cicloidales (ecuaciones parametricas)
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realizar cicloides con ecuaciones parametricasTRANSCRIPT
2492015
1
Curvas cicloideas
Eric Cortez
Objetivos
Conceptuales
Conocer el sistema de generacioacuten de las curvas cicloidales
Diferenciar las curvas cicloides hipocicloides y epicicloides junto a sus caracteriacutesticas
principales
Destrezas
El alumno reconozca y trace una cicloide normal corta y larga
Reconozca una epicicloide y hipocicloide Trace una curva epicicloide
Actitudinales
El alumno tendraacute iniciativa en el planteamiento de propuestas de resolucioacuten de casos
praacutecticos
Defenderaacute y justificaraacute las propuestas planteadas en un marco de respeto a otros
planteamientos y preocupacioacuten por la calidad del resultado final
2492015
2
La construccioacuten del conocimiento se desarrolla relacionaacutendolo con
aquello que ya hemos adquiridos
Veamos con que podemos relacionar este tema
Curvas planas
Construcciones GeomeacutetricasCinemaacutetica
Curva cicloide natural o normal
Una cicloide es el lugar geomeacutetrico generado por un punto
de una circunferencia al rodar sobre una liacutenea recta es la
curva que describe un punto perteneciente a una rueda que
gira sin deslizarse
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3
Sea P (xy) un punto geneacuterico de la cicloide y r el radio del ciacuterculo generador
Tomamos como paraacutemetro el aacutengulo t que forma el radio CP con la vertical AC
El arco AP es rt e igual al segmento OA y de la figura podemos deducir
x=OQ=OA-QA=rt-r sen t=r (t-sent)
y=AB=AC-BC=r-r cos t=r (1-cost)
Por tanto las ecuaciones parameacutetricas de la cicloide son
x=r (t- sen t)
y=r (1- cos t)
Descomposicioacuten del movimiento
La cicloide puede verse como la suma de dos trayectorias
Donde b es el radio de la ruleta y t el aacutengulo
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4
Cicloide Acortada
Es el lugar geomeacutetrico descrito por un punto P situado sobre el radio de una circunferencia cuando
esta rueda sin deslizar sobre una recta fija
Es el lugar geomeacutetrico descrito por un punto P situado sobre la prolongacioacuten del
radio de una circunferencia cuando dicha circunferencia rueda sin deslizar sobre
una recta fija
Cicloide Alargada
2492015
5
Tipos de cicloide
bull Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz se denomina
bull cicloide acortada si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz (R lt r)
bull cicloide comuacuten si P pertenece a la circunferencia generatriz (R = r)
bull cicloide alargada si P estaacute fuera de la circunferencia generatriz (R gt r)
bull Donde la circunferencia tiene radio r y la distancia del centro al punto P es R
Cicloides
2492015
6
Ecuaciones parameacutetricas
Las constantes r y d corresponden respectivamente al radio de la
circunferencia y a la distancia CP El paraacutemetro es el aacutengulo
formado por los segmentos CP y CJ
- Si dgtr obtenemos la cicloide alargada
- Si dltr obtenemos la cicloide acortada
Ejemplo de Cicloide
bull Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia
la izquierda la parte inferior de su reborde
se mueve hacia la derecha es decir en
direccioacuten contraria
bull Arriba se representa la curva (laquocicloideraquo)
que describe al girar cada uno de los puntos
de la llanta de una rueda del carro de
ferrocarril
bull Abajo la curva que describe cada punto
exterior del reborde de una rueda de
ferrocarril
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7
Trazado de curvas cicloides
Trazado de las tangentes
Para trazar la tangente en un punto cualquiera P
1 Trazar la recta vertical que pasa por el centro C obtenieacutendose el punto de contacto de la
circunferencia A
2 Unir los puntos P y A lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide
3 Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente
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8
Cicloide Normal
Cicloide Larga
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9
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequentildeo ciacuterculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un ciacuterculo mayor (radio R = 3)
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el exterior de
otra circunferencia directriz Es un tipo de ruleta cicloidal
2492015
10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
2492015
11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
2492015
12
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
2492015
13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
2492015
14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
2492015
15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
2492015
19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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20
Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
2492015
2
La construccioacuten del conocimiento se desarrolla relacionaacutendolo con
aquello que ya hemos adquiridos
Veamos con que podemos relacionar este tema
Curvas planas
Construcciones GeomeacutetricasCinemaacutetica
Curva cicloide natural o normal
Una cicloide es el lugar geomeacutetrico generado por un punto
de una circunferencia al rodar sobre una liacutenea recta es la
curva que describe un punto perteneciente a una rueda que
gira sin deslizarse
2492015
3
Sea P (xy) un punto geneacuterico de la cicloide y r el radio del ciacuterculo generador
Tomamos como paraacutemetro el aacutengulo t que forma el radio CP con la vertical AC
El arco AP es rt e igual al segmento OA y de la figura podemos deducir
x=OQ=OA-QA=rt-r sen t=r (t-sent)
y=AB=AC-BC=r-r cos t=r (1-cost)
Por tanto las ecuaciones parameacutetricas de la cicloide son
x=r (t- sen t)
y=r (1- cos t)
Descomposicioacuten del movimiento
La cicloide puede verse como la suma de dos trayectorias
Donde b es el radio de la ruleta y t el aacutengulo
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4
Cicloide Acortada
Es el lugar geomeacutetrico descrito por un punto P situado sobre el radio de una circunferencia cuando
esta rueda sin deslizar sobre una recta fija
Es el lugar geomeacutetrico descrito por un punto P situado sobre la prolongacioacuten del
radio de una circunferencia cuando dicha circunferencia rueda sin deslizar sobre
una recta fija
Cicloide Alargada
2492015
5
Tipos de cicloide
bull Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz se denomina
bull cicloide acortada si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz (R lt r)
bull cicloide comuacuten si P pertenece a la circunferencia generatriz (R = r)
bull cicloide alargada si P estaacute fuera de la circunferencia generatriz (R gt r)
bull Donde la circunferencia tiene radio r y la distancia del centro al punto P es R
Cicloides
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Ecuaciones parameacutetricas
Las constantes r y d corresponden respectivamente al radio de la
circunferencia y a la distancia CP El paraacutemetro es el aacutengulo
formado por los segmentos CP y CJ
- Si dgtr obtenemos la cicloide alargada
- Si dltr obtenemos la cicloide acortada
Ejemplo de Cicloide
bull Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia
la izquierda la parte inferior de su reborde
se mueve hacia la derecha es decir en
direccioacuten contraria
bull Arriba se representa la curva (laquocicloideraquo)
que describe al girar cada uno de los puntos
de la llanta de una rueda del carro de
ferrocarril
bull Abajo la curva que describe cada punto
exterior del reborde de una rueda de
ferrocarril
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Trazado de curvas cicloides
Trazado de las tangentes
Para trazar la tangente en un punto cualquiera P
1 Trazar la recta vertical que pasa por el centro C obtenieacutendose el punto de contacto de la
circunferencia A
2 Unir los puntos P y A lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide
3 Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente
2492015
8
Cicloide Normal
Cicloide Larga
2492015
9
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequentildeo ciacuterculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un ciacuterculo mayor (radio R = 3)
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el exterior de
otra circunferencia directriz Es un tipo de ruleta cicloidal
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10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
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11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
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Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
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13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
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Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
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15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
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19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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3
Sea P (xy) un punto geneacuterico de la cicloide y r el radio del ciacuterculo generador
Tomamos como paraacutemetro el aacutengulo t que forma el radio CP con la vertical AC
El arco AP es rt e igual al segmento OA y de la figura podemos deducir
x=OQ=OA-QA=rt-r sen t=r (t-sent)
y=AB=AC-BC=r-r cos t=r (1-cost)
Por tanto las ecuaciones parameacutetricas de la cicloide son
x=r (t- sen t)
y=r (1- cos t)
Descomposicioacuten del movimiento
La cicloide puede verse como la suma de dos trayectorias
Donde b es el radio de la ruleta y t el aacutengulo
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Cicloide Acortada
Es el lugar geomeacutetrico descrito por un punto P situado sobre el radio de una circunferencia cuando
esta rueda sin deslizar sobre una recta fija
Es el lugar geomeacutetrico descrito por un punto P situado sobre la prolongacioacuten del
radio de una circunferencia cuando dicha circunferencia rueda sin deslizar sobre
una recta fija
Cicloide Alargada
2492015
5
Tipos de cicloide
bull Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz se denomina
bull cicloide acortada si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz (R lt r)
bull cicloide comuacuten si P pertenece a la circunferencia generatriz (R = r)
bull cicloide alargada si P estaacute fuera de la circunferencia generatriz (R gt r)
bull Donde la circunferencia tiene radio r y la distancia del centro al punto P es R
Cicloides
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6
Ecuaciones parameacutetricas
Las constantes r y d corresponden respectivamente al radio de la
circunferencia y a la distancia CP El paraacutemetro es el aacutengulo
formado por los segmentos CP y CJ
- Si dgtr obtenemos la cicloide alargada
- Si dltr obtenemos la cicloide acortada
Ejemplo de Cicloide
bull Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia
la izquierda la parte inferior de su reborde
se mueve hacia la derecha es decir en
direccioacuten contraria
bull Arriba se representa la curva (laquocicloideraquo)
que describe al girar cada uno de los puntos
de la llanta de una rueda del carro de
ferrocarril
bull Abajo la curva que describe cada punto
exterior del reborde de una rueda de
ferrocarril
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Trazado de curvas cicloides
Trazado de las tangentes
Para trazar la tangente en un punto cualquiera P
1 Trazar la recta vertical que pasa por el centro C obtenieacutendose el punto de contacto de la
circunferencia A
2 Unir los puntos P y A lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide
3 Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente
2492015
8
Cicloide Normal
Cicloide Larga
2492015
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Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequentildeo ciacuterculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un ciacuterculo mayor (radio R = 3)
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el exterior de
otra circunferencia directriz Es un tipo de ruleta cicloidal
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10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
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11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
2492015
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Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
2492015
13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
2492015
14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
2492015
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Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
2492015
16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
2492015
19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
2492015
20
Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
2492015
4
Cicloide Acortada
Es el lugar geomeacutetrico descrito por un punto P situado sobre el radio de una circunferencia cuando
esta rueda sin deslizar sobre una recta fija
Es el lugar geomeacutetrico descrito por un punto P situado sobre la prolongacioacuten del
radio de una circunferencia cuando dicha circunferencia rueda sin deslizar sobre
una recta fija
Cicloide Alargada
2492015
5
Tipos de cicloide
bull Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz se denomina
bull cicloide acortada si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz (R lt r)
bull cicloide comuacuten si P pertenece a la circunferencia generatriz (R = r)
bull cicloide alargada si P estaacute fuera de la circunferencia generatriz (R gt r)
bull Donde la circunferencia tiene radio r y la distancia del centro al punto P es R
Cicloides
2492015
6
Ecuaciones parameacutetricas
Las constantes r y d corresponden respectivamente al radio de la
circunferencia y a la distancia CP El paraacutemetro es el aacutengulo
formado por los segmentos CP y CJ
- Si dgtr obtenemos la cicloide alargada
- Si dltr obtenemos la cicloide acortada
Ejemplo de Cicloide
bull Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia
la izquierda la parte inferior de su reborde
se mueve hacia la derecha es decir en
direccioacuten contraria
bull Arriba se representa la curva (laquocicloideraquo)
que describe al girar cada uno de los puntos
de la llanta de una rueda del carro de
ferrocarril
bull Abajo la curva que describe cada punto
exterior del reborde de una rueda de
ferrocarril
2492015
7
Trazado de curvas cicloides
Trazado de las tangentes
Para trazar la tangente en un punto cualquiera P
1 Trazar la recta vertical que pasa por el centro C obtenieacutendose el punto de contacto de la
circunferencia A
2 Unir los puntos P y A lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide
3 Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente
2492015
8
Cicloide Normal
Cicloide Larga
2492015
9
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequentildeo ciacuterculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un ciacuterculo mayor (radio R = 3)
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el exterior de
otra circunferencia directriz Es un tipo de ruleta cicloidal
2492015
10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
2492015
11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
2492015
12
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
2492015
13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
2492015
14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
2492015
15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
2492015
16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
2492015
17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
2492015
19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
2492015
20
Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
2492015
5
Tipos de cicloide
bull Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz se denomina
bull cicloide acortada si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz (R lt r)
bull cicloide comuacuten si P pertenece a la circunferencia generatriz (R = r)
bull cicloide alargada si P estaacute fuera de la circunferencia generatriz (R gt r)
bull Donde la circunferencia tiene radio r y la distancia del centro al punto P es R
Cicloides
2492015
6
Ecuaciones parameacutetricas
Las constantes r y d corresponden respectivamente al radio de la
circunferencia y a la distancia CP El paraacutemetro es el aacutengulo
formado por los segmentos CP y CJ
- Si dgtr obtenemos la cicloide alargada
- Si dltr obtenemos la cicloide acortada
Ejemplo de Cicloide
bull Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia
la izquierda la parte inferior de su reborde
se mueve hacia la derecha es decir en
direccioacuten contraria
bull Arriba se representa la curva (laquocicloideraquo)
que describe al girar cada uno de los puntos
de la llanta de una rueda del carro de
ferrocarril
bull Abajo la curva que describe cada punto
exterior del reborde de una rueda de
ferrocarril
2492015
7
Trazado de curvas cicloides
Trazado de las tangentes
Para trazar la tangente en un punto cualquiera P
1 Trazar la recta vertical que pasa por el centro C obtenieacutendose el punto de contacto de la
circunferencia A
2 Unir los puntos P y A lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide
3 Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente
2492015
8
Cicloide Normal
Cicloide Larga
2492015
9
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequentildeo ciacuterculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un ciacuterculo mayor (radio R = 3)
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el exterior de
otra circunferencia directriz Es un tipo de ruleta cicloidal
2492015
10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
2492015
11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
2492015
12
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
2492015
13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
2492015
14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
2492015
15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
2492015
16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
2492015
17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
2492015
19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
2492015
20
Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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6
Ecuaciones parameacutetricas
Las constantes r y d corresponden respectivamente al radio de la
circunferencia y a la distancia CP El paraacutemetro es el aacutengulo
formado por los segmentos CP y CJ
- Si dgtr obtenemos la cicloide alargada
- Si dltr obtenemos la cicloide acortada
Ejemplo de Cicloide
bull Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia
la izquierda la parte inferior de su reborde
se mueve hacia la derecha es decir en
direccioacuten contraria
bull Arriba se representa la curva (laquocicloideraquo)
que describe al girar cada uno de los puntos
de la llanta de una rueda del carro de
ferrocarril
bull Abajo la curva que describe cada punto
exterior del reborde de una rueda de
ferrocarril
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Trazado de curvas cicloides
Trazado de las tangentes
Para trazar la tangente en un punto cualquiera P
1 Trazar la recta vertical que pasa por el centro C obtenieacutendose el punto de contacto de la
circunferencia A
2 Unir los puntos P y A lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide
3 Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente
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8
Cicloide Normal
Cicloide Larga
2492015
9
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequentildeo ciacuterculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un ciacuterculo mayor (radio R = 3)
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el exterior de
otra circunferencia directriz Es un tipo de ruleta cicloidal
2492015
10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
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11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
2492015
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Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
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13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
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Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
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15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
2492015
17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
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Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
2492015
19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
2492015
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
2492015
7
Trazado de curvas cicloides
Trazado de las tangentes
Para trazar la tangente en un punto cualquiera P
1 Trazar la recta vertical que pasa por el centro C obtenieacutendose el punto de contacto de la
circunferencia A
2 Unir los puntos P y A lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide
3 Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente
2492015
8
Cicloide Normal
Cicloide Larga
2492015
9
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequentildeo ciacuterculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un ciacuterculo mayor (radio R = 3)
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el exterior de
otra circunferencia directriz Es un tipo de ruleta cicloidal
2492015
10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
2492015
11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
2492015
12
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
2492015
13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
2492015
14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
2492015
15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
2492015
16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
2492015
17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
2492015
19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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20
Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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8
Cicloide Normal
Cicloide Larga
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9
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequentildeo ciacuterculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un ciacuterculo mayor (radio R = 3)
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el exterior de
otra circunferencia directriz Es un tipo de ruleta cicloidal
2492015
10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
2492015
11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
2492015
12
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
2492015
13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
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14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
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15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
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18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
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19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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9
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequentildeo ciacuterculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un ciacuterculo mayor (radio R = 3)
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento por el exterior de
otra circunferencia directriz Es un tipo de ruleta cicloidal
2492015
10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
2492015
11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
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12
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
2492015
13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
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14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
2492015
15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
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18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
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19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
2492015
10
con γ = α + β minus π 2 y ademaacutes como la circunferencia rueda sin
deslizamiento los arcos l1 y l2 son iguales
Considerando la figura podemos escribir
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuacioacuten Parameacutetrica
Considerando la figura podemos escribir
tenemos la ecuacioacuten parameacutetrica de la
epicicloide
2492015
11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
2492015
12
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
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13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
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14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
2492015
15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
2492015
19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
2492015
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
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21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
2492015
11
Casos particulares
Cuando r1r2 es un nuacutemero racional
ie siendo p y q nuacutemeros enteros las epicicloides son curvas algebraicas
Cuando r1=r2 ie k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional la curva es trascendente y cubre completamente la regioacuten
entre los radios r1 y r2
ejemplos de epicicloides
k=1 k=2 k=3 k=4
k=21=2110 k=38=195 k=55=112
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12
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
2492015
13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
2492015
14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
2492015
15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
2492015
16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
2492015
17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
2492015
19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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20
Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
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21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relacioacuten de radios R= 4 r (R= radio base r= radio ruleta)
bull Dividir la rodante en un nuacutemero de partes iguales por ejemplo 8
bull Siendo ldquoardquo el punto generador de la epicicloide se situacutea coincidente con A al cabo de una vuelta completa por la relacioacuten de radios
bull 8 es la posicioacuten del centro de la ruleta
bull Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante obtenieacutendose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador
bull Para media vuelta de la ruleta la posicioacuten de ldquoardquo es E su normal se obtiene uniendo la posicioacuten correspondiente con el centro de la ruleta la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
bull La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo) Paraacutemetros R = 3 r = 1 k = 3
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre
una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz sin deslizamiento
Es un tipo de ruleta cicloidal
La curva hipocicloide es comparable a la cicloide donde la circunferencia
generatriz rueda sobre una liacutenea directriz (o circunferencia de radio infinito)
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13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
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14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
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15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
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18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
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19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
2492015
13
Las constantes R y r corresponden a los radios de las
circunferencias fija y moacutevil respectivamente y el
paraacutemetro es el aacutengulo que forma el segmento OC con la
direccioacuten positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
bull Cuando K = r1r2 es un nuacutemero racional es decir
siendo p y q nuacutemeros enteros las hipocicloides son curvas algebraicas
bull Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x23+y23=R23)
bull Si es irracional la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2
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14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
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15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
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Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
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Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
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21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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14
Ejemplos]
k=3 k=4 k=5 k=6
k=21 k=38 k=55 k=72
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas Se obtiene cuando R=4r
R=2 r=05
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15
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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16
- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
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18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
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19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
2492015
20
Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
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PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide una epicicloide con R=2r
R=16 r=08
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- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
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Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
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19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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- La cardioide una epicicloide con R=r
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre el
radio de la rodante C a una distancia d del centro describe una curva llamada epicicloide acortada
R=8 r=2 h=15
Epicicloide Acortada
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Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
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Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
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Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
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PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
2492015
17
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P sobre la
prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro C describe una curva llamada epicicloide alargada
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide Se obtiene cuando R=3r
2492015
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Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
2492015
19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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20
Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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18
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que
rueda interiormente sobre otra circunferencia fija
R=140 r=04
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R) un punto P
sobre el radio de la rodante C a una distancia d del centro de C describe una curva llamada hipocicloide acortada
R=5 r=2 h=1
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19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
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PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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19
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse
R=6 r=3 h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente sin resbalar sobre otra fija O (de radio R)
un punto P sobre la prolongacioacuten del radio de la rodante C a una distancia d del centro de C
describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5 r=2 h=25
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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Clasificacioacuten de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIOacuteN del movimiento POR ENGRANAJES
bull Los primeros datos que existen sobre la transmisioacuten de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes corresponden al antildeo 1674 Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide
bull Robert Willis profesor de Cambridge fue el que obtuvo la primera aplicacioacuten praacutectica de la epicicloide al emplearla en la construccioacuten de una serie de engranajes intercambiables
2492015
21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales
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21
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
bull Para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de
velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos
primitivos tienen que permanecer tangentes
bull En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectuacutea
entre superficies convexas y coacutencavas
bull El diente con perfil de evolvente es maacutes soacutelido a
igualdad de paso que el cicloidal
bull para la transmisioacuten de una relacioacuten constante de velocidades con engranajes cicloidales los ciacuterculos primitivos tienen que permanecer tangentes
bull La lubricacioacuten de los dientes cicloidales es algo maacutes
eficaz que la de los dientes de evolvente y esta
propiedad es uacutetil en las transmisiones por tornillo sin fin
que transmiten cargas importantes
porcioacuten de dos ruedas con
dientes cicloidales