PROGRAMACIÓ LINEAL

PROGRAMACIÓ LINEAL

Leonid Kantoròvitx (1912-1986)

El problema consistent en resoldre un sistema de desigualtats lineals data, com a mínim, de l'època de Fourier, en honor al qual s'anomena el mètode de l'eliminació de Fourier-Motzkin. La primera programació lineal fou desenvolupada per Leonid Kantoròvitx el 1939[1] per planejar les despeses i ingressos durant la Segona Guerra Mundial, per així reduir els costos de l'exèrcit i incrementar les pèrdues de l'enemic. El mètode fou mantingut en secret fins el 1947, quan George Dantzig va publicar el mètode símplex i John von Neumann va desenvolupar la teoria de la dualitat com una solució de l'optimització lineal, i l'aplicà en el camp de la teoria de jocs. Durant la postguerra, moltes indústries li van trobar utilitat per planejar el seu treball diari.

INEQUACIONS LINEALS AMB DUES VARIABLES

Una expressió del tipus ax + by + c > 0, o bé ax + by + c < 0, o bé ax + by + c ≤ 0 o bé

ax + by + c ≥ 0 és una inequació lineal en dues variables. La solució és un semiplà limitat per la recta ax + by + c = 0

Mètode de resolució gràfic d’una inequació amb dues variable:

- Es representa gràficament la recta ax + by + c = 0- Es pren un punt qualsevol d’un dels semiplans i es determina si compleix la

condició de desigualtat donada.- Si el punt anterior satisfà la condició( desigualtat), la regió a la qual pertany és

la solució. En cas contrari és l’altre regió.

Exemple:

Representa gràficament:

2x-y+3 > 0

El punts de la recta no estan inclosos en la solució de la inequació. En cas que fos la desigualtat ≥ si que estarien inclosos.

Exercicis:

Representa gràficament les solucions:

a) 2x-y≤3b) y+x<5c) 2x-4y+8≤0d) 5x-6y-30<0e) x≥0f) y≥0g) x≤0h) y≤0

SISTEMES D’INEQUACIONS LINEALS EN DUES VARIABLES

Un sistema d’inequacions en dues variables és un conjunt de més d’una inequació lineal en dos variables.

Tindrem un sistema d’inequacions lineals quan busquem les solucions comunes a totes.

El conjunt de solucions d’una inequació lineal amb dues incògnites és un semiplà. Per tant, el conjunt de solucions d’un sistema d’inequacions lineals amb dues incògnites serà la intersecció de diversos semiplans.

Podem obtenir un recinte poligonal tancat o bé un recinte poligonal obert.

Recinte poligonal tancat:

Recinte poligonal obert:

També és possible que els semiplans no tinguin cap punt en comú. En aquest cas el sistema no té solució, és incompatible.

Un regió del pla s’anomena convexa quan compleix el següent: si conté dos punts del pla, conté els del segment que els uneix. En cas contrari, la regió s’anomena còncava.

Convexa:

Còncava:

RESOLUCIÓ DE SISTEMES D’INEQUACIONS LINEALS AMB DUES INCÒGNITES

Per obtenir la solució d’un sistema d’inequacions lineals en dues variables podem fer:

MÈTODE 1

Es resolen gràficament totes les inequacions que el formen com hem explicat anteriorment:

Recordem:

Mètode de resolució gràfic d’una inequació amb dues variable:

- Es representa gràficament la recta ax + by + c = 0- Es pren un punt qualsevol d’un dels semiplans i es determina si compleix la

condició de desigualtat donada.- Si el punt anterior satisfà la condició( desigualtat), la regió a la qual pertany és

la solució. En cas contrari és l’altre regió.

La solució serà la intersecció de les diferents regions solució. Les semirectes que limiten les regions poden formar part o no de la solució, això cal estudiar-ho en cada cas ( depèn de si la desigualtat és oberta o tancada).

Exemple:

El conjunt de solucions d’un sistema d’inequacions lineals amb dues incògnites, quan existeix, sempre és una regió convexa( tancada o oberta)

{2x+ y ≤7x− y≥−1x≥0y≥0

Resolem per separat les diferents inequacions: 2 x+ y ≤7; x− y ≥−1; x≥0 ;y≥0

El recinte que obtenim és:

Aquí veiem que els vèrtex del polígon convex són: (0,0), (0,1), (2,3), (3.5, 0)

MÈTODE 2

Transformem les desigualtats en igualtats i trobem tots els punts possible d’intersecció entre les diferents rectes. Són els possibles vèrtexs del recinte. Comprovem que aquests vèrtexs acompleixin les desigualtats. Els que les acompleixin seran els vèrtexs del sistema. A partir dels punts d’intersecció ens serà més fàcil dibuixar el recinte.

Exemple donat el sistema:

{2x+ y ≤7x− y≥−1x≥0y≥0

Resolem els següents sistemes:

{2 x+ y=7x− y=−1(2,3 ) ;

{2x+ y=7x=0(0,7 )(no vèrtexnocompleix totes les desigualtats) ;

{2x+ y=7y=0(3.5,0 ) ;

{x− y=−1x=0 (0 , 1) ;

{x− y=−1y=0 (-1,0) ( no vèrtex no compleix totes les desigualtats) ;

{x=0y=0 (0,0)

Amb l’ajuda d’aquests punts dibuixem el recinte ( els vèrtexs).

La solució és la mateixa que anteriorment:

Exercici:

Resoleu pels dos mètodes els sistemes d’inequacions lineals següents:

{2x− y≤−3x+2 y≤11x≥0y≥0

; { x≥04 x− y<3x+ y>6

OBTENCIÓ DE LES INEQUACIONS A PARTIR D’UN RECINTE

Tot veient el recinte gràfic primer trobarem les rectes sobre les quals estan els costats del polígon convex. Un cop trobades les rectes canviarem les igualtats per desigualtats tot veient el semiplà que ens interessa ( a la vista del recinte).

Per trobar les rectes:

- Si coneixem dos punts: ( a,b) i (c,d) sabem que el pendent de la recta és:

m =d−bc−a i l’equació de la recta: y = b + m(x-a)

- Si el que volem és una recta horitzontal que passa per (a,b) l’equació és: y =b- Si el que volem és una recta vertical que passa per (a,b) l’equació és: x=a

Exemple:Defineix a partir d’un sistema d’inequacions el recinte següent:

Caldrà trobar la recta que passa per (0,3) i (2,5) i la recta que passa per (2,5) i (5,0), les altres dues rectes són els eixos de coordenades.Obtindràs el següent sistema:

{ x− y+3≥05x+3 y−25≤0

x≥0y ≥0

Exercici:Troba les desigualtats que defineixen el següent recinte:

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES MITJANÇANT INEQUACIONS- PROBLEMES DE PROGRAMACIÓ LINEAL

En moltes ocasions reals, les variables no només han de satisfer certes condicions expressables mitjançant inequacions lineals, el que es vol determinar també és quin dels valors que satisfan aquestes condicions fan que una nova variable prengui el seu valor màxim o mínim.En les activitats econòmiques, per exemple, es pretén aconseguir, principalment dos objectius: reduir els costos al mínim i obtenir màxims beneficis.Reduir els costos i maximitzar el beneficis és la unió de molts factors a tenir en compte: valor de les matèries primeres, variació dels preus, costos de producció, preu del magatzem, distribució, propaganda...Aquests factors cal que es mantinguin dins de límits determinats.La programació lineal és el conjunt de tècniques que permet establir els valors ideals que cal que prenguin les variables que intervenen en el procés per arribar, per exemple a reduir els costos.

Suposem la següent situació quotidiana:

Anomenem x al número de lots de tipus AAnomenem y al número de lots de tipus B

El benefici que obtindríem seria B= 3x+3.50yI les restriccions que tenim degut al número de kg de pomes que tenim són les següents:

{2x+2 y≤402x+3 y ≤50x≥0y ≥0

Si fem el gràfic obtenim:

La Maria Rosa i en Joan viuen al Perelló. Tenen un hort per a consum familiar. Tots dos el cuiden amb molta cura. Aquest any han tingut una gran collita de pomes i

no saben que fer-ne. Han regalat pomes a tota la família, veïns i coneguts i encara en queden. Decideixen posar-les en capses i vendre-les el dia de mercat al portal

de casa seva. ( Aquesta és una activitat que acostuma a fer-se als pobles).

Pesen les pomes i tenen 40 kg de les vermelles i 50 de les verdes tipus Golden.

Decideixen fer lots.

Lot A ( dos kg de la vermella i 2 kg de la verda) i preu del lot 3€

Lot B ( 2 kg de la vermella i 3 kg de la verda) i preu del lot 3.50€

Podries ajudar a la Maria Rosa i el Joan a saber quants lots els cal fer de cada classe per tal d’obtenir el màxim benefici?

Els vèrtexs són: (0,0), (10, 10), (20,0) i (0 50/3)

Ara a partir d’aquí caldrà mirar quin dels punts de coordenades enteres que corresponen al recinte( pertanyen a la regió) maximitzen la funció benefici. ( la funció de guanys)

Si observem la funció objectiu o benefici: 3x+3.50y=B és una recta per un valor concret de B. Al anar variant el valor de B obtenim diferents rectes totes paral·leles entre si.

Observa:

Si observes totes les rectes vermelles són paral·leles i són la recta 3x+3.50y=B al anar variant els valors de BEl tall amb l’eix OY és el valor de B’=B/3.50 i observem que la recta que té el valor més gran de B’ ( i per tant de B) i alhora conté un punt del recinte és la que passa per (10,10)

( qualsevol punt del recinte que substituïm a la recta 3x+3.50y=B donarà un valor més petit de B que si substituïm el punt (10,10) )

Per tant el punt que ens fa obtenir un benefici més gran és un dels vèrtex del recinte ( sempre serà així) i en aquesta cas concret és ( 10, 10) i el benefici serà 65.

Si la funció benefici fos la recta: B=x+10y

Observem que la recta que té el valor més gran de B i alhora conté un punt del recinte és la que passa per (0, 50/3).Però aquest punt no ens interessa com a solució ja que volem solucions enteres (estem parlant de lots de fruita). En aquest cas observaríem que la solució optima seria ( 1,16) ) ( desplacem la recta paral·lela cap avall)

Si la funció benefici fos la següent: B=x+y

En aquest cas la recta de la funció benefici és paral·lela a un dels costats del recinte. Tots els punt del costat de recinte seran els que tindran el benefici màxim. També hem de mirar quins són els que tenen les solucions enteres.(10,10), (11,9), (12,8), (13,7), (14,6), (15,5), (16,4), (17,3), (18,2), (19,1) i (20,0) serien les solucions que maximitzen el benefici.

ENUNCIAT GENERAL D’UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓ LINEAL

En un problema de programació lineal amb dues variables, x i y, es tracta d’optimar ( fer màxima o mínima, segons els casos) una funció ( anomenada funció objectiu) de la forma:B=F(x,y) = px+qySubjecta a una sèrie de restriccions donades mitjançant un sistema de desigualtats lineals del tipus següent:

{ a1 x+b1 y ≤ c1a2 x+b2 y ≤ c2……………… ..amx+bm y ≤ cm

Els punts del pla que compleixen cada desigualtat estan en un semiplà. Els que compleixen totes aquestes estan en un recinte convex finit ( poligonal) o infinit, anomenat regió de validesa del problema.Els punts de la regió de validesa compleixen totes les restriccions i s’anomenen solucions factibles.La solució factible que faci òptima ( màxima o mínima, segons es vulgui) la funció objectiu, s’anomena solució òptima.

Si hi ha una única solució òptima, aquesta estarà en un vèrtex del recinte. Pot ser que n’hi hagi més d’una i aleshores es trobaran en un costat.I és possible que no hi hagi solució optima, perquè quan el recinte és infinit, la funció objectiu pot créixer o decréixer indefinidament.Una vegada representat el recinte de validesa, la solució òptima es troba amb l’ajuda d’una recta variable que representa la funció objectiu i que es mou paral·lela a si mateixa.Si es vol localitzar la solució òptima sense valer-se de la representació gràfica, por fer-se obtenint el vèrtexs del recinte i calculant el valor de la funció objectiu en cada un d’aquests.

EXERCICISResolució gràfica de sistemes d’inequacions lineals:

1- Resol gràficament aquests sistemes d’inequacions:

{x− y≥0y≥0x≤2

;{x− y≥00≤ x≤2y ≤−1

;{x+ y ≥10≤x ≤2y≤−1

;{x+ y ≤00≤x ≤2

{ y ≤ xx+ y ≤3;{ x+ y≥5y ≤ x−10

;{ y ≤xx+ y ≤3y≤−1

;{ y ≤ xx+ y≥3y ≥−1

;{ x+ y ≥5y ≤ x−10x+ y ≤15

2- Resoleu el sistema següent:

{ x≥0y ≥0x+ y ≤52x+3 y ≥6

3- Dibuixeu la regió determinada per les condicions següents:

{x≥0y ≥0

2x+3 y ≤182x+ y ≤10x+3 y ≥3

Pertany el punt (3,2) a aquesta regió?

4- Dibuixeu la regió del pla formada pels punts que verifiquen:

{x<0y>0y<2x+ y<1

−x+ y<4

5- Determineu la regió del pla limitada per:

{ x<1y<1x+ y>1

6- Representeu gràficament de manera justificada la regió del pla limitada per:

{ y ≥0x+3 y ≤5y−x≤2

7- Donat el sistema d’inequacions que segueix:

{x+ y≥2x+ y ≤4y≤2x− y≤2

Representeu gràficament la regió factible i determineu-ne tots els vèrtexs.8- Dibuixeu la regió del pla determinada per:

{x+2 y≥ 4−x+ y≤22 x+ y ≤5

Pertany a aquesta regió el punt (2,2)?. Raoneu la resposta.

9- Dibuixeu la regió definida per les inequacions següents i calculeu-ne l’àrea:

{x+ y≥8y−x≤5x≤4

10- Dibuixeu la regió del pla formada pel punts (x,y) que compleixen les desigualtats següents:

x≥0; y≥0; x+y≤2; 2x+y≥1

Expliqueu detalladament per què el dibuix que heu fet correspon a la regió demanada.

A partir d’un polígon convex troba el sistema d’inequacions lineals que el defineix:

1- Escriviu les inequacions que defineixen la regió del pla limitada pel quadrilàter de vèrtexs consecutius: (0,1), (3,2) i (2,0)

2- Defineix, mitjançant una inequació o mitjançant un sistema d’inequacions, cada un dels recintes següents:

3- Indiqueu amb un sistema d’inequacions la regió del pla limitada pel triangle de vèrtexs: (1,1), (2,3) i (3,1)

4- a) Esbrineu l’equació de les tres rectes del pla que limiten la regió puntejada del dibuix.b) Escriviu les tres desigualtats que determinen aquesta regió:

Exercicis de programació lineal sense enunciat:

1- Quin és el valor màxim de la funció: z=2x+y en el conjunt de punts que compleixen les condicions següents:

{ x≥0y ≥0

3x+2 y≥65x+3 y ≤15

2- Quin és el valor mínim de la funció z=x+y en el conjunt de punts que satisfan:

{ x≥0y ≥0

3x+2 y ≥6

3- Calculeu els valors màxim i mínim de la funció z=x+4y en el conjunt de punts que satisfan les condicions següents:

{ x≥0y ≥0

3x+2 y ≤12x+2 y≤8

4- Optimitzeu la funció z=3x+2y amb les restriccions següents:

{ x ≥0y≥0

2 x+ y≥24 x+5 y ≤20

5- Calculeu els valors màxim i mínim de la funció z=x+y en el conjunt:

{ 3 x+ y−16≤0x−2 y+4 ≥02x+3 y−13≥0

6- Considereu la funció z=(3/2)x+y en el següent conjunt:

{ x≥0y≥0

3 x+2 y−2≥03x+4 y−12≤0

7- Calculeu el valor màxim de la funció z=x+y en el conjunt de punts que

compleixen:{ x ≥0y ≥0x+ y ≤54 x+ y ≤8

8- Busqueu el màxim i el mínim de la funció z=x+y sotmesa a les restriccions següents:

{ x≥0y ≥0

2x+ y ≥0x+2 y ≤0

9- Trobeu el màxim de la funció z=2x+5y sotmesa a les restriccions següents:

{x≥0y ≥0y≤3

3x−2 y−6≤02x+3 y ≥0

10- Maximitzeu la funció z=3x-y amb les restriccions següents.

{x≥0y≥0x+ y≥2x ≤2

−x+ y≤2

11- Calculeu el valor de la funció z=3x+y sota les restriccions:

{x≥0y ≥0

2x+3 y ≤12y ≤3

−x− y ≤1

12- Trobeu la regió del pla que es troba sotmesa a les condicions següents:

{ x≥0y ≥0x+ y ≥5x+2 y ≥8

Podem trobar el màxim i el mínim de la funció z=(1/2)x+y en aquesta regió? Raoneu la resposta.

13- Calculeu el valor màxim de la funció z=x+3y amb les restriccions:

{x+2 y ≥4x+ y≤3y ≤2

14- Dibuixeu la regió R del pla formada pels punts (x,y) que compleixen les dues desigualtats: 3x+2y≥1, x+y≥1. Busqueu després el mínim de la funció z=3x+2y en aquesta regió. Comproveu que el punt de coordenades x=0, y=2 està situat en la regió R i que el valor que pren la funció en aquest punt és més gran que el valor mínim que heu estat calculat abans per aquesta funció.

15- Dibuixeu la regió factible determinada per les desigualtats següents: x+y≥1, 3x-y≤3; x≥0; y≥0Calculeu el valor mínim de la funció z=x-y en aquesta regió.

16- Dibuixeu la regió factible del pla determinada per les desigualtats següents: y≥1, x+2y≤6, x-y≥0Calculeu el valor màxim que pren la funció z=2x+y en aquesta regió.

17- Dibuixeu la regió factible determinada per les desigualtats següents:6x-y≥5; y≥x; 4x+y≤10Calculeu el valor màxim de la funció z=x+y en aquesta regió.

18- Dibuixeu la regió del pla determinada per les desigualtats:2x+y≤2; 4x+y≥0; y≥0Calculeu després el màxim de la funció z=x+y en aquesta regió.

Exercicis de programació lineal amb enunciat:

1- Uns grans magatzems, per tal de fer disminuir un estoc de 1000 carpetes i 1500 bolígrafs, creen dos tipus de lots: El lot principiant format per una carpeta i un bolígraf i el lot dibuixant format per una carpeta i tres bolígrafs. Els guanys són

de 0.70€ per cada lot principiant i d’1€ per cada lot dibuixant. Calculeu quants lots els convé preparar de cada classe per tal d’obtenir el màxim benefici?

2- Una fàbrica d’automòbils produeix dos tipus de vehicles: de luxe i utilitaris. Cada vehicle ha de ser comprovat i posat a punt abans de sortir al mercat. La comprovació de cada vehicle de luxe requereix 4 hores i la de cada utilitari 2 hores. A més cada vehicle requereix accessoris per valor de 10000€. Per cada vehicle de luxe s’obté un benefici de 6000€ i per cada utilitari un benefici de 4000€. Quants vehicles de cada tipus s’han de revisar diàriament per tal d’obtenir el màxim benefici si només podem gastar 40000€ diaris en accessoris i no sobrepassar les 12 hores diàries de treball?

3- Una empresa fabrica dues classes de cargols, A i B. En la producció diària se sap que el nombre de cargols de la classe B no supera el nombre de cargols de la classe A més 1000 unitats, que entre les dues classes no superen les 3000 unitats i que els de la classe B no baixen de 1000 unitats. Sabent que els cargols de classe A valen 0.20€ la unitat i que el se la classe B en valen 0.15€. Calculeu el cost màxim i mínim que pot valer la producció diària, i digueu amb quants cargols de cada classe s’atenyen aquest màxim i aquest mínim.

4- En un magatzem hi ha 100 caixes de tipus A i 100 caixes de tipus B. Les de tipus A pesen 100kg, tenen una capacitat de 30 dm cúbics i tenen un valor de 7500€. Les de tipus B pesen 200kg, tenen una capacitat de 40 decímetres cúbics i un valor de 12500€. Un camió pot carregar un pes màxim de 10 tones i un volum màxim de 2400decímetres cúbics. A més, li han dit al xofer que el nombre de caixes de tipus A que carregués no fos superior al doble de les de tipus B que carregués. Quantes caixes de cada mena ha de carregar el camió per tal que l’import de la mercaderia que porti sigui màxim?

5- Un artesà fabrica dos tipus de peces, A i B. Les peces A requereixen 6 hores de muntatge i 10 de pintura, mentre que les peces B requereixen 9 hores de muntatge i 5 de pintura. Està disposat a treballar un màxim de 93 hores mensuals en la secció de muntatge i 85h en la secció de pintura. Un comerciant li comprarà totes les peces a un preu de 500€ les de tipus A i de 400€ les de tipus B. Ara bé, aquest comerciant exigeix que se li subministri una quantitat mínima de 5 peces mensuals A o B i vol també que el nombre de peces A no superi el triple del nombre de peces B. Calculeu el nombre de peces de cada tipus que ha de fabricar mensualment l’artesà per tal d’obtenir un guany màxim.

6- Una fabrica produeix dos tipus de motocicletes, A i B. Cada motocicleta, abans de sortir al mercat, és comprovada i posada a punt. Aquestes comprovacions requereixen 8h per a cada moto de tipus A i 4h per a cada moto de tipus b. A més, cada moto independentment del seu tipus, requereix 100€ de material. Per cada moto revisada del tipus A s’obté un benefici de 3000€ i per cada moto de tipus B s’obtenen 2000€. Quantes motos haurem de revisar per tal d’obtenir

el màxim benefici si disposem de 400€ en material i de 24h per poder-ne fer les revisions?

7- Un magatzem de confecció que disposa de 70 samarretes, 120 camises i 110 pantalons fa liquidació d’existències. Vol posar-ho a la venda en dos tipus de lots. El lot A format per 2 camises, 1 pantaló y 1 samarreta es vendrà a 60€ cada un; el lot B format per una camisa, 2 pantalons i una samarreta es vendrà a 700€ cada un. Calculeu quants lots els convé fer de cada classe per tal d’obtenir el màxim de guanys i quants diners ingressaran.

8- Una escola vol dur d’excursió 400 alumnes. L’empresa de transport té 8 autocars de 40 places i 10 de 50 places, però només disposa de 9 conductors. El lloguer d’un autocar gran val 800€ i el d’un petit 600€. Calculeu quants autocars de cada mena s’han d’utilitzar perquè l’excursió resulti el més econòmica possible?

9- Un camioner que disposa de 200000€ pot carregar el seu camió amb 25 tones de pomes i taronges. El cost de les pomes és de 10000/tona i ell les vendrà a 13000€/tona. El cost de les taronges és de 6000€/tona i el preu de venda serà de 8000€/tona.

Quin carregament li reportarà més benefici? Quin benefici serà?

10- Es volen plantar fruiters de dues varietats en un terreny de 40ha, els beneficis anuals produïts per la primera varietat són de 12000€/ha i les necessitats anuals d’aigua 2500m3/ha. La segona varietat produeix uns beneficis de 15000€/ha però necessita 4000m3/ha d’aigua. Calculeu quantes hectàrees s’han de destinar a cada varietat si les reserves anuals d’aigua són de 120000m3

i es volen obtenir màxims beneficis anuals.

11- Un plat ha de contenir com a mínim 20g de proteïnes i 60g d’hidrats de carboni i s’elabora amb dos ingredients.Un gram del primer ingredient conté 0.18 g de proteïnes i 0.4 g d’hidrats de carboni i aporta 1.7 kcal, mentre que un g del segon conté 0.17 g de proteïnes, 0.6 g d’hidrats de carboni i aporta 2.2 kcal. Quants g de cada ingredient ha de contenir el plat perquè sigui el menys calòric possible?

12- En un magatzem hi ha 100 caixes de tipus A i 100 caixes de tipus B. La taula ens informa del pes, el volum i el valor de cadascuna.

Tipus Pes(kg) Volum(dm3) Valor (€)A 100 30 75B 200 40 125

Una camioneta pot carregar 10.000kg i un volum màxim de 2400dm3. Esbrineu com han de carregar-la per tal que el valor de les caixes que porti sigui el més elevat possible.

13- Una companyia fabrica dos tipus de productes A i B a partir de tres metalls diferents. Els quilos de metall utilitzats en la fabricació de cada producte, com també les restriccions de disponibilitat diària de metall, s’indiquen a la taula següent:

Metall Producte A Producte B Existències totals de metall per dia

1 1 0 42 0 2 123 3 2 18

Si sabem que el quilo de producte A es ven a 3€ i el de producte B a 5€. Calculeu quina quantitat diària de cada producte cal fabricar per obtenir el màxim de guanys possible.

14- Una granja d’aviram disposa de dues classes de pinso, A i B, que costen 200€ i 100€ per quilo respectivament. A la composició del pinso A hi entren 300 unitats d’un producte M i 4 unitats d’un producte N per quilo, mentre que a la composició de B hi entren 100 unitats de M i 8 de N per quilo. S’estima que les necessitats nutritives mínimes de la granja són de 30000 unitats de de M i 800 unitats de N per setmana. Decidiu raonadament les quantitats ( quilos) de cada pinso que s’han de comprar cada setmana per tal que el cost sigui mínim.

15- En un tractament de radioteràpia s’emeten dues menes de raig, A i B. Siguin x i y les quantitats emeses de raig A i B respectivament, mesurades en quilorads, en cada tractament.La quantitat de radiació absorbida en el centre del tumor és de 0.6x+0.4y quilorads; en un teixit crític pròxim és de 0.3x+0.1y i en les zones d’anatomia normal és de 0.4x+0.5ya) Dissenyeu el tractament ( quantitats x i y) de manera que es minimitzi la

quantitat de radiació absorbida en les zones d’anatomia normal, tenint en compte que en el centre del tumor aquesta quantitat ha de ser com a mínim de 6 quilorads i en el teixit crític no pot excedir de 2.7 quilorads.

b) Si s’aplica un tractament consistent en 7 quilorads de raig A i 5 quilorads de raig B. És compleixen les dues restriccions respecte al centre del tumor i al teixit crític? Per què és un tractament pitjor que la solució de l’apartat a?