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Un Estudio de los conceptos de probabilidad

Capitulo 5

2Metas

Definir probabilidad.

Describir los enfoques clsicos, emprico y subjetivo de la probabilidad.

Explicar los trminos experimento, evento, resultados, permutaciones y combinaciones.

Definir los terminos probabilidad condicional y probabilidad conjunta.

Calcular probabilidades usando las reglas de adicion y de multiplicacion.

Aplicar el diagrama de arbol para organizar y calcular probabilidades.

Calcular probabilidades usando el teorema de Bayes.

3Definiciones

Una probabilidad es una medida de la

posibilidad de que un evento suceda en el

futuro. Esta puede asumir valores solamente

entre 0 y1.

Un valor cerca de 0 indica que no es probable

que el evento ocurra. Un valor cerca de 1 que

es muy probable.

Hay tres formas de asignar probabilidades:

clasica,

empirica, y

subjectiva.

4Ejemplo de probabilidades

5Definiciones continuacin

Un experimento es la observacin

de alguna actividad o el acto de

tomar alguna medida.

Un resultado es un resultado

particular del experimento.

Un evento es el conjunto de uno o

mas resultados de un experimento.

6Experimento, evento y resultados

7Asignando probabilidades

Tres enfoques para asignar

probabilidades

Clasico

Empirico

Subjetivo

8Probabilidad clasica

Considere el experimento de lanzar un dado. cual es la probabilidad del evento cae un numero par de puntos?

Los posibles resultados son:

Hay tres resultados favorables (un 2, un 4 y un 6) en el conjunto de 6 resultados igualmente posibles.

9Eventos mutuamente excluyentes

Los eventos son mutuamente

excluyentes si la ocurrencia de

cualquier evento implica que ninguno

de los otros puede ocurrir al mismo

tiempo.

Los eventos son independientes si la

ocurrencia de un evento no afecta la

ocurrencia de otro.

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Eventos colectivamente exhaustivos

Los eventos son colectivamente

exhaustivos si al menos uno de los

eventos tiene que ocurrir cuando

se lleva a cabo un experimento.

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Probabilida empirica

El enfoque emprico de la probabilidad se basa en lo que se llama la ley de los grandes nmeros. La clave para establecer empricamente las probabilidades es que ms observaciones proporcionar una estimacin ms precisa de la probabilidad.

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Ley de numeros grandes

Supongamos que lanzamos una moneda al aire. El resultado de cada lanzamiento es o una cara o una cruz. Si tiramos la moneda un gran nmero de veces, la probabilidad del resultado de las caras se acercar a 0,5. La siguiente tabla muestra los resultados de un experimento en el lanzamiento de una moneda 1, 10, 50, 100, 500, 1.000 y 10.000 veces y luego calcular la frecuencia relativa de caras

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Probabilidad empirica - ejm

El 1 de febrero de 2003, el transbordador espacial Columbia explot. Este fue el segundo desastre en las 113 misiones espaciales de la NASA. Sobre la base de esta informacin, cul es la probabilidad de que una futura misin se complete exitosamente?

98.0113

111

flights ofnumber Total

flights successful ofNumber flight successful a ofy Probabilit

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Probabilidad subjetiva - ejm

Si nay muy poca o ninguna experiencia o informacion sobre la cual basar la probabilidad, esta puede ser obtenida de forma subjetiva.

Algnas ilustraciones de probabilidad subjetiva son:1. Estimacion de la probabilidad de que los New England Patriots

jueguen el Super Bowl el proximo ao.

2. Estimar la posibilidad de que ustedes se casen antes de los 30

3. Estimar la posibilidad de que el deficit presupuestario de los USA se reducira en la mitad durante los proximos 10 aops

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Resumen de los tipos de probabilidad

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Reglas para calcular probabilidades

Reglas de adicion

Regla especial de adicion si dos eventos, A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de ocurrencia de uno u otro evento es igual a la suma de sus probabilidades.

P(A o B) = P(A) + P(B)

La regla general de adicion- si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) esta dado por:

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

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Regla de adicion - ejemplo

Cul es la probabilidad de que una carta

elegida al azar de una baraja de cartas

estndar ser o bien un rey o un corazn?

P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)

= 4/52 + 13/52 - 1/52

= 16/52, or .3077

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La regla del complemento

La regla del complemento es

usada para determinar la

probabilidad de la ocurrencia de

un evento restando la

probabilidad de que el evento

no ocurra de 1.

P(A) + P(~A) = 1

or P(A) = 1 - P(~A).

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Probabilidad conjunta Diagrama de Venn

Probabilidad conjunta Una probabilidad que

mide la posibilidad de que dos o mas

eventos ocurran simultaneamente.

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Regla especial de la multiplicacin

la regla especial de la multiplicacin

requiere que dos eventos A y B sean

independientes.

Dos eventos A y B son independientes si la

ocurrencia de uno no tiene ningn efecto

sobre la probabilidad de la ocurrencia del

otro.

La regla se escribe: P(A y B) = P(A)P(B)

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Regla de la multiplicacin - ejm

Una encuesta realizada por la American Automobile Association (AAA), revel que un 60 por ciento de sus miembros hicieron reservas de avin el ao pasado. Dos miembros son seleccionados al azar. Cul es la probabilidad de los dos hayan reservado vuelos ao pasado?

Solucin:

The probability the first member made an airline reservation last year is .60, written as P(R1) = .60

The probability that the second member selected made a reservation is also .60, so P(R2) = .60.

Since the number of AAA members is very large, you may assume that

R1 and R2 are independent.

P(R1 and R2) = P(R1)P(R2) = (.60)(.60) = .36

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Probabilidad condicional

Una probabilidad condicional es la

probabilidad de que un evento

particular ocurra, dado que otro

evento ha ocurrido.

La probabilidad de un evento A dado

que el evento B ha ocurrido se

escribe como P(A|B).

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Regla general de la multiplicacin

La regla general de la multiplicacin es usada para encontrar

la probabilidad conjunta de dos eventos ocurran.

Use la regla general de la multiplicacin para encontrar la

probabilidad conjunta de dos eventos cuando los eventos

no son independientes.

Se establece que para los dos eventos, A y B, la probabilidad

conjunta de que ambos eventos sucedan se encuentra

multiplicando la probabilidad de que el evento A ocurra por

la probabilidad condicional del evento B ocurra dado que A

ha ocurrido.

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Regla general de la multiplicacin - ejm

Un jugador de golf tiene 12 camisas de golf en su

armario. Supongamos que 9 de estas camisetas

son de color blanco y las dems azules. l se viste

en la oscuridad, por lo que slo agarra una camisa

y se lo pone. l juega al golf dos das seguidos y

no lava la ropa.

cual es la probabilidad de que ambas camisas

seleccionadas sean blancas?

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El evento de que la primera camisa seleccionada sea

blanca es W1. la probabilidad es P(W1) = 9/12

El evento de que la segunda camisa seleccionada sea

tembien blanca se identifica como W2. la probabilidad

condicional de que la segunda camisa es blanca, dado

que la primera camisa seleccionada es tambien

blanca, es P(W2 | W1) = 8/11.

Para determinar la probabilidad de que dos camisas

blancas sean seleccionadas, usamos la formula: P(AB)

= P(A) P(B|A)

P(W1 and W2) = P(W1)P(W2 |W1) = (9/12)(8/11) = 0.55

Regla general de la multiplicacin - ejm

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Tablas de contingencia

Una TABLA DE CONTINGENCIA es una tabla usada para clasificar observaciones muestrales de acuerdo a dos o mas caracteristicas identificables

Ejm. Una encuesta realizada a 150 adultos clasific a cada uno por el gnero y el nmero de pelculas que asistieron el mes pasado. A cada entrevistado se le clasifica de acuerdo a dos criterios: el nmero de pelculas que asistieron y el gnero.

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Tablas de contingencia - ejm

Una muestra de ejecutivos fueron entrevistados sobre su lealtad a su empresa. Una de las preguntas fue: "Si se le diera una oferta de otra empresa con una posicion igual o ligeramente mejor que su posicin actual, podra permanecer con la compaa o tomar la otra posicin?" Las respuestas de los 200 ejecutivos en la encuesta fueron cruzadas y clasificados con su antigedad en el servicio con la empresa

Cul es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente a un ejecutivo que es leal a la empresa (se mantendra) y que cuenta con ms de 10 aos de servicio?

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Evento A1 pasa si un ejecutivo de seleccionados al azar se mantendr con la empresa a pesar de una oferta igual o ligeramente mejor de otra compaa. Puesto que hay 120 ejecutivos de la 200 en la encuesta que se mantendra con la empresa

P(A1) = 120/200, or .60.

Evento B4 pasa si un ejecutivo seleccionado al azar tiene ms de 10 aos de servicio con la empresa. Por lo tanto, P (B4 | A1) es la probabilidad condicional de que un ejecutivo con ms de 10 aos de servicio se mantendra con la empresa. De los 120 ejecutivos que se quedan 75 aos tienen ms de 10 aos de servicio, por lo que P(B4| A1) = 75/120.

Tablas de contingencia - ejm

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Diagramas de rbol

Un Diagrama de rbol es til para representar las

probabilidades condicionales y conjuntas. Es

particularmente til para analizar las decisiones de

negocios en varias fases.

Un diagrama de rbol es una grfica que es de gran

ayuda en la organizacin de los clculos que

implican varias etapas. Cada segmento en el rbol

es una etapa del problema. Las ramas de un

diagrama de rbol son ponderadas por las

probabilidades.

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Diagramas de rbol

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Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es un metodo

para revisar probabilidades dada

informacion adicional.

Es calculado usando la siguiente

formula:

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Teorema de Bayes - ejm

Una fabrica de reproductores de DVD compra un microchip en particular,

denominado LS-24, a tres proveedores: Hall Electronics, Schuller Sales y

Crawford Components. Treinta por ciento de los chips LS-24 se le compran a

Hall Electronics, 20% a Schuller Sales y el restante 50% a Crawfored

Components. El fabricante cuenta con amplios historiales sobre los tres

proveedores y saqbe que 3% de los chips LS-24 de Hall Electronics tiene

defectos, 5% de los chips de Schuller Sales tiene defectos y 4% de los chips que

se compran a Crawford Components tiene defectos.

Cuando los Chips LS-24 le llegan al fabricante, se les coloca directamente en

un deposito y no se inspeccionan ni se identifican con el nombre del proveedor.

Un trabajador selecciona un chip para instalarlo en un reproductor de DVD y

lo encuentra defectuoso, Cul es la probabilidad de que lo haya fabricado

Schuller Sales?

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Teorema de Bayes - ejm

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Teorema de Bayes - ejm

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Teorema de Bayes - ejm

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Teorema de Bayes - ejm

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Teorema de Bayes - ejm

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Reglas de conteo - multiplicacin

La frmula de multiplicacin indica

que si hay maneras m de hacer

una cosa y n formas de hacer otra

cosa, entonces hay mxn maneras

de hacer las dos cosas.

Ejemplo: Dr. Delong tiene 10 camisas y 8

corbatas. cuantos atuendos de

corbata y camisa tiene?

(10)(8) = 80

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Un concesionario de automviles desea anunciar que por 29.999 dlares se puede comprar un convertible, un sedn de dos puertas, o un modelo de cuatro puertas, y ud puede escoger tapacubos solidos o de alambre. Cuntos arreglos diferentes de los modelos y las cubiertas de las ruedas puede ofrecer el vendedor?

Reglas de conteo - multiplicacin: Ejm

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Reglas de conteo - multiplicacin: Ejm

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Reglas de Conteo - Permutacin

Una permutacin es cualquier arreglo

de r objetos seleccionados de n objetos

posibles. El orden de arreglo es

importante en permutaciones.

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Conteo - Combinacin

Una combinacin es el nmero

de formas de elegir r objetos de un

grupo de n objetos sin tomar en

cuenta el orden.

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Combinacin - ejm

Hay 12 jugadores en el equipo de basquet del

Carolina Forest High School. El entrenador

Thompson tiene que escoger 5 jugadores

entre los 12 del equitpo para completar el

equipo abridor. cuantos grupos son

posibles?

792)!512(!5

!12512

C

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Permutacin - ejm

Supongamos que, adems de seleccionar el

grupo, tambin debe clasificar a cada uno de

los jugadores de la alineacin inicial de

acuerdo a su habilidad.

040,95)!512(

!12512

P

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End of Chapter 5