clase no 6 torsion en los materiales problemas

Universidad José A. Páez.Materia: Resistencia de Materiales.

Clase No 6.Unidad III : Torsión en los Materiales.

“No son muertos los que yacen en las tumbas frías …

… Muertos son los que andan con sus almas frías y viven todavía”.

Prof. Daniel Gil´ Ady.

Prof. Ing. Alejandro F. Pocaterra B.

Resistencia de Materiales: En este capitulo se analizaran los elementos sometidos a Torsión, haciendo la salvedad que

solo se verán para elementos cilíndricos.

¿Qué son los Esfuerzos de Torsión? Es la acción y efecto, que sucede en los cuerpos, de torcer o torcerse, por la acción de una Fuerza Torsionante , conocida como Momento Torsor. Su diferencia es que no se distribuye de manera uniforme dentro de los elementos.

“Es el movimiento a través del cual, una barra, producto de las fuerzas torsionantes, se va girando sobre su propio eje, trasladándose desde

un punto A, hasta un punto B”.

(A. Pocaterra; 2.014).

ᵩHay una distorsión

angular del elemento, producto de las fuerzas

rotacionales.

T

TO

rᵩA

B

C



Resistencia de Materiales: Analicemos un poco mas que sucede con las barras al momento de aplicar un esfuerzo

torsionante.

“Τ max. Es el esfuerzo torsionante mayor ,que se produce en la pieza”.A diferencia de los demás tipos de esfuerzos, este, varia, mientras mas se aleja del eje”.

Ej: Caso Bailarina, al abrir, y encoger los Brazos. (La Torsión aumenta y disminuye, mientras mas alejado tenga sus brazos de su cuerpo).

Τ max.

T

TO

rᵩA

B

C

A

L.

T T

C

B

ᵩO

A

B



Resistencia de Materiales: Analicemos un poco mas que sucede con las barras al momento de aplicar un esfuerzo

torsionante.

Para deducir las formulas de Torsión, se hace preciso establecer las siguientes Hipótesis. (a)

1.- Las secciones circulares (cilíndricas), permanecen circulares después de la Torsión.

2.- Las secciones planas permanecen planas y no se “alabean” (*) después de la Torsión.

3.- En la sección transversal, una línea radial, permanece radial, después de la torsión.

4.- Los “Pares Torsores”, actúan en planos Perpendiculares a sus Ejes.

5.- Los Esfuerzos no sobre pasan el limite de proporcionalidad. (Sino se deformara la pieza).

Τ max.

T

TO

rᵩA

B

C

A

L.

T T

C

B

ᵩO

A

B

(*) “alabean” = Encorvarse.



Resistencia de Materiales: Analicemos un poco mas internamente que sucede con las fibras elásticas del material de

las barras, al momento de aplicar un esfuerzo torsionante.

1.-• Las “fibras elásticas” de esta sección, sufrirán una Rotación, resbalando sobre la sección anterior. • Esto ocurrirá hasta que sus fibras se deformen y, produzcan un par resistente, que equilibre el Par de Fuerzas Aplicadas TA y TB.

2.-• Las “fibras elásticas” de LAS SECCIONES 1 Y 2, ahora actuarán como un conjunto único y rígido, trasmitiendo un par torsionante a las fibras de la Sección 3.

3.-• Como consecuencia del par torsionante transmitido por las fibras elásticas de las dos secciones anteriores, estas nuevas giraran hasta que sus fibras, comiencen a desarrollar una nuevo par resistente, que a su vez produce la Rotación sobre el Eje longitudinal de la Pieza.

Τ max.

T

TO

rᵩA

B

C

A

L.

T T

C

B

ᵩO

A

B

• Finalmente este proceso se repite a lo largo de todas las fibras, y solo se detendrá, hasta el momento que se genere el equilibrio de fuerzas dentro del solido (Esto sería cuando el elemento resiste el par torsionante).

• O bien hasta que la barra sea sobre pasada en sus capacidad de resistir el Par, lo que produciría el cizallamiento de la pieza, y su posterior rotura.



Resistencia de Materiales: (FORMULARIO PARA EL EXAMEN)Deducción de las Formulas de Torsión: Se analiza una Fibra a una Distancia “d”.

Siendo el Esfuerzo de Corte, en la barra, según la Ley de Hook: (Sustituyendo en la ecuación (2))

τ = ( (“d” x ᵩ) / L ) x (“F. Torsionante” = G) (3)

∂ = DE = “d” x ᵩ. (1)

Siendo la Distorsión Final de la Barra:

ϒ = ∂ / Longitud de la Barra.

ϒ = (“d” x ᵩ.) / Longitud de la Barra. (2)



Fibra cualquiera a distancia “d”.

Gira una distancia DE

Τ max.

T

TO

rᵩA

B

C

A

L.

T T

C

B

ᵩO

A

B

E.

D

d

∂

Calculo de ᵩ a partir de los Momentos Polares:

ᵩ = (T) x L / J x G. (4)

Es decir la Torsión Máxima a la que puede ser sometida una barra, sin sobre pasar los limites de proporcionalidad.

τ = ( Tr / J) (5)

Esfuerzos Cortantes Máximos Secciones Huecas y Macizas.

• Trmax. = 2 x T / π x r 3 = 16 T / π x diámetro 3 (Maciza). (7 y 8)

• Trmax = 2 x T / π x /(R4 - r4)= 16 T x Diámetro / π (D4 – d4) (Hueca)

Momentos Polares: La capacidad de resistir Momentos Rotacionales los Materiales.

J = M. Polares = ( A x ( (r )2 / 2 )) =

((π x r2 ) x r 2 / 2)) 2 =

π x r4 / 2. (9).

J = (Π x (D) 4 / 32 ) (Macizos)

J = (Π x (D 4 – d 4) / 32 ) (Huecos)(10)

Resistencia de Materiales: Problemas de Torsión y Esfuerzos Torsionantes Máximos:8.- Problema:La figura muestra un árbol macizo de sección constante de 50 mm de Diámetro. El mismo esta siendo sometido a pares de fuerzas torsoras.

Si el Modulo de Elasticidad de la Barra, es: 83 x 103 MN/ m2. (83 x 103 x 106 N/m2 = 83 x 109 N / m2 )

Se pide hallar: Momento en MBA , y el ángulo total de Torsión entre los puntos A y D.

Acero.D = 50 mm.

G. Ace. = 83 GN/ m2.

2,00 mts 3,00 mts

D.

MBA

0,8 kN/ m.

1º Diagrama de Cuerpo Libre:

Igual al caso de Fuerzas Axiales ya conocido, es preciso reconocer y analizar los Momentos aplicados a cada parte del Elemento, con los fines de observar ¿Qué momento torsor esta aplicado en sus partes conformantes?

∑ M D-C: 800 kN / m - M D-C = 0; M D-C = 800 kN / m. (1)

∑ M C-B: 800 kN / m - 1300 kN/m2 - M C-B = 0; M C-B = - 500 kN / m. (2)

∑ M B-A: 800 kN / m - 1300 kN/m2 - 1250 kN / m - M B-A = 0; M B-A = - 1.750 kN / m. (3)

2º Por otra parte, y a los fines de cumplir con las HIPOTESIS DE LA TORSION (a), para que se mantenga la Barra en el límite de la Proporcionalidad es preciso que la DEFORMACION ANGULAR SEA IGUAL PARA TODAS LAS FIBRAS de la barra.

Esfuerzo Torsión = Torsión / π x d3

Angulo de Torsión = ᵩ

(T x L ) / (J x G)

Ec. 7 y 8

Ec. 4

1,50 mts

1,3 kN/ m. 1,25 kN/ m.? kN/ m.

C. B. A.

1. 2. 3.



Resistencia de Materiales: Problemas de Torsión y Esfuerzos Torsionantes Máximos:

3º Aplicando las Ecuaciones de Momento Torsor para cada Elemento y conocidos los Momentos Polares = J ; para cada tipo de Barra, en este caso Macizas:

Se debe partir de la condición: ᵩ DC + ᵩ CB + ᵩ BA = ᵩ DA (Por ser un único Elemento).

Por tanto las Torsiones de cada Elemento se pueden calcular de la siguiente manera:

(( Momento T x L ) / (J x G)) DC + (( Momento T x L ) / (J x G) ) CB + (( Momento T x L ) / (J x G)) BA = ᵩ DA

( ( 800 x 3,00 m) / ((Π x (0.05 m) 4 x (83 x 109 N / m2)) )+ ( ( -500 x 1,50 m) / ((Π x (0.050 m) 4 x (83 x 109 N / m2)) ) 32 32 .

+ ( ( -1.750 x 3,00 m) / ((Π x (0.05 m) 4 x (83 x 109 N / m2)) ) =32

0.047 + (-0.014) + (-0.103) = 0.07086 N x m

2,00 mts 3,00 mts

D.

MBA

0,8 kN/ m.

1,50 mts

1,3 kN/ m. 1,25 kN/ m.? kN/ m.

C. B. A.

1. 2. 3.

M = 800 kN x m M = -500 kN x m M = 1.750 kN x m

Para llevar N x m a Grados / Radianes



Resistencia de Materiales: Problemas de Torsión y Esfuerzos Torsionantes Máximos:

0.047 + (-0.014) + (-0.103) = 0.07086 N x m

2,00 mts 3,00 mts

D.

MBA

0,8 kN/ m.

1,50 mts

1,3 kN/ m. 1,25 kN/ m.? kN/ m.

C. B. A.

1. 2. 3.

M = 800 kN x m M = -500 kN x m M = 1.750 kN x m

Para llevar N x m a Grados / Radianes según Factor de Conversión, pág. 63 del Libro.

Se deberá multiplicar los (N x m):

(N x m) x 57,3 grados / rad.

Finalmente:

0.07086 N x m x 57,3 grados / rad =

ᵩ = 4,06º.



Gracias por su tiempo y nos vemos la proxima Clase INGENIEROS!!!…

Listos para el Despegue…!!!

Listos para el Arranque…!!!



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