analisis de circuitos electricos

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1 Análisis de circuitos eléctricos

El capítulo 1 se dedica al estudio de los principios de los campos eléctrico y magnético y a la relación de éstos con los capacitores e inductores; asimismo, se revisan los conceptos generales de operación de las fuentes de CA y de CD. Sin embargo, los fundamentos teóricos de los circuitos eléctricos descansan en la teoría del electromagnetismo de James Clerk Maxwell.1 De manera más específica, la teoría de los circuitos eléctricos se basa en los conceptos de impedancia, incluida dentro de la ley de Ohm, las leyes de Kirchhoff y el principio de superposición.2 Considerando estos conceptos, cualquier circuito lineal puede ser resuelto. Resolver un circuito consiste en encontrar sus corrientes, en un sentido de circula-ción, en cada una de las ramas, o bien determinar las caídas de voltaje de cada uno de los componentes del circuito. Dadas todas las fuentes de un circuito, es posible encontrar y resolver un conjunto de ecuaciones para obtener cualquier voltaje o corriente en el circuito. En el capítulo cero se describe la ley de Ohm, por lo que en este capítulo, y sin más preámbulo, aprenderemos los conceptos de:

1 James Clerk Maxwell (1831-1879), f ísico-matemático escocés, demostró, mediante un conjunto de ecuaciones, que la electricidad, el magnetismo e incluso la luz son manifestaciones del mismo fenómeno: el campo electromagnético. La teoría de Maxwell del electromagnetismo es sin duda su obra maestra, ya que revolucionó la forma en que vemos el mundo, cambiando la perspectiva del modelo puramente mecánico de ecuaciones diferenciales de Newton, por el de una realidad f ísica representada por campos continuos sujetos a ecuaciones diferenciales parciales. Se comenta que Maxwell fue inspi-ración de Albert Einstein (1879-1955) y Rudolph Hertz (1857-1894), entre otros. Lo que sí es un hecho es que su trabajo ha conducido a muchos de los desarrollos que tenemos hoy en día como los teléfonos celulares y los hornos de microondas.

2 George Simon Ohm (1789-1854) describió su teoría de los conductores en 1827; tiempo después, para 1840, Gustav Ro-bert Kirchhoff (1824-1887) describió lo que hasta ahora se conoce como las leyes de Kirchhoff, y para 1853 Hermann Von Helmholtz (1821-1894) hizo público el principio de superposición, del cual deriva el concepto del circuito equivalente. Treinta años después, Leon Charles Thevenin (1857-1926) publicó los mismos resultados, aparentemente ignorando el trabajo de Helmholtz.

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2 E L E C T R Ó N I C A • M I J A R E Z

Leyes de Kirchhoff para corrientes y voltajes.

Aplicación de las leyes de Kirchhoff.

Teoremas de redes o circuitos eléctricos.

Principio de superposición.

Teorema de Thévenin.

Teorema de Norton.

Conversión de un circuito equivalente de Thévenin a Norton y viceversa.

Leyes de Kirchhoff

Los circuitos eléctricos, por lo general, están constituidos por componentes que no se encuentran únicamente en se-rie, en paralelo o en serie-paralelo; por ejemplo, algunas de sus ramificaciones pueden tener diferentes fuentes de voltaje. Cuando las reglas de los circuitos en serie o en paralelo no pueden ser aplicadas en forma directa, es posible emplear otros métodos de análisis. Entre esos métodos se encuentran las leyes de Kirchhoff, las cuales se describen más adelante, en esta sección.3 Las leyes de Kirchhoff son igualdades que se basan en la conservación de la carga o energía de los circuitos eléctricos. Estas leyes son derivadas de las ecuaciones de Maxwell; aun cuando Kirchhoff precedió a Maxwell, Kirchhoff tomó en cuenta el trabajo de George Simon Ohm para su realización. Estas leyes vienen en dos sabores: la ley de Kirchhoff para los voltajes (LKV) y la ley de Kirchhoff para las corrientes (LKI).

Ley de Kirchhoff para las corrientes (LKI)

La LKI se enuncia así: “la suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un punto o nodo de un circuito eléc-trico debe ser igual a cero”. Por suma algebraica se entiende la suma de valores tanto positivos como negativos. Tam-bién es posible enunciar la LKI de otra manera; así pues, se dice que “la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de corrientes que sale de él”. 4 El sistema convencional para determinar el sentido de las corrientes considera a las corrientes que entran a un nodo como positivas y a las corrientes que salen como negativas. La figura 1.1 muestra un ejemplo.

De la figura 1.1 se pueden obtener corrientes como:

IA + IB − I C = 0 o 5 A + 3 A − 8 A = 0 (1.1)

3 Gustav Kirchhoff (1824-1887), f ísico alemán, contribuyó de buena manera al entendimiento de los circuitos eléctricos. Destacadamente, Kirchhoff probó que en cables de resistencia insignificante, la electricidad viajaba a la velocidad de la luz. Esto lo logró usando las leyes de Newton de electrodinámica, antes que Maxwell formulara sus ecuaciones.

4 Recuérdese la analogía presentada en el capítulo 0: las corrientes entrando o saliendo un nodo se pueden comparar con el flujo de agua en una tubería; así, el total de agua que entra a un punto debe ser igual al total de agua que sale de él.

Figura 1.1 La corriente de salida IC del nodo P es igual a las corrientes de entrada IA e IB.

IC = 8 A

IA = 5 A

IB = 3 A



33g r u p o e d i t o r i a l p a t r i a ®

Para un circuito serie-paralelo, como el que se muestra en la figura 1.2, las ecuaciones algebraicas para los nodos C y D, respectivamente, son las siguientes:

Figura 1.2 Circuito serie en paralelo que ilustra la LKI.

I4-5 = 4 A

A

V1 = 30 VR1 = 5 Ω

IT = 6 A

I3 = 2 A

VT = 240 V R3 = 60 Ω

IT = 6 A I3 = 2 A

V4 = 40 VR4 = 10 Ω

C E

B D FR2 = 15 ΩV2 = 90 V

I4-5 = 4 A

V3 = 120 V R5 = 20 Ω V5 = 80 V

Para el nodo C:

IT − I3 − I4-5 = 0 (1.2)

Para el nodo D:

−IT + I3 + I4-5 = 0 (1.3)

Por consiguiente, la LKI se puede enunciar de manera concisa como: IENTRADA = ISALIDA. Sustituyendo valores para las ecuaciones anteriores tenemos que:

Para el nodo C

6 A = 2 A + 4 A (1.4)

Para el nodo D

2 A + 4 A = 6 A (1.5)

Ley de Kirchhoff para los voltajes (LKV)

La LKV se enuncia de la siguiente manera: “la suma algebraica de todos los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero”. A la trayectoria cerrada se le llama lazo, y los voltajes pueden ser fuentes de voltaje o caídas de voltaje (VR). La LKV también se enuncia así: “la suma de las caídas de voltaje es igual al voltaje aplicado”.

Si se sigue cualquier lazo, empezando en un punto específico, y se regresa al mismo punto de inicio, la suma alge-braica de todas las caídas de voltaje debe ser cero; es decir, la diferencia de voltaje, también llamada diferencia de potencial, debe ser cero; si no se regresa hasta el punto de inicio, la suma algebraica es el voltaje entre los puntos de ini-cio y de fin.




Para determinar los signos algebraicos en cualquier lazo de un circuito, primero se marca la polaridad de cada voltaje, como se muestra en la figura 1.2. Un método conveniente es circular cualquier lazo y, si hay un voltaje (VT), considerar cualquier caída de voltaje de un elemento del circuito como positiva, si la terminal de la fuente positiva se conecta a dicho elemento, en este caso R2; y cualquier caída de voltaje como negativa, si el elemento se conecta a la terminal negativa, en esta figura R1. Este método aplica tanto a las caídas de voltaje (IR), como a fuentes de voltaje. Los lazos pueden recorrerse en sentido horario o antihorario.

La LKV en forma de ecuaciones, para cada lazo de un circuito, especifica los voltajes alrededor de ese lazo. La figura 1.2 muestra tres lazos: un lazo exterior, que contiene la trayectoria que inicia en el punto A y continúa a través de CEFDB y, por último, regresa al punto A, e incluye las caídas de voltaje V1, V4, V5, V2 y la fuente VT. En la figura 1.2 también se observan dos lazos interiores con las trayectorias ACDBA y CEFDC. Si recorremos la trayectoria en el sentido horario, la ecuación que determina la suma algebraica para el primer lazo interno es:

−V1 − V3 −V2 + VT = 0 (1.6)

Los signos de los voltajes (V1-V3) son negativos, porque la terminal negativa de la fuente llega primero a cada uno de los elementos. Sin embargo, siguiendo en el mismo sentido la fuente, VT es positiva porque su terminal positiva se alcanza primero.

Si se utiliza el sentido antihorario iniciando en el punto B, ocurre lo contario, así: V2, V3 y V1 tendrán valores po-sitivos y VT valor negativo. En forma de ecuación esto es:

V2 + V3 + V1 − VT = 0 (1.7)

Si trasladamos el término negativo al otro lado de la igualdad, tenemos que:

V2 + V3 + V1 = VT (1.8)

Esta ecuación enuncia que la suma de las caídas de voltaje es igual al voltaje que se aplica. Por consiguiente, esta ecua-ción se puede representar de manera concisa como:

∑ V = VT (1.9)

La letra griega ∑ (sigma) indica sumatoria y se lee como: “la suma de”. Considerando cualquier sentido, para cualquier lazo, la suma de las caídas de voltaje (IR) debe ser igual al voltaje aplicado. De la ecuación 1.9 se puede observar que la LKV es la base para la regla de los circuitos en serie. Sustituyendo valores en la ecuación 1.8:

90 V + 120 V + 30 V = 240 (1.10)

Cuando un lazo no tiene ninguna fuente de voltaje, la suma algebraica de las caídas de voltaje debe ser igual a cero. Por ejemplo, siguiendo el sentido horario del lazo CEFDC de la figura 1.2, la ecuación de lazo de voltajes es:

−V4 − V5 +V3 = 0 −40 V − 80 V + 120 V = 0 (1.11)

0 = 0

Donde V3 es positivo, porque la terminal positiva de la fuente alcanza primero el elemento (R3), usando el sentido horario de D a C de este lazo.

Un punto importante que debemos remarcar es que las leyes de Kirchhoff para corrientes y voltajes se pueden aplicar a todo tipo de circuito electrónico, no sólo los que contienen fuentes de voltaje y resistencias, también se pue-den aplicar para analizar circuitos que contengan elementos como diodos, transistores, amplificadores operacionales, etcétera.5

5 Las leyes de Kirchhoff son fundamentales para analizar circuitos eléctricos y electrónicos, y ocurre que me he encontrado a estudiantes, casi por graduarse, que han olvidado por completo estas leyes, y tienen dificultades para resolver circuitos tan sencillos como el cálculo de resistencia para encender un LED, por lo que entender estos conceptos es cardinal.




Para aclarar los conceptos de la LKV se presenta la figura 1.3, donde se requiere aplicar la LKV para resolver los voltajes VAG y VBG.

Las fuentes de voltaje V1 y V2 de la figura 1.3 están conectadas en serie, ya que ambas fuerzan sus electrones a fluir en la misma dirección. La conexión a tierra, entre V1 y V2, es usada sólo como punto de referencia. Por tanto, para resolver el circuito primero obtenemos el voltaje total VT = V1 + V2 = 36 V y la resistencia total RT = R1 + R2 + R3 = 400 ohms. Aplicando la ley de Ohm, podemos obtener la corriente total: IT = VT/RT = 36 V/400 ohms = 90 mA. Como la corriente es la misma en todo el circuito, se puede calcular la caída de voltaje en cada resistencia usando la ley de Ohm, por ejemplo para R1 es VR1 = IT × R1. La figura 1.3b) muestra la caída de voltaje de cada resistencia. En ésta se puede observar que, recorriendo el circuito en sentido antihorario, la polaridad de la caída de voltaje de cada resistencia es negativa en el extremo de la resistencia donde los electrones entran y positiva en el extremo de la resistencia donde los electrones salen. En seguida, se puede aplicar la LKV para determinar si el circuito se resolvió en forma correcta. Si usamos el sentido antihorario, iniciando y terminando en la terminal positiva (+) de V1, tenemos:

V1 + V2 − VR3 − VR2 − VR1 = 0 (1.12)

De acuerdo con la LKV, la suma algebraica debería ser igual a cero. Si sustituimos valores tenemos:

18 V + 18 V − 16.2 V − 9 V − 10.8 V = 0 (1.13)

De igual manera, se puede hacer notar que la suma de las caídas de voltaje de cada resistencia es igual al voltaje total: VT = VR1 + VR2 + VR3 → VT = 16.2 V + 9 V + 10.8 V = 36 V. De esta manera, ahora es posible resolver para los voltajes VAG y VBG, haciendo uso de la LKV. Para hacer esto, se usa el sentido antihorario, es decir, sólo se suman algebraica-mente los voltajes entre los puntos A y G:

VAG = −VR1 + V1 → VAG = −10.8 V + 18 V = 7.2 V (1.14)

Sin embargo, si se usa el sentido horario se obtiene el mismo resultado:

VAG = VR2 + VR3 − V2 → VAG = 9 V + 16.2 V − 18 V = 7.2 V (1.15)

Para resolver el voltaje VBG, con sentido horario, usamos el mismo procedimiento:

VBG = VR3 − V2 → VBG = 16.2 V − 18 V = −1.8 V (1.16)

Figura 1.3 Circuito eléctrico con dos fuentes de voltaje conectadas en serie.




De la misma manera, al usar el sentido antihorario se produce el mismo resultado:

VBG = −VR2 − VR1 + V1 → VBG = −9 V − 10.8 V + 18 V= −1.8 V (1.17)

Puesto que el sentido que se utilice produce el mismo resultado, se recomienda utilizar la solución que involucre me-nos elementos.

Aplicación de las leyes de Kirchhoff para los voltajes y corrientes

Si se tiene un circuito con dos fuentes de voltaje en diferentes ramas, como ocurre a menudo en los circuitos electró-nicos, se puede hacer uso de la LKV y la LKI para resolver dicho circuito. Ambas leyes llegan a la misma solución; sin embargo, dependiendo de la configuración del circuito, una solución puede ser más práctica que la otra.6 A manera de ejemplo, aquí resolveremos un circuito usando varios métodos y las leyes de Kirchhoff.

Método de corriente en las ramas

El método de corrientes en las ramas del circuito se observa en la figura 1.4. El problema a resolver es, entonces, en-contrar las corrientes y los voltajes de las tres resistencias. Para resolver el circuito, primero se asigna el sentido de las corrientes y se marcan las polaridades en cada una de las resistencias.

En este caso, se asume que el flujo de electrones sale de la terminal negativa de las fuentes de voltaje V1 y V2, res-pectivamente. Las corrientes en las resistencias se indican como I1, I2 e I3. Por consiguiente, como tenemos tres incóg-nitas, se requerirán tres ecuaciones para su solución. Usando la LKI tenemos que I3 = I1 + I2; es decir, la corriente que sale por el punto C debe ser igual a la corriente que entra. Por tanto, la corriente que pasa por R3 es I3. De esta forma, al obtener I1 e I2 se puede conocer I3, por lo que el sistema se reduce a dos incógnitas y se necesitan sólo dos ecuaciones para obtener I1 e I2. Estas ecuaciones se obtienen usando la LKV alrededor de los dos lazos internos que contiene el circuito. En este caso, no se utiliza el lazo externo.

Para el lazo con V1, empezando en el punto B y usando el sentido horario, tenemos la siguiente ecuación:

84 V − VR1 − VR3 = 0

6 No obstante, como la aplicación de la LKV y la LKI producen el mismo resultado, y el número de ecuaciones y métodos a utilizar va en aumen-to, considero que vale la pena entender a cabalidad cuando menos una de las dos leyes y sus técnicas, y aprenderla de memoria. Así como hay personas diestras y otras siniestras, también hay personas que se sienten más cómodas con los voltajes que con las corrientes.

AR1 = 12 Ω

V1 84 V

B

I1

R3 = 6 Ω

I2

I3 = I1 + I2

R2 = 3 Ω

21 V V2

C

D

E

F

Figura 1.4 Aplicación de las leyes de Kirchhoff para resolver un circuito con dos fuentes de voltaje en diferentes ramas del circuito.




Para el lazo con V2, iniciando en el punto F y usando el sentido antihorario, tenemos la ecuación:

21 V − VR2 − VR3 = 0

Si usamos los valores proporcionados de R1, R2 y R3 para obtener las caídas de voltaje en las respectivas resistencias, tenemos:

VR1 = I1 R1 = I1 × 12 = 12I1VR2 = I2 R2 = I2 × 3 = 3I2VR3 = (I1 + I2)R3 = 6(I1 + I2)

Sustituyendo estos valores en la ecuación del lazo con V1:

84 V − 12I1 − 6(I1+I2) = 0

Ahora, sustituyendo para el lazo con V2, tenemos:

21 V − 3I2 − 6(I1 + I2) = 0

Realizando la multiplicación de 6 por (I1 + I2), en las dos ecuaciones, combinando y reordenando los términos, te-nemos:

84 V = 18I1 + 6I221 V = 6I1 + 9I2

Para reducir las ecuaciones a su forma más simple, dividimos entre 6 la primera ecuación y entre 3 la segunda. Estas ecuaciones quedan como:

14 V = 3I1 + I2 7 V = 2I1 + 3I2

Las dos incógnitas en estas dos ecuaciones contienen la solución del circuito, también llamado red. Las corrientes I1 e I2 pueden calcularse por cualquiera de los métodos para solución de ecuaciones simultáneas.7 Si se usa el método de eliminación, se multiplica la primera ecuación por 3 para hacer que los términos I2 contengan el mismo valor en ambas ecuaciones:

42 V = 9I1 + 3I2 7 V = 2I1 + 3I2

Para eliminar I2 restamos, término a término, la segunda ecuación de la primera; de esta manera, I2 se hace cero y terminamos con una ecuación de una incógnita:

35 V = 7I1 5 A = I1

La corriente I1 de 5 amperes es la corriente que fluye por R1. El sentido de la corriente es del punto A al punto C, como se asumió, debido a que el valor de I1 es positivo.

7 Las ecuaciones simultáneas son un conjunto de ecuaciones con múltiples variables, a las cuales frecuentemente se les denomina como: sistema de ecuaciones, y cuya solución es encontrar los valores de todas las variables que satisfagan todas las ecuaciones. Los métodos comúnmente utilizados para resolver un sistema de ecuaciones comprenden métodos gráficos, de matrices, de sustitución o de eliminación.




Para calcular I2, se sustituye el valor de I1 en cualquiera de las dos ecuaciones. Al sustituir I1 en la primera ecuación tenemos:

42 = 9(5) + 3I2342 = 45 + 3I2

(42 − 45)/3 = I2−1 A = I2

El signo negativo de I2 significa que la dirección de la corriente es en sentido opuesto a la que se asumió. Por tanto, la corriente I2 fluye a través de R2 del punto C al punto E, en lugar de E a C, como se asumió inicialmente.

Los resultados negativos, por lo general, presentan cierta confusión o un significado no muy claro.8 En el ejemplo de la figura 1.4, se asume que la corriente I2 fluye del punto E al punto C, a través de R2, porque V2 produce electrones que fluyen en ese sentido. Sin embargo, la otra fuente de voltaje, V1, produce electrones que fluyen a través de R2, en la dirección opuesta, del punto C al E. La respuesta I2 = −1 A significa que la corriente a través de R2 producida por V1 es mayor que la corriente producida por V2. El resultado neto es 1 ampere fluyendo en R2 de C a E.

La figura 1.5 muestra todos los voltajes y las corrientes del circuito de la figura 1.4, incluyendo el sentido correcto del flujo de corriente de I2 y la polaridad correcta en VR2, opuesta a la que se asumió previamente, ya que el flujo neto de corriente en R2 va del punto C al punto E. Sin embargo, la polaridad de V2 es la misma en ambas figuras porque es una fuente de voltaje que genera su propia polaridad.

Para calcular I3 tenemos:

I3 = I1 + I2 = 5 + (−1)I3 = 4 A

El resultado de 4 A de I3 indica que el sentido del flujo de corriente del punto C al D, que se asumió inicialmente, es correcto.

8 Aun cuando las reglas para tratar con números negativos se pusieron de manifiesto en el siglo vii, por el matemático y astrónomo indio Brah-magupta (598-668), en aquella época se considero a los números negativos como oscuros, absurdos o imaginarios. No fue sino hasta inicios del siglo xix, cuando los matemáticos empezaron a trabajar en el álgebra y en la “lógica” de la aritmética, que se empezó a esclarecer la definición de los números negativos, de las cantidades imaginarias y de la naturaleza de sus operaciones. Una referencia más antigua que la de Brahmagup-ta se encontró en China (1200 a.C.), con propósitos comerciales, donde a los números negativos se les asignaba un significado del mundo real. Una cantidad de dinero donde algo se vendía era positiva, debido a que se recibía dinero, y una cantidad gastada en algo era negativa porque se pagaba; esto es, balance y déficit, fortuna y deuda. Hoy en día estos números forman parte de modelos matemáticos del mundo f ísico de la ciencia, la ingeniería y las finanzas; sus aplicaciones se encuentran dondequiera que se use un marco o punto de referencia, como en los sistemas de coordenadas.

Figura 1.5 Solución del circuito de la figura 1.4, incluyendo todos sus voltajes y corrientes.

A

R1 = 12 ΩVR1

= 60 V

V1 84 V

B

I1 = 5 A

VR3 = 24 V R3 = 6 Ω

R2 = 3 ΩVR2

= 3 V

21 V V2

C

D

E

F

I2 = 1 AI3 = 4 A




Una vez que se conocen todas las corrientes, la caída de voltaje en cada resistencia se puede obtener de la siguien-te manera:

VR1 = I1R1 = 5 × 12 = 60 VVR2 = I2R2 = 1 × 3 = 3 VVR3 = I3R3 = 4 × 6 = 24 V

Para calcular estos voltajes se toman todas las corrientes como positivas, con el sentido del flujo de corriente correcto. La polaridad de cada caída IR se obtiene considerando el sentido de la corriente. Se puede observar en el lazo derecho que VR3 y VR2 tienen polaridades opuestas, por lo que la suma de +3 V y −24 V produce un voltaje de −21 V, que co-rresponde al voltaje de V2.

Para comprobar las respuestas, se puede verificar si se satisfacen las leyes de Kirchhoff para corrientes y voltajes. Por tanto, si se usa la LKI tenemos:

En el punto C: 5 A = 4 A + 1 AEn el punto D: 4 A + 1 A = 5 A

Al usar la LKV en el lazo de V1, con sentido horario, a partir del punto B, tenemos:

84 V − 60 V − 24 V = 0

Usando la LKV en el lazo de V2, con sentido antihorario, a partir del punto F, tenemos:

21 V + 3 V − 24 V = 0

Es importante hacer notar que este circuito se resolvió usando únicamente las leyes de Kirchhoff, sin utilizar las reglas de circuitos en serie y en paralelo. Por lo que podemos concluir que cualquier circuito puede resolverse aplicando la LKV alrededor de cualquier lazo, y la LKI para cualquier punto o nodo.

En resumen, en este método las incógnitas son las corrientes en las ramas del circuito. Dichas corrientes se usan para especificar las caídas de voltaje en los lazos y, posteriormente, se escriben las ecuaciones de los lazos que satisfa-gan la LKV. Al resolver estas ecuaciones de lazo se pueden calcular las corrientes en cada rama del circuito.

Método de análisis de voltaje de nodo

Otro método para resolver el circuito consiste en usar las caídas de voltaje para especificar las corrientes en un punto de las ramificaciones o nodo. En este caso, las ecuaciones de las corrientes se escriben para satisfacer la LKI. Al resol-ver las ecuaciones de nodo, es posible calcular los voltajes de nodo, que son las incógnitas en este caso. Por lo general, el análisis de voltajes de nodo es más corto que el método de las corrientes en las ramas.

Recuérdese que un nodo es simplemente una conexión común de dos o más componentes en un circuito. Sin embargo, un nodo principal se define como un nodo con tres o más conexiones, donde las corrientes se pueden divi-dir o combinar. Por tanto, las ecuaciones de corrientes se escriben en los nodos principales. La figura 1.6 muestra los puntos N y G como los nodos principales del circuito anterior.

No obstante, es importante hacer notar que un nodo debe ser la referencia para especificar el voltaje en cualquier otro nodo. En la figura 1.6 se puede observar que este nodo de referencia es el nodo G, el cual se conecta a la tierra del chasis o GND. Por tanto, sólo se requiere una ecuación de corriente para el nodo N. Como regla general, el número de ecuaciones de corriente requeridas para resolver el circuito es menor que el número de nodos principales.

La incógnita a encontrar en este circuito es el voltaje de nodo, VN, entre los puntos N y G. Una vez que se obtiene este voltaje, se pueden determinar todos los voltajes y las corrientes del circuito. Las corrientes que entran y salen del nodo N se especifican como: I1, la cual es la corriente que pasa por R1; por tanto, I1 = VR1/R1. De manera similar, I2 = VR2/R2 e I3 = VR3/R3. Aquí podemos notar que VR3 es el voltaje del nodo N que queremos obtener. Por esto, se puede calcular I3 como I3 = VN/R3. La ecuación de corrientes en el nodo N es:




I1 + I2 = I3 o VR1/12 + VR2/3 = VN/6

De esta ecuación, se puede observar que se tienen tres incógnitas, sin embargo VR1 y VR2 se pueden especificar en términos de VN y los valores conocidos de V1 y V2 aplicando la LKV; entonces, para el lazo donde se encuentra V1 de 84 V, tenemos:

VR1 + VN = 84 → VR1 = 84 − VN

En tanto, para el lazo de V2 de 21 V, tenemos:

VR2 + VN = 21 → VR2 = 21 − VN

Sustituimos estos valores de VR1 y VR2 en la ecuación de corrientes:

I1 + I2 = I3VR1/R1 + VR2/R2 = VR3/R3

Usando cada valor de voltaje en términos de VN:

(84 − VN)/12 + (21 − VN)/3 = VN/6

Esta ecuación sólo tiene una incógnita, VN; para eliminar las fracciones multiplicamos por el término más grande del denominador, en este caso 12.

(84 − VN) + 4(21 − VN) = 2VN 84 − VN + 84 − 4VN = 2VN −7VN = −168 VN = 24

El valor obtenido para VN de 24 V es el mismo que se consiguió mediante el método del cálculo de corrientes en las ramas. El resultado positivo de VN significa que la dirección de la corriente I3 es la correcta y que VN es negativo res-pecto de VG.

El objetivo de encontrar el voltaje en el nodo N, en lugar de cualquier otro voltaje en el circuito, es el hecho de que el voltaje de nodo debe ser común a dos lazos. Como resultado, el voltaje de nodo VN puede usarse para calcular todos los voltajes de los lazos. En la figura 1.7 se puede observar que si VN es 24 V, entonces, usando la LKV para obtener el voltaje en VR1, tenemos que 84 V − VR1 − 24 V = 0; por tanto, VR1 es 84 V − 24 V = 60 V. Asimismo, la corriente I1 es

Figura 1.6 Método de análisis de voltaje de nodo para el circuito de la figura 1.5.

R1 = 12 ΩVR1

= 60 V

V1 84 V

I1 = 5 A

I3 = VN/R3 R3 = 6 Ω

R2 = 3 ΩVR2

= 3 V

21 V V2

N

GND

I3 = 4 A

I1 = VR1/R1 I2 = VR2/R2

G

I1 + I2 = I3




60 V/12 Ω = 5 A. De igual manera, para encontrar el voltaje en R2, VR2, éste debe ser 21 V − VR2 − 24 V = 0, por esto VR2 es 21 V − 24 V = −3 V. La respuesta negativa significa que el sentido de la corriente I2 es opuesta a la que se asumió previamente, y que la polaridad en VR2 tiene los signos de forma inversa en R2, a como se asumió inicialmente en la figura 1.6. La magnitud de la corriente I3 es 3 V/3 Ω, la cual es igual a 1 A.

Método de corrientes de mallas

Antes de emplear este método, primero definiremos qué es una malla. Una malla es la trayectoria cerrada más simple posible en un circuito. La figura 1.7, por ejemplo, tiene dos mallas: ACDB y CEFD. La trayectoria cerrada exterior ACEFDBA es un lazo, pero no es una malla, ya que no es la trayectoria más simple. Una malla se considera como una ventana única, donde sólo existe una trayectoria, sin ninguna ramificación. Por tanto, se asume que la corriente de ma-lla fluye alrededor de la malla sin dividirse.

En el circuito que se ilustra en la figura 1.7 es posible observar que la corriente de malla IA fluye a través de V1, R1 y R3; por su parte, la corriente de malla IB fluye a través de R3, R2 y V2. Cualquier resistencia común a ambas mallas, como en este caso R3, presenta dos corrientes de malla; en éste son IA e IB.

El hecho de que la corriente de malla no se divide en ningún nodo del circuito es la principal diferencia entre el método de corrientes de malla y el método de corrientes en las ramificaciones. Una corriente de malla es una corrien-te que se asume, mientras que una corriente en las ramificaciones es la corriente real del circuito. No obstante, cuando las corrientes de malla se conocen se pueden determinar todas las corrientes y los voltajes del circuito.

Al resolver el circuito que se presenta en la figura 1.7, que es el mismo que se ha usado en los métodos anteriores, se asumen las corrientes de malla IA e IB. Las ecuaciones de malla para estas corrientes son:

En la malla A 18IA − 6IB = 84 VEn la malla B −6IA + 9IB = −21 V

Figura 1.7 Circuito de la figura 1.4 analizado como dos mallas, A y B, y dos corrientes IA e IB.

VR1

V184 V R3 = 6 Ω

VR2

21 VV2

C

D

I3 = 4 AR1 = 12 Ω

G

A

B

E

F

Malla AIA

VR3

18IA – 6IB = 84 V

Malla BIB

–6IA + 9IB = –21 V

En este método, el número de mallas es igual al número de corrientes de malla, el cual también es el número de ecuaciones requeridas. En el citado ejemplo se requieren dos ecuaciones para las corrientes de IA e IB de las dos mallas identificadas. Además, se supone el mismo sentido de las corrientes en las mallas, por lo general horario, como se muestra en la figura 1.7. En cada ecuación de malla se utiliza la LKV, ya que la suma algebraica de las caídas de volta-je es igual al voltaje aplicado. Las caídas de voltaje se suman yendo en sentido de la corriente de la malla; por tanto, se consideran positivas. Debido a esto, todas las caídas de voltaje se pueden agrupar y tomar como una sola caída de voltaje sumando todas las resistencias de la malla. Por ejemplo, en la malla A de la primera ecuación, la resistencia total es 12 + 6, igual a 18 Ω. Por consiguiente, la caída de voltaje de esta malla sería 18IA. Para la malla B, la resistencia total sería 6 + 3, igual a 9 Ω, y la caída de voltaje total sería 9IB. Se puede considerar una resistencia total RT y sumar las resistencias en serie debido a que se asumió una corriente de malla única.




Sin embargo, cualquier resistencia común a las dos mallas tiene corrientes con sentidos opuestos. En este caso, la resistencia es R3 y la corriente IB va hacia arriba y la corriente IA va hacia abajo. Como resultado de esto, la resisten-cia R3 tiene dos caídas de voltaje con polaridad opuesta, es decir, un voltaje positivo y uno negativo. La resistencia mutua o común de 6 Ω tiene un voltaje de 6IA y −6IB. En la malla A, la caída de voltaje 6IA de R3 más los 12IA de R1 resultan en una caída de voltaje de 18IA; ahora, considerando la caída de voltaje de polaridad opuesta −6IB, tenemos la ecuación de la malla A, 18IA − 6IB = 84 V. Lo mismo aplica para la malla B; sin embargo, ahora el voltaje 6IB es positi-vo, porque la ecuación es para la malla B. En este caso, el voltaje −6IA es negativo porque la corriente IA es de la malla adyacente. La caída de voltaje 6IB de R3 se suma a la caída de voltaje 3IB de R2, lo cual resulta en una caída de voltaje total de 9IB. Considerando la caída de voltaje de polaridad opuesta de la malla contigua −6IA, la ecuación para la malla B es 9IB − 6IA = −21 V.

El signo algebraico de la fuente de voltaje en una malla depende de su polaridad. Cuando se asume que la corrien-te de malla fluye hacia la terminal positiva, como en la malla B, la fuente de voltaje se considera positiva en el lado derecho de la ecuación, como es el caso de V1. La dirección de este flujo de corriente produce caídas de voltaje que se deben sumar para igualar el voltaje aplicado. Cuando la corriente de malla fluye hacia la terminal negativa, como es para la fuente V2, a la fuente se le considera negativa. Ésta es la razón por la que V2 es −21 V para la malla B. En reali-dad, V2 actúa como una carga para la fuente V1, en vez de ser una fuente. En el caso de que una malla no tenga ningu-na fuente de voltaje, la suma algebraica de las caídas de voltaje debe ser igual a cero.

El sentido del flujo de corriente que se asume inicialmente, se usa para determinar las caídas de voltaje de las mallas. Debemos observar que considerando una fuente de voltaje con un valor positivo, con los electrones fluyendo hacia la terminal positiva, corresponde al flujo normal de la carga de los electrones. Si la solución para una corriente de malla resulta negativa, el sentido real del flujo de corriente debe ser opuesta a la asumida.

Para resolver las ecuaciones de malla, con el fin de encontrar las corrientes de malla IA e IB, usamos las ecuaciones previamente descritas:

En la malla A 18IA − 6IB = 84 VEn la malla B −6IA + 9IB = −21 V

Estas ecuaciones tienen los mismos coeficientes que las encontradas para el método de corrientes de ramas; sin em-bargo, los signos son diferentes, porque las direcciones de las corrientes no son las mismas. La solución es la misma por cualquiera de los dos métodos, pero se tiene que ser consistente con los signos, para eso se deben usar las reglas para las mallas, con sus corrientes de mallas, o bien la regla de los lazos, con sus corrientes de ramas.

Al resolver las ecuaciones de malla, para eliminar IB y encontrar IA, se divide la ecuación de la malla A entre 2 y la ecuación de la malla B entre 3:

9IA − 3IB = 42 V2IA + 3IB = −7 V

En seguida se suman las ecuaciones, término a término, para eliminar IB; entonces, tenemos:

7IA = 35 V → IA= 5 A

Para obtener IB, se sustituye el valor de IA en la ecuación de la malla B:

−2(5 A) + 3IB = −7 V3IB = −7 V + 10 V → IB= 1 A

Las respuestas positivas de IA e IB significan que el flujo de corriente es, en realidad, en sentido horario, como se asu-mió previamente.

Las caídas de voltaje en las resistencias del circuito de la figura 1.7 se obtienen con base en las corrientes de malla obtenidas. Para la resistencia R1, la corriente I1 es igual a la corriente asumida IA; por tanto, VR1 es 5 × 12 = 60 V, y su polaridad está marcada como negativa en el extremo de R1, que toca la fuente V1, con el flujo de electrones entrando en ese lado.




De manera similar, la corriente IB, de 1 A, es la única corriente que fluye por R2. El sentido del flujo de electrones va de izquierda a derecha, en sentido horario; en consecuencia, VR2 es 3 × 1 = 3 V, con el lado izquierdo de la resisten-cia negativo.

Para la resistencia común R3, la corriente I3 está compuesta de IA e IB. Por tanto, I3 es la suma algebraica de 5 A − 1 A = 4 A. Se puede observar que las corrientes se restan porque sus flujos son de dirección opuesta. La dirección del flujo de corriente es hacia abajo, debido a que la corriente IA es mayor que IB. Por esta razón, la caída de voltaje VR3 es 4 × 6 = 24 V, con el extremo superior de R3 negativo.

Aun cuando el método de mallas es diferente al método de las corrientes de ramas, el resultado es el mismo. La ventaja del método de corrientes de mallas es la trayectoria algebraica de signos para determinar la polaridad de los voltajes, la cual no requiere de rastrear las corrientes en sus ramas.9

Teoremas de redes o circuiTos eLécTricos

Un circuito eléctrico, también conocido como red eléctrica o simplemente red, es una combinación de componentes interconectados, como resistencias y fuentes de voltaje, para alcanzar un resultado particular. Por lo general, las re-des eléctricas requieren, para su análisis, reglas adicionales a los circuitos serie y paralelo, como las leyes de Kirchhoff que se estudian en la sección anterior. Sin embargo, los teoremas de redes, aunque son derivados de las leyes de Kir-chhoff, por lo común proveen métodos más cortos o sencillos para resolver circuitos de este tipo. Algunos teoremas posibilitan la conversión de una red o circuito complejo a un circuito más simple o equivalente al original; en conse-cuencia, el circuito equivalente se puede resolver usando las reglas de los circuitos serie y paralelo. Otros teoremas posibilitan la conversión de un circuito a otra forma más fácil de resolver. En este apartado nos centramos en los teoremas de superposición de Thévenin y de Norton, respectivamente. Aunque, por simplicidad, los ejemplos ex-puestos sólo muestran redes de resistencias y fuentes de voltaje, como baterías, los teoremas también pueden apli-carse a redes de CA.

Teorema de superposición

El teorema de superposición es de gran utilidad debido a que extiende el uso de la ley de Ohm a circuitos que tienen más de una fuente. El teorema de superposición se enuncia de la siguiente manera: “en una red con dos o más fuentes, la corriente o el voltaje para cada componente es la suma algebraica de los efectos producidos por cada fuente operan-do de forma separada”. En pocas palabras, podemos calcular el efecto de cada fuente por separado y después superpo-ner o sobreponer los resultados de todas las fuentes.

Para usar una fuente a la vez, todas las otras fuentes son canceladas temporalmente. Una fuente cancelada indica que no puede generar voltaje o corriente, además de que no cambia la resistencia del circuito. Una fuente de voltaje, como el caso de una batería, es eliminada considerando un corto circuito entre sus terminales, a través de su diferencia de potencial, aunque su resistencia interna puede permanecer. Para el caso de una fuente de corriente, ésta es elimi-nada considerándose un circuito abierto.

La figura 1.8a) muestra un circuito divisor de voltaje con dos fuentes de voltaje V1 y V2, para el cual se requiere encontrar el voltaje del punto P a la tierra chasis del circuito.

Con el teorema de superposición se calcula el voltaje en el punto P, proporcionado por cada fuente de manera independiente. Considerando la fuente V1, se cancela V2, poniéndola en corto circuito, como se ilustra en la figura 1.8b); por tanto, R1 se conecta a la tierra del circuito. Como resultado, se forma un divisor de voltaje con R2 y R1, te-niendo como fuente V1. Si empleamos la fórmula del divisor de voltaje tenemos:

VR1 = V1R1/(R1 + R2) = (24 V) (60 kΩ)/(30 kΩ + 60 kΩ) VR1 = 16 V

9 Otra vez, como el resultado es el mismo utilizando cualquiera de los métodos descritos, siempre recomiendo a mis alumnos que memoricen cuando menos uno de ellos.




Ahora, para observar el efecto de V2, se pone en corto circuito V1, como se muestra en la figura 1.8 c). El punto A se aterriza y se forma el divisor de voltaje considerando V2. Usando la misma fórmula tenemos:

VR2 = V2R2/(R1 + R2) = (−9 V) (30 kΩ)/(30 kΩ + 60 kΩ) VR2 = −3 V

Por último, el voltaje total en P, VP, es la suma algebraica de las dos fuentes de voltaje V1 y V2:

VP = VR1 + VR2 = 16 V − 3 V = 13 V

El resultado final es positivo porque la fuente V1 es positiva y mayor que VR2. Por tanto, se puede observar que el pro-blema se redujo a dos divisores de voltaje al usar el teorema de superposición. El mismo teorema se puede usar con más fuentes, ya sean de voltaje o de corriente.10 En este ejemplo, las fuentes de voltaje se consideran ideales, esto es, su resistencia interna es cero. Sin embargo, si la fuente de voltaje tiene resistencia interna, simplemente se deberá su-mar en serie con R1 y R2.

Para aplicar el teorema de superposición, todos los componentes tienen que ser lineales y bilaterales. Por lineal se entiende que la corriente es proporcional al voltaje aplicado, por lo que las corrientes calculadas para cada fuente de voltaje pueden ser superpuestas. Por bilateral se entiende que la cantidad de corriente calculada es la misma para fuentes de voltaje de polaridades opuestas; en consecuencia, los valores obtenidos de corrientes para fuentes de volta-je de polaridad opuesta pueden ser sumados algebraicamente.11

Teorema de Thévenin

Otro teorema importante, por mucho el más usado, para resolver circuitos eléctricos, es el teorema de Thévenin.12 Dicho teorema es muy útil porque permite simplificar el proceso usado para obtener los valores de corrientes y volta-

10 La ventaja del teorema de superposición es que para resolver un circuito y obtener sus voltajes y corrientes, no se requiere el uso de ecuaciones simultáneas, determinantes o cualquier otra técnica matemática.

11 Los circuitos con resistencias, capacitancias e inductancias, por lo general, son componentes lineales y bilaterales. A estos componentes también se les llama pasivos, debido a que por sí solos no amplifican ni rectifican. Los componentes activos, como diodos y transistores, nunca son bila-terales y, con frecuencia, no son lineales.

12 El teorema del generador, o teorema de Thévenin, lleva ese nombre en honor del ingeniero francés Léon-Charles Thévenin (1857-1926), quien lo propuso en 1883, aunque en realidad Hermann Von Helmholtz lo propuso en un artículo 30 años antes. Thévenin es recordado por este

Figura 1.8 Teorema de superposición aplicado a un circuito divisor de voltaje con dos fuentes independientes: a) voltaje del punto P a tierra de 13 V; b) considerando el voltaje V1 ; c) considerando el voltaje V2.

V1 = +24 VA

R2 = 30 kΩ

P

+13 V

R1 = 60 kΩ

V2 = –9 V

B

A

B

A

B

V1 = +24 V

a)

R2 = 30 kΩ R2 = 30 kΩ

P

+16 V

R1 = 60 kΩ R1 = 60 kΩ

P

–3 V

V2 = –9 V

b) c)




jes de un circuito eléctrico. Con este teorema, muchas fuentes y componentes, no importa cómo están interconecta-dos, pueden ser representados por un circuito en serie equivalente, compuesto por dos terminales o conexiones a un circuito o red. Básicamente, el circuito equivalente reduce cualquier circuito a un divisor de voltaje, el cual, como ya sabemos, es sencillo resolver. De manera formal, el teorema de Thévenin enuncia que cualquier circuito lineal activo con terminales A y B puede ser reemplazado por una fuente de voltaje VTH en serie con una resistencia RTH conectada a estas terminales. La figura 1.9 ilustra este enunciado.

La regla más importante para aplicar el teorema de Thévenin a un circuito es eliminar o poner a cero las fuentes, esto es: todas las fuentes13 de voltaje se ponen en corto y todas las fuentes de corriente se mantienen como un circuito abierto. Una vez que todas las fuentes de voltaje se ponen en corto y las de corriente en circuito abierto, todos los componentes del circuito se reducen a arreglos serie o paralelo.

En este caso, VTH es el voltaje de circuito abierto de las terminales A y B. Dicho voltaje representa el voltaje en las terminales A y B que el circuito produce cuando no se tiene carga, es decir, con circuito abierto. De la misma manera, RTH es la resistencia de circuito abierto a través de las terminales A y B, con todas las fuentes a cero. Esto significa que la resistencia se encuentra viendo hacia el circuito desde las terminales A y B.

Como ejemplo obsérvese el circuito de la figura 1.10a), donde queremos encontrar el voltaje VL a través de la re-sistencia de carga RL, de 2 Ω, y su corriente IL. Usando el teorema de Thévenin, se desconecta mentalmente la carga RL, de tal forma que obtenemos las terminales A y B, viendo al circuito. Ahora, con el resto del circuito se encuentra el VTH en las terminales A y B, mediante el divisor de voltaje, en el cual se convirtió el circuito sin carga. Por tanto, como se muestra en la figura 1.10b), podemos calcular VTH como:

VTH = VAB = VR2 = 36 V(6 Ω)/9 Ω = 24 V

Para encontrar RTH, la fuente de voltaje se pone en cortocircuito, de tal forma que R1 y R2 quedan en paralelo, obtenién-dose una RTH igual a 2 Ω, como se muestra en la figura 1.10c).14

El circuito equivalente de Thévenin consiste en la fuente de voltaje VTH en serie con RTH, como se expone en la figura 1.10d). Para encontrar VL e IL, finalmente conectamos la resistencia de carga RL al circuito equivalente de Thé-venin, como se observa en la figura 1.10e). Usando el divisor de voltaje, tenemos que: VL = 24 V(2 Ω)/4 Ω = 12 V. Para encontrar IL, usamos la conocida ley de Ohm, VL/RL; esto es: 12 V/2 Ω = 6 A. Es importante hacer notar que IL también fluye a través de RTH, por lo que también se puede obtener IL como VTH/(RTH + RL), 24 V/4 Ω = 6 A.

En el circuito de la figura 1.10a) es posible obtener la misma respuesta usando circuitos serie-paralelo y la ley de Ohm; sin embargo, la ventaja de usar el teorema de Thévenin es que se puede calcular con mayor facilidad el efecto de diferentes valores de RL. Por ejemplo, si RL cambia a 6 Ω, usando el circuito equivalente de Thévenin podemos

teorema y por su gusto por la enseñanza. Este teorema es tan popular en el análisis de circuitos eléctricos que en inglés lo usan como verbo: “thevenize”.

13 Por fuente de voltaje se entiende un dispositivo que mantiene el voltaje aun cuando la carga varía; de manera semejante, una fuente de corriente mantiene la corriente a pesar de que la carga cambia.

14 Para obtener el paralelo de sólo dos resistencias se usa la fórmula más simple de multiplicar-dividir, esto es (R1)(R2)/(R1 + R2), lo cual es más fácil de calcular que 1/R1 + 1/R2.

Figura 1.9 Cualquier circuito o red eléctrica puede ser reducido a un circuito serie equivalente de Thévenin, formado por un voltaje y una resistencia en serie.

Red

RTH

VTH

A

B

A

B




obtener VL como 24 V(6 Ω)/8 Ω igual a 18 V. IL sería 18 V/6 Ω igual a 3 A. En cambio, si usamos la ley de Ohm en el circuito original, se requeriría una nueva solución cada vez que cambiemos RL.

Con el fin de utilizar el teorema de Thévenin en un circuito con dos fuentes, seleccionamos el circuito de la figu-ra 1.7, resuelto previamente usando las leyes de Kirchhoff. En este caso, se requiere obtener la corriente I3 que fluye por la resistencia R3, por lo que las terminales A y B se marcan a través de la resistencia R3. Por consiguiente, se desco-necta R3 del circuito, como se muestra en la figura 1.11, para calcular VTH o VAB en las terminales abiertas.

Para resolver este circuito, primero usamos el concepto de superposición con el propósito de encontrar el voltaje VAB, producido por cada fuente de manera independiente, y después se suman algebraicamente los dos resultados, para tener el efecto completo de ambas fuentes y obtener VTH. Para encontrar RTH, simplemente se ponen en corto circuito ambas fuentes, teniendo dos resistencias en paralelo R2 y R1. Una vez teniendo VTH y RTH, se puede calcular I3 usando la ley de Ohm. La solución de este circuito se deja para la sección de problemas.

Figura 1.10 Aplicación del teorema de Thévenin a un circuito con una fuente de voltaje.

Figura 1.11 Teorema de Thévenin aplicado a un circuito con dos fuentes de voltaje.

21 V

R1 = 12 ohms R2 = 3 ohms

84 V

R3 = 6 ohms

A

B

El teorema de Thévenin es muy útil para visualizar la impedancia de salida de los circuitos. Por lo general, pensa-mos en términos de los componentes que se conectan a la entrada, pero usando el teorema de Thévenin, específi-camente RTH, nos permite saber qué está viendo la salida. Supóngase que se tiene un divisor de tensión para bajar un voltaje de entrada de 0-100 V a un voltaje de 0 a 5 V. El voltaje de entrada también tiene un componente de CA que debe ser filtrado por medio del capacitor, como se muestra en la figura 1.12. La pregunta es: ¿cuál es la constante de tiempo RC del circuito?


V = 36 V

R1 = 3 ΩA

R2 = 6 Ω

B

R L = 2 Ω

a)

V = 36 V

R1 = 3 ΩA

R2 = 6 Ω

B

VAB = 24 V Corto-circuito V

R2 = 6 Ω

RAB = 2 Ω

A

B

R1 = 3 Ω

b) c)

RTH = 2 Ω

VTH = 24 V

RTH = 2 Ω

VTH = 24 V

RL = 2 Ω

VL = 12 V

A

B

d) e)

A

B



Si la respuesta inicial es 500 K multiplicado por 0.1 µF, entonces no hemos entendido el teorema de Thévenin. Ahora, si tratamos de imaginar qué ve el capacitor usando las reglas del teorema de Thévenin, observamos que al poner en corto circuito la fuente VENT, el capacitor ve dos resistencias en paralelo, como lo muestra la figura 1.13.

Al aplicar la regla de los circuitos paralelos, resulta que la resistencia que se conecta al capacitor es de 9.8 kΩ, la cual dista mucho de los 500 kΩ, que se asumió inicialmente.

VENT

500 K

10 K

VSAL

0.1 µF

Figura 1.12 Circuito divisor de voltaje.

Figura 1.13 Circuito equivalente de Thévenin para el circuito divisor de voltaje de la figura 1.12.

0.1 µf

Viendo hacia atrás, el capacitor “ve” dos resistencias en paralelo

500 K 10 K

Teorema de Norton

Una fuente de energía eléctrica que suministra voltaje, como en el caso de una batería en circuitos de CD, con frecuen-cia se muestra con una resistencia en serie que representa la resistencia interna de la fuente, como se representa en la figura 1.14a). Sin embargo, la fuente también puede ser representada por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia, como se muestra en la figura 1.14b). Cuando no se conecta ninguna resistencia de carga, la corriente de la fuente pasa a través de la resistencia R, conectada en paralelo con la fuente de corriente. Al conectar la RL, la corriente se divide; para ramas en paralelo, la corriente se divide inversamente al valor de la resistencia en las ramas del circuito, pero se divide directamente con las conductancias. Por tanto, algunas veces es deseable considerar la fuente de co-rriente en paralelo con la conductancia,15 como se muestra en la figura 1.14c).

Cuando la intención en un circuito eléctrico es analizar ramas en paralelo, el concepto de fuente de corriente puede ser más útil que el concepto de fuente de voltaje. En este contexto, hace su aparición el teorema de Norton. Este teorema se usa para simplificar circuitos o redes eléctricas en términos de corrientes en vez de voltajes.16 El teorema

15 La conductancia eléctrica, G, es el inverso de la resistencia eléctrica R; así pues, siempre es posible cambiar de 1/R en ohms a G en siemens, o viceversa.

16 El teorema de Norton recibe su nombre en honor de Edward Lawry Norton (1898-1983), ingeniero y científico estadounidense, quien durante muchos años trabajó en los Laboratorios Bell, entidad responsable de enunciar dicho teorema. Norton se inició como operador de radio en la Marina; luego trabajó para la Western Electric Corporation, en Nueva York, que posteriormente se convirtió en los Laboratorios Bell. Tiempo después, Norton obtuvo su maestría en ingeniería eléctrica. Aunque no fue muy prolífero escribiendo artículos científicos, ya que en toda su carrera sólo escribió tres, sí registró 18 patentes y escribió 92 memorandos técnicos, en uno de los cuales enuncia su teorema. E. L. Norton




de Norton establece que cualquier circuito lineal activo con terminales de salida A y B puede sustituirse por un circui-to compuesto por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia, como se muestra en la figura 1.15.

El símbolo para una fuente de corriente es un círculo con una flecha dentro. El sentido de la flecha indica el sen-tido de la corriente. Es importante hacer notar que el sentido debe ser el mismo que el producido por la polaridad de una fuente de voltaje.17

El valor de IN es igual a la corriente producida cuando las terminales A y B se ponen en corto circuito. El valor de RN se obtiene viendo hacia la resistencia, R, desde las terminales A y B. Las terminales se encuentran abiertas, como en el caso de RTH. Para encontrar la resistencia de la fuente, la fuente de corriente se abre y cuando es una fuente de voltaje, la fuente se pone en corto circuito. De hecho, la resistencia es la misma para los circuitos equivalentes de Nor-ton y Thévenin. Para el circuito equivalente de Norton, esta resistencia se conecta en paralelo a la fuente de corriente, mientras que para el circuito equivalente de Thévenin, ésta se conecta en serie con la fuente de voltaje.

Como ejemplo, vamos a recalcular la corriente IL del circuito de la figura 1.10a), que se resolvió usando el teorema de Thévenin.

El primer paso para aplicar el teorema de Norton es imaginar un cortocircuito entre las terminales A y B, como se ilustra en la figura 1.16b). Lo anterior pone en cortocircuito RL y R2, pero no R1. Así, la corriente de cortocircuito es IN = 36 V/3 Ω, igual a 12 A. De esta forma, IN es la máxima corriente disponible de la fuente de corriente del circuito equivalente de Norton, como se muestra en la figura 1.16e). Enseguida, la fuente de voltaje se pone en cortocircui-to, como se muestra en la figura 1.16d), quedando dos resistencias en paralelo, R1 y R2, las cuales conforman la resis-tencia RN. En este caso, RN es el paralelo de 6 Ω y 3Ω igual a 2 Ω, como se ilustra en la figura 1.16d). Por tanto, el circuito equivalente de Norton consiste en una fuente de corriente de 12 A y una resistencia de Norton de 2 Ω, como se observa en la figura 1.16e). La dirección de la flecha en fuente de corriente indica la dirección del flujo de electrones, que van de la terminal B a la terminal A, como en el circuito original.

nunca publicó o mencionó el teorema que lleva su nombre en ninguno de sus artículos o patentes, por lo que apareció poco bajo los reflectores, pero su ingenio e intuición lo hicieron una figura legendaria.

17 Recuérdese que una fuente produce flujo de electrones que salen de la terminal negativa.

Figura 1.14 Fuentes de voltaje y de corriente conectadas a una carga RL en las terminales A y B.

Fuente Carga

A

RL

B

R

b)

I

Fuente Carga

A

GL

B

G

c)

I

Fuente Carga

RA

B

RL

a)

Figura 1.15 Cualquier circuito o red eléctrica puede ser reducido a un circuito paralelo equivalente de Norton, formado por una fuente de corriente y una resistencia en paralelo.

Red

A

B

RN

A

B

IN




Por último, para calcular IL, la resistencia de carga RL se conecta en los puntos A y B del circuito equivalente de Norton. La fuente de corriente sigue proporcionando los 12 A, pero ahora la corriente se divide entre las dos resisten-cias RN y RL. En este caso, las dos resistencias tienen el mismo valor: 2 Ω; de esta forma, la corriente se divide en 6 A para cada rama. Por tanto, IL es 6 A, que es el mismo resultado como cuando se usó el teorema de Thévenin. VL puede calcularse como ILRL o 6 A × 2 Ω, lo cual es igual a 12 V.

No obstante, en algunos circuitos puede ser un poco dif ícil visualizar cuál es la corriente IN. Por ejemplo, cuando una resistencia queda en serie con el corto circuito aplicado a las terminales A y B, como se muestra en la figura 1.17a); en este caso, el corto circuito conecta R3 a través de R2, y la corriente de corto circuito IN es la misma corriente I3 que pasa por R3, en tanto que I3 es una de las corrientes de las ramas del circuito.

Por lo consiguiente, para obtener IN calculamos I3 por medio de la ley de Ohm. El paralelo de R3 y R2 es igual a 4 Ω; entonces, la resistencia total sería 4 Ω + 4 Ω = 8 Ω. Como resultado, la corriente total sería IT = 48 V/8 Ω = 6 A. Esta corriente de 6 A se divide en 4 A para R2 y 2 A para R3. La corriente de 2 A es I3, la cual fluye por R3 y las terminales en corto circuito A y B. En consecuencia, la corriente IN es de 2 A.

Para obtener RN, se sigue el mismo procedimiento de eliminar o poner a cero la fuente de voltaje, como se muestra en la figura 1.17 b). De esta forma, R1 y R2 quedan en paralelo y producen una resistencia de 2.4 Ω, que al conectarse en serie con R3, dan como resultado la resistencia RAB o RN, que en este caso es de 14.4 Ω. Con estos valores se obtiene el circuito equivalente de Norton, como se muestra en la figura 1.17c). Aquí hay que hacer notar que la corriente IN es la corriente de corto circuito y que ésta puede ser una corriente de una de las ramas.

Figura 1.16 Circuito de la figura 1.10 resuelto usando el teorema de Norton.

V = 36 V

R1 = 3 ΩA

R2 = 6 Ω

B

R L = 2 Ω

a)

V = 36 V

R1 = 3 ΩA

R2 = 6 Ω

B

R L = 2 Ω

b)

Corto-circuito

V = 36 V

R1 = 3 ΩA

B

IN = 12 A

c)

R1 = 3 ΩA

B

R2 = 6 Ω

RAB = 2 Ω

IN = 12 A

R2 = 6 Ω

A

Bd) e)

IN = 12 A

R2 = 6 Ω

A

B

6A 6 A

RN = 2 Ω

f)

Figura 1.17 Circuito equivalente de Norton, cuando la corriente IN es una corriente de una rama.

V = 48 V

R1 = 4 Ω A

R2 = 6 Ω

B

2A

a)

R3 = 12 Ω

4A6A

R2 = 6 Ω

R2 = 4 Ω R3 = 12 Ω A

B

RAB = 14.4 Ω

b)

A

B

IN = 2 A

RN = 14.4 Ω

c)




Conversión Thévenin-Norton

El teorema de Thévenin dice que un circuito eléctrico lineal puede representarse por una fuente de voltaje y una resis-tencia en serie. Por su parte, el teorema de Norton dice que el mismo circuito puede representarse por una fuente de corriente y una resistencia en paralelo. Por tanto, suena posible convertir un circuito equivalente directamente de una forma a otra y viceversa, como se muestra en la figura 1.18.

En la figura 1.18 se puede observar que la resistencia equivalente en los teoremas de Thévenin y de Norton es la misma, ya que esta resistencia se obtiene viendo hacia las terminales A y B, una vez que se han eliminado las fuentes. En el caso del circuito equivalente de Thévenin, la fuente de voltaje se pone en corto circuito, mientras que para el caso de la fuente de corriente ésta se considera como circuito abierto. Por tanto, si se tiene un circuito equivalente se puede convertir a su contraparte utilizando la ley de Ohm. En resumen, se puede establecer que para convertir de Norton a Thévenin se requiere:

RTH = RNVTH = IN × RN

Mientras que, por otro lado, para convertir de Thévenin a Norton, se tiene:

RN = RTHIN = VTH/RTH

Un ejemplo de esta conversión se muestra en el circuito de la figura 1.19a). En este circuito se obtiene la resistencia equivalente de Thévenin, la cual es el paralelo de R1 y R2, igual a 2 Ω, y el voltaje VTH, que es el divisor de voltaje entre R1 y R2, en este caso es 24 V, como se muestra en la figura 1.19b).

Una vez que se tiene el circuito equivalente de Thévenin, lo podemos convertir al circuito equivalente de Norton, calculando la corriente de cortocircuito, IN, que es 24 V/2 Ω = 12 A, como se muestra en la figura 1.19c). Aunque, también se pudo haber obtenido el circuito equivalente de Norton y convertir a su contraparte de Thévenin.18

18 Como los teoremas de Thévenin y de Norton producen el mismo resultado, normalmente sugiero a mis alumnos que se enfoquen, cuando me-nos, en uno de ellos. A mí, por ejemplo, me gusta más pensar en términos de voltaje, por lo que prefiero usar el teorema de Thévenin. Pero, ustedes tomen el teorema que les permita entender un circuito de manera intuitiva.

Figura 1.18 Correspondencia entre el circuito equivalente de Thévenin y el de Norton.

RTH = 3 Ω

VTH = 15 V

A

B

IN = 5 A

RN = 3 Ω

A

Ba) b)

Figura 1.19 Ejemplo de conversiones entre circuitos equivalentes de Thévenin y de Norton.

R1 = 3 Ω

V = 36 V

R2 = 6 Ω

A

Ba)

RTH = 2 Ω

VTH = 24 V

A

Bb)

A

B

IN = 12 A

RN = 2 Ω

c)




ProbLemas

La LKI enuncia que la corriente que entra en un

punto o nodo es igual a la corriente que sale.La LKV enuncia que la suma de las caídas de voltaje

es igual al voltaje aplicado.A una trayectoria cerrada se le llama lazo. El método

de ecuaciones algebraicas de voltajes alrededor de los lazos de un circuito se utiliza para calcular la co-rriente en sus ramas.Un nodo es un punto en una rama del circuito donde

las corrientes se dividen o se combinan. El méto-do de ecuaciones algebraicas de corrientes en un nodo se utiliza para calcular el voltaje de los nodos.Una malla es el lazo más simple posible en un cir-

cuito. Se asume que la corriente de malla fluye al-rededor de la malla sin ramificarse. el método de ecuaciones algebraicas de voltajes alrededor de la malla se utiliza para calcular las corrientes de malla.

El teorema de superposición enuncia que en un cir-

cuito eléctrico con dos o más fuentes, la corriente o voltaje de cada componente es la suma algebraica de los efectos producidos por cada fuente, actuando de manera separada.El teorema de Norton enuncia que un circuito eléc-

trico completo, conectado a un par de terminales, puede ser reemplazado por una fuente de corriente, IN, en paralelo con una resistencia, RN.El teorema de Thévenin enuncia que un circuito

eléctrico completo, conectado a un par de termina-les, puede ser reemplazado por una fuente de voltaje, VTH, en serie con una resistencia, RTH.Usando la ley de Ohm es posible la conversión de un

circuito equivalente de Thévenin a un circuito equiva-lente de Norton, y viceversa. La resistencia R es la mis-ma para ambos circuitos, IN = VTH/R, y VTH = IN × R.

daTos imPorTanTes


1.1 De acuerdo con el método de corrientes en sus ra-mas, resuelva el siguiente circuito si el voltaje V1 = 18 V, V2 = 27 V y todas las resistencias son de 3 Ω (véase figura 1.20).

1.2 De acuerdo con el método de corrientes de mallas, resuelva el siguiente circuito si todas las resistencias son de 2 Ω (véase figura 1.21).

1.3 Obtener el voltaje en VP por medio del teorema de superposición (véase figura 1.22).

Figura 1.20

AVR1

R1 = 12 Ω

84 V V1 Malla AIA

VR3

18IA – 6IB = 84 V

21 V

VR2

R2 = 3 Ω

V2Malla BIB

R3 = 6 Ω

−6IA + 9IB = −21 V

B

C

D

E

F

Figura 1.21

R1

V1 = 12 V

IA

R3

R4 R7

IB IC

R6 R8

R2 R3V2 = 8 V

V1 = +24 VA

R2 = 30 kΩ

P

R1 = 60 kΩ

V2 = 9 VB

Figura 1.22




1.4 Mediante el teorema de Thévenin, encuentre el cir-cuito equivalente de Thévenin del siguiente circuito (véase figura 1.23).

1.5 Usar el teorema de Thévenin en el siguiente circuito (véase figura 1.24) para obtener la corriente I3 que fluye por la resistencia R3.

1.6 Obtenga el circuito equivalente de Norton del si-guiente circuito (véase figura 1.25), si R1 tiene un va-lor de 8 Ω.

1.7 En el circuito de la figura 1.26, cambie R1 por 18 Ω y obtenga el circuito equivalente de Thévenin y su contraparte: el circuito de Norton.

1.8 Asuma que en el siguiente circuito IN = 20 mA y RN = 1.2 KΩ. Obtenga el circuito equivalente de Thévenin (véase figura 1.27).

R1 = 3 Ω R3 = 4 Ω

V = 36 V R2 = 6 Ω

VAB = 24 V

A

B

Figura 1.23

R1 = 12 ohms R2 = 3 ohms

R3 = 6

21 V

ohms

84 V

A

B

Figura 1.24

V = 48 V

R1 = 8 Ω R3 = 12 Ω

R2 = 6 Ω

A

Ba)

Figura 1.25

V = 36 V

R1 = 3 Ω

R2 = 6 Ω

a)

A

B

VTH

RTH

A

B

IN RN

A

B

Figura 1.26

Figura 1.27


analisis de circuitos electricos

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