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Aplicaciones de la derivada

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Problemas de tasas relacionadas.

Habilidades

1. Identifica los tipos de problemas sobre tasas relacionadas.2. Resuelve problemas de tasas.

Estrategia1. Lea con cuidado el problema.2. Trace si es posible, un diagrama.3. Adopte una notación. Asigne símbolos a todas las cantidades

que sean funciones del tiempo.4. Exprese la información dada y la tasa requerida en términos

de derivadas.5. Deduzca una ecuación que relacione las diversas cantidades

del problema. Si es necesario, use la geometría del caso que se ve, para eliminar una de las variables por sustitución.

6. Utilice la regla de la cadena para derivar ambos lados de la ecuación, con respecto al tiempo.

7. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y despeje la rapidez o tasa desconocida.

Ejemplo 1Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Una escalera de 10 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se desliza alejándose de la pared con una velocidad de 2 pies/s, ¿Con qué velocidad se mueve el extremo superior de la escalera en el momento en que se halla a 6 pies del piso?

Ejemplo 1

A mediodía el barco A está a 150 km al oeste del barco B. La embarcación A navega hacia el este a 35 km/h y B hacia el norte a 25 km/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ambos a las 4 pm.?

Ejemplo 2

4 p.m.

Ejemplo 2

Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el muro a una velocidad de 1,6 m/s, ¿con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el muro cuando está a 4 m de la pared?

Ejemplo 3

Un reflector en el piso alumbra un muro a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de altura camina del reflector hacia el muro a una velocidad de 1,6 m/s, ¿con qué velocidad disminuye la altura de su sombra en el muro cuando está a 4 m de la pared?

Ejemplo 3

Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda atada a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esta polea está 1 m mas alta que la proa del bote. Si la cuerda se desliza con una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de él?

Ejemplo 4

Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda atada a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esta polea está 1 m mas alta que la proa del bote. Si la cuerda se desliza con una velocidad de 1 m/s, ¿con qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando está a 8 m de distancia de él?

Ejemplo 4

Un canal tiene 10 pies de largo y sus extremos presentan la forma de triángulo isósceles de 3 pies de ancho y 1 pie de altura. Si el canal se llena de agua con un flujo de 12 pies cúbicos por minuto, ¿con qué velocidad cambia el nivel del agua cuando hay 6 pulgadas de profundidad?

Ejemplo 5

Cuando el aire se expande adiabáticamente (sin ganar ni perder calor), su presión P y su volumen V se relacionan mediante la ecuación:

CPV 4,1

donde C es una constante. En cierto instante el volumen es 400 cm3 y la presión 80 kPa y disminuye a 10 kPa/min. ¿Con qué velocidad aumenta el volumen en ese momento?

Ejemplo 6

Un faro se encuentra en una isleta a 3 km del punto mas cercano, P, de una costa recta y su linterna gira a 4 rpm. ¿Con qué velocidad el haz luminoso barre la costa cuando pasa por un punto a 1 km de P?

Ejemplo 7

Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?

Ejemplo 8

Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el este a 3 mi/h y la otra hacia el noreste a 2 mi/h. ¿Con qué velocidad cambia la distancia entre ellas después de 15 minutos?

Ejemplo 8

Ejemplo 9

Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido, con radio de la base igual a 2 m y 4 m de altura. Si se le bombea agua, con una velocidad de 2 m3/min. Calcula la velocidad con que sube el nivel del agua cuando la profundidad alcanza 3 m.

Un canal de agua tiene 10 m de longitud y sus sección transversal posee la forma de un trapezoide isósceles, de 30 cm de ancho en el fondo, 80 cm de ancho en la parte superior y 50 cm de altura. Si el canalón se llena con 0.2 m3/min de agua ¿Con qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad de ésta es de 30cm?

Ejemplo 10

Ejemplo 11

Se emplea una cámara de TV a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. Cuando el cohete esta a 3000 pies del suelo lleva una velocidad de 600 pies/s.

a) ¿Con qué velocidad crece la distancia de la cámara de TV al cohete en ese momento?

b) Si la cámara siempre se encuentra enfocada en el cohete, ¿a qué tasa se modifica su ángulo de elevación en ese momento?

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Sección 3.10

Ejercicios 3.10 pág 257:2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 17, 18, 20, 21, 24, 26,29, 31, 32,33.

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