clase 6 analisis de circuitos
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LEY DE CORRIENTE DE KIRCHHOFFClase 6
15-10-2013
La ley de voltaje de Kirchhoff proporciona una importante relación entre los niveles de voltaje alrededor de cualquier lazo cerrado de una red. En seguida se considera la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), la cual proporciona una igualmente importante relación entre los niveles de corriente en cualquier unión.
La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un área, sistema o unión es cero.
En otras palabras
La suma de todas las corrientes que entran en una área, sistema o unión debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del área, sistema o unión.
En forma de ecuación:
Por ejemplo la figura 1, el área sombreada puede encerrar un sistema entero, una red compleja o simplemente una unión de dos o mas trayectorias.
∑ 𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒=∑ 𝐼 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Figura 1Presentación de la ley de corriente de Kirchhoff
En cada caso, la corriente que entra debe ser igual a la que sale, de acuerdo con:
La aplicación mas común de la ley será en la unión de dos o mas trayectorias de flujo de corriente, como se muestra en la figura 2. Para algunos estudiantes, inicialmente es difícil determinar si una corriente esta entrando o saliendo de la unión.
Un enfoque para ayudarlos consiste en imaginarse que se esta de pie sobre la unión y tratar las trayectorias de las corrientes como flechas. Si la flecha parece dirigirse hacia la persona, como es el caso para , entonces la corriente esta entrando a la unión. Si se ve la cola de la flecha (desde la unión) al viajar por su trayectoria alejándose del observador, la corriente esta saliendo de la unión, tal es el caso para en la figura 2.
Figura 2 Demostración de la ley de corriente de Kirchhoff
Al aplicar la ley de corriente de Kirchhoff a la unión de la figura 2 tenemos que:
En los dos ejemplos siguientes, se puede determinar corrientes desconocidas aplicando la ley de corriente de Kirchhoff. Simplemente recuerde colocar todos los niveles de corriente que entran a una unión a la izquierda del signo de igual, y la suma de todas las corrientes que salen de la unión a la derecha del signo de igual.
∑ 𝐼𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒=∑ 𝐼 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡
La analogía del tubo de agua es excelente para aclarar la ley mencionada. Es obvio que la suma total del agua que entra a una unión debe ser igual al total del agua que salga de los tubos.
En la terminología común, se utiliza por lo regular el término nodo para referirse a una unión de dos o más ramas. Por tanto, este termino se usara con frecuencia en los análisis subsiguientes.
PROBLEMAS Ejemplo 1
Determine las corrientes de la figura 3 utilizando la ley de corriente de Kirchhoff
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎3
PROBLEMAS Solución
En el nodo tenemos que
En el nodo tenemos que
PROBLEMAS Ejemplo 2
Determine para la red de la figura 4
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎4
PROBLEMAS Solución
En el nodo tenemos que
Al restar en ambos lados resulta
PROBLEMAS Solución
En el nodo tenemos que
Tal como debe ser, ya que están en serie y la corriente es la misma en elementos en serie.
En el nodo tenemos que
Por las mismas razones que para la unión
PROBLEMAS Solución
En el nodo tenemos que
Si se encierra la red entera, se encontrara que la corriente que entra es ; la corriente neta que sale del extremo derecho es . Las dos corrientes deben ser iguales ya que la corriente neta que entra a cualquier sistema debe ser igual a la que sale.
PROBLEMAS Ejemplo 3
Determine para la red de la figura 5 mediante aplicaciones de la ley de corriente de Kirchhoff
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎5
PROBLEMAS Solución
Observe que como el nodo tiene dos cantidades desconocidas y el nodo tiene solo una, debemos aplicar primero la ley de corriente de Kirchhoff al nodo . El resultado podrá entonces aplicarse al nodo
Para el nodo tenemos que
PROBLEMAS Solución
Para el nodo tenemos
PROBLEMAS Ejemplo 4
Encuentre la magnitud y la dirección de las corrientes para la red de la figura 6. Aunque los elementos no están en serie ni en paralelo, la ley de corriente de Kirchhoff se puede aplicar para determinar todas las corrientes desconocidas.
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎6
PROBLEMAS Solución
Considerando el sistema entero, sabemos que la corriente que entra debe ser igual a la que sale. Por tanto,
Como 10 A están entrando al nodo y están saliendo de él, debe estar suministrando corriente al nodo.
Se aplica entonces la ley de corriente de Kirchhoff al nodo
PROBLEMAS Solución
En el nodo , como 12A están entrando y 8A están saliendo, debe estar saliendo. Por tanto,
En el nodo , esta saliendo con 2 A e está entrando con 4 A, requiriéndose que este saliendo. Aplicando la ley de corriente de Kirchhoff en el nodo ,
PROBLEMAS Solución
Como revisión, en el nodo
PROBLEMAS La aplicación de la ley de corriente de Kirchhoff no esta limitada a
redes donde las conexiones internas son conocidas o visibles. Por ejemplo (ejemplo 5) , todas las corrientes del circuito integrado de la figura 7 son conocidas excepto .
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎7
PROBLEMAS Tratando el sistema como un solo nodo, es posible aplicar la ley de
corriente de Kirchhoff empleando los siguientes valores para asegurar un listado exacto de todas las cantidades conocidas:
Al comparar la corriente total de entrada contra la salida se advierte claramente que es una corriente de que sale del sistema.
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE Tal como sugiere su nombre, la regla del divisor de corriente (RDC)
determinara como se divide entre los elementos la corriente que entra a un conjunto de ramas paralelas.
Para dos elementos en paralelo de igual valor, la corriente se dividirá en forma equitativa.
Para elementos en paralelo con valores diferentes, a menor resistencia, mayor será la porción de la corriente de entrada.
Para elementos en paralelo de valores diferentes, al corriente se dividirá según una razón igual a la inversa de los valores de sus resistores.
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE Por ejemplo, si uno de dos resistores en paralelo es lo doble del otro,
entonces la corriente a través del resistor mayor será la mitad de la del otro.
En la figura 8 como es de y e seis veces , la corriente a través de debe ser de (sin hacer ningún otro calculo incluyendo la corriente total o los niveles de resistencia). Para la corriente debe ser ya que es dos veces . La corriente total debe ser entonces la suma de . En total, por tanto, conociendo solo la corriente por , fue posible encontrar todas las otras corrientes de la configuración sin conocer nada mas acerca de la red.
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎8𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑐𝑜𝑚𝑜𝑠𝑒𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE En redes sólo son dados los valores de los resistores junto con la corriente
de entrada, se debe aplicar la regla del divisor de corriente para determinar las distintas corrientes de rama. Ello se puede derivar utilizando la red de la figura 9
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎9𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑐𝑖 ó𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE La corriente de entrada es igual a , donde es la resistencia total de las
ramas paralelas. Sustituyendo en la ecuación anterior, donde se refiere a la corriente a través de una rama paralela de resistencia , se tiene:
Que es la forma general para la regla del divisor de corriente.
𝐼= 𝑉𝑅𝑇
=𝐼 𝑥𝑅𝑥
𝑅𝑇
𝐼 𝑥=𝑅𝑇
𝑅𝑋
𝐼
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE En otras palabras la corriente a través de cualquier rama paralela es igual
al producto de la resistencia total de las ramas paralelas y la corriente de entrada dividida entra la resistencia de la rama a través de la cual la corriente va a ser determinada.
Para la corriente
Y para
Y así sucesivamente
𝐼 1=𝑅𝑇
𝑅1
𝐼
𝐼 2=𝑅𝑇
𝑅2
𝐼
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE Para el caso particular de dos resistores en paralelo, como se muestra en la
figura 10
Figura 10Desarrollo de una ecuación para división de Corriente entre dos resistores en paralelo.
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE
𝑅𝑇=𝑅1𝑅2
𝑅1+𝑅2
𝐼 1=𝑅𝑇
𝑅1
𝐼=
𝑅1𝑅2
𝑅1+𝑅2
𝑅1
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE
𝐷𝑒𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎𝐼 2
REGLA DEL DIVISOR DE CORRIENTE
En otras palabras, para dos ramas paralelas, la corriente a través de cualquier rama es igual al producto del otro resistor paralelo y la corriente de entrada dividido entre la suma (no la resistencia total en paralelo) de las dos resistencias en paralelo.
PROBLEMAS Ejemplo 7
Determine la corriente para la red de la figura 11 usando la regla del divisor de corriente
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎11
PROBLEMAS Solución
PROBLEMAS Ejemplo 8
Encuentre la corriente para la red de la figura
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎12
PROBLEMAS Solución
Hay dos opciones para resolver este problema. En primer lugar, utilizar la ecuación como sigue:
Y
Y con
PROBLEMAS Solución
La segunda opción es aplicar la ecuación después de combinar como sigue:
Esto implica que
Ambas opciones generaron la misma respuesta; por ello, en cálculos futuros que impliquen mas de dos resistores en paralelo puede elegirse cualquiera de las dos.