calculo vectorial

Notas de clase de Calculo Vectorial I

Orestes Bueno

Actualizado al 3 de marzo de 2015

Indice general

Introduccion V

1. Geometra analtica en el plano 11.1. Sistema de coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Producto interno y angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Algebra lineal de vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. El plano euclidiano 192.1. Rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Ecuacion general de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2. Pendiente y ecuacion normal de una recta . . . . . . . . . 22

2.2. Posiciones y distancias relativas entre rectas . . . . . . . . . . . . 232.2.1. Interseccion de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2. Distancia entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Angulo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Geometra analtica en el espacio 293.1. Sistema de coordenadas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Geometra de vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. El producto vectorial y el triple producto escalar . . . . . . . . . . 333.4. Algebra lineal de vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Rectas y planos en el espacio 434.1. Rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1. Posicion relativa entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2. Distancia de un punto a una recta y entre rectas . . . . . . 45

4.2. Planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.1. Posicion relativa entre planos . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.2. Distancia de un punto a un plano y entre planos . . . . . . 49

III

IV INDICE GENERAL

5. Geometra proyectiva 515.1. Relaciones y clases de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Coordenadas homogeneas y el plano proyectivo . . . . . . . . . . 555.3. Rectas en el plano proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6. Conicas en el plano proyectivo 636.1. El polo y la recta polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2. Posicion relativa de una recta y una conica . . . . . . . . . . . . . 68

6.2.1. La ecuacion cuadratica homogenea de dos variables . . . . 686.2.2. Interseccion de una recta y una conica . . . . . . . . . . . 70

6.3. Propiedades generales de matrices de orden tres . . . . . . . . . . 716.4. Clasificacion de las conicas degeneradas . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4.1. Conicas con matriz de rango uno . . . . . . . . . . . . . . 746.4.2. Conicas con matriz de rango dos . . . . . . . . . . . . . . 76

6.5. Clasificacion de conicas mediante su interseccion con x3 = 0 . . . 776.6. Conicas imaginarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.7. Recta tangente a una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Introduccion

Estas notas de clase fueron comenzadas, como manuscrito, cuando dicte elcurso de Calculo Vectorial I en el semetre 2006-I, en la Facultad de Ciencias, de laUniversidad Nacional de Ingeniera. Luego, la version digitada la comence cuandoretome el curso durante los semestre 2013-I y 2013-II.

La idea de estas notas es proveer una vision medianamente formal de la geo-metra analtica, sin perder las ideas geometricas, y sin caer en la abstraccion exce-siva. As, el publico objetivo son alumnos de primeros anos de una carrera orientadaa ciencias o ingeniera.

V

VI INTRODUCCION

Captulo 1

Geometra analtica en el plano

Figura 1.1: Rene Descartes

La idea fundamental que dio origen a lageometra analtica es la de relacionar a los ele-mentos del plano (llamados puntos) con paresordenados (que son pares de numeros). Tal rela-cion se denomina sistema de coordenadas. As,un sistema de coordenadas involucra asignar-le a cada elemento de un conjunto (que puedeser recta, plano, espacio, esfera, cono, etc.) unacantidad finita (o incluso infinita) de numeros.

En adelante, consideraremos un plano P , ysupondremos conocidas las nociones de pun-to, recta, segmento, angulo, etc. Supondremostambien que en P se cumplen los postulados deEuclides:

1. por dos puntos diferentes solo se puede trazar una unica lnea recta;

2. todo segmento rectilneo se puede prolongar indefinidamente;

3. con un centro y un radio dado, solo se puede trazar una unica circunferencia;

4. todos los angulos rectos son iguales;

5. si una recta corta a otras dos formando a un lado angulos internos, y la sumade estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamentese encontraran de ese lado.

Finalmente, supondremos tambien que sabemos medir en nuestro plano, es decir,dados dos elementos P,Q P , podemos determinar la distancia entre P y Q. Eneste caso, denotaremos por d(P,Q) a tal distancia. Podemos considerar entoncesla funcion distancia en nuestro plano P , como una funcion d : P P R quecumple los siguientes hechos inmediatos:

1

2 CAPITULO 1. GEOMETRIA ANALITICA EN EL PLANO

1. d(P,Q) 0, para cualquier P,Q P;2. d(P,Q) = 0 si, y solamente si, P = Q;

3. d(P,Q) = d(Q,P ), para cualesquiera P,Q P;4. d(P,Q) d(P,R) + d(R,Q), para cualesquiera P,Q,R P;5. d(P,Q) = d(P,R) + d(R,Q) si, y solamente si, R esta en el segmento de

recta que une P y Q.

Con estas suposiciones, reconstruiremos la geometra analtica plana estudiadaen el colegio y/o academia. Para esto, nuestro primer objetivo sera el de cuadricularel plano.

1.1. Sistema de coordenadas cartesianas

Sea L una recta y consideremos un punto O L. Dicho punto O divide a Len dos partes disjuntas. Escojamos una de estas partes y a los elementos de estadenotemoslos como puntos a la derecha de O. Del mismo modo, a los elementosde la parte restante, los llamaremos como puntos a la izquierda de O. As, una vezhecha esta eleccion, llamaremos a L como eje y a O L como el origen del eje L.

Ahora, consideremos L un eje con origen O. Asignemos a cada punto de L unnumero real, de la siguiente manera: dado P L, definimos p R como

p =

0, si P = O,d(O,P ), si P esta a la derecha de O,d(O,P ), si P esta a la izquierda de O.

A tal numero p lo llamaremos coordenada de P asociada al eje L. Es importanteobservar que la coordenada de un punto P de L depende del origen O escogido enL y de que semirecta en L fue escogida como a la derecha de O.

En adelante, dado un eje L, a la semirecta de L que contiene a los puntos concoordenadas positivas la denominaremos semieje positivo, y a la semirecta de Lque contiene a los puntos con coordenadas negativas la denominaremos semiejenegativo.

Proposicion 1.1. Sean L un eje, con origen O. Si P,Q L tienen coordenadasp, q R, respectivamente, entonces d(P,Q) = |p q|.Demostracion. Dependiendo de la posicion relativa de P , Q y O tenemos seis po-sibilidades. Probaremos una de ellas y para el resto se procede de manera analoga.Consideremos, por ejemplo, que Q esta a la izquierda de O y P a la derecha deO, esto es, O PQ. En este caso, q = d(O,Q) 0, p = d(O,P ) 0 y as,d(P,Q) = d(Q,O) + d(O,P ) = q + p = |p q|.

1.2. EL PLANO CARTESIANO 3

Una vez determinado como asignarle coordenadas a puntos en una recta, po-demos hacer lo propio para puntos del plano. Consideremos dos ejes LX y LYperpendiculares, ambos con el mismo origenO. Sea P P fijo. Si P LY enton-ces denotemos PX = O. En caso contrario, como P / LY , por el quinto postuladode Euclides, por P pasa una unica recta paralela a LY y as, consideramos PX co-mo la interseccion de tal recta con LX . Del mismo modo, si P LX definimosPY = O y, de lo contrario, definimos PY como la interseccion de la unica rectaparalela a LX que pasa por P con LY . Sea x R la coordenada de PX respectodel eje LX y y R la coordenada de PY respecto del eje LY . Luego, asociamos aP el par ordenado (x, y). Tal par ordenado se denomina coordenada de P asociadaa los ejes LX y LY .

As, teniendo dos ejes perpendiculares con origen comun, hemos asignado acada punto del plano, un par ordenado de numeros reales. A un par de ejes conestas caractersticas, los llamaremos sistema de coordenadas cartesianas.

En adelante, consideraremos un sistema de coordenadas cartesianas formadopor dos ejes: LX (denotado Ox y llamado eje x o eje de abscisas) y LY (denota-doOy y llamado eje y o eje de ordenadas). Por simplicidad en la representacion

grafica, y tambien por costumbre, dibujaremos al eje x como una recta horizontal yal eje y como una recta vertical. Ademas, la region de puntos con pares ordenadoscon componentes positivas se dibujara arriba y a la derecha del origen.

Finalizaremos esta seccion estableciendo la formula de la distancia en el plano.

Proposicion 1.2. Sean P,Q P con coordenadas (a, b) y (c, d), respectivamente.Entonces

d(P,Q) =

(a c)2 + (b d)2.Demostracion. Sea L1 la recta paralela al eje x que pasa por P y L2 la rectaparalela al eje y que pasa por Q. Es claro que L1 y L2 no son paralelos, luego estasse intersectan en un punto R. Como PR L1, RQ L2 y L1 es perpendiculara L2, entonces el triangulo PRQ es un triangulo rectangulo con angulo recto enR. Probaremos que la distancia de P a R es |a c|. Sea L1 la recta paralelaal eje y que pasa por P y sea P la interseccion de esta con el eje x. Sea Q lainterseccion de L2 con el eje x. Entonces el cuadrilateroRPQP es un rectangulo,luego d(P,R) = d(P , Q) = |a c|, por la proposicion 1.1. De manera analoga,se prueba que la distancia de Q a R es |b d|. Finalmente, por el teorema dePitagoras, d(P,Q)2 = d(P,R)2 + d(R,Q)2, es decir

d(P,Q) =

(a c)2 + (b d)2.

1.2. El plano cartesiano

Tenemos identificado entonces el plano P con el conjunto de pares ordenadosde numeros reales. Tal conjunto lo denotaremos como R2, mas precisamente:

R2 = R R = {(x, y) : x, y R}.


El nombre par ordenado proviene del hecho obvio de que es un par de nume-ros, dispuestos de forma tal que importa el orden en que aparezcan. Por ejemplo,(5, 4) R2 y (4,5) R2 pero no se cumple que (5, 4) = (4,5). Engeneral, para determinar la igualdad de dos pares ordenados (x, y) y (a, b), debeverificarse

x = a y y = b.

Dado un par ordenado (, ) R2, diremos que es la primera componente ocomponente x, y diremos que es la segunda componente o componente y.

As como en el conjunto R de los numeros reales existen dos operaciones: lasuma y el producto, en R2 podemos establecer dos operaciones fundamentales: lasuma de pares ordenados y el producto de un par ordenado por un escalar.

Definicion 1.3. Sean (x, y) y (a, b) elementos de R2. Definimos la suma de (x, y)y (a, b) como el par ordenado

(x, y) + (a, b) = (x+ y, a+ b).

Por otro lado, dado t R y (x, y) R2, definimos el producto de (x, y) por elescalar t como el par ordenado

t (x, y) = (tx, ty).Las operaciones anteriormente definidas satisfacen las siguientes propiedades.

Proposicion 1.4.

1. La suma es asociativa, es decir u + (v + w) = (u + v) + w, para todou, v, w R2;

2. la suma es conmutativa, es decir u+ v = v + u, para todo u, v R2;3. existe un elemento R2 tal que v + = v, para todo v R2;4. para todo v R2, existe w R2 tal que v + w = ;5. la suma y el producto por un escalar son distributivos entre ellos, es decir,(u+v) = u+v y (+)v = v+v, para todo u, v R2 y , R;

6. el producto de escalares y el producto por un escalar son asociativos, esdecir, (v) = ()v, para todo , R y v R2;

7. 1 R tambien es neutro multiplicativo del producto por un escalar, es decir,1 v = v, para todo v R2.

Demostracion. Probaremos los tems 2, 3 y 4.

2. Sean u = (xu, yu) y v = (xv, yv), arbitrarios, entonces

u+ v = (xu + xv, yu + yv) = (xv + xu, yv + yu) = v + u.

Observe que hemos usado que la suma de numeros reales es conmutativa.

1.3. VECTORES EN EL PLANO 5

3. Para probar la existencia de algo, basta construirlo y mostrarlo explcitamen-te. Consideremos = (0, 0) R2 (que claramente existe) y probemos quecumple la condicion mencionada. Sea v = (x, y) cualquiera, entonces

v + = (x+ 0, y + 0) = (x, y) = v,

como queramos probar.

4. Consideremos ahora v = (x, y) cualquiera. Para probar que existe w R2tal que v + w = , definimos w = (x,y). Entonces

v + w = (x, y) + (x,y) = (x+ (x), y + (y)) = (0, 0) = .

En adelante, al par (0, 0) R2 lo denotaremos con el smbolo 0 o incluso,cuando no haya peligro de confusion, con el smbolo 0. Del mismo modo, si v =(x, y), denotaremos v = (x,y).

La proposicion 1.4 implica que el conjunto R2, junto con las operaciones desuma y producto por un escalar, cumple los axiomas de espacio vectorial.

1.3. Vectores en el plano

Un concepto que no es visto en los cursos basicos de geometra, pero si en losde fsica, es el de vector. Usualmente, un vector se define como un objeto geometri-co que posee magnitud y sentido, y es representado graficamente como una flecha.As, la magnitud y el sentido del vector estaran relacionados al tamano y direcciona la que apunta la flecha. Otra manera de definir vectores es establecer la nocion desegmento dirigido, esto es, un segmento de recta en el cual se distinguen el puntode inicio y el punto final.

Para definir, lo mas formal posible, la nocion de vector, dibujemos una flechaen el plano P e intentemos determinar sus caractersticas. Consideremos el puntoP que marca el inicio de la flecha y el puntoQ que marca el final (osea el punto delplano donde se ubica la punta de la flecha). Observe que para reconstruir nuestraflecha basta determinar los puntos P y Q, y determinar el punto de inicio. As, unvector esta determinado por un par ordenado de puntos (P,Q), donde P representael origen del vector y Q el final (o destino) del vector. Que significa magnitudy sentido en este caso? La magnitud del vector esta dada por la distancia entreP y Q. Sin embargo, sin un sistema de coordenadas, el sentido no esta biendeterminado.

Consideremos entonces un sistema de coordenadas cartesianas en P . Entonces,nuestra flecha se encuentra ahora dibujada sobre el plano cuadriculado. En estecaso, tanto P yQ se representan por pares ordenados. Observe que el sentido delvector no depende de P , sino de en que posicion se encuentra Q respecto de P yen que posicion estan ambos respecto de los ejes coordenados. As, consideremosun sistema de coordenadas, con ejes paralelos al sistema original, pero con origen


de coordenadas el punto de origen del vector. Entonces, en este nuevo sistema, Ptiene coordenadas (0, 0) y la magnitud y el sentido del vector esta determinadoscompletamente por las coordenadas de Q. Esto significa que podemos caracterizarun vector por un par ordenado, es decir, por un elemento de R2.

Es aqu donde surgen confusiones respecto a como interpretar los elementos deR2. Para fijar las ideas, consideremos el par (3, 1) R2 y fijemos un sistema decoordenadas enP . Por un lado (3, 1) representa al punto deP que esta a 3 unidadesde distancia y a la derecha del eje y y a 1 unidad de distancia y hacia arriba del ejex. Por otro lado, (3, 1) representa al vector en P que teniendo como origen (0, 0)tiene como final (3, 1). Mas aun, (3, 1) representara a cualquier vector en P conorigen P y finalQ tal que las coordenadas deQ en un sistema coordenado con ejesparalelos al sistema original y con origen en P son (3, 1).

Observacion 1.5. Algunos autores usan el nombre radio vector para denotar a losvectores que tienen como origen al punto (0, 0).

Para ayudar a mitigar este problema, consideraremos smbolos diferentes paradenotar puntos y vectores en el plano. Usualmente, denotaremos los puntos delplano con letras mayusculas (P , Q, R, A,...) y a los vectores con letras minusculas(v, w, n,...). Ademas, al vector con origen P y destino Q lo denotaremos comoPQ.

Proposicion 1.6. Fijemos un sistema de coordenadas en P . Sean P,Q P concoordenadas (p1, p2) y (q1, q2), respectivamente. Entonces el vector

PQ es repre-

sentado por el par ordenado Q P = (q1 p1, q2 p2).Ejemplo 1.7. Consideremos P,Q P con coordenadas (2, 1) y (1,1) respecti-vamente. Sea v =

PQ. Entonces v = Q P = (1,2).

Como se interpretan geometricamente las operaciones de suma y producto porun escalar de R2? Si consideramos los elementos de R2 como vectores, podemosinterpretar dichas operaciones. Para el caso de la suma, si v = (x1, y1) y w =(x2, y2) son (radio) vectores en el plano, entonces v + w = (x1 + x2, y1 + y2) esel (radio) vector cuyo final es el punto final del vector w, considerando como suorigen el punto final del vector v. Del mismo modo, si u = (x, y) es un (radio)vector y t > 0, entonces t u es el (radio) vector cuya magnitud es la magnitud deu multiplicada por t y cuyo sentido es el mismo de u. Si t = 0 entonces t u es elvector nulo, es decir, el vector con magnitud cero. Finalmente, si t < 0 entoncest u es el vector con la misma magnitud que (t) u y sentido opuesto.

Note que estas operaciones no tienen sentido geometrico si interpretamos loselementos deR2 como puntos. As, al decir queR2 es un espacio vectorial, estamosinterpretando los elementos de R2 como vectores en el plano y no como puntos delplano.

Para terminar de caracterizar los vectores en el plano, recordemos que la mag-nitud de un vector es la distancia entre sus puntos de origen y destino. Tal propiedadde un vector puede caracterizarse de la siguiente manera.

1.4. PRODUCTO INTERNO Y ANGULO ENTRE VECTORES 7

Definicion 1.8. Sea v = (x, y) R2 un vector en el plano. Definimos la norma (omagnitud) de v como el numero

v = d((0, 0), (x, y)) =x2 + y2.

As, la norma de un vector se interpreta como el tamano del vector. Observeque la norma esta definida como la distancia del punto final del radio vector v a suorigen (que es el origen del sistema de coordenadas). Podemos considerar entoncesla funcion norma como la funcion : R2 R.Proposicion 1.9. Se cumplen las siguientes propiedades de la norma de un vector:

1. v 0, para todo v R2;2. v = 0 si, y solo si, v = 0;3. u+ v u+ v, para todo u, v R2;4. t v = |t|v, para todo v R2, t R.Juntando la proposicion anterior y la proposicion 1.6 obtenemos

Corolario 1.10. Si P,Q P entoncesd(P,Q) = PQ = P Q.

Finalizaremos la seccion estableciendo dos definiciones que usaremos a menu-do. Diremos que dos vectores son paralelos si uno es el producto del otro por unescalar. Escrito en notacion simbolica, diremos que los vectores v yw son paralelossi, o bien v = 0 o bien existe t R tal que v = tw. De este modo, establecemospor definicion que el vector 0 es paralelo a cualquier vector de R2.

Diremos que un vector es unitario si este tiene norma igual a 1. En notacionsimbolica, u es unitario si u = 1. Dado cualquier v R2, v 6= 0, entonces elvector u =

1

vv satisface

u = 1vv

= 1vv = 1.Es decir u es unitario y v = vu. Esto quiere decir que todo vector no nulo esparalelo a un vector unitario.

1.4. Producto interno y angulo entre vectores

Un concepto importante al momento de trabajar con vectores es el angulo entreestos. Un caso particular importante es cuando dos vectores son perpendiculares,esto es, cuando forman un angulo recto. Dado que ahora representamos vectores enel plano como elementos de R2, es necesaria una manera de determinar el angulode dos vectores a partir de sus representaciones como pares ordenados. Para esto,introduciremos la nocion de producto interno.


Definicion 1.11. Sean v = (x1, y1) yw = (x2, y2) vectores en el plano. Definimosel producto interno de v con w como el escalar

v, w = (x1, y1), (x2, y2) = x1x2 + y1y2.

Observacion 1.12. Es usual en la literatura llamar al producto interno como pro-ducto escalar y denotar v, w como v w. Nosotros no usaremos tal notacion enprincipio para no confundir con el termino producto por un escalar y tambienpara estar acorde a los libros de matematica mas avanzada.

Podemos considerar al producto interno como una funcion. En este caso, , denota una funcion con dominio R2 R2 (cuyos elementos son pares de paresordenados) y con rango R. Claramente no escribiremos , (u, v) sino u, v.

La siguiente proposicion contiene las principales propiedades del producto in-terno.

Proposicion 1.13. Se cumplen las siguientes propiedades del producto interno:

1. u, v = v, u, para todo u, v R2;2. u, u 0, para todo u R2;3. u, u = 0 si, y solo si, u = 0;4. tu, v = tu, v, para todo u, v R2 y t R;5. u+ v, w = u,w+ v, w, para todo u, v, w R2.

Demostracion. Consideremos u = (x1, y1), v = (x2, y2), w = (x3, y3) y t R,arbitrarios. En este caso,

v, u = x2x1 + y2y1 = x1x2 + y1y2 = u, v,u, u = x1x1 + y1y1 = x21 + y21 0,

tu, v = (tx1, ty1), (x2, y2) = tx1x2 + ty1y2 = t(x1x2 + y1y2) = tu, v,

lo que prueba 1, 2 y 4. Si u = (0, 0) entonces u, u = 0 + 0 = 0, trivialmente.Recprocamente, si u, u = 0 entonces x21 + y21 = 0, y esto implica que x1 =y1 = 0, es decir, u = 0. As, hemos probado 3. Finalmente,

u+ v, w = (x1 + x2, y1 + y2), (x3, y3)= (x1 + x2)x3 + (y1 + y2)y3

= x1x3 + x2x3 + y1y3 + y2y3

= (x1x3 + y1y3) + (x2x3 + y2y3)

= u,w+ v, w.

Esto prueba 5.


Sea v = (x, y) R2, entoncesv, v = x2 + y2 = v2.

Luego, podemos obtener la norma de un vector a partir del producto interno, de lasiguiente manera

v =v, v.

Del mismo modo, la distancia entre dos puntos P y Q esta dada por

d(P,Q) = P Q =P Q,P Q.

Ahora, usaremos el producto interno para determinar el angulo entre vectores.Comenzaremos con el siguiente lema.

Lema 1.14. Sea v = (x, y) R2 un vector no nulo. Entoncesv = (x, y) = v(cos(), sen()),

donde es el angulo que forma el vector v con el semieje x positivo.

Demostracion. Consideremos los puntos P = (x, y) y Q = (x, 0). Entonces eltriangulo OQP es rectangulo, con angulo recto en Q. Sea = POQ, entonces

cos() =d(Q,O)

d(P,O)=|x|v y sen() =

d(P,Q)

d(P,O)=|y|v .

Se consideran cuatro posibilidades, dependiendo en que parte del plano se encuen-tre v. Supongamos que v esta en el primer cuadrante. Entonces x 0, y 0 y = . Luego

v = (x, y) = (v cos(), v sen()) = v(cos(), sen()).Los casos restantes se demuestran de manera analoga. Por ejemplo, suponga-

mos que v esta en el cuarto cuadrante. Entonces x 0, y 0 y = 2pi .Luego

cos() = cos(2pi ) = cos() = xv ,

sin() = sin(2pi ) = sen() = (y)v =y

v ,

y as tenemos probado este caso.

Teorema 1.15. Sean u, v R2 y el angulo que forman u y v. Entoncesu, v = uv cos(). (1.1)

Observacion 1.16. En el caso que u o v sea nulo, el angulo entre u y v no esta biendefinido. Sin embargo, en este caso, el teorema se cumple para cualquier R.


Demostracion. Si u = 0 o v = 0 entonces u, v = 0 = uv cos(), paracualquier R. Supongamos que u 6= 0 y v 6= 0, y sean y los angulos queforman u y v con el semieje x. Por el lema 1.14, tenemos

u = (u cos(), u sen()), v = (v cos(), v sen()).Luego

u, v = uv cos() cos() + uv sen() sen()= uv(cos() cos() + sen() sen())= uv cos( ) = uv cos( ).

El resultado se sigue observando que el angulo que forman los vectores u y v es obien o bien .

Una consecuencia importante del teorema anterior es la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Corolario 1.17. Dados u, v R2,|u, v| uv,

y la igualdad se da si, y solo si, u y v son paralelos.

Demostracion. Basta tomar valor absoluto en la ecuacion (1.1) y observar que| cos()| 1, para todo R. Finalmente, la segunda parte del corolario sesigue observando que la igualdad se da si, y solo si, cos() = 1, es decir, = 0 opi.

Observacion 1.18. La demostracion que hemos de la desigualdad de Cauchy-Schwarz hace uso de la formula explcita del producto interno que definimos. Lasiguiente demostracion alternativa, en cambio, solo hace uso de las propiedadesintrnsecas del producto interno. Dados u, v R2, es claro que la desigualdad secumple si v = 0. En el caso que v 6= 0, consideremos la funcion g : R Rdefinida como

g(t) = u tv2 = u tv, u tv = u2 2tu, v+ t2v2.Observe que g(t) es un polinomio cuadratico, cuyo coeficiente cuadratico es nonegativo. No es difcil concluir que esta funcion alcanza su mnimo en el punto

t0 =u, vv2 cuyo valor es

g(t0) = u2 2u, v2

v2 +u, v2v2 = u

2 u, v2

v2 .

Como g(t0) 0 entonces u2 u, v2

v2 0. Esto implica la desigualdad. Ob-serve que se da la igualdad si y solo si g(t0) = u t0v2 = 0, es decir u = t0v.


Definicion 1.19. Diremos que dos vectores u, v R2 son ortogonales si u, v =0.

La siguiente consecuencia importante del teorema 1.15 relaciona las nocionesde perpendicularidad y ortogonalidad.

Corolario 1.20. Dos vectores u, v R2, no nulos, son perpendiculares si, y solosi, u, v = 0.Demostracion. Basta observar que u, v = 0 si, y solamente si, cos() = 0,donde es el angulo que forman. Luego =

pi

2o =

3pi

2.

El corolario anterior simplifica bastante los calculos para determinar si dosvectores son perpendiculares, pues basta comprobar que su producto interno es 0.

Ejemplo 1.21. Sea v = (2, 5) R2. Entonces (10,4), (5, 2), (15,6) sontodos ortogonales a v pues

(2, 5), (10,4) = 2 10 + 5 (4) = 20 20 = 0,(2, 5), (5, 2) = 2 (5) + 5 2 = 10 + 10 = 0,(2, 5), (15,6) = 2 15 + 5 (6) = 30 30 = 0.

Observe que (10,4), (5, 2), (15,6) son todos paralelos entre si. Existira vec-tor enR2, ortogonal a (2, 5) pero no paralelo a (5, 2)? La respuesta es no, es decir,todo vector ortogonal a (2, 5) debe ser paralelo a (5, 2).

Observamos que, en general, un vector enR2 posee infinitos vectores ortogona-les a el, y todos estos son paralelos entre s. Dotaremos a uno de estos una notacionespecial. Dado v = (x, y) R2 definimos su ortogonal como v = (y, x). Cla-ramente v, v = 0 y v = v. Geometricamente v es una rotacion de 90de v en sentido antihorario. Es inmediato ver que (v) = v.

Consideremos ahora u y v en R2, con v 6= 0. Por lo visto en la observa-cion 1.18, t0 =

u, vv2 es el que minimiza la funcion g : R R, g(t) =

u tv2. Denotemos w = t0v = u, vv2 v, entonces w es paralelo a v. Ademas,

v, u w = v, u v, w = u, v u, vv2 v2 = 0.

Es decir u w es ortogonal a v, luego es paralelo a v. As, tenemos la siguientedescomposicion de u,

u = w + (u w) = t0v + s0v, (1.2)donde s0 existe pues u w es paralelo a v. No es difcil concluir que

s0 =u, vv2 =

u, vv2 .


Definicion 1.22. Sea v R2, no nulo. Dado u R2, definimos la proyeccionortogonal de u sobre v como el vector

Proyv u =u, vv2 v.

Con esta definicion, la ecuacion (1.2) se expresa como

u = Proyv u+ Proyv u,

y de aqu, de inmediato tenemos que Proyv u = u Proyv u.Por otro lado, la ecuacion (1.2) tambien puede escribirse como

u =u, vv

v

v +u, vv

v

v ,

Observe quev

v yv

v son unitarios, luego

Proyv u =|u, v|v y Proyv u =

|u, v|v .

Definicion 1.23. Sea v R2, no nulo. Dado u R2, definimos la componenteortogonal de u sobre v como

Compv u =u, vv .

As, concluimos los calculos anteriores escribiendo

u = Proyv u+ Proyv u = Compv u v

v + Compv u v

v . (1.3)

Finalmente, presentamos propiedades inmediatas de la proyeccion ortogonal.

Proposicion 1.24. Sea v R2, v 6= 0. Entonces1. Proyv u = Proytv u, para todo u R2 y t R, t 6= 0;2. Proyv(u+ w) = Proyv u+ Proyv w, para todo u,w R2;3. Proyv(t u) = t Proyv u, para todo u R2 y t R.

1.5. Algebra lineal de vectores en el plano

Definicion 1.25. Sean v1, . . . , vn R2 vectores en el plano. Diremos que un vec-tor v es una combinacion lineal de los vectores v1, . . . , vn si existen coeficientesreales 1, . . . , n tales que

v = 1v1 + 2v2 + + nvn.En este caso, diremos que v1, . . . , vn generan v. Ademas, si todo vector v R2 esgenerado por v1, . . . , vn, diremos que v1, . . . , vn generan R2.

1.5. ALGEBRA LINEAL DE VECTORES EN EL PLANO 13

Ejemplo 1.26. Sean v1 = (1, 2), v2 = (1, 4), v3 = (1, 0) y v = (3, 7). En estecaso, tenemos

v = (3, 7) =3

2(1, 2) + (1, 4) + 5

2(1, 0).

Luego v es combinacion lineal de v1, v2 y v3. Observe que esta no es la unicamanera de expresar v como combinacion lineal de v1, v2, v3, por ejemplo

v = (3, 7) =7

2(1, 2) + 0(1, 4) 1

2(1, 0).

Del mismo modo, podemos escribir (0, 0) como dos diferentes combinaciones li-neales de v1, v2, v3, a saber

(0, 0) = 0(1, 2) + 0(1, 4) + 0(1, 0) = 2(1, 2) + (1, 4) + 3(1, 0).

Finalmente, observamos que v1, v2, v3 generan todo R2 pues, para (x, y) R2,arbitrario,

(x, y) =y

2(1, 2) + 0(1, 4) +

(x y

2

)(1, 0).

Ejemplo 1.27. Sean v1 = (1, 0) y v2 = (1, 1). En este caso, para cualquier(x, y) R2,

(x, y) = (x y)(1, 0) + y(1, 1).Luego v1 y v2 generan R2.

Observacion 1.28. Dado cualquier conjunto de vectores v1, . . . , vn, el vector 0 R2 siempre es combinacion lineal de estos, de la siguiente manera

0 = 0 v1 + + 0 vn.

La unicidad que poseen los coeficientes de las combinaciones lineales de losvectores (1, 0) y (1, 1) es una propiedad importante y digna de tener nombre pro-pio.

Definicion 1.29. Diremos que los vectores v1, . . . , vn R2 son linealmente inde-pendientes si, escribiendo

0 = 1v1 + + nvn,

con 1, . . . , n R, la unica posibilidad para estos es

1 = 2 = = n = 0.

Por otro lado, si v1, . . . , vn no son linealmente independientes entonces se deno-minan linealmente dependientes.


Probemos que (1, 0) y (1, 1) son linealmente independientes. Sean , Rtales que

(0, 0) = (1, 0) + (1, 1).

Entonces 0 = + y 0 = . Esto implica que = = 0, es decir, la unicaposibilidad para y es ser ambos cero. As, los vectores (1, 0) y (1, 1) tienen lapropiedad de ser linealmente independientes y al mismo tiempo generar todo R2.

Definicion 1.30. Diremos que un conjunto v1, . . . , vn es una base de R2 si estosson linealmente independientes y generan R2.

Los vectores v1 = (1, 2), v2 = (1, 4) y v3 = (1, 0) del ejemplo 1.26 sonlinealmente dependientes, pues podemos escribir

(0, 0) = (2) (1, 2) + 1 (1, 4) + 3 (1, 0).

En general, los vectores v1, . . . , vn son linealmente dependientes si existen es-calares 1, . . . , n R, no todos nulos, tales que

0 = 1v1 + + nvn.

Ejemplo 1.31. Consideremos e1 = = (1, 0) y e2 = = (0, 1). Tenemos quetodo v = (x, y) R2 se escribe como v = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). Luego e1 ye2 generan R2. Ademas, si 0 = e1 + e2 entonces = = 0, por lo tanto, e1 ye2 es linealmente independiente y, por ende, una base de R2. Esta base es conocidacomo la base canonica de R2.

Ejemplo 1.32. Considere v1 = (2, 3) y v2 = (8, 12). Estos son linealmente de-pendientes pues

(0, 0) = 4(2, 3) + (8, 12). (1.4)Mas aun, de (1.4), tenemos que (8, 12) = 4(2, 3), es decir, (2, 3) y (8, 12) sonparalelos.

El comportamiento del ejemplo anterior ocurre en general, como muestra lasiguiente proposicion.

Proposicion 1.33. Sean v1, v2 R2. Las siguientes afirmaciones son equivalen-tes:

1. v1, v2 son paralelos;

2. v1, v2 son linealmente dependientes;

3. si v1 = (x1, y1) y v2 = (x2, y2) entonces x1y2 x2y1 = 0.


Demostracion. Supongamos que v1, v2 son paralelos, entonces existe t R talque v1 = tv2. Esto implica que

0 = v1 tv2 = 1 v1 + (t) v2.Como 1 6= 0 entonces concluimos que v1 y v2 son linealmente dependientes.

Supongamos que v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen, R, no ambos nulos, tales que 0 = v1 + v2, es decir

0 = x1 + x2, (1.5)

0 = y1 + y2. (1.6)

De aqu, consideremos cuatro posibilidades:

1. si x1 = 0 y 6= 0 entonces, de (1.5), x2 = 0 y as x1y2 x2y1 = 0;2. si x1 = 0 y = 0 entonces 6= 0 y, de (1.6), y1 = 0, esto implicax1y2 x2y1 = 0;

3. si x1 6= 0 y 6= 0 entonces, de (1.5),

=x2x1,

y por lo tanto, de (1.6) y2 = y1 =

x2x1y1;

4. si x1 6= 0 y = 0 entonces, de (1.5), = 0, que es una contradiccion.Luego este caso no puede darse.

As, en cualquier caso, hemos probado que x1y2 x2y1 = 0.Finalmente, supongamos que x1y2 = x2y1. Si v1 = 0 entonces no hay nada

que probar. As, supongamos que v1 6= 0, es decir x1 6= 0 o y1 6= 0. Si x1 6= 0entonces y2 = y1

x2x1

y

v2 = (x2, y2) =x2x1

(x1, y1) =x2x1v1.

Del mismo modo, si y1 6= 0 entonces x2 = x1 y2y1

y

v2 = (x2, y2) =y2y1

(x1, y1) =y2y1v1.

En ambos casos, tenemos que v1 y v2 son paralelos.

Ejemplo 1.34. Si v R2 y w = 0 entonces v y w son paralelos y por tantov y w son linealmente dependientes. En general, si v1, . . . , vn son tales que almenos uno de ellos es el vector nulo, por ejemplo v1 = 0, entonces son linealmentedependientes pues

0 = 1 v1 + 0 v2 + + 0 vn = 1 0.


Ejemplo 1.35. Sea v1 = (x, y) 6= (0, 0) y v2 = v1 = (y, x). Supongamos quev1 y v2 son paralelos, es decir, existe t R tal que (x, y) = t(y, x). Es obvioque t 6= 0, luego tenemos el sistema

ty = x, tx = y,

que implica que 0 = (t2 + 1)y. Como t2 + 1 > 0, para cualquier t, entonces y = 0y por tanto x = 0. Esto es una contradiccion pues v1 6= 0. Esta contradiccionsurge de suponer que v1 y v2 son paralelos. As, para cualquier v R2, v y v sonlinealmente independientes.

Cuantos elementos posee una base de R2? Hasta ahora hemos exhibido unabase de dos elementos, sin embargo, no sabemos a priori si podremos encontrarbases de mas elementos. Probaremos que en R2 toda base posee exactamente doselementos.

Lema 1.36. Sean v1, . . . , vn R2 tales que v1, . . . , vk es linealmente dependiente,con k n. Entonces v1, . . . , vn es linealmente dependiente.

Demostracion. Como v1, . . . , vk es linealmente dependiente entonces existen es-calares 1, . . . , k, no todos nulos, tales que

0 = 1v1 + + kvk.

Definiendo k+1 = = n = 0, tenemos

0 = 1v1 + + kvk + k+1vk+1 + + nvn,

donde nuevamente 1, . . . , n no son todos nulos. As, v1, . . . , vn son linealmentedependientes.

Presentaremos ahora el resultado principal de esta seccion.

Teorema 1.37. Sean v1, v2 R2 linealmente independientes. Entonces v1 y v2generan R2.

Demostracion. Consideremos v1 = (x1, y1) y v2 = (x2, y2). Por la proposi-cion 1.33, tenemos que x1y2 x2y1 6= 0. Dado cualquier v = (x, y) R2,consideremos

=xy2 x2yx1y2 x2y1 , =

x1y xy1x1y2 x2y1 .

Luego, un calculo de rutina muestra que

v1 + v2 = v,

es decir, v es generado por v1, v2.


Observacion 1.38. En la demostracion anterior, los valores de y fueron obte-nidos al aplicar la regla de Cramer al sistema de ecuaciones

x1 + x2 = x,

y1 + y2 = y.

Corolario 1.39. Sea v1, . . . , vn R2 un conjunto linealmente independiente. En-tonces n 2.Demostracion. Por el lema 1.36, basta probar que cualquier terna de vectoresv1, v2, v3 es linealmente dependiente. Esto es inmediato si v1 y v2 son paralelos.Luego, supongamos que v1 y v2 son linealmente independientes, entonces, por elteorema 1.37, v3 es generado v1 y v2, es decir, v3 = v1 + v2. Luego,

0 = v1 + v2 v3,

y como 1 6= 0 entonces v1, v2, v3 es linealmente dependiente.El recproco del teorema 1.37 tambien se cumple.

Proposicion 1.40. Si v1, v2 generan R2 entonces son linealmente independientes.

Demostracion. Supongamos que v1 y v2 no son linealmente independientes. En-tonces existe t R tal que v2 = tv1. Luego, como todo v R2 es generado porv1, v2,

v = v1 + v2 = (+ t)v1,

es decir, todo v R2 es paralelo a v1, lo cual es una contradiccion.Supongamos que v1, . . . , vn es una base de R2, entonces es linealmente inde-

pendiente. Luego por el corolario 1.39, n 2. Pero si n = 1 entonces v1 no puedegenerar todo R2, luego n = 2. As, toda base de R2 posee dos elementos.

Este hecho hace que podamos establecer la dimension de R2 como la cantidadde elementos que posee cualquier base de R2. En este caso, como toda base poseedos elementos, tenemos que R2 tiene dimension dos.

Captulo 2

El plano euclidiano

Figura 2.1: Euclides

Las dos ideas fundamentales de la geo-metra euclidiana son el punto y la recta. En es-ta, estas dos nociones son descritas de maneraimprecisa, siendo sus principales caractersti-cas determinadas por los postulados de Eucli-des. La ventaja de tener un sistema de coor-denadas en el plano es que nos permite defi-nir con precision estas nociones. Consideremosun plano P , dotado de un sistema de coorde-nadas cartesiano. Identificando P con R2 coneste sistema, entonces un punto es simplemen-te un elemento de R2, es decir, par ordenadoP = (x, y). Nuestra tarea ahora sera la de de-finir recta, tambien por medio de nuestro sistema de coordenadas.

2.1. Rectas en el plano

Definiremos una recta mediante dos caractersticas de esta: una direccion (dadapor un vector) y un punto de paso. A esta definicion se le denomina representacionvectorial de la recta.

Definicion 2.1. Sea P0 P y v R2 un vector no nulo. La recta que pasa por P0con direccion v es el conjunto

L(P0, v) = {P = P0 + tv P : t R}.

Ejemplo 2.2. Consideremos P0 = (2,1) y v = (1, 1). Entonces

L(P0, v) = {(x, y) = (2,1) + t(1, 1) : t R}= {(2 + t, t 1) : t R}.

19

20 CAPITULO 2. EL PLANO EUCLIDIANO

As, todo punto (x, y) L(P0, v) es de la formax = 2 + t, y = t 1.

En general, si P0 = (x0, y0) P y v = (v1, v2) R2 entonces todo punto(x, y) L(P0, v) satisface

x = x0 + tv1, y = y0 + tv2. (2.1)

La ecuacion (2.1) se denomina ecuacion parametrica de la recta.Consideremos P0 P y v R2 no nulo. Para cualquier P L(P0, v) existe

t R tal que P = P0 + tv. Esto equivale aP0P = P P0 = tv, es decir, el vectorP0P es paralelo a v. Luego, P L(P0, v) si, y solamente si, P0P es paralelo av. En particular, dados dos puntos distintos del plano, sabemos que pasa una unicarecta por ellos. Para hallarla, basta considerar v =

P0P1 6= 0 y as definir

L(P0, P1) := L(P0,P0P1).Ejemplo 2.3. Sean P0 = (1, 3) P y P1 = (3,2) P . Entonces

v =P0P1 = P1 P0 = (2,5)

y L = L(P0, v) = {(x, y) = (1, 3) + t(2,5) : t R}.La recta generada por el punto de paso P0 y el vector direccion v no varia si

usamos cualquier punto de la recta y cualquier vector direccion paralelo a v, comomuestra la siguiente proposicion.

Proposicion 2.4. SeaL = L(P0, v) una recta y sean r, s R, con s 6= 0. EntoncesL = L(P0 + rv, sv).Demostracion. Como P0 + rv L(P0, v) entonces, para todo t R,

(P0 + rv) + tsv = P0 + (r + ts)v L(P0, v),

es decir, L(P0 + rv, sv) L(P0, v). Del mismo modo, para todo t R,

P0 + tv = (P0 + rv) +t rs

sv L(P0 + rv, sv),

implicando que L = L(P0, v) = L(P0 + rv, sv).Corolario 2.5. Sean P0 P y v R2, v 6= 0, entonces

1. para cualquier P L(P0, v), L(P, v) = L(P0, v);2. para cualquier w 6= 0 paralelo a v, L(P0, w) = L(P0, v);3. para cualquier P L(P0, v) y cualquier w 6= 0 paralelo a v, L(P,w) =L(P0, v).

2.1. RECTAS EN EL PLANO 21

Ejemplo 2.6. Sean P0 = (1, 5) P y v = (1, 1) R2. Entonces L =L(P0, v) tiene como ecuaciones parametricas

x = 1 t, y = 5 + t.Consideremos por ejemplo t = 3. Entonces P = (x, y) = (2, 2) L. Por otrolado w = 7v = (7, 7) es paralelo a v. Luego, por el teorema 2.4,

L = L(P0, v) = L(P,w).Observe que si consideramos L = L(P,w), el punto P0 se representa como

P0 = P +3

7w.

2.1.1. Ecuacion general de la recta

Supongamos P0 = (x0, y0) y v = (v1, v2) R2, y consideremos la rectaL(P0, v). Dado P = (x, y) L(P0, v), tenemos que P0P es paralelo a v, luego esortogonal a v, es decir

P P0, v = P0P , v = 0.Utilizando las componentes de P0, P y v, obtenemos

0 = (x x0, y y0), (v2, v1) = v2x+ v2x0 + v1y v1y0.Definiendo a = v2, b = v1 y c = v2x0 v1y0, concluimos que P = (x, y) L(P0, v) si, y solamente si,

ax+ by + c = 0.

Definicion 2.7. Sea L una recta tal que, todo punto (x, y) L satisfaceax+ by + c = 0. (2.2)

La ecuacion (2.2) se denomina ecuacion general de la recta L. En este caso, deno-taremos L = L(a, b, c) = {(x, y) P : ax+ by + c = 0}.Ejemplo 2.8. Consideremos la recta dada en el ejemplo 2.6, L = L(P0, v), conP0 = (1, 5) P y v = (1, 1) R2. Por lo visto anteriormente, tenemos quea = 1, b = 1 y c = 4. Luego, x y + 4 = 0 es una ecuacion general de L.Multiplicando esta ecuacion por 1, tenemos la tambien ecuacion general de L,

x+ y 4 = 0.No es difcil verificar que L(a, b, c) = L(ta, tb, tc), para todo t 6= 0. Lue-

go, la ecuacion general de una recta no es unica. Ademas, observe que el con-junto L(a, b, c) no siempre representa una recta. Por ejemplo, L(0, 0, 0) = P yL(0, 0, 1) = .


Ya hemos probado que toda recta en representacion vectorial puede ser repre-sentada mediante su ecuacion general. La siguiente proposicion establece condi-ciones para que una ecuacion de la forma ax+ by + c = 0 determine una recta enel plano.

Proposicion 2.9. Dados a, b, c R tales que (a, b) 6= (0, 0), el conjunto L(a, b, c)determina una recta en el plano con vector direccion v = (b, a).Demostracion. Sea v = (a, b) = (b, a) 6= 0 el cual sera el vector direccion dela recta. Falta entonces encontrar un punto de paso. Definamos P0 = (x0, y0) Pcomo

P0 = (x0, y0) =

{(1, cb), si a = 0,( b+ca , 1), si a 6= 0.

Observe que P0 esta bien definido y satisface la ecuacion general de L, es decir,ax0 + by0 + c = 0. (2.3)

Probaremos ahora que L(a, b, c) = L(P0, v). Dado cualquier P = (x, y) L(a, b, c), tenemos

ax+ by + c = 0.

Restando la ecuacion anterior con (2.3) tenemos que

a(x x0) + b(y y0) = 0,

es decir, P P0, (a, b) = 0. Luego P0P es paralelo a (a, b) = (b, a) = v.Por lo tanto, P L(P0, v).Ejemplo 2.10. Consideremos la recta L con ecuacion general

7x 3y + 5 = 0.Consideremos P0 = (27 , 1) L y v = (7,3) = (3, 7). Por lo visto anterior-mente, L = L(P0, v), es decir, todo P = (x, y) L cumple

(x, y) = (27

+ 3t, 1 + 7t).

2.1.2. Pendiente y ecuacion normal de una recta

Sea L una recta no vertical (esto es, con vector direccion no paralelo a (0, 1)),cuya ecuacion general es a0x+b0y+c0 = 0. Como la recta no es vertical entoncesb0 6= 0 y as obtenemos,

y = a0b0x c0

donde, denotando m = a0b0

y b = c0, tenemos la ecuacion normal de L,

y = mx+ b.

2.2. POSICIONES Y DISTANCIAS RELATIVAS ENTRE RECTAS 23

Llamaremos a m como la pendiente de L. Algunos autores llaman a b como elintercepto de L.

Sea L = L(P0, v) = L(a0, b0, c0) una recta no vertical. Si v = (v1, v2) enton-ces

m = a0b0

=v2v1

= tan(),

donde es el angulo que forma el vector v con el semieje x positivo.Por otro lado, si tenemos una recta L, no vertical, cuya ecuacion normal es

y = mx + b entonces es inmediato verificar que L = L(m,1, b). Luego, Ltendra como vector direccion a v = (1,m).

Ejemplo 2.11. Considere la recta L con ecuaciones parametricas x = 2t + 3 yy = 4t + 1. Entonces un vector direccion de L es (2, 4). Tenemos que L no esvertical y as su pendiente es

m =4

2 = 2.

Por otro lado, la recta intercepta al eje y cuando x = 2t+3 = 0, es decir, cuandot = 3/2. Por lo tanto b = 4(3/2) + 1 = 7.

2.2. Posiciones y distancias relativas entre rectas

Comenzaremos estableciendo dos definiciones importantes al momento de es-tudiar dos rectas en el plano.

Definicion 2.12. Sean L1 = L(P1, v1) y L2 = L(P2, v2) rectas en el plano. Dire-mos que L1 y L2 son paralelas si sus vectores direccion v1 y v2 son paralelos. Delmismo modo, diremos que L1 y L2 son ortogonales si v1 y v2 son ortogonales.

Observe que la definicion de paralelismo y ortogonalidad de dos rectas no de-pende de la eleccion de los vectores direccion de estas. Esto es importante dadoque una recta posee infinitos vectores direccion.

En caso tengamos las ecuaciones generales de las rectas, tambien es posibledeterminar si son paralelas o ortogonales.

Proposicion 2.13. Sean L1 = L(a1, b1, c1) y L2 = L(a2, b2, c2) rectas en elplano. Entonces

1. L1 y L2 son paralelos si, y solamente si, (a1, b1) y (a2, b2) son paralelos;2. L1 y L2 son ortogonales si, y solamente si, (a1, b1) y (a2, b2) son ortogona-

les.

Demostracion. Recordemos que si L = L(a, b, c) entonces v = (b, a) es elvector direccion de L. As, basta observar que (a, b) y (c, d) son paralelos (respec-tivamente, ortogonales) si, y solamente si, (b, a) y (d, c) son paralelos (respec-tivamente, ortogonales).


Supongamos, en particular, que L1 y L2 no sean verticales, y tengan comoecuaciones normales y = m1x + b1 y y = m2x + b2, respectivamente. En estecaso,

1. L1 y L2 son paralelos si, y solamente si, m1 = m2;

2. L1 y L2 son ortogonales si, y solamente si, m1 m2 = 1.

En este ultimo caso, la condicion m1 m2 = 1 implica que ninguna de las dosrectas es horizontal.

El siguiente lema caracteriza el comportamiento de dos rectas distintas en elplano.

Lema 2.14. Sean L1 y L2 rectas distintas en el plano. Entonces L1 y L2 sonparalelas si, y solamente si, L1 L2 = .

Demostracion. Sean v1 y v2 los vectores direccion de L1 y L2, respectivamente.Supongamos que L1 y L2 son paralelas y tienen un punto en comun P . Luego,v1 = tv2 y, por el corolario 2.5,

L1 = L(P, v1) = L(P, tv2) = L(P, v2) = L2,

lo cual contradice la hipotesis de L1 6= L2. Luego si L1 y L2 son paralelas, nopueden poseer puntos en comun, es decir L1 L2 = .

Recprocamente, supongamos que L1 y L2 no son paralelas. Entonces v1 y v2son linealmente independientes y, por el teorema 1.37, v1 y v2 generan R2. Luego,paraP1P2 = P2 P1, existen r, s R tales que

P2 P1 = rv1 + sv2,

es decir, P = P2 sv2 = P1 + rv1. Esto prueba que P L1 L2 6= .

Una aplicacion inmediata del lema anterior nos permite caracterizar las posi-ciones relativas de dos rectas en el plano.

Teorema 2.15. Dadas dos rectas en el plano, ocurre una, y solamente una, de lassiguientes posibilidades:

1. las rectas son paralelas y no disjuntas (por ende, iguales);

2. las rectas son paralelas y disjuntas;

3. las rectas no son paralelas y poseen un unico punto en comun.

2.2. POSICIONES Y DISTANCIAS RELATIVAS ENTRE RECTAS 25

2.2.1. Interseccion de rectas

Por el teorema 2.15, en el caso que L1 = L(P1, v1) y L2 = L(P2, v2) no seanparalelas, estas poseen un punto en comun R = P1 + tv1 = P2 + sv2. Entonces,

P1 P2 + tv1 = sv2.Tomando producto interno con v2 , podemos despejar t y obtener

t =P2 P1, v2 v1, v2

.

Observe que v1, v2 6= 0 pues v1 y v2 no son paralelos. Analogamente, podemosobtener el valor de s,

s = P2 P1, v1

v2, v1 .

As, tenemos

R = P1 +P1P2, v2 v1, v2

v1 = P2 P1P2, v

1

v2, v1 v2. (2.4)

Ejemplo 2.16. Sea L1 la recta que pasa por P1 = (1, 1) y Q1 = (4, 5), y L2 larecta que pasa por P2 = (1, 6) y Q2 = (5, 3). Luego v1 = Q1 P1 = (3, 4)es un vector direccion de L1 y v2 = (2,1)//(6,3) = Q2 P2 es un vectordireccion de L2. Por otro lado, P1P2 = P2 P1 = (2, 5). Reemplazando en 2.4tenemos

R = (1, 1) +(2, 5), (1,2)(3, 4), (1,2) (3, 4)

= (1, 1) +12

5(3, 4)

= (41/5, 53/5).

Observacion 2.17. Consideremos el caso particular que L(P1, v) y L(P2, w) seanortogonales. Sin perdida de generalidad, podemos considerar que w = v, luegopodemos reescribir la ecuacion (2.4) como

R = P1 +P1P2, vv2 v = P2

P1P2, vv2 v

,

es decir,R = P1 + Proyv

P1P2 = P2 Proyv

P1P2.

Ahora consideremos el caso en que L1 = L(a1, b1, c1) y L2 = L(a2, b2, c2).Como estas son paralelas, entonces (a1, b1) y (a2, b2) no son paralelos y, por laproposicion 1.33,

= a1b2 a2b1 6= 0.


Luego, el sistema de ecuaciones

a1x+ b1y = c1a2x+ b2y = c2

posee una unica solucion (x0, y0) que precisamente son las coordenadas del puntode interseccion de las rectas L1 y L2. Por la regla de Cramer, tenemos

x0 =c2b1 c1b2a1b2 a2b1 , y0 =

a2c1 a1c2a1b2 a2b1 .

2.2.2. Distancia entre rectas

Sea L = L(P, v) una recta y Q un punto que no pertenece a L. Intentaremoscalcular la distancia del punto Q a la recta L. Esta distancia puede ser definidacomo la menor distancia posible entre Q y cualquier punto de la recta L. As,consideremos la funcion real h : R R definida como

h(t) = d(Q,P + tv)2 = Q P tv2 = PQ tv2.Observamos que h es precisamente la funcion g definida en la observacion 1.18,considerando u =

PQ, cuyo mnimo se alcanzaba en

t0 =PQ, vv2

Luego,

h(t0) = PQ t0v2 =PQ Proyv PQ2 .

Recordemos que, por la ecuacion (1.3),PQ = Proyv

PQ+ Proyv

PQ.

As, concluimos que la distancia buscada es

d(Q,L) = ProyvPQ = |

PQ, v|v . (2.5)

En el caso que L = L(a, b, c), encontraremos una formula para d(Q,L). Es-cribamos Q = (x0, y0) y sea P = (x1, y1) L un punto de paso de L. Ademas,sin perdida de generalidad, podemos suponer que el vector direccion v de L es talque v = (a, b). Reemplazando en (2.5),

d(Q,L) = |PQ, v|v

=|(x0 x1, y0 y1), (a, b)|

a2 + b2

=|ax0 + by0 (ax1 + by1)|

a2 + b2,

2.3. ANGULO ENTRE RECTAS 27

y, recordando que P = (x1, y1) L(a, b, c) implica ax1 + by1 = c, obtenemos

d(Q,L) = |ax0 + by0 + c|a2 + b2

. (2.6)

Finalmente, dadas dos rectas L1 y L2 paralelas, definimos la distancia entreellas como la distancia de cualquier punto deL1 aL2. Denotaremos a esta distanciacomo d(L1,L2).

2.3. Angulo entre rectas

Dadas las rectas L1 y L2, definiremos el angulo entre L1 y L2 como el menorangulo formado por cualquier par de vectores direccion de ambas rectas. Comoel angulo entre vectores no depende de la longitud de estos, solo de la direccion,entonces, escribiendo L1 = L(P1, v1) y L2 = L(P2, v2), el angulo entre estas es elmenor entre los angulo formados por v1 y v2 y v1 y v2. Sea el angulo formadopor v1 y v2 y el angulo formado por v1 y v2. Entonces

cos() =v1, v2v1v2 = cos().

Como 0 , pi y + = pi entonces el menor angulo sera determinado poraquel cuyo coseno es positivo. As, el angulo buscado sera [0, pi2 ] tal que

cos() =|v1, v2|v1v2 .

Observe que el angulo obtuso que forman dos rectas sera el suplemento del anguloentre ellas.

Si L1 y L2 tienen ecuaciones normales y = m1x + b1 y y = m2x + b2,respectivamente, entonces estas tienen vectores direccion

v1 = (1,m1), v2 = (1,m2).

Luego, si es el angulo entre L1 y L2, entonces

cos() =|v1, v2|v1v2 =

|1 +m1m2|1 +m21

1 +m22

y as podemos calcular la tangente de ,

tan() =

1

cos()2 1 =

m1 m21 +m1m2 .

Captulo 3

Geometra analtica en el espacio

Figura 3.1: Josiah Willard Gibbs

En este captulo estableceremos las nocio-nes basicas de geometra analtica en el espacio.Del mismo modo que trabajamos con el plano,el objetivo es asociarle al espacio E un siste-ma de coordenadas, sin embargo, no entrare-mos en detalles de como hacer esto (aunque laconstruccion es completamente analoga). Asi-mismo, mediante este sistema de coordenadas,dotaremos a cada vector en el espacio de unarepresentacion mediante elementos del espacioR3. La mayora de definiciones dadas en estecaptulo seran meras generalizaciones al casoR3 de lo visto en R2. Por otro lado, la gran di-ferencia entre estos conjuntos es la operacion geometrica de vectores conocidacomo producto vectorial.

3.1. Sistema de coordenadas en el espacio

Consideraremos E dotado de tres ejes, perpendiculares entre si y con el origenen comun. De este modo, cada punto de P E tiene asociado una terna ordenada,es decir, un elemento del conjunto

R3 = R R R = {(x, y, z) : x, y, z R}.

Para representar graficamente el sistema de coordenadas que estamos consideran-do, llamaremos a los tres ejes coordenados como eje x, eje y y eje z. Ademas, si enel plano formado por los ejes x y y, estos estan ubicados de manera usual (el eje xvisto como una recta horizontal, el eje y visto como una recta vertical y sus semi-ejes positivos ubicados apuntado hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente)entonces el semieje z positivo lo consideraremos como escapando del plano xy.

29

30 CAPITULO 3. GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO

Del mismo modo que lo hecho en el plano, una terna ordenada representara tan-to puntos del espacio como vectores en el espacio, pudiendo estos ser radio vec-tores o vectores libres. Interpretando las ternas ordenadas como radio vectorespodemos establecer, nuevamente, la suma de ternas ordenadas y el producto de unaterna por un escalar.

Definicion 3.1. Sean (x, y, z) y (a, b, c) elementos de R3. Definimos la suma de(x, y, z) y (a, b, c) como la terna ordenada

(x, y, z) + (a, b, c) = (x+ a, y + b, z + c).

Por otro lado, dado t R y (x, y, z) R3, definimos el producto de (x, y) por elescalar t como

t (x, y, z) = (tx, ty, tz).Estas operaciones cumplen las mismas propiedades que satisfacen sus analogas

en R3, dadas en la proposicion 1.4. As, este hecho nos permite decir que R3 es unespacio vectorial real.

Proposicion 3.2.

1. La suma es asociativa, es decir u + (v + w) = (u + v) + w, para todou, v, w R3;

2. la suma es conmutativa, es decir u+ v = v + u, para todo u, v R3;3. existe un elemento R3 tal que v + = v, para todo v R3;4. para todo v R3, existe w R3 tal que v + w = ;5. la suma y el producto por un escalar son distributivos entre ellos, es decir,(u+v) = u+v y (+)v = v+v, para todo u, v R3 y , R;

6. el producto de escalares y el producto por un escalar son asociativos, esdecir, (v) = ()v, para todo , R y v R3;

7. 1 R tambien es neutro multiplicativo del producto escalar, es decir, 1 v =v, para todo v R3.

Otra definicion que tiene su analogo en R3 es la de paralelismo de vectores.Diremos que dos vectores u y v son paralelos si u = 0 o existe t R tal queu = tv.

3.2. Geometra de vectores en el espacio

La geometria obtenida de considerar vectores en el espacio (representados porternas ordenadas) es similar en el sentido de definicion a lo hecho para el caso delplano.

La primera definicion que adaptaremos para nuestro caso sera la de productointerno de vectores.

3.2. GEOMETRIA DE VECTORES EN EL ESPACIO 31

Definicion 3.3. Sean v = (x1, y1, z1) y w = (x2, y2, z2) vectores en el espacio.Definimos el producto interno de v con w como el escalar

v, w = (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Nuevamente, tenemos las propiedades fundamentales del producto interno.

Proposicion 3.4. Se cumplen las siguientes propiedades del producto interno:

1. u, v = v, u, para todo u, v R3;2. u, u 0, para todo u R3;3. u, u = 0 si, y solo si, u = 0;4. tu, v = tu, v, para todo u, v R3 y t R;5. u+ v, w = u,w+ v, w, para todo u, v, w R3.Definiremos ahora la norma de vectores en el espacio.

Definicion 3.5. Sea v = (x, y, z) R3. Definimos la norma del vector v como

v =x2 + y2 + z2.

Es inmediato verificar que v = v, v. Por ende, las propiedades funda-mentales de la norma tambien se verifican.

Proposicion 3.6. Se cumplen las siguientes propiedades de la norma de un vector:

1. v 0, para todo v R3;2. v = 0 si, y solo si, v = 0;3. u+ v u+ v, para todo u, v R3;4. t v = |t|v, para todo v R3, t R.Debido a las propiedades del producto interno, podemos reutilizar la prueba

dada en la observacion 1.18 para obtener la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Teorema 3.7. Dados u, v R3,

|u, v| uv,

y la igualdad se da si, y solo si, u y v son paralelos.

Dados dos puntos P,Q E , podemos hallar la distancia entre ellos mediantela norma del vector con origen en P y final en Q.


Definicion 3.8. Dados P,Q puntos en el espacio E , la distancia entre P y Q esdada por

d(P,Q) = P Q =P Q,P Q.

As, si P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) entonces

d(P,Q) =

(x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2

Por supuesto, la distancia entre puntos del espacio cumple las propiedades fun-damentales de la distancia.

1. d(P,Q) 0, para cualquier P,Q E ;2. d(P,Q) = 0 si, y solamente si, P = Q;

3. d(P,Q) d(P,R) + d(R,Q), para cualesquiera P,Q,R E ;Ademas, d(P,Q) = d(P,R)+d(R,Q) si, y solamente si,R esta en el segmento derecta que une P y Q. Esto permite llamar a la distancia que hemos definido comodistancia euclidiana.

Un vector v R3 se denomina unitario si v = 1. Observamos que, como enel caso del plano, todo vector v 6= 0 es paralelo a un vector unitario, pues

v = v vv .

yv

v es unitario.Mediante el producto interno, podemos generalizar la nocion de ortogonalidad

al espacio.

Definicion 3.9. Diremos que dos vectores u, v R3 son ortogonales si u, v = 0.Observe que no hemos establecido aun el angulo entre vectores en el espacio.

La formula para el calculo del angulo sera analoga al caso del plano.

Definicion 3.10. Sean u y v vectores en R3. El angulo entre u y v es el angulo [0, pi] tal que

cos() =u, vuv .

Queremos ahora definir la proyeccion ortogonal de un vector sobre otro nonulo. Consideremos u y v en R3, con v 6= 0. Nuevamente, por lo visto en laobservacion 1.18, t0 =

u, vv2 es el que minimiza la funcion g : R R, g(t) =

u tv2. Denotemos w = t0v = u, vv2 v, entonces w es paralelo a v. Ademas,

v, u w = v, u v, w = u, v u, vv2 v2 = 0.

Es decir uw es ortogonal a v. Como en el caso del plano, daremos nombre propioal vector w.

3.3. EL PRODUCTO VECTORIAL Y EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR 33

Definicion 3.11. Sea v R3, no nulo. Dado u R3, definimos la proyeccionortogonal de u sobre v como el vector

Proyv u =u, vv2 v.

Del mismo modo, definimos la componente ortogonal de u sobre v como

Compv u =u, vv .

Finalmente, observamos que se cumplen propiedades analogas a las de la pro-yeccion ortogonal en el plano.

Proposicion 3.12. Sea v R3, v 6= 0. Entonces1. Proyv u = Proytv u, para todo u R3 y t R, t 6= 0;2. Proyv(u+ w) = Proyv u+ Proyv w, para todo u,w R3;3. Proyv(t u) = t Proyv u, para todo u R3 y t R.

3.3. El producto vectorial y el triple producto escalar

Observemos que no hemos definido el analogo en R3 de la nocion de vectorortogonal de v R3. Recordemos que en el caso del plano, si u R2 entoncestodo vector ortogonal a u era paralelo a u. Dicho de otra manera, u genera a losvectores ortogonales de u. Esto no es el caso en el espacio, pues, dado un vectorv R3, existen infinitos vectores ortogonales a v no paralelos entre si.Ejemplo 3.13. Sea v = (1, 1, 1). Podemos considerar, para cada t [0, pi2 , el vec-tor ut = (cos(t)2, sin(t)2,1). Claramente v y ut son ortogonales, para cualquiert. Ademas, es inmediato verificar que ut y us no son paralelos, cuando t 6= s.

As como el vector ortogonal en el plano fue definido para hallar rapidamen-te un vector perpendicular a uno dado, el producto vectorial de dos vectores nospermitira hallar un vector perpendicular a dos vectores dados en el espacio.

Sean u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2) vectores en R3. Definimos el productovectorial de u y v mediante sus componentes, como

u v = (y1z2 z1y2, z1x2 x1z2, x1y2 y1x2).Es usual en la literatura encontrar la siguiente formula nemotecnica del productovectorial

u v = det kx1 y1 z1x2 y2 z2

,= det

[y1 z1y2 z2

] det

[x1 z1x2 z2

]+ det

[x1 y1x2 y2

]k


donde , , k son los vectores canonicos de R3.Se sigue de esta definicion que el vector u v es ortogonal a u y a v a la vez,

pues

u, u v = x1(y1z2 z1y2) + y1(z1x2 x1z2) + z1(x1y2 y1x2),= 0,

v, u v = x2(y1z2 z1y2) + y2(z1x2 x1z2) + z2(x1y2 y1x2),= 0.

Geometricamente, el producto vectorial de dos vectores u y v es un vector orto-gonal a ambos, siempre y cuando no sean paralelos. La direccion de u v en elespacio se determina mediante la regla de la mano derecha.

La siguiente proposicion contiene a las propiedades fundamentales del produc-to vectorial.

Proposicion 3.14. Se cumplen las siguientes propiedades del producto vectorialen el espacio.

1. u v = v u, para todo u, v R3;2. (tu) v = t(u v) = u (tv), para todo t R, u, v R3;3. u (v + w) = u v + u w, para todo u, v, w R3;4. u (v w) = u,wv u, vw, para todo u, v, w R3.

Observacion 3.15. Sin usar propiedades del determinante, la prueba de esta pro-posicion es laboriosa, a menos que se establezca cierta notacion que no usaremosmas adelante. Dado w R3, denotemos por wk a la k-esima componente de w.Luego si u1, u2 R3 entonces u1 = (u11, u12, u13) y u2 = (u21, u22, u23). Observemosque en este caso, la k-esima componente del producto vectorial de u1 y u2 es dadapor

(u1 u2)k = (1)k+1(u1iu2j u1ju2i ),donde {i, j, k} = {1, 2, 3} e i < j.Demostracion de la proposicion 3.14.

1. Dado cualquier componente k {1, 2, 3}, tenemos[u1 u2]k = (1)k+1(u1iu2j u1ju2i ),

= (1)k+1(u2iu1j u2ju1i ) = [u2 u1]k.Luego, u1 u2 = u2 u1.

2. Sea t R cualquiera. Para cualquier componente k,[(tu1) u2]k = (1)k+1((tu1i )u2j (tu1j )u2i ),

= t(1)k+1(u1iu2j u1ju2i ) = t[u1 u2]k.Del mismo modo se prueba que [(tu1) u2]k = [u1 (tu2)]k.

3.3. EL PRODUCTO VECTORIAL Y EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR 35

3. Dado u3 R3, tenemos, para cualquier componente k,[u1 (u2 + u3)]k = (1)k+1(u1i (u2 + u3)j u1j (u2 + u3)i)

= (1)k+1(u1iu2j + u1iu3j u1ju2i u1ju3i )= (1)k+1(u1iu2j u1ju2i ) + (1)k+1(u1iu3j u1ju3i )= [u1 u2]k + [u1 u3]k.

4. Dado k {1, 2, 3}, sean i, j {1, 2, 3}, i < j tales que {i, j, k} ={1, 2, 3}. Tenemos tres posibilidades para i, j, k, todas analogas. Probare-mos el caso en que i < j < k, es decir i = 1, j = 2 y k = 3. En estecaso

[u1 (u2 u3)]3 = (u11(u2 u3)2 u12(u2 u3)1)= u11(u

23u

31 u21u33) u12(u22u33 u23u32)

= u11u23u

31 + u

12u

23u

32 (u11u21u33 + u12u22u33)

= (u11u31 + u

12u

32)u

23 (u11u21 + u12u22)u33

= (u11u31 + u

12u

32 + u

13u

33)u

23 (u11u21 + u12u22 + u13u23)u33

= [u1, u3u2 u1, u2u3]3.

Es inmediato de las propiedades anteriores el siguiente corolario.

Corolario 3.16. Dados u, v, w R3, tenemos (u+ v) w = u w + v w.Se sigue de la propiedad 1. de la proposicion 3.14 que el producto vectorial no

es conmutativo. Mas aun, es facil verificar que tampoco es asociativo. Por ejemploconsideremos u = (1, 0, 0) y v = w = (1, 1, 0). Entonces u v = (0, 0, 1),(u v) w = (1, 1, 0), v w = (0, 0, 0) y as,

(u v) w = (1, 1, 0) 6= (0, 0, 0) = u (v w).Mediante el producto vectorial, podemos definir el triple producto escalar de

tres vectores u, v, w R3 como[u, v, w] = u, v w.

En caso u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) y w = (x3, y3, z3), tenemos

[u, v, w] = u, v w= x1(y2z3 z2y3) + y1(z2x3 x2z3) + z1(x2y3 y2x3),= x1(y2z3 z2y3) y1(x2z3 z2x3) + z1(x2y3 y2x3),

= det

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

.Comenzaremos probando una propiedad de conmutatividad del triple producto

escalar.


Proposicion 3.17. Dados u, v, w R3, se tiene [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v].

Demostracion. Es consecuencia de la invariancia por intercambio de filas del de-terminante.

Podemos relacionar el producto vectorial con el producto interno de la siguien-te manera.

Proposicion 3.18. Sean u, v R3, entonces

u v2 = u2v2 u, v2.

Demostracion. Usando la proposicion 3.17 y el tem 4. de la proposicion 3.14,tenemos

u v2 = u v, u v = [u v, u, v],= [u, v, u v] = u, v (u v),= u, v, vu v, uv,= v2u2 u, v2.

Corolario 3.19. Sean u, v R3 y [0, pi] el angulo entre ellos. Entonces

u v = uv sen().

Observe que la formula anterior es el area del paralelogramo cuyos lados estandados por los vectores u y v.

En el caso de tener tres vectores u, v, w R3, que supondremos que no estancontenidos en un mismo plano, podemos calcular el volumen del paraleleppedoque forman. Supongamos que la base del paraleleppedo es formada por v y w yque el vector u no esta en el plano formado por v y w. Luego, por definicion, elvolumen del paraleleppedo sera dado por

V = altura area de la base.

Observe que la altura sera la magnitud del vector Proyvw u y que el area de la

base es dada por v w. Luego como Proyvw u =|[u, v, w]|v w , tenemos

V = |[u, v, w]|.

Es decir, |[u, v, w]| es el volumen del paraleleppedo cuyos lados son los vectoresu, v y w.

3.4. ALGEBRA LINEAL DE VECTORES EN EL ESPACIO 37

3.4. Algebra lineal de vectores en el espacio

Las definiciones de combinacion lineal, generacion, independencia lineal y ba-se de R2 son inmediatamente generalizadas en R3. En general, son definidas paracualquier espacio vectorial. Por completitud, y para recordar las definiciones, lasenunciaremos nuevamente.

Definicion 3.20. Sean v1, . . . , vn R3 vectores en el plano. Diremos que un vec-tor v es una combinacion lineal de los vectores v1, . . . , vn si existen coeficientesreales 1, . . . , n tales que

v = 1v1 + 2v2 + + nvn.

En este caso, diremos que v1, . . . , vn generan v. Ademas, si todo vector v R3 esgenerado por v1, . . . , vn, diremos que v1, . . . , vn generan R3.

Definicion 3.21. Diremos que los vectores v1, . . . , vn R3 son linealmente inde-pendientes si, escribiendo

0 = 1v1 + + nvn,

con 1, . . . , n R, la unica posibilidad para estos es

1 = 2 = = n = 0.

Por otro lado, si v1, . . . , vn no son linealmente independientes entonces se deno-minan linealmente dependientes.

Definicion 3.22. Diremos que un conjunto v1, . . . , vn es una base de R3 si estosson linealmente independientes y generan R3.

Ejemplo 3.23. Sean v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 0, 3), v3 = (1, 1, 0) y v = (3, 7, 0).En este caso, tenemos

v = (3, 7, 0) = 2(1, 2, 3) 2(2, 0, 3) + 3(1, 1, 0).

Luego v es combinacion lineal de v1, v2 y v3. Supongamos que podemos expresar0 como combinacion lineal de v1, v2 y v3, es decir,

0 = (0, 0, 0) = (1, 2, 3) + (2, 0, 3) + (1, 1, 0).

Luego = , 2 + = 0 y 3 = . De aqu, obtenemos que = 0, = 0y = 0. Por lo tanto v1, v2 y v3 son linealmente independientes. Observe queesto no ocurre en R2, pues probamos que tres vectores cualesquiera siempre sonlinealmente dependientes.


Finalmente, observamos que v1, v2, v3 generan todo R3 pues, para (x, y, z) R3, arbitrario,

(x, y, z) =

(x+ y 2

3z

)(1, 2, 3)

+ (z x y)(2, 0, 3)

+

(4

3z 2x y

)(1, 1, 0).

Ejemplo 3.24. Consideremos e1 = = (1, 0, 0), e2 = = (0, 0, 1) y e3 = k =(0, 0, 1). Cualquier v = (x, y, z) R3 puede escribirse como

v = (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1).

Es decir, e1, e2 y e3 generanR3. Por otro lado, si (0, 0, 0) = (1, 0, 0)+(0, 1, 0)+(0, 0, 1) entonces = = = 0, es decir, e1, e2 y e3 son linealmente indepen-dientes. Por lo tanto, forman una base, que es denominada base canonica de R3.

Probaremos que toda base de R3 posee exactamente tres elementos. Para esto,comenzaremos caracterizando la independencia lineal de dos vectores en el espa-cio.

Proposicion 3.25. Sean v1, v2 R3. Las siguientes afirmaciones son equivalen-tes:

1. v1, v2 son paralelos;

2. v1, v2 son linealmente dependientes;

3. v1 v2 = 0.Demostracion. La prueba de que 1 y 2 son equivalentes es analoga a la de la pro-posicion 1.33. Para probar que 1 es equivalente a 3, basta observar que v1 y v2 sonparalelos si, y solo si, el angulo que forman es = 0 o = pi, y luego usar elcorolario 3.19.

Corolario 3.26. Sean u, v, w R3 tales que u es ortogonal a v y a w. Entonces ues paralelo a v w.Demostracion. Por la proposicion 3.25, basta verificar que u (v w) = 0. Enefecto, por la proposicion 3.14, tem 4, tenemos

u (v w) = u,wv u, vw = 0,

pues ambos productos internos son cero, por hipotesis. Esto prueba el resultado.


Ejemplo 3.27. Considere v1 = (1, 2, 0), v2 = (0,1, 1) y v3 = (1, 1, 1). Estosson linealmente dependientes pues

(0, 0, 0) = (1, 2, 0) + (0,1, 1) (1, 1, 1).

Sin embargo, estos vectores no son paralelos dos a dos.

En el caso de tres vectores, podemos caracterizar su independencia linear me-diante el triple producto escalar. Para esto, probaremos primero dos lemas.

Lema 3.28. Sean u, v, w R3 linealmente dependientes tales que v, w son lineal-mente independientes. Entonces u es combinacion lineal de v y w.

Demostracion. Como u, v, w son linealmente dependientes, existen escalares, , R, no todos nulos, tales que

u+ v + w = 0.

Si = 0 entonces v + w = 0. Esto implica, desde que v, w son linealmenteindependientes, que = = 0. Esto es una contradiccion. Luego 6= 0 y as

u = (

)v + (

)w,

es decir, u es combinacion lineal de v y w.

Lema 3.29. Sean u, v, w R3 tales que existe z R3, no nulo, ortogonal a todosellos. Entonces u, v y w son linealmente dependientes.

Demostracion. Si cualquier par en u, v y w es paralelo, entonces no hay nada queprobar. Luego, supongamos que tanto u y v como v y w son linealmente indepen-dientes. Entonces uv 6= 0, vw 6= 0 y como z es ortogonal a u, v y w entonces,por el corolario 3.26, z es paralelo a u v y a vw. Esto implica que existe t Rtal que uv = t(vw). As, (u+ tw)v = 0, es decir, u+ tw y v son paralelos.Luego, existe s R tal que u+ tw = sv, es decir,

u sv tw = 0.

Esto prueba que u, v, w son linealmente dependientes.

Proposicion 3.30. Tres vectores v1, v2 y v3 en R3 son linealmente dependientes si,y solamente si, [v1, v2, v3] = 0.

Demostracion. Supongamos que v1, v2, v3 son linealmente dependientes. Luego,sin perdida de generalidad, podemos suponer que v1 es combinacion lineal de v2 yv3, es decir, para escalares , R,

v1 = v2 + v3.


Multiplicando escalarmente por v2 v3, tenemos

[v1, v2, v3] = v1, v2 v3= v2 + v3, v2 v3= v2, v2 v3+ v3, v2 v3= 0.

Recprocamente, supongamos que [v1, v2, v3] = v1, v2 v3 = 0. Luegov2 v3 es ortogonal a v1, v2 y v3. Por el lema 3.29, v1, v2 y v3 son linealmen-te dependientes.

Lema 3.31. Sean v1, . . . , vn R3 tales que v1, . . . , vk es linealmente dependiente,con k n. Entonces v1, . . . , vn es linealmente dependiente.

Presentaremos ahora el resultado principal de esta seccion.

Teorema 3.32. Tres vectores v1, v2, v3 R3 son linealmente independientes si, ysolamente si, generan R3.

Demostracion. Escribamos vi = (xi, yi, zi), para i = 1, 2, 3. Dado v = (x, y, z)cualquiera, nuestro objetivo es hallar escalares 1, 2, 3 R tales que v =1v1 + 2v2 + 3v3. Esto es equivalente a resolver el sistema matricialx1 x2 x3y1 y2 y3

z1 z2 z3

123

=xyz

.

Como det

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

= [v1, v2, v3] 6= 0 entonces la regla de Cramer nospermite resolver explcitamente este sistema. En este caso, tenemos

1 =[v, v2, v3]

[v1, v2, v3], 2 =

[v1, v, v3]

[v1, v2, v3], 3 =

[v1, v2, v]

[v1, v2, v3].

Recprocamente, supongamos que v1, v2 y v3 son linealmente dependientes.En caso todos ellos sean paralelos entre si, basta elegir cualquier vector v R3 noparalelo de modo que no podra ser escrito como combinacion lineal de v1, v2, v3.Supongamos ahora, sin perdida de generalidad, v2 y v3 no son paralelos, por ende,son linealmente independientes. Por el lema 3.28, v1 es combinacion lineal de v2 yv3. Luego v = v2v3 6= 0 es ortogonal a v1, v2, v3. En particular, v no es generadopor v1, v2, v3.

La demostracion del siguiente corolario es analoga a la del corolario 3.33.

Corolario 3.33. Sea v1, . . . , vn R3 un conjunto linealmente independiente. En-tonces n 3.


Supongamos que v1, . . . , vn es una base de R3, entonces es linealmente inde-pendiente. Luego por el corolario 3.33, n 3. Pero dos vectores, o menos, nopueden generar todo R3, luego n = 3. As, toda base de R3 posee tres elementos.En conclusion, R3 es un espacio vectorial de dimension tres.

Captulo 4

Rectas y planos en el espacio

Figura 4.1: Alexis de Clairault

Euclides, en su libro Los Elementos, defi-nio a la recta como una longitud, sin anchura,que yace por igual respecto de los puntos queestan en ella. Del mismo modo, definio super-ficie como aquello que solo tiene longitud yanchura y superficie plana como aquella su-perficie que yace por igual respecto de las li-neas que estan en ella. La geometra analticapermite formalizar estas nociones, del mismomodo como fue hecho para la recta en el captu-lo 2.

4.1. Rectas en el espacio

La definicion de recta en el espacio es analoga a su definicion en el plano,mediante un punto de paso y un vector direccion. Esta representacion se denominaecuacion vectorial de la recta.

Definicion 4.1. Sea P0 E y v R3 un vector no nulo. La recta que pasa por P0con direccion v es el conjunto

L(P0, v) = {P = P0 + tv P : t R}.

Observe que P L(P0, v) si, y solo si, PP0 y v son paralelos.Dados P0 = (x0, y0, z0) y v = (v1, v2, v3), consideremos la recta L(P0, v). Si

P = (x, y, z) L(P0, v) entonces existe t R tal que P = P0 + tv, es decir,

x = x0 + tv1, y = y0 + tv2, z = z0 + tv3. (4.1)

Esta representacion de la coordenadas de la recta se denomina ecuacion parametri-ca de la recta.

43

44 CAPITULO 4. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Si suponemos que v1, v2, v3 6= 0, entonces podemos despejar t en la ecua-cion (4.1) para obtener

t =x x0v1

=y y0v2

=z z0v3

.

A esta relacion se le denomina ecuacion continua de la recta.

Proposicion 4.2. Sea L = L(P0, v) una recta en el espacio. Si P L y w 6= 0 esparalelo a v entonces L = L(P,w).

Podriamos pensar que una generalizacion de la ecuacion general de la rectaen el plano, ax + by + cz + d = 0, servira como ecuacion general de la rectaen el espacio, sin embargo, este no es el caso. Del mismo modo, no es posiblegeneralizar la ecuacion normal, ni la nocion de pendiente.

4.1.1. Posicion relativa entre rectas

Definicion 4.3. Diremos que dos rectas son paralelas (respectivamente, ortogona-les) si sus vectores direccion son paralelos (respectivamente, ortogonales).

Comenzaremos caracterizando a las rectas paralelas en el espacio.

Proposicion 4.4. Sean L1 y L2 rectas paralelas en el espacio. Entonces L1 = L2o L1 L2 = .Demostracion. Si L1L2 = entonces no hay nada que probar. Supongamos queexiste R L1 L2 y sean v1 y v2 los vectores direccion de L1 y L2, respectiva-mente. Entonces por la proposicion 4.2,

L1 = L(R, v1) = L(R, v2) = L2.

Es posible tener en el espacio dos rectas no paralelas que no se intersecan. Porejemplo, considere P1 = (0, 0, 0), v1 = (1, 0, 0), P2 = (0, 0, 1), v2 = (0, 1, 0)y las rectas L1 = L(P1, v1) y L2 = L(P2, v2), cuyos vectores direccion no sonparalelos. Si se tuviera R L1 L2 entonces existen t, s R tales que

R = P1 + tv1 = (t, 0, 0) = (0, s, 1) = P2 + sv2,

lo cual es claramente imposible.

Definicion 4.5. Diremos que dos rectas L1 y L2 son alabeadas (o se cruzan) si noson paralelas y no se intersecan.

Es posible caracterizar cuando dos rectas son alabeadas mediante el triple pro-ducto escalar.

Teorema 4.6. Sean L1 = L(P1, v1) y L2 = L(P2, v2) rectas en el espacio. En-tonces L1 y L2 son alabeadas si, y solamente si, [P2P1, v1, v2] 6= 0.

4.1. RECTAS EN EL ESPACIO 45

Demostracion. Probaremos que las negaciones son equivalentes. Supongamos queL1 y L2 no son alabeadas, entonces o son paralelas o se cortan en un punto R L1 L2. Si son paralelas, entonces sus vectores direccion son paralelos y, porlo tanto, linealmente dependientes. Luego

P2P1, v1 y v2 son tambien linealmente

dependientes y por ende [P2P1, v1, v2] = 0. Por otro lado, siR L1L2 entonces

existen t, s R tales que

R = P1 + tv1 = P2 + sv2.

LuegoP2P1 + tv1 sv2 = 0, es decir, P2P1, v1 y v2 son tambien linealmente

dependientes y por ende [P2P1, v1, v2] = 0.

Recprocamente, si [P2P1, v1, v2] = 0 entonces

P2P1, v1 y v2 son linealmente

dependientes. Si v1 y v2 son paralelos entonces L1 y L2 no pueden ser alabeadaspor definicion. Si v1 y v2 no son paralelos entonces, por el lema 3.28,

P2P1 es

combinacion lineal de v1 y v2. Luego, existen , R tales que

P2 P1 = P2P1 = v1 + v2.

As, basta definir R = P1 + v1 = P2 v2 L1 L2 para probar que L1 y L2no son alabeadas.

Podemos enunciar el teorema que caracteriza la posicion relativa de dos rectasen el espacio.

Teorema 4.7. Dadas dos rectas en el espacio, ocurre una, y solo una, de las si-guientes posibilidades:

1. las rectas son paralelas y no disjuntas (por ende, iguales);

2. las rectas son paralelas y disjuntas;

3. las rectas no son paralelas y poseen un (unico) punto en comun;

4. las rectas son alabeadas.

4.1.2. Distancia de un punto a una recta y entre rectas

Sean Q y L = L(P, v), un punto y una recta en el espacio, respectivamente.Para determinar la distancia de Q a L, seguiremos las ideas de la seccion 2.2.2.

Observemos que la menor distancia entre Q y L esta dada por la magnitud delvector

w =PQ Proyv

PQ =

PQ t0v,


donde t0 =PQ, vv2 . Calculando w,

w2 = PQ t0v,PQ t0v,= PQ2 2t0PQ, v+ t20v2,

= PQ2 PQ, v2v2 ,

=PQ2v2 PQ, v2

v2 ,

=PQ v2v2 .

As,

d(Q,L) = w = PQ vv .

De nuevo como en el caso del plano, para determinar la distancia entre dosrectas paralelas , basta tomar un punto en una y hallar su distancia a la otra.

Finalmente, calcularemos la distancia entre dos rectas alabeadas. Sean L1 =L(P1, v1) y L2 = L(P2, v2) rectas alabeadas. Luego v1 y v2 no son paralelas, ypor tanto v = v1 v2 6= 0. La distancia entre L1 y L2 sera dada por la magnituddel vector

w = ProyvP1P2,

es decir

d(L1,L2) = |P1P2, v1 v2|v1 v2 =

|[P1P2, v1, v2]|v1 v2 .

4.2. Planos en el espacio

Recordemos que, geometricamente, los vectores en R3 que son combinacionlineal de dos vectores linealmente independientes forman un plano en el espacio.As, un plano en el espacio esta determinado por un punto de paso y dos vectoresdireccion linealmente independientes. Esta representacion se denomina ecuacionvectorial del plano.

Definicion 4.8. Sea P0 E y u, v R3 linealmente independientes. El plano quepasa por P0 y con vectores direccion u, v, es el conjunto

P(P0, u, v) = {P = P0 + tu+ sv : t, s R}.

Observe que P P(P0, u, v) si, y solo si, P0P es combinacion lineal de u yv.

4.2. PLANOS EN EL ESPACIO 47

Sea P = P(P0, u, v) un plano. Como u, v son linealmente independientes,y por tanto no paralelos, podemos considerar el vector n = u v 6= 0. Estevector, geometricamente, sera perpendicular a todo vector contenido en el plano.Llamaremos a n como vector normal del plano.

Sea P P(P0, u, v). Entonces existen t, s R tales que P P0 = tu + sv.Tomando producto interno con n = u v, tenemos

P0P , n = tu+ sv, u v = 0.Recprocamente, si P0P , u v = 0 entoncesP0P , u y v son linealmente depen-dientes. Por el lema 3.28,

P0P es combinacion lineal de u y v. Esto implica que

P P(P0, u, v). Luego, podemos definir la representacion normal del plano Pmediante

P(P0, n) = {P E : P0P , n = 0}.Proposicion 4.9. Sea P = P(P0, n) un plano, Q0 P y m paralelo a n, no nulo.Entonces P(Q0,m) = P(P0, n).

Sea n = (a, b, c) R3, no nulo y P0 = (x0, y0, z0). Dado P = (x, y, z) P(P0, n), tenemos

0 = P0P , n= (x x0, y y0, z z0), (a, b, c),= ax+ by + cz + (ax0 by0 cz0).

Denotando d = ax0 by0 cz0, tenemos que todo punto P = (x, y, z) P(P0, n) satisface la ecuacion

ax+ by + cz + d = 0.

Esta ecuacion es llamada ecuacion general del plano.No siempre una ecuacion de la forma ax+by+cz+d = 0 representa un plano.

La siguiente proposicion, analoga a la proposicion 2.9, da condiciones suficientespara ello.

Proposicion 4.10. Sean a, b, c, d R tales que n = (a, b, c) 6= 0. Entonces elconjunto

P = {(x, y, z) : ax+ by + cz + d = 0}es un plano con normal n = (a, b, c).

Demostracion. No es difcil verificar que P 6= . Sea P0 = (x0, y0, z0) P ,probaremos que P = P(P0, n). Como P0 P entonces ax0 + by0 + cz0 + d = 0,es decir d = ax0 by0 cz0. Luego, si P = (x, y, z) entonces

P0P , n = P P0, n= a(x x0) + b(y y0) + c(z z0)= ax+ by + cz ax0 by0 cz0= ax+ by + cz + d.


Luego, P P si, y solo si, P P(P0, n).

4.2.1. Posicion relativa entre planos

Del mismo modo que en el caso de rectas, podemos definir paralelismo y orto-gonalidad de planos.

Definicion 4.11. Sean P1 = P(P1, n1) y P2 = P(P2, n2) planos en el espacio.Diremos que P1 y P2 son paralelas si sus vectores normales n1 y n2 son paralelos.Del mismo modo, diremos queP1 yP2 son ortogonales si n1 y n2 son ortogonales.

Observe que la definicion de paralelismo y ortogonalidad de dos planos nodepende de la eleccion de los vectores normales de estos. Esto es importante dadoque un plano posee infinitos vectores normales.

Los siguientes lemas caracterizan el comportamiento de dos planos en el espa-cio.

Lema 4.12. Dos planos paralelos en el espacio son, o bien iguales, o bien disjun-tos.

Demostracion. Sean P1 y P2 dos planos en el espacio y sean n1 y n2 sus vectoresnormales, respectivamente, luego n1 y n2 son paralelos. Supongamos que P1 y P2no son disjuntos, luego, tienen un punto en comun R. As, por la proposicion 4.9,

P1 = L(R,n1) = P(R,n2) = P2,es decir, P1 = P2.Lema 4.13. Si dos planos son disjuntos entonces son paralelos. En caso contrario,su interseccion es una recta.

Demostracion. Sean P1 = P(P1, n1) y P2 = P(P2, n2) dos planos en el espacio.Supongamos que P1 y P2 no son paralelos, entonces n1 y n2 son linealmenteindependientes y v = n1 n2 6= 0. Esto ademas implica que

w = n1 (n1 n2) = n1, n2n1 n1, n1n2 6= 0.Por otro lado, w no es ortogonal a n2, pues

w, n2 = n1, n2n1 n1, n1n2, n2= n1, n22 n12n22= n1 n22 6= 0.

Consideremos la recta L = L(P1, w). Observe que L P pues si P L entoncesP1P es paralelo a w y por ende ortogonal a n1. Determinemos la interseccion deL con P2: un punto R L P2 debe cumplir

R = P1 + tw, y P2R,n2 = 0.

4.2. PLANOS EN EL ESPACIO 49

Juntando ambas ecuaciones, obtenemos P2P1 + tw, n2 = 0, es decir,

t =P2P1, n2w, n2 =

P2P1, n2n1 n2 .

Luego R LP2 P1 P2. Esto prueba que P1 y P2 no son disjuntos. En estecaso, la recta L(R, v) = P1 P2.

As, podemos caracterizar las posiciones relativas de dos planos en el espacio.

Teorema 4.14. Dados dos planos en el espacio, ocurre una, y solamente una, delas siguientes posibilidades:

1. los planos son paralelos y no disjuntos (por ende, iguales);

2. los planos son paralelos y disjuntos;

3. los planos no son paralelos y se cortan en una recta.

4.2.2. Distancia de un punto a un plano y entre planos

Sea Q E y P = P(P, n) un plano. La distancia de Q a P se define como lamenor de las distancias entre Q y cualquier punto R P , es decir,

d(Q,P) = mn{d(Q,R) : R P}.Teorema 4.15. Sea Q E y P = P(P, n) un plano. Entonces

d(Q,P) = ProynPQ.

Demostracion. Sea w = ProynPQ y consideremos A = Q w. Entonces

PA, n = Q w P , n

= PQ PQ, nn2 n, n

= PQ, n PQ, n = 0,es decir, A P y, por la proposicion 4.9, tenemos P = P(A,n).

Dado cualquier R P , tenemos

d(R,Q)2 = RQ2 = RA+AQ2

= RA2 + 2RA,AQ+ AQ2

AQ2 = d(A,Q)2,

donde observamos queAQ = w es paralelo a n y por lo tanto RA,AQ = 0.

Esto significa que w = d(A,Q) = mn{d(Q,R) : R P} = d(Q,P).

Captulo 5

Geometra proyectiva

Figura 5.1: Filippo Bruneleschi

Como ya hemos mencionado, la idea prin-cipal detras de la geometra analtica es la deasociar un sistema de coordenadas al plano. Enel captulo 1 hicimos esto mediante el uso delos axiomas de Euclides. En este captulo, de-finiremos en el plano otro sistema de coorde-nadas, que nos permitira, en cierto sentido, ex-tenderlo, de modo que cualquier par de rectastengan interseccion no vaca. Recordemos que,de la manera como las rectas son descritas en elcaptulo 2, esto no siempre ocurre.

Para definir este nuevo sistema de coorde-nadas en el plano, que llamaremos sistema decoordenadas homogeneas, necesitaremos de la nocion de relacion de equivalen-cia.

5.1. Relaciones y clases de equivalencia

Empezaremos definiendo la nocion de relacion.

Definicion 5.1. Sean A y B conjuntos no vacos. Una relacion R de A a B es laterna ordenada (A,B,R), donde R A B. En este caso, al conjunto A se ledenomina conjunto de partida, al conjunto B se le denomina conjunto de llegaday al conjunto R se le denomina regla de correspondencia o tambien grafico.

Ejemplo 5.2. Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}, y consideremos

R = {(1, b), (1, c), (2, a), (4, a)} AB.

EntoncesR = (A,B,R) es una relacion de A a B.

51

52 CAPITULO 5. GEOMETRIA PROYECTIVA

Debemos hacer enfasis que, segun su definicion, una relacion depende de tresobjetos: el conjunto de partida, el de llegada y la regla de correspondencia. Porejemplo, consideremos A = {1, 2, 3, 4, 5}. Entonces A A y R A B. Eneste caso, la relacion R = (A, B,R) no es la misma que la relacion R definidaanteriormente, pese a tener la misma regla de correspondencia. Aun as, para norecargar la notacion y mantener compatibilidad con la literatura, denotaremos a lasrelaciones y a sus reglas de correspondencia con el mismo smbolo.

Ejemplo 5.3. Sean X = {n N : n es par} y Y = {a, b, c, d, . . . , z}. Entonces

R = {(2, a), (4, z), (10, z), (8, b)} X Y,

es una relacion de X a Y . Note que estamos denotando con el smbolo R tanto ala relacion como a la regla de correspondencia, sin embargo, se tiene claro cualesson los conjuntos de partida y de llegada.

Un caso particular de relacion es cuando los conjuntos de partida y de llegadacoinciden. Dado A 6= , diremos que R es una relacion en A si R es una relacionde A en A. Ademas, si (a, b) R entonces tambien denotaremos aRb.Definicion 5.4. Sea A 6= yR una relacion en A. Diremos queR es

1. reflexiva, si xRx, para todo x A;2. simetrica, si xRy implica yRx;3. transitiva, si xRy y yRz implican xRz.

Ademas, diremos queR es de equivalencia siR cumple las tres propiedades ante-riores.

Ejemplo 5.5. Sea A = R y definaR = {(x, y) R R : x y}. Observe que,para x, y R,

(x, y) R xRy x y.Como x x, para todo x R, entonces xRx. Luego R es una relacion reflexiva.Por otro lado, si x y y y z entonces x z. Esto implica queR es una relaciontransitiva. Sin embargo, x y no implica en general que y x, basta considerarx = 0 y y = 1. As,R no es una relacion simetrica.Ejemplo 5.6. Sea A = R y defina S = {(x, y) R R : |x| = |y|}.

calculo vectorial

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