circulo y circunferencia

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Fotografía : circunferencia antigua | Diego Juarez

2014 INSTANCIA EVALUATORIA: PARCIAL N°1

CIRCULO Y CIRCUNFERENCIA

Profesorado de Matemática Cátedra: Didáctica de la matemática ll Profesora: María del Carmen Navarro

JUAREZ DIEGO A. 1


JUAREZ DIEGO A. 2

En el desarrollo del pensamiento geométrico toma particular importancia el

estudio de la circunferencia como lugar geométrico, su representación,

relaciones, propiedades y Teoremas, permitiendo afianzar en los educandos

dichos conceptos para potenciar las relaciones espaciales. La enseñanza de

los elementos de la circunferencia en el aula presenta dificultades para su

apropiación y vinculación en diferentes contextos matemáticos, limitándose en

algunos casos a representaciones mediante regla y compás. Por otro lado, la

metodología (que incluye al docente y su saber) utilizada en su enseñanza

produce errores que se traducen en dificultades en el momento de aplicar el

concepto en geometría analítica, el reconocimiento de sus propiedades para

resolución de situaciones-problema, las características de lugar geométrico,

entre otras. Es necesario establecer estrategias en el aula que permitan dar el

salto de la enseñanza tradicional a la utilización de Modelos Computacionales

y herramientas didácticas que permitan afianzar el concepto y potenciar su

aplicación de manera significativa desarrollando competencias y habilidades

matemáticas

Se considera conveniente trabajar la Matemática con los alumnos como un

proceso de construcción de conocimiento, denominado constructivismo, el cual

afirma que el conocimiento se desarrolla de manera interna conforme el

individuo interactúa con su entorno.

Por lo tanto, creemos importante referirnos al Constructivismo Social, que

considera al sujeto individual y a lo social como fuertemente interconectados,

donde los nuevos conocimientos se forman a partir de los esquemas propios de

la persona producto de su realidad, y con los esquemas de los demás

individuos que lo rodean.


JUAREZ DIEGO A. 3

En general, los psicólogos cognitivos describen al aprendizaje como “un

proceso generativo en el cual el significado y la comprensión deben ser

construidos por los alumnos de forma individual.

Los resultados del aprendizaje son descritos en las representaciones internas

del conocimiento, conocidas como estructuras cognitivas, los cuales se forman

a través de la asimilación de nueva información en las estructuras de memoria

ya existentes, por el acomodo de la estructura cognitiva a la nueva

información.” (Piaget 1948).

Es evidente que cada alumno tiene una cultura previa (Vygotsky) y si se

producen nuevos aprendizajes, estos tienen que formar parte de la nueva

cultura del alumno, que se habrá ampliado. En relación con este planteamiento,

desde la perspectiva del aprendizaje significativo (Ausubel 1992), para evitar

aprendizajes mecánicos y memorísticos, necesariamente, se tienen que

producir dos condiciones: que el profesor presente los nuevos contenidos en la

cultura del alumno y que el alumno quiera incorporarlos a su cultura.

Considerando lo anterior y sin alejarnos de ello, nos enfocaremos en la

descripción de un modelo de instrucción de pensamiento geométrico, que sigue

las mismas líneas estructurales del constructivismo y el aprendizaje

significativo, orientado a la instrucción de la geometría como rama de la

matemática, conocido como el Modelo de Van Hiele.

Los esposos Van Hiele, fueron quienes introdujeron el modelo de los niveles

de pensamiento con el propósito de desarrollar en los alumnos de la escuela

elemental el razonamiento en la geometría. Los niveles de pensamiento tal y

como fueron aplicados por van Hiele a la geometría son: visualización, análisis,

deducción informal, deducción formal y rigor, donde con cada uno se van

generando los sistemas de relaciones que el alumno utilizará para ir

construyendo su criterio encausado por aprendizajes significativo y que lo hará

converger en la autonomía intelectual para resolver problemas de geometría.


JUAREZ DIEGO A. 4

Ahora, con el fin de ayudar al alumno a pasar de un nivel a otro de

pensamiento dado al nivel inmediatamente superior, los esposos Van Hiele

propusieron cinco fases de aprendizaje, al final de las cuales el alumno habrá

alcanzado un nuevo nivel de pensamiento. Estas fases prestan al docente una

secuencia lógica que le permitirá orientar su instrucción de acuerdo a lo que

sus estudiantes necesitan para el óptimo alcance de sus objetivos.

Hay que tener en cuenta que el tratamiento en el aula no consiste sólo en la

transmisión de los contenidos geométricos, sino en adentrar al alumno en todo

un mundo de experiencias en el conocimiento del espacio que percibe, y en

formas de pensamiento propias de la Geometría (De la Torre Gómez 2003).

Es de especial importancia señalar además, los aportes de la ciencia de la

Didáctica, de la cual tomamos como referente para sostener nuestra propuesta,

a la Teoría de las Situaciones Didácticas (Guy Brousseau 1933). La misma,

apunta a modelar situaciones de enseñanza de modo de permitir una

elaboración y una gestión controlada, y se fundamenta en un enfoque

eminentemente constructivista, partiendo del principio que los conocimientos se

construyen por adaptación a un medio que aparece como problemático para el

sujeto, donde el alumno se enfrenta con la necesidad de adecuar su

conocimiento a un determinado problema, y por lo tanto, los conocimientos

matemáticos aparecen como la solución óptima a los problemas propuestos.

Es por ello que enseñar un conocimiento matemático es una primera

aproximación a hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho

conocimiento una actividad de creación matemática. El aprendizaje es una

modificación del conocimiento que el alumno debe producir por sí mismo y que

el maestro sólo debe provocar, siendo un mediador.

En este marco, el aprendizaje se desarrolla a partir de lo que Brousseau llama

situación adidáctica. Donde el alumno debe entrever una respuesta a un

problema planteado, la cual la encontrará a través de la interrelación con el

medio; ese problema debe ser desequilibrante para el alumno y su resolución


JUAREZ DIEGO A. 5

debe dar lugar al error. El conocimiento buscado debe aparecer como el

necesario para pasar de una estrategia de base a la estrategia óptima.

Para que la integración de los miembros más jóvenes a nuestra sociedad sea

una realidad, es imprescindible la adquisición de una formación matemática

que les permita plantear y resolver problemas cotidianos, desarrollar la

capacidad para explorar, formular hipótesis, razonar lógicamente, predecir,

analizar la realidad, producir ideas y conocimientos nuevos, entender

situaciones e informaciones y acomodarse a contextos cambiantes.

.

Saber usar símbolos y representaciones gráficas para expresar

relaciones.

Usar el razonamiento para hacer conjetura, desarrollar argumentos y

tomar decisiones, manejando y pudiendo comunica las ideas y los

procedimientos básicos de esta ciencia en todas sus formas: oral,

escrita, gráfica y simbólica.

Establecer posibles relaciones entre los contenidos de las matemáticas y

de ella con otras disciplinas.

Sintetizar e integrar los conceptos, procedimientos y formas de

representación relacionados con los distintos contenidos.

Descubre en una situación problemática, cual es la operación que

debe realizarse.

Establece conclusiones a partir de las informaciones dadas e infiere

hechos.

Relaciona en forma adecuada objetos de su entorno con conceptos

geométricos.


JUAREZ DIEGO A. 6

Explica en forma adecuada el proceso que debe seguirse para

calcular el área de una figura.

Reconoce elementos de la circunferencia.

Elaboración de argumentaciones acerca de la validez de las

propiedades de las figuras bidimensionales (triángulos, cuadriláteros y

círculos) para analizar afirmaciones reconociendo los límites de las

pruebas empíricas.

Producción de argumentaciones con base en propiedades para

determinar condiciones que deben cumplir los puntos referidos a

distancias y justificar construcciones de mediatrices, bisectrices,

circunferencias, círculos como lugares geométricos.

Análisis de polígonos construidos con regla no graduada y compás o

software matemático adecuado, acudiendo a argumentos basados en

propiedades de las figuras en juego.

Análisis reflexivo de procedimientos utilizados para construir figuras a

partir de diferentes informaciones (propiedades y medidas), evaluando la

adecuación de la figura obtenida a la información dada.

Uso de instrumentos de geometría y programas graficadores para la

construcción de figuras a partir de informaciones pertinentes.

Exploración de situaciones en las que hay que estimar y calcular

medidas.

Reconocimiento de problemas extramatemáticos en cuya resolución

sea necesario estimar la medida sin acudir al cálculo.

Selección y uso de unidades, forma de expresar cantidades de acuerdo

a la necesidad que involucre el problema (reducción de cantidades).


JUAREZ DIEGO A. 7

Uso critico de las imágenes

Resolución de problemas

Fotografía como medio visual.

Instrumentos geométricos: compas y regla.

Papel.

Técnica de interrogatorio:

Instrumento:

* El cuestionario

Técnica de solución de problemas:

Instrumentos:

* Pruebas objetivas

*pruebas estandarizadas

Técnica de observación:

Instrumentos:

*Debates

* Listas de verificación (de cotejo)

* Escalas de evaluación


JUAREZ DIEGO A. 8

SECUENCIA

DE

ACTIVIDADES


JUAREZ DIEGO A. 9

Conocimientos que debemos tener en cuenta:

Reconocer los polígonos.

Saber cuál es el área de los polígonos regulares.

Recordemos…

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan

de otro que se denomina centro.

La porción del plano delimitada por una circunferencia se denomina

plano

.

Una figura es el lugar geométrico de los puntos que cumplen una

propiedad cuando:

Todos los puntos cumplen esa propiedad.

Todos los puntos que la cumplen pertenecen a la figura.


JUAREZ DIEGO A. 10

Actividades iniciales: estas actividades tienen el objetivo de verificar los

conocimientos previos de los alumnos sobre características y partes de la

circunferencia y del círculo, vistos en la educación primaria.

Coloca cada palabra en la celda que corresponda:

A partir de las palabras que utilizaste en la actividad anterior

,completa:

La es un segmento que une dos puntos de la

circunferencia.

El es un segmento que une el

con un punto cualquiera de la circunferencia.

El centro es un punto del cual todos los puntos de

la circunferencia.

Un es la parte de la circunferencia comprendida entre

dos de sus

ARCO

RADIO

CUERDA

DIAMETRO

CIRCUNFERENCIA

SEMICIRCUNFERENCIA

A CENTRO


JUAREZ DIEGO A. 11

El es una cuerda que pasa por el centro de la

circunferencia.

A continuación se realizará una puesta en común para analizar la

relación de las palabras con la imagen y el texto.

Dada las siguientes características, coloca el nombre

correspondiente:


JUAREZ DIEGO A. 12

A partir de lo comprendido, lee cada uno de los siguientes

enunciados y determina si es verdadero o falso. Justifica tu

respuesta.

Se pedirá a 6 alumnos, elegidos al azar, que dibujen las imágenes

presentadas en el pizarrón, para analizar y debatir sus

características, junto a sus demás compañeros.


JUAREZ DIEGO A. 13

A continuación se les pedirá a los alumnos que se dividan en 5 grupos y

se le entregará a cada uno las siguientes imágenes para su

correspondiente análisis.

Une las siguientes imágenes con sus respectivas posiciones:

Se realizará una puesta en común.

TANGENTES EXTERIORES

TANGENTES INTERIORES

CONCENTRICAS

EXTERIORES

INTERNAS

SECANTES


JUAREZ DIEGO A. 14

Actividades de desarrollo: el objetivo de esta etapa es ver el origen de las

formula de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

Un día los egipcios, soltaron la cuerda de la estaca alrededor de la cual giraba

y la llevaron sobre la circunferencia para ver cuántas veces cabía en ella.

Probaron con muchas circunferencias y siempre obtuvieron aproximadamente

el mismo resultado.

Te invito a realizar lo mismo que hicieron los egipcios, teniendo en

cuenta diferentes circunferencias, comparar sus radios y diámetros con

la longitud de las mismas. Completa la siguiente tabla:


JUAREZ DIEGO A. 15

Analiza y responde:

¿Cuál es la relación que hay entre la división de la longitud de la

circunferencia y el radio?

¿Cuál es la relación que hay entre la división de la longitud de la

circunferencia y el diámetro?

Como habrás podido comprobar el diámetro cabe tres veces y un poquito en la

longitud de la circunferencia, y el radio más de 6 veces y menos de 7.

Esa relación numérica entre circunferencia y diámetro fue descubierta por

griegos y babilónicos y se le denomina con la letra griega (pi).

A través de la historia se ha buscado una aproximación decimal cada vez más

cercana de ese número, manejándose actualmente hasta un millón de cifras.

Comúnmente utilizamos el 3,14 truncando el resto de las cifras.

Cuando utilizamos el 3,1416 redondeamos ya que el valor de corresponde a

3,141592653589793... Es un número irracional.

A lo largo de la historia, muchos matemáticos se preocuparon por aproximar el

valor de


JUAREZ DIEGO A. 16

Entonces en conclusión…

¿Cómo se obtiene la longitud de la circunferencia?

¿con la medida del diámetro se puede obtener la longitud de la

circunferencia?

¿y con la medida del radio?

Realiza los cálculos correspondientes para cada caso:

Halla la longitud en cm de una rueda de bicicleta que mide 50cm de

radio.

A. 157cm

B. 314cm

C. 103cm


JUAREZ DIEGO A. 17

La longitud de un aro es de 14dm. ¿Cuántos dm mide el radio?

Las ruedas de un vehículo tienen 60cm de diámetro. ¿Cuántos cm

recorren cada vez que dan una vuelta completa?

La rueda de un camión tiene 90cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el

camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

Se realizará una puesta común sobre los cálculos realizados.

A. 2,22dm

B. 4,45dm

C. 143,14dm

A. 188,4cm

B. 376,8cm

C. 240cm

A. 5,65m

B. 565,2m

C. 282,6m


JUAREZ DIEGO A. 18

A continuación analizaremos el área del círculo

Si buscamos en los libros encontramos que el área del

círculo se calcula usando la fórmula:

A = x r²

Pero, ¿de dónde viene esta fórmula?

Lo que vamos a hacer es romper un círculo en pequeños trozos y con ellos

volver a armarlo en una forma de la cual conocemos cómo calcular su área... el

rectángulo.

Tal vez te preguntes ¿cómo haremos para reordenar las piezas de un círculo y

armar un rectángulo? Vamos a verlo... ¡es fácil!

Comenzaremos con el círculo que queremos dividir:

Ahora dividiremos el círculo en 4 partes:

Luego las ensamblamos tratando de formar un rectángulo:


JUAREZ DIEGO A. 19

No es exactamente un rectángulo, ¿no?. Pero no hemos terminado todavía.

Vamos a romper el círculo en trozos más pequeños, en octavos:

... y organizamos las piezas en forma rectangular:

Este sin duda comienza a verse como un rectángulo, ¡pero todavía falta!. El

siguiente paso es volver a dividir en trozos más pequeños:


JUAREZ DIEGO A. 20

Al ponerlos juntos estamos más cerca de parecerse a un rectángulo:

El objetivo es lograr una forma lo más cercana posible al rectángulo, de manera

que podamos encontrar su área utilizando la fórmula del rectángulo: A = l x a

Seguimos rompiendo el círculo en piezas más pequeñas. Al ordenar todas las

piezas, la forma sería algo como esto:

Esta figura es muy cercana a un rectángulo perfecto, pero puedes ver que la

parte superior e inferior no están aun perfectamente rectas.

¿Puedes visualizar lo que sucederá si continuamos rompiendo el círculo en

piezas cada vez más y más pequeñas?

Las piezas serían tan pequeñas que no las podríamos ver, y la parte superior e

inferior del rectángulo formado con ellas, parecería perfectamente recta. Esto

es lo que queremos ver:


JUAREZ DIEGO A. 21

¡Un rectángulo perfecto!.

Ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar su área, utilizando la

fórmula

A = l x a

La siguiente pregunta es: ¿Cuál es el largo y el ancho de nuestro rectángulo

hecho con partes del círculo?

Vamos a volver a una imagen anterior, para que puedas ver las partes del

círculo más claramente:

La longitud del círculo original es la distancia alrededor, o sea la circunferencia:


JUAREZ DIEGO A. 22

La mitad de esta distancia alrededor del círculo, r, va en la

parte superior del "rectángulo", y la otra mitad, también de longitud r, va en

la parte inferior:

En otras palabras, sumadas la parte superior e inferior obtenemos 2 r, o sea

la longitud de la circunferencia.

El ancho del "rectángulo" es el radio del círculo r.

Entonces, sabemos que el largo del "rectángulo" es r y el ancho es r. Ahora

podemos encontrar el área del rectángulo formado con pequeños trocitos del

círculo, usando la fórmula del rectángulo:

... y allí tenemos la fórmula para el área del círculo con la cual comenzamos!


JUAREZ DIEGO A. 23

De acuerdo a la visto…

Conociendo el radio, ¿podemos calcular el área del círculo?

Y conociendo la longitud de la circunferencia. ¿puedes calcularlo?

¿podemos encontrar el radio y el diámetro de una circulo conociendo su

área?

Un círculo tiene 9 cm de radio. ¿Cuál es su área en cm2?

A. 254,34 cm2

B. 28,26 cm2

C. 56,52 cm2

El diámetro de un cartel circular es de 8 centímetros. ¿Cuál es el área?

D. 200,96 cm2

E. 50,24 cm2

F. 12,56 cm2

El área de un círculo es de 78.5 metros cuadrados. ¿Cuál es el radio?

G. 5 m

H. 25 m

I. 12,5 m


JUAREZ DIEGO A. 24

Actividades de cierre: estas actividades tienen carácter integrador respecto a

los contenidos vistos, llevándolo a situaciones de la vida real.

1) Dibujar una réplica de la rueda en tu carpeta, indicando paso a

paso su construcción.

2) ¿cuantas circunferencias debes realizar para el dibujo?

3) ¿hay círculos?

4) ¿Cómo se denomina el área entre las dos circunferencias de

mayor longitud?

5) Si el diámetro de la carreta es de 1,20 m ¿Cuántos metros recorre

la rueda al dar una vuelta? ¿y al dar 100 vueltas?


JUAREZ DIEGO A. 25

6) Si el radio de la circunferencia más grande es de 60 cm, y el radio

de la segunda circunferencia más grande es de 50 cm… ¿cuál es

el área de la corona circular?

7) Si la circunferencia del eje es aproximadamente 452.389342117

cm2, ¿Cuál es la longitud del radio?

8) ¿Cuál es la longitud de los rayos de madera de la rueda?

Lee la siguiente leyenda y luego responde:

Érase una vez un legendario país, llamado Tiro, que estaba gobernado por el

anciano rey Muto. El rey tenía una hija de prodigiosa belleza, Dido, que se

casó con el hombre más rico e influyente de Tiro.

Pigmalión, hijo del rey y hermano de Dido, fue coronado a la muerte de su

padre, pero era tan ambicioso que mató a su cuñado para apoderarse de sus

riquezas. Dido, horrorizada, decidió abandonar Tiro con unos cuantos hombres

descontentos y otras tantas jóvenes consagradas a Afrodita que ellos llevaron

consigo para desposarlas. Huyeron en varios bajeles cargados con las riquezas

que Dido pudo salvar y navegaron hacia el Sur.

Llegaron a las costas de África, donde vivían los getulos, una tribu de libios

cuyo rey era Jarbas. Pidió hospitalidad y un trozo de tierra para instalarse en

ella con su séquito. Jarbas le dijo que le daba tanta tierra como la que pudiera

abarcar una piel de buey, satisfecho por un trato que adivinaba muy ventajoso.

Pero pasó que Dido a fin de que la piel abarcara la máxima tierra posible, la

hizo cortar finas tiras y así consiguió circunscribir un extenso perímetro. Tras

esto hizo erigir una fortaleza llamada Birsa, que más tarde se convirtió en la

ciudad de Cartago.


JUAREZ DIEGO A. 26

A continuación:

Calcule qué área, según esta leyenda, podría ocupar la fortaleza,

considerando que la piel de toro tenía 4 m2 de superficie y que las tiras

que Dido cortó de aquélla eran de 1 mm de anchura.

¿Cuál es el área que ocupa la ciudad de Cartago?

El centro de la ciudad, ¿a qué distancia se encuentra de los perímetros

de Cartago?

http://1.bp.blogspot.com/_ysU2SHlC-4c/S_GmgwLW05I/AAAAAAAAB4Q/vT_MqFc6lW0/s1600/laespadadecartago3.jpg


JUAREZ DIEGO A. 27

Imagine la siguiente situación. Usted está acostumbrado a comer pizza cerca

de su casa. La pizzería de su barrio, vende pizzas “circulares” y las ofrece en

diferentes tamaños (o sea, varían los diámetros).

Si la pizza que tiene 10 centímetros de diámetro se vende a $ 10. ¿Cuánto

debería costar la misma pizza pero cuyo diámetro es de 20 centímetros?

Realizar todos los procedimientos.


JUAREZ DIEGO A. 28

Lista de cotejo para evaluar

Actividad Criterios Puntuación

parcial total

La rueda de la carreta

Descubre en una situación problemática, cual

es la operación que debe realizarse.

0,5%

Reconoce elementos de la circunferencia y

círculo.

0,5%

Relaciona en forma adecuada objetos de su

entorno con conceptos geométricos.

0,4%

Explica en forma adecuada el proceso que

debe seguirse para calcular el área de una

figura.

0,6%

La leyenda de Dido y

Cártago


es la operación que debe realizarse

0,5 %


círculo.

0,3%



0,2%



figura.

1,0%

¿Cuánto debería salir

una pizza?


es la operación que debe realizarse

1,0%


círculo.

0,5%



0,5%



figura

1,0%


JUAREZ DIEGO A. 29

Lista de cotejo

Escuela:

Curso:

Profesor:

Indicadores de logro Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4

Descubre en una

situación problemática,

cual es la operación que

debe realizarse.

Establece conclusiones a

partir de las

informaciones dadas e

infiere hechos.

Relaciona en forma

adecuada objetos de su

entorno con conceptos

geométricos.

Explica en forma

adecuada el proceso que

debe seguirse para

calcular el área de una

figura.

Reconoce elementos de

la circunferencia.

Participación activa en todas las actividades.

SI-NO.

Para calcular la valoración, el punteo obtenido por cada estudiante, divida el total

de si entre el total de aspectos y multiplíquelo por cien y eso le dará el porcentaje.


JUAREZ DIEGO A. 30

BIBLIOGRAFÍA


JUAREZ DIEGO A. 31

Bibliografía

Diseño Curricular Preliminar, ciclo básico, educación secundaria, (pag.

43-45)

Patricia Sadovsky. La Teoría de Situaciones Didácticas: un marco para

pensar y actuar la enseñanza de la Matemática

Atenex, 17 de agosto de2014,

http://conteni2.educarex.es/mats/11798/contenido/

Plan Ceibal: circulo y circunferencia 2, 17 de agosto de 2014,

http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/100303_circ

ulo_circunf2.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.html

Blog: “tierra a la vista”, Ana de la fuente, 17 de agosto de 2014,

http://iestierra.blogspot.com.ar/2011/05/dido-y-la-piel-de-un-buey.html

http://conteni2.educarex.es/mats/11798/contenido/

http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/100303_circulo_circunf2.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.html

http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/100303_circulo_circunf2.elp/fuentes_consultadas__licencia__crditos.html

http://iestierra.blogspot.com.ar/2011/05/dido-y-la-piel-de-un-buey.html

circulo y circunferencia

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