CINEMATICA :

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

LIC.: CARLOS E. JOO GARCÍA

MOTIVACIÓN:MOTIVACIÓN:

• Todo el universo es un forma infinita de formasdistintas de movimiento, los que en efecto le dan a éstauna característica única y general.

• Así pues y con razón podemos afirmar que es elmovimiento el modo de existir de la materia, y en unsentido mas general, por movimiento entendemos atodo cambio producido en el universo, desde loscambios mecánicos, térmicos, químicos,electromagnéticos, biológicos, históricos, hasta llegara los de nuestra conciencia y pensamiento.

DEFINICIÓN DE LA CINEMÁTICADEFINICIÓN DE LA CINEMÁTICA

EsEs unauna susu propósitopropósito eses responderesponde::

SinSin tenertener enen cuentacuenta

QueQue consideraconsidera solosolo sese

LosLos aspectosaspectos

deldel

CINEMATICACINEMATICA

RAMA DE LA RAMA DE LA

MECÁNICA MECÁNICA

CLASICACLASICA

ESTUDIAR EL ESTUDIAR EL

MOVIMIENTOMOVIMIENTO

¿CÓMO? ¿CÓMO?

¿CUÁNDO?¿CUÁNDO?

¿DÓNDE?¿DÓNDE?

GEOMÉTRICOSGEOMÉTRICOS TEMPORALESTEMPORALES

MOVIMIENTOMOVIMIENTO

LAS CAUSAS QUE LAS CAUSAS QUE

LO PRODUCENLO PRODUCEN PRODUCEN LOS PRODUCEN LOS

MOVIMIENTOSMOVIMIENTOS

SISTEMA DE REFERENCIA

Para estudiar un fenómeno es necesario saber entre otrascosas ¿dónde ocurre? , ¿cuándo ocurre? Y ¿cuánto dura?.Sólo podemos contestas estas preguntas si elegimospreviamente un lugar y un instante de referencia desde loscuales haríamos nuestra mediciones.

Existen situaciones en las que la elección del sistema dereferencia espacial puede dar lugar a opiniones distintas de unmismo movimiento o fenómeno.

Así mismo si elegimos un instante de tiempo como nuestrareferencia, sabríamos la duración que tienen los fenómenos;hacer esto es elegir un sistema de referencia horario.

Sistema de Referencia

Para describir (Cinemática) el movimiento o causas (Dinámica) del

movimiento de cuerpos es IMPORTANTE tener un Sistema de

Referencia a partir del cual se hace la descripción o se analizan las

fuerzas que actúan sobre un cuerpo.

Tales sistemas son:

• Línea Recta (m.r.u. / m.r.u.a / caída libre)

• Plano Cartesiano (tiro parabólico / m.c.u. / dinámica)

• Sistema tridimensional

Todo Sistema de Referencia debe contener:

• Origen

• Convención de signos

• Unidades

Sistema de ReferenciaSistema de Referencia

Plano yzPlano yz

xx

yy

zz

y + ( unidades) y + ( unidades) eje verticaleje vertical

(variable dependiente)(variable dependiente)

x + (unidades)x + (unidades)

eje horizontaleje horizontal

(variable independiente)(variable independiente)

00 11 22 33 44

11

22

--11

--22

--33

--11--22--33--44

sistema de coordenadas cartesiano osistema de coordenadas cartesiano o

sistema de coordenadas rectangularessistema de coordenadas rectangulares

l l l l ll l l l l

l l ll l l

l l l l ll l l l l

l l l ll l l l

3 3

ELEMENTOS DESCRIPTIVOS DEL ELEMENTOS DESCRIPTIVOS DEL

MOVIMIENTO:MOVIMIENTO:

a)a) MóvilMóvil..--eses elel cuerpo,cuerpo, partículapartícula yy enen generalgeneral cualquiercualquier objetoobjeto quequeexperimentaexperimenta elel fenómenofenómeno deldel movimientomovimiento.. LaLa cinemáticacinemática quequeestudiaremosestudiaremos aquíaquí eses dede partículaspartículas..

b)b) VectorVector posiciónposición ((rr))..-- eses elel vectorvector trazadotrazado desdedesde elel origenorigen dedecoordenadascoordenadas hastahasta lala posiciónposición deldel móvilmóvil..

c)c) TrayectoriaTrayectoria..-- eses lala línealínea queque describedescribe elel móvilmóvil durantedurante susumovimientomovimiento..

d)d) DistanciaDistancia recorridarecorrida..--eses lala medidamedida dede lala longitudlongitud dede lala trayectoria,trayectoria,oo espacioespacio recorridorecorrido..

e)e) DesplazamientoDesplazamiento..-- eses unun cantidadcantidad vectorialvectorial queque nosnos indicaindica dede ununmodomodo gráficográfico elel cambiocambio dede posiciónposición queque experimentoexperimento elel móvil,móvil, desdedesdesusu valorvalor inicialinicial hastahasta elel puntopunto finalfinal..

MOVIMIENTO RECTILÍNEOMOVIMIENTO RECTILÍNEO

SeSe denominadenomina movimientomovimientorectilíneo,rectilíneo, aquélaquél cuyacuyatrayectoriatrayectoria eses unauna línealínea rectarecta..

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirála posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si elmóvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda delorigen.

Posición .- La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo tmediante una función x=f(t).

Desplazamiento.- Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t’.

VELOCIDADVELOCIDAD

LaLa velocidadvelocidad mediamedia entreentre loslos instantesinstantes tt yyt't' estáestá definidadefinida porpor::

LaLa velocidadvelocidad mediamedia entreentre loslos instantesinstantes tt yyt't' estáestá definidadefinida porpor::

ParaPara determinardeterminar lala velocidadvelocidad enen elel instanteinstantett,, debemosdebemos hacerhacer elel intervalointervalo dede tiempotiempo DDtttantan pequeñopequeño comocomo seasea posible,posible, enen elel límitelímitecuandocuando DDtt tiendetiende aa cerocero..

YY eses derivadaderivada dede xx concon respectorespecto deldeltiempotiempo tt::

t

xvv

tt D

D

DD 00limlim

dt

dxv

t

x

tt

xxv

D

D

'

'

Ejercicio.- Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera quesu posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, dondex se expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidadpromedio en el intervalo de tiempo entre:

t

xv

D

D

En el instante t=2 s, x=21 m

t’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t m/s

2 y 3 s.

2 y 2.1 s.

2 y 2.01 s.

2 y 2.001 s.

2 y 2.0001 s.

Calcula la velocidad en elinstante t=2s.

Ejercicio.- Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera quesu posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde xse expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidad promedioen el intervalo de tiempo entre:

t

xv

D

D

2 y 3 s.

2 y 2.1 s.

2 y 2.01 s.

2 y 2.001 s.

2 y 2.0001 s.

Calcula la velocidad enel instante t=2s.

En el instante En el instante tt=2 s, =2 s, xx=21 m=21 mtt’ (s)’ (s) xx’ (m)’ (m) ΔΔx=x'x=x'--xx ΔΔt=t't=t'--tt m/sm/s

33 4646 2525 11 2525

2.12.1 23.0523.05 2.052.05 0.10.1 20.520.5

2.012.01 21.200521.2005 0.20050.2005 0.010.01 20.0520.05

2.0012.001 21.02000521.020005 0.0200050.020005 0.0010.001 20.00520.005

2.0002.000

11

21.00200021.002000

0505

0.00200000.0020000

55

0.0000.000

11

20.000520.0005

...... ...... ...... ...... ......

00 2020

·Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la

velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es

una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a

cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t.

La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1

La posición del móvil en el instante t+Dtes x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1

El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2

La velocidad media es :

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

ttt

tttv D

D

DD 510

5.10 2

m/s.10510limlim00

tttvvtt

DDD

APLICACIÓN: Interpretación geométrica APLICACIÓN: Interpretación geométrica

de la derivadade la derivadaElEl siguientesiguiente appletapplet,, nosnos puedepuede ayudarayudar aa entenderentender elelconceptoconcepto dede derivadaderivada yy lala interpretacióninterpretación geométricageométrica dedelala derivadaderivada ((DERIVADADERIVADA))

t

xvv

tt D

D

DD 00limlim

dt

dxv

ACELERACIÓNACELERACIÓN

SupongamosSupongamos queque enen unun instanteinstante tt lala velocidadvelocidaddeldel móvilmóvil eses vv,, yy enen elel instanteinstante t't' lala velocidadvelocidad deldelmóvilmóvil eses v'v'.. SeSe denominadenomina aceleraciónaceleración mediamediaentreentre loslos instantesinstantes tt yy t't' alal cocientecociente entreentre elelcambiocambio dede velocidadvelocidad DDvv=v'=v'--vv yy elel intervalointervalo dedetiempotiempo enen elel queque sese haha tardadotardado enen efectuarefectuardichodicho cambio,cambio, DDtt=t'=t'--tt.. ..

LaLa aceleraciónaceleración enen elel instanteinstante tt eses elel límitelímite dede lalaaceleraciónaceleración mediamedia cuandocuando elel intervalointervalo DDtt tiendetiendeaa cero,cero, queque eses lala definicióndefinición dede lala derivadaderivada dede vv..

PeroPero dichodicho límite,límite, eses lala definicióndefinición dede derivadaderivada dedevv concon respectorespecto deldel tiempotiempo tt::

t

v

tt

vva

D

D

'

'

t

vaa

tt D

D

DD 00limlim

dt

dva

Dada la velocidad del móvil hallar el Dada la velocidad del móvil hallar el

desplazamientodesplazamiento

SiSi conocemosconocemos unun registroregistro dede lala velocidadvelocidadpodemospodemos calcularcalcular elel desplazamientodesplazamiento xx--xx00 deldelmóvilmóvil entreentre loslos instantesinstantes tt00 yy tt,, mediantemediante lalaintegralintegral definidadefinida..

ElEl productoproducto vdtvdt representarepresenta elel

desplazamientodesplazamiento deldel móvilmóvil entreentre loslos

instantesinstantes tt yy t+dtt+dt,, oo enen elel intervalointervalo dtdt.. ElEl

desplazamientodesplazamiento totaltotal eses lala sumasuma dede loslos

infinitosinfinitos desplazamientosdesplazamientos infinitesimalesinfinitesimales

entreentre loslos instantesinstantes tt00 yy tt..

Dada la aceleración del móvil hallar el Dada la aceleración del móvil hallar el

cambio de velocidadcambio de velocidad DelDel mismomismo modo,modo, queque hemoshemos calculadocalculado elel

desplazamientodesplazamiento deldel móvilmóvil entreentre loslos

instantesinstantes tt00 yy tt,, aa partirpartir dede unun registroregistro dede

lala velocidadvelocidad vv enen funciónfunción deldel tiempotiempo tt,,

podemospodemos calcularcalcular elel cambiocambio dede velocidadvelocidad

vv--vv00 queque experimentaexperimenta elel móvilmóvil entreentre

dichosdichos instantes,instantes, aa partirpartir dede unun registroregistro dede

lala aceleraciónaceleración enen funciónfunción deldel tiempotiempo..

En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o

el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el

instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Un movimiento rectilíneo uniforme

es aquél cuya velocidad es

constante, por tanto, la aceleración

es cero. La posición x del móvil en

el instante t lo podemos calcular

integrando :

o gráficamente, en la representación de v en

función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como

cero, por lo que las ecuaciones del movimiento

uniforme resultan

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓNMOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

Movimiento en una dimensión: Definiciones generales,

Movimiento con velocidad constante (MRU)

5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo, Adalberto

Mestanza

19

MOVIMIENTOMOVIMIENTO RECTILÍNEORECTILÍNEO

Se denomina movimiento rectilíneo a

aquel movimiento cuya trayectoria es

una línea recta.

Las magnitudes más importantes son:

Posición inicial (xi)

Posición final (xf)

Tiempo transcurrido (Dt)

Desplazamiento: Dx

Con estas magnitudes se define

la tasa media de cambio de la

posición: velocidad media

2 1med

x xxv

t t

D D D

Ejercicios• Ejercicio 1. Un cometa que viaja

directamente hacia el Sol, es detectado

por primera vez en xi = 3,00·1012 m

respecto al Sol. Exactamente un año

después se encuentra en xf = 2,10·1012

m. Determine su desplazamiento y

velocidad media.

• Solución

• Ejercicio 2. Un corredor recorre 100 m en

12,0 s; luego da la vuelta y recorre 50,0 m

más en 30,0 s y en dirección al punto en que

inició su movimiento. ¿cuál es la velocidad

media para toda su trayectoria?

• Solución

5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,

Adalberto Mestanza20

m

xv

t

D D

28,5km/smv

D if xxx 119,00 10 mxD 50,0m 0

42,0sm

xv

t

D D

1,19m/smv

Distancia recorrida (d)

2,0

8,0

x m i

d m

D

5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,

Adalberto Mestanza21

• Es una magnitud escalar que representa la longitud de la trayectoria recorrida por

el móvil.

• En el movimiento rectilíneo, la distancia recorrida coincide con el valor del

desplazamiento sólo si el móvil no cambia de sentido.

0 5,0 10,07,0

Rapidez media (r)• Rapidez media. Se define como la

distancia recorrida (d) por el móvil en

la unidad de tiempo.

• Ejercicio 3. Observa el movimiento del

deportista y determina su velocidad

media y rapidez media si todo el

movimiento se realiza en t = 3,0 s .

• Solución

• Como Dx = 0-(-3,0)m = 3,0 m

• Como d =15,0 m,

5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,

Adalberto Mestanza22

dr

t

3,01,0

3,0

m mv

s s

15,05,0

3,0

m mr

s s

Velocidad

media

Rapidez

media

0

-3,0 6,0

Movimiento rectilíneo uniforme• Es aquel movimiento en el que la

velocidad en cualquier instante

permanece constante. Esto es, que se

desplaza en línea recta, en una sola

dirección y recorriendo intervalos

iguales en tiempos iguales.

• Si se toma en cuenta que en este tipo de

movimiento la velocidad es igual a la

velocidad media, obtendremos la

ecuación del MRU.

• Ejercicio 4

• Un vehículo parte de la posición -25,0 m

de cierta esquina. Al cabo de 70,00 s se

encuentra en la posición 245,0 m . ¿Cuál

ha sido su velocidad si se sabe que se

movió con velocidad constante?

• Solución

• x1 = -25,0 m

• x2 = 245,0 m

• t = 70,00 s

5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,

Adalberto Mestanza23

0x x v t 245,0 ( 25,0)

70,00

mv

s

3,86m

vs

MOVIMIENTO RECTILÍNEO MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORMEUNIFORME

El desplazamiento o cambio de posición es:

Dx = xf - xi

Para un desplazamiento particular:Dx = x3 - x2

Los intervalos de tiempo son:Dt = tf - ti

Donde tf > ti . Por tanto, Siempre ocurre que:

Dt > 0

¡¡¡ No existen tiempos negativos !!!

t(s) 0 2 4 6 8

x (m) 0 30 60 90 120

•El cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo

A partir de la observación ( y medir posición y tiempo), se registran los datos en unaTabulación

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

.cttet

x

D

D

Los cambios de posición con respecto al tiempo son uniformes

La gráfica de tiempo contra posición es una línea recta

La expresión matemática de una recta es:

y = b + mxDonde: b es la intersección con el eje vertical. m es la pendiente de la recta.La pendiente de la recta se encuentra

mediante:

En nuestro caso, la pendiente es:0

0

xx

yym

.1508

0120

0

0 cttes

m

ss

mm

t

x

tt

xxm

D

D

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

.0

0 cttet

x

tt

xxvm

D

D

En una gráfica de posición contra tiempo (x vs. t), la pendiente de la recta me da la VELOCIDAD.

La ecuación de la recta se encuentra a partir despejar x de la formula para la pendiente

x = x0 + v (t – t0)

También se le conoce como:

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

(uniforme debido a que la velocidad no cambia, siempre es la misma,es una constante)

Donde a la velocidad se le conoce como velocidad media o velocidaduniforme

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

En el desplazamiento:

Dx = xf – x0

Si xf > x0 entonces Dx > 0 (Mov. Derecha)

Si xf < x0 entonces Dx < 0 (Mov. Izquierda)

Si xf = x0 entonces Dx = 0 (Reposo o Regreso)

Ejemplos:mru derecha (correr video)mru izquierda (correr video)

Analizar el movimiento hacia la izquierda¿Qué valor tiene la velocidad? ¿Qué signo tiene?¿Significa lo mismo velocidad y rapidez?

Gráfico posición-tiempo

2,0 5,0fx t

t (m) x(m)

0 2,0

1 7,0

2 12,0

3 17,0

5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo,

Adalberto Mestanza28

• El gráfico posición-tiempo (x-t) se

obtiene de tabular las posiciones para

instantes definidos. Por ejemplo, si la

velocidad del móvil es 5,0 m/s y parte

de la posición inicial 2,0 m realizando

un mru, la ecuación correspondiente

es:

• La gráfica en los ejes x-t tiene el siguiente

aspecto:

• Del gráfico puedes saber la posición inicial

del móvil, la posición en cada instante y la

velocidad.

x (m)

t (s)

2,0

7,0

12,0

17,0

1,0 2,0 3,0

Gráfico velocidad-tiempo• Como en el MRU la velocidad es

constante, la gráfica velocidad-tiemposerá una recta horizontal, paralela al ejedel tiempo.

• De este tipo de gráfico puedes obtener

directamente el valor de la velocidad, v= +5,0 m/s .

• También puedes obtener el

desplazamiento total del móvil,

calculando el “área” comprendida entre

el gráfico de la velocidad y el eje del

tiempo.

Dx =vDt = (+5,0 m/s) (3,0 s) = +15,0 m

• Nota:

• Si la velocidad hubiera sido negativa, el

área también lo sería y correspondería a

un desplazamiento negativo.

• Observa que los valores obtenidos de

Dx y v coinciden en ambos gráficos al

tratarse de un mismo caso.

5/15/2011 29

v (m/s)

t (s)

5,0

1,0 2,0 3,0

2,0 5,0fx t

Movimiento rectilíneo uniformemente

Variado Un movimiento uniformemente

acelerado es aquél cuya aceleración es

constante. Dada la aceleración

podemos obtener el cambio de

velocidad v-v0 entre los instantes t0 y

t, mediante integración, o

gráficamente.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como

cero, quedando las fórmulas del movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y

sustituyéndola en la tercera, relacionamos la

velocidad v con el desplazamiento x-x0

)(2 0

2

0

2 xxavv

5/15/2011Yuri Milachay, Eduardo Castillo

31

Significado geométrico de la

derivada

La derivada de la función en un

punto se interpreta como la

pendiente de la recta tangente a la

curva en ese punto.

CONOCIMIENTOS PREVIOSCONOCIMIENTOS PREVIOS

Calcule las siguientes antiderivadas:

at dt

28 t dt

25 3 2 t t dt

f´( x )

x

1f ´ 2f ´

1f ´ 0

2f ´ 0

SEMANA 2SEMANA 2

MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTEMOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

Defines velocidad instantánea. Aceleración media. Aceleración

instantánea. MRUV. Caída libre.

Velocidad instantánea

dx

vdt

La velocidad instantánea permite calcularla velocidad que posee el móvil en uninstante determinado, por lo que se definecomo el límite de la velocidad media.

Que a su vez, matemáticamente, es laderivada de la posición respecto deltiempo.

Ejercicio. Si la posición del móvil seexpresa en función del tiempo de lasiguiente manera:

Determine la expresión de la velocidadinstantánea.

Ejercicio. A partir del gráfico x-t (a)determine la velocidad media entre t = 0 s yt = 2,0 s. (b) Determine la velocidadinstantánea en el t = 0,75 s. (c) ¿En quéinstante la velocidad es cero?

Solución

(a)

(b)

(c) t = 1,50 s

t 0

xv lim

tD

D

D

235x tismvm ˆ)/25,2(

000,2

050,4

ismv ˆ)/60,0(00,5

00,3

Ejercicio 115 y 118 Pág. 47

Ejercicio. La velocidad de una partícula vienepor:

(a) Hacer una gráfica de v en función del t yhallar el área limitada por la curva en elintervalo de t = 0 s a t = 5,00 s. (b) Hallar lafunción de posición x(t), Utilizarla paracalcular el desplazamiento durante elintervalo de tiempo t = 0 s a t = 5,00 s

Solución

(a)

(b)

(c)

Ejercicio. Considere el grafico de la figura.Suponiendo que x = 0 cuando t = 0, escribalas ecuaciones algebraicas correctas parax(t), v(t) y a (t) con los valores apropiados detodas las constantes.

Solución

Del gráfico v vs t se determina la aceleración

La velocidad y posición

)/00,3()/00,6()( 2 smtsmtv

tsmtsmtx )/00,3()/00,3()( 22

mxxx 0,90)0()5( D

t(s)

v(m/s)

mA 0,90)05(2

)333(

2/0,10010

5050sma

tsmsmtv )/10()/0,50()( 2

22)/5()/50()( tsmtsmtx

Aceleración mediaLa aceleración media es la tasa media de

cambio de la velocidad en un intervalo de

tiempo Dt.

vf– velocidad final

vi – velocidad inicial

Dt – intervalo de tiempo

Se puede calcular su valor mediante la

determinación de la pendiente de la gráfica

velocidad-tiempo del móvil.

D

f i

media

v va

t

Solución

(a)

(b)

Ejercicio 65 Pag. 45Ejercicio. En el instante t = 5 s, un objeto en x

= 3 m se mueve a +5 m/s. Para t = 8 s, se

encuentra en x = 9 m y su velocidad es de -1

m/s. Determinar la aceleración media para

este intervalo :

Solución

Ejercicio. Determine la aceleración media del

móvil cuya gráfica v-t es la que se muestra en

la figura en los siguientes intervalos de

tiempo:

a)

b) 0 t 4 s

0 t 2 s

2/258

)/5()/1(sm

ss

smsmam

2/102

)/0()/2(sm

ss

smsmam

2/202

)/0()/8(sm

ss

smsmam

Aceleración instantáneaLa aceleración instantánea se obtiene

tomando el límite de la aceleración media.

Ejercicio. La velocidad de un cuerpo está

dada por vx(t) = + t2, donde = 3,0 m/s y

= 0,10 m/s3 . Calcule la aceleración

instantánea en t = 6,0 s .

Solución

Gráficamente, la aceleración instantánea es la

pendiente de la tangente en el punto P1.

2 1

0limt

v va

t

dva

dt

D

D

2/2,1)0,6(

20,02

sma

ttdt

dva

x

x

Ejercicios 36Ejercicio. De los gráficos v en función de t

representados en la figura ¿Cuál describe mejor el

movimiento de una partícula con velocidad positiva y

aceleración negativa?.

Solución

Clave e

Ejercicio. En las gráficas mostradas, indique en qué

casos la aceleración es positiva, en qué caso es

negativa y en qué caso es nula.

Solución

a > 0 cuando la recta tangente a la curva se

de pendiente positiva o forme un ángulo

agudo

a < 0 cuando la recta tangente a la curva se

de pendiente negativa o forme un ángulo

obtuso con la horizontal

a = 0 cuando la recta tangente es horizontal

Ejercicio

La figura muestra la velocidad de un auto

solar en función del tiempo. El conductor

acelera desde una señal de alto, viaja 20 s

con una velocidad constante y frena para

detenerse 40 s después de partir del

letrero. a) Calcule la aceleración media

para los siguientes intervalos: de t = 0 s a t

= 10 s, de t = 30 s a t = 40 s, de t = 10 s a t =

30 s y de t = 0 s a t = 40 s. b) calcule la

aceleración instantánea en los instantes t =

20 s y t = 35 s

Solución:

a) A partir de la gráfica se tiene:

2

50/3 01,7

10 0m x

ma

s

0 ;10s s

30 ;40s s

10 ;30s s

t (s) 0 10 30 40

v (km/h) 0 60 60 0

0 ;40s s

60km

v h

1000

1

m

km

1h

50

3600 3

m

s s

2

0 50/31,7

40 30m x

ma

s

2

50/3 50/30

30 10m x

ma

s

2

0 00

40 0m x

ma

s

20x

ma

s

21,7x

ma

s

Movimiento con aceleración constante

0v v at

f iv va

t

En el movimiento con aceleración constante

se cumple que

Integrando la aceleración se obtiene la

expresión de la velocidad.

Integrando la velocidad resultante en el paso

anterior se obtiene la expresión de la posición

instantánea del móvil.

Relación velocidad-aceleración

0

0

0

( )

x t

x

dx v at dt

2

0 0

1

2x x v t at

v > 0 a > 0

v > 0

a < 0

velocidad disminuyerapidez disminuye

velocidad aumentarapidez aumenta

(A)

2º ecuación del mruv (alternativo)

1

-2

D o f ox v t v v t

21

2D ox v t at

El área de la gráfica velocidad-tiempo tiene

significado de desplazamiento. Por eso, si

calculamos el área de la gráfica velocidad-

tiempo del mruv, tendremos el

desplazamiento del móvil.

En nuestro caso, el desplazamiento es igual

a:

Pero, si, reemplazamos la diferencia de

velocidades por el producto de la aceleración

por el tiempo (1º ecuación), tendremos

finalmente:

t (s)

v (m/s)

“área” =desplazamiento

0t

vo

vf

Ecuación velocidad-tiempoEjercicio. Escriba una ecuación de movimiento para cada caso mostrado en la figura.

v > 0

a > 0

v > 0

a < 0

v < 0

a < 0 v < 0

a > 0

(A)

(B)

(C)

(D)

3º ecuación del mruv

f ov v a t

21

2f o ox x v t a t

Se obtiene despejando el tiempo de la

primera ecuación del mruv y reemplazando

lo que resulta en la segunda ecuación del

mruv.

Es una ecuación escalar y se debe tener

cuidado al utilizarla en el cálculo de las

velocidades, por cuanto resultarán dos

valores siempre que exista solución; por lo

que deberá seleccionar el signo de acuerdo

con el movimiento que se describe en el

problema.

Nota:

A partir de estas ecuaciones (y algunas

veces con ayuda de los gráficos) se

resuelven todos los ejercicios del MRUV.

2 2 2 ( )f o f iv v a x x

Ejercicios

Ejercicio

Un avión recorre 280 m en una pista antes

de despegar; parte del reposo, se mueve

con aceleración constante y está en el aire

en 8,00 s . ¿Qué rapidez tiene cuando

despega?

Solución

Ejercicio

La figura es una gráfica de la aceleración de

una locomotora de juguete que se mueve

en el eje x. Dibuje la gráfica de su velocidad

en función del tiempo si vx = 0 cuando t =

0 s.

Solución

vx

vo = 0

x = 0

x = 280 m

x oxo

v vx( t ) x t

2

70,0xm

vs

t (s)

vx (m/s2)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

CINEMATICA:CINEMATICA:

MOVIMIENTO DE CAÍDA DE LOS MOVIMIENTO DE CAÍDA DE LOS

CUERPOSCUERPOS

LIC. CARLOS E. JOO GARCIALIC. CARLOS E. JOO GARCIA

INTRODUCCIÓN

En esta clase se van a estudiar las ecuaciones del

movimiento rectilíneo uniformemente variado (acelerado), y

en concreto el movimiento de caída de los cuerpos bajo la

aceleración de la gravedad.

Si bien, es un tema que se estudia a lo largo de todos los

cursos de Física, desde los más elementales, persisten

algunas dificultades y en concreto aquellas que confunden la

posición del móvil con espacio recorrido.

Se ha de insistir, que las magnitudes cinemáticas

tienen carácter vectorial, incluso en el movimiento

rectilíneo, y que para describir un movimiento se

han de seguir los siguientes pasos:

1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y el eje

a lo largo del cual tiene lugar el movimiento

2. El valor y signo de la aceleración

3. El valor y el signo de la velocidad inicial

4. La posición inicial del móvil

5. Escribir las ecuaciones del movimiento

6. A partir de los datos, despejar las incógnitas

DescripciónDescripción

UnUn cuerpocuerpo eses lanzadolanzado desdedesde elel techotecho dede ununedificioedificio dede alturaaltura xx00 concon velocidadvelocidad vv00,,determinardeterminar laslas ecuacionesecuaciones deldel movimiento,movimiento, lalaalturaaltura máximamáxima yy elel tiempotiempo queque tardatarda elel cuerpocuerpoenen alcanzaralcanzar elel origenorigen..

PrimeroPrimero,, establecemosestablecemos elel origenorigen yy lala direccióndireccióndeldel movimiento,movimiento, elel ejeeje XX..

Después,Después, loslos valoresvalores dede lala posiciónposición inicialinicial yyloslos valoresvalores yy signossignos dede lala velocidadvelocidad inicial,inicial, yydede lala aceleración,aceleración, taltal comocomo sese indicaindica enen lalafigurafigura..

ResultandoResultando laslas siguientessiguientes ecuacionesecuaciones deldelmovimientomovimiento..

DescripciónDescripción Cuando alcanza la altura máxima, la

velocidad del móvil es cero. De la ecuación dela velocidad, se obtiene el tiempo quetranscurre desde que se lanza hasta que llegaa dicha posición. El tiempo transcurrido sesustituye en la ecuación de la posición,obteniéndose la máxima altura que alcanza elmóvil medida desde el suelo.

El tiempo que tarda en llegar al suelo, seobtiene a partir de la ecuación de la posición,poniendo x=0, resolviendo una ecuación desegundo grado:

g

vt 0

g

vxx

2

00

2

1

02

1 2

00 gttvx

SIGNOS:

Signo de la aceleración: Si el ejeX apunta hacia arriba la aceleraciónde la gravedad vale a=-g, g=9.8ó 10 m/s2.

Signo de la velocidad inicial: Si eleje X apunta hacia arriba y elcuerpo es inicialmente lanzadohacia arriba el signo de la velocidadinicial es positivo, en caso de serlanzado hacia abajo el signo esnegativo.

Situación del origen: Se acostumbra a poner en el origen,

en el punto en el que es lanzado elmóvil en el instante inicial. Esto notiene que ser siempre así, si uncuerpo es lanzado desde el techo deun edificio podemos situar el origenen el suelo, la posición inicial delmóvil correspondería a la altura deledificio h.

Si situamos el origen en el techo deledificio y lanzamos el móvil desde elsuelo, la posición inicial sería -h.

Actividades (CAIDA LIBRE)

Caída libre

29,81

m

g js

En el caso de la caída libre (caída de

un cuerpo cerca de la superficie

terrestre), se aplican las mismas

ecuaciones del MRUV, considerando

que

g = 9,81 m/s2

Eso significa que TODOS los

cuerpos, cerca de la superficie

terrestre, caen con la misma

aceleración.

Como es un movimiento con

aceleración constante, debe regirse

por las mismas ecuaciones del MRUV.

0v v at

2

0

1x x vt at

2

0v v 9,81t

2

0

1y y vt ( 9,81)t

2

Ejercicios

Ejercicio

Se deja caer un tabique (rapidez inicial

cero) desde la azotea de un edificio. El

tabique choca con el piso 2,50 sdespués. Se puede despreciar la

resistencia del aire, así que el tabique

está en caída libre. a) ¿Qué altura tiene

el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene la

velocidad del tabique justo antes de

tocar el suelo? c) dibuje las gráficas ay-t,vy-t y y-t para el movimiento.

Solución

Ejercicio

Un rifle dispara una bala verticalmente

hacia arriba con una velocidad en la

boca del arma de 300 m/s.

despreciando el rozamiento del aire,

¿cuál es la altura máxima alcanzada por

la bola?

Solución

v0=+300 m/s

vf = 0 m/s

2( 9,81)0 0(2,50) (2,50)

2

H

2( )2

y

o oy

ay t y v t t

30,7H m

2 2

i f iv v 2 9,81 ( y y )

2 2

if i

v 300( y y )

2 9,81 2 9,81

f i( y y ) 4587 m

Ejercicios

Ejercicio

Con una rapidez inicial de 15 m/s se lanza

hacia arriba una pelota desde la azotea de

un edificio de 30 m de altura. Determine: a)

la velocidad y posición de la pelota 1,00 s y

4,00 s después de ser lanzada. b) El instante

en que la pelota se encuentra 5,00 m por

debajo de la azotea.

Solución

a)

b)

Ejercicio

Una maceta cae del borde de una azotea y

pasa frente a una ventana. Se puede

despreciar la resistencia del aire. La maceta

tarda 0,420 s en pasar por la ventana, cuya

altura es 1,90 m. Desde qué altura sobre el

marco superior de la ventana cayó la

maceta.

Solución

Datos

y(1,00 s ) 40,1 m j

v (1,00 s ) 5,19 m / s j

y(4,00 s) 11,5 m j

v ( 4,00 s ) 24,2 m / s j

29,81y( t ) 30,0 15t t 25

2

t 3,36 s

h

1,90 m

t1

t2

2 1

2 1

1

2 y (v v ) t

v v 9,81 t

2 y ( 2v 9,81 t ) t

D D

D

D D D

2 2 2

y 1 02a y v v 2( 9,81)( h ) ( 2,46 )

h 0,309 m

D

m/s ,46v1 2

m -1,90y , s 0,420Δt D

EjerciciosUna grúa levanta una carga de ladrillos avelocidad constante de 5,30 m/s , cuando a6,00 m del suelo se desprende un ladrillo dela carga. a) ¿Cuál es la altura máximarespecto al suelo que alcanza el ladrillo? b)¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? c)¿cuál es su velocidad justo antes de tocar elsuelo? d) En un mismo sistemacoordenado dibuje las gráficas y-t para elmovimiento del ladrillo y para la carga.

Altura máxima:

Tiempo en llegar al suelo

Velocidad antes de chocar al suelo

Un objeto cae de una altura de 120 m. Determinar la altura que recorre durante su último segundo en el aire.

Solución

Tiempo en llegar al suelo

La altura que recorre en el último segundoes igual a la altura que tiene un segundoantes de llegar al suelo.

0 y

2

máxima

v( t ) v a t : 0,00 5,30 9,81t t 0,540 s

9,81( 0,540 )y( 0,540 ) 6,00 5,30( 0,540 )

2

H 7,43 m

29,81ty( t ) 6,00 5,30t 0,00

2

t 1,77 s

v(1,77 s ) 5,30 9,81(1,77 s ) v (1,77 s ) -12,1 m / s j

29,81ty( t ) 120 0,00

2

t 4,95 s

29,81( 3,95 )y( 3,95 s ) 120

2

y( 3,95 s) 43,5 m

PROBLEMA 1:

El movimiento rectilíneo de una partícula esta definido porsu vector posición según la expresión r = (2+ 4 t -2 t2) i m.Determinar:

a) Su velocidad y aceleración

b) El tiempo transcurrido hasta que la partícula pasa por elorigen y la distancia recorrida:

PROBLEMA 2: Un coche inicia su movimiento con una aceleración de 6

m/s2 que la mantiene durante 4 s, En los siguientes 8 s semueve con velocidad constante y después, aplicando losfrenos, desacelera a razón de 10 m/s2 hasta pararse.Determinar :

a) la velocidad cuando el movimiento es uniforme

b) la distancia total recorrida

c) la gráfica v-t, comprobando que el área encerrada por la curva y el eje del tiempo es numérica­mente igual a la distancia recorrida.

PROBLEMA 3: Una partícula se mueve a lo largo de una recta con

aceleración constante a0 =6 m/s2. En el instante inicial t=0su posición y velocidad son x0=1m y v0= 2 m/s. Determinarsu velocidad y posición:

a) gráficamente,

b) por integración

PROBLEMA 4: La velocidad de una partícula cuyo movimiento es rectilíneo

varía en función del tiempo según la gráfica adjunta. En elinstante inicial la partícula se encuentra a -12 m del origen.Determinar:

a) las gráficas a-t y x-t en el intervalo 0 < t < 16 s

b) los instantes en que la partícula pasa por el origen

PROBLEMA 5:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta deacuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s.. Calcule lavelocidad y su posición en el instante t0=2 s.

PROBLEMA 6:

La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una

línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2.Determine la velocidad y aceleración en el instante t0=3 s.

13

43

t

tv

PROBLEMA 7: En el instante T=10s una partícula cuya trayectoria es

rectilínea y su aceleración constante, se encuentra a 80mdel origen de coordenadas, moviéndose con una velocidadde -12m/s. si en el instante inicial se encuentra en elorigen, determinar:

La velocidad y aceleración iniciales.

La distancia recorrida hasta el instante inicial t=10s.

Dibujar las gráficas x(t) y v(t).

PRACTICAS DE LABORATORIO VIRTUAL: TRABAJO EN INTERNET:

ESTUDIO PRÁCTICO DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORME:(MRU-PRACTICA1) (http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/practica/practica.htm#Experiencia)

ESTUDIO PRÁCTICO DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORMEMENTE ACELERADO: (MRUV-PRACTICA)

(http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/practica/practica1.htm#Experiencia)