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Instituto de Mecnica Estructural

y Riesgo Ssmico

HORMIGN II Unidad 5:

COLUMNAS ESBELTAS SOMETIDAS A FLEXO-COMPRESIN.

PRESCRIPCIONES REGLAMENTARIAS. CIRSOC-2005.

Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.

2

Contenido 5.1 Introduccin 5.2 Columnas Cargadas Axialmente

5.2.1 Consideraciones Generales 5.2.2 Columnas sin Desplazamiento de Extremos 5.2.3 Columnas con Desplazamiento de Extremos 5.2.4 Columnas dentro de la Estructura

5.3 Compresin y Flexin 5.3.1 Momentos de Primer y Segundo Orden 5.4 Problemas Referidos a la Estabilidad 5.5 Diferencia entre comportamiento de columna no esbelta y esbelta 5.6 Resumen de los factores que afectan el comportamiento de las columnas esbeltas 5.7 Criterio del CIRSOC 201-05 para Definir Prticos Desplazables e Indesplazables 5.8 Criterios del CIRSOC 201-05 para Tener en Cuenta o Ignorar la Esbeltez 5.9 Diseo de Columnas Esbeltas. Criterios. 5.10 Procedimiento de Diseo dado por el Cdigo ACI-318-05 y CIRSOC 201-05

El mtodo de la Magnificacin de Momentos 5.10.1 Fundamentos 5.10.2 Procedimiento de Aplicacin 5.10.3 Momentos Amplificados. Prticos Indesplazables 5.10.4 Momentos Amplificados. Prticos Desplazables

5.11 Ejemplo de Aplicacin E1 5.12 Ejemplo de Aplicacin E2 5.13 Ejemplo de Aplicacin E3 5.14 Ejemplo de Aplicacin E4 5.15 Anlisis de Segundo Orden para Efectos de Esbeltez 5.16 Breve comentario sobre las consideraciones sobre columnas esbeltas segn las normas DIN

5.16.1 Introduccin 5.16.2 Criterio de rigidez lateral 5.16.3 Obtencin del factor de esbeltez 5.16.4 Excentricidad de las cargas 5.16.5 Definicin de columna esbelta de acuerdo a normas DIN 5.16.6 Otras consideraciones

5.17 Bibliografa

Filename Emis

0 Revis

1 Revis

2 Revis

3 Revis

4 Observaciones

T5-COL- ESBEL.doc

Feb 2006

Ago 2007

Oct 2007

Ene 2009

Oct 2009

Pginas 41 43 42 60 60

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COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE HORMIGN ARMADO ESBELTOS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIN

5.1 INTRODUCCIN. ESBELTEZ Las columnas se pueden clasificar, de acuerdo a sus dimensiones (seccin y altura) y condiciones de borde, en columnas no esbeltas y columnas esbeltas. Una columna no esbelta es aquella en la cual su carga ltima, para una excentricidad dada, est gobernada solamente por la resistencia de los materiales y las dimensiones de la seccin. En otras palabras, el diagrama de interaccin M-P obtenido a partir de las dimensiones y del contenido de armadura de la seccin transversal es suficiente para determinar la resistencia nominal de la columna en flexo-compresin.

Una columna es esbelta cuando la carga ltima que puede soportar est influenciada adems por la esbeltez, la cual produce un momento adicional debido a deformaciones transversales.

Se ha preferido en este trabajo referirse a columnas no esbeltas en vez de

llamarlas cortas pues la tipologa de columna corta en diseo sismo resistente se refiere a un tipo de estructura que se desea evitar. En la prctica, como se ver, la mayora de las columnas son no esbeltas, salvo casos muy especiales de dimensiones pequeas de la seccin transversal y sobre todo cuando estn acompaadas de deformaciones estructurales entre los bordes de las columnas que amplifican su altura de clculo ms all de la constructiva. El grado de esbeltez , ref.[1], define si la columna es o no esbelta y se expresa como:

A

I

l

r

l ee (1)

donde con el se designa a la longitud efectiva de pandeo de la columna y r el radio de

giro, I es el momento de inercia con respecto al eje alrededor del cual se produce la flexin por pandeo (sera el menor I si pudiera deformarse en ambas direcciones) y A es el rea de la seccin transversal. Se referir con detalle ms adelante a la longitud efectiva. Como introduccin al problema, y para crear una rpida idea de esbeltez, digamos que se puede expresar de una forma simplificada el radio de giro r , para una seccin rectangular, como:

hhhbh

bhr 30.0289.012/1

12/3 (2)

Este es el valor que como se ver toma la norma CIRSOC, ref.[8], para evaluar

el radio de giro en forma aproximada. Para poner casos muy visibles, digamos que si el grado de esbeltez est por debajo de 30 puede decirse que no es esbelta, pero si es del orden de 100 es muy esbelta. Tomemos el caso de una columna que tenga condiciones de deformacin entre sus extremos tal que su longitud efectiva de pandeo,

el , sea casi la misma que su longitud o altura libre l . Si es una columna con dimensin

de su seccin en la direccin de pandeo del orden de la dcima parte de su altura, o sea 10/ hl , (por ejemplo ml 0.3 y mh 30.0 , resultar casi no esbelta, ya que

333.0/103.0// hlrl , poco mayor de 30. Por el contrario, si 30/ hl (luz libre de la columna 30 veces la altura h de la seccin), resulta 1003.0/303.0// hlrl , es decir muy esbelta. Los tipos de fallas son muy diferentes para ambos casos, por lo que las metodologas de diseo tambin lo sern.

4

5.2 COLUMNAS CARGADAS AXIALMENTE. 5.2.1 COSIDERACIONES GENERALES. CARGA CRTICA. PANDEO ELSTICO E INELSTICO. La teora del comportamiento de columnas rectas, biarticuladas en sus extremos y esbeltas fue estudiada y resuelta por Leonhard Euler en 1757, Ref.[1].

(c) (d)

Fig. 5.1 (a) y (b) Modelo de Columna esbelta articulada utilizada para derivar la frmula de Euler; (c) Curva elstica de flexin y rotaciones; (d) Diferentes modos de pandeo.

La Fig. 5.1 muestra en forma resumida los modelos de anlisis. La ecuacin que

relaciona las curvaturas con el momento flector M a una distancia x desde el origen,

con rotacin y desplazamiento y , es:

yEI

P

EI

M

dx

yd

dx

d

2

2 (3)

con los significados que se aprecian en la figura. Resolviendo la ecuacin diferencial de segundo orden (para detalles ver Ref.[1]) lleva a la expresin:

2

22

L

EInPcr

(4)

la cual para el mnimo valor de la carga crtica buscada, n=1.0, vale:

2

2

L

EIPcr

(5)

donde I es el momento de inercia de la columna y E el mdulo de elasticidad longitudinal del material considerado lineal y elstico. La generalizacin de la frmula para el caso de una columna con longitud real lL , pero con longitud efectiva de

pandeo kl , y para ley constitutiva de material f- donde se pueda especificar el mdulo de elasticidad ms all del lmite de proporcionalidad, Et, como muestra la Fig. 5.2, es:

2

2

)(kl

IEP tcr

(6)

5

Fig. 5.2 (a) Curva Tensin vs. Deformacin del material, por ejemplo, para el hormign y (b) Efecto de la esbeltez (kl/r) en la carga de falla de una columna.

La Fig. 5.1(a) muestra el caso ms simple de columna articulada en los dos

extremos, de material con mdulo de elasticidad E segn Fig. 5.2(a). Si es elevado, para la carga crtica evaluada segn ecuacin (6) el elemento originalmente recto fallar por pandeo y adoptar una forma de media onda sinusoidal como muestra la figura. Una vez iniciado el mecanismo de inestabilidad, en cualquier seccin en la altura de la columna aparece la excentricidad y segn indica la Fig. 5.1(a) y se inducen los momentos flectores M= Py. Estas deflexiones continan aumentando hasta que la combinacin creciente del esfuerzo de compresin con el momento produce la falla del elemento.

En la Fig. 5.2(b) se muestra la representacin de la carga de falla vs. esbeltez.

Esta situacin podra corresponder a una columna de hormign armado de longitud real

l , longitud efectiva kl y seccin transversal Ag= b.h, a la que corresponde r 0.3h, con armadura determinada, Ast, calidad de hormign, fc, y acero, fy, definidos. Se ve que para esbeltez reducida hasta un valor lmite la falla de la pieza se produce cuando se alcanza la resistencia nominal Pn. En este rango la resistencia de la pieza es independiente de la esbeltez: es una columna no esbelta. Note que el valor de la resistencia no depende ni del factor (EI), pues no est en flexin, ni del mismo valor E, mdulo de elasticidad, sino que la falla se producir cuando la deformacin mxima del

hormign alcance su capacidad, c= 0.002 segn CIRSOC 201-05, ref.[4]. Por ello se define como falla por aplastamiento o agotamiento del hormign en compresin. Como muestra tambin la Fig. 5.3, la resistencia nominal para excentricidad cero, Po, como la designa la citada norma est dada por:

Po = 0.85fc (AgAst) + fy Ast (7)

Fig. 5.3 Ensayo a compresin simple de una columna no esbelta. Componentes de la contribucin a la resistencia nominal.

6

Una vez superado el valor lmite de esbeltez, por ejemplo porque su altura real l

aumenta o la efectiva ( kl ) crece, pese a que tiene la misma seccin transversal de

hormign armado, el valor de la carga de falla ir decreciendo en funcin de lo que indica la ecuacin (6). De all se ve que: (i) la carga Pcr decrece rpidamente con el crecimiento de ( kl )

2, y (ii) si la deformacin de la fibra extrema de la seccin crtica es

tal que fcfp en la Fig. 5.2, el mdulo de elasticidad Ec puede considerarse como an constante y el pandeo se produce en rango elstico. Como en la seccin de hormign armado estn involucrados ambos materiales, por observacin de Fig. 5.3 podra decirse que el lmite es cuando ambas curvas se transforman en francamente no lineales y en esa figura es cuando el acero entra en plasticidad. Este sera un caso de pandeo elstico. Si en cambio la falla se produce cuando el material ya est en comportamiento no lineal, el pandeo es inelstico: ver cmo disminuye el valor de E. 5.2.2 CONDICIONES DE BORDE: COLUMNAS SIN DESPLAZAMIENTO DE SUS EXTREMOS. FACTOR DE LONGITUD EFECTIVA k .

La Fig. 5.4 (b) corresponde a columnas cuyos extremos no sufren

desplazamiento lateral ni rotaciones en sus extremos, es decir ambos bordes empotrados. La configuracin inestable muestra que se pandea entre los puntos de inflexin que se ubican a una distancia entre s que es la mitad de la que corresponde a la de bordes perfectamente articulados de Fig. 5(a). Para la misma longitud real l , la

longitud efectiva es ahora la mitad, o sea (kl /2), por lo que la ecuacin (6) nos dice

que en condiciones de empotrada la columna resistir cuatro veces ms que articulada.

(a) (b) (c) Fig. 5.4 Longitud efectiva de columnas con impedimento de desplazamiento lateral.

Sin embargo, las columnas rara vez, y menos en estructuras de hormign

armado, se encuentran con condiciones de borde ideales como biarticuladas o perfectamente empotradas. La condicin real es alguna intermedia entre ambas situaciones ideales que en forma esquemtica est representada en la Fig. 5.4(c). All se ve que los extremos tienen restricciones limitadas a la rotacin, por lo que los

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puntos de inflexin estarn en alguna seccin entre el borde articulado y la seccin ubicada a 4/l del extremo. En este caso, la longitud efectiva es menor que la real,

pero mayor que la mitad, es decir 1/2k1. Como el problema de inestabilidad, en este caso de nudos indesplazables, hace que se pase de un caso de compresin simple a uno de flexin, lo que controla el grado de impedimento a rotacin es, para una columna de rigidez determinada, la relacin entre la rigidez a flexin de la columna en estudio en el extremo considerado con respecto a la rigidez a flexin de las vigas que llegan al nudo. Cualquiera sea el caso, nudos indesplazables horizontalmente o columnas con bordes desplazables, que a continuacin se trata, importa el grado de rigidez a impedimento de deformaciones horizontales. Por lo tanto, en forma similar a cuando se estudia la rigidez de los prticos a acciones horizontales, la rigidez de la estructura, y de cada elemento en particular, depende de la condicin de los nudos para permitir o no la rotacin de los elementos que a l llegan. De una manera similar al mtodo de Muto, ver ref.[2], apndice A, el grado de restriccin de un extremo de

una columna comprimida se evala a partir del coeficiente que relaciona la rigidez a rotacin de las columnas con las de las vigas que concurren al nudo extremo de la columna:

vigaslEI

columnaslEIv

e

ce

)/(

)/( (8)

Slo deben incluirse los elementos del piso que estn dentro de un plano en

cualquiera de los extremos de la columna. La ref.[4], aclara que para la determinacin de las rigideces de vigas y columnas se deben tener en cuenta los efectos de diferentes cuantas de armaduras y de fisuracin, los cuales inciden en forma directa

en la rigidez. De forma aproximada, para las vigas se puede tomar como gv IIe

35.0 y

para las columnas gc IIe

70.0 , valores similares a los que adopta el IC-103-2005,

ref.[3], (tablas 2.1 y 2.2), para evaluar la rigidez ante acciones ssmicas. La Fig. 5 muestra un esquema de caso tpico a analizar, la nomenclatura y elementos a considerar. Las longitudes de los elementos se toman a eje o centros de apoyos.

Fig. 5.5. Para el nudo A se toma la columna a estudiar y la que est por encima, junto con las vigas a izquierda y derecha de A.

En la Fig. 5.6 se muestran los nomogramas de Jackson y Moreland que acepta el CIRSOC 201-05 para la determinacin aproximada del factor k de longitud efectiva a

partir de los valores de los coeficientes de los extremos. Es importante ver que los valores de k estn comprendidos entre 0.5 y 1.0, valores extremos para el caso de prticos de nudos indesplazables y que corresponden a los casos ideales. En el caso de que la rigidez de las vigas sea muy pequea con relacin a las de las columnas, el

8

denominador de la ecuacin (8) tiende a cero (0), y el resultado tiende a , es decir A = B = . Se est cerca del caso con ambos extremos son articulados, al que corresponde k=1.0, Fig. 5.4(a).

Fig. 5.6 Nomogramas para determinar grficamente el factor de longitud efectiva k para el caso de columnas con Nudos arriostrados.

Por otro lado, si ahora la rigidez de las vigas es muy grande con respecto a la de las

columnas, stas prcticamente no pueden rotar, estarn empotradas, y el denominador

tiende a lo cual quiere decir que la tendencia es a A=B = 0, es decir ambos extremos estn empotrados, por lo que k= 0.50, caso de Fig. 5.4(b). El lector podr demostrar, y luego se ver en un ejemplo, que es ms efectivo para reducir la esbeltez de pandeo aumentar la rigidez de las vigas en vez de aumentar las dimensiones de la columna. Dado que rkl / , aumentando la dimensin de la columna, a lo cual uno estara tentado en primera instancia, aumentara el denominador r , pero a la vez el

factor crece por lo cual el numerador aumenta ms que el denominador.

Note que de los grficos se ve que si a uno de los extremos corresponde = 0 y al otro = el caso es empotrado y articulado y le corresponde k= 0.70.

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El reglamento argentino CIRSOC 201-05, copia del ACI-318, tambin permite

utilizar expresiones analticas para obtener el valor de k. Para columnas con desplazamiento lateral impedido, dice que se puede adoptar como lmite superior para el factor de longitud efectiva, k, el menor de los que responde a las expresiones de Cranston (ref. [5]):

k = 0.7 + 0.05 (a+b) 1.0 (9a)

k = 0.85 + 0.05 mn 1.0 (9b)

pudiendo adoptar el menor de ambos, y siendo mn el menor de los . 5.2.3 COLUMNAS CON DESPLAZAMIENTO DE EXTREMOS.

La situacin es muy diferente a las de Fig. 5.4 si ahora alguno de los extremos de la columna se puede desplazar con respecto al otro. Distintas situaciones se muestran en la Fig. 5.7, donde se ve que ahora el valor mnimo de k= 1.

(a) (b) (c) Fig. 5.7 Longitud efectiva de columnas con posibilidad de desplazamiento lateral.

Si la columna est perfectamente empotrada en un extremo y totalmente libre

en el otro, en voladizo o cantilever o tipo poste como se la conoce, caso que se muestra en la Fig. 5.7(a), la longitud de la semionda sinusoidal es ahora el doble de la longitud real, por lo que k= 2. Esto sugiere que los puntos de inflexin estn uno en el extremo libre y el otro en la extensin imaginaria de la onda de pandeo, para asemejarlo al caso de Euler biarticulado, y que puedan ser vlidas las ecuaciones antes vistas.

Si la columna ahora est fija contra rotacin en ambos extremos, pero uno de

ellos puede moverse horizontalmente respecto del otro, la configuracin deformada por pandeo es la de Fig. 5.7(b). Se ve que los puntos de inflexin estn separados una

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distancia igual a la longitud real de la columna, donde uno de los puntos est a mitad de altura de la columna real y el otro en la mitad de la extensin imaginaria. Si se compara este caso con el de la Fig. 5.4(b) se observa que al ser la longitud efectiva ahora el doble del caso de nudos no desplazables, la carga crtica ser cuatro veces menor.

Esto demuestra el hecho de que los elementos sometidos a compresin que

estn sujetos a pandeo teniendo posibilidades de desplazamiento lateral son siempre ms vulnerables que en el caso que a la estructura se la provea de arriostramiento que minimicen los desplazamientos horizontales. Por ello es importante tener en cuenta que la falta de rigidez, o la alta flexibilidad de columnas a las que se les pudiera haber dado en el diseo solo responsabilidad a cargas gravitatorias, podran colapsar por exceso de desplazamientos entre sus extremos. Es decir, el comportamiento real podra no responder a las intenciones de diseo y la columna transformase en muy esbelta por falta de arriostramiento lateral de la estructura en su conjunto.

El caso de Fig. 5.7(c) es el ms real que se presenta en prticos desplazables,

pues los extremos no corresponden a situaciones ideales sino a intermedias. En este caso el pandeo ocurre con longitudes efectivas que van desde poco ms grandes que la longitud real hasta casos en que el valor de k puede crecer mucho y la longitud efectiva ser varias veces mayor que la real (incluso tericamente no tiene lmite). Si los extremos tienen vigas muy rgidas se aproximan al caso de k= 1.0. Si las vigas son muy flexibles la situacin se parece al de columna biarticulada pero con posibilidad de desplazamiento lateral, por lo que esto tiende a ser inestable y numricamente el valor de kl crece muchsimo. Esto lleva a que el valor de Pcr tienda a cero, es decir,

cualquier carga de compresin, por pequea que sea, puede producir el colapso. Nuevamente se pueden utilizar los nomogramas de Jackson y Moreland que se

muestran en la Fig. 5.8 para determinar k a partir de los valores de de los extremos. Del grfico se ve que los extremos de k= 1.0 corresponden a rigidez muy grande de

vigas, con valores de que tienden a cero, ver Fig. 5.7(b), y el ms desfavorable a rigidez despreciable de vigas, con lo cual los con valores de que tienden a infinito y lleva a k a valores extremadamente grandes.

En la seccin 10.13.1, el CIRSOC 201-05 dice que debe tomarse k>1.0, y en los

comentarios, seccin 10.12.1 establece que para prticos desplazables:

Si m < 2.0

mmk

1

20

20 (10a)

Si m 2.0

mk 19.0 (10b)

siendo m el promedio de los valores de , factores de restriccin al giro en los nudos, en los dos extremos del elemento.

En elementos desplazables y con un extremo articulado:

3.02 k

(10c)

siendo el valor en el extremo restringido.

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Fig. 5.8 Nomogramas para determinar grficamente el factor de longitud efectiva k para el caso de columnas de prticos con desplazamiento horizontal o no arriostrados.

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5.2.4 LAS COLUMNAS DENTRO DE LA ESTRUCTURA. PRTICOS ARRIOSTRADOS Y NO ARRIOSTRADOS.

En estructuras de hormign armado raramente se trabaja con elementos

individuales. En general, los prticos son de nudos rgidos (no quiere decir empotrados), es decir con resistencia a momentos (no articulados). Esto es particularmente cierto en zonas ssmicas donde si bien se pretende filosofa de columna fuerte y viga dbil, (y esto refiere a resistencia) stas deben tener suficiente rigidez como para mantener los desplazamientos horizontales dentro de ciertos lmites. La rigidez de la columna a desplazamientos laterales depende de la rigidez global de la estructura a la que el pilar pertenece o a la que est de alguna manera vinculada. En la Fig. 5.9 se ven distintas configuraciones de deformaciones globales, de donde se induce los posibles factores de longitud efectiva.

Fig. 5.9 Modos de pandeo para prticos (a) arriostrados y (b) no arriostrados contra

desplazamiento lateral.

La Fig. 5.10(a) muestra cmo tabiques de hormign armado (en este caso

utilizados en el mismo plano del prtico) pueden controlar y minimizar la deformacin lateral (induciendo un tipo de deformacin lateral de flexin). Si bien no lo sugiere el grfico, cuando hay tabiques continuos los desplazamientos en los pisos son pequeos por lo que los desplazamientos relativos tambin resultan pequeos. No ocurre lo mismo en el caso de la Fig. 5.9(b), donde una estructura porticada de nudos rgidos ante cargas laterales adquiere una deformacin tpica de corte con desplazamiento

relativo entre cabeza y pie de columnas significativo y potencial efecto P- muy serio. La Fig.5.9(c) muestra el caso de una estructura con un piso inferior "blando", para el cual el desplazamiento relativo de los pilares del piso inferior puede ser muy grande. Para los pisos superiores, los nudos extremos de la columna se mantienen casi sobre

la misma vertical, y ah el efecto P- ser mucho menor que para los pilares inferiores.

(a) (b) (c) Fig. 5.10 Diferentes casos de prticos interactuando con tabiques.

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Fig. 5.11 Esquemas conceptuales para longitudes de pandeo para el caso de prticos de un nivel (a) arriostrado lateralmente; (b) sin arriostramiento.

La Fig. 5.11 muestra en forma esquemtica varias de las consideraciones que se

han llevado a cabo hasta ahora para el caso de prtico de un solo piso. 5.3 COLUMNAS EN COMPRESIN MS FLEXIN.

En la mayora de los casos, en las columnas, la compresin est acompaada de flexin, ya sea provocada por cargas transversales en los tramos o por continuidad estructural. 5.3.1 MOMENTOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN.

Consideremos una columna esbelta, inicialmente recta, sometida a las fuerzas

de compresin P y momento inicial M= P.e, tal cual muestra la Fig.5.12. Fig. 5.12 Columna esbelta con carga excntrica.

En este caso particular la disposicin de las cargas P produce una

flexin en la pieza con curvatura simple (momento de un solo signo a lo largo de su altura). La deformacin de flexin produce en la seccin que

corresponde a la seccin crtica, una excentricidad adicional , que se agrega a la excentricidad inicial e para incrementar el momento flector que en esa seccin se hace mximo.

Un anlisis estructural basado en la teora de primer orden nos dara un

diagrama de momento flector como el que corresponde a la Fig.5.13(b). Se ve que si la carga axial no estuviera presente, el Momento Mo sera constante a lo largo del elemento e igual al de los extremos Me. Para este caso la flexin del elemento sera como se indica con lnea punteada en Fig.5.13(a). Por accin de P el momento en cualquier punto se incrementa en una cantidad igual a P por el brazo de palanca. Ahora la deformacin se indica con lnea continua. Para el clculo de las solicitaciones por la teora de segundo orden se debe tener en cuenta la posicin final de la pieza; en otras palabras, para el clculo de la excentricidad se debe considerar la deformacin de la pieza sometida a las cargas actuantes. As entonces, un anlisis basado en la teora de segundo orden dara un diagrama de momento flector como el indicado en Fig.5.13(b).

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Fig. 5.13 Momentos en elementos esbeltos que se someten a compresin ms flexin,

deflectados en curvatura simple.

Se observa que el considerar el efecto de la deformacin propia del pilar en las

solicitaciones aumenta el momento mximo desde (P.e) a [P(e+)]. Este efecto es comnmente conocido como el efecto P-. En elementos flexo comprimidos y esbeltos el efecto P- puede adquirir relevancia, lo cual depende del tipo de carga y, como antes se expres, de las condiciones de borde del elemento estructural. El valor del momento es entonces:

PyMM o (11)

La Fig. 5.13(c) presenta el caso en que la flexin es producida por la carga

transversal a la columna designada como H. Si P est ausente, el momento en cualquier punto a distancia x es Mo= Hx/2, con mximo en el centro e igual a Hl/4. El diagrama se indica con Mo en Fig. 5.13(d), y la deformada en trazo discontinuo en Fig.5.13(c). Cuando se aplica P, aparecen los momentos adicionales Py, distribuidos como se muestra y el momento en cualquier punto de la columna consta de las dos componentes mencionadas, siendo vlida la ecuacin (11).

En la Ref.[6] se indica que las flechas y de columnas elsticas como las que se

muestran en la Fig. 5.13 se pueden obtener a partir de los valores de yo, es decir de aquellas independientes de la carga axial, a partir de:

c

oPP

yy/1

1

(12)

Si es la flecha en correspondencia con el momento mximo, se puede escribir:

c

oooPP

PMPMM/1

1max

(13)

Segn la misma referencia, la misma ecuacin puede ser expresada como:

15

c

co

PP

PPMM

/1

/1max

(14)

donde es un coeficiente funcin del tipo de carga y que vara aproximadamente entre +0.20 y 0.20, en la mayora de los casos. Adems, como P/Pc es relativamente

pequeo, entonces el trmino (P/Pc) es muy pequeo y despreciable, por lo que:

c

oPP

MM/1

1max

(15)

El factor

cPP /1

1se conoce como factor de amplificacin de momento, ya que

representa la cantidad que debe incrementarse a Mo por efecto de esbeltez. La Fig. 5.14(a) muestra cmo se incrementa el momento por encima de Mo cuando aumenta la esbeltez que implica disminucin de Pc como muestra la Fig. 5.2(b).

Fig.5.14 Momentos en las columnas. Efecto de: (a) la esbeltez, (b) la carga axial

Es importante notar la diferencia de dnde ocurren los incrementos de momentos por esbeltez. En la Fig. 5.13, en ambos casos, el mayor momento que

produce P, designado como P, se suma directamente al mximo de primer orden, sea el Mo que se induce en los apoyos, o el 4/HlM o del caso de Fig. 5.13(c). A medida

que la carga aumenta, el momento en el centro de la luz se incrementa ms rpido que la carga P (no son lineales), con ley de variacin dada por la ecuacin (11) y (14) para el mximo, lo cual se grafica en Fig. 5.14(b). La falla del elemento se producir cuando la combinacin M-P alcance los valores de Mn-Pn, resistencias nominales de la seccin transversal.

El momento mximo producido por P, o sea (M=P), no siempre se presenta en la misma seccin donde ocurre el mximo momento de primer orden, Mo, y entonces la suma directa de ambos efectos mximos no siempre ocurre. Por ejemplo, en la Fig. 5.15 los momentos extremos son iguales pero de distinto signo, generando un diagrama de momentos Mo indicado en 5.15(b). Las deflexiones producidas slo por Mo, indicadas con lnea de trazos en 5.15(a), se vern nuevamente amplificadas cuando se aplica la carga P, pasando la deformada a ser la lnea continua de (a). Segn la Ref.[6], las flechas totales se pueden aproximar mediante:

c

oPP

yy4/1

1

(16)

Al comparar con la ecuac. (12) se ve que la amplificacin es bastante menor por

la presencia del factor 4 que divide a P/Pc.

16

Fig. 5.15 Elementos esbeltos sometidos a compresin ms flexin con doble curvatura.

Los momentos adicionales Py se distribuyen segn (c) y su mximo, a cierta distancia del apoyo, no se corresponde con los mximos de Mo, o sea Momax=Me que ocurren en los apoyos.

Los momentos totales,

M=Mo+Py pueden tener configuraciones como se

muestran en (d) y (e), una u otra. En el primer caso ocurrira que el momento mximo sigue estando en el apoyo, es decir es Me, por lo cual se concluye que en ese caso la presencia de la fuerza axial no produce incrementos de los momentos mximos (s en la altura). En el caso (e) se plantea la alternativa de que el mximo total se desplace del apoyo, y por lo tanto sea mayor que Me.

Al comparar las Figs. 5.13 y 5.15, se pueden sacar las siguientes conclusiones:

(i) para columnas sometidas a momentos que producen curvatura simple:

(a) Si la columna est sometida a momentos iguales en ambos extremos o a cargas simtricas (caso (c) de Fig. 5.13), las secciones donde se dan los mximos valores de Mo coinciden con los mximos de yo, por lo cual la amplificacin de Py tambin es mxima.

(b) Si los momentos en los extremos son diferentes, existir amplificacin de Mo,

an en forma importante, pero no tanto como en caso anterior. (ii) para columnas sometidas a momentos que producen curvatura doble (es

decir hay punto de inflexin dentro del elemento), no existir amplificacin o sta ser pequea.

Si se plantea el caso general de momentos en extremos de distinto valor, digamos

M1 y M2, se puede demostrar que para los casos de Figs. 5.13(a) y 5.15, la amplificacin depende entonces de la magnitud relativa de los momentos en los extremos y est dada por:

c

mo

PP

CMM

/1max

(17)

Se ve que esta ecuacin es casi idntica a la (15), con la sola variacin de la

presencia del factor Cm, y que puede tomar como mximo el valor de 1.0, en cuyo caso ambas coinciden.

El CIRSOC 201-05, en su seccin 10.12.3.1, dice que para los elementos que

pertenecen a prticos indesplazables, con cargas transversales:

0.1mC (18)

17

y para elementos sin cargas transversales, en prticos no arriostrados, la expresin general del coeficiente Cm, que es un factor que relaciona el diagrama real de momentos con un diagrama equivalente de momentos uniforme, est dada por:

4.04.06.00.12

1 M

MCm (19)

M1 es el menor de los dos momentos, M2 el mayor, es decir M2= Mo. La relacin (M1/M2) se toma como positiva si los momentos producen curvatura simple, con lo cual si ambos son iguales se llega a la mxima amplificacin, Cm= 1.0. Para doble curvatura, la relacin se toma negativa, por lo que si fueran iguales los momentos la ecuacin (18) dara un Cm menor del mnimo (0.2), por lo que se adopta el valor mnimo de 0.4 indicado. Es obvio que si M1= 0, Cm= 0.6. Esto se expresa en la Fig. 5.16.

Fig. 5.16 Tomada de CIRSOC 201-05, Fig. 10.12.3.1. Valores de Cm.

Se ver a continuacin que la ecuacin (19) slo es vlida para el caso de prticos arriostrados, ya que para los desplazables el coeficiente Cm no se puede tomar como reductor de momentos.

Entre los elementos que estn arriostrados contra desplazamiento horizontal se incluyen columnas que puedan formar parte de estructuras en las que los

desplazamientos estn minimizados por: muros suficientemente rgidos en su propio plano, Fig. 5.10(a), arriostramiento vertical en otros planos (como los suministrados por muros de hormign armado en los ncleos de circulaciones verticales en edificios), o rigidizaciones que se coloquen en el prtico al que pertenece la columna.

Si no se suministra tal arriostramiento, el desplazamiento lateral ocurre para el

prtico completo y en forma simultnea. Se haba dicho que para columnas sin desplazamiento, momentos extremos con signos cambiados (doble curvatura, punto de

18

inflexin en el tramo) era favorable. Obsrvese ahora la Fig. 5.17, y comprese con la Fig. 5.18.

Fig. 5.17. Prtico empotrado y sin arriostramiento lateral.

Fig. 5.18. Prtico empotrado y con arriostramiento lateral

En el prtico simple de la Fig. 5.17, se supone que acta la carga horizontal H, (por viento o sismo), junto con fuerzas de compresin

P, debido a cargas gravitatorias. Los momentos Mo slo debidos a H aparecen en dicha figura (b). La deformacin asociada se indica en lnea de trazos. El desplazamiento de sus extremos superiores provoca que P induzca momentos adicionales, graficados en (c), y que a su vez provocan mayores desplazamientos horizontales que ahora se totalizan en la lnea continua. El diagrama total se indica en (d). Se observa que los momentos mximos, tanto los debidos a H como los debidos a P (que en la teora de primer orden no existen), ocurren en el mismo sitio, en los extremos de las columnas. Son aditivos y producen una considerable amplificacin de los momentos. Sin embargo, si el prtico est impedido de desplazarse, como se esquematiza en la Fig. 5.18, los mximos momentos, los debido a P por teora de primer orden o sea Mo,mx, y los mximos que las mismas fuerzas P provocan por deformacin de las columnas o sea MP,mx, se dan en secciones diferentes. Si hubiera amplificacin, como antes se expres, sera mucho menor, como lo intenta cuantificar la expresin de Cm.

Debe observarse que los desplazamientos horizontales podran provenir no

solamente de cargas de viento o acciones de sismo, sino de asimetra de cargas verticales, o de asimetra en la estructura, o ambas.

En sntesis: (i) En elementos esbeltos sometidos a flexin, la compresin produce mayores

deflexiones y momentos adicionales Py. Los incrementos aumentan con la esbeltez. (ii) En elementos arriostrados, si la flexin produce curvatura simple, los

momentos de primer y segundo orden ocurren en el mismo sitio o muy cercanos, por lo

19

cual hay amplificaciones importantes. Si los momentos Mo producen doble curvatura, la amplificacin o no existe o es pequea.

(iii) En elementos no arriostrados, los momentos Mo y Py se producen en las mismas secciones: extremos de las columnas. En consecuencia, hay suma de mximos, a pesar de la existencia de un punto de inflexin. 5.4 PROBLEMAS REFERIDOS A LA ESTABILIDAD.

A los efectos de enfatizar el fenmeno fsico de la inestabilidad, se lleva a cabo a

continuacin una descripcin cualitativa del problema. Fig. 5.19. Equilibrio e Inestabilidad en columnas y la diferencia con las vigas.

Se supone una columna idealmente recta, relativamente alta, con un extremo

empotrado y otro libre. Con referencia a la Fig. 5.19, si se aplica una carga axial P relativamente pequea a dicha columna, la misma sufrir un acortamiento, deformacin menor de compresin, pero permanece recta. Adems, si cuando est actuando P se le aplica una pequea carga horizontal Q, la misma experimentar un pequeo desplazamiento horizontal, que desaparece al quitar la accin Q que la produjo. El mismo ejercicio se puede llevar a cabo muchas a veces hasta valores de P justo por debajo del crtico Pcr de Euler. Como al sacar la carga Q la columna vuelve a su posicin vertical, es decir deflexin cero, el equilibrio es estable.

Al alcanzar el valor crtico de axial, Pcr, la columna permanecer con una

deformada permanente luego de la remocin de Q. La posicin vertical se puede recuperar si la pequea carga Q se aplica en sentido contrario. Esta condicin instantnea se llama estado de equilibrio neutro o indiferente. Cuando se ha alcanzado el valor de Pcr la aparicin de una fuerza horizontal, aunque de magnitud insignificante, puede precipitar el pandeo lateral y por lo tanto destruir la precaria condicin de equilibrio en la que se encuentra la columna en posicin recta. Si la fuerza P se incrementa por encima de Pcr, aunque sea por un valor insignificante, si la columna es sometida a un mnimo valor de Q, luego de que sta sea removida, no retornar a su posicin recta. Esta respuesta se esquematiza en la Fig. 5.19(b) con lnea llena, y segn se indica, con las posibilidades de desplazamiento en cualquiera de las direcciones, equilibrio indiferente, punto de bifurcacin. Analticamente, ver Ref.[1], y con referencia a la Fig. 5.19, se podra demostrar que con apenas un incremento del 1.5 % por sobre Pcr (es decir el aplicar 1.015 Pcr) puede llevar a desplazamientos de la columna del orden del 22 % de la altura, suponiendo comportamiento elstico del material. Este grado de desplazamientos no puede ser tolerado en las construcciones. Baste recordar, por ejemplo, que para acciones ltimas de sismo severo las rotaciones de piso mximas que se pueden admitir no superan el 2.0 a 2.5 %, es decir, 10 veces menos que lo antes expresado. En consecuencia, la determinacin de la carga Pcr es fundamental en los casos en que el pandeo pueda influir, pues realmente representa la capacidad ltima de una columna ideal. En la prctica, las columnas, que

20

inevitablemente no son estrictamente rectas y adems no pueden ser cargadas en forma perfectamente axial, tendrn desde el principio una deflexin inicial. Como referencia se recuerda que el CIRSOC 201-05 en su seccin 6.5.2 establece tolerancias de verticalidad de columnas construidas in situ del orden de 1 a 2 por mil (0.001 a 0.002). Para una columna real, con comportamiento indicado por la lnea punteada de la Fig. 5.19(b), la ordenada de valor Pcr representa una asntota y valor techo muy significativo.

En contraste, el comportamiento de una viga, (sin esfuerzo axial) con

desplazamiento lateral restringido, como la indicada en la Fig. 5.19(c) es graficada en la Fig. 5.19(d). En este caso la deflexin del extremo de la viga es una funcin lineal de P

( EIPl /3 ). Si la carga se duplica de la misma forma se incrementa la flecha. En el caso de la columna y antes de que se alcance Pcr, el aumentar al doble o cuatro veces el valor de P no produce un efecto apreciable. No hay un graduable incremento del desplazamiento horizontal que preavise del nivel de carga peligrosa alcanzado. Paso siguiente, un repentino pandeo se produce al acercarse o alcanzar Pcr, como esquematiza Fig. 5.19(b). El diagrama de carga P vs. deflexin no es una funcin lineal con P. Por ello, las fallas de columnas en las estructuras de ingeniera son catastrficas y en muchos casos por problemas de inestabilidad.

Fig. 5.20 Diagrama Cargas P vs. Deformacin v. Estados de equilibrio.

Segn la Fig. 5.20, Ref.[7], para el

caso de curva 1, barra recta a compresin sin flexin, por debajo de Pki= Pcr se est en equilibrio estable, caso 1a, y apenas alcanzado el mismo, se pasa al estado de equilibrio indiferente, con bifurcacin, pudiendo seguir 1b o 1c.

Para el caso de curva 2, se ve que actan desde el inicio un axial P y un

momento P(e+v). La pieza no es tan esbelta y la falla se produce por agotamiento de la tensin mxima en la seccin crtica: es un problema tensional. Como se ver luego, debido al efecto de segundo orden (deflexin v), hay una reduccin en la capacidad de M-N (ya no hay relacin lineal de M con N con la excentricidad total) con respecto al caso en que la esbeltez fuera despreciable. Pero no hay problemas de inestabilidad.

Si la barra es bastante esbelta, caso 3, para valores de P por debajo de Pkr, es

decir v

21

5.5 DIFERENCIA ENTRE EL COMPORTAMIENTO DE COLUMNA NO ESBELTA Y COLUMNA ESBELTA.

En una columna no esbelta o corta su carga ltima no est reducida por las deformaciones de flexin puesto que las excentricidades adicionales son despreciables u ocurren lejos de la seccin crtica. Sin embargo, para una columna esbelta la carga

ltima se ve reducida por el incremento de momento debido al efecto P-. La Fig. 5.21 muestra estos dos comportamientos claramente diferentes, tomando

como base el diagrama de interaccin M-P. El comportamiento de la columna de Fig.5.21(a), bajo la accin de carga monotnica y proporcionalmente creciente est graficado en Fig.5.21(c) con respecto al diagrama de interaccin de la seccin crtica de la columna (altura media de la misma).

Cuando el efecto P- es despreciable, el mximo momento es M= P.e, y crece linealmente con el incremento de P, al permanecer la excentricidad inicial invariable (cualquier recta que se trace desde el origen y busque la curva P-M representa un valor

de e=constante. Note que para e=0, corresponde al eje vertical, slo axial. Para e=, corresponde a axial cero y puro momento: eje de abcisas). Este es el comportamiento de una columna no esbelta y la falla de la pieza se producir por falla del material hormign armado cuando la recta que define el comportamiento de columna corta alcance el diagrama de interaccin M-P. Eso es lo que indica la parte izquierda de la Fig. 5.2(c) donde la falla, es por aplastamiento o desintegracin del hormign y es, por

debajo de lim, independiente de la esbeltez.

(a) (b) (c)

Fig. 5.21 Interaccin de la resistencia en columnas no esbeltas y esbeltas. Comportamiento hasta la falla. Diferentes tipos de fallas.

Si la columna es esbelta, al incrementar P tambin se incrementa la excentricidad

(al crecer ) que es ahora (e+ y el momento resulta M= P(e+), dejando de responder a una ley lineal ya que M= f(P,). M es entonces una funcin de las variaciones de P y de . Se pueden distinguir dos situaciones de columnas esbeltas:

1. la columna, aunque esbelta, es estable ante la deformacin lateral , y corresponde a la curva indicada como de falla de material en Fig.5.21(c). En este caso se alcanza el diagrama de interaccin M-P por agotamiento de la

22

resistencia de los materiales de la seccin de hormign armado. Es clara la reduccin de la carga ltima con respecto a la que corresponde a la columna no esbelta. Es el caso 2 de Fig. 5.20. Este tipo de falla generalmente ocurre en columnas esbeltas que forman parte de prticos cuyos desplazamientos laterales estn restringidos.

2. el segundo caso de columna esbelta, y que corresponde a la curva falla de

estabilidad, ocurre cuando el pilar por ser tan esbelto se vuelve inestable antes de alcanzar el diagrama M-P, con consecuentes incrementos de y reduccin de la carga ltima Pu. Es el caso que suele ocurrir en columnas de prticos que no estn arriostrados lateralmente con elementos de rigidez suficiente y sus nudos tienen amplia libertad de desplazarse horizontalmente. Este, es un comportamiento que debe ser evitado por el tipo no deseado de falla que genera. Es el caso 3 de Fig. 5.20, y se observan en Fig.5.21 como falla de estabilidad

Fig. 5.22 Diagramas de interaccin para resistencias nominales en funcin de la esbeltez y de

las condiciones de carga y excentricidades.

En la Fig. 5.22 se muestra cmo influye la esbeltez en la degradacin de la

resistencia a flexo-compresin. Se ve que el caso ms desfavorable corresponde a columnas con deflexin con curvatura simple, caso a, es decir e2= e1, y luego le sigue el b con e2= 0, y el ms favorable es el c, con e2= -e1. Se deja al lector obtener otras conclusiones.

23

5.6 RESUMEN DE LOS FACTORES QUE AFECTAN EL COMPORTAMIENTO DE LAS COLUMNAS ESBELTAS

En base a lo expuesto en los puntos anteriores, los factores de mayor significacin son entonces:

1. la relacin entre la altura libre de la columna y la profundidad de la seccin en la

direccin posible de pandeo, Lu/d. (Note que este cociente por s solo no cuantifica el factor de esbeltez que ms adelante se definir).

2. las excentricidades e/h (e=M/P), de extremos de columna y el signo de las mismas. La Fig.5.16 muestra distintos casos para nudos no desplazables. Como se observa, la mayor reduccin de la carga ltima Pu corresponde al caso (a) (pues a l corresponde la mayor deformacin por flexin), mientras que el menor efecto sobre la capacidad del pilar ocurre en el caso (c), cuando el diagrama de momento flector en la altura de la columna es lo suficientemente cruzado.

3. el grado de restriccin rotacional en los extremos del pilar. Mientras ms rgida la viga de conexin, menor posibilidad de reduccin de la capacidad ltima Pu.

4. la flexibilidad lateral. Una columna con desplazamientos relativos de sus extremos sufre una reduccin de Pu mayor que aquella en la que sus nudos se mantienen sobre la misma vertical.

5. el contenido de acero y la resistencia de los materiales. Esto afecta la resistencia y por ende la rigidez a flexin de la seccin de la columna.

6. la duracin de la carga. La deformacin diferida del hormign aumenta las deformaciones de la columna, crece su flexibilidad y disminuye entonces Pu.

Se ha presentado un resumen de las consideraciones tericas que estn relacionadas con el comportamiento de columnas esbeltas que constituye un problema bastante complejo. Las disposiciones del ACI-318 que son las que adopta el CIRSOC 201-05 se basan en las consideraciones y ecuaciones antes presentadas. De alguna manera, stas tienen en cuenta las complejidades asociadas al hecho de que el hormign no es un material elstico, que la fisuracin a traccin modifica las condiciones de rigidez y que bajo carga sostenida en el tiempo, efecto de cargas de larga duracin, el flujo plstico aumenta las deflexiones a corto plazo, lo cual provoca variaciones y redistribuciones en los esfuerzos internos. El empleo de hormigones y armaduras de mayor resistencia, acompaado de mtodos de diseo y anlisis ms precisos lleva a la posibilidad de disear secciones de hormign armado ms pequeas y por lo tanto ms esbeltas. La necesidad de procedimientos de diseo confiables y racionales para columnas esbeltas se convierte as en una consideracin importante en el diseo de columnas. El CIRSOC 201-05 en C.10.10.1 aclara las limitaciones que existen para aplicar los mtodos avanzados de diseo y anlisis, en las cuales incluso menciona que se debe mostrar evidencia de los resultados de ensayos sobre columnas esbeltas en sistemas planos indesplazables, en sistemas desplazables y en prticos con columnas de diferentes rigideces. Programas computacionales de amplio uso en el medio como SAP y ETABS tienen opciones incluidas para considerar los efectos de segundo orden. La alternativa a los anlisis avanzados de segundo orden es el mtodo de amplificacin de momentos, que luego se presenta en este trabajo.

24

5.7 CRITERIO DEL CIRSOC 201-05 PARA DEFINIR PRTICOS DESPLAZABLES E INDESPLAZABLES

Ha quedado clara la gran diferencia de comportamiento que poseen las columnas de prticos desplazables con respeto a indesplazables. Por ello el CIRSOC 201-05 especifica previsiones separadas para prticos indesplazables a partir de su seccin 10.12, y otras para prticos desplazables a partir de la seccin 10.13.

No existen en la realidad estructuras extremadamente rgidas o flexibles. Se dan

casos intermedios, y lo que el diseador debe verificar es si, por ejemplo, a travs de los muros estructurales dispuestos en todo el edificio, los ncleos rgidos de escaleras y ascensores, o estructuras de rigidizacin especialmente dispuestas, son suficientes para mantener los desplazamientos por debajo de ciertos lmites.

El primer criterio que da la norma para calificar a una columna desplazable o

indesplazable, seccin 10.11.4.1, es llevar a cabo los dos anlisis, el de primer orden y el de segundo orden. Si debido a los efectos de segundo orden los momentos en los extremos de las columnas se ven incrementados en menos de un 5%, la columna se puede considerar indesplazable. Obvio que no es muy prctico esto pues hay que hacer ambos anlisis. La norma aclara que el anlisis de primer orden es un anlisis elstico que no incluye las variaciones en los esfuerzos internos que se originan por las deformaciones.

En la seccin 10.4.2 da una alternativa a partir de evaluar lo que llama ndice de estabilidad de un piso, designado como Q, al cual corresponde:

cu

ou

lV

PQ

(20)

Pu = sumatoria de todas las cargas verticales mayoradas que actan en el piso. Debe ser tal que maximiza su valor.

Vu= corte en el piso que produce o. o = deflexin relativa por anlisis de primer orden entre la parte superior y la

inferior del piso.

cl longitud del elemento a compresin medido entre ejes de nudos de prticos

(ejes de viga superior e inferior). Esta expresin no es aplicable si Vu= 0. El CIRSOC 201-05 en su comentario

C.10.13.6 dice que los valores de Vu y o utilizados para calcular Q se pueden obtener a partir de cualquier conjunto real o supuesto arbitrario de cargas horizontales. Obviamente las deflexiones utilizadas en (20) deben corresponder a ese corte Vu.

La citada norma establece, seccin 10.11, que para obtener las solicitaciones,

momentos, axiales, cortes, y cuando sea necesario determinar los desplazamientos de piso, se puede utilizar el anlisis de primer orden pero hay que tener en cuenta efectos de fisuracin, cargas de larga duracin, fluencia lenta o deformacin por cargas de larga duracin que en forma efectiva reducen el valor del mdulo E. Adems, se deben considerar los efectos de las diferentes cuantas de acero que tengan las secciones de hormign. Como alternativa, la norma da la tabla que sigue para afectar las propiedades de las secciones:

25

Tabla de seccin 10.11.2 de norma CIRSOC 201-2005.

El mdulo de rigidez a flexin, establece en la seccin 10.12.3, se debe evaluar a partir de cualquiera de estas expresiones:

(21)

o

(22)

Ec mdulo de elasticidad del hormign, Es mdulo de elasticidad del acero, Ig y Ag se calculan en base a la seccin bruta de hormign, despreciando el refuerzo, Ise momento de inercia de la armadura con respecto al eje baricntrico de la seccin,

d en prticos arriostrados es relacin entre la mxima carga axial mayorada que acta en forma permanente (carga de larga duracin, carga muerta D por ejemplo) y la mxima carga axial mayorada asociada a la misma combinacin de cargas (D+L),

d en prticos NO arriostrados es relacin entre el mximo corte mayorado que acta en forma permanente (carga de larga duracin) en un entrepiso y el corte mximo mayorado en ese piso.

d

sesgc IEIEEI

1

2.0

d

gcIEEI

1

4.0

26

5.8 CRITERIO DEL CIRSOC 201-05 PARA TENER EN CUENTA O IGNORAR LA ESBELTEZ

El CIRSOC 201-05 indica tres situaciones muy claras con relacin al grado de esbeltez y que quedan resumidas en la Fig. 5.23 obtenida de la seccin 10.13.7.

Fig. 5.23 Criterio del CIRSOC201-05 para esbeltez.

Como se dijo al inicio de este trabajo, se debe evaluar la esbeltez, ecuacin (1),

a travs del radio de giro, ecuacin (2) y de la longitud del elemento. En la seccin 10.11.2 da los lineamientos que se expresan en la Fig. 5.24 para el radio de giro y Fig. 5.25 para lu que es la longitud sin soporte lateral.

Fig. 5.24 Criterio del CIRSOC 201-05 para evaluar radio de giro.

27

Fig. 5.25 Criterio del CIRSOC 201-05 para cuantificar lu.

De la Fig. 5.23 se ve que en cualquier caso, si la esbeltez supera el valor de 100 es necesario llevar a cabo un anlisis avanzado de segundo orden. En los comentarios pone ms limitaciones (se remite al lector a consultarlas). Esto implica que se le pone un lmite a la aplicacin de mtodos aproximados, como el de amplificacin de momentos que a continuacin se ver. El valor lmite de esbeltez de 100, segn el C.10.11.5 representa el mayor valor obtenido a travs de ensayos de prticos para elementos comprimidos esbeltos. Por aplicacin de mtodos ms sofisticados no aparece un lmite superior.

En la seccin 10.12.2 establece que el efecto de esbeltez puede ignorarse en

prticos indesplazables si se cumple que:

2

11234M

M

r

klu (23)

con lmite de:

4012342

1

M

M (24)

M1 y M2 son los momentos menores y mayores respectivamente, y con los signos

que antes se indicaron para la ecuacin (19).

En la seccin 10.12.1, CIRSOC 201-05 dice que k debe tomarse igual a 1, a no ser que se justifique por medio de un anlisis un valor inferior. De la Fig. 5.6 se observa, y ya se coment, que el mnimo valor es 0.5, que corresponde a una situacin ideal de

vigas extremadamente rgidas, =0, por lo que seguramente el valor mnimo est por encima del que corresponde a situacin ideal. Las expresiones analticas dan un mayor valor.

En la seccin 10.13.2 establece que el efecto de esbeltez puede ignorarse en prticos desplazables si se cumple que:

22r

klu (25)

En la seccin 10.13.1 el CIRSOC 201-05 dice que k > 1.

28

5.9 DISEO DE COLUMNAS ESBELTAS. CRITERIOS Como se expres, en la prctica hay dos formas de abordar el problema del diseo

de columnas esbeltas: 1. utilizando un mtodo exacto, o bien 2. usando algn mtodo aproximado. En el primer caso se debe utilizar un mtodo de anlisis que tenga en cuenta: 1. la rigidez real de los elementos estructurales. 2. los efectos de las deformaciones en el valor de las solicitaciones internas. 3. el efecto de la duracin de las cargas. Este tipo de anlisis, por ya incluir los efectos de segundo orden, arrojar las

solicitaciones internas finales (momentos, cortes, axiales) con los cuales las secciones pueden ser diseadas sin necesidad de correccin posterior alguna. Sin embargo este procedimiento es muy complejo (depende por supuesto de la estructura en estudio), requiere un soporte computacional de importancia y su rigurosa aplicacin no siempre es necesaria. Como depende de una buena modelacin, como siempre, la sofisticacin de los mtodos de anlisis no asegura resultados indiscutibles.

Como alternativa, los mtodos aproximados se basan en obtener las

solicitaciones a travs de un anlisis estructural convencional de primer orden, y luego las secciones son dimensionadas para resistir acciones modificadas (mayoradas) que tienen en cuenta en forma aproximada el efecto de las deformaciones en las solicitaciones reales de la estructura. Los mtodos mas comnmente utilizados son los dados por el cdigo ACI-318, las normas DIN 1045 y las recomendaciones del Comit Europeo CEB-FIP. 5.10 PROCEDIMIENTO DE DISEO DEL CDIGO ACI-318-05 y CIRSOC 201-05

EL MTODO DE LA MAGNIFICACIN DE MOMENTOS 3.10.1 FUNDAMENTOS.

El mtodo parte de las solicitaciones obtenidas por medio de un anlisis estructural de primer orden. A posteriori, el momento ltimo de diseo se magnificar

con un factor que tendr en cuenta los efectos de segundo orden.

Figura 5.26. Prtico simple. Cargas y solicitaciones.

.H.q

Mu Pu Vu

: Coeficiente de mayoracin de cargas(coef. de seguridad)

(a) Estructura y cargas. (b) Solicitaciones por anlisis de primer orden

para una columna.

29

Supongamos la estructura simple de la Fig.5.26. La columna de la derecha, por ejemplo, tendr como solicitaciones ltimas de primer orden el axial Pu y el momento Mu= Pu.e. Los fundamentos en los que se apoya el mtodo de magnificacin de momento del ACI-318 quedan ilustrados en la figura Fig.5.27. Se supone que la columna es esbelta y por tanto que el mtodo es de aplicacin.

Fig. 5.27. Diagrama de interaccin. Magnificacin de momentos. ACI

Del anlisis de primer orden Mu y Pu son el par de valores que producen la falla de la columna si esta no fuera esbelta, y dan un punto (1) en el diagrama (a) de interaccin M-P. Ese diagrama corresponde a una seccin de hormign armado de determinadas dimensiones y cantidad de armadura. Sin embargo, dado que la columna es esbelta la relacin M-P deja de ser lineal y de utilizarse esa seccin de hormign armado la rotura de la pieza se alcanzara en el punto (2) del diagrama (a) de interaccin, con la consecuente reduccin de la capacidad ltima Pu de la columna, ya que P'u < Pu.

El mtodo consiste en encontrar un factor de magnificacin del momento Mu para que .Mu y Pu sean el par de solicitaciones ltimas para el diseo del pilar. Esto implicar que ser necesario utilizar una seccin de hormign armado tal que le corresponda el mismo valor Pu como capacidad axial de columna y un momento ltimo

.Mu, donde > 1,0. En otras palabras, una seccin de hormign armado a la que le corresponda un diagrama de interaccin M-P como el (b) de Fig.5.27, donde la rotura de la columna se alcance en correspondencia con el punto (3) del citado diagrama M-P que es el que finalmente se usar en la verificacin del diseo de la pieza. 5.10.2 PROCEDIMIENTO DE APLICACIN

El mtodo en su aplicacin es bastante simple e involucra tres pasos: 1. obtencin de las solicitaciones ltimas Mu y Pu, usando teora de primer orden.

2. calcular , coeficiente de mayoracin de Mu. 3. disear para las solicitaciones Pu y Mu.

donde el factor de magnificacin de momento se designa como ns para el caso de prticos indesplazables y s para prticos desplazables, ya que el mtodo es vlido para ambos casos, y el CIRSOC 201-05 los trata en forma separada y en la forma que a continuacin se presenta.

Pu

Pu

(1)

(2)

(3)

P

M(a) (b)

Mu Mu

(1) Momento y carga de falla determinados

por anlisis estructural convencional.

(3) Momento y carga de falla supuestos para

el diseo final.

30

5.10.3 MOMENTOS AMPLIFICADOS. PRTICOS INDESPLAZABLES

En la seccin 10.12 la norma especifica que los elementos comprimidos se deben disear para la carga Pu que resulta de cargas mayoradas (mtodo LRFD) y el

momento asociado Mu2 (es el mayor) amplificado por un factor ns tal que:

2unsc MM (26)

El factor amplificador est dado por:

c

u

mns

P

P

C

75.01

(27)

La expresin es igual a la ecuacin (17), en la que se incluye k= 0.75 factor de reduccin de rigidez (no de resistencia) para tener en cuenta las diferencias entre las caractersticas de los elementos reales y los calculados

El factor Cm de efecto de extremos, ver Fig. 5.16, vale:

1 Cm= 0.6+0.4(M1/M2) 0.4 para columnas cuyo desplazamiento lateral est impedido y sin cargas transversales entre los apoyos del pilar.

2 Cm= 1.0 para los otros casos, por ejemplo cuando hay cargas transversales entre los apoyos del pilar.

M1: el menor de los momentos ltimos de extremo de la columna obtenido con anlisis de primer orden, y es positivo para pilar flexado con curvatura simple, y negativo si lo est con curvatura doble. M2: el mayor de los momentos de extremo de la columna y que se toma siempre positivo. Pu: carga ltima de la columna segn la teora de primer orden. Pc: carga crtica de pandeo elstico dada por la expresin terica de Euler:

2

2

)( uc

kl

EIP

(28)

Lu: longitud libre de la columna. EI : rigidez de flexin de la seccin de la columna, y viene dada por la expresin o (21) o (22), cualquiera de ellas.

En la seccin 10.12.3.2 el CIRSOC 201-05 establece que en los casos en que la columna es esbelta pero sus momentos ltimos de primer orden son nulos o pequeos, se debe disear con excentricidad mnima, dada por:

)03.015(min22 hPMM u (29)

Se aclara que no es necesario que se aplique en forma simultnea respecto a

los dos ejes principales.

31

5.10.4 MOMENTOS AMPLIFICADOS. PRTICOS DESPLAZABLES. En el mtodo que utiliza el ACI-318 y CIRSOC 201-05 para prticos sujetos a

desplazamiento horizontal considerable, las cargas que actan en la estructura deben separarse en dos categoras: cargas que no producen desplazamiento lateral (o cuando este es mnimo) y cargas que generan desplazamientos laterales de consideracin. Se requieren entonces de dos anlisis independientes del prtico, uno para cada tipo de carga, adems de que para cada caso deben usarse los factores k y

d que son diferentes. La norma, en la seccin 10.13.3, establece que los momentos de diseo M1 y M2

en los extremos de un elemento individual comprimido son:

M1 = M1ns + s . M1s (30) y

M2 = M2ns + s . M2s (31)

M1 y M2 = son los momentos menor y mayor, respectivamente, mayorados (es decir para diseo por resistencia) en cada extremo del elemento.

M1ns = momento mayorado que acta en el extremo de M1 causado por cargas que no producen desplazamiento lateral, y obtenido de anlisis de primer orden.

M2ns = momento mayorado que acta en el extremo de M2 causado por cargas que no producen desplazamiento lateral, y obtenido de anlisis de primer orden.

M1s = momento mayorado que acta en el extremo de M1 causado por cargas que s producen desplazamiento lateral, y obtenido de anlisis de primer orden.

M2s = momento mayorado que acta en el extremo de M2 causado por cargas que s producen desplazamiento lateral, y obtenido de anlisis de primer orden.

s= factor de amplificacin de momentos en prticos no arriostrados contra desplazamiento horizontal para reflejar dicho desplazamiento.

Los mximos momentos causados por cargas horizontales ocurren en los

extremos de las columnas, pero los que generan las cargas gravitatorias pueden ocurrir en cualquier sitio de la zona central de la columna, variando la ubicacin en funcin de los momentos extremos. Como en la mayora de los casos los momentos mximos para ambos tipos de carga no ocurren en el mismo sitio, la norma no aplica el

coeficiente de amplificacin s a los momentos gravitacionales. Es decir, es poco probable que el momento mximo real exceda la suma de los momentos gravitacionales no amplificados y los momentos inducidos por desplazamientos horizontales amplificados. De all la forma de las ecuaciones anteriores.

En definitiva, la norma en su seccin 10.13.4 indica que los momentos

amplificados por efectos de desplazamiento lateral se pueden determinar de tres modos:

(i) a partir de un anlisis elstico de segundo orden, basado en las rigideces degradadas de los elementos, segn antes se indic.

(ii) Obteniendo el factor de amplificacin s a partir del ndice de estabilidad Q. (iii) Obteniendo el factor de amplificacin s a partir de relacin entre cargas ltimas y cargas crticas de pandeo del piso en que se encuentra la columna. En la seccin 10.13.4.2 especifica que:

32

50.11

1

Qs (32)

Si el valor del factor s es mayor de 1.50 se deben utilizar otros mtodos, utilizando la siguiente expresin, similar a la ecuac. (27) con Cm= 1.0:

0.1

75.01

1

c

us

P

P (33)

uP es la carga axial total para todas las columnas del piso en consideracin.

cP es la carga de pandeo crtica total para todas las columnas del piso en

consideracin. La equivalencia cercana entre Q y Pu/Pcr, que sugieren las ecuaciones (32) y

(33) para estructuras de hormign armado se puede demostrar a partir del comportamiento de una columna con posible desplazamiento horizontal en uno de sus extremos y con ambos restringidos a la rotacin, como el caso de Fig. 5.7(b). Para esa columna el ndice de estabilidad est dado por ecuac. (20):

cu

ou

lV

PQ

(34)

Dado que:

3

12

co

u

l

EIV

(35)

es la rigidez a desplazamiento horizontal, por lo que entonces el ndice Q vale:

)/12( 2c

u

lEI

PQ (36)

Para una columna como esa, con k= 1.0, de longitud no soportada o libre (unsupported

length) cu ll 9.0 , la carga crtica de Euler es, segn ecuac. (6):

2

2

)( ucr

l

IEP

(37)

Por lo que la relacin:

)/18.12()9.0/( 222 c

u

c

u

c lEI

P

lEI

P

P

P

(38)

Las ecuaciones (36) y (38) confirman lo expresado.

La Ref.[2] indica que para valores de Q

33

Sin embargo, segn se vio en la Fig. 5.15(e), el momento mximo podra ocurrir en cualquier punto de la altura de la columna. Por ello se debe tener otra consideracin, ver seccin 10.13.5, que a continuacin se explica.

En los comentarios de la norma, C.10.12.2, se dice que el lmite que impone la

ecuac. (23) para prticos indesplazables se hizo a partir de la ecuac. (27) suponiendo que es aceptable considerar un incremento del 5 % en los momentos debidos a la esbeltez. En esta deduccin no se incluy el efecto del factor de reduccin de rigidez

k= 0.75. Ya se expres antes que para valores de Q>0.6, existe una gran similitud entre Q y P/Pc, por lo cual, para el caso de Q= 0.05, lmite que se impuso para separar

prticos desplazables de arriostrados, la ecuac. (27), sin k y para Cm= 1.0 sera:

05.105.01

1

1

1

Qns (39)

En los comentarios, C10.13.5, se dice que si:

gc

u

u

Af

Pr

l

35 (40)

el momento mximo en cualquier punto a lo largo de la altura de dicha columna ser menor que 1.05 veces el momento mximo extremo.

Como ejemplo, supongamos dos casos, uno en que el esfuerzo axial es

importante, tal que la relacin 49.0/ gcu AfP y otro con poco nivel de axial, digamos

16.0/ gcu AfP . Podra ser el caso de una columna de 200mmx200mm, con fc=25MPa,

por lo que, suponiendo d= 0.2:

2129

1004.12.1

10133.0235004.0Nmmx

xxxEI

La carga crtica:

tNxNxx

Pc 951095.03300

1004.1 62

122

Para el caso de gran axial, Pu= 0.49x0.25x20

2= 49 t, y para bajo nivel de axial sera de 16t. En el primer caso el segundo miembro de ecuac. (40), es decir el ndice de axial (en realidad su valor es inverso al ndice de axial) es (35/0.70= 50), y en el segundo caso el ndice es (35/0.40= 87.5).

Si mmlu 3300 y la columna fuera de mmh 200 , la relacin

.552003.0/3300/ xrlu Se ve que para el caso de poca carga axial, se cumplira la

ecuac.(40) ya que 55 < 87.5. Si, por ejemplo, k= 1.0 y M1= 0, la ecuac. (23) dara:

3455 r

klu

34

por lo que la esbeltez no puede ser ignorada, y el momento amplificado nunca superara en su altura el 1.05Mmx, por la condicin impuesta a Q 50, es decir no se cumple la ecuac. (40), y

por esa condicin de carga axial importante podra suceder que en algn punto de la columna, [la norma indica ver referencia 10.25], el momento superar el mximo en ms de 1.05 veces. Esto es lo que demuestran los valores de 0.67 (que debe tomarse 1.05) y el de 1.92, que representa ahora 92.5% mayor del mximo. Por ello, en la seccin 10.13.5, el CIRSOC 201-05 indica que para valores de:

gc

u

u

Af

Pr

l

35 (41)

se debe disear la columna para la carga Pu y un momento Mc de acuerdo a la ecuac. (26) y (27). Los valores de M1 y M2 se deben determinar con las ecuac.(30) y (31). El menor de los momentos se usa para determinar Cm. El valor de k corresponde a prtico

arriostrado, y d segn el estado de carga que se considere.

El CIRSOC 201-05 tambin, seccin 10.13.6, incluye verificaciones adicionales para prticos desplazables para protegerlos del pandeo lateral de todo un piso bajo cargas gravitatorias solamente. Las restricciones dependen del mtodo utilizado para

evaluar sMs:

(i) si se utiliz anlisis elstico de segundo orden la relacin entre las deformaciones laterales de segundo y primer orden no debe exceder 2.5, para las combinaciones de U=1.2D+1.6L ms las cargas laterales mayoradas.

(ii) si se us la ecuac.(39), debe cumplirse que Q 0.6 (lo cual implica s 2.50).

(iii) si utiliz la ecuac.(33), debe cumplirse que s>0 y s 2.50.

35

5.11 EJEMPLO DE APLICACIN E1. Prtico de un vano y un piso. Hormign H27. Acero ADN-420. Columnas 35x35cm. Viga Superior 25x50cm. Viga de Fundacin 25x25cm. H total de piso a ejes = 4.50m. Luz de viga a ejes L=6.0m Requerido: Diseo de Columna CD. Suponer prtico arriostrado.

Fig. E1-1 Geometra y Cargas.

1. Anlisis de Primer Orden.

De la Fig. E1-2 se ve que el desplazamiento lateral debido a las cargas U=1.2D+1.6L es de 8 mm en la parte superior del piso. De la Fig. E1-3 se ve que el momento flector en la parte superior de Col(CD) es 16.66

tm sin considerar efecto P- y considerando dicho efecto es de 16.76 tm, a partir del programa ETABS.

2. Verificacin si el Prtico es o no desplazable.

(i) Dado que (16.76/16.66 = 1.006 < 1.05), es decir se podra decir que es indesplazable. (ii) A partir del ndice de estabilidad, se necesitara un valor de Vu, o sea algn tipo de carga horizontal que produzca desplazamiento lateral. Como no existe fuerza horizontal en la estructura, la norma permite utilizar algn valor de referencia y con respecto a l

obtener o. A partir del mismo modelo, y con las reducciones de rigidez que dice la norma result que para una fuerza unitaria, 1.0 ton, en la parte superior del piso origin un desplazamiento horizontal de 4.0 mm. Las fuerzas axiales ltimas en las columnas son:

tPABu 26 tPCD

u 40 tPu 66

36

Fig. E1-2. Deformada por anlisis primer orden y debida a U=1.2D+1.6L.

Fig. E1-3. Esfuerzos internos por anlisis primer orden debidos a U y de segundo orden, valores indicados ( ).

37

El ndice es entonces:

05.0059.050.41

004.066

mtx

mtxQ

Se ve el prtico entrara en la categora de desplazable, a no ser que existieran, por

ejemplo, lneas estructurales paralelas que puedan rigidizar todo el edificio, incluyendo este prtico, y hacer bajar el valor de Q por debajo de 0.05.

Como se demostr, existe una similitud entre Q y la relacin P/Pc. Para evaluar la estabilidad de otra manera, se procede a verificar la relacin anterior. Es necesario calcular las Pcr de ambas columnas. Se requiere EI y ( kl ).

22 /2442200/2442224422274700 mtmmNMPaEc

434 1025.112/)35.0( mxmI g

46.026/12)(

ttU

ULD

DAB

d

60.040/24)(

ttU

ULD

DCD

d

23

836)46.1(

1025.124422004.0tm

xxxEI AB

23

763)60.1(

1025.124422004.0tm

xxxEI CD

Valores de longitud efectiva de pandeo:

Factores de extremos:

0A ya que est empotrada.

24.10333.14.14.125.4252535.0

635357.0 33

3

xxxxxx

xxxC

28.1333.17.04.125.4502535.0

635357.0 33

3, xxx

xxx

xxxDB

Utilizando las expresiones analticas:

764.0)28.10(05.07.0)( ABk

85.0)0(05.085.0)( ABk

El menor valor para Col(AB) es (k)= 0.764.

276.1)28.124.10(05.07.0)( CDk

914.0)28.1(05.085.0)( CDk

El menor valor para Col(CD) es ( k )= 0.914. Ahora se pueden evaluar las cargas crticas de pandeo de cada columna.

38

tmx

tmPABcr 830

)125.4764.0(

8362

22

tmx

tmPCDcr 530

)125.4914.0(

7632

22

05.00485.0)530830(

66

t

t

P

P

cr

u y tiene una diferencia cercana al 20 % con el valor

obtenido para Q (es cercano; no se esperaba igualdad por supuesto).

Se ve que est en el lmite, y se va a considerar que hay otros elementos en la estructura que proveen la suficiente rigidez como para considerarlo prtico arriostrado.

3. Verificacin de la esbeltez.

66.3667.234)22.0(1234)66.16

7.3(123436

35.03.0

125.4914.0

x

x

r

klu

Se ve que est casi en el lmite de esbeltez, por debajo por lo cual podra

considerarse que no es esbelta. De todos modos se continuar con el ejemplo suponiendo que es esbelta (debera hacerse pues hay una diferencia de 1.8%).

4. Mtodo de Amplificacin de Momentos.

512.0088.06.0)22.0(4.06.0 mC

57.0899.0

512.0

53075.0

401

512.0

x

ns

El factor de amplificacin es menor que 1.0, por lo que no habra que incrementar

los valores de los momentos.

5. Provocamos mayor esbeltez en el ejemplo: aumentamos la altura de columna entre ejes a H=8.0 m.

La altura de la columna se lleva a 8.0 m, es decir se incrementa 8/4.5= 1.78 veces,

como se esquematiza en la Fig. E1-4. Reevaluamos factor de longitud efectiva:

76.575.04.14.128252535.0

635357.0 33

3

xxxxxx

xxxC

72.075.07.04.128502535.0

635357.0 33

3, xxx

xxx

xxxDB

Utilizando las expresiones analticas:

02.1)72.076.5(05.07.0)( CDk

89.0886.0)72.0(05.085.0)( CDk

39

66.366535.03.0

625.789.0

x

x

r

klu

Es esbelta, pero como no supera el valor de 100 es posible continuar con mtodo

aproximado. Ahora se puede evaluar la carga crtica de pandeo de la columna.

tmx

tmPCDcr 164

)625.789.0(

7632

22

Los valores de los momentos en los extremos casi no han cambiado, por lo que:

76.0675.0

512.0

16475.0

401

512.0

x

ns

Fig. E1-4. Geometra en escala aumentando notablemente la altura de la columna.

Se ve que aunque la columna es esbelta, el factor de amplificacin no es aplicable.

Sin embargo, si el prtico no estuviera arriostrado sera obviamente desplazable. En ese caso, como m=(5.76+0.72)=3.24>2, el factor de longitud es:

85.124.319.0 k

La esbeltez resulta:

10013535.03.0

625.785.1

x

x

r

klu

Por lo que supera el lmite y ya no puede ser analizada por un mtodo aproximado.

Como se ve, la gran diferencia la hace el hecho de ser o no desplazable, que incide en la longitud efectiva de pandeo. Aunque no es correcto, se sigue con el mtodo aproximado.

74.0)72.00(05.07.0)( ABk

85.0)0(05.085.0)( ABk

tmx

tmPABcr 262

)625.774.0(

8362

22

18.115.01

0.1

)164262(

661

1

s

Se observa que por ste mtodo (se reitera, no aplicable en este caso), el incremento en los momentos extremos de las columnas sera del orden del 20%. Note

que el factor de estabilidad es aproximadamente Q0.15.

40

6. Provocamos mayor esbeltez en el ejemplo: inducimos curvatura simple en col(CD), pero la suponemos arriostrada por otros elementos.

Movemos en apoyo en C hacia el interior, como lo indica la Fig. E1-5, donde adems se muestra los esfuerzos resultantes.

Fig. E1-5. Modificacin de apoyo de columna en estudio, CD. Esfuerzos internos. Se supone indesplazable (arriostrada por otros), es decir k

41

Fig. E1-6. Seccin Transversal de Columna y Diagrama de interaccin Resistencias Nominales.

42

5.12 EJEMPLO DE APLICACIN E2. Prtico de un vano y un piso similar a Ejemplo E1. Se aumenta la altura total. Hormign H27. Acero ADN-420. Columnas 35x35cm. Viga Superior 25x50cm. Viga de Fundacin 25x25cm. H total de piso a ejes = 7.0 m. Luz de viga a ejes L=6.0m Se le agrega carga Horizontal de E=10 ton en Losa. Requerido: Diseo de Columna CD.

Fig. E2-1. Prtico Esbelto de Ejemplo E2.

1. Anlisis de Primer Orden.

De la Fig. E2-1 se ve que el desplazamiento lateral debido a cargas E, que es el que provoca Vu, es de 134 mm en la parte superior, es decir rotacin de piso cercana a 2%.

2. Verificacin si el Prtico es o no desplazable. Del anlisis de primer orden a cargas mayoradas, o sea U=1.2D+1.6L, los esfuerzos

axiales mximos resultantes en el piso son:

tPABu 27 tPCD

u 40 tPu 67

43

05.0128.00.710

134.067

mtx

mtxQ

Por lo que si no es arriostrado por otros elementos, el prtico es desplazable.

3. Verificacin de la esbeltez.

60.6857.04.14.127252535.0

635357.0 33

3

xxxxxx

xxxC

82.0857.07.04.127502535.0

635357.0 33

3, xxx

xxx

xxxDB

Utilizando las expresiones analticas:

271.32/)82.060.6( m

95.171.319.0 k

100123105.0

93.12

35.03.0

)25.0125.00.7(95.1

m

m

x

x

r

klu

La longitud efectiva, al ser desplazable, se ha elevado a casi 13 metros. Es muy

esbelta pues supera por amplio margen el valor de 22, pero adems supera el valor de 100, lmite para poder aplicar el mtodo aproximado.

4. Se redisea la estructura para disminuir la esbeltez. Es conveniente bajar la longitud efectiva de pandeo, o sea el factor (k/r).

Posibilidades:

en primer lugar generalmente aparece la tentacin de aumentar la dimensin de la columna, en particular hc, para aumentar el valor del radio de giro r, con lo cual bajara la esbeltez. Por ejemplo, si se lleva hc= 0.50 m, sin variar el ancho de 35 cm, resulta:

(i) r= 0.30 x 0.50 m = 0.15 m, es decir un aumento del 43 % con relacin al

valor anterior de r= 0.105m

El problema est en que tambin se modifican los factores que tienen en cuenta la relacin de rigideces de vigas y columnas que llegan al nudo.

(ii) Los factores son ahora:

19857.024.127252535.0

650357.0 33

3

xxxxxx

xxxC

44

40.2857.00.14.127502535.0

650357.0 33

3, xxx

xxx

xxxDB

270.102/)40.240.19( m

07.370.1019.0 k

10012313615.0

33.20

50.03.0

625.607.3

m

m

x

x

r

klu

Por lo cual, si mantenemos las dimensiones de las vigas, en vez de mejorar hemos empeorado el problema, pues la longitud efectiva creci a ms de 20 metros, y pese a que el radio de giro es mayor, el factor de esbeltez crece de 123 a 136.

La dependencia de k= f(), es muy fuerte, y la misma se puede apreciar en los grficos de Fig. 5.8. Es claro que lo que hay que hacer es hacer que los

valores de sean pequeos. En el lmite, si ambos son cero el factor k toma su mnimo valor que para prticos desplazables es k=1.0. Para ello, lo que se debe hacer es aumentar la rigidez, a travs de momento de inercia I, de las vigas con relacin a las columnas. Por ejemplo, si dejamos las columnas de 35x35cm, pero aumentamos la

altura de la viga de fundacin a 50 cm, igual a la de piso, tal que C= D =0.82 (corresponde a columna de hc =35cm y viga de hv =50cm).

282.0 m

29.182.0120

82.020

k , en vez de 3.07 !!!!!

10081105.0

55.8

35.03.0

625.629.1

m

m

x

x

r

klu

Ahora pese a que el radio de giro es menor, la longitud efectiva de pandeo se redujo

notablemente, de 20 a 8.55 metros.

Note adems que el volumen de hormign que se gastara en aumentar la viga de

fundacin es V(volumen)vigaF = 0.25x0.25x5.65m= 0.35m3, es bastante menor que el que

corresponde al aumento de las dimensiones de las columnas, que sera para este caso

V(volumen)Col = 0.15x0.35x6.5mx2= 0.70m3, es decir el doble.

Es mucho ms efectivo aumentar la rigidez de las vigas, ya que el problema de

inestabilidad es un problema de rigidez, de desplazamientos, de configuracin de deformacin lateral, y la rigidez de una columna est fuertemente controlada por la rigidez de las vigas extremas.

45

5. Clculo de los Momentos Amplificados.

El factor de amplificacin de momentos se puede obtener como:

15.187.0

1

128.01

1

1

1

Qs

6. Momentos de extremo de Columnas. Con referencia a la Fig. E2-2:

tmxMu 85.1262.815.193.21

tmxMu 82.2696.1315.177.102

Como referencia, se comenta que del anlisis de primer orden, el momento mayor

M2u= 13.96+10.77 = 24.73 tm. De un anlisis con ETABS solicitando que se tenga en

cuenta efectos de segundo orden, el M2u-P= 25.67tm. El lector puede sacar sus propias conclusiones.

Fig. E2-2. Prtico Esbelto de Ejemplo E2. Esfuerzos internos

46

5.13 EJEMPLO DE APLICACIN No3: DISEO DE COLUMNA DE PRTICO ARRIOSTRADO.

Se requiere el diseo de una columna esbelta de un prtico arriostrado, segn

muestra la Fig. E3-1, aplicando los lineamientos del Reglamento CIRSOC 201-2005, basado en el ACI-318-2005, por el mtodo de amplificacin de momentos.

El prtico es de varios pisos y formando parte de un edificio arriostrado, por ejemplo por ncleo rgido de circulaciones verticales, posee vigas de 1.20 m de ancho por 0.30 m de alto, con luz (a ejes de columnas) de 7.30m. La altura de los pisos del prtico es de 4.30 m, con luz libre entonces lu= 4.0m. Las columnas se han prediseado en 45cmx45cm. La estructura estar sometida a cargas permanentes, D, y accidentales o de uso, L. Se ha llevado a cabo un anlisis estructural de primer orden y, para la distribucin de cargas vivas L que se muestra en la figura, la columna C3, Lnea C, 3er. nivel, estara sometida a los mximos momentos con curvatura simple y carga axial, con los siguientes valores de solicitaciones a nivel de cargas de servicio:

Carga Permanente D Carga Accidental L P= 115 t P= 85 t M2s = 0.35 tm M2s = 17 tm M1s = -0.35 tm (doble curvatura) M1s = 16 tm (curvatura simple)

Se ve entonces que la columna queda sometida a curvatura doble cuando acta slo la carga muerta y a curvatura simple para carga viva o superposicin de ambas.

Fig. E3-1. Prtico de hormign armado que forma parte de un edificio arriostrado.

Caractersticas de los materiales: Hormign H25, Ec = 23500 MPa, Acero ADN-420.

Solucin: En principio se disea la columna como NO esbelta. Los valores de las cargas de diseo mayoradas son:

txxLDPu 274856.11152.16.12.1

tmxxMu 28176.135.02.1

Se hace el prediseo de la columna a flexo-compresin, haciendo notar que es una columna fuertemente comprimida ya que:

54.04525.0

2742

xAf

P

gc

u

47

Utilizando los diagramas de interaccin de ayuda para diseo a flexo-compresin, ver

apunte de columnas Hormign I, Fig. 4.36(a), para = 0.80, los coeficientes adimensionales son:

54.04525.0

2742

xAf

Pn

gc

u

122.0454525.0

28002

xhAf

ePm

gc

u

por lo que resultara una cuanta del orden de 0.012. Sin embargo, del anlisis de la seccin, como la columna est muy comprimida, el factor de reduccin de resistencia

seguramente ser = 0.65, por lo que se predisea con una cuanta cercana a 1.8 %. En definitiva se adoptan 4 barras de dimetro 25 mm en las esquinas y 2 barras adicionales interiores en cada cara de dimetro 20 mm. El rea total de acero es Ast = 4x4.91 + 8x3.14 = 45cm2, lo que da una cuanta de del 2.2%. Esta cuanta permitira incrementos de armadura en el caso que los efectos de esbeltez as lo soliciten, por lo que se mantiene la seccin de hormign (a los efectos de que la esbeltez controle el diseo).

El anlisis de la seccin a flexo-compresin arroja los siguientes resultados:

N= 0 Mn =35 tm N=274 t Mn =45 tm Md = 0.65 x 45 tm = 29 tm>28 tm

para una deformacin de la ltima capa de acero s= 0.00126, es decir menor del 0.002 (0.2%), por lo que = 0.65, tal cual supuesto, y la columna tendra un tipo de rotura frgil pues no llega a fluir antes de romper. Se aclara que este es un caso muy particular, no muy usual en la prctica (ver altura de pisos, dimensiones de vigas, etc.) pero ha sido elegido para poder incluir efectos de esbeltez. No es un buen diseo si el prtico es construido en zona ssmica. Revisin inicial de la esbeltez: Reglamento CIRSOC 201-2005, seccin 10.12.1 especifica que para elementos comprimidos en prticos indesplazables el factor de longitud efectiva k debe tomarse igual a 1.0, a menos que se justifique por medio de un anlisis la posibilidad de utilizar un valor menor. En ese caso se deben tener en cuanta los valores de EI, rigidez a flexin, de la seccin 10.11.1.

30453.0

4000.1

x

x

r

klu

M1 = 1.2 (-0.35) + 1.6x 16 = 25.20 tm.

En este caso resulta:

2328

2.251234

por lo que la esbeltez de 30 resulta mayor que este lmite y no pueden ser ignorados sus efectos en el diseo de la columna.

48

Re-evaluacin de k. En la seccin C-10.12.1 (comentarios), la norma dice que se puede tomar, para sistemas o prticos indesplazables, como factor de longitud efectiva k el menor valor entre:

k= 0.7 + 0.05(A + B) 1.0 k= 0.85 + 0.05min 1.0

Para el caso que nos ocupa, para la columna:

Ic = 0.7 Ig = 0.7 x 454/12 cm4= 0.7 x 341719 cm4 = 239 x 103 cm4

y tomando a Lc = 4.30 m, resulta Ic/Lc = 556 cm3.

y para las vigas: Iv = 0.35 Ig = 0.35 x 120 x 30

3/12 cm4 x 2 = 189 x 103 cm4

donde se ha aplicado un factor de 2.0 por ser la viga de seccin T. Al respecto la norma dice que se debera considerar el ancho efectivo definido en la seccin 8.10, pero es suficiente tomar para vigas T el valor de Ig como 2 veces el valor del Ig del alma. Como Lv = 730 cm, resulta Iv/Lv = 259 cm

3. Con referencia a Fig. E3-1, como las vigas y columnas son de igual dimensin en todos los niveles, los factores de restriccin a rotaciones en los extremos A y B son iguales y de valor:

15.22592

5562min

x

xBA

Por aplicacin de las expresiones anteriores, o grficamente de las figuras precedentes, el nuevo valor de k resulta:

k= 0.7 + 0.05 x 2 x 2.15 = 0.915

o k= 0.85 + 0.05 x 2.15 = 0.81

por lo que se puede adoptar el valor de 0.81, con lo que el lmite a considerar para ignorar o no la esbeltez es ahora:

24453.0

40081.0

x

x

r

klu

y se ve que, aunque por poco, supera el valor de 23 antes calculado.

La norma a su vez exige en la seccin 10.12.3.2 que el momento mayor M2 mayorado no debe ser menor de:

M2 M2,min = Pu (0.015 + 0.03h) donde los valores de 0.015 y h se deben expresar en metros. En este caso:

M2,min = 274t (0.015m + 0.03 x 0.45) = 274 t x 0.0285 m = 7.81 tm por lo que se contina con el momento M2 obtenido del anlisis estructural.

49

Coeficiente Cm.

En la seccin 10.12.3 la norma dice que los elementos comprimidos se deben disear para la carga Pu y un momento amplificado:

Mc = ns M2 Do