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Funciones potencialesFunciones exponenciales

Funciones inversasFunciones logarıtmicas

Escala Logarıtmica

Funciones potenciales y exponenciales. Alometrıa.Funciones inversas. Escala logarıtmica.

Juan Ruiz Alvarez1, Marcos Marva Ruiz1

1Unidad docente de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.

Matematicas (Grado en Biologıa)

Juan Ruiz Alvarez, Marcos Marva Ruiz Matematicas (Grado en Biologıa)



Escala Logarıtmica

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1 Funciones potenciales

2 Funciones exponenciales

3 Funciones inversas

4 Funciones logarıtmicas

5 Escala Logarıtmica




Escala Logarıtmica

¿Por que usar funciones potenciales?

Durante el crecimiento de un organismo, es de interés determinar la variación relativa de un atributo (fisiológico, morfológico,...) con respecto a otro.

Son las llamadas relaciones alométricas.

En la práctica: ● Toma de datos (trabajo de campo).● Representar datos.● Buscar la curva que mejor los aproxima.




Escala Logarıtmica

¿Por que usar funciones potenciales? [5]

Año Miles de infectados

1981 97

1982 709

1983 2698

1984 6928

1985 15242

1986 29944

1987 52902

1988 83903

1989 120612

1990 161711

1991 206247

1992 257085

Evolución epidemia de SIDA en USA

Representar datos¿Dependencia? Parábola??




Escala Logarıtmica

¿Por que usar funciones potenciales? [5]

Año Miles de infectados

1981 97

1982 709

1983 2698

1984 6928

1985 15242

1986 29944

1987 52902

1988 83903

1989 120612

1990 161711

1991 206247

1992 257085

Evolución epidemia de SIDA en USA

Rojo, y = 82 * (x-1981)²Morado, y = 82 * (x-1981)³Naranja, y = 82 * (x-1981)4

El “mejor” ajuste:algo intermedio

Representar datos¿Dependencia? Parábola??




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Definicion de funcion potencial

Definicion:

Una funcion potencial f es de la forma:

f (x) = x r ,

donde r un numero real.

Si r ∈ N, son los componentes elemetales de los polinomios.

Si r ∈ Z, estan perfectamente definidas.

Si r ∈ Q, r = mn : f (x) = x r = xm/n = n

√xm,

siempre definidas si x > 0.

Ejemplos:1 y = x−3, x ∈ R, x 6= 02 y = x1/3, x ∈ R, y = x5/2, x ≥ 0




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Alometrıa

Definicion: relaciones alometricas

Las variables x e y mantienen una relacion alometrica cuando y esproporcional a una potencia de x (o recıprocamente), es decir:

y ∝ x r

donde r es un numero real distinto de 0.

La ecuacion anterior se puede expresar en forma de igualdad si seintroduce una constante de proporcionalidad:

y = kx r

La busqueda de estas relaciones es el objetivo de la alometrıa.




Escala Logarıtmica

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¿Por que funciones exponenciales?

Un cultivo tiene inicialmente c(0) = 10 células que se dividen cada hora. Después de n horas habrá c(n) = 10 * 2n células

Divisiones perfectamente sincronizadas

La realidad es que no hay sincronía: Tiempo = variable continua, c(t) = 10 * 2t




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Crecimiento exponencial

Definicion:

Una funcion f se denomina funcion exponencial de base a si,

f (x) = ax

Siendo a una constante positiva distinta de 1. El dominio masgrande posible de f es R.

La forma de la funcion exponencial depende de la base a. Elcrecimiento exponencial se produce siempre que a > 1 y eldecrecimiento exponencial cuando 0 < a < 1.No hay que olvidar que a0 = 1 y que a1/k = k

√a




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Propiedades de funciones exponenciales

Propiedades:

aras = ar+s

ar

as = ar−s

a−r = 1ar

(ar )s = ars




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Funcion de exponencial de base e

El numero e se denomina base exponencial natural. Es la base delos logaritmos naturales o neperianos. Se define como el lımite dela sucesion:

lımx→∞

(1 +

1

x

)x

= e = 2.71828 . . .

La funcion exponencial de base e, se puede expresar de dos formasequivalentes:

exp(x) = ex




Escala Logarıtmica

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Funciones inversas

Definicion:

Sea f : A→ B una funcion inyectiva con recorrido f (A). Lafuncion inversa f −1 tiene como dominio f (A) y como recorrido A,y se define por

f −1(y) = x ⇔ y = f (x)

Para ∀y ∈ f (A).




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Funciones logarıtmicas

Definicion:

La inversa de f (x) = ax se denomina logaritmo en base a y seescribe como f −1(x) = loga(x)

El dominio de f (x) = ax es el conjunto de los numeros reales y surecorrido es el conjunto de los numeros positivos. Como elrecorrido de f es el dominio de f −1, se obtiene que el dominio delf −1(x) = loga(x) es el conjunto de los numeros positivos.




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Relacion entre las funciones exponenciales y logarıtmicas

Relacion logaritmo-exponencial

aloga(x) = x , ∀x > 0

loga(ax) = x , ∀x ∈ R

Es importante recordar que el logaritmos solo esta definido parax > 0. El logaritmo satisface las siguientes propiedades:

Propiedades de logaritmos

loga(st) = loga(s) + loga(t)

loga( st ) = loga(s)− loga(t)

loga(sr ) = r loga(s)




Escala Logarıtmica

Funciones logarıtmicas

Cualquier funcion exponencial de base a se puede expresar comouna funcion exponencial de base e. Ası mismo, cualquier logaritmoen base a se puede escribir en funcion del logaritmo natural. Lasdos igualdades siguientes indican como:

Relacion entre logaritmos y funciones potenciales en distintasbases:

ax = exp(xln(a))

loga(x) = ln(x)ln(a)




Escala Logarıtmica

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Escala Logarıtmica

Escala Logarıtmica

Existen magnitudes cuyo valor varıa recorriendo varios ordenes demagnitud. En estos casos podemos usar la escala logarıtmica.Normalmente se usan logaritmos decimales. En este caso estamosusando una escala en la que las potencias de 10 son equidistantes.En la literatura sobre biologıa se utiliza x y no log(x) paraetiquetar los numeros en la escala logarıtmica. Tambien podemosrepresentar f (x) en escala logarıtmica.




Escala Logarıtmica

Escala lineal

f (x) = 20,1t




Escala Logarıtmica

Escala logarıtmica

f (x) = 20,1t




Escala Logarıtmica

Tipos de representaciones

Escala lineal.

Escala log-lineal o semilogarıtmica.

Escala log-log o logarıtmica.




Escala Logarıtmica

Transformacion en funciones lineales

y = log(f (x)) = 1,5 + 0,5xJuan Ruiz Alvarez, Marcos Marva Ruiz Matematicas (Grado en Biologıa)



Escala Logarıtmica

Transformacion en funciones lineales de funcionesexponenciales

¿ Que tipo de relacion tenemos en la anterior grafica?

y = log(f (x)) = 1,5 + 0,5x → f (x) = 101,5+0,5x = 101,5 · (100,5)x

≈ 31,62 · 3,162x

Funcion exponencial!!




Escala Logarıtmica

Transformacion en funciones lineales




Escala Logarıtmica

Transformacion en funciones lineales de funcionesexponenciales

Si partimos de una funcion exponencial f (x) = b · ax en un graficosemilogarıtmico, representarıamos:

y = log(f (x)) = log(b · ax)→ y = log(b) + log(a)x

Expresion lineal!!




Escala Logarıtmica

Transformacion en funciones lineales de funcionespotenciales

Si partimos de una funcion potencial f (x) = b · xa en un graficolog-log representarıamos:

y = log(f (x)) = log(b · xa)→ y = log(b) + a · log(x)

Luego, si y = log(f (x))Expresion lineal en representacion log-log!!




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Ejemplo de Alometrıa

Ejemplo tıpico de funcion potencial son las alometrıas entre lostamanos de las diferentes partes del cuerpo.

Ejemplo

El tamano de la cornamenta de un reno crece con la edad. Durantelos primeros 5 anos lo hace segun c(t) = 53,2e0,17t , mientras quela altura del hombro varıa segun h(t) = 88,5e0,1t .

t =1

0,1ln

(h

88,5

)

c = 53,2e0,170,1

ln(

h88,5

)= 53,2

(h

88,5

)0,17/0,1

= 0,026h1,7

Esta relacion se denomina AlometrıaJuan Ruiz Alvarez, Marcos Marva Ruiz Matematicas (Grado en Biologıa)



Escala Logarıtmica

Joseph M Mahaffy. Calculus A Modeling Approach for the LifeSciences. Ed. Wiley 2004.

Claudia Neuhaser. Matematicas para ciencias. Ed.Pearson-Prentice Hall 2004.

http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/Applications/Allometry.html

http://www-rohan.sdsu.edu/jmahaffy/courses/f09/math636/lectures/allometric dim/allometric.html

E. K. Yeargers, R. W. Shonkwiler, and J. V. Herod, 1996, AnIntroduction to the Mathematics of Biology: with ComputerAlgebra Models, Birkhaser, Boston.


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