CuasipartículasFonones

Bibliografía:Electrons, Phonons, MagnonsM. I. KaganovMir Publishers, MoscowFirst published in 1981Págs. 109-135.

Fundamentos de Física Estadística y TérmicaF. ReifMcGraw-Hill, New York, 1965Págs. 360-361, 408-420.

Cuasipartícula se refiere a un grupo de fenómenos discretos cuyo comportamiento incluye la interacción de una partícula con el sistema. La entidad se comporta de un modo similar a un partícula simple. El concepto es muy importante en física de la materia condensada, porque es una de las pocas formas conocidas de simplificar el problema mecáno – cuántico para muchos cuerpos. Wikipedia

Una cuasiparticula es una perturbación en un medio, que se comporta como una partícula y puede ser tratada como tal. Una analogía rudimentaria es la de una burbuja en una jarra de cerveza: la burbuja no es un objeto independiente sino un fenómeno, el desplazamiento por dióxido de carbono de un volumen de cerveza. Pero debido a las características de la superficie de líquido en contacto con el gas, la burbuja retiene una cierta identidad mientras sube y flota. Como una cuasipartícula, posee propiedades características de objectos, como tamaño, forma, energía, y momento.Britannica

Algunos ejemplos

En sólidos, una cuasipartícula electrón es un electron afectado por las interacciones del sólido. La cuasipartícula electrón tiene la misma carga y espín de un electrón "normal" (partícula elemental) y es también un fermión. Sin embargo su masa puede diferir sustancialmente de la de un electrón normal y su campo eléctrico también estámodificado debido al efecto de apantallamiento.

Un hueco es una cuasipartícula que consiste en la ausencia de un electrón en un dado estado; su uso es común en el contexto de estados vacíos en la banda de valencia de un semiconductor. Tiene carga opuesta a la del electrón.

Un fonón es una excitación colectiva asociada con la vibración de los átomos en una estructura cristalina rígida. Es un cuanto de onda de sonido. Un magnón es una excitación colectiva asociada con la estructura de espines electrónicos en una red cristalina. Es un cuanto de una onda de espín.

Wikipedia

Quasiparticle Signification

Bipolaron A bound pair of two polaronsChargon A quasiparticle produced as a result of electron spin-charge separation

Configuron An elementary configurational excitation in an amorphous material which involves breaking of a chemical bond

Electron hole(hole) A lack of electron in a valence band

Exciton A bound state of an electron and a holeFracton A collective quantized vibration on a substrate with a fractal structure.Holon A quasi-particle resulting as a result of electron spin-charge separation

Libron A quasiparticle associated with the librational motion of molecules in a molecular crystal.

Magnon A coherent excitation of electron spins in a materialPhason Vibrational modes in a quasicrystal associated with atomic rearrangementsPhonon Vibrational modes in a crystal lattice associated with atomic shiftsPlasmon A coherent excitation of a plasmaPolaron A moving charged quasiparticle that is surrounded by ions in a materialPolariton A mixture of photon with other quasiparticlesRoton Elementary excitation in superfluid Helium-4Soliton A self-reinforcing solitary excitation waveSpinon A quasiparticle produced as a result of electron spin-charge separation

Fonón

CF4

Hg(CH3)2

AuCl4

Fonones (acústico-óptico)

Fonones (unidimensional longitudinal)

Fonones (unidimensional transversal

Vibraciones moleculares y fonones

Polarón

t

electrónelectrón

fonón

Par de Cooper

Par de Cooper – Superconductor

Magnón

Los movimientos atómicos en un cristal son perpetuos. Ocurren oscilaciones a 0 K (similarmente al movimiento de punto cero de un oscilador armónico) y la cantidad de modos de oscilación y su amplitud se incrementan con la temperatura. En general la amplitud de las vibraciones de punto cero es mucho menor que la separación interatómica, pero para las especies con menor masa atómica pueden ser considerables y para el He superan dicha separación. Esta es la razón por la cual a T ∼ 0 K, para solidificarlo se requiere una presión de 26 atm.

0a

u( ) ( )tuata += 0

En todos los materiales, la amplitud de oscilación ocasionalmente alcanza el orden de la separación iteratómica dando lugar al fenómeno de difusión. Éste tiene una fuerta dependencia con la temperatura.

Movimientos en un cristal

Un modelo de sólido puede ser el de masas unidas por resortes:

Si se desplaza una masa y luego se la libera, se moverá en la dirección de algún o algunos vecinos, provocando su movimiento, que a su vez inducirá el movimiento de vecinos cada vez más lejanos.

Como sabemos debe haber una relación entre λ y ω, o entre k y ω:

( )kr

ωω =llamada relación de dispersión.

Onda plana en un cristal (dirección (1 1 0)

x

El conocimiento de la ley de dispersión nos permite calcular propiedades del cristal: capacidad calorífica, dilatación térmica, conductividad del calor, etc. Esta relación puede visualizarse realizando una hipótesis simplificadora: átomos suficientemente distantes no interactúan directamente entre sí. Bajo estas condición se puede inferir 3 consecuencias:

1. Si hay r especies diferentes en la celda unidad, se pueden propagar en el cristal 3r diferentes tipos de ondas.

2. 3 de los 3r tipos se denominan modos acústicos. Sus frecuencias son funciones decrecientes de k y tienden a anularse cuando k → 0. Los restantes 3(r – 1) modos se llaman modos ópticos. Los modos acústicos corresponden a una onda longitudinal (desplazamiento paralelo a k) y dos transversales (desplazamiento perpendicular a k) . Los modos ópticos corresponden a oscilaciones entre átomos diferentes de la celda unidad y también incluyem ondas longitudinal y transversale.

modos acústico-óptico

es una función periódica en el espacio recíproco:

Por las mismas razones mencionadas la clase anterior, es suficiente restringir el análisis a la 1ZB.

( ) rjkjj 3,...,1; ==r

ωω

( ) ( ) jkGk jj ∀=+ ;rrr

ωω

332211 bmbmbmGrrrr

++=

3. Cada una de las funciones

la ley de dispersión de las ondas de sonido es simple para longitudes de onda λgrandes comparadas con la constante de red a.

21

2

1

ssalestransversaks

aleslongitudinks

>>>=

=λω

ω

ondadevelocidadffk

s λπλπω

===2

2

12; <<⇒=>> akk

a πλλ

Los 3(r – 1) modos ópticos describen vibraciones entre átomos dentro de la celda unidad. Las frecuencias de estas vibraciones son altas, del orden de las frecuencias ópticas infrarrojas.

De lo que hemos analizado, concluímos que los átomos no son osciladores independientes, están “acoplados” a otros átomos.

Sus movimientos generan ondas y cada onda tiene una frecuencia ω definida. Es posible tratar a estos modos colectivos de frecuencia definida como osciladores no acoplados (independientes). Entonces la energía vibracional de un cristal es la suma de las energías de los osciladores individuales.

Cada cuanto del oscilador de frecuencia ωj(k) es una forma elemental de oscilación del cristal: un fonón, e involucra a todos los átomos del sólido.

La energía vibracional de los átomos interactuantes es la suma de las energías de los osciladores independientes. Cada oscilador es un elemento estructural del movimiento atómico en los cristales.

Desde el punto de vista vibracional un sólido es un “gas” ideal de fonones.

Una información importante para obtener propiedades de los cristales como el calor específico, es la densidad de fonones. La definimos como el número σ(ω) de vectores de onda k que hay en el intervalo ω, ω + dω. La función σ(ω) experimental es compleja:

Al

Un tratamiento teórico relativamente sencillo es la aproximación de Debye. En ésta se supone que la aproximación de grandes longitudes de onda (baja energía) es válida en todo el rango de posibles oscilaciones (frecuencias).

21

2

1

ssalestransversaks

aleslongitudinks

>>>=

=λω

ω

Las expresiones

Implican que las ondas que se propagan en el cristal son idénticas a las ondas en un continuo con velociades s1, s2:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )trutrueutru

eutrutrki

trki

,,,

,

23

202

101

rr

rrr

rrr

rr

rr

==

=−⋅

−⋅

ω

ω

Esta suposición es correcta cuando λ >> a, pero en el modelo de Debye se extiende a todo λ hasta la longitud de onda de corte λ = 2a.

Para resolver el problema debemos establecer condiciones de contorno para las ondas. Considerando el sólido como un prisma rectangular de lados

( ) ( ) ( )tzkykxkijjj

zyxeutzyxutru ω−++== 0,,,, rrrr

podemos elegir condiciones periódicas (considerando que se formarán ondas estacionarias, también podríamos usar condiciones que impliquen nodos o vientres en los bordes, todos estos tratamientos llevan a conclusiones equivalentes). Escribimos u como:

zzzyyyxxx aNLaNLaNL === ;;

( ) ( )( ) ( )( ) ( )tzyxutLzyxu

tzyxutzLyxu

tzyxutzyLxu

jzj

jyj

jxj

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

rr

rr

rr

=+

=+

=+

e imponemos las condiciones periódicas

zz

zyy

yxx

x nL

knL

knL

k πππ 2;2;2===

Que a su vez implican

Ahora contaremos estados, para eso invertimos las relaciones anteriores

zz

zyy

yxx

x kLnkL

nkLnπππ 2

;2

;2

===

zz

zyy

yxx

x dkLdndkL

dndkLdnπππ 2

;2

;2

===

( ) ( ) zyxzyxzyx

zyx dkdkdkVdkdkdkLLL

dndndnkd 333

22 ππσ ===

r

Y de aquí deducimos la densidad de estados σ:

Para la onda longitudinal

11 s

ddkks ωω =⇒=

Teniendo en cuenta

φθθ ddd

dkdkkddkdkdk zyx

sin

23

=Ω

Ω==r

e integrando sobre el ángulo sólido

( )dkkVdkkVdkk

22

23 22

4ππ

πσ ==

ωωπ

ωσω ds

Vdl 231

22=

Para las ondas transversales aparece un factor 2

ωωπ

ωσω ds

Vdt 232

222

=

Finalmente nos queda para la densidad total

( ) ωωπ

ωωπ

ωσσωσ ωωω ds

Vdss

Vdd tl 232

232

31

2 2321

2=

+=+=

3/<s>3 reemplaza al paréntesis con s1 y s2.

2322

3 ωπ

σω ω

sV

ddn

==

Al

Si el cristal está formado por celdas primitivas el número total de átomos es:

zyx NNNN =

Cada uno de ellos puede oscilar en cualquiera de las 3 direcciones x, y, z. Se trata entonces de un sistema de 3N osciladores acoplados. Al pasar a los modos desacoplados (normales) tendremos también 3N osciladores (ahora colectivos). Ello implica

Nd 3=∫ ωσω

22

222

1

21

21

221

2Cx

mpCx

mp

+++=0H

321

22R

xxe−=1H

321

222

222

1

21 2

21

221

2 RxxeCx

mpCx

mp

−+++=+= 10 HHH

Disgresión: paso de modos acoplados a modos desacoplados (normales)

Dos osciladores atómicos acoplados

( )2121 xxxs +=

( )2121 xxxa −=

( )2121 ppps +=

( )2121 pppa −=

332;2R

eCCR

eCC as +=−=

22

22

21

221

2 aaa

sss xC

mpxC

mp

+++=H

Dos osciladores colectivos desacoplados

NdNd D 3300

=⇒= ∫∫∞ ω

ωω ωσωσ

ωD es la frecuencia de corte. Corresponde a

aDD 2=⇔ λωfrecuencia máxima longitud de onda

mínima

2322

3 ωπ

σωs

V=

usando

3/12

3

320

232

63322

3

=⇒==∫ V

NsNs

Vds

VD

DD πωωπ

ωωπ

ω

( ) 1133/13283 1044.110510610 −− ×≈×××≈ smsm

Dω

Volvemos…

aDD 2=⇔ λω longitud de onda mínima

Vamos a evaluar el calor específico del cristal. Previamente revisamos el conocimiento que existía antes del desarrollo de la física cuántica, resumido en la ley de Dulong y Petit.

Para obtener CV vamos a calcular la función de partición, de alli deduciremos la energía media del sistema de osciladores y luego el calor específico:

kTTE

CZEZ V1;ln

=∂∂

=→∂∂

−=→ ββ

Para calcular Z partimos de la existencia de los 3N osciladores independientes, a los cuales identificamos con el índice r

Nrr 3,...,2,1=⇔ω

Para cada uno de ellos la energía satisface:

( ) ∞=⇔+= ,...,2,12/1 rrrn nnr

ωε h

(Notar que aparte de la energía de punto cero tenemos veces la energía , o fonones de frecuencia )

rn rωh rnrω

( ) ∑∑∑∑====

+=+==N

rrr

N

rr

N

rrr

N

rnnnn nnE

rN

3

1

3

1

3

1

3

1,..., 2

12/1321

ωωωε hhh

Para el conjunto de los 3N osciladores la energía es simplemente la suma:

∑∑==

=+=N

rr

N

rrrnnn EnEE

N

3

10

3

10,..., 2

1;321

ωω hh

Ahora construimos Z

∑∑ −−−−− ==

N

NN

N

Nnnn

nnn

nnnE

nnn

E eeeeeZ321

3322110

321

3,...2,1

,...,,...,... ωβωβωβββ hhh

∑∑∑ −−−−=N

NN

n

n

n

n

n

nE eeeeZ3

33

2

22

1

110 ... ωβωβωββ hhh

−

−

−

= −−−−

NeeeeZ E

321

0

11...

11

11

ωβωβωββ

hhh

∑∑∑ −−−−=N

NN

n

n

n

n

n

nE eeeeZ3

33

2

22

1

110 ... ωβωβωββ hhh

( )∑=

−−−−=N

r

reEZ3

10 1lnln ωββ h

Pasamos ahora al continuo usando la densidad de estados:

( ) ( )dneEeEZ nN

N

r

r ∫∑∞ −

∞→=

− −−− →−−−=0

)(0

3

10 1ln1lnln ωβωβ ββ hh

ωσω=

ddn

( )dneEZ n∫∞ −−−−=

0

)(0 1lnln ωββ h

ωσωddn =

( ) ( ) ωωσβω ωβ deEZ D

∫ −−−−=00 1lnln h

( ) ( ) ωωσωωωσωβ

ω

ωβ

ω

ωβ

ωβ

de

EdeeEZE DD

∫∫ −+=

−+=

∂∂

−= −

−

0000 11ln

hh

h hh

ββ

∂∂

−=∂∂

=E

kTE

CV2

( ) ( ) ( ) ωωσωβω

ωβ

ωβ

de

ekC D

V ∫ −=

0

221

hh

h

( ) ( ) ( ) ωωσωβω

ωβ

ωβ

de

ekC D

V ∫ −=

0

221

hh

h

2322

3 ωπ

σs

V= ωβh=x

( ) ( ) dxxe

esVkC Dx

x

x

V ∫ −=

0

4232 12

3hβπ3

26

=

D

sNV

ωπ

( ) dxxe

ex

NkC Dx

x

x

DV ∫ −=

0

423 1

33

( )DD xf

( ) dxxe

ex

NkC Dx

x

x

DV ∫ −=

0

423 1

33

kTkTx D

DDD

DDωθθωωβ hh

h =⇒===

Definimos la temperatura de Debye θD mediante

( )

−

= ∫ dxx

eeTNkC

T

x

x

DV

D /

0

42

3

133

θ

θ

Vamos a analizar los límites de alta y baja temperatura de la expresión anterior

( )

−

= ∫ dxx

eeTNkC

T

x

x

DV

D /

0

42

3

133

θ

θ

DTsi θ>>

( ) ( )331

0

21

0

42

/

0

42 3

1311

==≈

−→

− ∫∫∫<<<<

Txdxxdxx

eedxx

ee DDxx

x

xT

x

xDDD θθ

NkT

TNkC D

DV 3

3133

33

=

=

θθ

molKJRkNC AvV /2.2433 ≈==

Para un mol de materia

molKJRkNC AvV /2.2433 ≈==

Ley de Dulong y Petit

DTsi θ>>

∞→⇒<< TTsi DD /θθ

( )

−

= ∫ dxx

eeTNkC

T

x

x

DV

D /

0

42

3

133

θ

θ

( ) )(10

42 ctedxx

eeI

x

x

γ=−

≈ ∫∞

3TCV ∝

3TCV ∝atemperaturbaja

RCV 3≈atemperaturalta

34

512

≈

DV

TNkCθ

π

Aluminium 428 KCadmium 209 KChromium 630 KCopper 343.5 KGold 165 KIron 470 KLead 105 KManganese 410 KNickel 450 KPlatinum 240 K

Silicon 645 KSilver 225 KTantalum 240 KTin (white) 200 KTitanium 420 KTungsten 400 KZinc 327 KCarbon 2230 KIce 192 K

Temperaturas de Debye

Si el cristal posee un sólo átomo por celda, la aproximación de Debye es satisfactoria. Si el cristal es más complejo, además de los osciladores con frecuencias continuas en 0 < ω < ωD (modos acústicos), hay que incluir (3r – 3)Nosciladores con frecuencias discretas (modos ópticos).

Dualismo onda - partícula

De acuerdo a de Broglie a cada onda le podemos asociar una partícula (en realidad una cuasipartícula) con energía y catidad de movimiento:

( )kj

rhωε = kp

rh

r=

Esta cuasipartícula se denomina “fonón”. El fonón es la unidad elemental de la energía del cristal correspondiente a una frecuencia dada.

Como la energía de excitación de un oscilador cuántico es

ωε hnn =El número n tiene un significado claro y preciso: es el número de fonones con la enenrgía dada y momento

( )ωkpr

hr=

Por otro lado, la expresión

11−

= ωβhen

Da cuenta del número medio de fonones con la cantidad de movimiento y la energía dadas. Por tal motivo

1−= ωβω

ωh

h

eE

es la energía del conjunto de dichos fonones.

El número medio de fonones con frecuencia ω en el volumen diferencial del espacio k

dkk 24πViene dado por

( ) ( )1−

= ωβωσω

heN

Este tratamiento nos permite tratar al sólido como a un gas de fonones. Este gas es el principal reservorio térmico del cristal. Se trata de un gas inusual, ya que el número de fonones no es constante: depende fuertemente de la temperatura. Tiende a cero cuando T → 0 y a infinito cuando T →∞.

Por otro lado, cuanto mayor la temperatura mayor es la frecuencia máxima de fonones presentes en un número significativo.

TkBmáx ≈ωh

Finalmente, en el caso en que

TkBD <<ωh

el problema admite un tratamiento clásico, mientras que si

TkBD ≥ωh

requiere un tratamiento cuántico.

Fin Clase