cálculo diferencial e integral de una variable 1 cálculo de volumen

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Cálculo de volumen

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INTRODUCCIÓN

Al tratar de calcular el volumen de un sólido enfrentamos el mismo problema que al tratar de calcular un área.Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una definición exacta.

Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos sencillos como cilindros y prismas.

33


Ah

Cilindro RectoV = Ah

rh

Cilindro circularV = r2h

ab

c

ParalelepípedoRectangular

V = abc

El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores

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VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.

55


Diferencial de volumen

∆xi

f(xi)

2[ ( ) ]i i iV f x x 2[ ( ) ]i i iV f x x

a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

MÉTODO DEL DISCO

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TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

2

1

2

lim [ ( )]

[ ( )]

n

i ini

b

a

V f x x

f x dx

77


Ejemplo 1:Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

88


Ejemplo 2:Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1.

y

99


3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.

y

xyyxR2

0412 ;/,

1010


Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente:

El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c<d), alrededor del eje Y será igual a:

2[ ( )]d

cV g y dy

1111


MÉTODO DE LA ARANDELA

Cuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.

a bx

y

x

(*)


f(xi)g(xi)

xi

i22

i x))]x(g[)]x(f[(V

1212


TEOREMA

Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:

2 2

1

2 2

lim ([ ( )] [ ( )] )

([ ( )] [ ( )] )

n

i i ini

b

a

V f x g x x

f x g x dx

1313


Ejemplo 4:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

1414


Ejemplo 5

1515


Ejemplo 6:Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

1616


x

xi

A(b)A(a)

ba xi

A(xi)

El diferencial de volumen

A(xi)

xi

Vi = A(xi) xi

Cálculo de volúmenes de sólidos que no son de revolución

1717


El volumen del sólido será aproximadamente:

Se define el volumen V como el límite de la suma de Riemann

1818


Ejemplo 7: Calcular el volumen de una esfera de radio R.

x

y

x

Ry

1919


Ejemplo 8: Utilice la definición anterior para calcular el volumen de una pirámide de altura h y base cuadrada de lado b.

h

b

yi

2020


Ejemplo 9:Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.

MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS

2121


MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS

En algunos casos se desea calcular el volumen de una región limitada por una función y = f(x) al girar alrededor del eje y, para lo cual se deben hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es muy complicado por lo que se usará otro método: los cascarones cilíndricos.

¿Cómo escogería el elemento diferencial

de volumen?

2222


xixi

f(xi)


xixi

f(xi)

Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:

iiii xxfxV )(2

2323


2424


TEOREMA

Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:

1

lim 2 ( )

2 ( )

n

i i ini

b

a

V x f x x

x f x dx

2525


Ejemplo 10:Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.

2626


Ejemplo 11:La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado.

y = -3

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