archivo calculo

7/25/2019 archivo calculo

1/23

Calcula las derivadas de las funciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


2/23

9.

Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:

1.

2.

3.

4.

5.


3/23

6.

7.

Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:

1.

2.

3.


4/23

Calcula la derivada de la funciones trigonomtricas:

1

2

3

4

5


5/23

6

7

8

9


6/23

10

11

12

13

14

15

16


7/23

17

18

19

Derivar por la regla de la cadena las funciones:

1

2

3


8/23

4

5

6

7

8


9/23

9

10

11

12

13

1.10 Razones de Cambio Relacionadas


10/23

1.10.1 Ejemplos

Ejemplo 1:

Una persona de 1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros dealtura con una velocidad de 1 m/s. Con qu rapidez crece la sombra de la persona?

Observa la siguiente animacin. En ella observars como cambia la sombra que una

persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.

Como habrs observado, la longitud de la sombra depende de la distancia de la persona alposte. Puesto que la distanciax cambia con el tiempo, tambin la longitud de la sombra s

cambia con el tiempo. La razn de cambio de la longitud de la sombra con respecto al

tiempo, depende de la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le

llamamos razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los clculos necesarios

para encontrar la razn de cambio de la sombra del ejemplo anterior.

La relacin entrexyses:

1.8 6

==

s(t) s(t) + x(t)

Despejando as(t)obtenemos:

s(t) = (0.428571) x(t)

Derivando con respecto al tiempo obtenemoss'(t):

s'(t)= (0.428571)x'(t)

Sustituyendo el valor dex'(t)=1. obtenemos:


11/23

s'(t)= 0.428571

La razn de cambio descon respecto a tes:

s'(t)= 0.428571 cuando x'(t)= 1

Los pasos ilustrados en el ejemplo anterior son tpicos en la solucin de un problema de

razones de cambio relacionadas. Este procedimiento se resume en la siguiente lista.

Te sugerimos seguir este procedimiento en la solucin de este tipo de problemas.

Ejemplo 2:

Se inyecta aire a un globo esfrico a razn de 20 pies cbicos / min. A qu razn varael radio cuando ste mide 3 pies? La solucin y una animacin que ilustra el problema se

muestran a continuacin.

Observa que si Vrepresenta el volumen y rel radio:

dV/dt = 20 pies cbicos / min

dr/dt = ? cuandor =3 pies.


12/23

La relacion entre volumen y radio es:

4 r(t)

V(t)=

3

Derivando implcitamente con respecto al tiempo

V'(t)= 4 r(t)2r'(t)

Despejando r'(t)obtenemos:

V'(t)

r'(t)=

4 r(t)

Sustituyendo V'(t)= 20 y r(t)= 3:

5

r'(t)=

9

La razn de cambio buscada es

5

r'(t)=

9

INTEGRALES

integrales de tipo potencial:

1.


13/23

2.

3.

4.

5.


14/23

6.

7.

8.


15/23

9.

10.

11.

12.


16/23

13.

14.

15.

16.


17/23

17.

18.

19.

20.


18/23

21.

22.

INTEGRALES DEFINIDAS

1

2


19/23

3.

4.

5.

2


20/23

APLICACIONES DE LA DERIVA E INTEGRALES

La relacin entre la distancia recorrida en metros por un mvil y el tiempo en segundos es

e(t) = 6t2. Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

2 La velocidad instantnea en t = 1.

2Debido a unas psimas condiciones ambientales, una colonia de un milln de bacterias no

comienza su reproduccin hasta pasados dos meses. La funcin que representa la poblacin

de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:


21/23

Se pide:

1 Verificar que la poblacin es funcin continua del tiempo.

2 Calcular la tasa de variacin media de la poblacin en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

3 Calcular la tasa de variacin instantnea en t = 4.

1 Verificar que la poblacin es funcin continua del tiempo.

2 Calcular la tasa de variacin media de la poblacin en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

3 Calcular la tasa de variacin instantnea en t = 4.

3Una poblacin bacteriana tiene un crecimiento dado por la funcin p(t) = 5000 + 1000t ,

siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:

1 La velocidad media de crecimiento.

2 La velocidad instantnea de crecimiento.

3 La velocidad de crecimiento instantneo para t0 = 10 horas.


22/23

1 La velocidad media de crecimiento.

2 La velocidad instantnea de crecimiento.

3 La velocidad de crecimiento instantneo para t0 = 10 horas.

4La ecuacin de un movimiento rectilneo es: e(t) = t 27t. En qu momento la velocidaden nula? Hallar la aceleracin en ese instante.

5La ecuacin de un movimiento circular es: (t) = t. Cul es la velocidad y la

aceleracin angulares al cabo de siete segundos?

6Un observador se encuentra a 2000 m de lanzamiento de la torre de un cohete. Cuandoste despega verticalmente mide la variacin del ngulo (t) que forma la lnea visual quele une con el cohete y la del suelo horizontal en funcin del tiempo transcurrido. Sabiendo

que '(t) = /3, se pide:

1 Cul es la altura del cohete cuando = /3 radianes?

2 Cul es la velocidad del cohete cuando = /3 radianes?

7Se bombea gas a un globo esfrico a razn de 6m3/min. Si la presin se mantiene

constante. Cul es la velocidad con la que cambia el radio del globo cuando el dimetro

mide 120 cm?


23/23

8Cul es la velocidad que lleva un vehculo se mueve segn la ecuacin e(t) = 2 3t2en el

quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

archivo calculo

Documents