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Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas

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4. Fonones: Vibraciones Cristalinas

• Bibliografía: Kittel, cap. 4.


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VIBRACION ELASTICA EN MEDIOS CONTINUOS

Ecuacion de Onda para ondas elasticas medio lineal homogeneo,

Ey modulo de elasticidad, densidad del medio

Solucion de la forma, ondas viajeras


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Desplazamiento Atómico en una red

• Las posiciones de los átomos en una red de Bravais están dadas por:

• Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y supondremos un sistema de coordenadas ortogonal.

• Por conveniencia, ni=(hi,ki,li) denota al átomo I-ésimo que tiene posición R.

• El desplazamiento del átomo i se puede escribir como

321 alakahR

321 awavauR iiii


4

Desplazamiento Atómico

• Cuando onda plana se propaga por el cristal, los planos atómicos se mueven en fase paralelos o transversales a la dirección de propagación.

• Problema se vuelva 1D: para cada k (vector de onda) hay 3 modos de vibración:– 1 de polarización

longitudinal– 2 de polarizaciones

transversales


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Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos

• La energía del cristal cambia si los átomos son desplazados res

pecto de sus posiciones de equilibrio

• El cambio de energía puede escribirse en función de la posición de todos los átomos: E=E(R1,R2,R3,... RN)

• El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de Hooke (límite armónico).

(No hay términos lineales si se expande en torno a las posiciones de equilibrio.)

ji

jijio RCREE,2

1


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Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos

• La expresión general para la fuerza sobre el átomo s es:

• De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como

Cs: constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de la constante de fuerza de un resorte).

j

jsjs RCF

s

sRd

dEF


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• Consideremos una línea de átomos.

• Entonces, la fuerza sobre atomo s es:

• Considerando sólo las interacciones con primeros vecinos mas cercanos:

i

isss

s uudu

dEF

Cadena Lineal monoatomica

ssssssss uuuuuuuF 21111


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• Ley de Newton (ecuación de movimiento):

• Dependencia temporal:

luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos:

)exp()( tiutu ss

sssss uuuF

dt

udM 2112

2

Oscilaciones de una Cadena Lineal

ssss uuuuM 2112


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• Solucion de la forma

)exp()exp(1 ikaiksauus ))(exp( saikuus

)cos(12

2)exp()exp(

2

2

2

112

KaM

iKaiKaM

uuuuM ssss


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Una forma más conveniente es:

• Finalmente: )2/(21)2/()2/(cos)cos(

24

222

22

xsenxsenxx

kasen

M

)2

1(2

2

1

kasenM

)cos(122 KaM


11


• La solución para cada oscilador con vector de onda k y frecuencia

• Relación de k en función de k se llama relación de dispersión.

)2

1(2

2

1

kasenMk

Aproximación en el continuo: k<<1/a (i.e. >>a)


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• La solución de k sobre el espacio recíproco es periódica.

• Toda la información está en la primera zona de Brillouin.

• La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a

• El resto se repite con periodicidad 2/a, i.e. k = k+G !

(G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2/a)

Primera Zona de Brillouin

)2

1(2

2

1

kasenMk

k

ak

aka


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Primera Zona de Brillouin


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Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco

• El movimiento atómico con el vector de onda k es idéntico al de k+G.

• Todas las vibraciones independientes se pueden describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin (1ZB)

Punto B, onda propagandose derecha

Punto A, onda propagandose izquierda


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• La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas.• El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es:

• El rango (-,) para la fase ka cubre todos los valores independientes:


( 1)1

i s KaiKas

isKas

u uee

u ue

ak

aka


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• La onda us = u exp(iksa-it) es una onda plana.

• La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es vk=dk/dk

(i.e. es la pendiente de k vs. k)

• Significado físico de vk: velocidad de transporte de energía en el medio


)2

1cos()

2

1(2

2

12

2

1

kaM

avkasen

M kk

kvk=vsonido

Vk=0 en borde de ZB

(esperable en una onda estacionaria)


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• dk/dk =0 en el límite de la ZB.

• Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el borde de la ZB.

• Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se cumple la condición de Bragg (kmax=/a ), la onda estacionaria no puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas reflexiones y se establece una onda estacionaria.

• Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo Vs= 0.

Significado de vk=0 en frontera dezona de Brillouin


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• Este es un resultado general válido para todos los cristales en todas las dimensiones.

• Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no están en su posición de mínima energía mientras vibran.

• Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son funciones periódicas de k en el espacio recíproco.

• Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro de la 1a zona de Brillouin (ZB).

• Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella y no son excitaciones independientes.



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límite de longitud de onda largo

• ka<<1 • cos(ka) 1 - 1/2(ka)2

• Resultado: es directamente proporcional al vector de onda, i.e. velocidad del sonido es independiente de la frecuencia en el límite de longitudes de onda largas: = vk (mecánica del continuo).

22

2 )cos(12

kM

aKa

M


20

Dispersión en Cu


21

Red Biatómica 1DMm

un un+1vn

C C C

1

1

2 2 21

2 2 21

( ) ( )

( ) ( )

: ;

: ( ) ; ( )

( 2 ) 0det % 0

( 2 ) 0

n n n n n

n n n n n

o o

i t i tn n n n

o n o n n

o n o n n

mu C v u C u v

Mv C u v C v u

C CDefino

M m

Modo normal u t u e v t v e

u v v

v u u


22

Red Biatómica 1D

Mm

un un+1vn

C C C

• Resultado:

• Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar casos límite:– ka << 1 : cos(ka) 1 - ½ (ka)2 + ...

– ka = (borde 1ZB)

• Para ka << 1:

4 22 ( ) 2 (1 cos ) 0o o o oC ka

2

2 2 2

2( ) ( )

( )2( )

o o

o o

o o

rama optica

k a rama acustica


23

2

2 2 22

1 12 ( ) ( )

( )C

C rama opticam M

k a rama acusticam M

Red Biatómica 1D

m

M

v

u

1v

u

Para ka << 1:


24

Red Biatómica 1D


25


26

RELACION DISPERSION PARA REDES 3D


27

Dispersión en KBr


28

VIBRACIONES DE RED CUANTIZADAS

Modelo cuantizado de las vibraciones de red: hay un conjunto de 3N oscilaciones lineales independientes( modos) con energia E=(n()+1/2)

El numero medio de fonones en el modo con frecuencia es

1exp

1

Tk

n

B

Frecuencia de Debye D: la mas grande frecuencia de vibracion en el cristal asumiendo la relacion de dispersion : v k. Temperatura de Debye D/kB

Las frecuencias fononicas acusticas tipicas esde orden Hz, frecuencias opticas

tipicas~ Hz, temperature Debye: diamante -3000 K, Cu -320K, Pb -90K


29

DISPERSION INELASTICA DE NEUTRONES

Neutrones pueden ser dispersados del cristal cuando absorben oEmiten un fonon

p' ,' pnn KkGk

fonon del frecuenciay onda devector , reciproca, red

devector - neutron, del dispersadoy incidente onda de vectores- ',

pp

nn

ωK

Gkk


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ABSORCION INFRAROJO EN CRISTALES

IONICOS

Luz transmitida en el rango de infrarojo, ~ Hz (~40-100m)

Es absorvida por cristales ionicos con modo optico de fonones

Cl ClCl Na Na

Iones de Cl y Na se mueven en direcciones opuestas

50 60 70 (m)T

rans

mitt

ance 100%

Transmitancia a traves peliculadelgada de NaCl (0.17m)

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