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1 Pensamiento Lógico Matemático ( Funciones: Lineales, Cuadráticas, de Orden Superior, Exponenciales y Logarítmicas ) Funcion Lineal Definición La función lineal tiene la forma f(x) = ax + b ó y = ax + b Donde a =( 0 ; b = 0 ó b =( 0 Y a,b∈R El término función significa dependencia de una variable respecto a otra u otras de este modo: La expresión y = f(x) matemáticamente significa que los valores de la variable “y” dependen de los valores de la variable “x” de acuerdo a la expresión o ley de aplicación ax + b Luego: x : es la variable independiente y : es la variable dependiente Dominio y Rango de una función lineal Dominio de la función ( Df ) Df : es el conjunto de números reales que toma la variable “x” que hacen posible un valor real para “y” Rango de la función ( Rf ) Rf : es el conjunto de números reales que toma la variable “y” que corresponde a cada valor de “x” de acuerdo a una ley o aplicación que define la relación entre las variables x é y m La grafica de una función lineal es una línea recta de ahí su nombre tiene las siguientes características: a. Intersecciones con los ejes de Sistema Coordenado cartesiano SCC Con eje “X” A ( Ax , 0 ) De: y = ax + b se hace y = 0 0 = ax + b x = - b/a Luego A ( -b/a , 0 ) Con el Eje “Y” B ( 0 , By ) De: y = ax + b se hace x = 0 Y = b Luego B ( 0 , b ) b. Pendiente “m” m = a c. Ángulo que forma eje positivo de las “X” Autor: Ing. Norman Vásquez Quispe

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2Pensamiento Lgico Matemtico ( Funciones: Lineales, Cuadrticas, de Orden Superior, Exponenciales y Logartmicas )

Funcion LinealDefinicinLa funcin lineal tiene la forma f(x) = ax + b y = ax + bDondea 0 ; b = 0 b 0YEl trmino funcin significa dependencia de una variable respecto a otra u otras de este modo:La expresin y = f(x) matemticamente significa que los valores de la variable y dependen de los valores de la variable x de acuerdo a la expresin o ley de aplicacin ax + b Luego: x : es la variable independientey : es la variable dependiente

Dominio y Rango de una funcin lineal

Dominio de la funcin( Df )Df : es el conjunto de nmeros reales que toma la variable x que hacen posible un valor real para y

Rango de la funcin( Rf )Rf : es el conjunto de nmeros reales que toma la variable y que corresponde a cada valor de x de acuerdo a una ley o aplicacin que define la relacin entre las variables x y

m

La grafica de una funcin lineal es una lnea recta de ah su nombre tiene las siguientes caractersticas:a. Intersecciones con los ejes de Sistema Coordenado cartesiano SCC Con eje XA ( Ax , 0 )De: y = ax + b se hace y = 00 = ax + bx = - b/aLuego A ( -b/a , 0 )

Con el Eje YB ( 0 , By )De:y = ax + bse hace x = 0Y = bLuego B ( 0 , b )

b. Pendiente mm = a

c. ngulo que forma eje positivo de las X

En y = ax + ba : es la pendiente de la recta grafica de f(x) = ax + bb : es la abscisa del punto de interseccin de la recta con el eje Y

Casos para establecer los coeficientes de una funcin lineal f(x) = ax + b

1. Coeficientes de f(x) = ax + b en funcin de las coordenadas de dos puntos que contiene la recta

Una recta queda totalmente definida cuando se conoce las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta.De este modo, dado las coordenadas de dos puntos es posible calcular los coeficientes de la funcin f(x) = ax + b la misma que tiene como grafica una recta que pasa por dichos puntos

Modelo Mate matemtico Dnde:2. Coeficientes de f(x) = ax + b en funcin de su pendiente ( m ) y las coordenadas de un punto ( que contiene la recta grafica de f(x)Modelo Mate matemtico

3. Clculo de los coeficientes de f(x) = ax + b que pase por tres o ms puntos o la proximidad de los mismos.

1. Mtodo matricial

Obsxyxyx y

1x1y1x1y1x1 y1

2x2y2x2y2x2 y2

3x3y3x3y3x3 y3

nxnynxnynxn yn

xyxyxy

Modelo

2. Mtodo del clculo de los parmetros a , b mediante la frmula.

SEMINARIO DE PROBLEMAS

P1. Establecer los coeficientes de f(x) = ax + b que contenga o pase por la proximidad de los puntos:

Solucin

Mtodo Matricial

Modelo

Mtodo de clculo de a , b mediante

SEMINARIO DE PROBLEMAS

P1. Con los puntos que se dan a continuacin::

Establecer:a. Los coeficientes de la funcin lineal f(x) = ax + bb. Las coordenadas de los punto de interseccin de la recta grafica de f(x) con los ejes del SCCc. Pendiente de la rectad. Angulo que forma la recta con el eje positivo de las X del SCC

P2. Dado la pendiente m y un punto que contiene la recta grafica de la funcin f(x)

m = -2 m = 2 m = 1.5 m = -2.5 m = -2

P3. Establecer los coeficientes de la funcin f(x) = ax + b que contienen a los puntos o pasa por su proximidad.

a.

b.

c.

d.

Establecer:e. Los coeficientes de la funcin lineal f(x) = ax + bf. Las coordenadas de los punto de interseccin de la recta grafica de f(x) con los ejes del SCCg. Pendiente de la rectah. Angulo que forma la recta con el eje positivo de las X del SCC

Representacin grfica de una funciones1. Y = 2 2. Y = -23. Y = 3/34. Y = 05. x = 06. X = -52. Y = x 8. y = 2x9. Y = -2x 1 10. y = 2x 1Establece la funcin que responda a los siguientes casos1. Tiene pendiente 3 y ordenada en el origen 12. Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (3, 2)3. Pasa por los puntos A(1, 5) y B(3, 7)4. Pasa por el punto P(2, 3) y es paralela a la recta de ecuacin y = x + 75. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que meda 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una funcin a fin que d la altura de la planta en funcin del tiempo y representar grficamente6. Por el alquiler de un coche cobran 100 diarios ms 0.30 por kilmetro7. Encuentra la ecuacin de la recta que relaciona el coste diario con el nmero de kilmetros y represntala. Si en un da se ha hecho un total de 300 km, qu importe debemos abonar?8. Por el alquiler de un coche cobran 100 diarios ms 0.30 por kilmetro. Calcular los coeficientes de la funcin f(x) = ax + b si f(0) = 3 y f(1) = 4

9. Establecer los coeficientes de f(x) = ax + b si se sabe que la recta pasa por los puntos:

a. Tome los puntos dos a dosb. Tome todos los puntos a la vez

Funcin CuadrticaTiene la forma Dnde: y : La grafica de una funcin de cuadrtica es una parbola La parbola es el lugar geomtrico de un conjunto infinito de puntos cuya caracterstica es equidistar de dos elementos fijos: un punto llamado foco y una recta llamada directriz, ambos elementos estn contenidos en un mismo plano.Relacin entre los coeficientes de una funcin cuadrtica y la parbola grafica de la funcin Vrtice de la parbolaV(h , k)K = f(h) Luego Intersecciones la curva con los ejes del SCC Con el eje XSe produce en los puntos cuyas coordenadas son las races de la ecuacin de segundo grado es decir:ySi: tiene races imaginarias la parbola no tiene intersecciones con el eje X

Con el eje YEn si x = 0 entonces y = c( 0 , c ) es la interseccin con el YDominio y Rango de la funcin

Autor: Ing. Norman Vsquez Quispe