7/17/2019 Biseccion

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Primer examen parcialSolución al problema de Bisección

Profr. Luis Arturo Jiménez Mendoza

19-Septiembre-2014

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1) Aplique el método de Bisección para encontrar la raíz de:

f (x) = cos(3x) − ln(|x|) − x2

en el intervalo  [−0.5, 1], con una tolerancia de error de  0.03  y un máximo de intentos de 10.

SOLUCIÓN:La función es f (x) =cos(3 ∗ x) − ln(abs(x)) − x2el el intervalo[-0.50,1.00]con una tolerancia de error 0.0300 y con un máximo de intentos o iteraciones de 100

f (a)f (b) = f (−0.5000) ∗ f (1.0000) = 0.513884 ∗ −1.989992 = −1.022626< 0, si se cumple lacondición para aplicar el método de Bisección.

Calculos descritos con detalle:

Iteración o intento num.: 0

xm =   (−0.5+1)2

  = 0.25

f(b) =  f (1) = −1.989992  ;f(xm) =  f (0.25) = 2.055483

f(b)f(xm) =  f (1.0000)f (0.2500) = (−1.9900)(2.0555) = −4.0904

f (1.0000)f (0.2500) = (−1.9900)(2.0555) =< 0   , entonces hacemos a a  = 0.25

Error =  |b−a|

2   =  |1−(0.25)|

2   = 0.375Ahora comparamos el error obtenido, el cual debe ser menor que la tolerancia dada.Error=0.3750 >=  0.0300? no, los calculos continuan

Iteración o intento num.: 1

xm =   (0.25+1)2   = 0.625

f(b) =  f (1) = −1.989992  ;f(xm) =  f (0.625) = −0.220155

f(b)f(xm) =  f (1.0000)f (0.6250) = (−1.9900)(−0.2202) = 0.4381

f (1.0000)f (0.6250) = (−1.9900)(−0.2202) => 0   , entonces hacemos a b  = 0.625

Error =   |b−a|2

  =   |0.625−(0.25)|2

  = 0.1875Ahora comparamos el error obtenido, el cual debe ser menor que la tolerancia dada.Error=0.1875 >=  0.0300? no, los calculos continuan

Iteración o intento num.: 2

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xm =   (0.25+0.625)2   = 0.4375

f(b) =  f (0.625) = −0.220155  ;f(xm) =  f (0.4375) = 0.890706

f(b)f(xm) =  f (0.6250)f (0.4375) = (−0.2202)(0.8907) = −0.1961

f (0.6250)f (0.4375) = (−0.2202)(0.8907) =< 0   , entonces hacemos a a  = 0.4375

Error =   |b−a|2

  =   |0.625−(0.4375)|2

  = 0.09375Ahora comparamos el error obtenido, el cual debe ser menor que la tolerancia dada.Error=0.0938 >=  0.0300? no, los calculos continuan

Iteración o intento num.: 3

xm =   (0.4375+0.625)2

  = 0.53125

f(b) =  f (0.625) = −0.220155  ;f(xm) =  f (0.53125) = 0.327344

f(b)f(xm) =  f (0.6250)f (0.5313) = (−0.2202)(0.3273) = −0.0721

f (0.6250)f (0.5313) = (−0.2202)(0.3273) =< 0   , entonces hacemos a a  = 0.53125

Error =   |b−a|2   =   |0.625−(0.53125)|

2   = 0.046875Ahora comparamos el error obtenido, el cual debe ser menor que la tolerancia dada.

Error=0.0469 >=  0.0300? no, los calculos continuan

Iteración o intento num.: 4

xm =   (0.53125+0.625)2

  = 0.578125

f(b) =  f (0.625) = −0.220155  ;f(xm) =  f (0.578125) = 0.050887

f(b)f(xm) =  f (0.6250)f (0.5781) = (−0.2202)(0.0509) = −0.0112

f (0.6250)f (0.5781) = (−0.2202)(0.0509) =< 0   , entonces hacemos a a  = 0.578125

Error =   |b−a|2

  =   |0.625−(0.578125)|2

  = 0.023438Ahora comparamos el error obtenido, el cual debe ser menor que la tolerancia dada.Error=0.0234 <  0.0300? si, fin del calculosEn la iteración 5 se encontró la raíz 0.578125

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i a b xm f(b) f(xm) f(b)*f(xm)   |(xm − a)|/2   f(b)*f(xm)0 -0.5 1 0.25 -1.989992 2.055483 -4.090396 0.375   < 0, a=0.251 0.25 1 0.625 -1.989992 -0.220155 0.438107 0.1875   > 0, b=0.625

2 0.25 0.625 0.4375 -0.220155 0.890706 -0.196093 0.09375   < 0, a=0.43753 0.4375 0.625 0.53125 -0.220155 0.327344 -0.072066 0.046875   < 0, a=0.531254 0.53125 0.625 0.578125 -0.220155 0.050887 -0.011203 0.023438   < 0, a=0.578125