ecuaciones parametricas

Geometría analítica y algebra

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Docente: Miguel Valverde Morales

[email protected]

2012- 0

Ecuaciones Paramétricas

Lógica - Miguel Valverde Fecha

Objetivo:

1. Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.

2. Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas.

3. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva.

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Introducción


• Imagina que una particula se mueve a lo largo de la curva C.

– Es imposible escribir C

como una función de la

forma y = f(x).

– Ya que al trazar una recta

vertical corta en más de

un punto al gráfico.

Introducción


• Sin embargo las coordenadas x e y de la particula son funciones del tiempo.

Por tanto, podemos escribir

x = f(t) and y = g(t).

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I el conjunto de pares ordenados (f(t),g(t)) es una curva plana, C. Las ecuaciones

x = f(t) y y= g(t)

Son ecuaciones paramétricas de C y t es el parámetro

Definición de curva plana


Ejemplo 1: Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas

Trazado de una curva

2 4 , 2 32

tx t y t y

Solución: Asignado valores a t en el intervalo las ecuaciones paramétricas conducen a los puntos (x, y) que se muestran en la siguiente tabla

t -2 -1 0 1 2 3

x 0 -3 -4 -3 0 5

y -1 -1/2 0 1/2 1 3/2


0;4,2 ttytx

Grafique la curva plana representada por las ecuaciones paramétricas

Eligiendo algunos valores de t y hallamos el correspondiente x e y

t x y

0 002 004

Los valores de t son mayores o igual a cero

yx,

0,0

1 4.112 414 4,2

0,0

4,2

2 222 824 8,2

3 4.232 1234

8,2

12,6

12,6

Observamos el recorrido de la particula. La orientación es la dirección en el tiempo

Curso - Docente Fecha

Eliminación del parámetro

Ecuaciones paramétricas

Despejar t de una de las ecuaciones

Sustituir en la otra ecuación

Ecuación rectangular

2 4

2

x t

ty

2t y 2

2 4x y 24 4x y

La ecuación x = 4y2 – 4 representa una parábola con eje horizontal y vértice (-4,0)


Ajustar el dominio después de la E.P.

Dibujar la curva representada por las ecuaciones1

11

tx y

tt

y

Eliminar el parámetro y ajustar el dominio de la ecuación rectangular resultante

Solución: Despejar t de la ecuación para x

1

1x

t

2 1

1x

t

2

2

1 xt

x

Sustituyendo t en la ecuación de y

22

2

1 11 1 1

11 11

ty x

xt tx

21y x

A partir de la ecuación rectangular se puede reconocer que la curva es una parábola que se abre hacia abajo y su vértice es (0,1)

La ecuación rectangular y = 1 – x2, está definida para todo numero real x; sin embargo, de la ecuación paramétrica para x se observa que la curva está definida sólo para t >-1.



Identidades para eliminar el parámetro

122 CosSen

2 2 1Sec Tg



Eliminación del parámetro ángulo

Trace la curva representada por

3 4 , 0 2x cos y sen yEliminando el parámetro

Solución: Despejando

3 4

x ycos sen y

2 2 1Cos Sen Usando la identidad:

2 2

13 4

x y

2 2

19 16

x y

Ecuaciónrectangular


El Tiempo como parámetro

La trayectoria de un proyectil se modela con las ecuaciones paramétricas

20 0( cosθ) ( senθ) 16x v t y h v t t y

Donde

: es la velocidad inicial (pies/segundo) : es el ángulo con la horizontalh : es la altura desde el suelo

0v

0v

h

y

x

(x(t),y(t))

Suponiendo que Miky golpea una pelota de golf con una velocidad inicial de 150 pies por segundo y un ángulo de 30º respecto de la horizontala) Encuentre las ecuaciones paramétricas que describen la

posición de la pelota en función del tiempo.b) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire? c) ¿Cuándo alcanza su altura máxima? Determine la altura

máxima de la pelota.d) Determine que distancia viaja la pelota por el aire.e) Represente el movimiento de la pelota.

Tiro parabólico

ecuaciones parametricas

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