compensacion de figuras

7/24/2019 Compensacion de Figuras

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TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA

1. GENERALIDADES.Para efectuar el levantamiento de grandes extensiones deterreno, la técnica que por su propia naturaleza ofrece lasmejores ventajas, es la técnica de la TRIANG!A"I#N, métodomediante el cual es posi$le llevar el control % apo%o de todo ellevantamiento planimétrico, no solamente de grandesextensiones, sino tam$ién de los terrenos de mediana extensi&n% en donde la poligonaci&n resultar'a antiecon&mica %a sea por lo

accidentado del terreno como por la existencia de o$st(culos quedi)cultar'an la medici&n de los lados de la red u otro factor que*ar'a casi impractica$le las poligonaciones+Para formar una poligonaci&n es necesario unirconvenientemente dos o m(s tri(ngulos % en la que uno o m(slados son lados comunes de los tri(ngulos ad%acentes,logr(ndose )guras que no necesariamente *an de ser tri(ngulos,sino tam$ién cuadril(teros, pol'gonos con puntos centrales oredes conformadas por tales )guras+-n toda triangulaci&n $asta con medir uno de los lados de la)gura .$ase de la triangulaci&n/, calcul(ndose el resto de ellos,

por relaci&n trigonométrica siempre % cuando se conozcan los(ngulos que forman cada tri(ngulo+ "uando la precisi&n poralcanzar de$e ser considera$le se tomar( una $ase decompro$aci&n con el de determinar la $ondad de la red+!os conceptos que seguidamente se presentan, se re)erenprincipalmente a las triangulaciones del tipo topogr()co auncuando existen conceptos mu% comunes con las triangulacionesdel tipo geodésico+

DEFINICION. Toda triangulaci&n, es la red de apo%o de levantamientoplanimetrito que se encuentra formada por una serie detri(ngulos en los cuales uno o m(s lados de cada tri(ngulo, lo sontam$ién de tri(ngulos ad%acentes+

TRIANGULACION TOPOGRAFICA.-s toda triangulaci&n en la que no se tiene en cuenta el efecto dela curvatura terrestre, tanto en la medici&n de lados como en lamedici&n de los (ngulos+0e modo general el alcance de los levantamientos por medio delas triangulaciones topogr()cas, puede llegar a unos 122 o m(s

3il&metros cuadrados de extensi&n4 siempre % cuando se lleve unadecuado control de la precisi&n requerida+



PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION TOPOGRAFICA.!a conveniencia de una triangulaci&n como red de apo%o delevantamiento de$e estimarse teniendo en consideraci&n lossiguientes aspectos

5 !a triangulaci&n es conveniente en terrenos de gran extensi&n+5 !a triangulaci&n resulta ventajosa ante la poligonaci&n,principalmente en regiones accidentadas % monta6osas, %a quede otro lado, la medici&n directa de lados ser'a lenta, con seriasdi)cultades % antiecon&mica+5 !a triangulaci&n en toda extensi&n de terreno en donde lanaturaleza de su topograf'a o la existencia de factores diversos*agan imposi$le o di)culten la técnica de la poligonaci&n4 talcomo es el tr()co de ve*'culos en las ciudades o en terrenostales como cauces de r'os, lagunas, orillas de los mares endonde su propia naturaleza di)culta tremendamente la medici&nde los lados+

2. COMPENSACIÓN DE FIGURAS DE UNATRIANGULACIÓNAntes de procederse al c(lculo de los lados de la red, los (ngulosde$en ser compensados por ecuaciones de condicionesgeométricas % trigonométricas % que son propias del tipo de)gura que forman toda compensaci&n se realiza a los valores de

los (ngulos compensados por ecuaci&n de vértice siempre %cuando los errores en cada triangulo, sean menores a losm(ximo admisi$les+

METODO DE COMPENSACION DE LOS ANGULOS DE LASFIGURAS DE UNA TRIANGULACION-ntre los métodos se tiene7étodo aproximado o método de aproximaciones sucesivas+7étodo de los m'nimos cuadrados0e los dos métodos, estudiaremos con detalle el de lasaproximaciones sucesivas % que es el que se emplea para lastriangulaciones topogr()cas, el método de los m'nimoscuadrados se emplea con m(s propiedad para las triangulacionesgeodésicas .89 % :9 orden/+

2.1. METODO APROXIMADO DE COMPESACION-s el método m(s empleado para la compensaci&n detriangulaciones topogr()cas . ;9 % 19 orden /, %a que por susencillez no requiere de muc*o c(lculos+ na de las ventajas essu rapidez de c(lculo, as' como que los valores de los resultadosdan la precisi&n deseada para este tipo de triangulaciones sin

entrar en métodos de compensaci&n mu% re)nados+



!os principios en los que se $asa son895 0e modo general, las correcciones de$en ser de signocontrario al error:95 !as correcciones parciales por aplicar a los valores de los(ngulos que intervienen en una determinada ecuaci&n, se logra

por un reparto equitativo de la correcci&n total+;95 Toda correcci&n que se ejecute de$er( realizarse sindesequili$rar las compensaciones ejecutadas anteriormente+195 !a correcci&n de los (ngulos por ecuaci&n de lado se realizaluego de *a$er compensado por ecuaciones de (ngulo+

Ejemplo<a$iéndose medido los (ngulos de la triangulaci&n de la =igura,si los (ngulos compensados por ecuaciones de vértice son losque se indican, ejecutar la compensaci&n de los (ngulos por elmétodo de las aproximaciones+ 0eterminar las coordenadas delas estaciones, azimut A> ? 82;9 :2@814 A> ? ;BC+B2; m+

Ánglo! "el #$"%&l'(e%o A ) C D.8/ ? 1B98:@82.:/ ? ;D9 B8@2E.;/ ? B89 [email protected]/ ? 1B9 B:@B2.B/ ? ;C9 8F@:8.C/ ? 1C9 [email protected]/ ? 1B9 B2@:2

.E/ ? 1F9 2C@:1

ngulos del pol'gono " 0 - = . G /.8/ ? ;;9 1;@BE.:/ ? ;C9 12@82.;/ ? 1F9 :;@2E.1/ ? 189 :[email protected]/ ? BB9 8D@;E.C/ ? BC9 22@2;.D/ ? 1:9 [email protected]/ ? 1B9 8B@:C

.18/ ? 82F9 ;B@BD

.1:/ ? EF9 2E@B2

.1;/ ? CE9 1:@2C

.11/ ? F:9 ;:@B8

ngulos del tri(ngulo - = <.8/ ? C:9 :D@8B.:/ ? BD9 ;8@1:.;/ ? C29 22@1E

Sol#&*n-l procedimiento de compensaci&n de un cuadril(tero por elmétodo de las aproximaciones es



Compen!$#&*n "e #$"%&l'(e%o A ) C D-l procedimiento de compensaci&n de un cuadril(tero por elmétodo de las aproximaciones es+

Compen!$#&*n po% e#$#&one! "e 'nglo+ !on (%e!+895 He compensan los (ngulos del cuadril(tero de modo que susuma de todos ellos de el valor ;C29+ !a compensaci&n total sereparte por igual entre los E (ngulos de la )gura, en caso de quela divisi&n no fuera exacta, se toma valores lo m(saproximadamente posi$le+:95 "on los valores compensados con el paso anterior, seencuentra la diferencia entre la suma de los (ngulos .8/ .:/ %.B/ .C/, dividiéndola luego entre 1, que ser( la correcci&n paracada uno de estos (ngulos, siendo positiva para aquellos cu%asuma fue de menor valor numérico % negativa para los (nguloscu%a suma fue ma%or+;95 "on los valores de los (ngulos .;/ , .1/ % .D/ , .E/ , se procedede manera similar al paso anterior+195 He calcula los valores de los (ngulos compensados porecuaciones de condici&n de (ngulo+

C$"%o "e #'l#lo p$%$ el ejemplo

.8/ ? 1B9 8:@2D .B/ ? ;C9 8F@8E 0iferencia ? :2 J 8: ? E.:/ ? ;D9 B8@2B .C/ ? 1C9 11@2:

E;9 2;@8: E;9 2;@:2 " II ? EK1 ? :

.;/ ? B89 21@2; .D/ ? 1D9 B2@8D 0iferencia ? B2 J ;E ?8:.1/ ? 1B9 B:@1D .E/ ? 1F9 2C@:8

FC9 BC@B2 FC9 BC@;E " III ? 8:K1 ? ;

Compen!$#&*n po% e#$#&*n "e l$"o+ Solo n$ e#$#&*n8L+5 "on los valores de los (ngulos compensados por lasecuaciones de (ngulo se calcula los valores de los !ogaritmos

Henos de los (ngulos, o$teniéndose luego de suma de ellos, deacuerdo a la condici&n de lado+

ANGULO VALORCOMPENSACION POR ECUACION DE ANGULO

C IAngulo

corregidoC II C III

Angulocompensado

1 45º 12`10” - 3” 45º 12`07” + 2” 45º 12`09”

2 37º 51`08” - 3” 37º 51`05” +2” 37º 51`07”

3 51º 04`06” - 3” 51º 04`03” - 3” 51º 04`00”

4 45º 52`50” - 3” 45º 52`47” - 3” 45º 52`44”

5 36º 19`21” - 3” 36º 19`18” - 2” 36º 19`16”

6 46º 44`05” - 3” 46º 44`02” - 2” 46º 44`00”

7 47º 50`20” - 3” 47º 50`17” + 3” 47º 50`20”

8 49º 06`24” - 3” 49º 06`21” + 3” 49º 06`24”

Sumas 3!" !!#$%& ' $%& 3!" !!(!!& !!& !!& 3!" !!#!!&



:L+5 He calcula la diferencia de valores en la suma anteriormenteencontrada+;9+5 Recalcula la suma de las diferencias ta$ulares en ellogaritmo seno 8 para los valores de los (ngulos+19+5 !a correcci&n se o$tiene por divisi&n del valor de la

diferencia de las sumas de longitud seno, entre el valor de ladiferencias ta$ulares4 siendo positiva para los (ngulos cu%a sumade logaritmos seno fue menor % siendo negativa para los (nguloscu%a suma de logaritmo fue ma%or+

"uadro de c(lculo para el ejemplo

ANGULOS

,ALORLOGARITMOS

SENOS D 1- C I,ANGULOSCOMENSA

DOS /

.8/1B98:@2F 58+EB8281 :+2E 8; 1B9 8:@::

.:/;D9B8@2D 58+DEDF2: :+D 5 8; ;D9 B2@B1

.;/B8921@22 58+EF2F88 8+D 8; B89 21@8;

.1/1B9B:@11 58+EBC21C :+2; 5 8; 1B9 B:@;8

.B/;C98F@8C 58+DD:B1F :+ED 8; ;C9 8F@:F

.C/1C911@22 58+EC::;1 8+FE 5 8; 1C9 1;@1D

.D/1D9B2@:2 58+ECFFD8 8+F 8; 1D9 B2@;;

.E/1F92C@:1 58+EDE1E8 8+E: 58; 1F9 2C@88

H7AH;C2922@22 58+;E111B 58+;E1CC; 8D+2E 2

;C2922@22

0iferencia en sumas !og Hen ? CC; J 11B ? :8E .unidades del C9orden decimal/C I, ? :8E K 8D+2E ? 8:+E , adoptaremos 10-, los que de$enser positivos en los (ngulos .8/, .;/ , .B/ , .D/ % negativos en los(ngulos .:/ , .1/ , .C/ , .E/+

Compen!$#&*n "el polgono C D E F G3+ C&n#o E#$#&one!+-l procedimiento de compensaci&n de un pol'gono con punto"entral es el siguiente89+5 He c*equea si los (ngulos en el punto central cumplen laecuaci&n de condici&n de vértice, de no ser ello, se compensa los(ngulos repartiendo la correcci&n total entre el nMmero de(ngulos en el punto central, valor que ser( la correcci&n porecuaci&n de vértice+

:9+5 "on los valores corregidos por el paso anterior % los valoreslos restantes (ngulos de cada uno de los tri(ngulos que



conforman el pol'gono, se determina el valor de la correcci&ntotal que corresponde aplicar en cada triangulo+;9+5 He procede a calcular la correcci&n para los (ngulos en elpunto central en su primer tanteo+ Para ello se divide lacorrecci&n total de cada triangulo entre ;, o$teniéndose luego la

sumatoria alge$raica de estas correcciones+ Hi la sumatoriaalge$raicas de las correcciones centrales en su primer tanteo noda un valor cero .2/, se procede a corregir estos valores+19+5 Para efectuar la correcci&n al primer tanteo, el valor de lasuma anteriormente *allada se divide entre el nMmero de(ngulos en el punto central luego de *a$erse ejecutado elcam$io de signo+B9+5 He o$tiene la suma alge$raica de las correcciones o$tenidaspor los dos Mltimos pasos, valor que ser( la correcci&n para los(ngulos en el punto central % por condici&n de (ngulos+C9+5 He calcula las correcciones para los restantes (ngulos decada tri(ngulo, dividiendo la correcci&n que falta completar entredos .:/+D9+5 He o$tiene los (ngulos compensados por ecuaciones de(ngulo+

C'l#lo! p$%$ el ejemplo en "e!$%%ollo..18/ ? 82F9 ;B@BD 1 ? 82F9 ;[email protected]:/ ? EF9 2E@B2 1 ? EF9 [email protected];/ ? CE9 1:@2C 1 ? CE9 [email protected]/ ? F:9 ;:@B8 1 ? F:9 ;:@BB

;BF9 BF@11 8C ? ;C29 22@22

Co%%e##&*n (o($l 4 / 5-.8/ ? ;;9 1;@BE 5 1 ? ;;9 1;@B1.:/ ? ;C9 12@82 5 1 ? ;C9 [email protected]/ ? 82F9 BF@11 5 8 ? 82F9 ;C@22

8E29 22@2F ?8E29 22@22

Co%%e##&*n (o($l 4 / 6-.;/ ? 1F9 :;@2E 5 ; ? 1F9 :;@2B.1/ ? 189 :E@21 5 ; ? 189 :E@28

.1:/ ? EF9 2E@B15 2 ? EF9 2E@B18E29 22@2C 8E29 22@22

Co%%e##&*n (o($l 4 5-.B/ ? BB9 8D@;E : ? BB9 [email protected]/ ? BC9 22@2; : ? BC9 [email protected];/ ? CE9 1:@82 B ? CE9 1:@8B

8DF9 BF@2F 8E29 22@22

Co%%e##&*n (o($l 4 / 17-.D/ ? 1:9 88@BD 5 D ? 1:9 [email protected]/ ? 1B9 8B@:C 5 D ? 1B9 8B@ 8F.11/ ? F:9 ;:@BB 5 1 ? F:9 ;:@ B8



8E29 22@8E 8E29 22@22

"orrecci&ntotal en

tri(ngulo

"orrecci&ncentral 89

tanteo

"ompensaci&n al 89tanteo

"#RR-""I#N =INA! P#R-"A"I#N-H 0-ANG!#

TI 5 F 18 5 ; 18 : 18 5 8 8 5 1 : 5 1 TII 5 C 1: 5 : 1: : 1: 2 ; 5 ; 1 5 ;

TIII F 1; ; 1; : 1; B B : C :

TIO 5 8E 11 5 C 11 : 11 5 1 D 5 D E 5 DHumas 5 E E 2

-stas correcciones )nales se suman alge$raicamente a losvalores de los (ngulos con lo que se tendr( los (nguloscompensados por ecuaciones de condici&n de (ngulo+

Compen!$#&*n po% e#$#&*n "e l$"o+ Un$ e#$#&*n+-sta compensaci&n se ejecuta por el mismo procedimientoempleado para el caso de la compensaci&n por ecuaci&n de ladopara un cuadril(tero+"(lculos para el ejemplo+

ANG!#H

OA!#R!#GARIT7#HH-N#H 0 8

"#RR-""I#N

ANG!#H"#7P-NHA

0#H 5

.8/;;9

1;@B1

58+D11B;

8

;+8B F ;;9 11@2;

.:/;C912@2C

58+DDC82

D:+E: 5 F ;C9 ;F@BD

.18/82F9;C@22

82F9 ;C@22

.;/1F9:;@2B

58+EE2:F

E 8+E F 1F9 :;@81

.1/189:E@28

58+E:2FE

8

:+;E 5 F 189 :D@B:

.1:/EF92E@B1

EF9 2E@B1

.B/BB98D@12

58+F81F8

F 8+1D F BB9 8D@1F

.C/BC922@2B

58+F8EBE

88+1: 5 F BB9 BF@BC

.1;/CE91:@8B

CE9 1:@8B

.D/ 1:988@B2

58+E:D8C

C :+;; F 1:9 88@BF



.E/1B98B@8F

58+EB818

8:+2E 5 F 1B9 8B@82

Humas 5

8+;CCF81

58+;CD2E 2

0iferencia de !og Hen 8+;CCF81 J 8+;CD2E2 ? 166 "orrecci&n8CCK8E+2B ? F+8F ? F./ .8/, .;/, .B/, .D/.5/ .:/, .1/, .C/, .E/-cuaci&n de (ngulo ? uno .8/ lado ? 2

Compen!$#&*n "el (%&'nglo E F 8 +!a compensaci&n de u tri(ngulo independiente, se realizarepartiendo por igual la correcci&n total por aplicarse entre los

tres .;/ (ngulos que forman el triangulo+

-ntonces, para el ejemplo+.8/ ? C:9 :D@8B B ? C:9 :D@:2.:/ ? BD9 ;8@1: B ? BD9 ;8@1D.;/ ? C29 22@1E B ? C29 22@B;

8DF9 BF@1B 8E29 22@22

0. RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS+-l par(metro que valora la $ondad de precisi&n de las )guras deuna triangulaci&n es el coe)ciente denominado Resistencia deFigura, cuanto menor sea el valor de la resistencia, la )gura esde mejor precisi&n+

!a f&rmula para calcular la resistencia de )gura es

R= D−C D ∑ (d

A

2+d AdB+d

B

2)

-n dondeR Resistencia de )gura0 NMmero de nuevas direcciones o$servadas en la )gura o red+

"+ NMmero total de ecuaciones de condici&n . " ? "A "8/d A 0iferencia ta$ular de logaritmo seno 8 del (ngulo opuesto

al lado conocido, expresada en unidades de C9 orden decimal+dB 0iferencia ta$ular del logaritmo seno 89 del (ngulo opuesto

al lado por calcular, expresada en unidade1s de C9 ordendecimal+-l factor ∑ (d A

2+d AdB+dB

2) , Hirve adem(s para realizar laselecci&n del mejor camino de c(lculo de la triangulaci&n,tom(ndose aquel cu%o valor es el menor+

OA!#R-H 7AI7#H R-"#7-N0A0#H PARA !A R-HIHT-N"IA 0-=IGRAH

0-H"RIP"I#N 89 #R0-N :9 #R0-N ;9 #R0-N



=igura simple independiente0esea$le 8B :B :B7(ximo :B 12 B2Red entre $ases0esea$le E2 822 8:B

7(ximo 882 8;2 8DB

EjemploPara la triangulaci&n F&g%$ 1, llevar a ca$o la evaluaci&n deresistencia de )guras, as' como indicar cu(l de$e ser el caminode c(lculo de lados % pro%ecciones+Holuci&n

"(lculo de los factores D−C D

C$"%&l'(e%o+

0 ? B x : ? 82 D

−C

D =0.60

" ? ; 8 ? 1

Polgono+

0 ? D x : ? 81 D−C

D =0.57

" ? B 8 ? C

T%&'nglo+

0 ? : x : ? 1

D−C

D

=0.75

" ? 8 ? 8

T%&$ngl$#&*n (o($l+

0 ? 81 x : ? :E D−C D

=0.61

" ? 1 C 8 ? 88

C'l#lo "e lo! 9$#(o%e!+∑ (d A

2+d Ad B+dB

2)

C$"%&l'(e%o+-n todo cuadril(tero con dos diagonales, existe la posi$ilidad deejecutar el c(lculo de los lados mediante cuatro .1/ caminos dec(lculo, siendo

C$m&no I



C$m&no II

C$m&no III

C$m&no I,

-n consecuencia el mejor camino de c(lculo en el cuadril(tero A> " 0, ser( el camino II+ A> J A0 5 "0-l camino IO, es el camino m(s desfavora$le para el c(lculo de

los lados+



Polgono+-n todo pol'gono con punto central existe la posi$ilidad dec(lculo por dos caminos, en uno % otro sentido respecto delvértice central, para el caso que nos ocupa se tiene

C$m&no I+

C$m&no II+

-n conclusi&n el camino II, es el mejor camino de c(lculo, aunqueel camino I podr'a ser como camino de c(lculo %a que los valores

no di)eren sustancialmente en nada+T%&'nglo+C$m&no I+

C$m&no II+



-l mejor camino es el I+

T%&$ngl$#&*n (o($l+(d A

2+d A dB+dB

2)minimo=6.79+25.04+4.04=35.87 (d A

2+d A dB+dB

2)maximo=32.80+25.16+4.88=62.84

-n conclusi&n los valores m'nimos % m(ximos de la resistencia de)guras, es"uadril(tero A > " 0 R

minimo=0.60×6.79

=4.10

Rmaximo

=0.60×32.80=19.70

Pol'gono " 0 - = .G/ R

minimo=0.57×25.04=14.30

Rmaximo

=0.57×25.16=14.30

Tri(ngulo - = < R

minimo=0.75×4.04=3.00

Rmaximo

=0.75×4.88=3.70

Triangulaci&n total R

minimo=0.61×35.87=21.50

Rmaximo

=0.61×62.84=38.30

-l mejor camino de c(lculo esA) : AD : DC : DG : GF : FE : E8.

;. CALCULO DE A<INUT = RUM)OS DEL ME>ORCAMINO DE CÁLCULO DE LA TRIÁNGULACIÓN."on los valore de los (ngulos corregidos por ecuaciones decondici&n de (ngulo % lado % segMn el mejor camino de c(lculopara la triangulaci&n, se procede al c(lculo de los azimut %rum$os de dic*o camino+-jemplo

"alcular los azimut % rum$os del mejor camino de c(lculo para latriangulaci&n de la )gura N9 12, si el azimut del lado A> ? 82;9:2@ 81+

Sol#&*nQ A> ? 82;9 :2@ 81 R A> ? H DC9 ;F@ 1C -+

"on el valor de Q A> % los (ngulos compensados se tendr( queejecutar el c(lculo segMn el mejor camino de c(lculo+



Q A> ? 82;9 :2 81 5 R A> ? H DC9 ;F 1C -.:/ ? ;D9 B2 B1Q A0 ? CB9 :F :2 R A0 ? N CB9 :F :2 -

8E2L +

Q 0A ? :1B9 :F :2 .C/ ? 1C9 1; 1DQ 0" ? :F:9 8; 2D R 0" ? N CD9 1C B; #.8/ ? ;;9 11 2;Q 0G ? ;:B9 BD 82 5 R 0 G ? N ;19 2: B2 #

8E2981B9 BD 82 5

.11/ ? F:9 ;: B8Q G= ? B;9 :1 8F R G = ? N B;9 :1 8F -

8E29:;;9 :1 8F

.C/ ? BB9 BF BCQ =- ? :EF9 :1 8B 5 R = - ? N D29 ;B 1B #

8E2982F9 :1 8B 5

.:/ ? BD9 ;8 1DQ -< ? B89 B: :E R -< ? N B89 B: :E -

?. CÁLCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DELME>OR CAMINO DE CÁLCULO.-l c(lculo las longitudes se realizan aplicando la f&rmula de la le%

de senos para un tri(ngulo+

-jemplo"alcular los lados del mejor camino de c(lculo en la triangulaci&nen estudio+A > ? ;BC+B2; m+A 0 ? ;BC+B2; .Hen F19 8E@;; K Hen 1D9 B2@ ;;/ ?1DF+BBB m+0 " ? 1DF+BBB .Hen B89 21@8; K Hen E:9 8:@ 22/ ?;DC+B;E m+0 G ? ;DC+B;E .Hen ;C9 ;F@BD K Hen 82F9 ;C@22/ ?:;E+CDE m+G = ? :;E+CDE .Hen 1B9 8BS82 K Hen 1:9 88@BF/ ? :B:+;BFm+= - ? :B:+;BF .Hen CE9 1:@2C K Hen BB9 8D@1F/ ? :EB+FFEm+- < ? :EB+FFE .Hen C:9 :D@:2 K Hen C29 22@B; / ?:F:+DCC m+

CALCULOS DE LAS PRO=ECCIONES DE LOS LADOS DE LATRIANGULACION.



"onocidos los valores de las longitudes de los lados, as' como losvalores de los rum$os de cada uno de ellos se procede al c(lculode pro%ecciones emple(ndose la formula conocidaPro%ecci&n en eje ? !ado x Heno Rum$o+Pro%ecci&n en eje ? !ado x "oseno Rum$o+

!ado!ongitud

.m+/ Rum$o !adoPro%ecci&n

Pro%ecci&n

A > ;BC+B2; H DC9 ;F@1C - ;1C+EEE 5E:+:;FA 0 1DF+BBB N CB9 :F@:2 - 1;C+;;E 8FE+FB;

0 " ;DC+B;EN CD9 1C@B;

# 5;1E+BDF 81:+;EB0 G ;:E+CDE N ;192:@B2 # 58;;+C; 8FD+DC;G = :B:+;BF N B;9 :1@8F - :2:+C8: 8B2+111

= - :EB+FF:N D29 ;B@1B

# 5:CF+DB; FB+28D

- < :F:+DCC N B89 B:@:E - :;2+;2D 8E2+DB

6. CALCULO DE LAS CORDENAS DE LOS ,ERTICES DELA TRIANGULACION.-l c(lculo de las coordenadas de los vértices se o$tienen por lasuma alge$raica de las pro%ecciones, as' para nuestro caso es

Vértice Abscisa

(m)Ordenada (m)

A E 8;1+C28 D :CD+F:1 5 .0atos/;1C+EEE E:+:;F

> E 1E8+1EF D 8EB+CEBA E 8;1+C28 D :CD+F:1

1;C+;;E 8FE+FB;0 E BD2+F;F 5 D 1CC+EDD

;1E+BDF 81:+;EB" E :::+;C2 D C2F+:C:

0 E BD2+F;F 5 D 1CC+EDD

8;;+C; 8FD+DC;G E 1;D+;2F D CC1+C12

:2:+C8: 8B2+111= E C;F+F:8 5 D E8B+2E1

:CF+DB; FB+28D- E ;D2+8CE D F82+828

:;2+;2D 8E2+DB< E C22+1DB E 2F2+EB8

compensacion de figuras

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