Dinámica de sistemas conDinámica de sistemas conmúltiples grados de libertadmúltiples grados de libertad

MGDLMGDL

4º Parte:4º Parte:“Análisis modal de estructuras de“Análisis modal de estructuras de

MGDL”MGDL”

INTRODUCCIÓN:INTRODUCCIÓN:

En general,la determinación de la respuesta dinámica deEn general,la determinación de la respuesta dinámica deestructuras de MGDL se puede realizar de las siguientesestructuras de MGDL se puede realizar de las siguientesmaneras:maneras:

Análisis en el dominio del tiempo:Análisis en el dominio del tiempo:–– Análisis modal clásico (o superposición modal)Análisis modal clásico (o superposición modal)–– Integración directa de las ecuaciones diferenciales dinámicas.Integración directa de las ecuaciones diferenciales dinámicas.–– Formulación en Espacios de Estado.Formulación en Espacios de Estado.

Análisis en en el dominio de la frecuencia (transformada rápidaAnálisis en en el dominio de la frecuencia (transformada rápidade de FourierFourier).).

Para estructuras lineales-Para estructuras lineales-elasticaselasticas, donde se puede asumir, donde se puede asumiramortiguamiento clásico el método más usado en ingenieríaamortiguamiento clásico el método más usado en ingenieríaestructural es el Análisis Modal Clásico.estructural es el Análisis Modal Clásico.

ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:

Esta formulación presenta las siguientes ventajas comparativasEsta formulación presenta las siguientes ventajas comparativascon respecto a otros métodos:con respecto a otros métodos:

–– En vez de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de 2ºEn vez de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales de 2ºorden, se resuelven N ecuaciones diferenciales independientes, queorden, se resuelven N ecuaciones diferenciales independientes, querepresentan a cada modo de vibrar (Se puede desacoplar larepresentan a cada modo de vibrar (Se puede desacoplar larespuesta)respuesta)

–– Es sumamente compatible con la teoría de los espectros deEs sumamente compatible con la teoría de los espectros derespuesta.respuesta.

–– Es eficiente del punto de vista del costo Es eficiente del punto de vista del costo computacional computacional paraparaproblemas con solicitaciones de larga duración.problemas con solicitaciones de larga duración.

ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:

Por otra parte, esta formulación presenta las siguientesPor otra parte, esta formulación presenta las siguientesdesventajas comparativas con respecto a otros métodos:desventajas comparativas con respecto a otros métodos:

–– No permite resolver sistemas no-lineales.No permite resolver sistemas no-lineales.–– El problema de valores y vectores propios a veces es muyEl problema de valores y vectores propios a veces es muy

engorroso.engorroso.–– Se pierde el signo en la determinación de desplazamientos ySe pierde el signo en la determinación de desplazamientos y

esfuerzos de diseño.esfuerzos de diseño.–– Es complicado resolver estructuras con amortiguamiento no clásicoEs complicado resolver estructuras con amortiguamiento no clásico

ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:

FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:

Se asume que los desplazamientos de un sistema de MGDLpuede ser expresada en términos sus contribuciones modales.

( ){ } [ ] ( ){ }tt qu ⋅Φ=

Ejemplo : estructura de 3GDL

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⋅

φφφφφφφφφ

=

t3

t2

t1

333231

232221

131211

t3

t2

t1

qqq

uuu

1ºmodo 2ºmodo 3ºmodo

( ) ( )tr

N

1rjrtj q·u ∑

=

φ=

Matriz modal que contiene ensus columnas los modos devibrar

ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:

FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:

Si aplica la transformación anterior a la ecuación dinámicaamortiguada en MGDL , se tiene:

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ }tttt puKu·CuM =⋅++⋅ &&&

[ ] [ ] ( ){ } [ ][ ] ( ){ } [ ] [ ] ( ){ } ( ){ }tttt pq·Kq··Cq·M =Φ⋅+Φ+Φ⋅ &&&

Pre-multiplicando toda la ecuación por la transpuesta de la matriz modal, se tiene:

[ ] [ ] [ ] ( ){ } [ ] [ ][ ] ( ){ } [ ] [ ] [ ] ( ){ } [ ] ( ){ }tT

tT

tT

tT p·q·K·q··C·q·M· Φ=Φ⋅Φ+ΦΦ+Φ⋅Φ &&&

ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:

FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:

La ecuación anterior se puede reescribir:

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ }*tt*

t*

t* pq·Kq·Cq·M =++ &&&

donde:[ ] [ ] [ ][ ]ΦΦ= ·M·M T*

[ ] [ ] [ ][ ]ΦΦ= ·K·K T*

[ ] [ ] [ ][ ]ΦΦ= ·C·C T*

Matriz de masas generalizada

Matriz de rigidez generalizada

Matriz de amortiguamiento generalizada

Si la matriz de amortiguamiento es clásica, las matrices generalizadasson diagonales debido a la propiedad de ortogonalización de losmodos de vibrar.

( ){ } [ ] ( ){ }tT*

t p·p Φ= Vector de cargas generalizada

ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:

FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:De esta manera se tiene:

[ ]

=

N

n

1

*

M..0

M0..

M

M

{ } [ ]{ }nT

nn ·M·M φφ=

[ ]

=

N

n

1

*

C..0

C0..

C

C [ ]

=

N

n

1

*

K..0

K0..

K

K

{ } [ ]{ }nT

nn ·C·C φφ= { } [ ]{ }nT

nn ·K·K φφ=

( )[ ]

=

N

n

1

*t

P..P..P

p

{ } ( ){ }tnT

nn p·P φ=

Del análisis anterior se observa claramente que el sistema inicial de N ecuacionesdiferenciales acopladas, se ha desacoplado en N ecuaciones equivalentes de 1GDL (1para cada modo de vibrar). Por ejemplo, para el modo de vibrar “n”:

( ) ( ) ( ) ( )tntnntnntnn Pq·Kq·Cq·M =++ &&&

ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:ANÁLISIS MODAL CLÁSICO:

FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:FORMULACIÓN GENERAL DEL MÉTODO:La ecuación anterior se puede re-escribir:

Esta ecuación se resuelve para cada modo de vibrar en forma similar alos sistemas de 1GDL

( ) ( ) ( )( )

n

tntn

2ntnnntn M

Pq·q·2q =ω+ωξ+ &&&

Una vez que se determinan los desplazamientos modales qn(t) se puedenencontrar los desplazamientos reales de cada grado de libertad:

( ){ } [ ] ( ){ }tt qu ⋅Φ=

Finalmente se pueden determinar las fuerzas estáticas equivalentes que tomacada piso y los esfuerzos en las barras.