tema 3- ecuaciones, inecuaciones y sistemas · ecuaciones de 2º grado, bicuadradas y polinómicas....

LOLA MORALES – 4ºE IES Clara Campoamor (Móstoles)

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2.1. Ecuaciones de 2º grado, bicuadradas y polinómicas. • Si la ecuación es 𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se tiene que las dos soluciones multiplicadas dan 𝑐 y las dos

soluciones sumadas dan – 𝑏.

• En general, las soluciones de 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 es 𝑥 = !!± !!!!!"!!

.

• Si 𝑏! − 4𝑎𝑐 > 0 tendrá dos soluciones diferentes. Si 𝑏! − 4𝑎𝑐 = 0 tendrá una solución doble. Si 𝑏! − 4𝑎𝑐 < 0, la ecuación no tendrá solución.

• Recuerda que las ecuaciones de segundo grado incompletas se pueden resolver de forma más sencilla sacando factor común o despejando 𝑥!. También puedes intentar identificar productos notables.

• En las ecuaciones bicuadradas realizamos el cambio de variable 𝑥! = 𝑡, resolvemos la ecuación con la variable 𝑡 pero después hay que deshacer el cambio.

• Para resolver una ecuación polinómica de cualquier grado, factorizamos el polinomio, igualamos a cero cada factor y resolvemos cada ecuación por separado.

• Recuerda que una ecuación polinómica de grado 𝑛 tiene como máximo 𝑛 soluciones. Ejercicios:

1. Resuelve las siguientes ecuaciones de la forma que creas conveniente: a. x! − x! = 2

b. x! − x! = 0

c. x! − 2 ! = 1

d. x! − 26x! + 25 = 0

e. x! − 5x! + 5x! − x − 12 = 0

f. x! − 7x! = 8

V {̂ æ! HK! Ò&̌ æ&ã[ } •̂É! ã} ^&̌ æ&ã[ } •̂! ˆ ! •ã•c {̂ æ•Ë • Ecuaciones de 2º grado, bicuadradas y polinómicas. • Ecuaciones con x en el denominador. • Ecuaciones radicales, exponenciales y logarítmicas. • Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. • Inecuaciones con una incógnita.


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2. Inventa una ecuación de 2º grado que tenga las siguientes soluciones:

a. x! = 1, x! = −3

b. x! =!!, x! =

!!

c. x! = 1 + 2, x! = 1 − 2

3. Halla el valor de 𝑚 para que: a. La ecuación 𝑚 − 1 𝑥! − 6𝑥 − 1 = 0 tenga una raíz doble.

b. La ecuación 𝑥! + (𝑚 + 1)𝑥 − 9 = 0 tenga dos raíces opuestas.

c. La ecuación 2𝑥! + 18𝑥 +𝑚 = 0 tenga una raíz el doble de la otra.

2.2. Ecuaciones con x en el denominador.

Recuerda que hay que pasar a común denominador, resolver la ecuación resultante y comprobar que las soluciones que salen no anulan ningún denominador de la ecuación original.

Ejercicios:

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a. !!!!

− !!= 1

b. 𝑥! − 8 = !!!

c. !!!!!!

= !!

!!!!"!!− !!!

!!!

d. !"!!!!

+ !!!!= 1 + !"!!

!!

e. !"!!!"

− !"!!!"!!"

= !"!!!


3

f. !!!!!!

− !!!!!!

= !"!!!!"

2.3. Ecuaciones radicales, exponenciales y logarítmicas. • Para resolver una ecuación radical, dejamos “sola” la raíz (a un lado del signo =) y elevamos

al cuadrado. Recuerda que tendrás que comprobar que la solución es correcta, ya que puede haber soluciones falsas. No olvides que la raíz cuadrada de un número negativo no existe.

• Para resolver una ecuación exponencial, deberás aplicar cambios de variable o conseguir que tengan la misma base.

• Para resolver una ecuación logarítmica, deberás aplicar las propiedades de los logaritmos. Recuerda que tendrás que comprobar las soluciones, porque puede haber soluciones falsas. Además, no olvides que el logaritmo de 0 o de un número negativo no existe. Ejercicios:

1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a. x − 7 − 3x = 1

b. x − x − 1 = 3

c. x + 5x + 10 = 8

d. 2x + x! − x − 2 = 0

e. 36 + x = 2 + x

f. x + x + 1 = x + 5

g. log x + log (x + 2) = log 3

h. log (2x + 2) + log (x + 3) = log 6


4

i. log (x + 4) = 2 log (x − 2)

j. !! log(x − 1) = log 4

k. 2log x − log 3x = 0

l. (log x)2 – 2log x + 1 = 0

m. 2!!! = 16

n. 9!!! + 8 · 3! − 1 = 0 (pista: cambio de variable 3!)

o. !

!"!!!!! = 16!!!!! (pista: pásalo todo a potencia de base 2)

p. 5!!! = 10 + 3 · 5!!! (pista: intenta ponerlo todo en función de 5! y cambia de variable)

2.4. Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Problemas.

Ejercicios:

1. Resuelve los siguientes sistemas:

a. 2x − 3y = 2x − 2y = 0

b. !"!− 3 y − 1 = −2

− !"!= x + !

!


5

c. x + y = 2x! + y! = 5

d. 2x! + y! = 1x! − y! = 0

2. Las edades de un padre y un hijo suman 42 años y dentro de 9 años la edad del padre será el triple que la edad del hijo. Calcula la edad de cada uno.

3. Al dividir dos números, obtenemos 2 de cociente y 6 de resto. Calcúlalos, sabiendo que el doble de su suma es igual a cinco veces su diferencia más ocho.

4. Para vallar una finca rectangular de 300m2 de superficie se han necesitado 70m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

5. Establece la medida del lado de un cuadrado cuya área es el doble de su perímetro.

6. La suma de dos números es 1 y la suma de sus inversos es 4. Halla ambos números.


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7. Halla la longitud de los lados de un rectángulo sabiendo que se diferencian en 1 cm y que el

lado mayor es la media aritmética del lado menor y de su diagonal.

2.5. Inecuaciones con una incógnita.

Ejercicios:

1. Resuelve las siguientes inecuaciones, dando la solución como intervalo:

a. 2𝑥 − 3 < 3𝑥 + 1

b. 𝑥 − !!> −2 + 3𝑥

c. !!!!− 1 ≥ 𝑥

d. 2𝑥 − 3 𝑥 − 2 ! < 2 − 3𝑥!

e. −𝑥! + 𝑥 − 5 ≥ −2𝑥 − 3

f. – 𝑥! + 2𝑥 < 1

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