criterios de divisibilidad

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un elemento q de un anillo A es divisible por otro elemento t si existe un p tal que :

Decimos entonces que t divide a q y q se denomina múltiplo del elemento t, siendo t divisor del elemento q.En el anillo de los enteros existen reglas para determinar si un elemento es divisible por otro. La validez de estas reglas puede determinarse por diversos métodos entre los que cabe citar el método de congruencias o aritmética modular [1], [2].En lo que sigue, expondremos un método general para obtener criterios de divisibilidad para cualquier elemento de un anillo asociativo conmutativo.

Para cualquier conjunto de n elementos de un anillo con un divisor común, tenemos :

donde cada aij y cada xk son elementos del anillo considerado.

El sistema de ecuaciones expuesto puede agruparse en forma matricial :

Y de esta ecuación, mediante los métodos del álgebra lineal, podemos despejar cada xi en función del resto de los elementos

Siendo el determinante de la matriz {aij} dada en (3) y Ri la componente i-ésima del producto de la matriz traspuesta de la adjunta de {aij} y el vector P.Todos los factores anteriores son elementos del anillo A [1] con lo que podemos poner :

En este caso (Ri/xi) es necesariamente un elemento del anillo A

puesto que y t lo son. Todo lo anterior implica que es múltiplo de t.

APLICACIONES AL ANILLO DE LOS ENTEROS

1º. regla de divisibilidad por 9 (y 3) : 9 = 10-1 = 10.1 + 1.(-1)

Si escribimos cualquier número en la forma : tendremos :

y a partir de ahí diremos que n es múltiplo de 9 (de 3) si lo es la suma de sus componentes r y s.Aplicando reiteradamente el resultado obtenido a un número de la forma (10) :

tendremos :

y llegamos a la regla ya conocida: "Un número es divisible por 9 o por 3 cuando lo es la suma de sus cifras".2º.- Regla de divisibilidad por 11 : 11 = 10 + 1 = 10.1 + 1.1

tomando para n la expresión dada en (10) obtenemos :

y aplicando la relación obtenida a la ecuación (7), obtenemos la regla de divisibilidad por 11 : "Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras pares y las impares es múltiplo de 11 o cero".3º.- Regla de divisibilidad por 7

Tenemos : 7x3 = 21 = 20 + 1 = 2.10 + 1.1 ; 7x7 = 49 = 50 - 1 = 5.10 + 1.(-1)

y resultan las expresiones : que son formalmente iguales si consideramos que se cumple :

Tomando la primera de ellas y aplicándola iteradamente a un número de la forma (7) resulta :

Pero teniendo en cuenta equivalencias modulares respecto al número 7 podemos escribir :y podemos enunciar la regla según la cual: "Un número es divisible por 7 si una vez su cifra más significativa menos 2 veces su siguiente cifra más 4 veces su siguiente cifra menos una vez ...

es cero o múltiplo de 7"

EJEMPLO 1

Cualquier otra regla que queramos deducir es equivalente a la obtenida, sea cual sea el número de factores que tomemos.De modo análogo obtenemos las siguientes reglas de divisibilidad :

para 13 r + 4.s ; r - 9.s ; para 17 r - 5.s ; r + 12.spara 19 r + 2.s ; r - 17.s ; para 23 r + 7.s ; r - 16.spara 29 r + 3.s ; r - 26.s ; para 31 r - 3.s ; r + 28.spara 37 r - 11.s ; r + 26.s ; para 41 r - 4.s ; r + 37.spara 43 r + 13.s ; r - 30.s ; para 47 r - 14.s ; r + 33.spara 53 r + 16.s ; r - 37.s ; para 59 r + 6.s ; r - 53.spara 61 r - 6.s ; r + 55.s ; para 67 r - 20.s ; r + 47.spara 71 r - 7.s ; r + 64.s ; para 73 r + 22.s ; r - 51.spara 79 r + 8.s ; r - 71.s ; para 83 r + 25.s ; r - 58.spara 89 r + 9.s ; r - 80.s ; para 97 r - 29.s ; r + 68.s

Escribiendo un número natural en la forma : podemos obtener, entre otras, las siguientes reglas de divisibilidad:para 11 r + s ; para 101 r - s

Escribiendo un número natural en la forma : podemos obtener, entre otras, las siguientes reglas de divisibilidad:para 37 r + s ; para 13 r - s ; para 7 r - s

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD (APLICACIONES)

Proposición 1 .- Si se cumple : , entonces, la

expresión : (14) es múltiplo de (a+b) para todo n natural

Demostración

Sea (a+b) = c. Para cualquier número natural t podemos escribir:

donde r y s son números naturales.Teniendo en cuenta el algoritmo de obtención de criterios de divisibilidad, si t es múltiplo de c, se cumplirá que r-s también lo es. En esas condiciones podemos escribir :

y, por tanto : , con lo cual :

y, a partir de ahí : Pero teniendo en cuenta la hipótesis de partida, resulta :

lo que significa que , para n = 1, la expresión considerada es múltiplo de c = (a+b).Supongamos ahora que la expresión (14) es múltiplo de c para un valor dado de n; entonces :

Y así :

por lo que :

y, por la hipótesis de inducción, queda demostrado lo que nos proponíamos.Corolario

La expresión : es múltiplo de cuando

se verifica que :

EJEMPLO 2.- Para la expresión :[2] se cumple lo dicho, por lo que podemos decir que es múltiplo de 13

Proposición 2 Si se cumple : entonces, la

expresión : (27) es múltiplo de (a-b) para todo n natural

Demostración

Teniendo en cuenta el algoritmo de obtención de criterios de

divisibilidad, cualquier número de la forma será múltiplo de (a-b) si lo es (r+s).

Para n = 1 y teniendo en cuenta la hipótesis de partida, podemos escribir :

Sea ahora n un número par. Para la expresión (27) tenemos :

y desarrollando :

Pero se cumple :

por lo que, para n par, la expresión (27) será múltiplo de (a-b) si lo es para n impar.Sea entonces n = 2p+1 y supongamos que :

es múltiplo de (a-b). Tenemos :

La anterior expresión será múltiplo de (a-b) si lo es

que, a su vez, lo será si lo es :

pero, por la hipótesis de inducción, sabemos que ello es cierto, por lo que queda demostrado lo que nos proponíamos.

EJEMPLO 3.- La expresión [2] : es múltiplo de 17 para todo n natural, ya que se tiene :

y como se cumple : 15 - (-2) = 17 ; 25 - 8 = 17, resulta lo dicho.


y puesto que 9+5 = 14, tenemos lo dicho.


y quitando el denominador :

con lo que resulta :

y hemos demostrado lo que queríamos.

EJEMPLO 6.- La expresión es múltiplo de 7 para todo n natural, ya que se tiene :

y cada uno de los sumandos obtenidos es múltiplo de 7.EJEMPLO 7.- Para demostrar que se cumple : (37)

para todo n entero [3], podemos considerar un número de la forma :

con lo que tendremos : 12 = 5 + 7 = 5.1 + 7.1Y, por tanto, (37) será múltiplo de 12 si lo es (r-s). Tenemos (38)

y (37) se verificará si (38) es múltiplo de 12.Si n es par, tenemos :

Está claro que el término fuera del corchete es múltiplo de 4 para cualquier valor de a y p (siendo p primo).

El término de dentro del corchete se puede poner : y su

valor será múltiplo de 3 si lo es : ; pero ello es cierto según

el teorema de Euler-Fermat.Si n es impar, entonces el término entre paréntesis de (38) es múltiplo de 12 ya que, por una parte, es múltiplo de 3 según sabemos por el teorema de Euler-Fermat y, por otra, se puede poner en la forma :

y cada uno de los factores resultantes es par.

EJEMPLO 8.- La expresión es divisible por 3 para cualesquiera m y n enteros. Para ver que ello es así, aplicamos lo visto en párrafos anteriores. Tenemos

y la divisibilidad dependerá de que (r-s) sea múltiplo de 3. resulta :

Y, evidentemente, para cualquier valor de n, alguno de los números (n-1), n, (n+1) es múltiplo de 3.

EJEMPLO 9.- La expresión [4] no es múltiplo de 7. Para verlo, tenemos que 7n siempre es múltiplo de 7, por lo que si

la expresión dada no lo es, debemos aplicar lo dicho a :

y tenemos :

La expresión siempre es múltiplo de 7 puesto que tenemos :

En consecuencia, por no ser 1 multiplo de 7, no lo será la expresión inicial.

EJEMPLO 10.- La expresión [4] es múltiplo de 13 para cualquier n entero. Tenemos :

y como se verifica que : 16 - 3 = 13 ; 4 - (-9) = 13, queda demostrado lo dicho.

BIBLIOGRAFIA

1.- M. Queysanne. Algebra básica, Ed. Vicens-Vives.2.- A. Vera Lopez y R. Esteban Romero. Problemas y ejercicios de matemática discreta, Ed A.V.L. 3.- T.M. Apostol. Introducción a la teoría analítica de números. Ed. Reverté 4.- E. Bujalance, J. A. Bujalance, A.F. Costa, E. Martínez. Elementos de Matemática discreta, Edit Sanz y Torres.

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