asignacion 1 rengel

8/16/2019 asignacion 1 rengel

1/15


2/15

1. DISCRETIZACION DE LA ECUACION DE PRIMER ORDEN

dy

dt +b . y (t )=a . r (t )

SY ( s)+b . Y (s )=a . R (s )

Sa/in%& , $a r$aci2n %$ %&3ini& S a Z "!

S= 2

T (1− z−1

1+ z−1 )S,"tit,4n%&

2T (

1− z−1

1+ z−1 )Y (Z )+a .Y ( Z )=b . R( z)

(1− z−1 )Y (Z )+b T

2(1+ z−1 )Y (Z )=a

T

2(1+ z−1 ) R( z)

Y ( Z )− z−1

Y ( Z )+b T

2(Y (Z )+Y (Z ) z

−1)=a T

2( R( z )+ R( z) z

−1)

Y ( Z )−Y ( Z ) z−1+b

T

2Y ( Z )+b

T

2Y ( Z ) z

−1=a T

2( R( z )+ R( z) z

−1)

(1+b T 2 )Y ( Z )+(−1+b T 2 )Y ( Z ) z−1=a T 2 ( R( z )+ R( z) z−1)

(1+b T 2 )Y k +(−1+b T 2 )Y k −1=a T 2 ( R k + R k −1)

D"p5an%& Y k

Y k =(1−b T

2 )(1+b T 2 )

Y k −1+a T 2( Rk + Rk −1)

(1+b T 2 )Dn&3ina3&"!


3/15

α =[1−b T 2 ]

[1+(b T 2 )] 6 β=

aT

2

[1+b T 2 ]7,%an%& $a "i8,int c,aci2n % rc,rrncia!

yk 9 α yk −1 : β ( rk +rk −1 )

Matri- % rc,rrncia

A ; <

[ y

0 r

1+r

0

y1

⋮

yn−1

r2+r

1

⋮

rn+rn−1][α β ]=[

y1

y2

⋮

yn]

A; 9 <

= 9 ( AT A )−1

AT <

P$antan%& $ Si"t3a % Ec,aci&n" para Dtr3inar $&" c&>icint" a. /' Tn3&"!

[1−b T 2 ]−[1+b T 2 ]α =0 Ec,aci2n 1

aT

2−[1+(b T 2 )] β=0 Ec,aci2n 0


4/15

1'1 Ra$i-aci2n %$ a$8&rit3& para $a i%nti>icaci2n % "i"t3a" % pri3r &r%n


5/15

En $a i3a8n antri&r rpr"nta >,nci2n para >ct,ar $ c?$c,$& % a$>a 4 /ta

A c&ntin,aci2n. n $a "i8,int >i8,ra " &/"r@a $ r",$ta%& % $a c&3paraci2n % $&""i"t3a" % pri3r &r%n "i"t3a p$anta%& @" "i"t3a i%nti>ica%&B'


6/15


7/15

4 (1−2 z−1+ z−2 ) Y (Z ) : 2bT (1− z−1 ) (1+ z−1 )Y (Z ) : c . (1+2 z

−1+ z−2 )T 2Y (Z ) 9

a (1+2 z−1+ z−2 )T 2 R( z )

(4−8 z−1+4 z−2 )Y (Z ) : 2bT (1− z−2 ) Y (Z ) : c . (1+2 z

−1+ z−2 ) T 2 Y (Z ) 9 a

(1+2 z−1+ z−2 )T 2 R( z )

(4−8 z−1+4 z−2 )Y (Z ) : (2bT −2bT z−2) Y (Z ) : (c T

2+2c T 2 z−1+c T 2 z−2 ) Y (Z ) 9

a (1+2 z−1+ z−2 )T 2 R( z )

(4−2bt +c T 2 ) Y (Z ) : (−8+2c T 2 ) z−1 Y (Z ) : (4−2bT +c T

2 ) z−2 Y (Z ) 9 a

T 2 ( R( z )+2 R( z ) z−

1+ R( z) z−2)

(4

−2

bt +c T 2

) y k : (−8

+2

c T

2

) y k −1 : (4

−2

bT +c T 2

) y k −2 9 aT

2 ( yk +2 y k −1+ yk −2 )

D"p5an%& Y k

yk 9(−8+2c T 2)

(4−2bt +c T 2) yk −1

(4−2bT +c T 2 )(4−2bt +c T 2 )

yk −2 aT

2 (rk +2 rk −1+rk −2 )(4−2bt +c T 2 )

Dn&3ina3&"

α 9(−8+2cT 2)

(4

−2

bt +cT

2

)

6 β 9(4−2bT +c T 2 )

(4

−2

bt +c T

2

)

6 γ 9aT

2

(4−2bt +cT 2)

7,%an%& $a "i8,int c,aci2n % rc,rrncia! yk 9 α yk −1 β yk −2 γ ( rk +2 rk −1+rk −2 )

Matri- % Rc,rrnciaA ; <

[

y1

y0 (r2+2 r1+r0 )

y2

y1 (r3+2 r2+r1 )

⋮ ⋮ ⋮

yn−1 yn−2 (rn+2 rn−1+rn−2 )

][

α

β

γ ] 9

[

y2

y3

⋮

yn

]A; 9


8/15

α 9(−8+2cT 2)

(4−2bt +cT 2)

(−8+2cT 2 ) (4−2bt +c T

2 ) α 9 + Ec,aci2n 1

β 9 (4

−2

bT +c T 2

)(4−2bt +c T 2 )

(4−2bT +c T 2 ) (4−2bt +c T 2 ) β 9 + Ec,aci2n 0

γ 9a T

2

(4−2bt +c T 2)

a T 2

(4−2bt +cT 2 ) γ 9 + Ec,aci2n

0'1 Ra$i-aci2n %$ a$8&rit3& para $a i%nti>icaci2n % "i"t3a" % "8,n%& &r%n'


9/15


10/15

La $(na n8ra 4 $&" c(rc,$&" rpr"ntan $ 3&%$& % ,n "i"t3a p$anta%& 4 ,n "i"t3a8nra%& p&r i%nti>icaci2n % "8,n%& &r%n r"pcti@a3nt'

3. DISCRETIZACION DE LA ECUACION DE TERCER ORDEN

d3

y

dt 3 +b

d2

y

dt 2 : c

dy

dt : % y(t ) 9 a' r(t )

S3

Y (s)+bS2

Y (s) : c S Y (s ) : % Y (s) 9 a' R(s)

Sa/in%& , $a r$aci2n %$ %&3ini& S a Z "!

S 92

T ( 1− z−1

1+ z−1 )S,"tit,4n%&

[ 2T ( 1− z−1

1+ z−1 )]3

Y (Z )+b [ 2T ( 1− z−1

1+ z−1 )]2

Y (Z ) :2c

T (1− z−1

1+ z−1 )Y (Z ) : d ¿Y (Z ) 9 a' R( z)

8(1− z−1

)3

Y (Z )+4bT (1− z−1

)2

(1+ z−1

)Y (Z )+2cT 2

(1− z−1

)(1+ z−1

)2

Y (Z )+dT 3

(1+ z−1

)3

Y (Z )=aT 3

(1+ z−1

)3

( Z )=¿a T 3 (1+ z−1 )3

R (Z )

8(1− z−1)3Y (Z )+4bT (1− z−2 ) (1− z−1 ) Y (Z )+2c T

2 (1− z−2 ) (1+ z−1 )Y (Z )+d T 3 (1+ z−1 )

3

Y ¿

8 (1−3 z−1+3 z−2− z−3 )Y (Z )+4 bT (1− z−1− z−2+ z−3 )Y (Z )+2cT

2 (1+ z−1− z−2− z−3 )Y (Z )+dT 3 (1+3 z−1+3


11/15

(8−24 z−1+24 z−2−8 z−3 ) Y (Z )+(4bT −4 bT z−1−4 bTz−2+4bTz−3 )Y (Z )+(2c T

2+2c T 2 z−1−2c T 2 z−2−

(Z )=¿aT 3 (1+3 z−1+3 z−2+ z−3 ) R(Z )(Z )+¿ (−8+4bT −2cT 2+dT 3 ) z−3Y ¿

(8+4bT +2cT 2

+dT 3

)Y (Z )+(−24−4bT +2cT 2

+3d T 3

) z−1

Y (Z )+(24−4 bT −2cT 2

+3d T 3

) z−2

Y ¿

(8+4bT +2c T 2+d T 3 )Y k −(+24+4 bT −2c T 2−3d T 3 )Y k −1+(24−4bT −2c T

2+3d T 3 ) Y k −2−(8−4bT

Y k =(24+4bT −2c T 2−3d T 3)Y k −1

(8+4bT +2c T 2+d T 3 ) −

(24−4 bT −2c T 2−3d T 3 ) Y k −2(8+4bT +2c T 2+d T 3 )

+(8−4 bT +2c T 2−d T 3 )Y k −3

(8+4bT +2c T 2+d T 3 ) +

Dn&3ina3&"

α 9(24+4bT −2c T 2−3 d T 3)

(8+4 bT +2c T 2+d T 3 )

β 9−(24−4bT −2cT 2−3d T 3 )

(8+4bT +2cT 2+dT 3 )

γ 9

(8−4bT +2c T 2−d T 3 )(8+4bT +2c T 2+d T 3 )

δ =aT

3 (rk +3 rk −1+3 rk −2+rk −3 )(8+4 bT +2c T 2+d T 3 )

7,%an%& $a "i8,int c,aci2n % rc,rrncia!

yk 9 α yk −1 β yk −2 γy k −3+δ (rk +3 rk −1+3 rk −2+rk −3 )

Matri- % rc,rrnciaA ;


12/15

[ y

3 y

2 y

1

y4

y3

y2

⋮ ⋮ ⋮

yn−1 yn−2 yn−3

r4+3 r

3+3 r

2+r

1

r5+3 r

4+3 r

3+r

2

⋮

rn+3 rn−1+3 r n−2+r n−3] [

α

β

γ δ

] 9 [ y

4

y5

⋮

yn]

A; 9 <

= 9 ( AT A )−1 AT <

P$antan%& $ Si"t3a % Ec,aci&n" para Dtr3inar $&" c&>icint" a. /. c 4 %' Tn3&"!

α 9(24+4bT −2c T 2−3 d T 3)

(8+4 bT +2c T 2+d T 3 )

(24

+4

bT −2

c T

2

−3

d T

3

)−α (8

+4

bT +2

c T

2

+d T 3

)=0

Ec,aci&n 1

β 9−(24−4bT −2c T 2−3d T 3 )

(8+4bT +2c T 2+d T 3 )

(24−4 bT −2cT 2−3dT 3 )+ β (8+4bT +2c T 2+d T 3)=0 Ec,aci2n 0

γ 9(8−4bT +2c T 2−d T 3 )(8+4bT +2c T 2+d T 3 )

(8−4 bT +2cT 2−dT 3 )−γ (8+4bT +2c T 2+dT 3 )=0 Ec,aci2n

δ = a T

3

(8+4bT +2c T 2+d T 3 )

a T 3−δ (8+4bT +2c T 2+d T 3 )=0 Ec,aci2n

'1 Ra$i-aci2n %$ a$8&rit3& para $a i%nti>icaci2n % "i"t3a" % trcr &r%n'


13/15


14/15


15/15

asignacion 1 rengel

Documents