diseño de columnas cortas

8/12/2019 diseo de columnas cortas

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DISEO DE COLUMNAS BIAXIALES ESTRUCTURAS DE HORMIGN 2_________________________________________________________________________________________________________

ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003

119

9.5 Diseo de columnas biaxiales

9.5.1 Introduccin

El procedimiento de diseo explicado en el numeral anterior se puede ampliar para

cubrir el caso general de flexin en los dos ejes principales de una columna, figura 9.60.

Figura 9.60 seccin de columna sometida a flexin biaxial

Esta situacin no es excepcional en el diseo y se presenta frecuentemente en todos losclculos estructurales. La figura 9.61 muestra la planta de una edificacin de hormignarmado y la presencia de columnas uniaxiales y biaxiales.

Figura 9.61 Planta de una edificacin de varios pisos

X

My

Dx

Dy

A

C

1 2 3 4

7.5 m

B

8.0 m 7.5 m

3.5

3.5


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Las columnas A1, A4, B1, B4, C1 y C4 reciben flexin por los dos ejes principalesmientras que las otras estn sometidas a flexin uniaxial. El problema ahora esdeterminar la capacidad de carga axial de una columna biaxial utilizando las ecuacionesde equilibrio y compatibilidad tal como se solucionaron las columnas a flexin simple.La figura 9.58.a muestra la capacidad resistente de una columna sometida a flexin

simple segn el eje Y con el eje neutro paralelo a este eje y la carga axial equivalenteesta localizada a una excentricidad de ex . La figura 9.62.b muestra la mismasituacin pero la flexin en el eje X, el eje neutro ahora es paralelo a este eje y laexcentricidad de la carga axial es ey . Se puede observar como el diagrama deinteraccin en ambos casos es ortogonal y su elaboracin fue tema de la seccinanterior. La figura 9.62.c muestra la columna sometida a flexin biaxial con una nuevacaracterstica y es que el eje neutro ya no es paralelo a ningn eje principal y forma unngulo con el eje X.

a) Uniaxial en Y b) Uniaxial en X c) Biaxial

Figura 9.62 Posicin del eje neutro y comportamiento de columnas

El ngulo esta definido como la inclinacin de la excentricidad resultante encolumnas biaxiales y se determina de la figura 9.62.c. Este ngulo origina un plano querepresenta la resistencia de la columna a flexin y compresin.

ex

P ey

Pn

Y

X

ey

ex

Y

X

Mny

Pn

Mnx

Pn

Pn

Mnx

Mn

Mnx


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=

=

nx

ny

y

x

M

M

e

e 11 tantan ( 9.24 )

Para cada valor de se tiene un diagrama de interaccin de la columna o en forma

similar para cada combinacin de valores Mnx, Mny y P n se obtiene una superficieresistente de la columna con una inclinacin . Para diferentes valo res de seobtienen una familia de curvas como se indica en la figura 9.63. Cualquier punto decoordenadas Mnx, Mny y P n que se encuentre dentro de la curva es una combinacinsegura mientras que si esta por fuera podra representar el agotamiento de la columna.

Figura 9.63 Diagramas de interaccin de columnas biaxiales segn .

La construccin de un diagrama de interaccin para una columna biaxial se puedeenfocar como una extrapolacin del diagrama uniaxial. En la figura 9.62 para undeterminado valor de se pueden realizar varios c lculos asumiendo diferentesprofundidades del eje neutro como se muestra en la figura 9.64. Utilizando lasecuaciones de compatibilidad y equilibrio se obtiene la capacidad resistente de lacolumna es decir el juego de valores Mnx, Mny, Pn que representa un punto deldiagrama correspondiente. Repitiendo los clculos con diferentes valores de ydiferentes profundidades del eje neutro se obtienen los puntos suficientes para dibujar lasuperficie de interaccin de una columnas biaxial. La zona a compresin del hormignpuede tomar la forma trapezoidal o triangular como se muestra en la figura 9.64generando complicaciones de calculo que pueden ser incorporadas sin muchacomplejidad en los algoritmos de trabajo, en general a diferencia del caso uniaxial eneste cada barra de refuerzo tiene su propia deformacin lo que amplia mas el numero deoperaciones matemticas. La principal dificultad es que el eje neutro no es perpenticulara la lnea que une el centro de gravedad de la columna con el punto donde acta la carga

Mny

Mnx

Pn


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Pn . Solo en casos muy especiales y dependiendo de la relacin Mny / Mnx sepresenta esta situacin. El resultado es que para diferentes valores de c y paracualquier ngulo el valor de variara.

Figura 9.64 Posiciones del eje neutro y superficie a compresin

En la practica se conocen los valores de momentos y cargas mayorados obtenidos delanlisis estructural de la edificacin; esto significa que se tiene el ngulo , por tantopara determinar la cuanta del refuerzo solo se requiere conocer la curva de interacciny verificar la capacidad de la columna. Un mtodo por computador facilita las tareasoperativas sin embargo el uso de mtodos rpidos alternativos es ideal cuando serequieren realizar revisiones de un diseo especifico de una columna.

9.5.2 Mtodos para disear columnas biaxiales

Se conocen varios procedimientos para realizar el diseo de una columna biaxial:

a) Con el uso de enfoques aproximados de diseo, siendo este el mas adecuadopara realizar clculos manuales.

b) Con el uso directo de las ecuaciones de compatibilidad. Este es el mejor pero suaplicacin manual esta restringida por la gran cantidad de clculos requeridosque solo se pueden realizar con la ayuda del computador;

c) Utilizando los diagramas de interaccin. Este mtodo es rpido pero requiereconocer el diagrama de cada columna a disear y esto generalmente no estadisponible por la gran cantidad de variables que intervienen en el problema.

d) Utilizando grficos aproximados de diseo ( Weber, Park y Paulay).

9.5.2.1 Mtodos aproximados de diseo

De estos mtodos se conocen tres alternativas de trabajo: a) los que utilizan el principiode superposicin, b) los que convierten el problema en uno uniaxial equivalente y c) losque utilizan superficies aproximadas de interaccin.

Principio de superposicin. Se han realizado varios intentos con resultados unasveces desfavorables y otras excesivamente conservadores. A manera deilustracin se presentaran aqu como un ejemplo a no imitar ya que los


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resultados son diseos inadecuados. Una primera forma de resolver el problemaes disear la columna como si fueran dos uniaxiales y luego superponer elrefuerzo obtenido. Otra es trazar una recta cualquiera por el punto donde estaaplicada la carga y generar con ello dos columnas uniaxiales que se resuelvencomo se explico en el capitulo anterior para sumar luego los refuerzos. Otra

forma es que la carga axial Pu se reemplaza por dos cargas uniaxialesequivalentes localizadas en los ejes X, Y determinando el refuerzo para cadacarga y luego sumndolo.

Ejemplo 9.13 Se requiere disear una columna rectangular sometida a las siguientescargas mayoradas: Pu = 970 kN, Mux = 240 kN.m, Muy = 460 kN.m. Utilizar unhormign de fc = 28 MPa y un acero de fy = 420 MPa.

Solucin: Se determinan inicialmente las excentricidades en cada direccin:

mex

47.0970

460== me

y25.0

970

240==

Ya que ex > e y en mas de un 20% se recomienda usar columna rectangular en donde ladimensin segn el eje X debe ser mayor. Despus de varios ensayos se llega a unasdimensiones de Dx = 600 mm y Dy = 400 mm.

Figura 9.65 Seccin de columna del ejemplo 9.13

Se asume un valor d= 55 mm =>

y= ( 400 110) / 400 = 0.725 x= ( 600 110) / 600 = 0.82

Utilizando las figuras 9.58 y 9.59 con Pu / (Ag.fc ) = 0.14 y con Mux /(Ag.Dy.fc) = 0.09 y Muy / ( Ag.Dx.fc ) = 0.11 se obtiene:

Para: R 28.420:60 ( 0.09, 0.14 ) => = 0.011=> = 0.010 ( interpolacin lineal ).

Para: R 28.420:75 ( 0.09, 0.14 ) => = 0.009

Para R 28.420:75 ( 0.11, 0.14 ) => = 0.013=> = 0.012 ( interpolacin lineal ).

Para R 28.420:90 ( 0.11, 0.14 ) => = 0.010

D = 400 mm

Dx = 600 mm

X

Y


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7/17


8/17



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Ya que la excentricidad ficticia es en direccin X => la columna uniaxialequivalente tiene un h = 600 mm y b = 400 mm .

Si d= 75 mm ( para que = 0.75 ) se obtiene de R28.420:75 el siguiente refuerzo:

Pu / ( Ag. fc ) = 0.144 Mu / ( Ag.h.fc) = 0.180 => = 0.040

=> Ast = 9600 mm212 # 10 ( A st = 9828 mm

2).


Ejemplo 9.15 Disear una columna rectangular sometida a las siguientes accionesexternas mayoradas: Pu = 1200 kN Mux = 180 kN.m y Muy = 75 kN.m. Utilizar unhormign de fc = 28 MPa y fy = 420 MPa.

Solucin: ex = ( 75 / 1200 ) = 0.0625 m ey = ( 180 / 1200 ) = 0.15 m. Se nota que e y>ex y la direccin que controla el diseo es la Y . Una primera estimacin de lasdimensiones de la columna indica que Dy > Dx y que ( Dy . Dx ) 150000 mm2.

Sea Dy = 500 mm y Dx = 300 mm Dy / Dx = 500 / 300 = 1.67

4.20625.0

15.0 ==x

y

e

e > 1.67 Controla la expresin 9.25 y la excentricidad ficticia esta

en direccin del eje Y . Pu / ( Ag.fc) = 0.29 => = 0.89

24.067.10625.089.015.0 =+=fe => Mu = 1200 x 0.24 = 288 kN.m

Si d= 62.5 mm ( para que = 0.75 ) se obtiene de R28.420:75

Pu / ( Ag. fc ) = 0.29 Mu / ( Ag.h.fc) = 0.14 => = 0.035

Y

X400 mm

600 mm

# 3 @ 400 mm

12 # 10


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Que equivale a un refuerzo de Ast = 0.035 x 300 x 500 = 5250 mm210 # 8

=> Ast real = 10 x 510 = 5100 mm2y = 0.034

Al revisar este diseo con un mtodo mas elaborado como los que se presentaran en los

prximos numerales se encuentra que es adecuado y la columna cumple con losrequisitos de confiabilidad exigidos por las normas. Figura 9.65.


Mtodo de la carga reciproca. Este es uno de los procedimientos aproximadosque utilizan una superficie de interaccin para resolver el problema biaxial. Fuepropuesto por el Prof. Boris Bresler en 1960 y sus resultados han sido revisadosy verificados con procedimientos mas elaborados con resultados satisfactorios.El mtodo se fundamenta en que la superficie de interaccin de la columnabiaxial se puede representar como una funcin de la carga axial Pn y lasexcentricidades ex y e y como se muestra en la figura 9.70.

Figura 9.70 Grafico de interaccin modificado para columna biaxial

500 mm

300 mm

10 # 8

Pn

Pn

Superficie S1

ey

ex


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La superficie S1 puede a su vez transformarse en una superficie de falla equivalente S2 como se muestra en la figura 9.71 donde en lugar de dibujar Pn, ex, ey sepresentan: 1 / Pn, ex, ey . Cuando e x = e y = 0.0 se obtiene el valor inverso de lacapacidad de la columna cargada concentricamente, es decir 1 / Pno , punto C de lafigura 9.71. Para un valor de ex = 0.0 y cualquier e y hay una cierta carga Pnxo

correspondiente al momento Mnxo que produce la falla, el reciproco 1 / Pnxo seindica como el punto B de la figura 9.71. Finalmente cuando ey = 0.0 se obtiene el valor 1 / Pnyo punto A de la figura 9.67.

Figura 9.71 Superficie modificada de falla de columnas biaxiales. Bresler.

Al unir los puntos A, B y C se genera un plano oblicuo S2 que representa unaaproximacin a la superficie real de falla S2. Se puede notar como para cualquier puntode la superficie de falla S2 hay un punto correspondiente en el plano S2 que esta en elinterior de la superficie real de falla S2. Se concluye que la ordenada real 1 / Pn decualquier punto sobre la superficie S2 se puede estimar en forma conservadora por laordenada aproximada 1 / Pn que se obtiene del plano triangular oblicuo S2. En otraspalabras ( 1 / Pn ) aprox. es siempre mayor que ( 1 / Pn ) real, lo cual significa que ( Pn )aprox. es menor que ( Pn ) exacto lo que es conveniente en un diseo.

La ecuacin para el mtodo de la carga reciproca de Bresler, 9.27, se obtiene poranlisis geomtrico de la superficie S2 y su uso es adecuado siempre y cuando Pn >0.10 Pno. Cuando no se cumple esta condicin se recomienda despreciar la carga axial ydisear la columna como un elemento sometido a flexin biaxial.

1 / Pnyo

1 / PnxoA

B

C

1 / Pno

Superficie S2

1 / Pn

ey

ex


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nonyonxon PPPP .

1

.

1

.

1

.

1

+= ( 9.27 )

En donde:

.Pn = Capacidad de carga axial de una columna sometida a flexin biaxial.Pnxo= Capacidad de carga axial para cualquier valor de ey

.Pnyo= Capacidad de carga axial para cualquier valor de ex

.Pno= Capacidad de carga axial para la columna concntrica.

Al disear una columna biaxial con este mtodo se deben utilizar los grficos deinteraccin de las columnas uniaxiales para obtener los valores correspondientes de Pnxo y Pnyo pero a diferencia del diseo uniaxial aqu no se debe restringir el valor

de .Pn que representaba la meseta del grafico de interaccin. Se utiliza toda la curvacorrespondiente y que en la mayora de los casos se dibuja punteada.

En cualquier diseo estructural de columnas por lo general se conocen: las dimensionesiniciales de su seccin ( Dx, Dy ) y las excentricidades ( ex, ey ) => lo primero que sehace es ensayar una cuanta de refuerzo y una distribucin de barras ( mtodo de laexcentricidad equivalente) se va a los diagramas de interaccin de columnas uniaxialesy se determina Pnxo , Pnyo y Pno . Finalmente con la ecuacin 9.27 sedetermina .Pn la cual debe ser mayor o igual al valor de Pu inicial.

Ejemplo 9.16 Disear una columna rectangular para soportar la siguiente combinacinde cargas externas mayoradas: Pu = 1250 kN, Mux = 95 kN.m y Muy = 190 kN.m.

Utilizar fc = 28 MPa y fy = 420 MPa.

Solucin: ex = 190 / 1250 = 0.152 ey = 95 / 1250 = 0.076 => ex > ey y se cumple quela seccin es rectangular con Dx > Dy. Una primera aproximacin para las dimensionesde la seccin es Dx = 500 mm y Dy = 300 mm.

50.0152.0

076.0 ==x

y

e

e 60.0

500

300==

Dx

Dy => = 0.75El grafico de interaccin es R28.420:75

Pu / ( Ag fc ) = 1250000 / ( 300 x 500 x 28 ) = 0.30


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Mu / ( Ag x h x fc ) = 332.5 x 106/ ( 300 x 500 x 500 x 28 ) = 0.16

Con estos valores se obtiene una cuanta de refuerzo de = 0.045 que represent a unacantidad de acero de Ast = 0.045 x 500 x 300 = 6750 mm 2. Utilizando barras # 9 seobtienen 10 # 9 Ast = 10 x 645 = 6450 mm 2=> = 0.043

Figura 9.72 Representacin de la columna del ejemplo 9.16

Ahora se revisara el diseo utilizando el mtodo de la carga reciproca:

Segn el eje Y=> x= ( 500 125 ) / 500 = 0.75 y e x/ h = 0.152 / 0.500 = 0.304

Con ex/ h = 0.304 y = 0.043 se entra a R28.420:75 y se obtiene:

.Pnxo / ( Ag.fc ) = 0.50 y .Pno / ( Ag. fc ) = 0.90

.Pnxo = 0.50 x 500 x 300 x 28 = 2100 x 103N

.Pno = 0.90 x 500 x 300 x 28 = 3780 x 103N

Segn el eje X=> x= ( 300 125 ) / 300 = 0.58 y e y/ h = 0.076 / 0.300 = 0.253

Con ey/ h = 0.253 y = 0.043 se entra a R28.420:60 y se obtiene:

.Pnyo / ( Ag.fc ) = 0.48 y .Pno / ( Ag. fc ) = 0.90

.Pnyo = 0.48 x 500 x 300 x 28 = 2016 x 103N

.Pno = 0.90 x 500 x 300 x 28 = 3780 x 103N

Ahora sustituyendo en la ecuacin 9.27 =>1413

1

3780

1

2016

1

2100

1

.

1 =+=nP

Se

obtiene un .Pn = 1413 kN > Pu = 1250 kN => la columna esta correctamente diseada.

X

Y

500 mm

300 mm10 # 9


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Mtodo de la carga de contorno. Este es el segundo mtodo grafico de diseoque presenta Bresler para columnas biaxiales. En este procedimiento, adiferencia del anterior, la superficie de falla esta representada por una familia decurvas horizontales correspondientes a valores constantes de Pn , figura 9.73.

Figura 9.73 Representacin de la familia de curvas del mtodo de la carga de contorno

La forma general para estas curvas puede aproximarse por un diagrama adimensional deinteraccin como se indica en la expresin 9.28 en donde los coeficientes querepresentan los exponentes de cada relacin adimensional 1 y 2 dependen de lasdimensiones de la columna, de la cantidad y distribucin del refuerzo, de lascaractersticas tensin-deformacin de los materiales, de la magnitud del recubrimientoy del tamao y distribucin de los amarres o espirales. Cuando 1 = 2 = la formade la curva de contorno puede dibujarse y obtenerse as el valor de acuerdo conlas relaciones entre los momentos en cada eje.

0.1

21

=

+

nyo

ny

nxo

nx

M

M

M

M ( 9.28 )

En donde: Mnx y Mny son los momentos resistentes en cada eje de la columna y Mnxo,Mnyo son los momentos uniaxiales para cada eje. Si ahora se consideran los

coeficientes de minoracin de resistencia la ecuacin 9.27 se puede nuevamenteescribir en la forma mas conocida para el diseo.

0.1.

.

.

.=

+

nyo

ny

nxo

nx

M

M

M

M ( 9.29 )

Pn

Mny

Mnx

( Mnxo, Pnxo)

( Mnyo, Pnyo)

Curva n

Curva i


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los clculos realizados por Bresler indicaban un valor de entre 1.15 y 1.55 paracolumnas de seccin rectangular y cuadradas. Los valores cercanos al limite inferior delrango representaban los mas conservadores. Existen procedimientos mas complejos paradeterminar en las referencias citadas al final del texto sin embargo la forma masadecuada es utilizando la ecuacin 9.30 y la figura 9.74.

log

5.0log= ( 9.30 )

El valor de se puede obtener de la figura 9.74. Para propsitos prcticos la curvade contorno tambin se puede aproximar a dos lneas rectas AB y BC , figura 9.75por lo que la ecuacin 9.28 se puede reemplazar por dos ecuaciones equivalentes deacuerdo a la relacin de los momentos en cada eje, ecuaciones 9.31 y 9.32.

Figura 9.74 Valores del coeficiente en el mtodo de la carga de contorno

Mnx / Mnxo

Mny / Mnyo


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Figura 9.75 Modificacin de la curva de contorno en columnas biaxiales

Para el tramo AB se tiene ( Mny / Mnyo ) < ( Mnx / Mnxo ) =>

0.11

. =

+

nyo

ny

nxo

nx

M

M

M

M ( 9.31 )

Para el tramo BC cuando ( Mny / Mnyo ) > ( Mnx / Mnxo ) =>

0.11

. =

+

nxo

nx

nyo

ny

M

M

M

M ( 9.32 )

Ejemplo 9.17 Revisar el diseo de la columna del ejemplo 9.16 utilizando el mtodode la carga de contorno.

Solucin: Se tienen los siguientes datos: Dx = 500 mm, Dy = 300 mm, d= 62.5 mm,fc = 28 MPa, fy = 420 MPa y Ast = 10 # 9 ( = 0.043 ), Mux = 95 kN.m .Mnx yMuy = 190 kN.m .Mny.

Mnx / Mnxo

Mny / Mnyo

0.11 =

+

nyo

ny

nxo

nx

M

M

M

M

0.11 =

+

nxo

nx

nyo

ny

M

M

M

M


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El problema consiste en hallar los valores de Mnxo , Mnyo y .

Considerando el eje Y:

75.0500

5.622500 == 30.028500300

101250.

. 3 =

=cfA

P

g

n

De la grafica R28.420:75 con .Pn / ( Ag fc ) = 0.30 y = 0.043 se obtiene:

mkNmmNMcfDxA

Mnyo

g

nyo ..336.103362850030050016.0.16.0..

.6 ====

Considerando el eje X:

58.0300

5.622300=

= 30.0

28500300

101250

.

. 3=

=cfA

P

g

n

De la grafica R28.420:60 con .Pn / ( Ag fc ) = 0.30 y = 0.043 se obtiene:

mkNmmNMcfDyA

Mnxo

g

nxo ..164.101642830030050013.0.13.0..

. 6 ====

Las relaciones de los momentos uniaxiales y biaxiales son:

58.0164

95

.

.==

nxo

nx

M

M

0 565.0

336

190

.

.==

nyo

ny

M

M

se obtiene de la figura 9.70 => = 0.56 => = ( log 0.5 / log 0.56 ) = 1.19

( ) ( ) =+ 0.103.1565.0580.0 19.119.1 La columna esta bien diseada.

9.5.2.2 Solucin de columnas biaxiales por equilibrio y compatibilidad. Este es elmtodo preferido cuando se dispone de una herramienta de calculo rpida como las

calculadoras programables y los computadores. Su uso manual esta prcticamentecuestionado por la gran cantidad de operaciones que se requieren realizar. En laliteratura tcnica existen algoritmos que utilizan los mtodos numricos fciles deprogramar y que permiten obtener resultados satisfactorios en pocos segundos. Esteprocedimiento tiene la ventaja de resolver cualquier forma de columna con unadistribucin del refuerzo especial y considerando seccin hueca o slida. La figura 9.76ilustra la forma como se deben plantear las ecuaciones y como se debe resolver elproblema. El programa DISH 2003utiliza esta metodologa.


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Figura 9.76 Tensiones y deformaciones en columnas biaxiales

9.5.2.3 Solucin por diagramas de interaccin. Este procedimiento es unarepresentacin grafica del mtodo de las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio ysolo esta disponible en diseos por computador. No se disponen de grficos deinteraccin particulares para columnas a flexin biaxial como los ilustrados en lascolumnas uniaxiales.

9.5.2.4 Solucin por grficos aproximados. Estos mtodos fueron muy utilizadoscuando la disponibilidad de los procedimientos aproximados de Bresler y el uso delcomputador estaban restringidos para la aplicacin practica. Actualmente se hacereferencia como informacin general y el lector podr consultar en los libros de lareferencia mas informacin al respecto.

ex

Kx.b

Ky.b

ey

PnX

Dy

Dx

Cs1

Cs2

T1

T2

c

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