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Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

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3. Fonones: Vibraciones Cristalinas

• Bibliografía: Kittel, cap. 4.


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Desplazamiento Atómico

• Las posiciones de los átomos en una red de Bravais están dadas por:

• Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y supondremos un sistema de coordenadas ortogonal.

• Por conveniencia, ni=(hi,ki,li) denota al átomo I-ésimo que tiene posición R.

• El desplazamiento del átomo i se puede escribir como

321 alakahR

321 awavauR iiii


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Desplazamiento Atómico

• Cuando onda plana se propaga por el cristal, los planos atómicos se mueven en fase paralelos o transversales a la dirección de propagación.

• Problema se vuelva 1D: para cada k (vestor de onda) hay 3 modos de vibración:– 1 de polarización

longitudinal– 2 de polarizaciones

transversales


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Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos

• La energía del cristal cambia si los átomos son desplazados.

• El cambio de energía puede escribirse en función de la posición de todos los átomos: E=E(R1,R2,R3,... RN)

• El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de Hooke (límite armónico).

(No hay términos lineales si se expande en torno a las posiciones de equilibrio.)

ji

jijio RCREE,2

1


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Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos

• La expresión general para la fuerza sobre el átomo s es:

• De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como

Cs: constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de la constante de fuerza de un resorte).

• Nota: En posiciones de equlibrio F=0 y términos son lineales en los desplazamientos.

j

jsjs RCF

s

sRd

dEF


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Fuerzas Centrales

• Las fuerzas centrales resultan si la energía sólo es función de las distancia entre átomos. (Este es el caso de las fuerzas electrostáticas y de van der Waals.)

• Entonces, la energía por átomo es:

donde i son todos los vecinos del átomo s

(factor 1/2 es para evitar contar 2 veces).• Expandiendo hasta órden armónico:

is

iss RRNE,2

1

is

issio RRNEE,

2''

2

1

i

issi

s

s RRRd

dEF

''


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• Consideremos una línea de átomos.

• Entonces, la energía por átomo es:

y la fuerza es:

• Considerando sólo las interacciones con vecinos cercanos:

i’’= 1’’ y

is

iss uuNE,2

1

i

issis

s uudu

dEF ''

Cadena Lineal

sisisississs uuuuuuuF 2'''' 11


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• Ley de Newton (ecuación de movimiento):

• Dependencia temporal:

luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos:

• ¿Cómo resolver esta ecuación con un número infinito de osciladores acoplados?

)exp()( tiutu ss

sisisss uuuF

dt

udM 2''12

2

Oscilaciones de una Cadena Lineal

sisiss uuuuM 2''12


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• Como la ecuación es la misma para cada s, la solución debe tener la misma forma para cada s, difiriendo sólo en un factor de fase (onda estacionaria):

• Luego:

))(exp( saikuus


21 '' exp( ) exp( ) 2M u iska iska u

sisiss uuuuM 2''12

2 12 ''cos( ) 1ska

M


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• Una forma más conveniente es:

• Finalmente:


)2

1(

''4 212 kasenM

)2/(21)2/()2/(cos)cos( 222 xsenxsenxx

)2

1(

''2

2

1

12 kasenM


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• Se ha resuelto el conjunto infinito de osciladores acoplados.• La solución para cada oscilador con vector de onda k y frecuencia

• Relación de k en función de k se llama relación de dispersión.


)2

1(

''2

2

1

1 kasenMk

k

Aproximación en el continuo: k<<1/a (i.e. >>a)


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• La solución de k sobre el espacio recíproco (de fases) es periódica.

• Toda la información está en la primera zona de Brillouin.

• La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a

• El resto se repite con periodicidad 2/a, i.e. k = k+G !

(G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2/a)

¿Qué significado tiene este hecho?

Primera Zona de Brillouin

)2

1(

''2

2

1

1 kasenMk

k

ak

aka


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• El movimiento atómico con el vector de onda k es idéntico de k+G.

• Todas las vibraciones independientes se pueden describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin (1ZB).

Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco

k


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• La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas.• El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es:

• El rango (-,) para la fase ka cubre todos los valores independientes:


k

( 1)1

i s KaiKas

isKas

u uee

u ue

ak

aka


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• La onda us = u exp(iksa-it) es una onda plana.

• La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es vk=dk/dk

(i.e. es pendiente de k vs. k)

• Significado físico de vk: velocidad de transporte de energía en el medio


)2

1cos(

'')

2

1(

''2

2

1

122

1

1 kaM

avkasen

M kk

kvk=vsonido

Vk=0 en borde de ZB

(esperable en una onda estacionaria)


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• Como k es periódico, debe tener dk/dk =0 en algún valor.

• Ocurre en el límite de la ZB porque debe ser simétrica c/r a los puntos de límite.

• Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el borde de la ZB.

• Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se cumple la condición de Bragg (kmax=/a ), la onda estacionaria no puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas reflexiones y se establece una onda estacionaria.

• Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo = 0.

Significado de vk=0 en frontera dezona de Brillouin

Vk=0 en borde de ZB

(esperable en una onda estacionaria)


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• Este es un resultado general válido para todos los cristales en todas las dimensiones.

• Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no están en su posición de mínima energía mientras vibran.

• Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son funciones periódicas de k en el espacio recíproco.

• Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro de la 1a zona de Brillouin (ZB).

• Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella y no son excitaciones independientes.



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• ska<<1 cos(ska) 1 - 1/2(ska)2

• Resultado: es directamente proporcional al vertor de onda, i.e. velocidad del sonido es independiente de la frecuencia en el límite de longitudes de onda largas: = vk (mecánica del continuo).

Velocidad de Grupo: límite de longitud de onda largo

22 22 " "( )

[cos( ) 1]k

saska k

M M

kvk=vsonido

Vk=0 en borde de ZB


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Dispersión en Cu


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Recordemos: Difracción y la Zona de Brillouin

k’

k

Zona de Brillouin

• La zona de Brillouin está formada por las bisectrices perpendiculares a los vectores G.

• Consecuencia:Consecuencia: No hay difracción para todo k dentro de la primera zona de Brillouin.

• Este es el rol especial de la primera zona de Brillouin c/r a otra celdas


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Red Biatómica 1DMm

un un+1vn

C C C

1

1

2 2 21

2 2 21

( ) ( )

( ) ( )

: ;

: ( ) ; ( )

( 2 ) 0det % 0

( 2 ) 0

n n n n n

n n n n n

o o

i t i tn n n n

o n o n n

o n o n n

mu C v u C u v

Mv C u v C v u

C CDefino

M m

Modo normal u t u e v t v e

u v v

v u u


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Red Biatómica 1D

Mm

un un+1vn

C C C

• Resultado:

• Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar casos límite:– ka << 1 : cos(ka) 1 - ½ (ka)2 + ...

– ka = (borde 1ZB)

• Para ka << 1:

4 22 ( ) 2 (1 cos ) 0o o o oC ka

2

2 2 2

2( ) ( )

( )2( )

o o

o o

o o

rama optica

k a rama acustica


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• Para ka << 1:


24

2

2 2 22

1 12 ( ) ( )

( )C

C rama opticam M

k a rama acusticam M


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Dispersión en KBr

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