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Clase 6
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Instituto de Ciencias Basicas
Facultad de Ingenierıa
Universidad Diego Portales
Marzo, 2014
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Funcion exponencial
Recuerde que el grafico de f(x) = ax, con a > 0 esta dado por
f(x) = ax con a > 1 f(x) = ax, con 0 < a < 1.
1
2
3
4
5
1 2 3−1−2−3
y = ax
1
2
3
4
5
1 2 3−1−2−3
y = ax
Observacion
La funcion exponencial es una funcion inyectiva, esto es,
ax = ay ⇐⇒ x = y
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 1: Resuelva la ecuacion
3x2−5 = 81 .
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 1: Resuelva la ecuacion
3x2−5 = 81 .
Solucion:
3x2−5 = 81
3x2−5 = 34
x2 − 5 = 4
x2 = 9
x = ±3,
por tanto, la solucion es x = ±3.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 2: Resuelva la ecuacion
3x√b2x+3 = 1 ,
indicando las restricciones de b.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 2: Resuelva la ecuacion
3x√b2x+3 = 1 ,
indicando las restricciones de b.
Solucion:
3x√b2x+3 = 1
3x√b2x+3 = b0 , con b 6= 0
b2x+33x = b0
2x+ 3
3x= 0 .
Si x 6= 0, entonces 2x+ 3 = 0, o bien, x = −3/2.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 3: Resuelva la ecuacion
2x · 5x+1 =0, 5
10−8
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 3: Resuelva la ecuacion
2x · 5x+1 =0, 5
10−8
Solucion:
2x · 5x · 5 =1
2· 108
10x =108
10
10x = 107
x = 7,
por tanto, x = 7.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 4: Resuelva la ecuacion
3x + 3x+1 + 3x+2 = 39
usando la variable auxiliar u = 3x.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 4: Resuelva la ecuacion
3x + 3x+1 + 3x+2 = 39
usando la variable auxiliar u = 3x.
Solucion:
Por propiedades de potencias,
3x + 3 · 3x + 32 · 3x = 39 .
Sea u = 3x, entonces,
u+ 3u+ 9u = 39
13u = 39
u = 3,
volviendo a la variable original, tenemos 3x = 3, de donde x = 1.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 5: Resuelva la ecuacion(
19
)7x−1 · 318x+21
272x+1= 1
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 5: Resuelva la ecuacion(
19
)7x−1 · 318x+21
272x+1= 1
Solucion:
(
3−2)7x−1 · 318x+21 =
(
33)2x+1
3−14x+2 · 318x+21 = 36x+3
4x+ 23 = 6x+ 3
−2x = −20
x = 10.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 5: Resuelva la ecuacion(
19
)7x−1 · 318x+21
272x+1= 1
Solucion:
(
3−2)7x−1 · 318x+21 =
(
33)2x+1
3−14x+2 · 318x+21 = 36x+3
4x+ 23 = 6x+ 3
−2x = −20
x = 10.
Observacion
¿ Que sucede si se utiliza 30 = 1 inicialmente ?.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 6: Resuelva la ecuacion
10x · 5x+6 = 2
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 6: Resuelva la ecuacion
10x · 5x+6 = 2
Solucion:
2x · 5x · 5x+6 = 2
52x+6 = 21−x,
aplicando logaritmo en base 10 a la igualdad, tenemos:
(2x+ 6) log 5 = (1− x) log 2
2x log 5 + 6 log 5 = log 2− x log 2
x(2 log 5 + log 2) = log 2− 6 log 5
x =log 2− 6 log 5
2 log 5 + log 2
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Grafico de la funcion logaritmo
Recuerde que el grafico de f(x) = log x esta dado por:
1
2
−1
−2
1 2−1−2
y = log(x)
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Grafico de la funcion logaritmo
Recuerde que el grafico de f(x) = log x esta dado por:
1
2
−1
−2
1 2−1−2
y = log(x)
Observacion
La funcion logaritmo en base a es una funcion inyectiva, esto es,
loga(x) = log
a(y) ⇐⇒ x = y
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 1: Resuelva la ecuacion
log
(
x− 3
x− 1
)
= −1
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 1: Resuelva la ecuacion
log
(
x− 3
x− 1
)
= −1
Solucion: Para x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,∞)
log
(
x− 3
x− 1
)
= −1 log 10
x− 3
x− 1= 10−1
10(x− 3) = x− 1
10x− 30 = x− 1
9x = 29
x =29
9
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 1: Resuelva la ecuacion
log
(
x− 3
x− 1
)
= −1
Solucion: Para x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,∞)
log
(
x− 3
x− 1
)
= −1 log 10
x− 3
x− 1= 10−1
10(x− 3) = x− 1
10x− 30 = x− 1
9x = 29
x =29
9
Observacion
Compruebe que x =29
9es la solucion de la ecuacion original.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 2: Resuelva la ecuacion
log(x2 − 1)− log(x+ 1) = 2
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 2: Resuelva la ecuacion
log(x2 − 1)− log(x+ 1) = 2
Solucion: Para x > 1,
log
(
x2 − 1
x+ 1
)
= 2 log 10
x2 − 1
x+ 1= 102
x2 − 1 = 100x+ 100
x2 − 100x− 101 = 0
(x− 101)(x+ 1) = 0,
de aquı, x = −1 o x = 101.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Sobre del ejercicio anterior
Observacion
Al reemplazar los valores obtenidos de x, tenemos que x = 101 es unasolucion, mientras que x = −1 no lo es.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 3: Resolver la ecuacion
log(x+ 4) = log 12− log x
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 3: Resolver la ecuacion
log(x+ 4) = log 12− log x
Solucion: Para x > 0,
log(x+ 4) = log
(
12
x
)
x+ 4 =12
x
x2 + 4x− 12 = 0
(x+ 6)(x− 2) = 0,
de aquı, x = −6 o x = 2.Compruebe si estos valores son efectivamente soluciones del problemaoriginal.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 4: Resolver la ecuacion
2 loga
√x+ 2− 3 log
a
3√x+ log
ax = 1 ,
suponiendo que x es mayor que cero e indicando las restricciones de a paraque x sea una solucion valida.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas
Problemas resueltos
Problema 4: Resolver la ecuacion
2 loga
√x+ 2− 3 log
a
3√x+ log
ax = 1 ,
suponiendo que x es mayor que cero e indicando las restricciones de a paraque x sea una solucion valida.
Solucion:
loga
(√x+ 2
)2 − loga( 3√x)3 + log
ax = 1
loga(x+ 2) = log
aa
x+ 2 = a
x = a− 2 .
Para que x sea solucion, a debe ser mayor que dos.
Ecuaciones exponenciales y logarıtmicas