cosmología n-dimensional de tipo kaluza-klein en el vacío

COSMOLOGA N-DIMENSIONAL DE TIPOKALUZA-KLEIN EN EL VACO

Carlos Oscar Rodrguez Leal

29 de noviembre de 2013

ndice general

Introduccin. V

1. Obtencin de las Ecs. de Einstein 7D. 1

2. Comparacin de modelos cosmolgicos 6D. 152.1. Corroboracin de cosmologa N-D vaca. . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Modelo 6D vaco de Peraza-Vladimirov. . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1. Modelo plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.2. Modelo de curvatura negativa (abierto). . . . . . . . . . . 302.2.3. Modelo de curvatura positiva (cerrado). . . . . . . . . . . 31

2.3. Relacin entre las soluciones 6D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1. Modelo plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2. Modelo elptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.3. Modelo hiperblico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.4. Anlisis general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Propuesta de una solucin 6D no vaca. 413.1. Solucin 6D no vaca plana ( = 0). . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Solucin 6D no vaca hiperblica ( = 1). . . . . . . . . . . . . 45

A. Demostracin de algunos resultados. 51A.1. Demostracin de las identidades trigonomtricas hiperblicas. . . 51A.2. Obtencin de resultados con Mathematica. . . . . . . . . . . . . 52

A.2.1. Obtencin de la integral (2.35). . . . . . . . . . . . . . . . 52A.2.2. Simplicacin de la llave fgS= en la frmula (2.38). . . . 53A.2.3. Integracin de la frmula (2.33). . . . . . . . . . . . . . . 56

A.3. Obtencin de una relacin alternativa C2 = C2 (). . . . . . . . . 57

Conclusiones. 59

iii

iv NDICE GENERAL

Introduccin.

La idea de multidimensionalidad en la Fsica est ntimamente relaciona-da con la geometrizacin del espacio, cuyas races descansan en los intentospor demostrar el quinto postulado de Euclides sobre las lneas paralelas [18], elcual dice que por un punto exterior a una recta pasa solamente una paralela.Posteriormente en los trabajos de Lobachevski y de B. Riemann son propues-tas geometras no Euclideas hiperblica y esfrica correspondientemente. Final-mente, a principios del siglo XX con los trabajos de A. Einstein sobre la teoraespecial de la relatividad y de A. Poincare en la concepcin topolgica de ladimensionalidad, toma fuerza la profunda relacin entre las leyes fsicas [11] yla geometra, lo cual es mostrado en la expresin para el cuadrado del intervalo4-dimensional

ds2 = gdxdx ,

entre dos puntos separados innitesimalmente en el espacio-tiempo, donde , toman los valores 0, 1, 2, 3. Precisamente, fue Einstein quien sugiri unaexplicacin geomtrica de la gravitacin en sus trabajos sobre la teora generalde la relatividad de 1915, lo cual est expresado en las ecuaciones de campo deEinstein,

R 12gR = T

en las que en la parte izquierda estn presentes solo cantidades geomtricas, encambio, en la parte derecha estn presentes las propiedades de la materia medi-ante el tensor de energa momentum T . Las ecuaciones de Einstein expresanla extraordinaria e importante circunstancia que la curvatura del espacio-tiempoest determinada por las caractersticas fsicas de la materia en l contenida. Ex-iste una densidad crtica (c) de 5 protones=m

3 a partir de la cual se estableceuna clasicacin para el universo, basada en la relacin geometra densidad queestablece la relatividad general: si m > c (m es la densidad de materiaactual), se dice que es cerrado; si m < c se dice que es abierto; y si se tieneque m = c, entonces el universo es plano.En las generalizaciones multidimensionales de la relatividad general, la cur-

vatura escalar R juega un importante papel. Sealemos que las frmulas aquescritas son vlidas tambin para variedades espacio-temporales de mayor di-mensin, es decir, para teoras 5 y 6 dimensionales y ms.

v

vi INTRODUCCIN.

Hacia 1919 Teodor Kaluza [7, 14] mostr una manera ingeniosa de unicarlas interacciones conocidas por ese tiempo, a saber, la electromagntica y lagravitacional, proponiendo para ello un fondo de espacio-tiempo Riemanniano5-dimensional. Como Einstein no estaba muy convencido de este procedimiento,sugiri la publicacin de dicho artculo solo hasta 1921, que ms adelante jun-to con Bergman fue uno de los puntales del mtodo multidimensional. De estamanera, Kaluza propuso adicionar una coordenada ms de tipo espacialoide a lavariedad espacio-tiempo cuatridimensional; es decir, sugiri un espacio curvo de4 dimensiones en lugar de las tres conocidas, donde la cuarta direccin espacialdeba estar oculta a nuestra percepcin. Sin embargo, dicha dimensin ocultapoda tener una inuencia detectable en nuestro mundo cuatridimensional, elde nuestra cotidianidad. De esta manera, la interaccin electromagntica pasaa ser considerada como una fuerza de origen en la quinta dimensionalidad [12].Adems, haba una propiedad adicional de las componentes de la mtrica pen-tadimensional, a saber, que todas sus componentes no deban depender de laquinta coordenada lo cual es hoy reconocido [16] como condicin de cilindricidaden la quinta dimensin x5.De esta manera, la mtrica o cuadrado del intervalo entre dos eventos sepa-

rados innitesimalmente se escribe como

dI2 = GABdxAdxB ,

donde ahora los ndices A, B toman los valores 0, 1, 2, 3, 5, y GAB es una matrizcon las 25 componentes del tensor mtrico en 5 dimensiones:

GAB =

266664G00 G01 G02 G03 G05G10 G11 G12 G13 G15G20 G21 G22 G23 G25G30 G31 G32 G33 G35G50 G51 G52 G53 G55

377775 =G G5G5 G55

)g AA G55

,

donde para el caso general, Gab posee solo 15 componentes diferentes. Kaluzadistribuy estas 15 componentes de forma que las 10 componentes g corre-spondieran a las 10 de la relatividad general einsteniana, y G5 corresponderana las componentes del potencial vectorial electromagntico, por lo que G55 quedcomo un excedente, con el cual se podra describir un nuevo campo escalar queen principio podra representar un tipo de materia. Al aplicar el procedimien-to de la 4 + 1-descomposicin de las ecuaciones de lneas geodsicas5-dimensionales , se obtienen las cuatro conocidas ecuaciones cuatridimensiona-les del movimiento de partculas cargadas en los campos gravitacional y electro-magntico; y una quinta ecuacin, la cual indica la dependencia de la relacincarga/masa de una partcula respecto del campo escalar G5.En los trabajos de Kaluza [14] fue demostrado de manera general que la uni-

cacin del campo gravitacional einsteniano y las ecuaciones de Maxwell se dateniendo como base un espacio-tiempo Riemanniano 5-dimensional [13]. Algunasdecenas de aos despus, Vladimirov [16] en 1987 muestra que en una teora 6-dimensional de tipo Kaluza-Klein se logran unicar la interaccin gravitacional

vii

einsteniana con el campo electrodbil de Weinberg-Salam. Adems, hacia nesdel ao 2012 y este 2013 se ha publicado bastante material que indica sobre lapresencia de un nuevo tipo de materia, materia obscura, en el universo, sobretodo en las regiones de inuencia de galaxias elpticas [2]. De esta manera cobraespecial inters la bsqueda de soluciones cosmolgicas 6-dimensionales de tipoKaluza-Klein, lo cual aqu es realizado, al menos parcialmente. Los resultadosaqu obtenidos habrn de generalizarse en futuros trabajos para posiblementedescribir las propiedades de dicha materia especial.

viii INTRODUCCIN.

Captulo 1

Obtencin de lasEcuaciones de Einstein7D: formalismo de Cartn,formas diferenciales.

An cuando la cosmologa de inters particular es la 6-dimensional con sec-cin espacial tridimensional de curvatura nula, positiva y negativa, como es decostumbre, para nes de trabajos futuros aqu mostraremos los clculos parauna cosmologa de una dimensin mayor, es decir, 7-dimensional. De las ecua-ciones de campo nalmente obtenidas haremos la simplicacin para obtenerlas ecuaciones 6d de campo. En los marcos de la teora de Kaluza-Klein estosmodelos cosmolgicos son de especial inters ya que en la teora 6d [[16]] de lasinteracciones gravielectrodbiles, las constantes fsicas fundamentales resultanconectadas con las componentes adicionales G55, G66, G56 de la mtrica, lascuales corresponden a tres campos fsicos escalares. Dichas constantes son:

e = ee0r 1G55G66 , g = eg0rG55 +G66G55G66 , sin w =

rG66

G55 +G66,

mz = emz0rG55 +G66G55G66 ;que corresponden a la carga del electrn, la constante de interaccin con elcampo bosnico, el ngulo de Weinberg y la masa del bosn z. Igualmente lascantidades con tilde son constantes, las cuales deben denirse desde la obser-vacin. De esta manera la evolucin de los campos escalares debe manifestarseen los valores de dichas constantes. Por otro lado, Yu S. Vladimirov [16] analizadistintas formas de mtricas que se obtienen al aplicar la transformacin con-forme de Weyl a las ecuaciones obtenidas luego de la 1 + 1 + 4 reduccin. Deacuerdo con esto ltimo, el coeciente ante el tensor mtrico de partida se puede

1

2 CAPTULO 1. OBTENCIN DE LAS ECS. DE EINSTEIN 7D.

elegir de tres maneras diferentes, a saber,

1) g , 2) 15 g , 3)

25g , (1.1)

donde 5 es el factor conforme, el cual por congruencia de la teora puede sertomado como la quinta componente del 5-vector monada A contenido en larepresentacin general de la mtrica 5-dimensional de partida GAB = 25+gsi hablamos de la 5-dimensionalidad. Segn este autor el inciso 3) de la expresinanterior es la forma ms adecuada de aplicar la transformacin conforme deWeyl, pues conlleva a ecuaciones conocidas (ver (1.2), (1.3) y (1.4)).Siguiendo a Vladimirov, se tiene que:

a) Luego de la n+4 reduccin en las ecuaciones obtenidas se sigue aplicar latransformacin conforme, despus de lo cual hay que realizar la identi-cacin de las diversas cantidades geomtricas con cantidades fsicas.

b) La condicin de cilindricidad en las coordenadas adicionales debe cambiarsepor la condicin ms general de cuasicilindricidad, cuando todas las com-ponentes de la mtrica de partida dependen de las coordenadas adicionalespero luego de la transformacin conforme dicha dependencia es eliminadaquedando tan solo en el factor conforme, lo cual corresponde a la idea deEinstein y Bergmann acerca de la periodicidad o cerradura del mundo enlas coordenadas adicionales. En la transicin a la teora 4d estndar serealiza la promediacin en dichas dimensiones mayores con lo que la de-pendencia de las cantidades fsicas respecto de dichas dimensiones quedaeliminada.

Pongamos como ejemplo la 5-dimensionalidad. De las ecuaciones 5d de Eins-tein

5RAB 12GAB

5R+ eGAB = QABnalmente se obtiene el conjunto de ecuaciones

4R 12g

4R+ 25g = 2k

c4

FF

1

4gFF

+ T

+3

5

rr5 ggrr5 (1.2) 6255;5; ,

rF 3F 5;5

=c2pk35Q

B

B , (1.3)

grr5 16

4R+

3k

4c2FF

5 1

335 =

335QAB

AB , (1.4)

donde T = QABgA gB es el tensor 4-dimensional de energa-momentum de

la materia exterior. Estas ecuaciones son las correspondientes a las ecuaciones

3estndar de Einstein (1.2), al segundo par de ecuaciones de Maxwell (1.3) ya la ecuacin de Klein-Fock-Gordon (1.4) para el campo escalar 5, mismoque est contenido en la parte derecha como una forma de materia adicional(de procedencia geomtrica). De acuerdo con Vladimirov [16] la ecuacin (1.4)podra en principio ser aplicada a una forma nueva de materia (por ejemplo ala materia obscura) y denir algunas de sus propiedades y caractersticas.Por esta razn proponemos el cuadrado del intervalo 7-dimensional en forma

homognea e isotrpica con simetra esfrica, de acuerdo con el inciso 3) de laexpresin (1.1),

dI2 = e2e2d2 d2 f2 d2 + sin2 () d'2e21dx21 e22dx22 e23dx23

, (1.5)

donde la correspondencia entre coordenadas y variables es la siguiente:

Coordenada Variable Dimensin0 temporal1 radial2 angular3 ' angular5 x1 quinta6 x2 sexta7 x3 sptima

Tabla 1

;

adems,

= () , = () , f = f () , 1= 1 () , 2= 2 () y 3= 3 () (1.6)

son funciones de sus respectivas variables temporal y radial . Una vez obtenidaslas correspondientes ecuaciones 7-dimensionales de Einstein, procederemos a sureduccin 6-dimensional para su relacin con otras soluciones6-dimensionales obtenidas por Kechkin-Peraza [10].Los clculos para obtener las ecuaciones de campo estarn basados en el

formalismo de formas diferenciales de Cartn [15], el cual, como es sabido, sim-plica bastante los clculos, adems de la elegancia caracterstica del mismo.Comenzaremos eligiendo una base de tetradas A = e(A) dx tal que los

coecientes gAB [4, 6] en la expresin ds2 = gABAB para la mtrica, sean

constantes. As pues, la base ser

0 = e+d d = 0e

1 = e+d d = 1e

2 = e+fd d = 2 ef

3 = e+f sin () d' d' = 3 ef sin()

5 = e+1dx1 dx1 = 5e16 = e+2dx2 dx2 = 6e27 = e+3dx3 dx3 = 7e3

Tabla 2

;


por lo que sustituyendo esta tabla en nuestra mtrica (1.5) obtenemos

dI2 =02 12 22 32 52 62 72 ,

dondeg00 = 1, g11 = g22 = g33 = g55 = g66 = g77 = 1; (1.7)

otros gAB = 0. Adems, gABgBC = AC [4, 6], por lo que 1 =

00 = g

0SgS0 =g00g00 + g

01g10 + : : :+ g07g70 = g

00g00 = g00 1 = g00, es decir, g00 = 1; y de la

misma forma se procede con los dems gAB , obteniendo el siguiente resultado:

gAB = gAB , 8A;B = f0; 1; 2; 3; 5; 6; 7g . (1.8)Ahora obtendremos los diferenciales exteriores de las cantidades N . As,

haciedo uso de las frmulas

d (f) = fd+ df ^ , d2 = 0, 8 n-forma y escalar f ,resulta que

d0 = de+

d= e+d2 + d

e+

^ d = d e+ ^ d= (+ )

0e+d ^ d = 0;

y de igual forma se procede con los dems diferenciales exteriores, obteniendola siguiente tabla:

d0 = 0

d1 = (+ )0e0 ^ 1

d2 = (+ )0e0 ^ 2 + e f 0f 1 ^ 2

d3=(+ )0e0^3+e f 0f 1^3+e cot()f 2^3

d5 = (+ 1)0e0 ^ 5

d6 = (+ 2)0e0 ^ 6

d7 = (+ 3)0e0 ^ 7

Tabla 3

.

Lo que sigue es comparar estos resultados con las primeras ecuaciones deestructura

dA = !AB ^ B ,para as obtener las 1-formas !AB . As, d

0 = 0, por el valor dado en la tabla 3.Tambin,

d1 = !10 ^ 0 !11 ^ 1 !12 ^ 2 !13 ^ 3 !15 ^ 5 !16 ^ 6 !17 ^ 7,pero

!11= g1S!S1= g

10!01+g11!11+ : : :+ g

17!71= g11!11= 0, (1.9)

pues de (1.8) puede verse que las componentes g1A son cero para A 6= 1, y!AA = 0; as que

d1 = !10 ^ 0 !12 ^ 2 !13 ^ 3 !15 ^ 5 !16 ^ 6 !17 ^ 7,

5lo cual, al compararlo con el valor respectivo en la tabla 3, nos da la igualdad

(+ )0 e1 ^ 0 = !10 ^ 0 !12 ^ 2 !13 ^ 3!15 ^ 5 !16 ^ 6 !17 ^ 7,

de donde !10 = (+ )0e1 y las dems formas para d1 son !1A = E1A

A

(donde a = f2; 3; 5; 6; 7g y E1a es un escalar), pues de acuerdo con la antisimetradel producto cua [6], A ^ B = B ^ A, de modo que si A = B, entoncesdicho producto es cero. Y de manera anloga se obtienen otras formas !AB . Losresultados se muestran en la siguiente tabla:

!10 = (+ )0e1.

!20 = (+ )0e2

!21 = e f 0

f 2

!30 = (+ )0e3

!31 = e f 0

f 3

!32 = e cot()

f 3

!50 = (+ 1)0e5

!60 = (+ 2)0e6

!70 = (+ 3)0e7

Tabla 4

.

Ahora obtendremos ms formas haciendo uso del tensor mtrico, como se mues-tra a continuacin:

!RSgR1gS0 = !1Sg

S0 = !S1gS0 = !01 = !10g11g00 = !10,

donde se us la frmula !AB = !BA y las relaciones (1.7) y (1.8); as que!01 = !

10. De manera similar se calculan las dems formas. Los resultados

aparecen en la siguiente tabla:

!01 = !10

!02 = !20

!12 = !21!03 = !

30

!13 = !31!23 = !32!05 = !

50

!06 = !60

!07 = !70

Tabla 5

.

De acuerdo con el formalismo, las dems formas !AB que no obtuvimos son cero.Nuestro siguiente paso es calcular los diferenciales exteriores de las 1-formas


!AB de la siguiente manera:

d!10 = d(+ )

0e1

=h(+ )

00e (+ )02 e

id ^ 1

+(+ )0ed1

=h(+ )

00 (+ )02ie220 ^ 1

+(+ )02e220 ^ 1

= (+ )00e220 ^ 1,

donde fueron sustituidos d y d1 desde las tablas 1 y 3 respectivamente; deforma anloga se obtienen otros diferenciales. Los resultados se muestran en-seguida:

d!10 = (+ )00e220 ^ 1

d!20 = (+ )00e220 ^ 2 + (+ )0 e22 f 0f 1 ^ 2

d!21 = e22 f 00

f 1 ^ 2

d!30 =

((+ )

00e220 ^ 3 + (+ )0 e22 f 0f 1 ^ 3+(+ )

0e22 cot()f

2 ^ 3)

d!31 = e22 f 00

f 1 ^ 3 + e22 f 0f2 cot () 2 ^ 3

d!32 = e22f2

2 ^ 3d!50 =

h(+ 1)

00 (+ )0 (+ 1)0 + (+ 1)02ie220 ^ 5

d!60 =h(+ 2)

00 (+ )0 (+ 2)0 + (+ 2)02ie220 ^ 6

d!70 =h(+ 3)

00 (+ )0 (+ 3)0 + (+ 3)02ie220 ^ 7

Tabla 6

.

Otros diferenciales exteriores d! se calculan a partir de las equivalencias de latabla 5 y volviendo a emplear esta tabla 6. Los dems diferenciales exterioressern cero.

Lo que sigue es calcular las dos-formas AB haciendo uso de las segundasecuaciones de estructura

AB = d!AB + !

AC ^ !CB .

As que

00 = d!00 + !

0c ^ !c0

= d!00 + !00 ^ !00 + !01 ^ !10 + !02 ^ !20 + !03 ^ !30

+!05 ^ !50 + !06 ^ !60 + !07 ^ !70= 0,

7de acuerdo con las tablas 4 y 5;

01 = d!01 + !

0c ^ !c1

= d!01 + !00 ^ !01 + !01 ^ !11 + !02 ^ !21

+!03 ^ !31 + !05 ^ !51 + !06 ^ !61 + !07 ^ !71= (+ )

00e220 ^ 1 + (+ )0 e2 ^ (+ )0 e2

+(+ )0e3 ^ e f

0

f3

= (+ )00e220 ^ 1,

de acuerdo con los datos de las tablas 4, 5 y 6, y el mtodo empleado en laecuacin (1.9); y anlogamente se calculan las dems 2-formas. Aqu se muestranlos resultados:

00 = 0

01 = (+ )00e220 ^ 1

02 = (+ )00e220 ^ 2

03 = (+ )00e220 ^ 3

05 =h (+ )0 (+ 1)0 + (+ 1)0

2

+ (+ 1)00ie220 ^ 5

06 =h (+ )0 (+ 2)0 + (+ 2)0

2

+ (+ 2)00ie220 ^ 6

07 =h (+ )0 (+ 3)0 + (+ 3)0

2

+ (+ 3)00ie220 ^ 7

10 =

01

11 = 0

12 =

(+ )

02 f00

f

e221 ^ 2

13 =

(+ )

02 f00

f

e221 ^ 3

15 = (+ )0(+ 1)

0e221 ^ 5

16 = (+ )0(+ 2)

0e221 ^ 6

17 = (+ )0(+ 3)

0e221 ^ 7

20 =

02

21 = 12

22 = 0

23 =

"1 f 02f2

+ (+ )02#e222 ^ 3

25 = (+ )0(+ 1)

0e222 ^ 5

Tabla 7, primera parte


26 = (+ )0(+ 2)

0e222 ^ 6

27 = (+ )0(+ 3)

0e222 ^ 7

30 =

03

31 = 13

32 = 23

33 = 0

35 = (+ )0(+ 1)

0e223 ^ 5

36 = (+ )0(+ 2)

0e223 ^ 6

37 = (+ )0(+ 3)

0e223 ^ 7

50 =

05

51 = 15

52 = 25

53 = 35

55 = 0

56 = (+ 1)0(+ 2)

0e225 ^ 6

57 = (+ 1)0(+ 3)

0e225 ^ 7

61 = 16

62 = 26

63 = 36

65 = 56

66 = 0

67 = (+ 2)0(+ 3)

0e226 ^ 7

70 =

07

71 = 17

72 = 27

73 =

37

75 = 57

76 = 67

77 = 0

Tabla 7, segunda parte

El siguiente paso es calcular las componentes del tensor de Riemann emplean-do las frmulas

AB =1

2RABCD

C ^ D

y comparndolas con las 2-formas de la tabla 7. De esa manera tenemos que

00 = R

00CD

C ^ D = 0, as que R00CD = 0;

01 = R

01CD

C ^ D = (+ )00 e220 ^ 1, por lo queR0101 = (+ )

00e22 y todos los dems componentes R01CD = 0. Pro-

9cediendo de la misma forma con el clculo de los dems componentes RABCDobtenemos los resultados de la tabla siguiente:

R0101 = (+ )00e22

R0202 = R0101

R0303 = R0101

R0505 =h (+ )0 (+ 1)0 + (+ 1)0

2

+ (+ 1)00ie22

R0606 =h (+ )0 (+ 2)0 + (+ 2)0

2

+ (+ 2)00ie22

R0707 =h (+ )0 (+ 3)0 + (+ 3)0

2

+ (+ 3)00ie22

R1010 = R0101R1212 =

h(+ )

02 f 00fie22

R1313 = R1212

R1515 = (+ )0(+ 1)

0e22

R1616 = (+ )0(+ 2)

0e22

R1717 = (+ )0(+ 3)

0e22

R2020 = R0101R2121 = R

1212

R2323 =

1f 02f2 + (+ )

02e22

R2525 = R1515

R2626 = R1616

R2727 = R1717

R3030 = R0101R3131 = R

1212

R3232 = R2323

R3535 = R1515

R3636 = R1616

R3737 = R1717

R5050 = R0505R5151 = R

1515

R5252 = R1515

R5353 = R1515

R5656 = (+ 1)0(+ 2)

0e22

R5757 = (+ 1)0(+ 3)

0e22

R6060 = R0606R6161 = R

1616

R6261 = R1616

R6363 = R1616

R6565 = R5656

R6767 = (+ 2)0(+ 3)

0e22

R7070 = R0707R7171 = R

1717

Tabla 8, primera parte.


R7272 = R1717

R7373 = R1717

R7575 = R5757

R7676 = (+ 2)0(+ 3)

0e22

Tabla 8, segunda parte

.

Otras componentes se calculan por la anticonmutatividad del producto externo,por ejemplo: 01 = (+ )

00e220 ^ 1 = R01CDC ^ D, siendo

R0101 = (+ )00e22 , mas tambin

01 = (+ )00 e221 ^ 0 = R01CDC ^ D, siendoR0110 = (+ )00 e22 = R0101; y en general [17, 9]

RABCD = RABDC . (1.10)Todas las dems componentes del tensor de Riemann son cero.Ahora procederemos a calcular las componentes del tensor de Ricci, denidas

de la siguiente manera:RAB = R

CABC .

As pues,

R00 = R0000 +R

1001 +R

2002 +R

3003 +R

5005 +R

6006 +R

7007

= R1010 R2020 R3030 R5050 R6060 R7070

=

8>>>>>>>>>:

3 (+ )00e22

+h (+ )0 (+ 1)0 + (+ 1)0

2

+ (+ 1)00ie22

+h (+ )0 (+ 2)0 + (+ 2)0

2

+ (+ 2)00ie22

+h (+ )0 (+ 3)0 + (+ 3)0

2

+ (+ 3)00ie22

9>>>>>=>>>>>;=

8>:3 (+ )

00

+P3

n=1

" (+ )0 (+ n)0

+(+ n)02+ (+ n)

00

# 9>=>; e22 ,donde se usaron los valores de la tabla 8 y las antisimetras (1.10). De igualforma se calculan las dems componentes, obteniendo los siguientes resultados:

R00 =

(3 (+ )

00

+P3

n=1

h (+ )0 (+ n)0 + (+ n)0

2

+ (+ n)00i ) e22

R11 =n (+ )00 + 2

hf 00

f (+ )02i (+ )0P3n=1 (+ n)0o e22

R22=

( (+ )00 + f 00f + f

021f2

2 (+ )02 (+ )0P3n=1 (+ n)0)e22

R33 = R22R55 =

(+ 1)

0(5+ 2 + 1 + 2 + 3)

0+ (+ 1)

00e22

R66 = (+ 2)

0(5+ 2 + 1 + 2 + 3)

0+ (+ 2)

00e22

R77 = (+ 3)

0(5+ 2 + 1 + 2 + 3)

0+ (+ 3)

00e22

Tabla 9

,

11

y RAB = 0 para A 6= B.Lo que sigue es calcular la curvatura de Ricci, dada por la ecuacin

R = RII . (1.11)

As que

R = RII

= g00R00 + g11R11 + g

22R22 + g33R33 + g

55R55 + g66R66 + g

77R77

= R00 R11 R22 R33 R55 R66 R77,

debido a los valores del tensor mtrico dados en (1.8); por lo que,considerandolas componentes del tensor de Ricci desde la tabla 9 y haciendo los respectivosclculos algebraicos, obtenemos

R =

8>>>>>>>:2 (+ )

0(6+ 3 + 1 + 2 + 3)

0

+6 (+ )00+P3

n=1 (+ n)02

(5+ 2 + 1 + 2 + 3)0P3

n=1 (+ n)0

+2

1f 02f2

4 f 00f

9>>>>=>>>>; e22 . (1.12)

Ahora, empleando las sustituciones

+ = u+ 1 = v1+ 2 = v2+ 3 = v3Tabla 10

,

los componentes del tensor de Ricci adquieren la siguiente forma:

R00 =n3u00 +

P3n=1

hu0v0n + v0

2

n + v00n

ioe2u

R11 =nu00 + 2

hf 00

f u02i u0P3n=1 v0no e2u

R22 =

u00 + f 00f + f

021f2 2u0

2 u0P3n=1 v0n e2uR33 = R22R55 =

v01 (2u+ v1 + v2 + v3)

0+ v001

e2u

R66 = v02 (2u+ v1 + v2 + v3)

0+ v002

e2u

R77 = v03 (2u+ v1 + v2 + v3)

0+ v003

e2u

Tabla 11

;

y la curvatura obtiene la forma

R =

8


Por lo tanto con la tabla 11 y la curvatura dada en (1.13) nalmente yapodemos calcular la parte izquierda de las ecuaciones de Einstein, expresadasde la siguiente manera:

GAB = TAB ; (1.14)donde TAB es el tensor de momento-energa, es la constante gravitacionaleinsteniana y GAB se calcula por la frmula

GAB = RAB 12gABR. (1.15)

Mas como en nuestro tensor mtrico y en nuestro tensor de Ricci slo los com-ponentes diagonales son distintos de cero, entonces las ecuaciones de Einsteinpara nuestra mtrica se reducen a las siguientes 7 ecuaciones:

G00 = R00 12R = T00G11 = R11 +

12R = T11

G22 = R22 +12R = T22

G33 = R33 +12R = T33

G55 = R55 +12R = T55

G66 = R66 +12R = T66

G77 = R77 +12R = T77

Tabla 12

;

eso debido a los valores del tensor mtrico, dados en (1.7). As que el ladoizquierdo de las ecuaciones de Einstein toma la forma

G00 = "3u0 (u+ v1 + v2 + v3)

0+ v01v

02 + v

01v03

+v02v03 +

1f 02f2 2 f

00

f

#e2u

G11 =

264 u0 (u+ v1 + v2 + v3)

0+ v0

2

1

+v02

2 + v023 + v

01v02 + v

01v03 + v

02v03

+(2u+ v1 + v2 + v3)00+ 1f

02

f2

375 e2u

G22 =

264 u0 (u+ v1 + v2 + v3)0+ v0

2

1

+v02

2 + v023 + v

01v02 + v

01v03 + v

02v03

+(2u+ v1 + v2 + v3)00 f 00f

375 e2uG33 = G22

G55 =

264 u0 (3u+ 2v2 + 2v3)

0

+v02

2 + v023 + v

02v03

+(3u+ v2 + v3)00+ 1f

02

f2 2 f00

f

375 e2u

G66 =

264 u0 (3u+ 2v1 + 2v3)

0

+v02

1 + v023 + v

01v03

+(3u+ v1 + v3)00+ 1f

02

f2 2 f00

f

375 e2u

G77 =

264 u0 (3u+ 2v1 + 2v2)

0

+v02

1 + v022 + v

01v02

+(3u+ v1 + v2)00+ 1f

02

f2 2 f00

f

375 e2uTabla 13

13

Ahora, si consideramos que la funcin f de nuestra mtrica (denida en (1.6))toma las siguientes posibles formas (dependiendo de si elejimos un universoplano, elptico o hiperblico):

f =

8

Captulo 2

Comparacin de modeloscosmolgicos 6D deKechkin-Peraza y dePeraza-Vladimirov.

Nosotros analizaremos una solucin a las ecuaciones N-dimensionales deEinstein propuesta en Kechkin-Peraza [10]. Veremos en particular el caso6-dimensional con el n de comparar con las soluciones cosmolgicas 6-dimensionalesobtenidas en Peraza-Vladimirov [1] y establecer que los mtodos de solucin em-pleados en [10] y [1] son equivalentes.

2.1. Corroboracin de la cosmologa N-dimensionalvaca de Kechkin-Peraza. Anlisis del mo-delo 6D en particular.

Kechkin y Peraza proponen un cuadrado del intervalo N-dimensional de laforma

ds2 = gABdxAdxB

=a2

24d2 d2 8

16 CAPTULO 2. COMPARACIN DE MODELOS COSMOLGICOS 6D.

en medio y de abajo, son expresiones correspondientes a secciones espaciales3-dimensionales esfricas, planas e hiperblicas, respectivamente.Nosotros denotamos a e, bi ei , i = 1; : : : ; N ; entonces el sistema de

ecuaciones de Einstein RAB = 0 es escrito de la siguiente manera:

300 +Xk

h00k +

02k 00k

i= 0, (2.2)

00 + 202

+ 2 + 0Xk

0k = 0, (2.3)

00i + 200i +

0i

Xk

0k = 0, (2.4)

donde =

8

2.1. CORROBORACIN DE COSMOLOGA N-D VACA. 17

dades + y + i i, dndonos el siguiente resultado:

R00 =n300 +

P3n=1

h00n + 0

2

n + 00n

ioe2 = 0,

R11 =n00 2 202 0P3n=1 0no e2 = 0,

R22 = R11 = 0,R33 = R11 = 0,R55 =

01 (2+ 1 + 2 + 3)

0+ 001

e2 = 0,

R66 = 02 (2+ 1 + 2 + 3)

0+ 002

e2 = 0,

R77 = 03 (2+ 1 + 2 + 3)

0+ 003

e2 = 0,

donde hemos empleado las equivalencias (1.17) para la funcin f y, las identi-dades u , vi i (ver tabla 10) y k (ver (1.18)). Por lo tanto, dividiendoel sistema anterior entre e2u obtenemos el siguiente nuevo sistema:

300 +3X

n=1

h00n + 0

2

n + 00n

i= 0,

00 + 2 + 202

+ 03X

n=1

0n = 0,

01 (2+ 1 + 2 + 3)0+ 001 = 0,

02 (2+ 1 + 2 + 3)0+ 002 = 0,

03 (2+ 1 + 2 + 3)0+ 003 = 0;

el cual es equivalente al sistema (2.2)-(2.4) (para N = 3). As, queda demostradoel sistema (2.2)-(2.4) para el caso 7 dimensional.Nosotros excluimos la consideracin de la posibilidad trivial bi = const; 8i;

por lo que para cualquier i nosotros tenemos b0i 6= 0, i.e, 0i 6= 0.La solucin del sistema de ecuaciones (2.2)-(2.4) determina () y i (),

junto con constantes de integracin; y con ello a y bi determinan las funcionesdesconocidas deniendo la mtrica gAB .Nosotros denotamos

0 , 0i i,Xk

k S,Xk

2k Q, (2.7)

entonces en la nueva notacin, la ecuacin(2.4) toma la forma

0i + 2i + Si = 0. (2.8)

Sumando sobre i obtenemos

S0 + (2+ S)S = 0, (2.9)

y multiplicando por i y sumando sobre i tenemos que

1

2Q0 + (2+ S)Q = 0. (2.10)


A causa de que i 6= 0, nosotros tenemos que Q 6= 0, y entonces1

2

Q0

Q+ (2+ S) = 0. (2.11)

Si adems S no es igual a cero, entonces de (2.9) nosotros tenemos

S0

S+ (2+ S) = 0 (2.12)

(mas tarde esta asuncin ser retirada). Por lo tanto

1

2

Q0

Q=S0

S(2.13)

, integrando,Q = CS2, (2.14)

donde C es la constante de integracin.Nosotros reemplazamos el sistema original de ecuaciones (2.2)-(2.4) por su

equivalente:

30 + S0 + CS2 S = 0, (2.15)S0 + (2+ S)S = 0, (2.16)

0 + 22 + 2 + S = 0, (2.17)0i + (2+ S) i = 0, (2.18)X

k

k = S, (2.19)Xk

2k = Q, (2.20)

Q = CS2, (2.21)

0 = , (2.22)0i = i; (2.23)

obtenido de ellas (ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4) se transforman en (2.15), (2.17)y (2.18)) con la ayuda de la nueva notacin (2.7) (que llega a ser ecuaciones.(2.19), (2.20), (2.22) y (2.23)) y con la adicin de los dos corolarios (2.9) y (2.14)(ecuaciones. (2.16) y (2.21)).Ahora resolveremos el sistema (2.15)-(2.23). Primero despejaremos S0 en

(2.16) y 0 en (2.17), obteniendo

S0 = (2+ S)S,0 = 22 2 S,

y sustituiyendo dichas relaciones en (2.15) da como resultado

62 6 3S (2+ S)S + CS2 S = 0,


lo que al simplicarlo nos resulta

2 + S +1

6S2 1

6CS2 + = 0; (2.24)

adems+

1

2S

2 r

2C + 1

3 S2

!2+ = 2 + S +

1

6S2 1

6CS2 + , (2.25)

haciendo el lgebra respectiva. Por lo que sustituyendo (2.24) en (2.25) nos da+

1

2S

2 r

2C + 1

3 S2

!2+ = 0. (2.26)

Esta ecuacin es equivalente a la parametrizacin

+1

2S =

8


por lo que

=

8


a la constante D; mas como podemos elegir el tiempo inicial en el instante quequerramos, podemos recorrer el tiempo cero al instante D, eliminando de esaforma la constante de integracin, obteniendo las soluciones

=

8>>>>>>>>>>:

8>>>>>=>>>>>>>;, (2.33)

2

8>>>:2 ; 0(0;1)

(0;1) , = 1(1; 0) , = 1

, (2.34)donde los subndices S y se usan para hacer referencia a las respectivas llaves,y el dominio de se demuestra a continuacin.Demostracin:El dominio de para las funciones S y se determina obteniendo el dominio

para las llaves fgS y fg, dadas en (2.32) y (2.33).Para la funcin superior sinh y cosh siempre estn denidos, as que nos

enfocamos al dominio de ln tan (), el cual es tan () > 0, por lo que > 0,mas como tan () se hace discontinua en = 2 , tenemos que < 0 y > 2 ,es decir 2 2 ; 0.


Para las funciones de en medio, claramente 6= 0, as que 2 (1; 0)[(0;1), sin embargo podemos considerar solo el intervalo de tiempopositivo, i.e. 2 (0;1).Para las funciones inferiores, sinh y cosh siempre estn denidos, as que

nos centramos en el dominio de arctanhe2

, cuyo argumento se localiza en

(1; 1). Para el caso = 1 tenemos que 1 < e2 < 1, por lo que 2 (0;1).Para el caso = 1, 1 < e2 < 1, as que 2 (1; 0). En conclusin, para latercera funcin se tiene que

2(0;1) , = 1(1; 0) , = 1

.

Con ayuda de (2.32) y (2.33), de (2.18) nosotros obtenemos i () y N cons-tantes de integracin i.Obtencin:Sustituyendo (2.32) y (2.33) en (2.18) resulta

0i +2 fg

i = 0,

que es una ecuacin diferencial de variables separables, por lo que

Zdii

= Z 8=>; ,es decir,

i = 00i

8>:2 jcsc (2)j

1jj

12 e

2j1+e4j

9>=>; ,por lo que

i = 0i

8


donde en la expresin inferior se us la identidad trigonomtrica

1 + e2x = 2 sinh (x) ex (2.36)(ver su demostracin en el apndice 1). Finalmente i se puede reescribir de lasiguiente manera:

i = i

8


de donde, al sustituir (2.19) por S, tenemos

Xk

2k fg2 = C X

k

k

!2,

en lo cual, al extraer fg2 de la sumatoria izquierda y sustituir (2.37) en lasumatoria derecha, resulta

fg2Xk

2k = C

Xk

k fg!2

= C fg2 X

k

k

!2,

por lo que Xk

2k = C

Xk

k

!2,

en donde, al sustituir (2.39) en la sumatoria derecha, nalmente obtenemosXk

2k =3C

2C + 1. (2.40)

De lo anterior tenemos que son (2.39) y (2.40) nuestras dos relaciones buscadas.Finalmente, la integracin de las ecuaciones (2.22) y (2.23) determina ()

y i (), introduciendo otras (N + 1) constantes de integracin.Procedimiento:Primero, de (2.22) observamos que debemos integrar (2.33) para as obtener

a . Por lo tanto, una vez ms a partir de los clculos hechos en Mathematica7.0, en el archivo: Solucion Ecs. de Einstein en vaco b.nb; (ver apndice 2),obtenemos

=

8>>>>>>>:2

q3

2C+1 ln j2 cos j+ 2q

32C+1 ln j2 sin j+ 12 ln jsin (2)j

12 2

q3

2C+1

ln jj

2q

32C+1 ln

1+e21+e2 14+ ln2 1 + e4 129>>>>=>>>>;+ a

000 ,

(2.41)de donde, empleando las identidades (2.36) y

1 + e2x = 2 cosh (x) ex (2.42)

(ver su demostracin en el apndice 1), tenemos

=

8>>>>>>>>>>>>>:

ln

2 sin 2 cos 2p

32C+1 jsin (2)j 12

!lnjj 122

p3

2C+1

+ ln

2 sinh()e2 cosh()e 2p

32C+1

!+ ln

2 2 sinh (2) e2 12

9>>>>>>>=>>>>>>>;+a000 ,


por lo que

=

8>>>>>:ln[ tan ] 12

p3

2C+1 [ sin (2)] 12

ln12 12

p3

2C+1

+ ln

jtanh j2

p3

2C+1

+ ln 2+ ln

j sinh (2)j 12

+ ln

e

9>>>=>>>;

+a000

=

8>>>>>:ln[ tan ()] 12

p3

2C+1 [ sin (2)] 12

ln12 12

p3

2C+1

lnjtanh j2

p3

2C+1

+ ln

jsinh (2)j 12

9>>>=>>>;+ a

00,

i.e.

=

8>>>>>:lnn[ tan ()] 12

p3

2C+1 [ sin (2)] 12o

ln12 12

p3

2C+1

lnhjtanh j 12

p3

2C+1 jsinh (2)j 12i

9>>>=>>>;+ a00, (2.43)

donde los valores absolutos fueron eliminados en las funciones superior y mediacomo consecuencia del dominio del tiempo , dado en (2.34).Ahora, de (2.23) integramos (2.37) para as obtener a las funciones i. Por

lo tanto

i =

Z

i

8: tan 2 12p 32C+1 [ sin (2 )] 1212 12

p3

2C+1

[ tanh ] 12p

32C+1 [ sinh (2)] 12 ,

9>>=>>;+ a00,


de donde nalmente obtendremos que

= ln

8>>>>>>>:

tan 2 12p 32C+1 [ sin (2 )] 1212 12

p3

2C+1([tanh ]

12p

32C+1 [sinh (2)]

12 , = 1

[ tanh ( L)] 12p

32C+1 [ sinh (2 2L)] 12 , = 1

)9>>>>=>>>>;+a

00,

(2.45)donde en la funcin inferior, para = 1, hacemos un desplazamiento horizontalpara que el tiempo inicial parta de L, donde L > 0 es un tiempo elegido aconveniencia; y entonces, para ese caso, 2 (0; L). Y anlogamente, la nuevaexpresin para i ser

i = ln

8>>>: tan 2 ii[tanh ]

i , = 1[ tanh ( L)]i , = 1

.

9>>=>>;+ b00i. (2.46)Adems los dominios estarn dados por

2

8>>>:(0; 2)(0;+1)(0;+1) , = 1(0; L) , = 1

9>>=>>; . (2.47)

El resultado nal, en trminos de a = e y bi = ei es

a () = a0

8>>>>>>>:

tan

2

12p 32C+1 [sin ( 2)] 1212 12

p3

2C+1([tanh ]

12p

32C+1 [sinh (2)]

12 , = 1

[tanh (L )] 12p

32C+1 [sinh (2L 2)] 12 , = 1

)9>>>>=>>>>; ,(2.48)

bi () = b0i

8>>>:tan

2

ii[tanh ]

i , = 1[tanh (L )]i , = 1

.

9>>=>>; , (2.49)

2

8>>>:(0; 2)(0;+1)(0;+1) , = 1(0; L) , = 1

9>>=>>; , (2.50)

Pk k =

q3

2C+1 ,P

k 2k =

3C2C+1 , (2.51)

donde hemos empleado las relaciones (2.45), (2.46), (2.47), (2.39) y (2.40).


Remarcacin 1.

Sumando sobre k en (2.37) obtenemosXk

k = fgXk

k,

de donde al sustituir (2.19) resulta

S = fgXk

k,

por lo que S Pk k; por lo tanto, usando el resultado izquierdo de (2.51),vemos que para C ! +1 nosotros tenemos Pk k,! 0, i.e S ! 0 (eso escierto en el caso N 2, debido a los resultados (2.54) y (2.55) obtenidos en laRemarcacin 2, donde C y son constantes para N = 1). Si este lmite esintroducido en esta solucin con S 6= 0, entonces el resultado se introducir enel sistema (2.15)-(2.23), en donde la ecuacin (2.21) es reemplazada por S = 0,i.e para N 2 existe una solucin con C = +1.

Remarcacin 2.

Las relaciones que conectan las constantes C y i pueden ser resueltas paracualquier N . Por ejemplo, para N = 1 (5a dimensin) nosotros tenemosC = = 1.Demostracin.De (2.51) tenemos que

=

r3

2C + 1(2.52)

y

2 =3C

2C + 1. (2.53)

Elevando al cuadrado (2.52) se obtiene

2 =3

2C + 1;

y dividiendo (2.53) entre el resultado anterior tenemos que

1 = C. (2.54)

Y al sustituir (2.54) en (2.52) obtenemos el valor

= 1. (2.55)

En el caso N = 2 (6 dimensiones) nosotros encontramos

1;2 =12

q3

2C+1 1p2C 1, C 2 12 ;+1 (2.56)


Demostracin.Sustituyendo los resultados (2.56) en las ecuaciones (2.51) obtenemos

1 + 2 =1

2

r3

2C + 11 +

p2C 1

+1

2

r3

2C + 11p2C 1

=

r3

2C + 1

y

21 + 22 =

1

4 32C + 1

1 + 2

p2C 1 + 2C 1

+

+1

4 32C + 1

1 2p2C 1 + 2C 1

=

2 2C4

32C + 1

=3C

2C + 1,

que son justo las expresiones derechas de las ecuaciones (2.51), por lo que dichosresultados s son soluciones de tales ecuaciones. Adems, por simetra de lasecuaciones (2.56), otro par de soluciones ser

01;2 =1

2

r3

2C + 11p2C 1

, (2.57)

por lo que

01 = 2 y

02 = 1; (2.58)

mas podemos considerar solo la pareja de soluciones (2.56) al resultar indiferentede la pareja (2.57) debido a los renombramientos (2.58)Ahora, para asegurar que no existen ms soluciones a las ecuaciones (2.51),

haremos lo siguiente. Supongamos que existe otro par de soluciones a las ecua-ciones (2.51) (sin considerar permutaciones como en (2.58)), al cual llamaremos:

01 = 01(C) y

02 =

02 (C) ,

(donde la comilla superndice no signica derivada) por lo que podemos obtenerlas diferencias

01 1 = h1(C) y 02 2 = h2(C),de donde

01 = 1 + h1 y 02 = 2 + h2. (2.59)

Entonces, sustituyendo (2.59) en la ecuacin izquierda del sistema (2.51) tene-mos que

01 + 02 = 1 + 2 + h1 + h2 =

r3

2C + 1+ h1 + h2,


por lo que h1 + h2 = 0, es decir,

h2 = h1. (2.60)Por lo tanto, al sustituir (2.60) en (2.59) y renombrar h1 h, se obtiene

01 = 1 + h y 02 = 2 h. (2.61)

Sustituyendo el resultado (2.61) en la ecuacin derecha de (2.51) nos resulta

21 + 22 + 2h (1 2 + h) =

3C

2C + 1+ 2h (1 2 + h) ,

de dondeh = 0 h = 2 1;

si h = 0, de (2.61) vemos que

01 = 1 y 02 = 2,

i.e. es la misma solucin; y si h = 2 1, nuevamente de (2.61) vemos que

01 = 2 y

02 = 1,

lo cual es la solucin permutada (2.58). As pues, no existen otras parejas desoluciones.Y si consideramos el caso no de una nueva pareja de soluciones, sino de

una pareja que incluya a una 0 nueva y a otra que pertenezca a la parejaencontrada en (2.56), entonces podemos volver a aplicar la misma demostracinanterior de inexistencia de nuevas soluciones haciendo un hi = 0; por ejemplo,podemos elegir, sin prdida de generalidad, la pareja

01 = 1 + h1 y 02 = 2,

donde hemos hecho h2 = 0, y entonces llegaremos a la relacin (2.60), obteniendo

0 = h2 = h1,es decir

h1 = h2 = 0,

por lo que

01 = 1 y

02 = 2,

i.e. concluiremos denitivamente que no existen ms soluciones.Y por ltimo, el dominio C 2 12 ;+1 se obtiene observando la solucin

1;2 =12

q3

2C+1 1p2C 1 (dada en (2.56)) y viendo que solo hay pro-

blemas de indenicin en los argumentos de ambas races. Para la razq

32C+1

tenemos que 2C+1 > 0, por lo que C > 12 . Y para la razp2C 1 resulta que

2C 1 0, de donde C 12 . Por lo tanto, haciendo la interseccin de ambosdominios obtenemos C 12 , mas como C = +1 est incluido en la solucin.(verRemarcacin 1) concluimos que C 2 12 ;+1.


2.2. Modelo cosmolgico 6D vaco de Peraza-Vladimirov.

En el trabajo [1] Peraza y Vladimirov consideraron una mtrica de la forma

dI2 = '2a2dx20 dx21 f2

d2 + sin2 d'2

dx25 2dx26 ,en un espacio-tiempo 6-dimensional, resolvindose para el caso ms general deecuaciones de Einstein, mostrando en los tres tipos de curvatura una densidadde materia = 0.Considerando las transformaciones b = a', = ' , ', se obtuvieron las

siguientes soluciones.

2.2.1. Modelo plano.

b = b0

cpx0

p(+1)2p

' = '0

cpx0

1p

= 0

cpx0

p

a = a0

cpx0

p(+3)2p

= 0

cpx0

1p

Tabla 16

,

donde, aqu y en lo que siga, a0 = b0'0 , b0, x0, 0, '0, 0 son constantes y c esuna constante de integracin.

2.2.2. Modelo de curvatura negativa (abierto).

b = b0 (sinh )12tanh 2

+12p

' = '0tanh 2

1p

= 0tanh 2

p

a = a0 (sinh )12tanh 2

+32p

= 0tanh 2

1p

Tabla 17

,

donde = c 2x0.

2.3. RELACIN ENTRE LAS SOLUCIONES 6D. 31

2.2.3. Modelo de curvatura positiva (cerrado).

b = b0 (cos)12

htan

2 +

4

i+12p

a = a0 (cos)12

htan

2 +

4

i+32p

= 0

htan

2 +

4

i p

= 0

htan

2 +

4

i1p

' = '0

htan

2 +

4

i 1p

Tabla 18

,

donde = c+ 2x0.Adems, y = 2 + 23 + 1 son constantes generales cuyos valores no

deben conllevar a singularidades en los coecientes mtricos ', a y .

2.3. Obtencin de la relacin entre las soluciones6D de los modelos de Kechkin-Peraza (KP)y Peraza-Vladimirov (PV).

Para poder comparar las soluciones 6-dimensionales de KP [10] y de PV [1]hay que considerar lo siguiente:

aK = aV 'V = bV(b1K)2 = '2V = '2V(b2K)2 = '2V 2V = 2V

Tabla 19

,

donde los subndices k y V hacen referencia a las ecuaciones en los artculos deKP y PV, respectivamente. Con estas igualdades es posible establecer la relacinentre las constantes C y n de KP y las constantes y c de PV.Primeramente observamos que en los tres modelos, en PV, podemos hacer un

conveniente desplazamiento temporal de modo que c = 0, por lo que podemosquitarla. Adems, las k de KP estn en funcin de C. Por lo que solo hay queestablecer la relacin entre la C de KP y la de PV.As pues, procederemos a establecer dicha relacin para los tres modelos.

2.3.1. Modelo plano.

Primero encontraremos la relacin entre las constantes C y para la igualdad

aK = bV . De la tabla 16 vemos que bV = b0cpx0

p(+1)2p , mas como


hemos hecho c = 0, tenemos ahora que

bV = b0

px0

p(+1)2p

= b0 ()

p(+1)4p (x0)

p(+1)2p

= b00 (x0)p(+1)2p ,

donde ()p(+1)4p = 0 = cte, por lo que

bV = b00

h(x0)

12

ip(+1)p= b00

x120

1 (+1)p , (2.62)

en donde: b00 = b00 y hemos eliminado la posibilidad x0 para poder hacer lacomparacin entre ambos artculos. Adems, en (2.48) obtuvimos que

aK = a012 12

p3

2C+1 = a0

12

1p 32C+1. (2.63)

Por lo tanto, de la comparacin de (2.62) con (2.63) tenemos las equivalencias

a0 = b00, = x0, 1

r3

2C + 1= 1 (+ 1)p

,

por lo que r3

2C + 1= (+ 1)p

, (2.64)

de donde despejando C establecemos la siguiente relacin:

C =2 + 1

(+ 1)2 ; (2.65)

la cual es la condicin para la igualdad de las soluciones de KP y PV. Mas faltahacer la comprobacin de la expresin anterior para asegurarnos de que no setrata de una solucin extraa; as que sustituyendo (2.65) en la parte izquierdade (2.64) se tienevuut 3

22+1(+1)2

+ 1

=

s3

22+2(+1)2

+ 1=

s3

22+2+(2+2+1)

(+1)2

= j+ 1jr

3

32 + 2+ 3= j+ 1j

s1

32+2+33

= j+ 1js

1

2 + 23+ 1=

j+ 1jq2 + 23+ 1

=j+ 1jp

= + 1p

= + 1p

, para < 1;


por lo que efectivamente la expresin (2.65) s es solucin para la ecuacin (2.64)en el dominio < 1.Ahora haremos la permutacin b01K = b2K y b

02K = b1K , ya que podemos

ver indistintamente las soluciones 1a y 2a en el orden dado o al revs, mas nosconviene verlas de esta forma permutada porque as las futuras relaciones queestablezcamos entre C y sern la misma que la relacin (2.65) encontrada alcomparar aK con bV .Lo que sigue es encontrar la relacin entre C y para la igualdad b2K = 'V

y no para la igualdad b1K = 'V , debido a la permutacin anterior. Primera-mente, de la tabla 16 tenemos que ' = '0

px0

1p (haciendo c = 0), por

lo que

' = '0

p 1p

(x0)

1p

= '00x 1p

0 ,

i.e.

' = '00x 1p

0 , (2.66)

donde 0 =p

1p

, '00 = '0x0 y hemos eliminado la posibilidad x0 parapoder hacer la comparacin entre ambos artculos. Enseguida, de (2.49) tenemosque

b2 = "b022 = b0022 , (2.67)donde " = 1, y b002 = "b02. Por lo tanto, comparando (2.66) con (2.67) ysustituyendo (2.56) se obtienen las equivalencias

b002 = '00, = x0

y

2 =1

2

r3

2C + 11p2C 1

= 1p

; (2.68)

as que para encontrar dicha relacin en la ecuacin (2.68), de hecho sustituire-mos en esa ecuacin la relacin (2.65) encontrada para la comparacin de aKcon bV , esperando llegar a una identidad, lo que probara que una solucin ala ecuacin (2.68) es la misma que la solucin obtenida para (2.64), como esde esperarse si ambos artculos son correctos. As pues, sustituyendo la relacin(2.65) en la ecuacin (2.68) tenemos que

1

2

vuut 322+1(+1)2

+ 1

0@1

vuut2 2 + 1(+ 1)

2

! 11A = 1p

,


donde, haciendo lgebra en el lado izquierdo de la ecuacin anterior obtenemos,anlogamente al procedimiento pasado,

1

2

vuut 322+1(+1)2

+ 1

0@1

vuut2 2 + 1(+ 1)

2

! 11A = j+ 1j

2p1 j 1jj+ 1j

= + 12p

1 1

+ 1

= 1p

, para < 1;

lo cual demuestra que las soluciones b2K y 'V estn relacionadas por la mismafrmula (2.65) que relaciona a las soluciones aK y bV .Por ltimo, procederemos a encontrar la relacin entre C y para igualacin

b1K = V . De la tabla (16) tenemos que = 0px0

p , y por un

procedimiento anlogo al hecho con las soluciones anteriores vemos que

= 00x p

0 . (2.69)

Y de (2.49) obtenemos

b1 = "b011 = b0011 . (2.70)Por lo tanto, comparando (2.69) con (2.70) y sustituyendo (2.56) llegamos a laecuacin

1 =1

2

r3

2C + 11 +

p2C 1

= p

; (2.71)

y sustituyendo la solucin (2.65) en el lado izquierdo de la ecuacin (2.71) nosresulta, con un poco de lgebra:

p= p

, < 1;

i.e. tenemos que la relacin (2.65) tambin se aplica para este caso.As que el hecho de que obtuviramos la misma relacin C =

2+1(+1)2

, con < 1, para los tres pares de soluciones a las Ecuaciones de Einstein para ununiverso plano, muestra la congruencia deseada entre ambos artculos.

2.3.2. Modelo elptico.

Primeramente encontraremos la relacin entre las constantes C y para laigualdad aK = bV . De la tabla 18 vemos que

bV = b0 (cos)12

htan

2 +

4

i+12p , donde, haciendo las sustituciones

= c+ 2x0 y c = 0, tenemos

bV = b0

htan

x0 +

4

i+12p[cos (2x0)]

12 . (2.72)


Adems, de (2.48) tenemos

aK = a0

htan

2 i 12p 32C+1

[sin ( 2)] 12 ,

donde, aplicando trigonometra obtenemos

aK = a0 [cot ()] 12p

32C+1 [sin (2)]

12

= a0 [tan ] 12p

32C+1 [sin (2)]

12

= a0 [tan ] 12p

32C+1

hcos2

2

i 12

= a0 [tan ] 12p

32C+1

ncosh2

4

io 12

,

por lo que desplazando convenientemente el tiempo 4 hacia la derecha, resulta

aK = a0

htan

+

4

i 12p 32C+1[cos (2)]

12 . (2.73)

As que la comparacin de (2.72) con (2.73) nos da la igualdadr3

2C + 1=+ 1p

, (2.74)

ecuacin idntica a la ecuacin (2.64) para el caso plano, salvo por la omisin delsigno en el lado derecho de la ecuacin, as que su solucin ser la mismarelacin (2.65): C =

2+1(+1)2

; pero con dominio > 1 en lugar de < 1.Lo que sigue es encontrar la relacin entre C y para la igualacin

b2K = 'V , debido a la permutacin entre b1K y b2K mencionada en el casoplano. Por ello, de la tabla 18 tenemos que

' = '0

htan

x0 +

4

i 1p , (2.75)

una vez sustituidos = c+ 2x0 y c = 0. Adems de (2.49) deducimos que

b2K = "b02htan

2 i2

= b002 (cot )2

= b002 (tan )2 ,

por lo que haciendo un corrimiento del tiempo 4 hacia la derecha, obtenemos

b2K = b002htan

+

4

i2. (2.76)

As que comparando (2.75) con (2.76) y sustituyendo (2.56) establecemos laigualdad

2 =1

2

r3

2C + 11p2C 1

=

1p, (2.77)


ecuacin que es idntica a la ecuacin (2.68), salvo por la omisin del signoen el lado derecho de la ecuacin, por lo que una solucin ser tambin larelacin (2.65), pero con > 1.Ya por ltimo debemos encontrar la relacin C = C () para la igualdad

b1K = V . Entonces, de la tabla 18 observamos que

= 0

htan

x0 +

4

i p , (2.78)

donde hemos hecho = c+ 2x0 y c = 0. Adems, de (2.49) vemos que

b1K = "b01htan

2 i1

= b001 (cot )2

= b001 (tan )1 ,

por lo que haciendo un desplazamiente del tiempo 4 hacia la derecha, obtenemos

b1K = b001htan

+

4

i1. (2.79)

As pues, comparando (2.78) con (2.79) y sustituyendo (2.56) establecemos que

1 =1

2

r3

2C + 11 +

p2C 1

=

p, (2.80)

ecuacin que es la misma a la dada en (2.71), excepto por la omisin del signoen el lado derecho de la igualdad, por lo que una solucin a ella tambinser la relacin (2.65), pero con > 1.En conclusin, podemos decir que para el caso elptico 6-D tambin hay

congruencia entre ambos artculos, ya que una solucin a las comparacionesaK = bV , b2K = 'V y b1K = V es, en los tres casos, la relacin (2.65)(C =

2+1(+1)2

), pero con > 1.

2.3.3. Modelo hiperblico.

Primeramente encontraremos la relacin entre las constantes C y para laigualdad aK = bV . De (2.48) vemos que

aK = a0

([tanh ]

12p

32C+1 [sinh (2)]

12 , = 1

[tanh (L )] 12p

32C+1 [sinh (2L 2)] 12 , = 1

). (2.81)

Y de la tabla 17 vemos que bV = b0 (sinh )12tanh 2

+12p , donde, haciendo las

sustituciones = c 2x0 y c = 0, tenemos

bV = b0 [tanh (x0)]+1

2p [sinh (2x0)]

12 . (2.82)


Por lo que, para el caso = 1, para poder realizar la comparacin entre (2.81)y (2.82) debemos hacer la extraa equivalencia = x0, con lo cual yapodemos establecer la igualdadr

3

2C + 1= + 1p

;

sin embargo, para = 1 la comparacin resulta ms natural si para estemodelo hacemos c 6= 0, teniendo entonces

bV = b0

htanh

c2 x0

i+12p[sinh (c 2x0)]

12 , (2.83)

con lo cual se pueden considerar las siguientes equivalencias entre (2.81) y (2.83):

a0 = b0, = x0, L =c

2y

r3

2C + 1= + 1p

;

donde la ltima equivalencia es idntica a la ecuacin (2.64), razn por la cualuna solucin para ella tambin ser la relacin (2.65), con < 1.El siguiente paso es encontrar la relacin C = C () para la igualacin

b2K = 'V . As que, de (2.49) tenemos

b2K = "b02

[tanh ]2 , = 1

[tanh (L )]2 , = 1

= b002

[tanh ]

2 , = 1[tanh (L )]2 , = 1

. (2.84)

Y de la tabla 17 vemos que

' = '0

htanh

c2 x0

i 1p , (2.85)

donde hemos hecho la sustitucin = c 2x0. Por lo que, comparando (2.84)(con = 1) con (2.85) y reemplazando (2.56), determinamos las equivalencias

L =c

2y 2 =

1

2

r3

2C + 11p2C 1

= 1p

,

donde la segunda ecuacin es la ecuacin (2.68) para el universo plano, i.e. unasolucin a ella ser la relacin (2.65), con < 1.Y para terminar tenemos que encontrar la relacin C = C () para la igual-

dad b1K = V . Por (2.49) tenemos

b1K = "b01

[tanh ]1 , = 1

[tanh (L )]1 , = 1

= b001

[tanh ]

1 , = 1[tanh (L )]1 , = 1

. (2.86)


Y de la tabla 17 tomamos

= 0

htanh

c2 x0

i p , (2.87)

donde hicimos = c 2x0. As que, correlacionando (2.86) (para = 1) con(2.87) y empleando (2.56), llegamos a la equivalencia

1 =1

2

r3

2C + 11 +

p2C 1

= p

,

que es la misma ecuacin (2.71) del modelo plano, siendo entonces una solucina ella la relacin (2.65), con < 1.En conclusin, para el modelo hiperblico 6-D encontramos una concordan-

cia entre ambos artculos, al ser la expresin (2.65) (C = 2+1

(+1)2) la relacin

entre las constantes C de KP y de PV en todos los casos, donde < 1.

2.3.4. Anlisis general.

Relacin encontrada.

En general, en los tres modelos encontramos siempre la misma relacin (2.65)entre C y (C () =

2+1(+1)2

), con < 1 en los modelos plano e hiperblico,y > 1 en el modelo elptico.Mas haciendo un poco de anlisis a la funcin C () observamos que sta es

estrictamente creciente en 2 (1;1), estrictamente decreciente en 2 (1; 1), y estrictamente creciente en 2 (1;+1), como se demuestra acontinuacin.Demostracin:Aplicando el mtodo de derivacin vemos que,

dC

d=2 (+ 1)

2 2 2 + 1 (+ 1)(+ 1)

4 =2 ( 1)(+ 1)

3 ,

y de ah resulta que

dC

d=2 ( 1)(+ 1)

3 es> 0, para 2 (1;1) [ (1;+1)< 0, para 2 (1; 1) :

Adems, cuando ! 1 tenemos

lm!1C () = lm!1

2 + 1

(+ 1)2 = 1,

cuando ! 1 vemos que

lm!1

C = lm!1

2 + 1

(+ 1)2 = +1,


cuando ! 1 obtenemos

lm!1

C = lm!1

2 + 1

(+ 1)2 = C (1) =

1

2,

y cuando ! +1 observamos que

lm!+1C = lm!+1

2 + 1

(+ 1)2 = 1.

As que en los dominios 2 (1;1) y 2 (1; 1) [ (1;+1), los codominiospara C () son (1;+1) y 12 ;+1, respectivamente; todos ellos valores de ima-gen vlidos de acuerdo al dominio para C dado en (2.56), en la remarcacin2 (seccin 2.1); pero C = +1 es un valor aceptado en la remarcacin 1(seccin 2.1), y C ! 1 cuando ! 1, por lo que podemos incluir = 1y = 1 en el dominio de C () para los universos plano e hiperblico, eigualmente podemos incluir los valores = 1 y = +1 en el dominio de C ()para el universo elptico; i.e,. 2 [1;1] en los casos plano e hiperblico, y 2 [1;+1] en el caso elptico.Por lo tanto, como conclusin nal podemos decir que

C =2 + 1

(+ 1)2 , (2.88)

es una relacin entre la constante C del artculo de KP y la constante delartculo de PV, en los tres modelos de universo y para el caso 6-D, donde paralos universos plano e hiperblico 2 [1;1], y para el universo elptico 2 [1;+1].

Relacin C2 = C2 () alternativa.

Adems de la relacin (2.88) entre C y , nosotros podemos encontrar conayuda de software matemtico una solucin alternativa a la ecuacin (2.68)(2 = 1p ), la cual aparece en los modelos plano e hiperblico como consecuen-cia de la comparacin b2K = 'V . As que utilizando el software Mathematica7.0 encontramos en el archivo: Relacin C K-P y alfa P-V.nb; la solucinalterna (ver apndice 3)

C2 =92 + 12+ 13

(3 1)2 , (2.89)


la cual, al comprobarla sustituyndola en la ecuacin (2.68) (para asegurar queno es una solucin extraa) nos arroja el siguiente resultado:

2 =1

2

vuut 3292+12+13(31)2

+ 1

0@1

vuut2 92 + 12+ 13(3 1)2

! 11A = 1p

=1

2

s3

(182+24+26)+(926+1)(31)2

0BBB@1vuuut

182 + 24+ 26

92 6+ 1

(3 1)2

1CCCA=

j3 1j2

r3

272 + 18+ 27 1

p(92 + 30+ 25)

j3 1j

!

=3 1

2 p92 + 6+ 9 1

p92 + 30+ 25

3 1

!

=3 1

2 p3 (32 + 2+ 3) 0@1

q(3+ 5)

2

3 1

1A=

3 16 q2 + 23+ 1

(3 1) (3+ 5)

3 1

= 1q2 + 23+ 1

= 1p, para >

1

3;

por lo que queda comprobado que en efecto s es una solucin alternativa a laecuacin (2.68), donde > 13 .Adems, la solucin (2.89) tambin satisface a la ecuacin (2.77) para el

modelo elptico (2 =1p), con < 53 .

Mas dicha solucin (2.89) no satisface a las ecuaciones (2.71) y (2.80)(1 = p y 1 =

p), derivadas de la comparacin b1K = V en sus respec-

tivos universos, ni tampoco satisface a las ecuaciones (2.64) y (2.74)

(q

32C+1 = +1p y

q3

2C+1 =+1p), derivadas de las comparaciones aK = bV

en sus universos correspondientes.

Captulo 3

Propuesta de una solucinparticular 6D no vaca.

Si en la mtrica 7-dimensional (1.5) del captulo 1 hacemos +3 v3 = cte,entonces la sptima coordenada ya no tiene un papel activo, y eso equivale atener una mtrica 6-dimensional de la forma

dI2 = e2e2d2 d2 f2 d2 + sin2 () d'2 e21dx21 e22dx22 ,

donde f se dene segn la frmula (1.16). Por lo tanto, las ecuaciones de Einstein(1.14), que se pueden obtener mediante la sustitucin de la tabla 15 en la 12,tomarn la forma

3u0 (u+ v1 + v2)0 + v01v02 + 3 e2u = 6dhu0 (u+ v1 + v2)

0+ v0

2

1 + v022 + v

01v02 + (2u+ v1 + v2)

00+

ie2u = 0h

u0 (3u+ 2v2)0+ v0

2

2 + (3u+ v2)00+ 3

ie2u = 0h

u0 (3u+ 2v1)0+ v0

2

1 + (3u+ v1)00+ 3

ie2u = 0

Tabla 20

,

donde la ecuacin correspondiente a G77 es eliminada del anlisis en tanto quelas ecuaciones de la tabla 20 corresponden a una cosmologa 6-dimensional,adems hemos considerado la frmula (1.18), las equivalencias de la tabla 10,que v03 = 0 y que existe densidad de materia (universo no vaco), tomando elcaso en que todas las componentes del tensor momento-energa son cero, exceptola componente T00 = 6d, en donde 6d es una funcin incgnita que dependesolo de la coordenada temporaliode . Ahora podemos simplicar el sistema de

41

42 CAPTULO 3. PROPUESTA DE UNA SOLUCIN 6D NO VACA.

la tabla 20 para as obtener el sistema de ecuaciones algebraico-diferenciales

1.h3 (0)2 + 3001 + 3

002 + 01

02 + 3

ie2 = 6d

2. (0)2 + 001 + 002 +

021 +

022 +

01

02 + 2

00 + 001 + 002 + = 0

3. 3 (0)2 + 2001 + 021 + 3

00 + 001 + 3 = 04. 3 (0)2 + 2002 +

022 + 3

00 + 002 + 3 = 0Tabla 21

,

donde hemos empleado las equivalencias u y vi i.Para resolver el sistema de la tabla 21 podemos observar que basta con

resolver el subsistema formado por las ecuaciones 2 a 4, luego de lo cual hay quesustituir las variables , 1 y 2 en la ecuacin 1 y despejar 6d. Por lo tanto,el sistema de ecuaciones diferenciales

2. (0)2 + 001 + 002 +

021 +

022 +

01

02 + 2

00 + 001 + 002 + = 0

3. 3 (0)2 + 2001 + 021 + 3

00 + 001 + 3 = 04. 3 (0)2 + 2002 +

022 + 3

00 + 002 + 3 = 0Tabla 22

,

ser nuestro sistema a resolver para encontrar las funciones incgnitas , 1 y2.

3.1. Solucin particular 6D no vaca plana ( =0).

Para resolver el sistema de la tabla 22, lo primero que hay que hacer es unareduccin de orden [5], pues todas las variables incgnitas aparecen con derivadaprimera o mayor. Por lo tanto, haremos los cambios de variables

0 = a, 01 = b1 y 02 = b2, (3.1)

quedndonos el nuevo sistema

20. a2 + ab1 + ab2 + b21 + b22 + b1b2 + 2a

0 + b01 + b02 + = 0

30. 3a2 + 2ab1 + b21 + 3a0 + b01 + 3 = 0

40. 3a2 + 2ab2 + b22 + 3a0 + b02 + 3 = 0Tabla 23

.

Enseguida, por razones de simetra entre las ecuaciones 30 y 40 de la tabla23, podemos argumentar que toda solucin b1 en la ecuacin 30 es una solucinvlida para b2 en la ecuacin 40, y viceversa. As que podemos considerar unasola solucin b b1 = b2 para b1 y b2, con lo cual el sistema de la tabla 23 setransformar en el nuevo sistema

200. a2 + 2ab+ 3b2 + 2a0 + 2b0 + = 0300. 3a2 + 2ab+ b2 + 3a0 + b0 + 3 = 0

Tabla 24.

3.1. SOLUCIN 6D NO VACA PLANA ( = 0). 43

Ahora, por el mtodo de eliminacin, en la tabla anterior podemos restar laecuacin 200 a la ecuacin 300, obteniendo

2a2 2b2 + a0 b0 + 2 = 0,,

2a2 + a0 = 2b2 + b0 2,en donde para el caso plano ( = 0) la ecuacin se transformar en

2a2 + a0 = 2b2 + b0,

ecuacin en la que, una vez ms por razones de simetra, podemos hacera = b, por lo que al sustituir dicha igualdad en el sistema de la tabla 24, ste setransformar nalmente en

2a0 + 3a2 = 0, (3.2)

para el caso plano (con = 0).As que todo se reduce a resolver la ecuacin diferencial (3.2) de la siguiente

forma: la ecuacin es de variables separables, por lo que la podemos reexpresarcomo

da

a2= 3

2d,

de donde1

a=3

2 + C 01,

,

a =2

3 ( + C1). (3.3)

Mas como a = b1 = b2 y 0 = 01 = 02 = a (segn (3.1)), entonces para

obtener a , 1 y 2 debemos de integrar la ecuacin (3.3), resultando

=

Z2d

3 ( + C1)=2

3ln j + C1j+ C2, (3.4)

1 =2

3ln j + C1j+ C3, (3.5)

2 =2

3ln j + C1j+ C4. (3.6)

Lo que sigue es sustituir la solucin particular (3.4)-(3.6) en el sistema de latabla 22 (con el n de vericar que no se trata de una solucin extraa), lo queequivale a utilizar la solucin (3.3) en la tabla 23, lo que signica reemplazar(3.3) en la tabla 24, lo que nalmente nos conduce a sustituir (3.3) en la ecuacin(3.2), para as obtener

2

2

3 ( + C1)

0+ 3

2

3 ( + C1)

2= 0

4

3 1( + C1)

2 +4

3

1

( + C1)2 = 0

0 = 0,


lo que demuestra que nuestra solucin particular (3.4)-(3.6) s es una solucinque satisface al sistema de la tabla 22 para el caso plano ( = 0).Por ltimo debemos encontrar la expresin para la variable 6d en la ecuacin

1 del sistema de la tabla 21 (para = 0), para lo cual sustituiremos la solucin(3.4)-(3.6) en dicha ecuacin y despejaremos a 6d. Despejando a 6d obtenemos

6d =1

h3 (0)2 + 3001 + 3

002 + 01

02

ie2,

y sustituyendo la solucin (3.4)-(3.6) resulta

6d =1

264 3

23(+C1)

2+ 3

2

3(+C1)

2+3

23(+C1)

2+

23(+C1)

2375 e 43 lnj+C1j2C2

=1

"40

9 ( + C1)2

#elnj+C1j

43

2C2

=C 05

"40

9 ( + C1)2

#j + C1j

43

=C5

"j + C1j

43

( + C1)2

#

=C5

"( + C1)

43

( + C1)2

#,

es decir

6d =C5 ( + C1)

103 , C5 > 0, (3.7)

ya que C5 = 409 C05 =

409 e

2C2 > 0.As que nalmente, retomando las soluciones (3.4)-(3.7) para el sistema de

ecuaciones algebraico-diferenciales planteado en la tabla 21, concluimos que unasolucin particular 6-D no vaca a las ecuaciones de Einstein de dicha tabla,derivadas de la mtrica 6-dimensional

dI2 = e2d2 d2 f2 d2 + sin2 () d'2 e21dx21 e22dx22

(ver la denicin (1.16) para f), es, en el caso plano (f = , = 0):

= 23 ln j + C1j+ C2 , (3.8)

1 =23 ln j + C1j+ C3 , (3.9)

2 =23 ln j + C1j+ C4 , (3.10)

6d =C5 ( + C1)

103 , C5 > 0 . (3.11)

3.2. SOLUCIN 6D NO VACA HIPERBLICA ( = 1). 45

A continuacin mostramos un grco del comportamiento de las soluciones(3.8)-(3.11) a travs de la coordenada temporaloide :

, ,

donde las soluciones , 1 y 2 estn representadas por la linea negra (conCi = 0) y la densidad de materia 6d est representada por la linea con crculos(con C5 = 1).De acuerdo con este grco, la densidad de materia 6-d obtenida posee un

comportamiento de carcter friedmanniano [8, 3], es decir, el universo partede una gran explosin (big-bang) y luego evoluciona en el tiempo decreciendoasintticamente en el innito, como es esperado para los modelos planos deFriedmann.

3.2. Solucin particular 6D no vaca hiperblica( = 1).

En esta seccin trataremos de encontrar ms soluciones a las ecuaciones deEinstein planteadas en la tabla 21. Para ello, volveremos a enfocarnos en elsistema de ecuaciones diferenciales de la tabla 22 y, en su reduccin de orden(3.1) y en la igualdad b b1 = b2, para as llegar otra vez al sistema deecuaciones diferenciales de la tabla 24, el cual se puede reescribir de la siguienteforma:

a2 + 2ab+ b2 + 2a0 + b0 + 2k1+2b2 + b0

2= 0, (3.12)

a2 + 2ab+ b2 + 2a0 + b0 + 2k1+2a2 + a0 +

3= 0, (3.13)

donde los subndices 1, 2 y 3 hacen referencia a sus respectivos parntesis.


En el sistema anterior podemos hacer los despejes ()2 = ()1 y ()3 = ()1,por lo cual concluimos que

()2 = ()3 = f () , (3.14)

donde f () es una funcin desconocida de . Entonces resulta que

()1 = f () .Por lo tanto tendremos que 2b2 + b0 = f y 2a2 + a0 + = f , de donde

b0 = f 2b2 + , (3.15)a0 = f 2a2 . (3.16)

As que sustituyendo las ecuaciones (3.15) y (3.16) en cualquiera de las ecua-ciones del sistema (3.12) y (3.13), y usando la relacin (3.14), obtendremosa2 + 2ab+ b2 +

2f 4a2 2+ f 2b2 + + 2

1+ f = 0, de donde

3a2 + 2ab b2 + = 4f , por lo que

f =3

4a2 1

2ab+

1

4b2

4. (3.17)

Mas sustituyendo (3.17) en (3.15) y (3.16), llegamos al sistema:

a0 = 54a2 1

2ab+

1

4b2 5

4,

b0 =3

4a2 1

2ab 7

4b2 +

3

4;

el cual podemos reexpresarlo como el siguiente sistema simplicado de ecua-ciones diferenciales:

a0 =14a2 1

2ab 3

4b2 1

4

a2 b2 + , (3.18)

b0 =14a2 1

2ab 3

4b2 1

4

+a2 b2 + ; (3.19)

del que podemos garantizar que todas las soluciones que obtengamos sern e-xactamente todas las soluciones del sistema original de la tabla 24, ya que comohemos llegado al sistema (3.18) y (3.19) por simples despejes algebraicos vlidosreversibles, no hay prdidas de soluciones ni aadidura de soluciones extraasen dicho sistema con respecto al sistema de la tabla 24.Ahora, para encontrar una solucin al sistema anterior, propondremos que

a a0 y b b0 son constantes, con lo que a0 = b0 = 0, originndose el siguientenuevo sistema:

14a20

1

2a0b0 3

4b20

1

4

10 a20 b20 + 20 = 0, (3.20)

14a20

1

2a0b0 3

4b20

1

4

10+a20 b20 +

20 = 0, (3.21)


donde los subndices 10 y 20 hacen referencia a sus respectivas llaves; este sistemaya no ser un sistema de ecuaciones diferenciales, sino simplemente un sistemade ecuaciones algebraicas. En dicho sistema no es difcil ver que ()20 = 0, por loque tambin ()10 = 0, originndose de esa manera el nuevo sistema:

a20 b20 + = 0, (3.22)1

4a20 +

1

2a0b0 +

3

4b20 +

1

4 = 0; (3.23)

que es el sistema que verdaderamente se resolver.Para resolver el sistema (3.22) y (3.23) primero despejaremos a0 en (3.22),

obteniendoa0 =

qb20 . (3.24)

Luego, sustituyendo (3.24) en (3.23) tendremos

1

4

b20

12b0

qb20 +

3

4b20 +

1

4 = 0,

de donde, haciendo lgebra llegaremos a

2b20 = b0qb20 ,

por lo que4b40 = b

20

b20

,

i.e.b203b20 +

= 0. (3.25)

De la ecuacin (3.25) se desprenden varias posibilidades, que analizaremosa continuacin:

a) Si = 0 (universo plano), entonces tendremos que 3b40 = 0, por lo que b0 = 0y a = 0 (por (3.24)), la cual es una solucin trivial.

b) Si = +1 (universo elptico), entonces se tendr que b203b20 + 1

= 0, de

donde:

1. Si b20 = 0, entonces b0 = 0 y a0 = i (por (3.24)), resultando ser unasolucin imaginaria que por lo tanto desecharemos.

2. Si3b20 + 1

= 0, entonces b0 =

q 13 = 1p3 i, que es una solucin

imaginaria y por lo tanto eliminada.

c) Si = 1 (universo hiperblico), entonces tenemos que b203b20 1

= 0,

por lo que:

1. Si b20 = 0, entonces b0 = 0 y a0 = 1, la cual es una solucin trivial.2. Si

3b20 1

= 0, entonces b0 = 1p3 y a0 = 2p3 2p3 , siendo sta

la nica solucin interesante.


Ahora, las soluciones encontradas en c)-2 se sustituirn en el sistema (3.22)y (3.23) para descartar posibles soluciones extraas. As que sustituyendob0 = 1p3 y a0 = 2p3 , con = 1, tenemos:

4

3

1

3

1 = 0,0 = 0,

y

1

44

3

+1

22

3

+3

41

3

+1

4(1) = 0,

+1

3+1

3+1

4 14

= 0,

2

3= 0;

lo cual es una contradiccin i.e. las dos parejas de soluciones

(a0; b0) = 2p

3; 1p

3

se descartan al ser soluciones extraas. Y ahora, susti-

tuyendo las otras dos parejas, b0 = 1p3 y a0 = 2p3 , en el sistema (3.22) y(3.23), encontramos lo siguiente:

4

3

1

3

1 = 0,0 = 0,

y

1

44

3

122

3

+3

41

3

+1

4(1) = 0,

+1

3 13+1

4 14

= 0,

0 = 0;

por lo cual las dos parejas (a0; b0) = 2p

3; 1p

3

s son soluciones verdaderas.

A continuacin resumiremos los resultados del anlisis anterior, para la ob-tencin de soluciones al sistema (3.22) y (3.23),en la siguiente tabla.

a) = 0! fb0 = 0, a0 = 0. Solucin trivial.b) = +1!

1. b0 = 0, a0 2 Im . Solucin invlida.2. b0 2 Im . Solucin invlida

c) = 1!1. b0 = 0, a0 = 1. Solucin trivial.2. b0= 1p3 , a0= 2p3 . ***Solucin interesante.***

Tabla 25

En conclusin, de la tabla 25 podemos decir que la nica solucin real notrivial que hemos encontrado para el sistema de la tabla 24 con = 1 (caso


hiperblico) es

a = 2p3y b = 1p

3, (3.26)

es decir, la solucin c2.Por lo tanto, debido a la reduccin de orden (3.1) y a las igualdades

b = b1 = b2, tenemos que

= 2p3 + C1, (3.27)

1 = 1p3 + C2, (3.28)

2 = 1p3 + C3; (3.29)

expresiones que deben ser soluciones al sistema de la tabla 22 para = 1,lo cual es cierto, ya que sutituir esas expresiones en dicho sistema equivale asustituir las soluciones (3.26) en el sistema de la tabla 24 (debido a (3.1) y alas igualdades b = b1 = b2), lo que signica sustituir (2.28) en el sistema (3.18)y (3.19), lo que es lo mismo que sustituir (3.26) en el sistema (3.22) y (3.23),lo cual acabamos de hacer al descartar las soluciones extraas, comprobndosesu validez. As pues, las soluciones a las ecuaciones 2, 3 y 4 de la tabla 21( = 1) sern las ecuaciones (3.27)-(3.29), y sustituyendo dichas soluciones enla ecuacin 1 de esa tabla obtendremos24 3 2p32 + 3 2p3 1p3

+3 2p

3

1p

3

+ 1p

3

1p

3

+ 3 (1)

35 e2 2p3+C1 = 6d,por lo que

6d =1

83

e

4p

32C1

,

es decir

6d = C4e 4p

3, C4 > 0, (3.30)

pues C4 = 83e2C1 > 0.

As que nalmente, retomando las soluciones (3.27)-(3.30) al sistema de ecua-ciones algebraico-diferenciales planteado en la tabla 21, concluimos que una solu-cin particular 6-D no vaca a las ecuaciones de Einstein de esa tabla, derivadasde la mtrica 6-dimensional

dI2 = e2d2 d2 f2 d2 + sin2 () d'2 e21dx21 e22dx22


(ver la denicin (1.16) para f), es, en el caso hiperblico (f = sinh, = 1):

= 2p3 + C1 , (3.31)

1 = 1p3 + C2 , (3.32)

2 = 1p3 + C3 , (3.33)

6d = C4 e4p3, C4 > 0 . (3.34)

De la ecuacin (3.34) se observa que la densidad de materia 6-dimensional6d es negativa. De acuerdo con [7, 16, 18] hay dos mtodos escenciales parainterpretar fsicamente los campos escalares 1 y 2. En especial nos referimos alsegundo mtodo, en el cual el campo escalar se maniesta en formas conocidas(no geomtricas) de materia, y en este contexto, en los procesos de creaciny aniquilamiento de materia. Sin embargo, esto ltimo no es aqu analizadoy por ende esta solucin no es fsicamente aceptable. nicamente el factor deescala coincide en este caso con los modelos de Friedmann, donde crece con eltranscurso del tiempo; sin embargo diere en la forma de la tendencia, ya queen nuestro caso la tendencia es lineal, en cambio en el modelo de Friedmann eslogartmica.A continuacin mostramos un grco del comportamiento de las soluciones

(3.31)-(3.34) a travs del tiempo :

, ,

donde hemos tomado las soluciones superiores y hemos hecho C1 = 0, C2;3 = 10y C4 = 1.

Apndice A

Demostracin de algunosresultados usados en elartculo.

A.1. Demostracin de las identidades trigonomtri-cas hiperblicas e2x 1 = 2 sinh (x) ex y e2x +1 = 2 cosh (x) ex.

Proposicin Justicacin

1. sinhx = exex2 Por denicin.

2. coshx = ex+ex2 "

3. sinh (x) + cosh (x) = ex Sumando 1 y 2.

4. e2x = sinh2 (x) + 2 sinh (x) cosh (x) + cosh2 (x) Elevando al cuadrado 3.

5. cosh2 (x) sinh2 (x) = 1 Identidad trigonomtrica.

6.e2x 1 =

8>>>:24 sinh2 (x)+2 sinh (x) cosh (x)

+ cosh2 (x)

35 cosh2 (x) sinh2 (x)

9>>=>>;= 2 sinh (x) [sinh (x) + cosh (x)]

= 2 sinh (x) ex

Restando 45 ysustituyendo 3 al nal.

51

52 APNDICE A. DEMOSTRACIN DE ALGUNOS RESULTADOS.

7.e2x + 1 =

8>>>:24 sinh2 (x)+2 sinh (x) cosh (x)

+ cosh2 (x)

35+cosh2 (x) sinh2 (x)

9>>=>>;= 2 cosh (x) [sinh (x) + cosh (x)]

= 2 cosh (x) ex

Sumando 4 y 5 ysustituyendo 3 al nal.

Y 6 y 7 es lo que queramos demostrar.

A.2. Obtencin de algunos resultados de la sec-cin 2.1 con ayuda del software Mathema-tica 7.0.

*Nota: Todos los clculos hechos en esta seccin se localizan en elarchivo Solucin Ecs. de Einstein en vaco b.nb.

A.2.1. Obtencin de la integral (2.35).

En (2.35) tenemos la ecuacin

Zdii

= Z 8

A.2. OBTENCIN DE RESULTADOS CON MATHEMATICA. 53

es decir, para las funciones superior e inferior tenemos que

Z

2 sinh ln tan ()2 cosh

2 arctanh

e2

d = ln jcos j ln jsin j2 ln 2 1 + e4

+cte

=

ln jsin () cos ()j2 ln 2 1 + e4

+cte

=

ln 12 sin (2)2 ln 2 1 + e4

+000i ,

donde hemos considerado el caso ms general, con valor absoluto en los argu-mentos de los logaritmos, y, 000i cte.

A.2.2. Simplicacin de la llave fgS= en la frmula (2.38).

En la frmula (2.38) tenemos la expresin

8


la cual podemos simplicar con ayuda de Mathematica, para as obtener

A.2. OBTENCIN DE RESULTADOS CON MATHEMATICA. 55

,

donde hemos considerado para las grcas los intervalos de denicin de dadosen (2.34); es decir, podemos concluir que

8


A.2.3. Integracin de la frmula (2.33).

Integrando la frmula (2.33) con ayuda de Mathematica obtenemos

A.3. OBTENCIN DE UNA RELACIN ALTERNATIVA C2 = C2 (). 57

,

es decir, tenemos que la integral es igual a

8>>>>>:2

q3

2C+1 ln j2 cos j+ 2q

32C+1 ln j2 sin j+ 12 ln jsin (2)j

12 2

q3

2C+1

ln jj

2q

32C+1 14

ln1+e2 ln 1+e2+ 12 ln 2 1+e4

9>>>=>>>;+a000 ,

donde hemos considerado el caso general con valor absoluto en el argumentode los logaritmos. Y la expresin anterior evidentemente equivale a la frmula(2.41).

A.3. Obtencin de una relacin alternativa C2 =C2 () con ayuda del software Mathematica7.0.

Con ayuda de Mathematica vemos, en el archivo: Relacin C K-P y alfaP-V.nb; que dos soluciones a la ecuacin (2.68)


(2 = 1p ) son

,

es decir, una solucin es la conocida ecuacin (2.65) (C = 2+1

(+1)2), pero una

solucin alternativa es la ecuacin C2 = 92+12+13(31)2 .

Conclusiones.

En el captulo 1 de este trabajo se parti de la mtrica 7-dimensionaldI2=e2

e2d2d2f2 d2+sin2 () d'2e21dx21e22dx22e23dx23,

donde la funcin f , como ya es conocido, puede tomar tres formas diferentesdependiendo de la seccin espacial de la geometra analizada; a saber,

f =

8

60 CONCLUSIONES.

dimensin en [16]. Con esto fue posible establecer las ecuaciones de Einsteincon densidad de materia 6-dimensional, donde todas las componentes GAAestaran igualadas a cero, excepto la componente G00, siendo G00 = 6d. Unavez establecidas dichas ecuaciones, se encontraron dos soluciones particularespara ellas, una para un universo plano y la otra para un universo hiperblico.Se espera que los resultados aqu mostrados sean un caso particular de una

solucin ms general 6-dimensional con la cual pudiera ser posible, en principio,describir propiedades de nuevas formas de materia, como la materia obscura yotras.

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cosmología n-dimensional de tipo kaluza-klein en el vacío

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