

y’ = 4x3 – 12x2 – 16x + 48

122

IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:

LA FACTORIZACION QUE SE REALIZA PARA ESTE EJERCICIO ES LA FACTORIZACION

POR AGRUPAMIENTO.

ACAMOS AHORA LA SEGU RIVADA DE LA FUNCIÓN:

y’’ = 12x2 – 24x – 16 EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 2 y’’(– 2) = 12(– 2)2 – 24(– 2) – 16 ⇒ y’’(– 2) = 12(4) – 24(– 2) – 16 ⇒ y’’(– 2) = 48 + 48 – 16 ⇒ y’’(– 2) = 80 ⇒ y’’(– 2) = + COMO EL RESULT

DERIVADA NOS DA U D REMOS UN MÍNIMO RELATIVO.

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2

OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA D ENDREMOS UN M

USTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL HALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DE LOS MÍNIMOS

RELATIVOS. SUSTITUYENDO x = –2:

DESARROLLANDO LOS EXPONENTES:

FECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

+−−+=−

DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = – 2, x = 2 Y x = 3

NDA DES

ADO DE LA U CIÓN DEL VALOR CRITICO ENNA CANTIDA POSITIVA, ENTONCES EN x = – 2, TEND

S STITU LA SEGUNDA

y’’(2) = 12(2)2 – 24(2) – 16 ⇒ y’’(2) = 12(4) – 24(2) – 16 ⇒ y’’(2) = 48 – 48 – 16 ⇒ y’’( 2) = – 16 ⇒ y’’(2) = – CERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD NEGATIVA, ENTONCES EN x = –3, TÁXIMO RELATIVO. EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 3 y’’(3) = 12(3)2 – 24(3) – 16 ⇒ y’’(3) = 12(9) – 24(3) – 16 ⇒ y’’(3) = 108 + 72 – 16

y’’(3) = 164 ⇒ y’’(3) = + ⇒ S

,10x48x8x4xy 234 ++−−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10248282422y 234 +−+−−−−−=−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 102484884162y +−+−−−=−

E ( ) 10963232162y

123

EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:

−=−

EF

EF y SU

DESARROLLANDO LOS

3y =

EFEC

EF

LA PA AES PARA

SCR , 58)

IVADA DE LA FUNCIÓN:

f’(x) = 2x – 10

IGUALANDO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:

2x – 10 = 0 ⇒ 2(x – 5) = 0

( ) 702y

SUSTITUYENDO x = 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10248282422y 234 ++−−=

DESARROLLANDO LOS EXPONENTES: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 102484884162y ++−−=

ECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

( ) 10963232162y ++−−=

ECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:

) 582 =

STITUYENDO x = 3:

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10348383433y 234 ++−−=

EXPONENTES:

( ) ( ) ( ) ( ) 103489827481 ++−−

TUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

( )

( ) 1014472108813y ++−−=

ECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:

) 553 = (y

RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:

x = – 2, TENEMOS UN MÍNIMO = – 70 RCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = (– 2, – 70).

x = 2, TENEMOS UN MÁXIMO = 58 IBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MAX = (2E

PARA x = 3, TENEMOS UN MÍNIMO = 55 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 3, 55). . f(x) = x2 – 10x – 3 5

ACANDO LA PRIMERA DERS

124

DE ACUERDO A LA FACTORIZACION, SOLO TENEMOS UN VALOR CRITICO: x = 5 SACAMOS AHORA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

(x) = 2

ANDO EL VALOR CRITICO x = 5

GUNDA D OS UN MÍNIMO RELATIVO

SUSTITUYENDO EL VALOR CRITICO EN LA FUNCIÓN INICIAL , HALLAMOS

E

USTITUYENDO x = 5:

NDO LA MULTIPLICACIÓN:

NDO LAS SUMAS Y RESTAS:

−=

A RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:

PARA x = 5, TENEMOS UN MÍNIMO = – 28 ESCRIBIÉNDOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 5, –28). . y = x4 – 8x2 + 10

ACANDO LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

’ = 4x3 – 16x

DO LA PRIMERA DERIVADA A CERO Y FACTORIZANDO PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS:

x3 – 16x = 0 ⇒ 4x(x2 – 4) = 0 ⇒ 4x(x + 2) (x – 2) = 0

E ACUERDO A LA FACTORIZACION, LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 0, x = –2 Y x = 2

ACAMOS AHORA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

’’ = 12x2 – 16 EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = – 2

f’’ EVALU f’’(5) = 2 ⇒ f’’(5) = + COMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = 5, TENDREM

3x10xf(x) 2 −−=

L VALOR DEL MÍNIMO RELATIVO. S

( ) ( ) 35105)5f( −−=

ESARROLLANDO EL EXPONENTE:

2

D

( ) 351025)5f( −−= EFECTUA

35025)5f( −−=

FECTUAE f(

28)5

L

6 S y IGUALAN

4 D S y

125

y’’(– 2) = 12(– 2)2 – 16 ⇒ y’’(– 2) = 12(4) – 16⇒ y’’(– 2) = 48 – 16 ⇒ y’’(– 2) = 32

ADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = – 2, TENDREMOS UN MÍNIMO RELATIVO

EL VALOR CRITICO x = 0

) – 16⇒ y’’(0) = 0 – 16 ⇒ y’’(0) = – 16 ⇒ y’’(0) = –

OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD NEGATIVA, ENTONCES EN x = 0, TENDREMOS UN MÁXIMO RELATIVO.

EVALUANDO EL VALOR CRITICO x = 2

’’(2) = 12(2)2 – 16 ⇒ y’’(2) = 12(4) – 16⇒ y’’(2) = 48 – 16 ⇒ y’’(2) = 32 ⇒ y’’(2) = + OMO EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA

DERIVADA NOS DA UNA CANTIDAD POSITIVA, ENTONCES EN x = 2, TENDREMOS UN MÍNIMO RELATIVO

USTITUYENDO LOS VALORES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL HALLAMOS EL VALOR DEL MÁXIMO Y DE LOS MÍNIMOS RELATIVOS.

SUSTITUYENDO x = –2:

EXPONENTES:

+−=−

EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES:

EFECTUANDO LAS S

SUSTITUYENDO x = 0:

24 +−=

EFECTUA

⇒ y’’(– 2) = + COMO EL RESULT

NOS DA U

EVALUANDO y’’(0) = 12(0)2 – 16 ⇒ y’’(0) = 12(0 C

yC

10x8xy 24 +−= S

( ) ( ) ( ) 102822y 24 +−−−=−

DESARROLLANDO LOS

( ) ( ) 1048162y

( ) 1032162y +−=−

UMAS Y RESTAS: ( ) 62y −=−

( ) ( ) ( ) 100800y DESARROLLANDO LOS EXPONENTES: ( ) ( ) 100800y +−=

NDO LAS MULTIPLICACIONES:

( ) 10000 +−= y

EFECTUANDO LAS SUMAS Y RESTAS:

126

( ) 100y =

USTITUYENDO x = 2:

ANDO LOS EXPONENTES:

+−=

+−

DO LAS SUMAS Y RESTAS:

A = – 6 DOLO COMO UN PAR ORDENADO = (– 2, – 6).

, TENEMOS UN MÁXIMO = 10 DOLO COMO UN PAR ORDENADO

TENEMOS UN MÍNIMO = – 6 DOLO COMO UN PAR ORDENADO SERIA: MIN = ( 2, – 6).

EJERCICIOS PROPUESTOS (II–4)

ALLAR LOS VALORES DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE LA SIGUIENTES FUNCIONES, APLICANDO AHORA EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.

2. .

S ( ) ( ) ( ) 102822y 24 +−= ESARROLLD

( ) ( ) 1048162y

EFECTUANDO LAS MULTIPLICACIONES: ( ) 162y = 1032

EFECTUAN ( ) 62y −=

LA RESPUESTA DEL EJERCICIO ES:

RA x = – 2, TENEMOS UN MÍNIMO PESCRIBIÉN

SERIA: MIN

PARA x = 0ESCRIBIÉN SERIA: MAX = (0, 10) PARA x = 2, ESCRIBIÉN

H

1. f(x) = x3 + 2x2 – 4x + 8

f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 5

2x10x23x

31 23 +−− 3

. f(x) = 2x3 + 6x2 – 18x + 5

5. f(x) = x3 – 27x + 7 6. f(x) = x5 + 20x2 7. f(x) = 2x3 – 3x2 – 36x + 12 8. f(x) = x3 – 3x + 3 9. f(x) = 3x4 – 4x3 10. y = x2 + 2x – 3

4

127

.1.4 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

OBJETIVOS:

1. HALLARA LOS INTERVALOS EN DONDE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL “Y”, ES CRECIENTE O

UNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

ERA DERIVAD ES POSITIVO, Y ES DECRECIENTE SI EL VALOR DE LA MISMA PRIMERA DERIVADA ES NEGATIVO EN ESE PUNTO DADO.

POR ELLO EL PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS EN QUE UNA

FUNCIÓN ES CRECIENTE O DECRECIENTE ES EL SIGUIENTE (EN LOS PRIMEROS PASOS ES MUY PARECIDO A LA OBTENCIÓN DE MÁXIMOS):

2.

3. LA ECUACIÓN IGUALADA A CERO SE RESUELVE PARA x (GENERALMENTE POR ACTORIZACION). TENDREMOS ASÍ LOS VALORES CRÍTICOS Y A PARTIR DE ELLOS ORMAREMOS INTERVALOS (ESTA ES LA PARTE PARECIDA A LA OBTENCIÓN DE LOS

M

4. UNA VEZ LOCALIZADOS LOS VALORES CRÍTICOS, FORMAREMOS INTERVALOS DE VALORES QUE ESTARÁN DELIMITADOS POR LOS VALORES CRÍTICOS. LA CANTIDAD DE INTERVALOS QUE SE FORMEN DEPENDERÁ DE LA CANTIDAD DE VALORES CRÍTICOS QUE TENGA LA FUNCIÓN, POR EJEMPLO SI TIENE SOLO UN PUNTO CRITICO, FORMAREMOS DOS INTERVALOS, SI TIENE 2 PUNTOS CRÍTICOS FORMAREMOS 3 INTERVALOS SI TIENE 3 PUNTOS CRÍTICOS FORMAREMOS 4 INTERVALOS Y ASÍ SUCESIVAMENTE. OTROS EJEMPLOS MAS PRÁCTICOS SON LOS SIGUIENTES:

. SI TENEMOS UN SOLO VALOR CRITICO, POR EJEMPLO EN x =2, FORMAREMOS DOS INTERVALOS, UNO QUE SER EL DE LOS NUMEROS MENORES DE DOS (x < 2) Y EL DE LOS NUMERO MAYORES DE 2 (x > 2).

B. SI TENEMOS DOS VALORES CRÍTICOS, POR EJEMPLO EN x = 2 Y EN x = 4, FORMAREMOS TRES INTERVALOS, EL PRIMERO LO FORMARAN LOS NUMEROS MENORES DE DOS (x < 2), EL SEGUNDO LO FORMARAN LOS NUMERO QUE ESTÁN COMPRENDIDOS ENTRE EL 2 Y EL 4 (2 < x < 4) Y EL TERCERO LO FORMARAN LOS

MERO MAYORES DE 4 (x > 4).

ADOS LOS INTERVALOS VAMOS A TOMAR AL AZAR UN NUMERO DE C LOS NUMEROS SELECCIONADOS SUSTITUIMOS EN LA ECUACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA, PARA QUE DE ACUERDO AL RESULTADO APLIQUEMOS LOS SIGUIENTES CRITERIOS:

A. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA PRIMERA

DERIVADA ES MENOR QUE CERO, ES DECIR, ES NEGATIVA, ENTONCES EN ESE INTERVALO LA FUNCIÓN ES DECRECIENTE.

SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA PRIMERA DERIVADA ES MAYOR QUE CERO, ES DECIR, ES POSITIVA, ENTONCES EN ESE INTERVALO LA FUNCIÓN ES CRECIENTE.

JERCICIOS RESUELTOS:

3

DECRECIENTE. (PO, EA) F DE ACUERDO A SU PRIMERA DERIVADA UNA FUNCIÓN ES CRECIENTE, EN UN PUNTO

DADO, SI EL VALOR DE LA PRIM

1. SE SACA LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.

ESTA PRIMERA DERIVADA SE IGUALA A CERO.

FF

ÁXIMOS Y MÍNIMOS).

A

NU

5. UNA VEZ FORMADA INTERVALO Y

B.

E

128

. DETERMINA LOS INTERVALOS EN LOS CUALES LA FUNCIÓN ES

C ECIENTE.

OR SACAR LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN

2' −=

A CERO Y RESOLVEMOS LA ECUACIÓN PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS.

2x3xy 3 +−=1RECIENTE Y DECR EMPEZAMOS P y 3x3

HORA IGUALAMOS LA 'yA

1x1x1x

33x3x303x3 22 ⇒=− 22 ±=⇒=⇒=⇒=⇒=

N ESTE CASO NO FUE NECESARIO FACTORIZAR, PERO NO SE CONFÍEN, SERÁN POCAS LAS VECES QUE NO SE FACTORICE.

ORES CRÍTICOS SON x = 1 Y x = –1, ENTONCES LOS INTERVALOS QUE FORMAREMOS SON:

< –1, –1 < x < 1 Y x > 1.

ELECCIONEMOS AHORA UN VALOR DE CADA UNO DE LOS INTERVALOS. AREMOS x = –2, PARA –1 < x < 1, USAREMOS x = 0 Y FINALMENTE PARA x

> 1, USAREMOS x = 2.

HORA VAMOS A SUSTITUIR LOS NUMEROS SELECCIONADOS EN LA ECUACIÓN DE .

–2

''' =−⇒−=−⇒−=−

ES POSITIVO ASÍ QUE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE EN EL INTERVALO x < –1

SUSTITUYENDO x = 0

EL RESULTADO ES NEGATIVO ASÍ QUE LA FUNCIÓN ES DECRECIENTE EN EL INTERVALO –1 < x < 1

SUSTITUYENDO x = 2

'''' 2 =⇒−=⇒−=⇒−=

L RESULTADO ES POSITIVO ASÍ QUE LA FUNCIÓN ES CRECIENTE EN EL INTERVALO x > 1

E

COMO LOS VAL

x SPARA x < –1, US

'yA

SUSTITUYENDO x = ( ) ( ) 3232y' 2 ⇒−−=− ( ) ( ) ( ) ( ) 92y3122y3432y

EL RESULTADO

( ) ( ) ( ) 30y3030y '' 2 −=⇒−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 92y3122y3432y3232y

E

129

EJERCICIOS PROPUESTOS:

ETERMINA LOS INTERVALOS DONDE LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON CRECIENTES Y DECRECIENTES:

1.

D

8x6x

21x

31y 23 +−+= , sol. Crec. X< –3 Y x > 2, dec. –3<x<2

. Sol. Crec. 4x4x3x2xy 234 +−−−+=21x2 −<<− Y x > 1, dec. X< –2 Y 1x

21

<<− 2.

3. . Sol. Crec. X< 0 y x>2, dec. 0<x<2 . .crec. en x<1 y x>3, dec. 1<x<3

1x3xy 23 +−=

8x9x6xy 23 −+−=4

130

3.1.5 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN OBJETIVOS: 1. DEFINIRÁ LOS CONCEPTOS DE ARCO CÓNCAVO HACIA ARRIBA (CÓNCAVO) Y

CÓNCAVO HACIA ABAJO (CONVEXO) Y PUNTO DE INFLEXIÓN. (DF, EA) . IDENTIFICARA LAS CONDICIONES QUE DEBE DE TENER UNA FUNCIÓN PARA SER

CAVA O CONVEXA EN UN INTERVALO Y PARA QUE EXISTA UN PUNTO DE XIÓN(DC, EA)

. HALLARA LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL DADA. A) RA EL(LOS) PUNTO(S) DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL DADA.

Y PUNTOS DE inflexión.

CURVA y = f(x) ES CÓNCAVO, SI EN CADA UNO DE SUS PUNTOS ESTA S NCIMA DE LA TANGENTE O SI EN ALGÚN INTERVALO DETERMINADO POR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN f’’(x) > 0.

UN ARCO DE CURVA y = f(x) ES CONVEXO, SI EN CADA UNO DE SUS PUNTOS ESTA

SITUADO POR DEBAJO DE LA TANGENTE O SI EN ALGÚN INTERVALO DETERMINADO POR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN f’’(x) < 0.

2CÓNINFLE

3(PO, E

. HALLA4(PO, EA)

CONCAVIDAD UN ARCO DEITUADO POR E

CONVEXA CÓNCAVA (MÁXIMO) (MÍNIMO)

EL CUAL LA CURVA CAMBIA DE CÓNCAVA A CONVEXA O VICEVERSA. D FIGURA, LOS PUNTOS B,S Y C SON PUNTOS DE INFLEXIÓN.

XIÓN NOS VAN A SERVIR PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS D CURVA, AXIAL COMO TAMBIÉN LOS PUNTOS CRÍTICOS O VALORES CRÍTICOS QUE NO SIRVIERON PARA DETERMINAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

f’’(x) = 0. TO DE INFLEXIÓN DE UNA CURVA , A LA FUNCIÓN SE EL SACA

SU SEGUNDA DERIVADA Y SE IGUALA A CERO, LOS VALORES DE x QUE RESUELVAN A E S VALORES CRÍTICOS PARA LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN Y SI SU RES CRÍTICOS EN LA FUNCIÓN INICIAL, HALLAREMOS LOS PUNTOS CRÍTICOS DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN.

N LA SIGUIENTE GRAFICA SE SEÑALAN DONDE SE ENCUENTRAN LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y EL PUNTO DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN CUALQUIERA.

ES UN PUNTO ENE ACUERDO A LA LOS PUNTOS DE INFLEE CONCAVIDAD DE LA

UNA CURVA TIENE UN PUNTO DE INFLEXIÓN SI EN ESE PUNTO PARA OBTENER EL PUN

STA ECUACIÓN SERÁN LOSTITUIMOS ESTOS VALO

E

131

B = PUNTO DE INFLEXIÓN ATIVO

POR ELLO EL PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS INTERVALOS EN QUE UNA FUNCIÓN ES CRECIENTE O DECRECIENTE ES EL SIGUIENTE (EN LOS PRIMEROS PASOS ES MUY PARECIDO A LA OBTENCIÓN DE MÁXIMOS):

SE SACA LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.

ESTA SEGUNDA DERIVADA SE IGUALA A CERO.

ECUACIÓN IGUALADA A CERO SE RESUELVE PARA x (GENERALMENTE POR FACTORIZACION). TENDREMOS ASÍ LOS VALORES CRÍTICOS Y A PARTIR DE ELLOS FORMAREMOS INTERVALOS (ESTA ES LA PARTE PARECIDA A LA OBTENCIÓN DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS).

4. UNA VEZ LOCALIZADOS LOS VALORES CRÍTICOS, FORMAREMOS INTERVALOS DE LORES QUE ESTARÁN DELIMITADOS POR LOS VALORES CRÍTICOS. LA CANTIDAD

DE INTERVALOS QUE SE FORMEN DEPENDERÁ DE LA CANTIDAD DE VALORES CRÍTICOS QUE TENGA LA FUNCIÓN, POR EJEMPLO SI TIENE SOLO UN PUNTO CRITICO, FORMAREMOS DOS INTERVALOS, SI TIENE 2 PUNTOS CRÍTICOS FORMAREMOS 3 INTERVALOS SI TIENE 3 PUNTOS CRÍTICOS FORMAREMOS 4 INTERVALOS Y ASÍ SUCESIVAMENTE. OTROS EJEMPLOS MAS PRÁCTICOS SON LOS

GUIENTES: A) SI TENEMOS UN SOLO VALOR CRITICO, POR EJEMPLO EN x =2, FORMAREMOS

DOS INTERVALOS, UNO QUE SER EL DE LOS NUMEROS MENORES DE DOS (x < 2) Y EL DE LOS NUMERO MAYORES DE 2 (x > 2).

B) SI TENEMOS DOS VALORES CRÍTICOS, POR EJEMPLO EN x = 2 Y EN x = 4, FORMAREMOS TRES INTERVALOS, EL PRIMERO LO FORMARAN LOS NUMEROS MENORES DE DOS (x < 2), EL SEGUNDO LO FORMARAN LOS NUMERO QUE ESTÁN COMPRENDIDOS ENTRE EL 2 Y EL 4 (2 < x < 4) Y EL TERCERO LO FORMARAN LOS NUMERO MAYORES DE 4 (x > 4).

UNA VEZ FORMADOS LOS INTERVALOS VAMOS A TOMAR AL AZAR UN NUMERO DE CADA INTERVALO Y LOS NUMEROS SELECCIONADOS SUSTITUIMOS EN LA ECUACIÓN

LA SEGUNDA DERIVADA, PARA QUE DE ACUERDO AL RESULTADO APLIQUEMOS LOS SIGUIENTES CRITERIOS:

A. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA SEGUNDA DERIVADA ES MENOR QUE CERO, ES DECIR, ES NEGATIVA, ENTONCES EN ESE INTERVALO LA FUNCIÓN ES CÓNCAVA HACIA ABAJO.

DONDE:

A = MÁXIMO RELATIVO

C = MÍNIMO REL

1.

2.

3. LA

VA

SI

5.

DE

132

B. SI EL RESULTADO DE LA SUSTITUCIÓN DEL VALOR CRITICO EN LA PRIMERA DERIVADA ES MAYOR QUE CERO, ES DECIR, ES POSITIVA, ENTONCES EN ESE INTERVALO LA FUNCIÓN ES CÓNCAVA HACIA ARRIBA.

PARA HALLAR EL PUNTO DE INFLEXIÓN SE SUSTITUYE EL VALOR EN QUE LA SEGUNDA D CRITICO) EN LA ECUACIÓN ORIGINAL, DEBEMOS DE CHECAR SI EN ESE PUNTO EXISTE CAMBIO DE CONCAVIDAD, SI LO HAY ENTONCES TENEMOS UN PUNTO DE INFLEXIÓN.

JERCICIOS RESUELTOS:

A LOS INTERVALOS EN QUE LA CURVA ES CÓNCAVA HACIA ARRI O.

OS LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.

''' 223 −=⇒+−=⇒++−=

OS A CERO ESTA ECUACIÓN Y LA RESOLVEMOS PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS.

ERIVADA DIO CERO (VALOR

E

1x6x3x2y 23 ++−=1.- CALCULBA Y CONCAVA HACIA ABAJ

SACAM y 6x6y6x6x6y1x6x3x2 GUALAMI

1x

66x6x606x6 =⇒=⇒=⇒=−

LO TENEMOS UN VALOR CRITICO, SOLO FORMAMOS DOS INTERVALOS, x < 1 Y x > 1.

ARA VERIFICAR EL INTERVALO x < 1, USAREMOS x = 0 Y PARA VERIFICAR EL

INTERVALO x > 1, USAREMOS x = 2

ENDO ESTOS VALORES EN LA ECUACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA:

OMO SOC

P

USTITUYS

( ) ( ) 60y606( )0y '' = '' −=⇒−

L RESULTADO NOS QUEDA NEGATIVO, ESO QUIERE DECIR QUE LA FUNCIÓN ES C ACIA ABAJO EN EL INTERVALO x < 1

EÓNCAVA H ( ) ( ) ( ) ( ) 62y6122y6262y '''' =⇒−=⇒−=

L RESULTADO NOS QUEDA NEGATIVO, ESO QUIERE DECIR QUE LA FUNCIÓN ES CÓNCAVA HACIA ARRIBA EN EL INTERVALO x > 1

2. DETERMINA EL PUNTO DE INFLEXIÓN DE LA FUNCIÓN ACAMOS LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.

22334 ''' +=⇒+=⇒−+=

UALAMOS A CERO ESTA ECUACIÓN Y LA RESOLVEMOS PARA HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS.

LOS VALORES CRÍTICOS SON x = 0 Y x = –1. TENDRÍAMOS QUE DEMOSTRAR QUE EN ESTOS PUNTOS HAY UN CAMBIO EN LA

CONCAVIDAD (QUEDA PARA EL ALUMNO ESTA DEMOSTRACIÓN). ASUMIENDO QUE SI HAY

'' E

7x2xy 34 −+=

S

y x12x12yx6x4y7x2x IG

( ) 01xx12 =+

133

CAMBIO EN LA CONCAVIDAD EN ESTOS VALORES CRÍTICOS, LOS SUSTITUIMOS AHORA EN LA ECUACIÓN INICIAL

( ) ( ) ( ) ( ) 70y70200y 34 −=⇒−+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 81y7211y71211y 34 −=−⇒−−=−⇒−−+−=−

LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN SON (0 , –7) Y (–1 , –8)

JERCICIOS PROPUESTOS:

1. f(x)= 2x3 – 6x2 + 3

E

. y= 3 + 5x – x5 2

. y= (-x + 2)3 3

. f(x)= 3x4 – 4x3 – 12x2 + 5 4

134

AUTOEVALUACIÓN UNIDAD III

ALORES ___________________ SON LOS VALORES DE x EN DONDE PUEDE HABER UN MAXIMO O UN MINIMO RELATIVO.

CIA_________________, SI TODOS LOS P CURVA SE ENCUENTRAN ARRIBA DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA Y SERA CONCAVA HACIA_________________, SI TODOS LOS PUNTOS DE LA CURVA SE ENCUENTRAN ABAJO DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA

. SE DICE QUE UNA FUNCION ES _______________ EN UN INTERVALO SI f’(x) < 0 EN TODOS LOS ENTRAS QUE SERA _______________ EN UN IN PUNTOS DE ESE INTERVALO

L CUAL CAMBIA EL SENTIDO DE LA CONCAVIDAD EN UNA CURVA, ES DECIR CAMBIA DE CONCAVA A CONVEXA Y VICEVERSA.

5. RELACIONA LAS COLUMNAS PONIENDO LA LETRA CORRECTA EN EL PARENTESIS, DE

ACUERDO CON LAS CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR CADA CARACTERISTICA DE LA CURVA.

. f’(x) = 0

. f’(x) PASA DE POSITIVA A NEGATIVA AL CRUZAR UN VALOR CRITICO

. f’(x) PASA DE NEGATIVA A POSITIVA AL CRUZAR UN VALOR CRITICO

. f’’(x) = 0

’’(x) > 0

. f’’(x) < 0

. f’(x) < 0

. f’(x) > 0

( ) CURVA CONCAVA HACIA ABAJO ( ) PUNTO DE INFLEXIÓN ( ) MINIMO RELATIVO (PRIMERA

DERIVADA) ( ) MAXIMO RELATIVO (PRIMERA

DERIVADA) ( ) CURVA CONCAVA HACIA ARRIBA ( ) CRECIENTE ( ) DECRECIENTE ( ) MAXIMO RELATIVO (SEGUNDA

DERIVADA) ( ) MINIMO RELATIVO (SEGUNDA

DERIVADA)

1. LOS V

2. SE DICE QUE UNA CURVA ES CONCAVA HANTOS DE LAU

3

PUNTOS DE ESE INTERVALO, MITERVALO SI f’(x) > 0 EN TODOS LOS 4. EL PUNTO _____________________ ES EL PUNTO EN E

A

B

C

D

E. f

F

G

H

135

6. DE ACUERDO A LA GRAFICA , A NOS REPRESENTA EL PUNTO ___________________ , B NOS REPRESENTA EL PUNTO ___________________ Y C NOS REPRESENTA EL PUNTO ___________________ DE LA FUNCIÓN.

7. HDAN

A.

C.

D. f(x)=x

2 – 24x + 3

N DE LA DERIVA QUE SE TE INDICA A. LA CUARTA DERIVADA DE LA FUNCIÓN y = 6– x5 + x4–x3 + x2

B. LA SEGUNDA DERIVADA DE LA FUNCIÓN y = sen 4x3 9. DETERMINA LOS INTERVALOS DONDE LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON

CRECIENTES Y DECRECIENTES. A.

B. 10. DETERMINA LOS INTERVALOS DE CONC DE

LAS FUNCIONES: A.

B.

ALLA LOS VALORES MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE LAS FUNCIONES QUE SE

, APLICANDO EL METODO DE LA PRIMERA O EL DE LA SEGUNDA DERIVADA.

f(x)=x3 + 2x2 – 4x – 8

B. f(x)=x3 - 6x2 + x – 8

f(x)=x3 - 3x2 - 9x + 5

3 + 6x2 + 9x + 3

E. f(x)=x3 + 3x

8. OBTEN EL ORDE

x

20x9x3y 3 +−=

9x10xy 2 +−=

AVIDAD Y LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN

20x9x3y 3 +−=

9x10xy 2 +−=

136

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

NIDAD I I – D 1.-

U

32

2.- 2 3.- ∞, NO EXISTE

.-

4.- 0

52 5

– F

.- DISCONTINUA

.- DISCONTINUA

.- DISCONTINUA

.- DISCONTINUA

.- CONTINUA

6.- CONTINUA

.- CONTINUA 8.- DISCONTINUA 9.- CONTINUA 10.- DISCONTINUA

1.- CONTINUA 12.- CONTINUA 13.- DISCONTINUA

ONTINUA 16.- DISCONTINUA

I

1

2

3

4

5

7

1

14.- CONTINUA 15.- C

137

17.- CONTINUA 8.- DISCONTINUA

19.- DISCONTINUA

0.- CONTINUA

NIDAD II

– C

.-

1

2 U II

3 x32x2y' += 1

6 54

3x6

1x2

25x3

4y' −+= 2.-

.- 5x3

33

28x20y 3 2' −= 3 4 −

4.- 7654 x

36x25

x20

x12y' +−−−=

5.- 5316

643 xx4xy' −−−=

5 23 x7x12x

215y' ++−= 6.-

4 3

8 53x

1663

x8

7x2

1y' ++= 7.

8.-

4 135 144 73 x4

63

x

9

x2

3

x2

1y' +++−=

5 6

3 44 33 2 9x56x7x5y' +++=9.- x5343

10.- )

1.-

( )( ) ( 2x36x131x24xx2y 2232' −+−+=

( )2x23

12y'+

−= 1

( )32

3

x4

xx8y'−

−= 12.-

13.- ( ) ( )32 1xx3x112y' +−−= 3

138

139

14.- x

y2y' −=

15.-

( )23x2

5y'+

=

16.- ( )6x1

y'+

= 4x5

17.- x2x5x8y

2' −=

−

8.-

x2x4

1y'−

−= 1

)

20.-

( ) ( ) ( 20x27x175x23xx2y 3232' −+−+= 19.-

( )22t3

t10y'−

=

II – D 1.- y’ = e 2.- y’ = 3.- y’ = 4.- y’ =

6.- y’ = – ½ e–½ x

7.- y’ = 2x ex2

8.- y’ = 6x a3x2 Ln a 9.- y’ = 10.- y’ =

6x 3x2 – 5

x x2 – 3

4 4x – 5

2 Ln ( x + 3 ) x + 3

2 x – 3

+

5.- y’ = 3 Cot 3x

3x2 x3 + 2

2x x2 + 3

Log

140

11.- y’ = 5/x 12.- y’ = Sec x 13.- y’ = 5 e5x

14.- y’ = B3xB

2B eBx3

15.- y’ = 3 esen 3x Cos 3x

16.- y’ = B–2x (3 B–x2B) Ln 3B

17.- y’ = BeB(x + ex) II – E 1.- y’ = 3 Cos 3x – 2 Sen 2x 2.- y’ = 2x Sec2 x2 3.- y’ = 2 Tan x Sec2 x 4.- y’ = 4x Csc2 ( 1 – 2x2 ) 5.- y’ = Sec3 x Tan x 6.- y’ = – Csc 2x Cot 2x 7.- y’ = x2 Cos x + 2x Sen x 8.- y’ = 9.- y’ = 6 Cos 2x 10.- y’ = –2 Sen ½ x 11.- y’ = 20 Sec2 5x 12.- y’ = –2 Csc2 8x 13.- y’ = 3 Sec 1/3 x Tan 1/3 x 14.- y’ = – Csc 4x Cot 4x 15.- y’ = x Sen x + 2x + 4 16.- y’ = ( –2 Cos 2/x ) / x2 17.- y’ = 2x Sen ( 1 – x2 )

3 2 x

–x Sen x – Cos x xP

2P

141

18.- y’ = 2 ( 1 – x ) Sen ( 1 – x )2 19.- y’ = 3 Sen ( 6x – 4 ) 20.- y’ = Sen 2x II – F 1.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- II – G 1.- y’ = 8x + 4 2.- y’ = 3.- y’ = 6x2 (x + 2 )2 ( x + 1 ) 4.- y’ = 6x5 – 45x4 + 108x3 – 81x2 5.- y’ = (15 – 90x2) ( 5x – 10x3 )2 II – H 1.- y’ = 2p/y

–a x xP

2P – a P

2P

1 aP

2P – xP

2P

2 4xP

2P – 16x + 17

6 ( 3 – 5x ) 21xP

2P – 30x + 9

–1 aP

2P – xP

2P

c cP

2P + xP

2P

1 eP

2xP – 1

1 2 x – xP

2P

–2 1 + xP

2P

5 ( x – 5 ) xP

2P – 10x

1 x ( 1 + x ) P

2P

142

2.- y’ = x/2p 3.- y’ = 4.- y’ = 5.- y’ = – 6.- y’ = – 7.- y’ = – 8.- y’ = – 9.- y’ = 10.- y’ = II – A 1.- m = 4, ECUACIÓN: 4x – y = 4 2.- m = 6, ECUACIÓN: 6x – y = 9 3.- m = –100, ECUACIÓN: 100x + y = –105 4.- m = –189, ECUACIÓN: 189x + y = –377 5.- m = ½, ECUACIÓN: x – 2y = –6 6.- m = 9452, ECUACIÓN: 9452x – y = 28352 7.- m = 23, ECUACIÓN: 23x – y = 21 8.- m = 70, ECUACIÓN: 70x – y = 68 9.- m = 13112, ECUACIÓN: 13112x – y = 78668 10.- m = –2/5, ECUACIÓN: 2x + 5y = 32

b P

2Px

aP

2Py

2x – y 2y + x

3x2 – 2ny 3y2 – 2nx

y x

y x

yP

2P – 2x – 2xy

xP

2P + 2y – 2xy

2x – y x – 2y

y – 2y Cos xy 4yP

3P + 2x Cos xy – x

143

UNIDAD III III – A EL MÁXIMO SE VA A INDICAR CON M Y EL MÍNIMO CON M’ 1.- M’ ( 2, – 3 ) 2.- M ( 3, 11 ) 3.- M ( –3, 2 ) ; M’ ( 3, –2 ) 4.- M’ ( –2, – 4/3 ) ; M ( 2, 4/3 ) 5.- M ( 0, 2 ) ; M’ ( 20/3, –3946/27 ) 6.- M ( 1, 3 ) ; M’ ( 5/3, 77/27 ) 7.- M’ ( – 3 , 1 ) ; M ( 0, 10 ) ; M’ ( 3 , 1 ) 8.- M ( –1, 13/6 ) ; M’ ( 2, – 7/3 ) 9.- M ( 2, 128 ) ; M’ ( 6, 0 ) 10.- M’ ( 5, 75 ) II – I 1.- y’’’’ = 24 2.- y’’’’’ = 720 3.- y’’’ = 4.- y’’ = 5.- y’’’ = 6.- y’’ = 1/x3 7.- y’’’ = 2 e3x ( 9 Sen x + 13 Cos x ) 8.- y’’ = 9.- y’’ = 10.- y’’’’ = 6/x

6x – 2 ( 1 + xP

2P ) P

3P

– a P

2P

( aP

2P – xP

2P ) P

3/2P

2xP

2P – 1

( 1 + xP

2P ) P

5/2P

xP

2P – 2

( 1 – xP

2P ) P

3/2P

2 ( 1 + xP

2P ) P

2P

144

Respuestas: 1. CÓNCAVA HACIA ABAJO EN x < 1

CÓNCAVA HACIA ARRIBA EN x > 1 2. CONCAVA HACIA ABAJO EN x < 0

CONCAVA HACIA ARRIBA EN x > 0 3. (2, 0)

4. (1, -2), ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −27

122,31

145

URESPUESTAS AUTOEVALUACION UNIDAD I 1. GUILLERMO LEIBNITZ E ISAAC NEWTON 2. LA OBTENCIÓN DEL VOLUMEN DEL CONO POR DEMOCRITO DE TRACIA Y LA

DETERMINACIÓN POR PRIMERA VEZ DEL ÁREA DEL CIRCULO POR HIPÓCRATES. EL CONCEPTO COMPARTIDO EN AMBOS CASOS (TANTO EN EL CIRCULO COMO EN EL CONO) FUE EL DE LAS APROXIMACIONES, DE LAS CUALES NACE LA PRIMERA IDEA DE LIMITE, CONCEPTO BÁSICO QUE FUNDAMENTE AL CALCULO

3. SI f ES UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN [a, b] CON LA POSIBLE EXCEPCIÓN DE c ∈ [a, b],

DECIMOS QUE L ES EL LIMITE DE f CUANDO x TIENDE A c, SI DADO UN ARGUMENTO x MUY CERCANO A c (TAN PRÓXIMO COMO SE DESEE) HALLAMOS QUE SU IMAGEN ESTA TAMBIÉN MUY CERCA DE L.

4. C, A, B.

5. 2x3Lim,2x3Lim,2x3Lim

2x2x2x−−−

−→+→→

6.

LIMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES

( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLimcxcxcx →→→

+=+

LIMITE DE LA DIFERENCIA DE FUNCIONES

( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLim

cxcxcx →→→−=−

LIMITE DEL PRODUCTO DE

FUNCIONES

( ) ( )[ ] ( ) ( )xgLimxfLimxgxfLimcxcxcx →→→

•=•

XI. LIMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES:

XII. ( )( )

( )( ) ( ) 0xgLimsi,xgLim

xfLim

xgxf

Limcx

cx

cxcx

≠=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→

→

→

→

LIMITE DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A

UNA POTENCIA

( )NncxLim nncx

∈=→

LIMITE DE UNA CONSTANTE

kkLimcx

=→

LIMITE DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

( ) ( )cpxpLim

cx=

→

LIMITE PARA FUNCIONES CON RADICALES

( ) ( ) ( ) 0xfsixfLimxfLim

cxcx≥=

→→

LIMITE DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

( ) ( )xfLimkxfkLim

cxcx →→•=

7. A: 8, B: 4, C:

87 , D: +∞, E: – ∞, F: 1. G: 0

8. CONTINUIDAD EN UN PUNTO: DECIMOS QUE UNA FUNCIÓN f ES CONTINUA EN c SI

SE SATISFACEN LAS 3 CONDICIONES SIGUIENTES: IV. f(c) ESTA DEFINIDA

146

V. ( ) EXISTExfLimcx→

VI. ( ) ( )cfxfLimcx

=→

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO ABIERTO: DECIMOS QUE UNA FUNCIÓN ES

CONTINUA EN UN INTERVALO ABIERTO (a, b) SI ES CONTINUA EN CADA PUNTO DEL INTERVALO.

UNA FUNCIÓN QUE ES CONTINUA EN TODA LA RECTA REAL ( )∞+∞− , SE LLAMA

CONTINUA EN TODAS PARTES

9. A: DEL VALOR MEDIO. B: DE LOS VALORES EXTREMOS.

URESPUESTAS AUTOEVALUACION UNIDAD II 1. PROMEDIO, INSTANTANEA 2. A: 3, B: –5, C:

1511

−

3. DERIVADA

4. ( )xf ' , dxdy , 'y

5. DIFERENCIACIÓN, DERIVABLE, DERIVABLE 6. A: 6x8x9'y 2 −−= , B:

( )21x

2'y+

= , C: 1x2

1'y+

=

7. A: 5432 x36x15x20x9y' +−−= , B:

543 x4

x3

x2y' +−−= , C:

345 x128x140x90y' +−−= , D:( )232

4

x3x8

x54y'−

= , E: ( ) ( )9232 x6x15x1460x300x420y' +−+−= , F:

( ) ( ) ( )36x882x41x3y 34' −−−= , G: ( ) ( ) ( )( )523

245524

xx

x6x8x10xx3x2y'

−

+−−−= ,

H: ( ) ( ) ( )( ) ( )45

232

5x62x5

x46x137x2541x21xy'

+−

++−−= , I:

1x529x25y

2'

−

−= , J:

( ) 9x3x

3y2

'−+

=

8. A: aLna20y x20'= , B: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= − x52x10e5x20y' , C: 322 x25Cscx75xSen10y' += , D:

xSenexCosy'= , E: 43 x5Tanx20y'= , F: ( )x3sen3x3xCos8ey2x4' −= , G:

3

32222

x4Secx4Tanx5Tanx12x5xSec10y' −

= , H: ( )xx6Cot9x6Csce2y 32x' −−= , I:

( ) ( ) ( ) ( )x6xCosxSenxCosxSeney 222222x' +−= − , J: 2x1

2y'+

=

9. A: y´= 81x2 + 288x + 255, B: y´=108x3 – 324x2+222x – 6

147

10. A: 4y15

x6y2

'+

= , B: y6y6x10x3y

2

32'

+

+= , C:

3xy20yx9

xy6y5y

222

34'

−−

−=

11. A: m = 17, TANGENTE: 018yx17 =−− , NORMAL: 0564y17x =−+ ; B: m = 12, TANGENTE:

016yx12 =−− , NORMAL: 094y12x =−+ , C: m = 81 , TANGENTE: 016y8x =+− , NORMAL:

0132yx8 =−+ 12. A: LSTG = 1, LSNOR = 1; B: LSTG =

21 , LSNOR: 2, C. LSTG = 8, LSNOR:

21

URESPUESTAS AUTOEVALUACION UNIDAD III 1. CRITICOS 2. ARRIBA, ABAJO 3. DECRECIENTE, CRECIENTE 4. DE INFLEXIÓN 5. DIFERENCIACIÓN, DERIVABLE, DERIVABLE 6. F, D, C, B, E, H, G, F, E. 7. A: PARA x = – 2, MAX = 0; PARA x =

32 , MIN =

27256

− , B: PARA x = –1, MIN = –4; PARA

x = –3, MAX = –8, C: PARA x = 3, MIN = – 22; PARA x = – 1, MAX = 10, D: PARA x = – 1, MIN = – 1, PARA x = – 3, MAX = 3, E: PARA x = 2, MIN = – 25, PARA x = –4, MAX = 83,

8. A: y´´´´ = 360x2 – 120x + 24, B: y´´= 24x Cos 4x3 – 144 x4 Sen 4x3. 9. A:CRECIENTE EN x > 1 Y x < –1, DECRECIENTE EN –1 < x <1 , B: A:CRECIENTE EN x >

5 Y DECRECIENTE EN x < –5. A: CONCAVA HACIA ARRIBA EN x >

21 Y CONCAVA HACIA ABAJO EN x <

21 , PUNTO DE

INFLEXIÓN ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛8

127,21 ,B: CONCAVA HACIA ARRIBA EN x > R, NO HAY PUNTO DE INFLEXIÓN.

148

BIBLIOGRAFIA

1. Larson, Hostetler, Edwars. Cálculo. México. McGraw-Hill, sexta edición, 1999.

2. Anfosi y Flores Meyer. Cálculo Diferencial e Integral. México. Progreso, 9ª. Edición, 1977.

3. Salazar Vazquez, Flores Botello y Sánchez Gutierrez. Matemáticas IV “Colección Bachiller”. México. Nueva imagen, segunda edición, 2002.

4. Ayres, Frank, Cálculo Diferencial e Integral. México. McGraw-Hill, 1999.

5. Purcell, Edwin J. Cálculo Diferencial e Integral. México. Prentice Hall, 6ª. Edición, 1993.