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COMBINANDO FUNCIONESCOMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICIÓN

UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

A.PR.11.3.2J. Pomales octubre

2013Naguabo PR Curso: Funciones y

Modelos

INTRODUCCIÓN

•En el tema pasado realizamos combinaciones de funciones a través de la suma, resta, multiplicación y división.

•Hoy, trabajaremos con una quinta combinación llamada composición. Se realizarán en: expresiones algebraicas, tablas y gráficas.

•Luego definiremos y haremos ejercicios de su operación contraria: descomposición.

COMPOSICIÓNDE FUNCIONES

¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•De forma sencilla, la composición de funciones es colocar una función dentro de otra y simplificarla.

•Al igual que con las operaciones básicas, al hacer la composición de funciones (concatenación) generamos una nueva función.

¿QUÉ ES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•Se denota: (f o g)(x) = f [g(x)]•Se lee: “ g compuesta con f ”

•A g se le llama la función interior, o primera función y a f la función exterior, o segunda función en la composición.

CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

•Cuando se escribe f o g entendemos que g es la primera función que actúa en la cadena, a pesar de que se escribe a la derecha después de f

CARACTERÍSTICAS DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•No necesariamente todos los elementos del dominio de g estarán en el dominio de f o g•La operación de componer funciones no es conmutativa, es decir que en general:

f o g ≠ g o f(aunque puede haber excepciones)


CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

HALLA LAS SIGUIENTES

COMPOSICIONES

Si y halla: g f o1xf(x) 22xg(x)

12

1)(2

)(

)]([ ))( (

2

2

2

o

x

x

xf

xgfxgfSOLUCIÓN

Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:

12

1) (2

)( 12)(

2

2

x

xxgxxf 2x

SOLUCIÓNComo ya calculamos la composición

ahora sustituimos el valor que está entre paréntesis y resolvemos.


COMPOSICIONES

)1)(( gf o1xf(x) 2

2xg(x)

12 2 xxgfxgf )]([ ))( ( o

31

12

1)1(2

1)1(21 2

))( (

))( (

o

o

gf

gf

Si y halla:


COMPOSICIONES

f g o1xf(x) 22xg(x)

144

)12(

)12(

2

2

xx

x

xg

)]([ ))( ( o xfgxfg SOLUCIÓN

Lo que hicimos fue colocar una función dentro de la otra y simplificar:

144

) (

12)( )(

2

2

2

xx

xxfxxg 12 x

Si y halla:

SOLUCIÓNComo ya calculamos la composición

ahora sustituimos el valor que está entre paréntesis y resolvemos.


COMPOSICIONES

)2)(( fg o

1xf(x) 22xg(x)

144 2 xxxfgxfg )]([ ))( ( o

9)2)( (

716

18)4(4

1)2(4)2(4 )2)( (

o

2o

fg

fg

Si y halla:


CON TABLAS DE VALORES

CREA LA TABLA DE VALORES DE LA SIGUIENTE COMPOSICIÓN

•Halla f g o

x f(x)

1 -3

2 2

3 4

4 6

5 0

6 1

7 -9

x g(x)

2 10

0 3

4 4

-9 -6

1 0

-3 2

6 -5

x (g o f)(x)

Asegúrate de comenzar por la primera función que en este caso es f (x)


•Halla f g o

x f(x)

1 -3

2 2

3 4

4 6

5 0

6 1

7 -9

x g(x)

2 10

0 3

4 4

-9 -6

1 0

-3 2

6 -5

x (g o f)(x)

1 2

CUIDADO: No siempre el dominio de la nueva función será el mismo que el dominio

de la función original.


•Halla f g o

x f(x)

1 -3

2 2

3 4

4 6

5 0

6 1

7 -9

x g(x)

2 10

0 3

4 4

-9 -6

1 0

-3 2

6 -5

x (g o f)(x)

1 2

2 10

3 4

4 -5

5 3

6 0

7 -6

CUIDADO: No siempre el dominio de la nueva función será el mismo que el dominio

de la función original.

COMPOSICIÓNDE FUNCIONESCON GRÁFICAS

1. Siempre que trabajemos con la composición de funciones en gráficas debemos mirar la gráfica correspondiente a la primera función que se mencione.

2. Si las gráficas originales son lineales su composición será otra función lineal.

Detalles importantes

3. Para construir una gráfica lineal necesitaremos por lo menos dos pares ordenados.

4. Si las gráficas originales en la composición no son lineales debemos conseguir entre 6 a 8 pares ordenados para construir esta gráfica. Mientras más pares ordenados utilices mejor.

Detalles importantes

DIBUJA LA GRÁFICA DE LA SIGUIENTE

COMPOSICIÓNHalla (m o h)(x)

h(x) m(x)

Dato: La composición de dos funciones lineales siempre será otra lineal.

Cuando no se conoce qué tipo de gráfica será la composición entonces necesitas encadenar muchas parejas de puntos.

2.5

1.6

-5 -2 -2 2.5-2 1 1 1.6

El valor del recorrido lo uso como dominio en la otra función

Asegúrate de comenzar por la primera función


COMPOSICIÓN

•Halla (m o h)(x)(m o h)(x)

-5 -2 -2 2.5-2 1 1 1.6

Como sabemos que de dos funciones lineales obtenemos la

composición de otra función lineal, sólo necesitamos dos

puntos para la construcción de la nueva función.

¿Sabes cuáles son estos puntos?


COMPOSICIÓN

•Halla (m o h)(x)(m o h)(x)

-5 -2 -2 2.5-2 1 1 1.6

Utilizo el valor del dominio de la primera función junto al

valor del rango de la segunda función

2.51.6

-5 2.5-2 1.6

¡Y listo!¿Por qué sólo se utilizaron 2 puntos para construir la nueva gráfica?

DESCOMPOSICIÓNDE FUNCIONES

¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•Es identificar cuáles funciones se componen para formar otra.

•Es el proceso opuesto a componer funciones.

•Este proceso se estudiará más a fondo en los cursos de Cálculo.

¿QUÉ ES DESCOMPOSICIÓN DE FUNCIONES?

•La descomposición de una función cualquiera no es única, puede incluir dos o más funciones.

•Es necesario que se establezca el orden en que se deben componer las funciones para obtener la función original.

EJEMPLOSDE DESCOMPOSICIÓN

DE FUNCIONES

DESCOMPONER h(x) EN 2 FUNCIONES

•Recuerda mencionar el orden en que se debe componer la función y comprueba su resultado:

23)()1 x xh

(x)f) o (gh(x) seríaorden El

23)( x (x)fy xxg

COMPROBACIÓN:

23

)23(

)]([))((

x

xg

xfgxf o g

OTRA SOLUCIÓN PODRÍA SER:

323)( x (x)fy xxg

23

33

)(3

)(

)]([))(f (

32

32

32

x

x

x

xg

xfgxog

¿Qué ocurre si cambias el orden?No se genera la función original h(x), a

menos que intercambies el nombre de las funciones en la solución.

REFERENCIAS

• PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas

• PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

PARA DUDAS O PREGUNTAS

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