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Apuntes de las clases teóricas de Física IV - FPQ 1

APUNTES DE LAS CLASES TEÓRICAS DE FÍSICA IV – CLASE 1

1

ÓPTICA

1. 1

INTRODUCCIÓN

1.1.1

¿QUÉ ES LA LUZ?

Recordar que deben haber aprendido que la física no explica el por qué de las cosas sino el cómo. Sólo las

describe.

“Las ciencias no tratan de explicar, incluso apenas tratan de interpretar,

construyen modelos principalmente. Por modelo, se entiende una construcción

matemática que, con la adición de ciertas interpretaciones verbales, describe

los fenómenos observados. La justificación de tal construcción matemática es

sólo y precisamente que se espera que funcione.”

John von Neumann (1903-1957) Matemático Húngaro

Por lo tanto, la pregunta del título de esta sección está formulada engañosamente, debiera ser más bien

“¿cómo modelamos la luz?”

¿Qué modelo es más adecuado?

• Rayos: ¿qué son? ¿de qué están hechos?

• Ondas: ¿cuál es la perturbación que se propaga? ¿en qué medio? ¿está

quieto ese medio? ¿Qué experiencias demuestran que es una onda?

• Partículas: ¿Obedecen F ma ? ¿cómo se explica la interferencia? ¿cuál essu tamaño?

En cualquier caso: ¿de dónde salen? ¿cómo desaparecen? ¿cómo se modelan

los colores? ¿qué hace que los objetos sean transparentes o no? ¿por qué

vemos objetos que no emiten luz? ¿Qué modelo representa bien la reflexión

parcial en un vidrio?

1.1.2

¿CUÁL ES LA DESCRIPCIÓN ACTUAL?

ACTIVIDAD


2/8


La descripción que se ha comprobado explica todos los fenómenos observados hasta ahora es la que modela

a la luz con partículas, llamadas fotones. Estas partículas obedecen una ley muy simple, pero que tiene dos

grandes dificultades: Los cálculos son complicados y es “antiintuitiva”.

Vamos a ver estas dos características cuando veamos la mecánica cuántica. Quizás entre los conceptos máschocantes están: el que ya no tiene sentido el térm ino clásico “trayectoria” y que esta ley sólo permite

calcular probabilidades. En definitiva se pierde el determinismo mecanicista.

Figura 1: Fotografías del mismo objeto tomadas con intensidades de luz crecientes de

izquierda a derecha y de arriba abajo. A intensidades muy bajas se hace evidente el

carácter corpuscular de la luz.

1.1.3

¿QUÉ DESCRIPCIÓN VAMOS A USAR NOSOTROS?

En este curso vamos a describir a la luz como una onda. Esta es la descripción del electromagnetismo clásico

(finales del siglo XIX). Por supuesto, vamos a verlo de una manera terriblemente limitada (1 mes

aproximadamente). Aprovecharemos los conceptos que ya manejan de ondas y en particular de ondas

electromagnéticas que han visto en las físicas precedentes. Esto además nos será útil en parte cuando

veamos la mecánica cuántica formal en la segunda mitad de la materia.

La luz, entonces, será para nosotros una onda. Este modelo ondulatorio fue propuesto primeramente por

Christian Huygens, un físico y matemático holandés. De hecho no se sabía por aquel entonces qué tipo de

onda era, qué tipo de perturbación se propagaba, en qué medio, ni tampoco que tuviera alguna conexión

con la electricidad y el magnetismo.


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Figura 2. Christian Huygens (1629-1695). Contemporáneo de Newton y pionero en la

postulación del modelo ondulatorio de la luz

Recién a finales del siglo XIX, inspirado tal vez en ideas de Michael Faraday, James Clerk Maxwell describió

teóricamente a la luz como una onda electromagnética. Campos eléctricos que oscilaban generaban campos

magnéticos que oscilaban, que a la vez generaban campos eléctricos que oscilaban y así sucesivamente. Las

ecuaciones de Maxwell en medios lineales e isótropos permiten obtener la ecuación de onda para el campo

eléctrico (y equivalentemente para el campo magnético):

22

2

1 E E

t

(1.1)

Donde 1 / v es la velocidad de la luz en el medio. Si estamos en el vacío

8

0 01/ 3·10 /c m seg . Al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz

en un medio, lo llamaremos índice de refracción del medio y lo notaremos con la letra n

cn

v (1.2)

Deberá ser por supuesto mayor que uno1.

Una solución para esta ecuación es por ejemplo una onda plana:

0 0ˆ( , ) sin( · ) E r t E k r t k

(1.3)

1 Hay acá en esta definición una sobresimplificación. Los índices de refracción pueden ser incluso números

complejos.


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y debe ser 1 /vk

. Se conoce a como la frecuencia angular 2 f , a k como el vector

de onda (que indica la dirección de propagación) y a su módulo | | 2 / )k k , se lo conoce como el

número de ondas. De esta manera es posible también escribir . f v 0

es la fase inicial y k̂

(que es la

dirección del campo eléctrico) es un versor perpendicular a la dirección de propagación ya que siempre loscampos son transversales al desplazamiento cuando el medio es isótropo.

Las ondas electromagnéticas suelen clasificarse de acuerdo a los valores de sus frecuencias o longitudes de

onda por razones históricas (y también debido a nuestro sentido de la vista). El ojo detecta sólo un rango de

longitudes de onda y a eso lo llamamos el espectro visible. Cada longitud de onda (o frecuencia) se

corresponde con un color (ver Figura 3).

Figura 3. Espectro electromagnético

1. 2

ÓPTICA GEOMÉTRICA

Dentro de la descripción ondulatoria, vamos todavía a simplificar el modelo un poco más. Utilizaremos un

modelo de rayos. Un rayo será para nosotros una línea que es siempre perpendicular a los frentes de onda.

El frente de onda es el conjunto de puntos contiguos que tienen el mismo valor de fase. Si el medio en el

que se mueve la onda es isótropo y homogéneo, los rayos son líneas rectas. Una onda esférica estará

representada por rayos divergentes que emanan de un punto; una onda plana estará constituida por rayos

paralelos (ver Figura 4).


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Figura 4. Representación de los frentes de onda y rayos asociados correspondientes a

una onda plana (izquierda) y una onda esférica (derecha)

Algunos resultados obtenidos con esta aproximación darán resultados correctos, sin embargo, quedarán

fuera efectos que no son bien modelados por los rayos, como por ejemplo la difracción.

1.2.1

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS PLANAS

Consideremos una onda plana que se acerca a una superficie también plana que separa 2 medios distintos

¿qué ocurre? Como vimos parte de la onda se refleja y parte se transmite (o refracta), cumpliendo con las

siguientes observaciones experimentales.

Figura 5. Reflexión y refracción de una onda plana sobre una superficie


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1. Las direcciones de incidencia refracción y reflección están todas contenidas en un mismo plano,

que es normal a la superficie.

2. El ángulo de incidencia es igual al ángulo reflejado. 11 '.

3. Los ángulos incidente y refractado cumplen la siguiente relación: 1 2

1 2

sin sin

v v

o

equivalentemente 1 1 2 2sin sinn n que se conoce como Ley de Snell.

Adicionalmente podemos preguntarnos qué le pasa a la frecuencia y a la longitud de onda de la luz al pasar

del medio de índice1

n al medio de índice 2n . Por la definición de índice, evidentemente la velocidad debe

cambiar. En consecuencia, como f v , o debe cambiar , o debe cambiar f , o ambas. Para responder

esto, debemos tener en cuenta que hay una onda electromagnética incidente que al llegar al medio material

representado por el índice 2n perturbará a los electrones del medio. Los electrones comenzarán a oscilar

con la misma frecuencia f de la onda y generarán por lo tanto una nueva onda (recordar la radiación de

cargas aceleradas) de la misma frecuencia. Concluimos entonces que al cambiar la velocidad en el medio de

índice 2n lo que debe cambiar es la longitud de onda. Podemos escribir entonces:

1 1

2 2 2 1 2 1

2 2 2

c n n f v k k

n n n (1.4)

Principio de Fermat

Calculemos ahora el tiempo que tarda la luz en ir de un punto1

P a otro 2 P , por un camino arbitrario,

poniendo como condición que se refleje en la superficie y que viaje en línea recta (ver Figura 6)

Figura 6. Notación utilizada en el principio de Fermat en el caso de la reflexión

(izquierda) y de la refracción (derecha)


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1/2 1/22 2 2 2

1 1 2 2

1

1 1

1/2 1/22 2 2 2

1 1 2 1

1 1

( )

( )

d z d z t z

v v

d z d L z

v v

(1.5)

y veamos ahora para qué valor de1

z ese tiempo es mínimo.

1 1 1

1/2 1/22 2 2 2

1 1 11 1 1 1

( ) 1 1

( )

dt z z L z

dz v vd z d L z

(1.6)

igualando a cero obtenemos

1 11/2 1/22 2 2 2

1 1 1 1

1 1

1 1

( )

sin sin

z L z

d z d L z

(1.7)

Podemos hacer lo mismo para el caso de la refracción. Toda la cuenta es similar salvo que se debe cambiar

1v por 2v cuando calculamos el tiempo en el medio donde está el punto 2 P , llegando a

1 1

1/2 1/22 2 2 2

1 21 1 1 1

1 2

1 2

1 1 2 2

1 1

( )

sin sin

sin sin

z L z

v vd z d L z

v v

n n

(1.8)

Por lo tanto, podemos resumir las 3 leyes que se expusieron anteriormente en un único principio:

Principio de Fermat: Para ir de un punto a otro, la luz sigue la trayectoria en la

que el tiempo es mínimo.

1.2.2

REFLEXIÓN TOTAL INTERNA

Cuando un haz de luz incide sobre una superficie que separa dos medios, parte de él se refracta y parte se

refleja, como es fácil ver de la experiencia cotidiana al observar un vidrio. La ley de Snell muestra un caso

muy particular cuando se incide desde un medio de índice de refracción mayor (u ópticamente más denso)

sobre otro medio de índice menor (o menos denso ópticamente). Consideremos entonces la ley de Snell,


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suponiendo que el haz va desde el medio con índice in al de índice r n y vale que i r n n . Despejando el

ángulo de salida r , tenemos

sin sin

sin sin

i i r r

ir i

r

n n

nn

(1.9)

que nos dice que para hay ángulo de salida sólo para algunos ángulos de incidencia, ya que habrá valores de

i para los que la ley de Snell no tiene solución.

Al caso de ángulo de incidencia límite, para el cual hay solución se lo llama habitualmente ángulo límite:

arcsin r

lim

i

n

n (1.10)

Por ejemplo, para un haz incidiendo desde un vidrio de 1.5in sobre el aire 1r n , tenemos que

42lim .

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