11/06/10 Pgina 1 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPS CURSO: ANLISIS DE CIRCUITOS ELCTRICOS I UNIDAD 6: RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE EN LOS CIRCUITOS ELTRICOS DE SEGUNDO ORDEN CONTENIDO 6.1 INTRODUCCIN 6.2 CIRCUITOS RLC EN SERIE 6.2.1DETERMINACIN DE LOS MODELOS MATEMTICOS PARA LA CORRIENTE DEL CIRCUITO, LA CARGA Y EL VOLTAJE DEL CAPACITOR 6.2.1.1 CONDICIONES INICIALES NECESARIAS PARA EL DESARROLLO EN LA DETERMINACIN DE LA SOLUCIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES OBTENIDAS 6.2.2 DESARROLLO DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE CARGA DEL CAPACITOR 6.2.2.1 SOLUCIN GENERAL DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE LA CARGA EN EL CAPACITOR 6.2.2.2 SOLUCIN GENERAL DELA ECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEA CORRESPONDIENTE(RESPUESTA NATURAL) 6.2.2.3SOLUCIN PARTICULAR DELA ECUACIN DIFERENCIAL DE CARGA (RESPUESTA FORZADA) 6.2.3EJEMPLO NUMRICO 6.3 CIRCUITO RLC EN PARALELO 6.3.1DETERMINACIN DE LOS MODELOS MATEMTICOS PARA EL VOLTAJE DEL CIRCUITO, CORRIENTE EN LA RESISTENCIA Y EN EL INDUCTOR 6.3.2 SOLUCIN GENERAL PARA LA ECUACIN DE LA CORRIENTE EN EL INDUCTOR 6.3.2.1SOLUCIN GENERAL DELA ECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEA CORRESPONDIENTE (RESPUESTA NATURAL) 6.3.3 EJEMPLO NUMRICO 6.4PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5CIRCUITOS RLCMIXTOS 6.5.1 INTRODUCCIN 6.5.2OPERADOR DIFERENCIAL S 6.5.3MTODO DE LAS VARIABLES DE ESTADO 6.5.4DETERMINACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO DE LAS VARIABLES DE ESTADO 6.5.5DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 6.5.6 EJEMPLO NUMRICO 6.6PROBLEMAS PROPUESTOS 11/06/10 Pgina 2 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPS CURSO: ANLISIS DE CIRCUITOS ELCTRICOS I UNIDAD 6 RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE EN LOS CIRCUITOS ELTRICOS DE SEGUNDO ORDEN 6.1 INTRODUCCIN Loscircuitoselctricosquecontienencapacitores,inductanciasyresistencias,sucomportamientosepuede describirpormediodeecuacionesintegrodiferenciales,lascualessepuedenreducirasoloecuaciones diferenciales. El orden de la ecuacin diferencial generalmente es igual al nmero de capacitores ms el nmero de inductores presentes en el circuito. Los circuitos que contienen un solo inductor y un solo capacitor junto con resistencias producen al menos un sistema de segundo orden o ecuacin diferencial de segundo orden. En esta unidadprocederemosadeterminarlarespuestatransitoriaydeestadoestableparaloscircuitoselctricosque arrojan ecuaciones diferenciales de segundo orden, excitados con fuentes de valores constantes y variables. La metodologa aqu planteada, como es la solucin de la ecuacin diferencial que representa el funcionamiento delcircuitoelctrico,sehaceconbaseenloscircuitosRLCconectadosenserieyenparalelo,perosepuede extender a circuitos mixtos y a la combinacin de varios elementos almacenadores de energa elctrica. 6.2 CIRCUITO RLC EN SERIE En la figura a continuacin se presenta un circuito RLC en serie cuando es excitado por una fuente de voltaje en corriente continua, los voltajes y corrientes all indicadas estn representados en funcin del tiempo. Comoelcircuitoestenserietodosloselementosestn atravesados por la misma corriente, o sea , i = iR = iL = iC. Aplicando las leyes de Ohm, Faraday y de la electrosttica, tendremos:vR = iR * R=i * RvL=L t ddLi =L t dd i ; vC =+t0C(0) Cdt C1v i=Cq) t ( C ; iC =Ct ddCv=i 6.2.1 DETERMINACIN DE LOS MODELOS MATEMTICOS PARA LA CORRIENTE DEL CIRCUITO, LA CARGA Y EL VOLTAJE DEL CAPACITOR Aplicando la ley de los voltajes de Kirchhoff al camino cerrado, tendremos: ve -vR -vL -vC =0,reemplazandolosvoltajesenfuncindelacorriente,delacargadelcondensadory despejando el voltaje de entrada, tendremos: (A) Cq+ t di d L + R i =even donde ve=Vo =constante, para corriente continua, R ( ) , L( H ) y C( F )son los parmetros de los componentes y para este caso son constantes. q(t) es la carga del condensador y es variable. i(t) es la corriente del circuito, la cual, tambin es variable La carga y la corriente se relacionan port dq d= (t)) (ti(B). Derivando a ambos lados de la ecuacin (A) y eliminando los subndices en funcin del tiempo, tendremos: vC vL i ve vR 11/06/10 Pgina 3 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPS t dd = t dq d C1+ t di dL + R t di de22v, reemplazando el valor del voltaje de entrada y dejando solamente la variablei , la ecuacin se puede expresar como:0 =C L1+t dd LR+t dd22ii i(1) quepresentada en otra notacin quedar: 0 = C L1+LR+ i i iPor lo tanto, la ecuacin (1) que representa la corriente en un circuito RLC en serie, es una ecuacin diferencial de segundo orden, lineal, considerando a i como la funcin, homognea , de coeficientes constantes. Por otro lado, reemplazando la ecuacin (B) en la ecuacin (A), esta quedar definida por : V )L1( q )C L1(t dq d)LR(t dq do22= + + (2), Porlotanto,laecuacin(2)querepresentalacargadelcondensadorenuncircuitoRLCenserie,esuna ecuacindiferencialdesegundoorden,lineal,considerandoaqcomolafuncin,no-homognea,de coeficientes constantes.

Por otro lado, reemplazando la ecuaciniC =Ct ddCv=ien la ecuacin (A), esta quedar definida por : C2C2Co+t dd LC + t ddRC = V vv v, que reagrupando trminosquedar:o CC2C2V )LC1( )LC1( +t dd)LR(t dd = + vv v (3) Por lo tanto, la ecuacin (3) que representa el voltaje a travs del condensador en un circuito RLC en serie, es unaecuacindiferencialdesegundoorden,lineal,considerandoavCcomolafuncin,no-homognea,de coeficientes constantes. Observandolastresecuacionesquesepresentan,sepuededeterminarquetienenlamismaestructuradela homogneacorrespondiente,porlotanto,aldesarrollarlastendrnlamismarespuestadelahomognea correspondiente, o sea, todas las soluciones de las ecuaciones tendrn igual respuesta natural. 6.2.1.1 CONDICIONES INICIALES NECESARIAS PARA EL DESARROLLO EN LA DETERMINACIN DE LA SOLUCIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES OBTENIDAS Cualquiera de las tres ecuaciones diferenciales presentadas anteriormente, requiere de dos condiciones iniciales para obtener su solucin especfica, esto es: ECUACIN DIFERENCIALCONDICIONES INICIALES NECESARIAS (1) 0 =C L1+t dd LR+ t dd22ii i i(0) =

0 t t dq d= = q(0) ;i(0) = 0 t t dd=i (2) V )L1( q )C L1( t dq d)LR( t dq do22= + +q(0) = C(o)Cv;q(0) = 0 t t dq d== i(0) (3)o CC2C2V )LC1( )LC1( + t dd)LR(t dd = + vv vvC(o)=Cq) 0 ( ; vC(0) =0 t c t dd=v Normalmente las condiciones iniciales que se utilizan son la corriente de la inductancia y el voltaje o la carga del condensador. 11/06/10 Pgina 4 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSSetratadedesarrollaranalticamenteunadelastresecuacionesanteriormentepresentadasconsiderandolas condiciones iniciales siguientes: vc (0);qc (0);(0) cc(0)q0 t t dq d === iEstascondicionesiniciales,sepuedenobtenerapartirdeunanlisisdecorrientecontinuaqueseefectaent = 0, por lo tanto, la ecuacin (2) en t = 0 quedar:V )L1( q )C L1( t dq d)LR( t dq do (0) 0 t 0 t22= + += =oi(0)+ LRi(0)+ LC1q(0)= LVo,dedondesepodrobtenerla derivada de la corriente para t = 0, si se conoce la corriente y la carga en t = 0. Tambin se podrn obtener otras condiciones iniciales a partir de: ic =t ddcv ,luego, ic (0) = t ddcvt = 0 ; vc (0) =C(0) ci 6.2.2 DESARROLLO DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE CARGA DEL CAPACITOR ComolaecuacinquerepresentalacargadelcondensadorenuncircuitoRLCenserie,esunaecuacin diferencialdesegundoorden,lineal,considerandoaqcomolafuncin,no-homognea,decoeficientes constantes,sepuededesarrollarutilizandoelmtododelasumadelasrespuestasdelahomognea correspondiente y particular de la ecuacin diferencial a resolver, visto en el curso de ecuaciones diferenciales. 6.2.2.1 SOLUCIN GENERAL DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE LA CARGA EN EL CAPACITOR La solucin general de la ecuacindiferencial (2), la cual presenta la carga como funcin, estar expresada por: q(t) = qh (t) + qp(t), en donde, qh(t)es la solucin general a la homognea correspondiente(Respuesta Natural) yqp(t), es una solucin particular de la ecuacin diferencial a resolver(Respuesta Forzada) 6.2.2.2 SOLUCIN GENERAL DELA ECUACIN DIFERENCIAL HOMOGNEA CORRESPONDIENTE (RESPUESTA NATURAL) La ecuacin diferencial de la homognea correspondiente, estar dada por: 0 q )C L1( t dq d)LR( t dq d22= + + , la cual presenta su ecuacin caracterstica como: 0LC1 LR 2= + + , con sus respectivas races1-2= - L 2R LC1-L 2R2 S hacemos =L 2R , la frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento natural, wo = LC1,lafrecuenciaderesonancia,lasracessepodrnexpresardelaformasiguiente: 1=- + 2o2 w - y2=- - 2o2 w - ,porlotanto,lasolucindelaecuacindiferencial homogneacorrespondientesepresentardeacuerdoconeltipoderacesqueresultedelasexpresiones anteriormente halladas. Por lo anterior existen tres alternativas de solucin: ALTERNATIVA A:SUPERAMORTIGUADO S :2 > wo2o [L 2R]2>LC1o R2 C > 4 L , las races que se presentan son reales y por lo tanto la solucin general de la homognea o respuesta natural ser: qh (t) =K1e1 t +K2e2 t=K1e (- + 2o2w - ) t + K2e (- - 2o2w - ) t 11/06/10 Pgina 5 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPS ALTERNATIVA B:SUBAMORTIGUADO S :2 < wo2o [L 2R]2 wo2o [RC 21]2>LC1o L > 4 R2 C, las races que se presentan son reales y por lo tanto la solucin general de la homognea o respuesta natural ser: iL(t)h=K1e1 t +K2e2 t=K1e (- + 2o2w - ) t + K2e (- - 2o2w - ) t ALTERNATIVAB:SUBAMORTIGUADO S :2 < wo2o [RC 21]2>0,elcircuitoseencuentraenestado estable, por lo tanto, la capacitancia se comporta como circuito abierto y la inductancia como cortocircuito. A continuacin se encuentra el esquema elctrico que se presenta para t>>>0, en donde estn indicados todos losvoltajesycorrientesverdaderas,querepresentarnlasrespuestasforzadasdeloselementos,segnla polaridad y direccin que se les asigne. DETERMINACIN DE LA RESPUESTA NATURAL DEL CIRCUITO Apartirdelcircuitoparat0,sedeterminanlasconstantesdelarespuestanatural,porloanterior,a continuacin se presenta el circuito que queda para t 0, en donde se indica laspolaridadesdelosvoltajesylasdireccionesdelascorrientesadeterminar,comotambinelmodeloserieo paralelo para la determinacin de las constantes. Despusdedeterminarlaspolaridadesydirecciones,seindicarnlosvaloresdelacondicionesinicialesy respuestasforzadas,quesernutilizadosenlasecuaciones,apartirdelasasignacionesylosvaloreshallados anteriormente. Condiciones Iniciales: i1(0) = 3 A ;i2(0) = 6 A;i3(0) = -6 A;i4(0) = -2 A ; iL(0) = 2 A; iC(0) = 12 A v1(0)=6 v ;v2(0)=6 v;Vo(0)= -12 v;v4(0)= - 12 v;vL(0)= - 12 v;vC(0)= - 12 vRespuestas Forzadas: i1f = 1 A ;i2f = 2 A;i3f =0 A;i4f = 0 A; iLf = 2 A; iCf = 0 A v1f =2 v; v2f =2 v; Vo(0)= 0 v ; v4f=0 v ;vLf=0 v; vCf=0 v Naturaleza Del Circuito Enloqueserefierealoselementosqueintervienenenelcircuitoysuconexinparat0,sedeterminasu equivalente para analizar su naturaleza, o sea, si pertenece al circuito serie o paralelo.La resistencia de 2 , que tiene asignado el voltaje V0, est en paralelo con la resistencia de 6 , luego se puede dibujar un equivalente del circuito, en donde la resistencia de 2 se eliminay la resistencia de 6 se le cambia elvalorpor1,5,deestaforma,elcircuitoequivalentetienealaderechalainductanciaylacapacitanciaen paralelo y a la izquierda una combinacin de resistencias y una fuente independiente de corriente, la cual se le puededeterminarelequivalentedeNorton,porlotanto,elequivalentedelcircuitopuedeserdibujadodela manera siguiente: 2 A 1 A 0 A 0 A0 A + 0 v -2 A+ 0 v - 2 v2 + Vo - 2 v3 A v1 v2 i2 i1iC i3 i4+ vL - iL + vC -1 2 + Vo - 2 6 3 A 11/06/10 Pgina 13 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPS El circuito equivalente corresponde al modelo RLC en paralelo, luego lasrespectivas constantes sern: = 2RC 21= ;wo= 2LC1=Por lo tanto, la respuesta natural corresponde al amortiguamiento crtico, en donde las races de la ecuacin caracterstica son:1 = - 2;2 = - 2y la ecuacin de la respuesta natural ser de la forma: (K1+ K2 t) e-2 t SOLUCIN GENERAL DEL VOLTAJE A TRAVS DEL CONDENSADOR: La solucin general para el voltaje a travs del capacitor quedar expresada por: vc(t) = vc f + vc n =0 + (K1+ K2 t) e-2 t , reemplazando la condicin inicial para el voltaje del condensador vC(0)= - 12 v, encontraremos que:- 12 = (K1+ K2 (0)) e-2 (0) = K1 Para obtener la segunda constante, usaremos una ecuacin linealmente independiente de la anterior, para ello, determinamos la corriente del condensador, quedando: iC =Ct ddCv iC =C [ (- 2 K1 e-2 t) + (-2 K2 t e-2 t)+ K2 e-2 t = C [ (K2-2 K1- 2 K2 t )] e-2 t, reemplazando la condicin inicial para la corriente del condensadoriC(0)=12 v, encontraremos que: 12=0.25[(K2-2 K1- 2 K2 (0) )] e-2(0);12 = 0.25 K2 0.5 K1 Desarrollando simultneamente las ecuaciones y, encontraremosque : K1 = - 12yK2 =24, por lo tanto, la ecuacin para el voltaje a travs del condensador o el voltaje a travs de la resistencia de 2 es: vc(t) = Vo (t) = (- 12+ 24 t) e-2 t A partir de este resultado se pueden obtener todos los voltajes y corrientes indicadas parat 0, estos son: iC(t) = - 12 e-2 t + 24 t e-2 t ; i3 (t) = - 6 e-2 t + 12 t e-2 t i4 (t) = - 2 e-2 t + 4 t e-2 t ; i2 (t) = 2 + 4 e-2 t - 8 t e-2 t ; v2(t) = 4 + 8 e-2 t - 16 t e-2 t i1 (t) = 1 - 4 e-2 t + 8 t e-2 t ; v1(t) = 2 - 8 e-2 t + 16 t e-2 t Estos resultados tambin se pueden desarrollar utilizando el mismo procedimiento utilizado para obtener el voltaje a travs del condensador. 6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS A continuacin se presentan algunos problemas sobre circuitos RLC y sus respectivas respuestas. Estoscircuitos se pueden analizar y determinar las variables solicitadas, utilizando los modelos de circuitos RLC en serie y en paralelo. 1.Para el circuito de la figura abajo, el interruptor se abre en t=0, despus de haber estado conectado durante mucho tiempo. DeterminevC(t) eIL(t) , parat 0 . Respuestas:VC(t) = - 4.3224 e 2.8575 tSen( 3.9794 t )=- 4.3224 e 2.8575 tCos( 3.9794 t 90 ) 0.25 F1 H1 IN 11/06/10 Pgina 14 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSIL(t) =-1.071 +e 2.8575 t [0.429Cos( 3.9794 t ) + 0.3087 Sen(3.9794 t)]

=-1.071 +0.5285 e 2.8575 tCos( 3.9794 t - 35.73) 2. El interruptor de la figura abajo ha permanecido abierto durante mucho tiempo antes de t = 0. Determine I(t), parat 0 . I(t)t =0 seg. 6V3A2ohm 2ohm2ohm0.1F0.05F1.25H Respuesta:I(t) = [1.5 e 10 t + 1.5 ]+[3 3.2 e 2 t + 0.2 e 8 t ] 3. El interruptor de la figura abajo ha permanecido abierto durante mucho tiempo y se cierra en t = 0. DetermineVC(t) , parat 0.

+-Vc(t)t =0 seg.18V15ohm30ohm0.02F1H5A Respuesta:VC(t)=- 12+e 5 t [ 12 Cos(5 t) + 12 Sen(5 t)]=- 12 + 122e 5 t Cos(5 t - /4) 4. Para el circuito mostrado en la figura siguiente, determine Vo(t), parat 0, s : VC1(0) =8 v, VC2(0) =5 ve IL(t)=0 A 1230.2F+VC2 -7ohm1H0.1F+ VC1-10V+Vo(t)-t= 0 seg,IL(t) Respuesta: Vo(t),=66.66 e 2 t-26.66 e 5 t-35v 11/06/10 Pgina 15 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPS 5. Para el circuito mostrado en la figura siguiente, determine Vo(t), parat 0, Respuesta: Vo(t),=18 e 4 t-12 e 6 tv 6.5CIRCUITOS RLCMIXTOS Cuando el circuito elctrico que se deseaanalizar no corresponde a alguno de los modelos desarrollados en los puntos inmediatamente anteriores de este documento(circuito RLC en serie o en paralelo), no se puede acudir a losmodelosmatemticosdeterminadosparaesoscircuitos,yporlotanto,sehacenecesariodeterminarlas ecuaciones diferenciales propias de cada variable y que corresponda al circuito en mencin. 6.5.1 INTRODUCCIN Cuandoelcircuitoelctricoaanalizarcontienedosomselementosquealmacenanenergayestosnose puedenreducir,lasecuacionesdiferencialesquelosdescribensondesegundoordenoms,yparadeterminar lasecuacionesdiferencialespropiasdecadavariable,recurriremosalautilizacindelosoperadores diferenciales y al mtodo de las variables de estado 6.5.2 OPERADOR DIFERENCIAL S Un operador diferencial es un smboloque representa una operacin matemtica. El operador diferencial S se puededefinircomo:Sx= dtdxyS2x= 22dtd x,luego,eloperadordiferencialSdenotala diferenciacindelavariable(x,paraestecaso)conrespectoaltiempo,yeloperadorS2denotalasegunda derivada. La importancia en la aplicacin del operador es que a este se le puede dar un tratamiento de cantidad algebraica, lograndoconesto,convertirecuacionesdiferencialesenecuacionesalgebraicas,lascualessondeunmanejo ms sencillo.6.5.3 VARIABLES DE ESTADO Lasvariablesdeestadodeuncircuitosonelconjuntodevariablesasociadasconlaenergadeloselementos quealmacenanenergadelcircuito.Lasvariablesdeestadodescribenlarespuestacompletaaunafuncinde excitacinyalascondicionesinicialesdelcircuito,porlotanto,seelegirncomovariablesdeestadolas variablesquedescribanelalmacenamientodeenergaenelcircuito,principalmente,losvoltajes independientes de los capacitores y las corrientes independientes de los inductores Por medio de la aplicacin de los operadores diferenciales y de las variables de estado podremos establecer un mtodo con operaciones algebraicas para determinar ecuaciones diferenciales en donde la variable dependiente se solamente una variable de estado 6.5.4 DETERMINACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO DEL MTODO DE LAS VARIABLES DE ESTADO Elmtododelasvariablesdeestadoparadeterminarlasecuacionesdiferencialesendondelavariable dependiente esa una sola variable de estado est precedido por los siguientes pasos: 11/06/10 Pgina 16 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPS1.Identificar los voltajes de los capacitores y las corrientes de los inductores como variables de estado (normalmente es un solo capacitor y un solo inductor) 2.Obtenerecuacionesdiferencialesdeprimerordenendondelasvariablesdependientesseansolamentelas variables de estado, mediante la aplicacin de las leyes LCK y LVK ( habr tantas ecuaciones diferenciales como variables de estado halla) 3. Utilizando el operador diferencial S, convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas 4. Desarrollar las ecuaciones algebraicas, utilizando la regla de Cramer, encontrando cada una de las variables de estado en funcin de los operadores diferenciales y de las fuentes de excitacin. 5.Convertirestaltimaecuacinalgebraicaencontradaenelpasoinmediatamenteanteriorenecuacin diferencial.Estaecuacindiferencialtendrcomovariabledependienteunasolavariabledeestadoy normalmente es de segundo orden cuando hay solamente dos elementos que almacenan energa y que no se pueden reducir a un solo elemento. 6.5.5DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Habiendoencontradolaecuacindiferencialdesegundoordenparaalgunadelasvariablesdeestado,se procede a resolverla mediante los pasos siguientes: a)Determinar las condiciones iniciales, en t = 0, de los voltajes de los capacitores y las corrientes de los inductores, a partir del circuito a analizar y de las referencias de tiempo dadas. b) Determinar los valores de las primeras derivadas de las variables de estado [ 0 t dtd=(t)x] =0 tdtdx= =[ X (0) ] ent = 0, a partir de las condiciones iniciales de las variables de estado y de las ecuaciones diferenciales de primer orden obtenidas en el paso N 2 del mtodo de las variables de estado desarrollado en el numeral 6.4.4. c)Desarrollar la ecuacin diferencial de segundo orden para la variable determinada. 1.Hallarlasolucingeneraldelaecuacindiferencial,utilizandoelmtododelarespuestaala homogneacorrespondiente(ecuacincaracterstica)ylarespuestaparticularalanohomognea (mtodo de los coeficientes indeterminados) 2. Determinar la solucin especfica de la variable de estado determinada, reemplazando las condiciones iniciales y el valor de la primera derivada(en t = 0),en la solucin general de la ecuacin diferencial 6.5.5EJEMPLO NUMRICO. Para el circuito elctrico de la siguiente figura, determine el voltaje del capacitor Vc(t) y la corriente del inductorIL(t) , parat 0.

TOPEN =012 TCLOSE =01 2Vc(t)(1/4) F+1 H10Vdc4 ohm6 ohmIL(t)- IDENTIFICIN DE LAS VARIABLES DE ESTADO Y ASIGNACIN DE LAS POLARIDADES DE LOS DIFERENTES VOLTAJES Y DIRECCIONES DE LAS DIFERENTES CORRIENTES EN EL CIRCUITOPARAt 0. Lasvariablesdeestadoson:ElvoltajedelcapacitorVc(t) ylacorrientedelinductorIL(t), lascualessonlas variables solicitadas en el enunciado del problema.Se asignanlas variables adicionales de voltajes y corrientes: Corriente del capacitor:ic, Corriente de la resistencia de 4 ohmios:i1 , Voltaje del inductor : vL Ve = 6 e-3tU(t)v 11/06/10 Pgina 17 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSLaspolaridadesydireccionesdelosvoltajesycorrientesasignadas,ascomolanumeracindelasmallasse encuentran en la figura siguiente.

Ve Vc(t)(1/4) F+1 H4 ohm6 ohmIL(t)- Relaciones entre las diferentes variables asignadas. Utilizando leyes de la electrosttica : qc = C Vc ; Vc = qc/C ; ic=C t ddCV ; Ley de Faraday:vL =L t ddLI DETERMINACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EN DONDE LAS VARIABLES DEPENDIENTES SON SOLAMENTE LAS VARIABLES DE ESTADO Por aplicacin de la ley LCK al nodo superior de la derecha tendremos: i1 = ic + IL [A]

Por aplicacin de la ley LVK a la malla [1] tendremos:Ve 4 i1 vL 6 IL=0[1] Para expresar las variables adicionales en funcin de las variables de estado, reemplazamos la ecuacin [A] en [1], y simplificamos, por lo tanto, la ecuacin [1] quedar:vL + 10 IL + 4 ic =Ve [1] Por ltimo, reemplazando las relaciones vL =L t ddLI ,ic=C t ddCV, y los valores L = 1 H , C = 0.25 F , en la ecuacin [1], tendremos la ecuacin de la malla uno en funcin solamente de las variables de estado: Por aplicacin de la ley LVK a la malla [2] tendremos: 6 IL +vL Vc=0[2] Reemplazando la relacin vL =L t ddLI y el valorL = 1 H ,en la ecuacin [2], tendremos la ecuacin de la malla dos en funcin solamente de las variables de estado: CONVERSIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN ECUACIONES ALGEBRAICAS UTILIZANDO LOS OPERADORES DIFERENCIALES La ecuacin diferencial uno quedar: S IL +10IL+SVc=Veo La ecuacin diferencial dos quedar: S IL +6IL-Vc=0

o ic(t) vL(t) i14 i16 IL 1 2 t ddLI +10IL + t ddCV =Ve [1] t ddlI+6IL Vc =0[2] (S+10)IL+SVc=Ve[1] (S+6)IL- Vc=0

[2] 11/06/10 Pgina 18 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSSOLUCIN DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS UTILIZANDO LA REGLADE CRAMER Y DETERMINACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON UNA SOLA VARIABLE DEPENDIENTE Solucionandoalgebraicamentelasdosecuacionesobtenidasenelpasoinmediatamenteanterior,utilizandola regla de Cramer, tendremos una expresin para la corriente del inductor ILen funcin de los operadores y de la fuente de excitacin, a partir de la cual, podremos hallar la ecuacin diferencial de segundo orden, en donde la variable dependiente es solamente la corriente del inductor IL VeS

0 -1 Ve

IL = ------------------------- = ---------------------- , luego:S2 IL + 7 S IL + 10 IL =Ve (S+10)SS2 + 7 S + 10 (S+6)-1 y la ecuacin diferencial quedar: 2L2dtd I + 7 t ddLI + 10 IL =Ve , que al reemplazar el valor de Ve se transforma en : Solucionando algebraicamente las dos ecuaciones obtenidas en el paso inmediatamente anterior, utilizando la regla de Cramer, tendremos una expresin para el voltaje del capacitor VCen funcin de los operadores y de la fuente de excitacin, a partir de la cual, podremos hallar la ecuacin diferencial de segundo orden, en donde la variable dependiente es solamente el voltaje del capacitor VC (S+10) Ve

(S+6)0(S+6) Ve

VC = ------------------------- = ---------------------- , luego:S2 VC+ 7 S VC+ 10 VC =(S+6) Ve (S+10)SS2 + 7 S + 10 (S+6)-1 y la ecuacin diferencial quedar: 2C2dtd V + 7 t ddCV + 10 VC =t ddeV+ 6 Ve , que al reemplazar el valor de Ve , se transforma en : DETERMINACIN DE LAS CONDICIONES INICIALES Y DE LA PRIMERA DERIVADA PARA LAS VARIABLES DE ESTADO EN t = 0 Un instante antes de accionar los interruptores, para t (0-) , el circuito se encuentra en estado estable, o sea que, el capacitor se comporta como un circuito abierto y el inductor como un corto circuito, por lo tanto, los valores de las variables del circuito son: 2L2dtd I + 7 t ddLI + 10 IL =6 e-3t [A] 2C2dtd V + 7 t ddCV + 10 VC = - 18 e-3t+ 36 e-3t = 18 e-3t [B] 11/06/10 Pgina 19 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPS 6 ohm10 Vdc4 ohm Con base en las ecuaciones diferenciales obtenidas anteriormente: t ddLI +10IL + t ddCV =Ve [1] y t ddlI+6IL Vc =0[2], podremos obtener las condiciones de las variables de estado parat = 0. De [2], t ddlI+ 6IL(0) Vc (0) =0 . de donde,I L(0)=- 6 (1) + 6 = 0 ; luego I L(0)=0 t = 0 De[1] , t ddLI+10IL(0) + t ddCV =Ve(0) , de donde, V C (0) = 6 e-3(0) (0) 10 (1) = - 4 v t = 0t = 0 RESUMEN DE LAS CONDICIONES INICIALES: IL(0)= 1 A ,I L(0)=0yVC(0)= 6 v ,V C (0) =- 4 v SOLUCIN DE LA ECUACIN DIFERENCIAL PARA LA CORRIENTE DEL INDUCTORIL(t) Enunciado del problema: Desarrollar la ecuacin diferencial 2L2dtd I + 7 t ddLI + 10 IL =6 e-3t ,paraIL(0)= 1 A ,I L(0)=0SOLUCIN GENERAL:IL(t) =IL H +IL P , en donde: IL Hes la solucin general de la homognea correspondiente eIL P es la solucin particular de la ecuacin diferencial a resolver. SOLUCIN DE LA HOMOGNEA: Ecuacin caracterstica:2 + 7 + 10 = 0 , dela cual resulta:1 =- 5y2=- 2 Por lo tanto, IL H = k1e 5 t +k2e 2 t

SOLUCIN PARTICULAR: MTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS : IL P =A e 3 t ;I L P =- 3 A e 3 t ;I L P =9 A e 3 t

Reemplazando en la ecuacin diferencial, tendremos: 9 A e 3 t + 7 (- 3 A e 3 t) + 10 (A e 3 t)= 6 e-3t Simplificando la expresin determinaremos queA= - 3 , luego:IL P =- 3 e 3 t

Y la solucin general para la corriente del inductor quedar: [A] SOLUCIN ESPECFICAOPARTICULAR Para determinar la solucin especfica o particular reemplazaremos las condiciones iniciales en las respectivas ecuaciones. Derivando la solucin general para la corriente del inductor, tendremos: IL(t) =- 5 k1e 5 t - 2 k2e 2 t + 9 e 3 t [B] Remplazando la condicin inicialIL(0)= 1 A ,en [A] , resulta: 1 = k1e 5 (0) +k2e 2 (0) - 3 e 3 (0) , o, k1 +k2 =4[C] CONDICIONES INICIALES De acuerdo con la figura anterior podremos determinar que las condiciones iniciales son: IL(0)= 1 Ay VC(0)= 6 v Para t(0-)

VC(0-) = 6 vIL(0-)= 1 A IL(t) =k1e 5 t +k2e 2 t - 3 e 3 t

11/06/10 Pgina 20 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSRemplazando la condicin inicialI L(0)=0,en [B] , resulta: 0 = -5k1e 5 (0) - 2k2e 2 (0) + 9 e 3 (0) , o, 5 k1 +2 k2 =9[D] Resolviendo simultneamente[C]y[D] , resulta:k1 =1/3y k2=11/3 , luego, la solucin especfica para la corriente del inductor estar dada por: SOLUCIN DE LA ECUACIN DIFERENCIAL PARA EL VOLTAJE DEL CAPACITORVC(t)

Enunciado del problema: Desarrollar la ecuacin diferencial2C2dtd V + 7 t ddCV + 10 VC =18 e-3t , paraVC(0)= 6 v ,V C (0) =- 4 v SOLUCIN GENERAL:Vc (t) =Vc H + Vc P , en donde: Vc H es la solucin general de la homognea correspondiente yVc P es la solucin particular de la ecuacin diferencial a resolver. SOLUCIN DE LA HOMOGNEA: Ecuacin caracterstica:2 + 7 + 10 = 0 , dela cual resulta:1 =- 5y2=- 2 Por lo tanto, Vc H = k1e 5 t +k2e 2 t

SOLUCIN PARTICULAR: MTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS : Vc P =A e 3 t ;V c P =- 3 A e 3 t ;V c P =9 A e 3 t

Reemplazando en la ecuacin diferencial, tendremos: 9 A e 3 t + 7 (- 3 A e 3 t) + 10 (A e 3 t)= 18 e-3t Simplificando la expresin determinaremos queA= - 9 , luego:IL P =- 9 e 3 t

Y la solucin general para la corriente del inductor quedar: [A] SOLUCIN ESPECFICAOPARTICULAR Para determinar la solucin especfica o particular reemplazaremos las condiciones iniciales en las respectivas ecuaciones. Derivando la solucin general para la corriente del inductor, tendremos: Vc (t) =- 5 k1e 5 t - 2 k2e 2 t + 27 e 3 t [B] Remplazando la condicin inicialVC(0)= 6 v ,en [A] , resulta: 6 = k1e 5 (0) +k2e 2 (0) - 9 e 3 (0) , o, k1 +k2 =15[C] Remplazando la condicin inicialV C (0) =- 4 v ,en [B] , resulta: - 4 = -5k1e 5 (0) - 2k2e 2 (0) + 27 e 3 (0) , o, 5 k1 +2 k2 =31[D] Resolviendo simultneamente[C]y[D] , resulta:k1 =1/3y k2=44/3 , luego, la solucin especfica para la corriente del inductor estar dada por: RESUMEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARA EL EJEMPLO NUMRICO PARA CUALQUIER VALOR DE LA FUNCIN DE EXCITACIN 2L2dtd I + 7 t ddLI + 10 IL =Ve 2C2dtd V + 7 t ddCV + 10 VC =t ddeV+ 6 Ve

IL(t) =(31)

e 5 t +(311)

e 2 t - 3 e 3 t

Vc (t) = k1e 5 t +k2e 2 t - 9 e 3 t

Vc (t)=(31)

e 5 t +(344)

e 2 t - 9 e 3 t

11/06/10 Pgina 21 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSCOMPROBACIN DE LA EXPRESION DETERMINADA PARA UNA DE LAS VARIABLES EN FUNCIN DE LA OTRA EN EL CIRCUITO ELCTRICOPARAt0 Ve Vc(t)(1/4) F+1 H4 ohm6 ohmIL(t)- Relaciones entre las diferentes variables asignadas. Utilizando leyes de la electrosttica : qc = C Vc ; Vc = qc/C ; ic=C t ddCV; Ley de Faraday: vL =L t ddLI Con base en las relaciones entre las diferentes variables asignadas, el circuito elctrico parat0y la expresin encontrada para la corriente del inductor, IL(t) =(31)

e 5 t +(311)

e 2 t - 3 e 3 t , podremos hallar la expresin para el voltaje en el capacitor Vc (t) vL(t) =L t ddLI =(1) [(-35)

e 5 t -(322)

e 2 t + 9 e 3 t ] 6 IL(t) =(2)

e 5 t +(22)

e 2 t - 18 e 3 t

Vc (t)=(31)

e 5 t +(344)

e 2 t - 9 e 3 t

Por lo tanto la expresin es idntica a la obtenida por medio de la solucin de la ecuacin diferencial respectiva, convirtindose este ltimo procedimiento en otra alternativa para determinar el voltaje en el capacitor. CAMBIO EN LA FUENTE DE EXCITACIN PARA EL EJEMPLO NUMRICO INMEDIATAMENTE ANTERIOR Para el circuito resuelto en el punto inmediatamente anterior, cambiamos el tipo de la fuente de excitacin utilizada a : Por lo tanto las ecuaciones diferenciales quedarn para cada uno de los casos:

2L2dtd I + 7 t ddLI + 10 IL =6

2L2dtd I + 7 t ddLI + 10 IL =6 Cos(3 t) 2C2dtd V + 7 t ddCV + 10 VC =36

2C2dtd V + 7 t ddCV + 10 VC =-18Sen(3 t) + 36 Cos(3 t) CONDICIONES INICIALES IL(0)= 1 Ay VC(0)= 6 v Con base en las ecuaciones diferenciales obtenidas anteriormente por aplicacin de LVK a cada una de las mallas t ddLI +10IL + t ddCV =Ve [1] y t ddlI+6IL Vc =0[2], podremos obtener las condiciones de las variables de estado parat = 0. ic(t) vL(t) i14 i16 IL 1 2Ve = 6 ; t ddeV =0; [1]Ve =6 Cos(3 t) ; t ddeV = - 18 Sen(3 t);[2] 11/06/10 Pgina 22 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSDe [2], t ddlI+ 6IL(0) Vc (0) =0 . de donde,I L(0)=- 6 (1) + 6 = 0 ; luego I L(0)=0 t = 0 De[1] , t ddLI+10IL(0) + t ddCV =Ve(0) , de donde, V C (0) = Ve(0) (0) 10 (1) t = 0t = 0 Luego para ambos casos de fuentes de excitacin:Ve(0) =6, por lo tanto, para ambos casos de fuente de excitacinV C (0) = - 4 v RESUMEN DE LAS CONDICIONES INICIALES: Para los dos casos de la fuente de excitacin las condiciones iniciales son iguales IL(0)= 1 A ,I L(0)=0y VC(0)= 6 v ,V C (0) =- 4 vLuego, desarrollar los circuitos para cada una de las fuentes indicadas, es resolver las ecuaciones diferenciales siguientes, para las condiciones iniciales expresadas.

2L2dtd I + 7 t ddLI + 10 IL =6

2L2dtd I + 7 t ddLI + 10 IL =6 Cos(3 t) 2C2dtd V + 7 t ddCV + 10 VC =36

2C2dtd V + 7 t ddCV + 10 VC =-18Sen(3 t) + 36 Cos(3 t)

CONDICIONES INICIALES IL(0)= 1 A ,I L(0)=0yVC(0)= 6 v ,V C (0) =- 4 v SOLUCIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL(t) =0.6 - (154)

e 5 t +(32)

e 2 t IL(t) =- 0.3724 e 5 t +1.3558e 2 t + 0.2852 Cos(3 t 87.27) VC(t)= 3.6 - (308)

e 5 t +(38)

e 2 t VC(t)= - 0.645 e 5 t +5.8196e 2 t + 1.6872 Cos(3 t 60.7) 6.6 PROBLEMAS PROPUESTOS AcontinuacinsepresentanalgunosproblemasdecircuitosRLCenconexinmixtaysusrespectivas respuestas.Estoscircuitossepuedendesarrollardeterminandosuspropiasecuacionesdiferencialespormedio del mtodo de las variables de estado 1.Para el circuito de la figura siguiente el interruptor se cierra en t = 0. Encuentre las ecuaciones diferenciales adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL(t)yVC(t) parat0. R1t =0 seg.1 2I L( t )CR2Vc( t )VeL-+ Respuestas: ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO Malla I: L t ddLI + (R1+R2) IL -R2 C t ddCV = Ve(A) ; MallaII: R2IL-R2 C t ddCV - VC= 0(B) Donde: R1 = R2 = 1.309 C=1 F ; L= 0.25 H Ve=U(t) VARIABLES DE ESTADO IL(t)yVC(t)

11/06/10 Pgina 23 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLESDE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductorIL(t) 2L2 t dd I+ [CL RC R R L22 1+] t ddLI+ [CL RR R22 1 +] IL =[L1]t ddeV+ [CL R12]Ve VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t) 2C2 t dd V+ [CL RC R R L22 1+] t ddCV+ [CL RR R22 1 +] VC =[CL1] Ve ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLESDE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTEPARAVe=U(t)YLOSVALORES INDICADOS DE LOS ELEMENTOS VARIABLE: Corriente del inductorIL(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t) 2L2 t dd I+ [6] t ddLI+ [8] IL = [3] 2C2t dd V+ [6]t ddCV+ [8] VC =[4] Ve CONDICIONES INICIALES Antes de conectarse el interruptor, tanto el inductor como el capacitor estaban descargados, luegoIL(0) = 0yVC(0)=0. A partir de la ecuacin diferencial de la malla (B), podremos determinar: t ddCV =VC(0)=[R2IL(0) - VC(0)] / R2C= [R2 (0) (0)] / R2C=0VC(0)=0 t = 0 A partir de la ecuacin diferencial de la malla (A), podremos determinar: t ddLI = IL(0)=[Ve- (R1+R2) IL(0)+ R2 C VC(0)] / L =Ve / L =4 IL(0)=4 t = 0 RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL(t) =(83) + (45)

e 2 t -(813)

e 4 t A ;VC(t)= (21)- e 2 t +(21)

e 4 t v 2. Desarrollar el ejemplo N 1, para los siguientes valores de los elementos: C =1 F ,L= 1 H ,R1=1 ; R2=3 , Ve=U(t)

RESPUESTAS:IL(t) = (121)+[-121+65t] e 2 t A ;VC(t)= (41)-[41+21t] e 2 t v

3. Desarrollar el ejemplo N 1, para los siguientes valores de los elementos: C =0.125 F ,L= 0.5 H ,R1=4 ; R2=1 , Ve=U(t)

RESPUESTAS:IL(t) = 5e 2 t Sen(4t) A

VC(t)= (0.8) - e 2 t [ 0.8 Cos(4t)+0.4 Sen(4t)] v

4. Para el circuito de la figura siguiente el interruptor U1 se cierra en t = 0 y el interruptor U2 se abre en t = 0. Encuentre las ecuaciones diferenciales adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL(t)yVC(t) parat0.

-CLR2t =0 seg.U212Vc( t )12 vR1+t =0 seg.U11 224 vI L( t ) Donde: R1 = 10 yR2 = 2 C=0.25 F ; L=2 H VARIABLES DE ESTADO IL(t)yVC(t)

11/06/10 Pgina 24 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO Malla I: 2 t ddLI + (12) IL -(0.5) t ddCV = (24)

(A) ; MallaII: (2)IL-(0.5) t ddCV - VC= 0(B) ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLESDE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductorIL(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t) 2L2 t dd I+ [7] t ddLI+ [12] IL = [24] 2C2t dd V+ [7]t ddCV+ [12] VC =[48] CONDICIONES INICIALES Para un instante antes de actuar los interruptores, el circuito estaba accionado por la fuente de 12 v y el inductor se comporta como un corto circuito y el capacitor como un circuito abierto, luegoIL(0) = 1 AyVC(0)=2 v. A partir de la ecuacin diferencial de la malla (B), podremos determinar: t ddCV =VC(0)=[2 IL(0) - VC(0)] / (0.5)= [2 (1) (2)] / (0.5)=0VC(0)=0 t = 0 A partir de la ecuacin diferencial de la malla (A), podremos determinar: t ddLI = IL(0)=[24- (12) IL(0)+ (0.5) VC(0)] / 2 =12 / 2 =6 IL(0)=6 t = 0 RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL(t) =(2) + (2)

e 3 t -(3)

e 4 t A ;VC(t)= (4)- 8 e 3 t +(6)

e 4 t v 5.Para el circuito de la figura siguiente el interruptor U4 se cierra en t = 0 y el interruptor U5 se abre en t = 0. Encuentre las ecuaciones diferenciales adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL(t)yVC(t) parat0. R = 3 ohmt =0U51210 vL = 4 HI L( t )t =0U41 2+ Vc( t ) -6 v C = 2 FR = 2 ohm RESPUESTAS: ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO Malla I: -4 t ddLI + (6) t ddCV + VC = 0

(A) ; MallaII: (2)IL+ (10) t ddCV + VC=Ve = 6(B) ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLESDE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductorIL(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t) 2L2 t dd I+ [0.4] t ddLI+ [0.05] IL = [0.15] 2C2t dd V+ [0.4]t ddCV+ [0.05] VC =0 CONDICIONES INICIALES Para un instante antes de actuar los interruptores, el circuito estaba accionado por la fuente de 10 v y el inductor se comporta como un corto circuito y el capacitor como un circuito abierto, luegoIL(0) = 5 AyVC(0)=0 v. A partir de la ecuacin diferencial de la malla (B), podremos determinar: t ddCV =VC(0)=[6 -2 IL(0) - VC(0)] / (10)= [6-2 (5) (0)] / (10)=-0.4VC(0)=-0.4 t = 0 11/06/10 Pgina 25 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSA partir de la ecuacin diferencial de la malla (A), podremos determinar: t ddLI = IL(0)=[VC(0)+ (6) VC(0)] / 4 =6(-0.4)/ 4 =-0.6 IL(0)=-0.6 t = 0 RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL(t) =(3) + e 2 t (2 Cos(0.1 t) 2 Sen(0.1 t) A ;VC(t)= - 4 e 2 t Cos(0.1 t) v 6. Para el circuito de la figura siguiente el interruptor Ua se cierra en t = 0 y el interruptor Ub se abre en t = 0. Encuentre las ecuaciones diferenciales adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL(t)yVC(t) parat0. 6 v C = 0.25 FVc( t )+t =0Ua1 2t =0Ub12I L( t )L = 1 HR = 4 ohmR = 6 ohm-10 v RESPUESTAS: ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO Malla I: (1.5) t ddCV - 6 IL - t ddLI= 0

(A) ; MallaII: t ddCV + VC+ t ddLI =Ve = 6(B) ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLESDE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductorIL(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t) 2L2 t dd I+ [2.8] t ddLI+ [2.4] IL = 0 2C2t dd V+ [2.8]t ddCV+ [2.4] VC =14.4 CONDICIONES INICIALES Para un instante antes de actuar los interruptores, el circuito estaba accionado por la fuente de 10 v y el inductor se comporta como un corto circuito y el capacitor como un circuito abierto, luegoIL(0) = 0 AyVC(0)=10 v. A partir de las ecuaciones diferenciales de las mallas (A) y (B), podremos determinar dos ecuaciones linealmente independientes, en donde los valores desconocidos son las primeras derivadas en t = 0, de las variables de estado IL(0) y VC(0) : (A)(1.5) VC(0) - 6 IL(0) -IL(0) = 0 ; (B)VC(0) +VC(0) +IL(0) =6 1.5 VC(0) -IL(0) = 0

;VC(0) +10 +IL(0) =6Desarrollando simultneamente las dos ecuaciones determinadas, resulta: IL(0) = -2.4A y VC(0) =- 1.6RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL(t) =(- 3.63)e 1.4t Sen(0.66 t) A ;VC(t)= 6 + e 2 t ( 4 Cos(0.66 t) + 6 Sen(0.66 t)) v 7. Para el circuito de la figura siguiente el interruptor Ua se cierra en t = 0. Encuentre las ecuaciones diferenciales adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL1(t)eIL2(t) parat0, s : IL1(0) = 0e IL2(0) = 0. 8 ohmI L2( t )t =0 seg.Ua12Ve =5 4 ohmL2=1 HI L1( t )L1=2 H Ve = 5e- 2 tv 11/06/10 Pgina 26 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSRESPUESTAS: ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO Malla I: 12 IL2 + t ddL2I - 4 IL1=

Ve (A) ; MallaII: 4 IL2- 4 IL1- 2 t ddL1I =0(B) ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLESDE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductorIL2(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor IL1(t)2L22 t dd I+ [14] t ddL2I+ [16] IL2 = 2Ve +t ddeV= 0 ; 2L12t dd I+ [14]t ddL1I+ [16] IL1 = 2Ve=10e- 2 t RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL1(t) =(1.1689)e 1.255t + (0.081)e 12.74t - 1.25 e 2t A IL2(t) =(0.435)e 1.255t - (0.435)e 12.74t A FORMULARIO DE TRIGONOMETRA ) 180 ( ) () 90 ( ) ( = + =wt Cos wt Coswt Sen wt Cos

) 180 wt ( Sen ) wt ( Sen) 90 wt ( Cos ) wt ( Sen = = ) ( Sen ) ( Cos ) ( Cos ) ( Sen ) ( Sen = ) ( Sen ) ( Sen ) ( Cos ) ( Cos ) ( Cos = m ) wt ( Sen ) ( Cos V ) wt ( Cos ) ( Sen V ) wt ( Sen V vm m m ) t ( + = + = )) ( tan wt ( Sen )) ( Cos V ( )) ( Sen V ( ) wt ( Sen V v1 2m2m m ) t ( + + = + = ) (tan donde en, ) - tCos(w B A t) Sen(w B t) Cos(w A AB1 - 2 2= + = + ) (tan donde en, ) - tSen(w B A t) Sen(w B t) Cos(w A BA1 - 2 2= + = + 11/06/10 Pgina 27 de 27 Profesor : Luis Rodolfo Dvila Mrquez CDIGO: 00076 UFPSFORMULARIO FRECUENCIA Y RESPUESTA NATURAL PARA LOS CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN CASO FRECUENCIA NATURALRESPUESTA NATURAL CIRCUITOSRL FN =LR(seg-1), Hertz;RL= (seg) K1e-tLR =K1e-RLt = K1e- t CIRCUITOSRC FN =RC1(seg-1), Hertz; = RC (seg) K1C Rt-e=K1e- t RESPUESTA FORZADA PARA LOS CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ENTRADA f(t) RESPUESTA FORZADA Constante:VD,constante Rampa: A tD + E t, D y E constantes Exponencial:Ae- B t , A y B constantesDe- B t, Dconstante Senoidal:A Cos(wt), A Sen(wt), A Cos(wt- )D Cos(wt) + E Sen(wt),D y E constantes FRECUENCIASNATURALESPARA LOS CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

SERI ELCR RL+-CPARALELO ECUACIN DIFERENCIAL:2(t)2 t ddLi+C R1 t dd(t) Li+ C L1 iL(t)= 0 2(t) C2 t dV d+LR t dV d(t) C+ C L1 VC(t)= 0 COEFICIENTEDE =RC 21, enrad/seg =L 2R,enrad/seg AMORTIGUAMIENTO FRECUENCIA DE RESONANCIA WO =LC1, enrad/seg WO= LC1 ,enrad/seg FRECUENCIA DEWd = ( ) ( )22RC1LC1- , enrad/seg Wd = ( ) ( )22LRLC1- ,enrad/seg RESONANCIAAMORTIGUADA RESPUESTAS NATURALES PARA LOS CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN CASO FRECUENCIA NATURALRESPUESTA NATURAL SOBREAMORTIGUADO Cuando R< CL21 S1, S2 = - 2o2w - K1 e S1 t +K2 e S2 t CRTICAMENTE AMORTIGUADO Cuando R= CL21 S1, S2 = - (K1 +K2 t )e- t SUBAMORTIGUADO Cuando R> CL21

S1, S2 = - 2 2o - w =-+ jwd e- t (K1 Cos(wd t) + K2 Sen(wd t) RESPUESTA FORZADA PARA LOS CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN ENTRADA f(t) RESPUESTA FORZADA Constante:VD,constante Rampa: A tD + E t, D y E constantes Exponencial:Ae- B t , A y B constantesDe- B t, Dconstante Senoidal:A Cos(wt), A Sen(wt), A Cos(wt- )D Cos(wt) + E Sen(wt),D y E constantes Vc(t) iL (t) CIRCUITO