Compensacin de la Triangulacin

uni

Facultad de Ingeniera Civil

Compensacin de la Triangulacin Topografa II

Alumno: Oncoy Ramirez Ricardo

TRIANGULACIN TOPOGRFICA

1. GENERALIDADES. Para efectuar el levantamiento de grandes extensiones de terreno, la tcnica que por su propia naturaleza ofrece las mejores ventajas, es la tcnica de la TRIANGULACION, mtodo mediante el cual es posible llevar el control y apoyo de todo el levantamiento planimtrico, no solamente de grandes extensiones, sino tambin de los terrenos de mediana extensin y en donde la poligonacin resultara antieconmica ya sea por lo accidentado del terreno como por la existencia de obstculos que dificultaran la medicin de los lados de la red u otro factor que hara casi impracticable las poligonaciones. Para formar una poligonacin es necesario unir convenientemente dos o ms tringulos y en la que uno o ms lados son lados comunes de los tringulos adyacentes, logrndose figuras que no necesariamente han de ser tringulos, sino tambin: cuadrilteros, polgonos con puntos centrales o redes conformadas por tales figuras. En toda triangulacin basta con medir uno de los lados de la figura (base de la triangulacin), calculndose el resto de ellos, por relacin trigonomtrica siempre y cuando se conozcan los ngulos que forman cada tringulo. Cuando la precisin por alcanzar debe ser considerable se tomar una base de comprobacin con el de determinar la bondad de la red. Los conceptos que seguidamente se presentan, se refieren principalmente a las triangulaciones del tipo topogrfico aun cuando existen conceptos muy comunes con las triangulaciones del tipo geodsico.

DEFINICION. Toda triangulacin, es la red de apoyo de levantamiento planimetrito que se encuentra formada por una serie de tringulos en los cuales uno o ms lados de cada tringulo, lo son tambin de tringulos adyacentes.

TRIANGULACION TOPOGRAFICA. Es toda triangulacin en la que no se tiene en cuenta el efecto de la curvatura terrestre, tanto en la medicin de lados como en la medicin de los ngulos. De modo general el alcance de los levantamientos por medio de las triangulaciones topogrficas, puede llegar a unos 400 o ms kilmetros cuadrados de extensin; siempre y cuando se lleve un adecuado control de la precisin requerida.

PLANEAMIENTO DE UNA TRIANGULACION TOPOGRAFICA. La conveniencia de una triangulacin como red de apoyo de levantamiento debe estimarse teniendo en consideracin los siguientes aspectos:

- La triangulacin es conveniente en terrenos de gran extensin. - La triangulacin resulta ventajosa ante la poligonacin, principalmente en regiones accidentadas y montaosas, ya que de otro lado, la medicin directa de lados sera lenta, con serias dificultades y antieconmica. - La triangulacin en toda extensin de terreno en donde la naturaleza de su topografa o la existencia de factores diversos hagan imposible o dificulten la tcnica de la poligonacin; tal como es el trfico de vehculos en las ciudades o en terrenos tales como: cauces de ros, lagunas, orillas de los mares en donde su propia naturaleza dificulta tremendamente la medicin de los lados.

2. COMPENSACIN DE FIGURAS DE UNA TRIANGULACIN Antes de procederse al clculo de los lados de la red, los ngulos deben ser compensados por ecuaciones de condiciones geomtricas y trigonomtricas y que son propias del tipo de figura que forman toda compensacin se realiza a los valores de los ngulos compensados por ecuacin de vrtice siempre y cuando los errores en cada triangulo, sean menores a los mximo admisibles.

METODO DE COMPENSACION DE LOS ANGULOS DE LAS FIGURAS DE UNA TRIANGULACION Entre los mtodos se tiene: Mtodo aproximado o mtodo de aproximaciones sucesivas. Mtodo de los mnimos cuadrados De los dos mtodos, estudiaremos con detalle el de las aproximaciones sucesivas y que es el que se emplea para las triangulaciones topogrficas, el mtodo de los mnimos cuadrados se emplea con ms propiedad para las triangulaciones geodsicas (1 y 2 orden).

2.1. METODO APROXIMADO DE COMPESACION Es el mtodo ms empleado para la compensacin de triangulaciones topogrficas ( 3 y 4 orden ), ya que por su sencillez no requiere de mucho clculos. Una de las ventajas es su rapidez de clculo, as como que los valores de los resultados dan la precisin deseada para este tipo de triangulaciones sin entrar en mtodos de compensacin muy refinados.

Los principios en los que se basa son: 1- De modo general, las correcciones deben ser de signo contrario al error 2- Las correcciones parciales por aplicar a los valores de los ngulos que intervienen en una determinada ecuacin, se logra por un reparto equitativo de la correccin total. 3- Toda correccin que se ejecute deber realizarse sin desequilibrar las compensaciones ejecutadas anteriormente. 4- La correccin de los ngulos por ecuacin de lado se realiza luego de haber compensado por ecuaciones de ngulo.

Ejemplo Habindose medido los ngulos de la triangulacin de la Figura, si los ngulos compensados por ecuaciones de vrtice son los que se indican, ejecutar la compensacin de los ngulos por el mtodo de las aproximaciones. Determinar las coordenadas de las estaciones, azimut AB = 103 20`14; AB = 356.503 m.

ngulos del cuadriltero A B C D (1) = 4512`10 (2) = 37 51`08 (3) = 51 04`06 (4) = 45 52`50 (5) = 36 19`21 (6) = 46 44`05 (7) = 45 50`20 (8) = 49 06`24

ngulos del polgono C D E F ( G )(1) = 33 43`58(2) = 36 40`10(3) = 49 23`08(4) = 41 28`04(5) = 55 17`38(6) = 56 00`03(7) = 42 11`57(8) = 45 15`26(41) = 109 35`57(42) = 89 08`50(43) = 68 42`06(44) = 92 32`51

ngulos del tringulo E F H(1) = 62 27`15(2) = 57 31`42(3) = 60 00`48

Solucin El procedimiento de compensacin de un cuadriltero por el mtodo de las aproximaciones es

Compensacin de cuadriltero A B C D El procedimiento de compensacin de un cuadriltero por el mtodo de las aproximaciones es.

Compensacin por ecuaciones de ngulo: son tres:1- Se compensan los ngulos del cuadriltero de modo que su suma de todos ellos de el valor 360. La compensacin total se reparte por igual entre los 8 ngulos de la figura, en caso de que la divisin no fuera exacta, se toma valores lo ms aproximadamente posible. 2- Con los valores compensados con el paso anterior, se encuentra la diferencia entre la suma de los ngulos: (1) + (2) y (5) + (6), dividindola luego entre 4, que ser la correccin para cada uno de estos ngulos, siendo positiva para aquellos cuya suma fue de menor valor numrico y negativa para los ngulos cuya suma fue mayor. 3- Con los valores de los ngulos: (3) , (4) y (7) , (8) , se procede de manera similar al paso anterior. 4- Se calcula los valores de los ngulos compensados por ecuaciones de condicin de ngulo.

Cuadro de clculo para el ejemploANGULOVALORCOMPENSACION POR ECUACION DE ANGULO

C IAngulo corregidoC IIC IIIAngulo compensado

145 12`10 - 345 12`07 + 245 12`09

237 51`08 - 337 51`05 +237 51`07

351 04`06 - 351 04`03 - 351 04`00

445 52`50 - 345 52`47 - 345 52`44

536 19`21 - 336 19`18 - 236 19`16

646 44`05 - 346 44`02 - 246 44`00

747 50`20 - 347 50`17 + 347 50`20

849 06`24 - 349 06`21 + 349 06`24

Sumas360 00`24 - 24360 0000 0000360 00`00

(1) = 45 12`07 (5) = 36 19`18 Diferencia = 20 12 = 8 (2) = 37 51`05 (6) = 46 44`02 83 03`12 83 03`20 C II = 8/4 = 2

(3) = 51 04`03(7) = 47 50`17 Diferencia = 50 38 = 12 (4) = 45 52`47(8) = 49 06`21 96 56`50 96 56`38 C III = 12/4 = 3

Compensacin por ecuacin de lado: Solo una ecuacin 1.- Con los valores de los ngulos compensados por las ecuaciones de ngulo se calcula los valores de los Logaritmos Senos de los ngulos, obtenindose luego de suma de ellos, de acuerdo a la condicin de lado. 2.- Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada. 3.- Recalcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno 1 para los valores de los ngulos. 4.- La correccin se obtiene por divisin del valor de la diferencia de las sumas de longitud seno, entre el valor de la diferencias tabulares; siendo positiva para los ngulos cuya suma de logaritmos seno fue menor y siendo negativa para los ngulos cuya suma de logaritmo fue mayor.

Cuadro de clculo para el ejemplo:

ANGULOS VALOR LOGARITMOS SENOS D 1 C IV ANGULOS COMENSADOS

+ -

(1)45 12`09 -1.851014 2.08+ 13 45 12`22

(2)37 51`07 -1.7879022.7- 13 37 50`54

(3)51 04`00 -1.890911 1.7+ 13 51 04`13

(4)45 52`44 -1.8560462.03- 13 45 52`31

(5)36 19`16 -1.772549 2.87+ 13 36 19`29

(6)46 44`00 -1.8622341.98- 13 46 43`47

(7)47 50`20 -1.869971 1.9+ 13 47 50`33

(8)49 06`24 -1.8784811.82-1349 06`11

SUMAS 360 00`00 -1.384445-1.38466317.080 360 00`00

Diferencia en sumas Log Sen = 663 445 = 218 (unidades del 6 orden decimal) C IV = 218 / 17.08 = 12.8 , adoptaremos 13, los que deben ser positivos en los ngulos: (1), (3) , (5) , (7) y negativos en los ngulos: (2) , (4) , (6) , (8).

Compensacin del polgono C D E F (G): Cinco Ecuaciones. El procedimiento de compensacin de un polgono con punto Central es el siguiente: 1.- Se chequea si los ngulos en el punto central cumplen la ecuacin de condicin de vrtice, de no ser ello, se compensa los ngulos repartiendo la correccin total entre el nmero de ngulos en el punto central, valor que ser la correccin por ecuacin de vrtice. 2.- Con los valores corregidos por el paso anterior y los valores los restantes ngulos de cada uno de los tringulos que conforman el polgono, se determina el valor de la correccin total que corresponde aplicar en cada triangulo. 3.- Se procede a calcular la correccin para los ngulos en el punto central en su primer tanteo. Para ello se divide la correccin total de cada triangulo entre 3, obtenindose luego la sumatoria algebraica de estas correcciones. Si la sumatoria algebraicas de las correcciones centrales en su primer tanteo no da un valor cero (0), se procede a corregir estos valores. 4.- Para efectuar la correccin al primer tanteo, el valor de la suma anteriormente hallada se divide entre el nmero de ngulos en el punto central luego de haberse ejecutado el cambio de signo. 5.- Se obtiene la suma algebraica de las correcciones obtenidas por los dos ltimos pasos, valor que ser la correccin para los ngulos en el punto central y por condicin de ngulos. 6.- Se calcula las correcciones para los restantes ngulos de cada tringulo, dividiendo la correccin que falta completar entre dos (2). 7.- Se obtiene los ngulos compensados por ecuaciones de ngulo.

Clculos para el ejemplo en desarrollo. (41) = 109 35`57 + 4 = 109 36`01 (42) = 89 08`50 + 4= 89 08`54 (43) = 68 42`06 + 4 = 68 48`10 (44) = 92 32`51 + 4 = 92 32`55 359 59`44 +16 = 360 00`00

Correccin total = - 9 (1) = 33 43`58 - 4 = 33 43`54 (2) = 36 40`10 - 4 = 36 40`06 (41) = 109 59`44 - 1 = 109 36`00 180 00`09 =180 00`00

Correccin total = - 6 (3) = 49 23`08 - 3 = 49 23`05 (4) = 41 28`04 - 3 = 41 28`01 (42) = 89 08`54- 0 = 89 08`54 180 00`06 180 00`00

Correccin total = + 9 (5) = 55 17`38 + 2 = 55 17`40 (6) = 56 00`03 + 2 = 56 00`05 (43) = 68 42`10 + 5 = 68 42`15 179 59`09 180 00`00

Correccin total = - 18 (7) = 42 11`57 - 7 = 42 11`50 (8) = 45 15`26 - 7 = 45 15` 19 (44) = 92 32`55 - 4 = 92 32` 51 180 00`18 180 00`00

Correccin total en tringulo Correccin central 1 tanteo Compensacin al 1 tanteo CORRECCION FINAL POR ECUACIONES DEANGULO

TI - 9 41: - 3 41: + 2 41: - 1 1: - 4 2: - 4

TII - 6 42: - 2 42: + 2 42: 0 3: - 3 4: - 3

TIII + 9 43: + 3 43: + 2 43: + 5 5: + 2 6: + 2

TIV - 18 44: - 6 44: + 2 44: - 4 7: - 7 8: - 7

Sumas - 8 + 8 0

Estas correcciones finales se suman algebraicamente a los valores de los ngulos con lo que se tendr los ngulos compensados por ecuaciones de condicin de ngulo.

Compensacin por ecuacin de lado: Una ecuacin. Esta compensacin se ejecuta por el mismo procedimiento empleado para el caso de la compensacin por ecuacin de lado para un cuadriltero. Clculos para el ejemplo.

ANGULOS VALOR LOGARITMOS SENOSD 1 CORRECCIONANGULOS COMPENSADOS

+ -

(1)33 43`54 -1.744531 3.15+ 933 44`03

(2)36 40`06 -1.7761072.82- 936 39`57

(41)109 36`00 109 36`00

(3)49 23`05 -1.880298 1.8+ 949 23`14

(4)41 28`01 -1.8209812.38- 941 27`52

(42)89 08`54 89 08`54

(5)55 17`40 -1.914919 1.47+ 955 17`49

(6)56 00`05 -1.9185811.42- 955 59`56

(43)68 42`15 68 42`15

(7)42 11`50 -1.827166 2.33+ 942 11`59

(8)45 15`19 -1.8514112.08- 945 15`10

Sumas -1.366914-1.36708 0

Diferencia de Log Sen: 1.366914 1.367080 = 166 Correccin 166/18.05 = 9.19 = 9 (+) (1), (3), (5), (7) (-)(2), (4), (6), (8) Ecuacin de ngulo = uno (1) lado = 0

Compensacin del tringulo E F H : La compensacin de u tringulo independiente, se realiza repartiendo por igual la correccin total por aplicarse entre los tres (3) ngulos que forman el triangulo.

Entonces, para el ejemplo. (1) = 62 27`15 + 5 = 62 27`20 (2) = 57 31`42 + 5 = 57 31`47 (3) = 60 00`48 + 5 = 60 00`53 179 59`45 180 00`00

3. RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS: El parmetro que valora la bondad de precisin de las figuras de una triangulacin es el coeficiente denominado Resistencia de Figura, cuanto menor sea el valor de la resistencia, la figura es de mejor precisin.

La frmula para calcular la resistencia de figura es:

En donde: R: Resistencia de figura D: Nmero de nuevas direcciones observadas en la figura o red. C. Nmero total de ecuaciones de condicin ( C = CA + C1) : Diferencia tabular de logaritmo seno 1 del ngulo opuesto al lado conocido, expresada en unidades de 6 orden decimal. : Diferencia tabular del logaritmo seno 1 del ngulo opuesto al lado por calcular, expresada en unidade4s de 6 orden decimal. El factor: , Sirve adems para realizar la seleccin del mejor camino de clculo de la triangulacin, tomndose aquel cuyo valor es el menor.

VALORES MAXIMOS RECOMENDADOS PARA LA RESISTENCIA DE FIGURAS

DESCRIPCION 1 ORDEN 2 ORDEN 3 ORDEN

Figura simple independiente

Deseable 152525

Mximo 254050

Red entre bases

Deseable 80100125

Mximo 110130175

Ejemplo: Para la triangulacin Figura 1, llevar a cabo la evaluacin de resistencia de figuras, as como indicar cul debe ser el camino de clculo de lados y proyecciones. Solucin: Clculo de los factores: Cuadriltero: D = 5 x 2 = 10 : C = 3 + 1 = 4

Polgono: D = 7 x 2 = 14 : C = 5 + 1 = 6

Tringulo: D = 2 x 2 = 4 : C = 1 = 1

Triangulacin total: D = 14 x 2 = 28 : C = 4 + 6 + 1 = 11

Clculo de los factores:

Cuadriltero: En todo cuadriltero con dos diagonales, existe la posibilidad de ejecutar el clculo de los lados mediante cuatro (4) caminos de clculo, siendo:

Camino I

Camino II

Camino III

Camino IV

En consecuencia el mejor camino de clculo en el cuadriltero A B C D, ser el camino II. AB AD - CD El camino IV, es el camino ms desfavorable para el clculo de los lados.

Polgono: En todo polgono con punto central existe la posibilidad de clculo por dos caminos, en uno y otro sentido respecto del vrtice central, para el caso que nos ocupa se tiene:

Camino I:

Camino II:

En conclusin el camino II, es el mejor camino de clculo, aunque el camino I podra ser como camino de clculo ya que los valores no difieren sustancialmente en nada.

Tringulo: Camino I:

Camino II:

El mejor camino es el I.

Triangulacin total:

En conclusin los valores mnimos y mximos de la resistencia de figuras, es: Cuadriltero A B C D:

Polgono C D E F (G):

Tringulo E F H:

Triangulacin total:

El mejor camino de clculo es: AB , AD , DC , DG , GF , FE , EH.

4. CALCULO DE AZINUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CLCULO DE LA TRINGULACIN. Con los valore de los ngulos corregidos por ecuaciones de condicin de ngulo y lado y segn el mejor camino de clculo para la triangulacin, se procede al clculo de los azimut y rumbos de dicho camino. Ejemplo:

Calcular los azimut y rumbos del mejor camino de clculo para la triangulacin de la figura N 40, si el azimut del lado AB = 103 20` 14.

Solucin Z AB = 103 20` 14 + R AB = S 76 39` 46 E. Con el valor de Z AB y los ngulos compensados se tendr que ejecutar el clculo segn el mejor camino de clculo.

Z AB = 103 20 14 - R AB = S 76 39 46 E (2) = 37 50 54 Z AD = 65 29 20 + R AD = N 65 29 20 E 180 . Z DA = 245 29 20 + (6) = 46 43 47 Z DC = 292 13 07 + R DC = N 67 46 53 O (1) = 33 44 03 Z DG = 325 57 10 - R D G = N 34 02 50 O 180 145 57 10 - (44) = 92 32 51 Z GF = 53 24 19 + R G F = N 53 24 19 E 180 233 24 19 + (6) = 55 59 56 Z FE = 289 24 15 - R F E = N 70 35 45 O 180 109 24 15 - (2) = 57 31 47 Z EH = 51 52 28 R EH = N 51 52 28 E

5. CLCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL MEJOR CAMINO DE CLCULO. El clculo las longitudes se realizan aplicando la frmula de la ley de senos para un tringulo.

Ejemplo: Calcular los lados del mejor camino de clculo en la triangulacin en estudio. A B = 356.503 m. A D = 356.503 (Sen 94 18`33 / Sen 47 50` 33) = 479.555 m. D C = 479.555 (Sen 51 04`13 / Sen 82 12` 00) = 376.538 m. D G = 376.538 (Sen 36 39`57 / Sen 109 36`00)= 238.678 m. G F = 238.678 (Sen 45 1510 / Sen 42 11`59) = 252.359 m. F E = 252.359 (Sen 68 42`06 / Sen 55 17`49) = 285.998 m. E H = 285.998 (Sen 62 27`20 / Sen 60 00`53 ) = 292.766 m.

CALCULOS DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACION. Conocidos los valores de las longitudes de los lados, as como los valores de los rumbos de cada uno de ellos se procede al clculo de proyecciones emplendose la formula conocida: Proyeccin en eje X = Lado x Seno Rumbo. Proyeccin en eje Y = Lado x Coseno Rumbo.

LadoLongitud (m.)Rumbo LadoProyeccin XProyeccin Y

A B 356.503S 76 39`46 E346.888-82.239

A D 479.555N 65 29`20 E436.338198.953

D C 376.538N 67 46`53 O-348.579142.385

D G 328.678N 3402`50 O-133.63197.763

G F 252.359N 53 24`19 E202.612150.444

F E 285.992N 70 35`45 O-269.75395.017

E H 292.766N 51 52`28 E230.307180.75

6. CALCULO DE LAS CORDENAS DE LOS VERTICES DE LA TRIANGULACION. El clculo de las coordenadas de los vrtices se obtienen por la suma algebraica de las proyecciones, as para nuestro caso es:

Vrtice Abscisa (m) Ordenada (m)

A 8 134.601 + 7 267.924 - (Datos)

346.88882.239

B 8 481.489 7 185.685

A 8 134.601 + 7 267.924 +

436.338198.953

D 8 570.939 - 7 466.877 +

348.579142.385

C8 222.3607 609.262

D 8 570.939 - 7 466.877 +

133.63197.763

G 8 437.309 + 7 664.640 +

202.612150.444

F 8 639.921 - 7 815.084 +

269.75395.017

E 8 370.168 + 7 910.101 +

230.307180.75

H 8 600.475 8 090.851