DISEO DE COLUMNAS

6. COLUMNAS

6.1. COLUMNAS CORTAS

6.1.1. Compresin axial 6.1.2. Compresin y flexin uniaxial 6.1.3. Diagramas de interaccin Carga axial-Momento. 6.1.4. Mtodos aproximados de diseo por Tensin o compresin 6.1.5. Diseo usando diagramas de interaccin 6.1.6. Especificaciones NSR-98. Refuerzo transversal- Empalmes 6.1.7. Flexin biaxial.

6.2. COLUMNAS ESBELTAS

6.2.1. Columnas cargadas concntricamente. 6.2.2. Compresin y flexin. 6.2.3. Efectos de esbeltez en columnas. 6.2.4. Anlisis de segundo orden para efectos de esbeltez 6.2.5. Efectos globales de esbeltez. Indice de estabilidad.

6. COLUMNAS DE CONCRETO REFORZADO INTRODUCCION Una columna se define como un miembro estructural sometido principalmente a fuerzas axiales de Compresin. Generalmente esta fuerza va acompaada de momentos flectores y cortantes. Las columnas son los miembros verticales de los Prticos estructurales que sirven para apoyar a las vigas cargadas; transmiten las cargas de los pisos superiores hasta el suelo, a travs de la cimentacin. La falla en una columna puede causar el colapso de una edificacin por lo que en su diseo se deben extremar las medidas de seguridad, ms que en las vigas, sobre todo porque las fallas de compresin no p re con las deflexiones en las vigas. Los principios de comdiseo de vigas sonintroduce como elem Las hiptesis bsica

TIPOS DE COLUMN on base a

es grupos V

Existe una distrib(Secciones planaNo hay deslizamcircundante es laLa deformacin compresin es dSe desprecia la r

Ctr Columna

de refueColumnaestribos.Columnaperfiles troporcionan advertencia visual como ocurpatibilidad de esfuerzos y deformaciones que se aplicaron en el anlisis y aplicables tambin en el caso de las columnas con la diferencia que se ento nuevo la carga axial, por lo que las frmulas deben modificarse.

s son las siguientes:

AS

la forma y disposicin del refuerzo, las columnas se pueden clasificar en er figura 6.1):

bulares rellenos con hormign.

ucin lineal de las deformaciones en la seccin transversal de la columna s permanecen planas). iento entre el acero y el concreto (la deformacin del acero y del concreto misma).

mxima del concreto en el momento de alcanzar su mxima capacidad a la e 0.003 esistencia a Tensin del concreto.

Figura 6.1 Tipos de Columnas segn el Refuerzo

s rectangulares o cuadradas con refuerzo longitudinal de varillas y estribos rzo transversal. s circulares con refuerzo longitudinal de varillas y refuerzo en espiral o con s compuestas en las que se confinan perfiles metlicos con el concreto o u

Las col e soportar grandes deformaciones antes de fallar hacindolas mas ventajosas que las columnas con estribos en donde la falla al

axial, siendo la compresin lateral de confinamiento proporcionada por un fluido a presin, la resistencia ltima del concreto se ver

)

Donde f2 es la presin del fluido. E namiento es proporcionado por los estribos en espiral. Este refuerzo slo comie za a esforzarse cuando el concreto alcanza

e la carga las columnas se pueden clasificar como

Ver figura 6.2) :

nas con carga excntrica (con flexin uniaxial o biaxial)

De ac o a tensin

n.

compresin en el

6.1. COLU

XIAL

Al c ente se inducen esfuerzos de compresin tanto en el oncreto como en el acero, de manera que se cumple que

umnas con espirales tienen la propiedad d

alcanzar la resistencia ltima es frgil. Si se ensayan cilindros a compresin trilaincrementada en una magnitud dada por la ecuacin

f1 = fc + 4.1f2 (6.1

n la prctica el confin

valores del orden de 0.85fc

Con respecto a la posicin d (

Columnas cargadas axialmente. Colum

Figura 6.2. Tipos de columnas segn las Cargas actuantes

uerdo al tipo de falla las columnas se pueden clasificar como:

Columna corta: cuando la falla se presenta por fluencia inicial del acero por aplastamiento inicial del concreto en la zona a compresiColumna esbelta: Cuando la falla se da por prdida de estabilidad o pandeo lateral para una carga axial muy debajo de la fluencia en acero oconcreto.

MNAS CORTAS

1. COMPRESIN UNIA

argar una columna concntricamc

P=fcAc + fsAs ( 6.2 )

Figura 6.3. Curva Esf-Def en concreto reforzado

6.3 Cargas relativamente pequeas rango els o- , con esfuerzos cerca de 0.45fc son

Los materiales tienen las curvas esfuerzos-deformacin como la mostrada en la figura

ticabsorbidas prcticamente por el concreto. Para calcular la magnitud de la fuerza tomada por el acero y el concreto se tiene en cuenta la compatibilidad de deformaciones:

ac = , = L/E y de all se obtiene que ca n = , n=Ea/Ec , .0c cf'45 ya f5.0st].

Para cargas crecientes, hasta el punto A,

,

c [Ag+(n-1)A

el comportamiento es independiente de la resistencia (por la compatibilidad de deformaciones); Cargas mayores sern absorbidas por el acero en

resistencia ltima se obtiene cuando cuando fs = fy y fc= 0.85fc; con lo que frmula se transforma en

Pu = 0.85fc (Ag-As) + As fy ( 6.3 )

El concreto no alcanza el valor el concreto en las formaletas verticales el agua tiende a irse hacia arri aumentando la relacin agua-cemento y

a produce compresin en toda la seccin ansversal de la columna (tanto en el concreto como en el acero).

empre existir una pequea xcentricidad ya sea por defectos en la construccin o efecto de la restriccin de los apoyos.

y finalmente P=f

fyuna magnitud Asfy Con Ac=Ag As, lala

mximo fc debido a que al vaciarba

disminuyendo por tanto la resistencia; as mismo el flujo plstico por cargas sostenidas en el tiempo hace que el concreto sufra acortamientos mientras que el acero no, lo que hace que el esfuerzo en el concreto sea menor y la diferencia lo tome el acero. Por esta razn slo se toma el esfuerzo mximo en el concreto como 0.85fc Se debe hacer notar que la carga concntrictr Por otro lado, es improbable que la carga sea totalmente axial; siePara tener en cuenta este hecho, se reduce la carga nominal en un 20% para columnas con estribos y un 15% con espirales. De igual manera, se introduce un factor de reduccin de

capacidad de 0.70 para columnas con estribos y de 0.75 con espirales. La frmula (6.3) queda entonces

Pu = 0.80 [0.85fc (Ag-As) + As fy ] =0.70 con estribos (6.4)

6.1.2. COMPRESION Y FLEXION UNIAXIAL

MATERIAL ELASTICO IDEAL:

i se tiene una columna con carga excntrica construida con material elstico homognea, que

- f = P/A Mc/I fc = P/A + Mc/I (6.6)

La falla se presenta cuando f excede la resiste la tensin del material fot,

ft > fot -f < - fot

Por lo tanto, las ecuaciones de las lneas de falla son

-fot = P/A Mc/I (8)

Si se define

oc Momento que causa la falla a la compresin cuando no actua la carga axial

Pu = 0.85[ 0.85fc (Ag-As) + As fy ] = 0.75 con espiral (6.5)

Stenga la misma resistencia a la Tensin que a la Compresin, la distribucin de esfuerzos se tendr por superposicin usando los principios de la Resistencia de materiales, como se muestra en la secuencia de la figura 6.4:

t

to cuando f

ncia ac excede la resistencia a la compresin del material foc,

t

fc > foc (6.7)

foc = P/A + Mc/I (9)

MPoc Carga que produce la falla a compresin cuando no hay momento,

Figura 6.4. Flexo-compresin en material elstico

Se puede escribir: Moc = foc I/c Poc = foc A

Se tiene entonces que

foc P/A + Mc/I

Dividiendo por foc 1 P/Afoc + M/focI/C

Por tanto

MocM

PocP + 1 (6.10)

que es la ecuacin unitaria para la falla a compresin. De igual manera, definiendo Mot Momento que produce la falla a la tensin cuando no hay carga axial Pot Carga que produce la falla a la tensin cuando no hay momento, se tiene:

Mot = fot I/c Pot = fotA

Y se tena que -ft < - fot

-fot P/A Mc/i

De donde, dividiendo por fot

PocP

MocM 1 (6.11)

Si resistencia del material a la tensin es igual a la compresin, se obtiene el diagrama de interaccin que se muestra en la figura 6.6-a, que corresponde a la representacin grfica de las dos ecuaciones unitarias. Pero si la resistencia a la tensin es menor que la compresin, como ocurre con el Hormign simple, se tiene la figura 6.6-b Dado que el diagrama de interaccin muestra dnde se han excedido la resistencia a tensin o compresin del material, el diagrama es de gran ayuda para establecer si una combinacin dada de Carga-Momento producen un estado de falla del material El punto mas alto P/Poc indica que la carga axial P ha alcanzado el lmite superior de falla Poc. Al introducir algn momento, es evidente que la columna es incapaz de resistir la misma carga P y su capacidad a carga axial disminuye, como se muestra en la lnea de pendiente

negativa P= oo

P)MM1( .

En cualquier punto sobre esta lnea se tiene una falla por compresin en un extremo de la seccin, mientras que en el otro extremo no se ha utilizado toda la tensin. Al seguir aumentando el momento se llega a un punto en el cual la falla se presenta simultneamente por tensin en un extremo y compresin en el otro. Este punto de falla simultnea se llama punto balanceado y la falla se llama falla balanceada. A partir de este punto, no se puede seguir incrementando el momento y se presenta un cambio de comportamiento del material que est controlado por la resistencia a tensin del material.

Figura 6.6. Diagramas de Interaccin para material homogneo

COMPRESION Y FLEXION EN EL CONCRETO

Figura 6.7. Diagrama de Esf-Def en columna a flexo-compresin El comportamiento de una columna de concreto reforzado sometido a compresin y flexin es similar al descrito para material homogneo; se pueden aplicar las mismas consideraciones del bloque rectangular equivalente a compresin de actura usado para vigas, como se muestra en la figura 6.7. La carga Pn y el momento Mn son equivalentes a colocar una carga Pn con una excentricidad e, medida respecto al centroide de la seccin. Del equilibrio de fuerzas verticales se puede escribir:

Pn = Cc + Cs Ts

Donde Cc es la fuerza de compresin en el concreto Cc = 0.85fcab Cs es la fuerza de compresin en el acero Cs = Asfs Ts es la fuerza de tensin en el acero Ts = Asfs

Pn = 0.85fcab + Asfs1 Asfs (6.12)

El momento exterior Mn = Pne es equilibrado por el momento interno formado por las fuerzas, calculado respecto al centroide de la seccin, que para refuerzo simtrico coincide con el centro geomtrico de la seccin: Mn = 0.85fcab(h/2-a/2) + Asfs((h/2-d) + Asfs(d-h/2) (6.13) En las ecuaciones (6.12) y (6.13) se est suponiendo que el acero en la cara a tensin est verdaderamente trabajando a tensin, lo cual se dar para excentricidades grandes (momentos grandes comparados con la carga axial); pero para pequeas excentricidades, este acero puede estar trabajando a compresin; el signo menos ( - ) en la ecuacin (6.12) cambiara a mas ( + ) sumndose a la carga resistente y viceversa para la ecuacin (6.13). Tambin se est suponiendo que el rea de concreto a compresin es Ac= ab, cuando el valor exacto se obtiene restndole el rea que desplaza el acero As. El valor exacto sera:

Ac = ab-As (6.14)

1 Si se toma en cuenta el concreto desplazado por el acero a compresin, deber usarse la expresin As(fs-0.85fc) en lugar de Asfs

Sin embargo el error que se comete es despreciable, salvo cuando se tienen unas cuantas de acero bastante grandes. Es obvio que la carga Pn no puede ser mayor que la carga axial mxima que se obtiene cuando slo actua carga axial

Pn Pn(max) = 0.85fc (Ag-Ast) + Ast fy Ast=As+As (6.15)

Los esfuerzos en el acero a tensin o a compresin podrn alcanzar la fluencia dependiendo de la magnitud de la excentricidad. Si la falla se presenta por aplastamiento en el concreto es probable que fs = fy. Si la falla es por Tensin en el acero a tensin entonces fs = fy:

fs = fy si la falla es por tensin Posiblemente f s = fy si la falla es por aplastamiento del concreto

Si los esfuerzos en el acero son menores que la fluencia, su magnitud se puede calcular por semejanza de tringulos, como sigue:

fs = Ess = yfc)d'-0.003(c Es (6.16)

fs = Es s = yfcc)-0.003(d Es (6.17)

RESUMEN DE FORMULAS

Pn = 0.85fcab + Asfs Asfs (6.12)

Mn = Pn e= 0.85fcab(h/2-a/2) + Asfs((h/2-d) + Asfs(d-h/2) (6.13)

fs = Ess = yfc)d'-0.003(c Es (6.16)

fs = Es s = yfcc)-0.003(d Es (6.17)

En las ecuaciones (6.12) y (6.13), se desconocen cuatro valores, para cuatro ecuaciones, a saber:

a=1c Profundidad del bloque equivalente de esfuerzos

fs El esfuerzo en el acero a compresin.

Fs El esfuerzo en el acero a tensin

Pn para una excentricidad dada e=Mu/Pu

Los esfuerzos en el acero fs , fs y a se pueden expresar en trminos de c usando las ecuaciones (6.16) y (6.17), con lo que se obtendra un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas (Pn y c). Sin embargo, si se remplaza Pn de (6.12) en (6.16): Mn=Pne, se obtiene una ecuacin cbica en c completa de la forma mx3+nx2+rx+s=0, siendo cada coeficiente una expresin algebraica;

adems, luego de calculado c es necesario revisar si los esfuerzos fs y fs en acero alcanzan la fluencia. Esto hace imprctico intentar una solucin matemtica directa2. Por lo anterior, es preferible un mtodo de tanteo para el caso de anlisis y diseo:

Se tiene b h d d fc fy As As Es e dada

Se supone un valor para c, profundidad del bloque a compresin

a = c / 1

fs = Ess = yfc)d'-0.003(c Es

fs = Es s = yfcc)-0.003(d Es

Pn =0.85fcab + Asfs Asfs

Mn = 0.85fcab (h/2-a/2) + As fs((h/2-d) As fs (d-h/2)

en = Mn/Pn

Se compara el nuevo en con el eu dado por la expresin eu = Mu / Pu

Si no son aproximadamente iguales, se supone un nuevo c y se repite el procedimiento.

Si probados todos los c posibles de la seccin no se llega a la inecuacin PuPn significa que la solucin propuesta no satisface y deben cambiarse las dimensiones de la seccin transversal o la cuanta del refuerzo y nuevamente repetir los pasos. Lo mas prctico es realizar el diagrama de interaccin como se indica en la seccin siguiente.

El procedimiento se puede sistematizar con un programa, con lo cual se reduce el trabajo de anlisis. Por otro lado, se pueden hacer simplificaciones en las frmulas bajo ciertos supuestos de tal manera que se puede disear de manera explcita el refuerzo, como se muestra en la seccin 6.1.4

6.1.3. DIAGRAMA DE INTERACION DE UNA COLUMNA DEFINICION: Un diagrama de interaccin es el lugar geomtrico de todos los pares Carga-Momento que causa la falla en la columna. Como se ha podido observar, la capacidad ltima de una columna viene dada por la capacidad de resistir simultneamente una carga axial y un momento, lo que indica que habr infinitos pares de Carga-Momento que la columna puede resistir. Adems, tambin se ha visto que el tipo de falla depende de la magnitud relativa de carga respecto a momento, logrndose fallas por aplastamiento del concreto o fluencia inicial del acero a tensin. Las frmulas para la falla a Tensin o a Compresin tienen que partir del supuesto de que el refuerzo a compresin o el de tensin alcanzan la fluencia, para poder obtener expresiones que permitan calcular el refuerzo o la capacidad ltima (Pn,Mn) para una excentricidad dada. Finalmente, en el diseo las normas exigen que se realicen diversas combinaciones de carga de tal manera que una sola columna debe revisarse para cuatro o mas combinaciones.

2 Actualmente el autor desarrolla un trabajo de pregrado con un estudiante para intentar la solucin directa de la ecuacin cbica referenciada. (1 -06-2004)

Por todo lo anterior, resulta ms prctico para el diseo obtener una curva de falla para Carga-Momento para cada columna con dimensiones conocidas, materiales seleccionados y refuerzo supuesto. De esta manera cada par Carga-momento de diseo ser satisfecho por la columna si cae dentro de la curva; de lo contrario falla y debern revisarse las dimensiones o variar el refuerzo. El principal inconveniente est en hacer tantos diagramas como secciones y refuerzos diferentes se tengan o se presenten pero se pueden realizar diagramas de interaccin adimensionales en trminos de Pu / bh y Mu / bh2 (Ver por ejemplo diagramas de Gonzlez y Robles en ASPECTOS FU NDAMENTALES DEL CONCRETO REFORZADO.)

MODOS DE FALLA DE LAS COLUMNAS CORTAS De manera similar al diseo a flexin de vigas, la falla en una columna corta puede presentarse por fluencia del acero a tensin o por aplastamiento en el concreto al alcanzarse la deformacin mxima unitaria. En el caso de presentarse simultneamente fluencia del acero a tensin y alcanzarse la deformacin mxima en el concreto se tendr una falla balanceada, para una carga que se llamar Pnb

Figura 6.8. Falla a Tensin o a Compresin

De esta manera se pueden tener tres tipos de fallas:

Si Pn < Pnb Falla por tensin del acero Si Pn = Pnb Falla balanceada Si Pn > Pnb Falla por compresin del concreto

ANLISIS DE LA FALLA BALANCEADA

f s = fy s = y cu = 0.003 s y

Como ya se demostr, del diagrama de deformaciones, se tiene:

d0.003

0.003 Cby+= (6.18) Con Es=2.000.000 Kg/cm2 y y =fy/Es, se tiene

df6000

6000 Cby+

= (6.18-a)

Siendo ab = 1 c b, las frmulas (6.12) y (6.13) se transforman en

Pnb = 0.85fc1 c b b + Asfs Asfy (6.19) Mnb = 0.85fc1 c b b (h/2-1 c b /2) + Asfs((h/2-d) + Asfy(d-h/2) (6.20)

Siendo fs = Ess = yb

b fc

)d'-6000(c (6.21) Si la armadura es simtrica y fs=fy entonces Asfs Asfy =0, la ecuacin (6.19) se transforma en

Pnb = 0.85fc1 c b b (6.22)

La ecuacin (6.20) tambin se simplifica como

Mnb = 0.85fc1 c b b (h/2-1 c b /2) + As f y (d-d) (6.23) ANALISIS DE LA FALLA POR TENSION

c< cb f s = fy s = y cu = 0.003 s= c

)d'-6000(c fy ANALISIS DE LA FALLA POR COMPRESION

c> cb f s < fy s < y fs= c

c)-6000(d fy cu = 0.003 s=y f s = fy

PROCEDIMIENTO PARA ELABORAR EL DIAGRAMA DE INTERACCION

Basados en las frmulas anteriormente desarrolladas, el procedimiento para elaborar el diagrama se puede resumir en los siguientes pasos (Se incluirn aqu el factor de reduccin para trabajar con Pu Pn y Mu Mn ). En el eje X se colocarn los valores de Momentos y en el eje Y los de Carga axial. DATOS DE ENTRADA

b h d d fc fy As=As As=As = Ast / 2 Es CALCULOS 1. Se calculan los puntos claves de control como son:

* Falla balanceada: df6000

6000 Cby+

= (6.18)

fs = yb

b fc

)d'-6000(c Pnb = [0.85fc1 c b b + Asfs Asfy] = 0.7

Mnb = [0.85fc1 c b b (h/2-1 c b /2) + As f y (d-d)] (6.23)

2. Carga axial mxima (suponiendo Mn=0)

Poc = [0.85fc (Ag-Ast) + Ast fy ] =0.70 con estribos (6.4)

Luego se obtiene 0.8Poc y se calcula el correspondiente Momento:

0.8Poc = [0.85fc 1 cb+Asfy-6000As(c

c-d)] y se despeja c para hallar luego Mn

* Punto de mxima tensin (Despreciando la resistencia del concreto)

Pot = Ast fy = 0.90 (6.24)

*Punto de Mot para el cual Po=0 . fs=fy (Interseccin en el eje X)

Pn =0.85fcab + Asfs Asfy, con a=1 c y fs = yfc)d'-6000(c

Se llega a 0h-c2c)6000A

b0.85f'( 2

s

1c =+ y se calcula c y luego Mot

2. Para completar el diagrama se pueden asignar valores de C mayores o menores que Cb . Para C> Cb, se estar en fallas por compresin y para C280

s = c

)d'-0.003(c

fs = Ess = yfc)d'-0.003(c Es

s = c

c)-0.003(d

fs = Es s = yfcc)-0.003(d Es

Zona de falla a Compresin

Pn = 0.85fc ab + As f s Asfs

Mn = 0.85fcab(h/2-a/2) + Asfs((h/2-d) + Asfs(d-h/2)

e = Mn/Pn NOTA: El valor de = 0.7 puede aumentarse linealmente hasta 0.9 en la medida en que Pn disminuye desde Pn min o Pb hasta cero. Pn min = 0.10 fc Ag, Ag=bh. Pn min corresponde al lmite para el cual se considera que un elemento se comporta como viga o columna. Si Pu Pn min el miembro debe disearse como viga (C.21.3 pag C-177 NSR-98) Este proceso repetitivo se puede programar en una hoja electrnica y graficar en el mismo programa Pn Vs Mn. Pn Po

e=M /P (Mnb,Pnb)

ona de falla a Tensin eb=Mnb/Pnb

Mn o

JEMPLO 1.

acer el diagrama de interaccin para una columna corta de seccin transversal de 35x35 cms

DATOS: Cuanta =Ast/bh= 12/(35x35) = 0.009796

al: Pn, Mn

3. Puntos claves del diagrama.

Falla balanceada

n n Z

M E Hreforzada simtricamente en sus caras opuestas con 6#5 A-60 , concreto 210 Kg/cm2, d= 5 cms d= h-d= 35-5 = 30 cms Es = 2.000.000 Kg/cm2 NOTA: Se usar slo carga nomin

Pot Figura 6.9. Diagrama de Interaccin

df6000

6000 Cby+

= 30*42006000

6000 += = 17.65 cms Carga balanceada Pnb = 0.85fc1 c b b = 0.85*210*0.85*17.75*35/1000=94.26 ton.

Momento balanceado Mnb = 0.85fc1 c b b (h/2-1 c b /2) + As f y (d-d)

=0.85*210*0.85*17.65*35*(35/2-.85*17.65/2)+6*4200*(30-5)

Carga axial mxima Po = [0.85fc (Ag-Ast) + Ast fy ] 2*4200)/1000 = 267 ton

acturando por 0

Punto de mxima tensin Pot = Ast fy on

Punto de Mot para cb= 6*4200/(0.85*210*35) = 4.03 cm

Mo = 0.85fcab n-m

4. Clculo de otros puntos

obtuvo que Cb=17.65 cms

ando valores a C Cb se obtienen puntos para falla por compresin.

S

a = 1c 1= 0.85 si fc280 y 1= 0.85-0.05(fc-280)/70 si fc >280 Luego c =

s =

a = 0.85 0.85*25 = 21.25 cms

c

)d'-0.003(c = 0.003*(25-5)/25 = 0.0024 > s = fy/E = 0.002

fs = 4200 Kg/cm2

s =

cc)-0.003(d

= 0.003*(30-25)/25 = 0.0006

=sEs = 0.0006*2.000.000 = 1200 Kg/cm2

n = 0.85fc ab + As f s Asfs = 0.85*210*21.25*35 + 6*4200 6*1200 = 151.8 Ton

n = 0.85fcab(h/2-a/2) + Asfs((h/2-d) + Asfs(d-h/2) ) + 6*1200*(30-35/2) = 13.18 Ton-m

= Mn/Pn = 13.18 / 151.8 =0.0868 m = 8.68 cms.

Falla por tensin

ea C= 10 cms

a = 1c = 8.50 cms

s =

fs

P M = 0.85*210*21.25*35*(35/2- 21.25/2) + 6*4200*(35/2-5 e S

c

)d'-0.003(c = 0.003*(10-5)/10 = 0.0015 < s = fy/E = 0.002

2.000.0

s =

f s = 0.0015* 00 = 3.000 Kg/cm2

cc)-0.003(d

= 0.003*(30-10)/10 = 0.0006 > y

= 4200 Kg/cm2

n = 0.85fc ab + As f s Asfs = 0.85*210*8.5*35 + 6*3000 6*4200 = 45.90 Ton

n = 0.85fcab(h/2-a/2) + Asfs((h/2-d) + Asfs(d-h/2) + 6*4200*(30-35/2) = 12.44 Ton-m

= Mn/Pn = 12.44 / 45.9 =0.27 m = 27.10 cms..

os pares ordenados (Mu,Pu) obtenidos hasta ahora son

Balanceado Po 0.80Po Pot Mot C=25 C=10

fs

P M = 0.85*210*8.5*35*(35/2- 8.5/2) + 6*3000*(35/2-5) e L DESCRIPCIN

Mn (Ton-m) 15.67 0 0 0 7.05 13.18 12.44 Pn (Ton) 94.26 267 213.54 -50.4 0 151.8 45.9

e manera similar, dando otros valores a C, se pueden obtener mas puntos del diagrama y

n el cuadro que se muestra a continuacin aparecen los clculos para valores de C variando

fs=esE es=0.003(d- fs=esE Pn Mn e=Mn/Pn

Ddelinear una curva mas exacta. Ea intervalos constantes, lo cual facilita la programacin en una hoja electrnica: c sup Beta1 a=c*Beta1 es=0.003(c-

d)/c s c)/c s ,00257 ,000435 0,85 29,75 0 4200 -0 3 -857 216 7,39 3,42

32,5 0,85 27,63 0,00254 4200 -0,00023 -462 201 9,17 4,57 30 0,85 25,50 0,00250 4200 0,00000 0 185 10,72 5,81

23,38 0,00245 4200 0,00027 168 12,05 7,17 25 0,85 21,25 0,00240 4200 0,00060 1200 151 13,18 8,74

19,13 0,00233 4200 0,00100 2000 133 14,13 10,65 20 0,85 17,00 0,00225 4200 0,00150 3000 113 14,96 13,19

14,88 0,00214 4200 0,00214 4200 93 15,65 16,84 15 0,85 12,75 0,00200 4000 0,00300 4200 78 15,01 19,13

10,63 0,00180 3600 0,00420 4200 63 13,94 22,20 10 0,85 8,50 0,00150 3000 0,00600 4200 46 12,44 27,09 7,5 1,85 13,88 0,00100 2000 0,00900 4200 73 13,81 18,79

5 2,85 14,25 0,00000 0 0,01500 4200 64 12,39 19,41

27,5 0,85 545

22,5 0,85

17,5 0,85

12,5 0,85

Figura 6.10. Ejemplo de diagrama de interaccin

Se puede observar en la zona de falla a compre n que entre mayor sea la carga aplicada, menor es el momento que puede resistir; sto se debe a que en estas zonas el concreto est

COLUMNA TIPO 35x35 CUANTIA 0.011

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

MOMENTO (T-M)

CA

RG

A A

XIA

L (T

ON

)

(Mb,Pb)

si

0.8Po

sobredeformado por lo que no le queda ningn margen para una deformacin de compresin adicional por flexin. En la zona de falla por tensin puede verse que entre mayor sea la carga axial de compresin,

ayor momento resistir la columna, ya que los esfuerzos de tensin ocasionados por el

JERCICIO 1. Desarrollar las frmulas para diagramas de interaccin con refuerzo simtrico n las cuatro caras.

mmomento sern reducidos por los de compresin por carga axial. Ee

Figura 6.4. Flexo-compresin en material elsticoRESUMEN DE FORMULASANALISIS DE LA FALLA POR COMPRESION