Bárbara Cánovas Conesa

637 720 113 www.clasesalacarta.com 1

Junio 2017

Dada la matriz 𝑀 = (−2−1) se pide:

a) Realiza el producto 𝑀 · 𝑀𝑡 (siendo 𝑀𝑡 la matriz transpuesta de M) b) Despeja X en la siguiente expresión matricial: 𝑃 · 𝑋 = 𝑀 · 𝑀𝑡

c) Si 𝑃 = (−2 −33 4

), obtén la expresión de la matriz X del apartado anterior

𝑀𝑡 = (−2 −1) → 𝑀 · 𝑀𝑡 = (−2−1) · (−2 −1) → 𝑴 · 𝑴𝒕 = (

𝟒 𝟐𝟐 𝟏

)

𝑃 · 𝑋 = 𝑀 · 𝑀𝑡 → 𝑃−1 · 𝑃 · 𝑋 = 𝑃−1 · 𝑀 · 𝑀𝑡 → 𝐼𝑋 = 𝑃−1 · 𝑀 · 𝑀𝑡 → 𝑿 = 𝑷−𝟏 · 𝑴 · 𝑴𝒕

𝑃−1 =1

|𝑃|((𝑃)𝑎𝑑𝑡𝑗)𝑡 →

{

|𝑃| = 1

(𝑃)𝑎𝑑𝑡𝑗 = (4 −33 −2

)

((𝑃)𝑎𝑑𝑡𝑗)𝑡 = (4 3−3 −2

)

→ 𝑷−𝟏 = (𝟒 𝟑−𝟑 −𝟐

)

𝑋 = 𝑃−1 · 𝑀 · 𝑀𝑡 = (4 3−3 −2

) · (−2−1) · (−2 −1) = (

−118) · (−2 −1) → 𝑿 = (

𝟐𝟐 𝟏𝟏−𝟏𝟔 −𝟖

)

A través de una página de internet se han vendido hoy 320 entradas para tres eventos distintos: un estreno de cine,

una función teatral y un concierto de música. El valor de lo recaudado en total por esta venta de entradas es de 6460 euros. Sabemos que una entrada de cine vale 8 euros, una de teatro 20 euros y una para el concierto de música vale 30 euros. El número de entradas para el concierto musical es triple que las de teatro.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas entradas se han vendido para cada uno de los eventos.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

x = nº entradas Cine y = nº entradas Teatro z = nº entradas Música

{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 320 8𝑥 + 20𝑦 + 30𝑧 = 6460𝑧 = 3𝑦

→ {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟑𝟐𝟎 𝟖𝒙 + 𝟐𝟎𝒚 + 𝟑𝟎𝒛 = 𝟔𝟒𝟔𝟎−𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟎

Lo resolvemos por Gauss:

(1 1 18 20 300 −3 1

|32064600) → 𝐸2 = 8𝐸1 − 𝐸2 → (

1 1 10 −12 −220 −3 1

|320−39000

) → 𝐸3 = 𝐸2 − 4𝐸3

→ (1 1 10 −12 −220 0 −26

|320−3900−3900

)

→ {𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝒚 = 𝟓𝟎 𝒛 = 𝟏𝟓𝟎

Es decir, se vendieron 120 entradas de Cine, 50 entradas de Teatro y 150 de Música.

Se considera la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1𝑥 + 𝑡 𝑠𝑖 𝑥 > 1

a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 1? b) Para t = 0, calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (-, 1). c) Para t = 0, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (-, 1).

Para que la función sea continua en x = 1, se tiene que cumplir:

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1+

𝑓(𝑥) = 𝑓(1) → {

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1−

(𝑥2 + 𝑥 − 3) = −𝟏

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1+

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1+

𝑓(𝑥 + 𝑡) = 𝟏 + 𝒕

𝑓(1) = −𝟏

→ −1 = 1 + 𝑡 → 𝒕 = −𝟐

Para t = 0, la función queda: 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1

.

www.clasesalacarta.com 2

EvAU _ Matemáticas _ CCSS _ CLM

En el intervalo donde nos piden estudiar el crecimiento y los extremos relativos, la función toma la forma:

(−∞, 1) → 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 3 Hacemos la primera derivada:

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 1

La igualamos a cero para calcular las posibles abscisas de los extremos relativos:

2𝑥 + 1 = 0 → 𝒙 = −𝟏

𝟐

Por último, estudiamos el signo de la primera derivada a ambos lados de la x obtenida:

- Decrece: (-, -½) - Crece: (½, 1)

- Mínimo:

(1

2, -

9

4)

De la función 𝐻(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 sabemos que tiene un punto de inflexión en (0, 2

3) y un máximo relativo en el

punto (4, 6). Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros a, b y c.

Si la función tiene un punto de inflexión en el punto (0, 2

3):

|𝐻(0) =

2

3→ 𝒄 =

𝟐

𝟑

𝐻′′(0) = 0 → 𝐻′(𝑥) = 3𝑎𝑥2 + 𝑏 → 𝐻′′(𝑥) = 6𝑎𝑥 → 𝟎 = 𝟎→ 𝐻(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏 𝑥 +

2

3

Si la función tiene un máximo relativo en el punto (4,6):

|𝐻(4) = 6 → 64𝑎 + 4𝑏 +

2

3= 6 → 𝟔𝟒𝒂 + 𝟒𝒃 =

𝟏𝟔

𝟑𝐻′(4) = 0 → 𝟒𝟖𝒂 + 𝒃 = 𝟎

Por último hacemos un sistema de ecuaciones

{64𝑎 + 4𝑏 =16

348𝑎 + 𝑏 = 0

×4→ { 64𝑎 + 4𝑏 =

16

3192𝑎 + 4𝑏 = 0

→ −128𝑎 =16

3→ 𝒂 =

−𝟏

𝟐𝟒→ 𝒃 = 𝟐

Por lo que la función queda:

𝐻(𝑥) = −𝑥3

24 + 2𝑥 +

2

3

En un instituto el 45% de los estudiantes son de la modalidad de Ciencias, el 35% son de la modalidad de

Humanidades y Ciencias Sociales y el resto son de la modalidad de Arte. También se sabe que el 10% de los estudiantes de Ciencias tienen una nota media superior a 8, el 20% de los de Humanidades y Ciencias Sociales y el 25% de los de la modalidad de Arte.

a) Calcule la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, tenga una nota media superior a 8. b) Si tenemos un estudiante que tiene una nota media menor o igual a 8, ¿cuál es la probabilidad de que sea Ciencias?

Para responder a las preguntas hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos:

- C = “que el estudiante escogido sea de Ciencias”

- H = “que el estudiante escogido sea de Humanidades”

- A = “que el estudiante escogido sea de Arte”

- S = “que el estudiante escogido tenga nota superior a 8”

- S̅ = “que el estudiante escogido no tenga nota superior a 8”

f’(-1) < 0 f’(0) > 0 |

-1/2

|

1

0,45

H

S

0,2

0,8

CS0,1

0,9

AS

S0,75

0,250,2

S

S0,35

Bárbara Cánovas Conesa

637 720 113 www.clasesalacarta.com 3

Junio 2017

Para calcular la probabilidad de que el estudiante escogido tenga nota superior a 8, usamos el teorema de la probabilidad total:

𝑃(𝑆) = 𝑃(𝐶) · 𝑃(𝑆|𝐶) + 𝑃(𝐻) · 𝑃(𝑆|𝐻) + 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝑆|𝐴) = 0.45 · 0.1 + 0.35 · 0.2 + 0.2 · 0.25 → 𝑷(𝑺) = 𝟎. 𝟏𝟔𝟓

Para calcular la probabilidad de que teniendo una nota menor o igual a 8 sea de Ciencias, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes:

𝑃(𝐶|𝑆̅) =𝑃(𝐶 ∩ 𝑆̅)

𝑃(𝑆̅)=𝑃(𝑆̅|𝐶) · 𝑃(𝐶)

𝑃(𝑆̅)=0.9 · 0.45

1 − 0.165→ 𝑷(𝑪|�̅�) = 𝟎. 𝟒𝟖𝟓

Los tiempos que tardan unos corredores en recorrer 6 kilómetros sigue una distribución normal de media

desconocida y desviación típica =10 minutos. Se eligen al azar 10 corredores y se mide el tiempo que tardan en hacer los seis kilómetros, siendo estos: 15, 19, 20, 22, 24, 25, 27, 28, 30 y 32 minutos respectivamente.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo medio que tarda los corredores en hacer los 6 kilómetros, con un nivel de confianza del 95%

b) ¿Cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto?

El intervalo de confianza para la media es: 𝐼𝐶 = (𝑥 ̅ ± 𝑍𝛼

2⁄·𝜎

√𝑛)

𝑥 ̅ =15+19+20+22+24+25+27+28+30+32

10=242

10→ 𝒙 ̅ = 𝟐𝟒. 𝟐 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔

= 10 minutos

n = 10

1 − = 0.95 → = 𝟎. 𝟎𝟓 → 𝜶 𝟐⁄ = 𝟎. 𝟎𝟐𝟓 → 𝟏 − 𝜶 𝟐⁄ = 𝟎. 𝟗𝟕𝟓

El valor crítico Zα2⁄

es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα2⁄) 1 − α 2⁄ buscamos

en la tabla P (Z Zα2⁄) 0.975 Zα

2⁄ = 1.96

𝐼𝐶 = (𝑥 ̅ ± 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛) = (24.2 ± 1.96 ·

10

√10) = (24.2 ± 6.19) → 𝐼𝐶 = (𝟏𝟖. 𝟎𝟏, 𝟑𝟎. 𝟑𝟗)

Para que el error máximo admisible sea menor que 1 minuto:

𝐸 < 1 → 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛< 1 → 1.96 ·

10

√𝑛< 1 → 19.6 < √𝑛 → 𝒏 > 𝟑𝟖𝟒. 𝟏𝟔

Es decir, el tamaño mínimo es de 385 personas.

Bárbara Cánovas Conesa

637 720 113 www.clasesalacarta.com

4

EvAU _ Matemáticas CCSS _ CLM

Considera el siguiente problema de programación lineal:

Minimizar la función F = 5x + 3y sujeta a las siguientes restricciones: x + 2y 16 5x + 4y 38 4y - x 2

a) Dibuja la región factible b) Determina los vértices de la región factible c) Indica la solución óptima del problema dado y su valor

Función a minimizar: F(x, y)= 5x + 3y

{

𝑥 + 2𝑦 ≤ 165𝑥 + 4𝑦 ≥ 38−𝑥 + 4𝑦 ≥ 2

→

{

{𝑥 + 2𝑦 = 16 5𝑥 + 4𝑦 = 38

→ 𝑽𝟏 = (𝟐, 𝟕)

{𝑥 + 2𝑦 = 16−𝑥 + 4𝑦 = 2

→ 𝑽𝟐 = (𝟏𝟎, 𝟑)

{5𝑥 + 4𝑦 = 38 −𝑥 + 4𝑦 = 2

→ 𝑽𝟑 = (𝟔, 𝟐)

Los valores que toma la función F(x, y)= 5x + 3y en cada uno de los vértices:

En el vértice V1 : T(2, 7) = 31

En el vértice V2 : T(10, 3) = 59

En el vértice V3 : T(6, 2) = 36

Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice V1, es decir, para x = 2 e y = 7, T(x,y) toma un valor mínimo de 31.

Un coleccionista de objetos antiguos tiene 40 pesas; algunas son de 200 g, otras son de 100 g y también tiene algunas

pesas de 50 g. El número de pesas de 50 g supera en ocho a la suma de las pesas de 200 g y las de 100 g. Todas las pesas juntas nos dan un peso total de 3400 g.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas pesas de cada valor posee el coleccionista. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.

x = nº pesas 200g y = nº pesas 100g z = nº pesas 50g

{

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 40

𝑧 = 8 + (𝑥 + 𝑦) 200𝑥 + 100𝑦 + 50𝑧 = 3400

→ {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟒𝟎 −𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟖 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟑𝟒𝟎

Lo resolvemos por Gauss:

(1 1 1−1 −1 120 10 5

|408340

) → 𝐸2 = 𝐸1 + 𝐸2𝐸3 = 20𝐸1 − 𝐸3

→ (1 1 10 0 20 10 15

|4048460

) → {𝒙 = 𝟔 𝒚 = 𝟏𝟎 𝒛 = 𝟐𝟒

Es decir, posee 6 pesas de 200g, 10 pesas de 100g y 24 pesas de 50g.

Se considera la función 𝑓(𝑥) = {(𝑥 + 2)2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1(𝑥 − 2)2 + 𝑡 𝑠𝑖 𝑥 > 1

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 1. b) Para t = 0, representa gráficamente la función f.

Para que la función sea continua en x = 1, se tiene que cumplir:

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1+

𝑓(𝑥) = 𝑓(1) → {

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1−

(𝑥 + 2)2 = 𝟗

𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1+

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥 → 1+

(𝑥 − 2)2 + 𝑡 = 𝟏 + 𝒕

𝑓(1) = 𝟗

→ 9 = 1 + 𝑡 → 𝒕 = 𝟖

10 –

9 –

8 –

7 –

6 –

5 –

4 –

3 –

2 –

1 –

0 –

0 –

1 –

2 –

3 –

4 –

5 –

6 –

7 –

8 –

9 –

10 –

V3 (6, 2)

V2 (10, 3)

V1 (2, 7)

Bárbara Cánovas Conesa

637 720 113 www.clasesalacarta.com 5

Junio 2017

Para t = 0, la función queda: 𝑓(𝑥) = {(𝑥 + 2)2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1(𝑥 − 2)2 𝑠𝑖 𝑥 > 1

En cierta sala de cine, una película permanece en cartel 16 semanas. La recaudación en taquilla de esta película a lo

largo de cada una de esas 16 semanas se ajusta a la función: 𝐹(𝑥) =1

3𝑥3 −

15

2𝑥2 + 36𝑥 + 150 donde 0 ≤ 𝑥 ≤ 16 está en

semanas y F(x) es la recaudación en cientos de euros. Se pide: a) Cuál es la recaudación en el momento del estreno (x=0) y cuál es la recaudación al final (x=16). b) En qué intervalo o intervalos crece esta función y en cuál o cuáles decrece. c) En qué momentos se alcanzan las recaudaciones máxima y mínima respectivamente, y a cuánto ascienden estas

recaudaciones. En el momento del estreno: 𝑭(𝟎) = 𝟏𝟓𝟎 -> es decir, se recaudaron 150€.

La recaudación final es: 𝑭(𝟏𝟔) = 𝟏𝟓𝟎 -> es decir, se recaudaron 171.34€.

Para estudiar el crecimiento de la función, trabajamos con la primera derivada:

𝐹′(𝑥) = 𝑥2 − 15𝑥 + 36

𝑥2 − 15𝑥 + 36 = 0 → {𝒙𝟏 = 𝟏𝟐𝒙𝟑 = 𝟑

- Crece: (-, 3) (12,+)

- Decrece : (3, 12)

La recaudación máxima se da en la tercera semana, ascendiendo a 199.5€. Y la mínima se obtiene en la semana 12, siendo

de 78€.

En una empresa hay dos categorías para los empleados, en la categoría A se encuentra el 80% de los empleados y el

resto en la B. El 10% de los empleados de la categoría A tiene contrato temporal mientras que en la categoría B este porcentaje es del 30 %.

a) Elegido un empleado al azar de esa empresa, ¿cuál es la probabilidad de que tenga contrato temporal? b) Se escoge un empleado al azar y tiene contrato temporal, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la categoría B?

Para responder a las preguntas hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos:

- A = “empleado de categoría A”

- B = “empleado de categoría B”

- T = “empleado con contrato temporal”

- T̅ = “empleado sin contrato temporal”

Para calcular la probabilidad de que el empleado escogido tenga un contrato temporal, usamos el teorema de la probabilidad total:

𝑃(𝑇) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝑇|𝐴) + 𝑃(𝐵) · 𝑃(𝑇|𝐵) = 0.8 · 0.1 + 0.2 · 0.3 → 𝑷(𝑻) = 𝟎. 𝟏𝟒

Para calcular la probabilidad de que teniendo un contrato temporal sea de la categoría B, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes:

𝑃(𝐵|𝑇) =𝑃(𝐵 ∩ 𝑇)

𝑃(𝑇)=𝑃(𝑇|𝐵) · 𝑃(𝐵)

𝑃(𝑇)=0.3 · 0.2

0.14→ 𝑷(𝑩|𝑻) = 𝟎. 𝟒𝟐𝟖𝟓

–

9 –

–

–

–

–

4 –

–

–

1 –

–– – –

-2 –

–

1 –

2 – – – – –

f’(0) > 0 f’(4) < 0 |

3

|

12

f’(13) > 0

0,8 T

A

T0,1

0,9

B

T

T0,7

0,30,2

Bárbara Cánovas Conesa

637 720 113 www.clasesalacarta.com

6

EvAU _ Matemáticas CCSS _ CLM

El gasto por hogar en teléfonos móviles e internet sigue una distribución normal de media desconocida y desviación

típica = 30 euros. Tomando una muestra aleatoria de 9 hogares, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional (128.3, 171.7).

a) Calcula el nivel de confianza del intervalo y calcula el valor que se obtuvo para la media muestral. a) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza

del 96.6%?

El intervalo de confianza para la media es: 𝐼𝐶 = (𝑥 ̅ ± 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛) = (128.3, 171.7). Siendo:

- = 30

- n = 9

{

𝑥 ̅– 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛= 128.3

𝑥 ̅ + 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛= 171.7

→

{

𝑥 ̅– 𝑍𝛼2⁄·30

√9= 128.3

𝑥 ̅ + 𝑍𝛼2⁄·30

√9= 171.7

→ {𝑥 ̅– 𝑍𝛼

2⁄= 12.83

𝑥 ̅ + 𝑍𝛼2⁄= 17.17

→ 2𝑥 ̅ = 30 → 𝒙 ̅ = 𝟏𝟓 €

Para calcular el nivel de confianza [(1 − ) · 100], primero obtenemos el valor crítico 𝑍𝛼2⁄

del sistema anterior, de forma

que:

𝒁𝜶𝟐⁄= 𝟐. 𝟕 → 𝑃 (𝑍 − 𝑍𝛼

2⁄) ≤ 1 − 𝛼 2⁄ → 𝑃(𝑍 − 2.7) ≤ 1 − 𝛼 2⁄

𝑻𝒂𝒃𝒍𝒂→ 0.9808 ≤ 1 − 𝛼 2⁄ → 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟖𝟒

𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = [(1 − ) · 100] = (1 − 0.0384) · 100 = 𝟗𝟔. 𝟏𝟔%

El error máximo admisible, para n = 100 y un nivel de confianza del 96.6%, es:

1 − = 0.966 → = 0.034 → 𝛼 2⁄ = 0.017 → 𝟏 − 𝜶 𝟐⁄ = 𝟎. 𝟗𝟖𝟑 → 𝒁𝜶𝟐⁄= 𝟐. 𝟏𝟐

𝐸 = 𝑍𝛼2⁄·𝜎

√𝑛= 2.12 ·

10

√100→ 𝑬 = 𝟐. 𝟏𝟐