PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

Estudios Generales Ciencias

Calculo 2

Tercera Practica Calicada

(2012-2)

Indicaciones:

No esta permitido el uso de apuntes de clase ni textos.

Explique detalladamente la solucion de cada pregunta.

Tiempo de duracion de la prueba: 1 hora con 50 minutos.

1. Dada la funcion

f(x) =p1 + sen(x)

a) Use el polinomio de Taylor de f de grado dos alrededor de x0 = 0 para encontrar

un valor aproximado de (3 puntos)Z 10

f(x)dx

b) Use el polinomio de Taylor de f de grado uno alrededor de x0 = 0 para aproximar

el valor de f(1). Indique el error cometido en tal aproximacion. (2 puntos)

2. a) Analice la convergencia de (3 puntos)Z +10

1 + cos(x)4px+ x2

dx

b) Calcule (2 puntos)Z 10

1px(1 x) dx:

Continua

Este material, de distribucin gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realizacin de las evaluaciones.

3. a) Sean la curva C : y = x2 y la recta L : y = x+ 2. Halle la longitud de la porcionde C comprendido entre los puntos de interseccion con L. (2.5 puntos)

b) Determine el area de la supercie generada al hacer girar alrededor del eje Y la

parte de la astroide (2.5 puntos)

x2=3 + y2=3 = 1; x 0; y 0:

4. Dada la curva c

C : y =px3; 1 x 4:

a) Use la regla del trapecio con n = 6 subintervalos para aproximar el area de la

supercie de revolucion que genera la curva C cuando gira alrededor del eje X.(3 puntos)

b) Halle una cota para el error en la aproximacion de la parte a). (2 puntos)

Prueba elaborada por los profesores del curso.

Coordinador de practicas: Prof. Roy Sanchez G.

San Miguel, 10 de noviembre de 2012

Este material, de distribucin gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realizacin de las evaluaciones.

Solucion de la Tercera Practica Calicada

(2012-2)

Calculo 2

1. Dada la funcion

f(x) =p1 + sen(x):

a) Use el polinomio de Taylor de f de grado dos alrededor de x0 = 0 para encontrar

un valor aproximado de (3 puntos)Z 10

f(x)dx:

Solucion.

Las derivadas de f y sus evaluaciones en x0 = 0

f 0(x) =1

2

cosxpsin x+ 1

) f 0(0) = 12;

f 00(x) = 18 (sinx+ 1)

32

(4 sin x cos 2x+ 3)) f 00(0) = 14:

El polinomio de Taylor de grado dos de f en x0 = 0

P2 (x) = 1 +1

2x 1

8x2:

La aproximacion

Z 10

f(x)dx 1Z

0

1 +

1

2x 1

8x2dx = 1: 208 3:

b) Use el polinomio de Taylor de f de grado uno alrededor de x0 = 0 para aproximar

el valor de f(1). Indique el error cometido en tal aproximacion. (2 puntos)

Solucion. El polinomio de Taylor de grado uno de f

P1 (x) = 1 +1

2x:

La aproximacion en x0 = 1

f (1) P1 (1) = 32:

El error en la aproximacion

jf 00 (x)j 1) R1 (x) x2

2=

1

2:

2. a) Analice la convergencia de (3 puntos)Z +10

1 + cos(x)4px+ x2

dx

Solucion. La integral es equivalente a la suma de los dos tipos de integrales

impropiasZ +10

1 + cos(x)4px+ x2

dx =

Z 10

1 + cos(x)4px+ x2

dx| {z }I1

+

Z +11

1 cos(x)4px+ x2

dx| {z }I2

Analizamos la convergencia de I1. Si 0 < x < 1 entonces

1

x1=4 + x2