Momento de torsiónMomento de torsiónPresentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State UniversitySouthern Polytechnic State University

El momento de El momento de torsión es un giro o torsión es un giro o vuelta que tiende a vuelta que tiende a producir rotación. * * * producir rotación. * * * Las aplicaciones se Las aplicaciones se encuentran en encuentran en muchas herramientas muchas herramientas comunes en el hogar comunes en el hogar o la industria donde o la industria donde es necesario girar, es necesario girar, apretar o aflojar apretar o aflojar dispositivos.dispositivos.

Objetivos: Después de completar Objetivos: Después de completar este módulo, deberá:este módulo, deberá:

• Definir y dar ejemplos de los términos Definir y dar ejemplos de los términos momento de momento de torsión, brazo de momento, eje torsión, brazo de momento, eje yy línea de acción línea de acción de de una fuerza. una fuerza.

• Dibujar, etiquetar y calcular los Dibujar, etiquetar y calcular los brazos de momentobrazos de momento para una variedad de fuerzas aplicadas dado un eje para una variedad de fuerzas aplicadas dado un eje de rotación.de rotación.

• Calcular el Calcular el momento de torsión resultantemomento de torsión resultante en torno en torno a cualquier eje dadas la magnitud y ubicaciones de a cualquier eje dadas la magnitud y ubicaciones de las fuerzas sobre un objeto extendido.las fuerzas sobre un objeto extendido.

• Opcional:Opcional: Definir y aplicar el Definir y aplicar el producto cruz vectorialproducto cruz vectorial para calcular momento de torsión.para calcular momento de torsión.

Definición de momento Definición de momento de torsiónde torsión

El momento de torsión se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional.

El momento de torsión se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento rotacional.

Ejemplos:

El momento de torsión se determina por El momento de torsión se determina por tres factores:tres factores:

• La La magnitudmagnitud de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La direccióndirección de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La ubicaciónubicación de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La magnitudmagnitud de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La direccióndirección de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

• La La ubicaciónubicación de la fuerza aplicada. de la fuerza aplicada.

20 N

Magnitude of force

40 N

The 40-N force produces twice the torque as does the

20-N force.

Each of the 20-N forces has a different

torque due to the direction of force. 20 N

Direction of Force

20 N

θθ

20 N20 N

Ubicación de fuerzaLas fuerzas más cercanas al extremo de la llave tienen mayores momentos de torsión. 20 N

20 N

Unidades para el momento de torsiónUnidades para el momento de torsión

El momento de torsión es proporcional a la magnitud de F y a la distancia r desde el eje. Por tanto, una fórmula tentativa puede ser:

El momento de torsión es proporcional a la magnitud de F y a la distancia r desde el eje. Por tanto, una fórmula tentativa puede ser:

τ = Frτ = Fr Unidades:N⋅m o lb⋅ft

6 cm40 N

τ = (40 N)(0.60 m)

= 24.0 N⋅m, cw

τ = 24.0 N⋅m, cwτ = 24.0 N⋅m, cw

Dirección del momento de Dirección del momento de torsióntorsión

El momento de torsión es una cantidad vectorial que tiene tanto dirección como

magnitud.

El momento de torsión es una cantidad vectorial que tiene tanto dirección como

magnitud.

Girar el mango de un destornillador en sentido de las manecillas del reloj y luego en sentido contrario avanzará el

tornillo primero hacia adentro y luego hacia afuera.

Convención de signos para Convención de signos para el momento de torsiónel momento de torsión

Por convención, los momentos de torsión en sentido contrario al de las manecillas del reloj son positivos y los momentos de torsión en sentido de las manecillas del reloj son negativos.

Momento de torsión positivo: contra

manecillas del reloj, fuera de la página

mr

cmr

Momento de torsión negativo: sentido manecillas del reloj,

hacia la página

Línea de acción de una Línea de acción de una fuerzafuerza

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza.

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza.

F1

F2

F3

Línea de

acción

El brazo de momentoEl brazo de momento

El brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de rotación.

El brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de rotación.

F2

F1

F3

r

rr

Cálculo de momento de torsiónCálculo de momento de torsión• Lea el problema y dibuje una figura burda.Lea el problema y dibuje una figura burda.

• Extienda la línea de acción de la fuerza.Extienda la línea de acción de la fuerza.

• Dibuje y etiquete el brazo de momento.Dibuje y etiquete el brazo de momento.

• Calcule el brazo de momento si es necesario.Calcule el brazo de momento si es necesario.

• Aplique definición de momento de torsión:Aplique definición de momento de torsión:

• Lea el problema y dibuje una figura burda.Lea el problema y dibuje una figura burda.

• Extienda la línea de acción de la fuerza.Extienda la línea de acción de la fuerza.

• Dibuje y etiquete el brazo de momento.Dibuje y etiquete el brazo de momento.

• Calcule el brazo de momento si es necesario.Calcule el brazo de momento si es necesario.

• Aplique definición de momento de torsión:Aplique definición de momento de torsión:

τ = Frτ = Fr Momento de torsión = fuerza x brazo de momento

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una fuerza de Una fuerza de 80 N80 N actúa en el actúa en el extremo de una llave de extremo de una llave de 12 cm12 cm como se como se muestra. Encuentre el momento de torsión.muestra. Encuentre el momento de torsión.

• Extienda línea de acción, dibuje, calcule r.

τ = (80 N)(0.104 m) = 8.31 N m

τ = (80 N)(0.104 m) = 8.31 N m

r = 12 cm sen 600

= 10.4 cmr = 12 cm sen 600

= 10.4 cm

Alternativo:Alternativo: Una fuerza de Una fuerza de 80 N80 N actúa en actúa en el extremo de una llave de el extremo de una llave de 12 cm12 cm como se como se muestra. Encuentre el momento de torsión.muestra. Encuentre el momento de torsión.

Descomponga la fuerza de 80-N en componentes como se muestra.

Note de la figura: rx = 0 y ry = 12 cm

τ = (69.3 N)(0.12 m) τ = 8.31 N m como antesτ = 8.31 N m como antes

positivo

12 cm

Cálculo del momento de torsión resultanteCálculo del momento de torsión resultante

• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.

• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas, distancias y ejes de rotación.las fuerzas, distancias y ejes de rotación.

• Extienda líneas de acción para cada fuerza.Extienda líneas de acción para cada fuerza.

• Calcule brazos de momento si es necesario.Calcule brazos de momento si es necesario.

• Calcule momentos de torsión debidos a CADA fuerza Calcule momentos de torsión debidos a CADA fuerza individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).

• El momento de torsión resultante es la suma de los El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.momentos de torsión individuales.

• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.

• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas, distancias y ejes de rotación.las fuerzas, distancias y ejes de rotación.

• Extienda líneas de acción para cada fuerza.Extienda líneas de acción para cada fuerza.

• Calcule brazos de momento si es necesario.Calcule brazos de momento si es necesario.

• Calcule momentos de torsión debidos a CADA fuerza Calcule momentos de torsión debidos a CADA fuerza individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).individual y fije signo apropiado. CMR (+) y MR (-).

• El momento de torsión resultante es la suma de los El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.momentos de torsión individuales.

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Encuentre el momento de Encuentre el momento de torsión resultante en torno al eje torsión resultante en torno al eje AA para para el arreglo que se muestra abajo:el arreglo que se muestra abajo:

300300

6 m 2 m 4 m

20 N30 N

40 NA

Encuentre τ debido a cada

fuerza. Considere primero la fuerza

de 20 N:

Encuentre τ debido a cada

fuerza. Considere primero la fuerza

de 20 N:

r = (4 m) sen 300 = 2.00 m

τ = Fr = (20 N)(2 m) = 40 N m, mr

El momento de torsión en torno a A es en sentido de las

manecillas del reloj y negativo.

τ20 = -40 N mτ20 = -40 N m

r

negativo

Ejemplo 2 (cont.):Ejemplo 2 (cont.): A continuación encuentre A continuación encuentre el momento de torsión debido a la fuerza de el momento de torsión debido a la fuerza de 30 N30 N en torno al mismo eje en torno al mismo eje AA..

300300

6 m 2 m 4 m

20 N30 N

40 NA

Encuentre τ debido a cada

fuerza. Considere a continuación la fuerza de 30 N.

Encuentre τ debido a cada

fuerza. Considere a continuación la fuerza de 30 N.

r = (8 m) sen 300 = 4.00 m

τ = Fr = (30 N)(4 m) = 120 N m, mr

El momento de torsión en torno a A es en sentido de las

manecillas del reloj y negativo.

τ30 = -120 N mτ30 = -120 N m

rnegativo

Ejemplo 2 (cont.):Ejemplo 2 (cont.): Finalmente, considere Finalmente, considere el momento de torsión debido a la fuerza el momento de torsión debido a la fuerza de de 40-N40-N..

Encuentre τ debido a cada

fuerza. Considere a continuación la fuerza de 40 N:

Encuentre τ debido a cada

fuerza. Considere a continuación la fuerza de 40 N:

r = (2 m) sen 900 = 2.00 m

τ = Fr = (40 N)(2 m) = 80 N m, cmr

El momento de torsión en torno a A es CMR

y positivo.

τ40 = +80 N mτ40 = +80 N m

300300

6 m 2 m 4 m

20 N30 N

40 NA

r

positivo

Ejemplo 2 (conclusión):Ejemplo 2 (conclusión): Encuentre el Encuentre el momento de torsión resultante en torno al momento de torsión resultante en torno al eje eje AA para el arreglo que se muestra abajo: para el arreglo que se muestra abajo:

300300

6 m 2 m 4 m

20 N30 N

40 NA

El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.

El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.

τR = - 80 N mτR = - 80 N m

Sentido de las

manecillas del reloj (MR)

τR = τ20 + τ30 + τ40 = -40 N m -120 N m + 80 N m

Parte II: Momento de torsión Parte II: Momento de torsión y producto cruz o producto y producto cruz o producto

vectorial.vectorial.Discusión opcional

Esto concluye el tratamiento general del momento de torsión. La Parte II detalla el uso del producto vectorial para calcular el momento de torsión resultante. Consulte a su instructor antes de estudiar esta sección.

El producto vectorialEl producto vectorialEl momento de torsión también se puede encontrar con el producto vectorial de la fuerza F y el vector de posición r. Por ejemplo, considere la siguiente figura.

F

θr

F sen θ El efecto de la fuerza F a un ángulo θ (momento de torsión) es avanzar la tuerca afuera de la página.

Momento de

torsión

Magnitud:

(F sen θ)r Dirección = Afuera de la página (+).

Definición de un producto Definición de un producto vectorialvectorial

La magnitud del producto vectorial (cruz) de dos vectores A y B se define como:

A x B = l A l l B l sen θ

F x r = l F l l r l sen θ Sólo magnitudSólo magnitud

F

(F sen θ) r o F (r sen θ)

En el ejemplo, el producto cruz de F y r es:

En efecto, esto se convierte simplemente en:θ

r

F sen θ

Ejemplo:Ejemplo: Encuentre la Encuentre la magnitudmagnitud del del producto cruz de los vectores producto cruz de los vectores rr y y FF dibujados a continuación:dibujados a continuación:

r x F = l r l l F l sen θ

r x F = (6 in.)(12 lb) sen 600

r x F = l r l l F l sen θ

r x F = (6 in.)(12 lb) sen 1200

Explique Explique la diferenciala diferencia.. Además, ¿qué hay de Además, ¿qué hay de F x r ??

12 lb

r x F = 62.4 lb in.

Momento de

torsión

600

6 in.

Momento de torsión

600

6 in.

12 lb r x F = 62.4 lb in.

Dirección del producto vectorial.Dirección del producto vectorial.La La direccióndirección de un de un producto vectorial producto vectorial se determina por la se determina por la regla de la mano regla de la mano derecha.derecha. A

C

BB

-CA

A x B = C (arriba)A x B = C (arriba)

B x A = -C (abajo)B x A = -C (abajo)Enrolle los dedos de la Enrolle los dedos de la mano derecha en dirección mano derecha en dirección del producto cruz (del producto cruz (AA a a BB) o ) o ((BB a a AA). ). El pulgarEl pulgar apuntará apuntará en la dirección del en la dirección del producto producto CC..

¿Cuál es la ¿Cuál es la dirección de A x dirección de A x

C?C?

Ejemplo:Ejemplo: ¿Cuáles son la magnitud y ¿Cuáles son la magnitud y dirección del producto cruz, dirección del producto cruz, r r x x FF??

r x F = l r l l F l sen θ

r x F = (6 in.)(10 lb) sen 500

r x F = 38.3 lb in.

10 lbMomento de

torsión

500

6 in. Magnitud

Afuera

r

F Dirección por regla de mano derecha:Afuera del papel (pulgar) o +k

r x F = (38.3 lb in.) k

¿Cuáles son la magnitud y dirección de F x r?

Productos cruz usando (Productos cruz usando (i, j, ki, j, k))

x

z

yConsidere ejes 3D (x, y, z)

Defina vectores unitarios i, j, kij

k Considere producto cruz: i x i

i x i = (1)(1) sen 00 = 0i i

j x j = (1)(1) sen 00 = 0

k x k = (1)(1) sen 00= 0

Las magnitudes son cero para productos vectoriales paralelos.

Productos vectoriales usando (Productos vectoriales usando (i, j, ki, j, k))

Considere ejes 3D (x, y, z)

Defina vectores unitarios i, j, kx

z

y

ij

k Considere producto punto: i x j

i x j = (1)(1) sen 900 = 1

j x k = (1)(1) sen 900 = 1

k x i = (1)(1) sen 900 = 1

j i

Las magnitudes son “1” para productos vectoriales perpendiculares.

Producto vectorial (Direcciones)Producto vectorial (Direcciones)

x

z

y

ij

k

i x j = (1)(1) sen 900 = +1 k

j x k = (1)(1) sen 900 = +1 i

k x i = (1)(1) sen 900 = +1 j

Las direcciones están dadas por la regla de la mano derecha. Rote el primer vector hacia el segundo.

k

j

i

Práctica de productos vectoriales Práctica de productos vectoriales ((i, j, ki, j, k))

x

z

y

ij

k i x k = ?

k x j = ?

Las direcciones están dadas por la regla de la mano derecha. Rote el primer vector hacia el segundo.

k

j

i 2 i x -3 k = ?

- j (abajo)

- i (izq.)

+ 6 j (arriba)

j x -i = ? + k (afuera)

Uso de notación i, j – Productos Uso de notación i, j – Productos vectorialesvectoriales

Considere: A = 2 i - 4 j y B = 3 i + 5 j

A x B = (2 i - 4 j) x (3 i + 5 j) =

(2)(3) ixi + (2)(5) ixj + (-4)(3) jxi + (-4)(5) jxjk -k0 0

A x B = (2)(5) k + (-4)(3)(-k) = +22 k

Alternativa: A = 2 i - 4 j B = 3 i + 5 j

A x B = 10 - (-12) = +22 k

Evalúe el determinante

ResumenResumenEl momento de torsión es el producto de una fuerza y su brazo de momento definido como:El momento de torsión es el producto de una fuerza y su brazo de momento definido como:

El brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de

rotación.

El brazo de momento de una fuerza es la distancia perpendicular desde la línea de acción de una fuerza al eje de

rotación.

La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza.La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria de

longitud indefinida dibujada a lo largo de la dirección de la fuerza.

τ = Frτ = Fr Momento de torsión = fuerza x brazo de momento

Momento de torsión = fuerza x brazo de momento

Resumen: Momento de torsión Resumen: Momento de torsión resultanteresultante

• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.

• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas, distancias y ejes de rotación.las fuerzas, distancias y ejes de rotación.

• Extienda las líneas de acción para cada fuerza.Extienda las líneas de acción para cada fuerza.

• Calcule los brazos de momento si es necesario.Calcule los brazos de momento si es necesario.

• Calcule los momentos de torsión debidos a CADA Calcule los momentos de torsión debidos a CADA fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+) fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+) y MR (-).y MR (-).

• El momento de torsión resultante es la suma de los El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.momentos de torsión individuales.

• Lea, dibuje y etiquete una figura burda.Lea, dibuje y etiquete una figura burda.

• Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas Dibuje diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas, distancias y ejes de rotación.las fuerzas, distancias y ejes de rotación.

• Extienda las líneas de acción para cada fuerza.Extienda las líneas de acción para cada fuerza.

• Calcule los brazos de momento si es necesario.Calcule los brazos de momento si es necesario.

• Calcule los momentos de torsión debidos a CADA Calcule los momentos de torsión debidos a CADA fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+) fuerza individual y fije el signo apropiado. CMR (+) y MR (-).y MR (-).

• El momento de torsión resultante es la suma de los El momento de torsión resultante es la suma de los momentos de torsión individuales.momentos de torsión individuales.

Conclusión: Conclusión: Momento de torsión Momento de torsión