apuntes docentes mecánica

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS II-2011

APUNTES DOCENTES

PROFESORES LESLIE CAMELO

IDELFONSO BELLO JOSÉ PACHECO

JULIÁN HERRERA

ASIGNATURA: MECÁNICA



UNIDAD 1: VECTORES

Sistemas de coordenadas y marcos de referencia Un sistema de coordenadas usado para especificar posiciones en el espacio consta de:

Un punto de referencia fijo. (Origen)

Un conjunto de ejes específicos o direcciones con escala e identificación.

Instrucciones para identificar un punto en el espacio respecto a los ejes y el origen. Sistema de coordenadas cartesianas El sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones identifica cualquier punto con coordenadas (x,y). La x negativa hacia la izquierda del origen y la y negativa hacia abajo. Sistema de coordenadas polares El sistema de coordenadas polar representa un punto en el espacio en función de las coordenadas (r,θ). Donde r es la distancia desde el origen hasta el punto de coordenadas (x,y), y θ es el ángulo entre r y un eje fijo, que se mide generalmente en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje x positivo.



Equivalencia entre sistemas

x = rcos θ y = sen θ tan θ = y/x

r = (x 2 + y 2) ½

Vectores y escalares Un “escalar” es una cantidad que se especifica completamente por un número con unidades apropiadas. Algunas cantidades escalares son: temperatura, volumen, masa, tiempo entre otras. Una cantidad “vectorial” es una cantidad que debe especificarse en términos de una magnitud y una dirección. Ejemplos de cantidades vectoriales son: fuerza, velocidad, aceleración, el desplazamiento. Operaciones con vectores Suma: Para efectuar la suma de dos vectores A y B, primero se ubica sobre un sistema de coordenadas uno de los vectores, y el segundo vector se ubica iniciando en la punta final del primero. El vector resultante será el vector dibujado desde el inicio del primero y hasta el final del segundo (método del triángulo). Otro método empleado para la suma de vectores es la ley del paralelogramo, que consiste en ubicar en el mismo punto de origen los dos vectores y el vector resultante es la diagonal formada con A y B como sus lados.

Método del triangulo Ley del Paralelogramo Propiedades de la suma

Ley conmutativa de la suma A + B = B + A

(x,y)

R

A

B

R

A

B



AsenAy

AAx

cos

Ley asociativa A + (B+C) = (A+B)+C

Negativo de un vector: El negativo de un vector A se define como aquel vector que sumado a A da cero en la suma de vectores. A + (-A) = 0.

Diferencia de vectores: Se define la operación A – B como el vector (- B) sumado al vector A.

Multiplicación de un vector por un escalar: Si un vector A se multiplica por un escalar m puede darse que:

o Si m es positivo, el vector mA tiene la misma dirección de A y magnitud mA. o Si m es negativo, el vector mA tiene la dirección opuesta de A y magnitud mA.

LEY DE LOS SENOS

LEY DE LOS COSENOS

baCosabc

acCoscab

bcCoscba

2

2

2

222

222

222

Componentes de un vector y vectores unitarios La proyección de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular se denomina componentes de un vector. El vector A se puede expresar como la suma de otros dos vectores Ax y Ay, denominados vectores componentes de A.

Vector Unitario Es un vector sin dimensiones y de longitud unitaria, que define la dirección de un vector. En términos generales cualquier vector se puede expresar de la forma:

aAA ˆ

Donde:

Ay

Ax O

A

θ

A

a

a b

c β

γ

α sen

c

sen

b

sen

a

a b

c β

γ

α



A

Aa

ˆ

Vectores en 3 dimensiones Un vector en tres dimensiones se escribe de la forma:

kAjAiAA zyxˆˆˆ

La magnitud de A esta definida como:

222

ZYX AAAA

Y se representa en el espacio como se muestra a continuación: Una técnica que nos permite ubicar un vector en el espacio consiste en: ubicar la coordenada x sobre el eje respectivo, y trazar una recta paralela al eje y, luego ubicar la coordenada del eje y, y nuevamente trazar una recta paralela pero esta vez al eje x. La intersección de las dos rectas da la ubicación del vector sobre el plano xy, y partiendo del punto y paralelo al eje z se realiza el último desplazamiento equivalente a la coordenada sobre el eje z. Cósenos directores Para identificar el vector en el espacio es de gran ayuda conocer los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes. En el grafico α,β,γ son los ángulos formados entre el vector y los ejes x,y,z respectivamente y

i

jk

x

y

z

x

y

z

yAxA

zA



están definidos por:

A

A

A

A

A

A

z

y

X

cos

cos

cos

Producto punto ó escalar Sean:

kBjBiBB

kAjAiAA

zyX

zyX

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Se define el producto punto de las siguientes maneras: θ se mide entre los dos vectores cuando sus orígenes coinciden. El producto punto entre dos vectores también se define como:

zZyYXX BABABABA

El producto punto o escalar arroja como resultado una magnitud. Para ángulos entre 90° y 180° el resultado del producto punto es negativo. Producto vectorial o producto cruz Sean:

kBjBiBB

kAjAiAA

zyX

zyX

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Se define el producto punto de las siguientes maneras:

A

B

cosBABA

A

B

senBABA

x

y

z



θ se mide entre los dos vectores cuando sus orígenes coinciden. Esta operación da como resultado la magnitud del vector perpendicular a los vectores A y B. El sentido del vector se puede obtener haciendo uso de la Regla de la mano derecha.

Otro de los métodos que se utilizan para realizar producto punto es por medio de matrices, como se ve a continuación:

kBB

AAj

BB

AAi

BB

AA

BBB

AAA

kji

BAyx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyxˆˆˆ

ˆˆˆ

EJEMPLOS:

1. Encontrar los ángulos directores kjiA ˆ3ˆ5ˆ4

A B

AxB



Magnitud

07.75092516354 222 AA

Ángulos directores

034.5507.7

4* COS

00.13507.7

5*

COS

08.6407.7

3* COS

2. Hallar vector paralelo al plano formado por los vectores A

Y B

kjiA ˆ2ˆ3ˆ

kjiB ˆˆˆ2

AxB

2

1

i

1

3

ˆ

j

1

2

ˆ

k

kjiAxB

kjiAxB

ˆ7ˆ3ˆ5

ˆ61ˆ41ˆ23

3. HALLAR UxV SI:

kjiU ˆˆ2ˆ3ˆ kjiV ˆ3ˆ2ˆ4

UxV

4

3

i

2

2

ˆ

j

3

1

ˆ

k

kjiUxV

kjiUxV

ˆ14ˆ13ˆ4

ˆ186ˆ49ˆ26



3. Dos vectores A

y B

con A cm12 cmB 15 están orientados como se muestra en la

figura y su suma vectorial es R. Determinar el R

la magnitud y su dirección. Componentes rectangulares

cmSenAx 19.95012

A

cmCosAy 71.75012

B

cmSenBy

cmCosBx

5.715015

99.1215015

21.05.771.7

19.221319.9

Ry

Rx

MAGNITUD

cmRRRR 19.2243.49204.039.49221.019.2222



DIRECCION

54.00094.0

19.22

21.0 111 TanTanx

yTan

VECTOR RESULTANTE

cmjiR ˆ21.0ˆ19.22



UNIDAD 2: CINEMÁTICA

La física estudia tres clases de movimiento: rotacional, traslacional y vibratorio, un carro que se mueva por una carretera experimenta un movimiento traslacional, el giro de la luna alrededor de la Tierra es un ejemplo de movimiento rotacional y el movimiento hacia adelanta y hacia atrás de un péndulo es un ejemplo de movimiento vibratorio. En esta unidad se estudia solamente el movimiento traslacional. Aquí se considera al objeto como una partícula sin importar su tamaño. Y una partícula se considera como una masa de tamaño infinitesimal. La cinemática es una rama de la Física que describe el movimiento de las partículas a través de algunas variables como: el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, etc. Se definirán algunas de estas variables para entender el funcionamiento de la cinemática: DEFINICIONES Desplazamiento: Lo representamos con la variable X que significa cambio en la posición:

ó cualquier unidad de longitud (la letra ∆, significa cambio en..). El desplazamiento es una cantidad vectorial

ftcmmXXX ,,12 donde X2 representa la posición final y X1 representa la posición inicial.

Distancia total recorrida D ftmcm ,, : Se refiere a todo lo que recorrió la partícula en

determinado instante de tiempo.

Velocidad Media _

V : Relaciona la posición de la partícula respecto al tiempo. Y se define como el

cambio en la posición en la unidad de tiempo:

X2 X1



12

12_

tt

XX

t

XV

s

ft

s

cm

s

m,, ó cualquier unidad e longitud sobre cualquier unidad de tiempo

Velocidad Instantánea: Es la velocidad en cualquier instante de tiempo y se define como:

dt

dX

t

XV

t

lim 0

_

Rapidez media: Se define como la distancia total recorrida y el tiempo total que lleva viajar esa distancia. A diferencia de la velocidad promedio, la rapidez promedio no tiene dirección y, por consiguiente, no lleva signo algebraico.

X(m)

t(s)

X2

X1

t1 t2

dt

dX

t

XV

t

lim 0

_

La velocidad instantánea en la grafica representa la pendiente de la línea tangente, lo cual corresponde a la derivada de la función x respecto a t.

t(s) t1 t2

X2

X1

12

12_

tt

XX

t

XV

,

La velocidad media en la gráfica representa la pendiente de la línea de recta que une dos puntos que pasan por la curvatura.

X(m)

∆t

∆X



ltiempotota

ciatotaldismedioRapidezpro

tan

Rapidez instantánea: La rapidez instantánea se define como la magnitud de su velocidad. La rapidez instantánea no tiene dirección, y por lo tanto no tiene signo algebraico.

Aceleración media: _

a , se define como el cambio en la velocidad en la unidad de tiempo:

12

12_

tt

VV

t

Va

222

,,s

ft

s

cm

s

m

Aceleración Instantánea a : Es la velocidad en cualquier instante de tiempo y se define como:

dt

dV

t

Va

t

lim 0es decir, la aceleración instantánea es igual a la derivada de la velocidad

respecto al tiempo. EJEMPLO:

El movimiento de una partícula esta descrito por la siguiente ecuación 23 2 ttx , donde x esta

en [m] y [t] está en s. A partir de ella encuentre:

a. El desplazamiento resultante de la partícula en el intervalo de tiempo de t= 0 s a t = 2 s.

mx

mx

t

t

122)2()2(3

22)0()0(3

2

2

2

0

mmmXXX 1421212

b. La velocidad media en el mismo intervalo

s

m

s

m

ss

mm

tt

XX

t

XV 7

2

14

02

212

12

12_

t(s) t1 t2

v2

v1

12

12_

tt

VV

t

Va

,

La aceleración media en la gráfica representa la pendiente de la línea recta que une dos puntos que pasan por la curvatura.

v(m/s))

∆t

∆v



c. La velocidad instantánea cuando t= 1.5 s

s

m

s

mt

dt

ttd

dt

dX

t

XV

t101)5.1(616

)23( 3

0

_

lim

d. La aceleración media en el intervalo de tiempo de t= 0 s a t = 2 s

)0()2(

)0()2(

12

12_

tt

tt

tt

VV

tt

VV

t

Va

s

m16tV

s

m12

s

m1

s

m13_

s

m116(0)0)V(t

s

m1316(2)2)V(t

)0()2( tt VVv

2

_

s

m6

2

s

m12

st

Va

e. La aceleración instantánea en t= 1.5 s

206

)16(lim

s

m

dt

td

dt

dV

t

Va

t

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 1. Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

Una partícula que se mueve con movimiento rectilíneo uniforme, se mueve en una línea recta y con una velocidad constante, lo cual significa que la aceleración es igual a 0. De la definición de velocidad media despejamos x2 para expresar la ecuación de la posición como

función del tiempo 12

12_

tt

XX

t

XV

Consideramos

V constante entonces la expresamos como simplemente V y al despejar X2,

tenemos:

)( 1212 ttVXX Donde x está en [m] y t está en [s]

Esta ecuación es la ecuación de una línea recta donde V representa la pendiente de la línea recta que pasa por dos puntos de la curva. (Grafica de la posición como función del tiempo)



La grafica de la velocidad Vs Tiempo es una línea constante MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) ( en el eje horizontal) La característica principal de un movimiento uniformemente acelerado es que la aceleración es constante (diferente a 0), es decir, la partícula se mueve con velocidad variable, pero la velocidad cambia de tal manera, que la aceleración permanece constante, las ecuaciones más importantes del movimiento son:

1. La de la velocidad como función del tiempo que se obtiene del concepto de aceleración media, pero ahora considerando que la aceleración es constante la ecuación quedaría::

12

12

tt

VVa

si se despeja la velocidad final V2 entonces se tiene:

)( 1212 ttaVV (1)

12 XXX

12 ttt X1

X2

X[m]

t[s]

m=pendiente=V

V

V[m/s]

t[s]

V(Constante)



2. La de la posición como función del tiempo que la podemos obtener de la definición de

velocidad media 12

12_

tt

XX

t

XV

Donde consideramos a la velocidad media (_

v ) como una velocidad promedio 2

12_ VV

V

(1.1)

Reemplazamos en la ecuación de velocidad media y obtenemos 12

1212

2 tt

XXVV

(1.2), al

despejar X2 queda,

)(2

12 1212 tt

VVXX

(1.3) donde al reemplazar la ecuación (1) que se

obtuvo para la velocidad final se tiene la ecuación de la posición como función del tiempo para el movimiento uniformemente acelerado

2

1212112 )(2

1)( ttattVXX .(2)

3. Por último la ecuación para la velocidad final como función de la posición que se obtiene de la misma definición de velocidad media

12

12_

tt

XX

t

XV

se reemplaza (1.2) en esta ecuación y se obtiene

)5.1)((2

12

)4.1(2

1212

12

1212

ttVV

XX

tt

XXVV

pero ahora de la primera ecuación (1) se despeja (t2-t1) y se reemplaza en esta última y se obtiene:

a

VVVVXX 1212

212 (1.6) al despejar V2 se obtiene:

)(2 121

2

2

2

XXaVV (3) que es la ecuación de la velocidad como función de la posición-

En resumen las tres ecuaciones más importantes del movimiento uniformemente acelerado son:

)( 1212 ttaVV (1)

2

1212112 )(2

1)( ttattVXX .(2)

)(2 121

2

2

2

XXaVV (3).

Estas son las gráficas características de este movimiento:



Posición vs tiempo (ecuación 2)

Velocidad vs tiempo Aceleración vs tiempo

X[m)

V

V[m/s]

t[s]

V(Constante)

/s]

t[s]

X1

12 VVV

12 ttt V1

V2

V[m/s)

12 XXX

12 ttt X1

X1

X[m]

t[s]

m=pendiente=V

m]

t[s]

m=pendiente=a

La grafica de la ecuación (2) corresponde a una parábola

que abre hacia arriba

La grafica de la ecuación (1) corresponde a una línea recta, donde la pendiente corresponde a la aceleración del movimiento. El área bajo la curva representa la posición de la partícula en ese intervalo de tiempo

a

a(m/s2))

t[s]

a(Constante)

)



Ejemplos:

1. Un automovilista conduce en camino recto a una rapidez constante de 15 m/s. Justo

cuando pasa frente a un policía motociclista estacionado, este empieza a acelerar a 2 m/s2 para alcanzarlo. Su poniendo que el policía mantiene esta aceleración, calcular: a) El tiempo que tarda el policía en alcanzarlo:

El Automovilista se mueve con Movimiento rectilíneo uniforme

)( 1212 ttVXX Suponemos x1=0 y t1=0 entonces la ecuación quedará.

)( 22 tVX y

)(15 22 tX

Para el policía que se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

2

1212112 )(2

1)( ttattVXX .

Pero como parte del reposo X1= 0 , t1=0 y V1 =0 entonces queda: 2

22 )(2

1 taX

2

22 )(22

1 tX 2

2t

La distancia recorrida por los dos es la misma entonces se iguala las dos ecuaciones obtenidas

)(15 22 tX y

2

22 tX queda 2

2215 tt si se despeja t2

215 t el tiempo que demora el motociclista en alcanzar el auto es de 15 s .

b) El desplazamiento del policía cuando alcanza al motociclista Si se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones para X2 se obtiene que

2

22 tX = m225152 ó en la otra ecuación

mtX 225)15(15)(15 22

c) La rapidez del motociclista cuando alcanza al automovilista

como el motociclista va con M.R.U.A entonces de la ecuación )( 1212 ttaVV

s

mtaV 30)15(2)( 22

2. La figura representa parte de la información de desempeño del auto que posee un

orgulloso estudiante a. A partir de la gráfica determine la distancia total recorrida . b. ¿Cuál es la distancia que el auto recorre entre los tiempos t=10 y t=40 seg.



c.. Dibuje una gráfica de su aceleración versus el tiempo t=0 y t= 50 seg. d. Escriba una ecuación para cada fase del movimiento.

a) Se puede encontrar la distancia total recorrida hallando el área bajo la curva de cada fase del movimiento y luego sumando todo. En el primer intervalo de tiempo de 0 a 10 s el área bajo la curva es un triangulo. El área de del triángulo es:

m

s

mxs

bxhA 250

2

5010

2

En el segundo intervalo de de tiempo de 10s a 40 s el área bajo la curva es un rectángulo. El área del rectángulo es

ms

msxbxhA 15005030

Y por último en el tercer intervalo de de tiempo de 40s a 50 s el área bajo la curva es un triángulo. El área del triángulo es:

m

s

mxs

bxhA 250

2

5010

2

Por lo tanto el área total bajo la curva es de 250m + 1500m + 250m = 2000 m que será la distancia total recorrida por el auto.

b) Entre los 10 s y los 40 s recorre

V(m/s

10 20 30 40 50

50 40 30 20 10

t(s

)



ms

msxbxhA 15005030

c) La grafica de aceleración: En el primer intervalo la aceleración es

2

12

12 510

50

010

050

s

m

s

s

m

ss

s

m

s

m

tt

VVa

En el segundo intervalo

2

12

12 030

0

1040

5050

s

m

s

s

m

ss

s

m

s

m

tt

VVa

y

En el último intervalo

2

12

12 510

50

4050

500

s

m

s

s

m

ss

s

m

s

m

tt

VVa

Si grafica cada uno de los intervalos se obtiene lo siguiente:

d) Teniendo en cuenta los datos la ecuación para lo posición de la partícula en cada fase del movimiento será:

A)2

2

2

2

2

22 255

21

21 ttatX en el primer intervalo, recordando que X1= 0 , t1=0 y

V1 =0

B) )10(50250)( 21212 tttvXX en el segundo intervalo, porque es un M.R.U.

C) 2

222 )40(52

1)40(501750 ttX Porque es un movimiento rectilíneo

uniformemente acelerado con aceleración negativa (movimiento desacelerado) MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (en el eje vertical)

a(m/s2)

10 20 30 40 50 t(s)

5

-5



Caída libre Se sabe que en ausencia de aire todos los cuerpos que caen libremente hacia la superficie de la Tierra desde determinada altura caen con la misma aceleración, debido a la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos que están sobre o cerca a su superficie llamada la fuerza de atracción gravitacional. Quien demostró y originó estas ideas fue Galileo Galilei (1564-1642), según la leyenda el demostró que al dejar caer dos cuerpos de diferente masa desde determinada altura (la Torre inclinada de Pisa), caen al mismo tiempo. Con muchos otros experimentos el encontró que la aceleración con la que caen los cuerpo es constante y que tiene un valor de 9.8 m/s2 como valor absoluto y que puede variar relativamente en todos los puntos de la superficie de la Tierra desde 9.78 m/s2 a 9.81 m/s2, dependiendo de varios factores como la densidad de masa de la tierra en el lugar, o la altura donde nos encontremos respecto al nivel del mar. A esta aceleración la llamaremos de ahora en adelante g o aceleración de la gravedad. Como la aceleración es constante para un objeto que cae libremente, se considera este movimiento como un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje vertical con velocidad inicial cero (0), por lo tanto las ecuaciones que usamos son las mismas que utilizamos anteriormente en el movimiento acelerado en el eje horizontal, cambiando la X por Y y la aceleración a por g ó aceleración de la gravedad y a t2 lo llamaremos simplemente t. Las ecuaciones quedan entonces así

gtV 2 (1)

2

2 21 gty .(2)

)(2 12

2

2 yygV (3).

Lanzamiento vertical hacia arriba Es un movimiento en el eje vertical en el cual se imprime velocidad inicial (V1) a la partícula hacia arriba. Es un movimiento uniformemente acelerado y por lo tanto las ecuaciones son las mismas pero con velocidad inicial (V1). Consideramos t1=0 La aceleración se toma negativa porque va hacia abajo pues es producida por la fuerza de atracción gravitacional

gtVV 12 (1)

2

112 21 gttVyy .(2)

)(2 121

2

2

2

yygVV (3).

En este movimiento se tiene en cuenta que lo máximo que sube la partícula es hasta cuando pierde toda la velocidad, es decir V2= 0 por lo tanto la altura máxima quedará de la ecuación (3).



)(20 121

2

yygV si despeja Y2 y suponiendo Y1=0 quedará entonces

2

122 Vgy max

2

12

2y

g

Vy

Lanzamiento vertical hacia abajo

Es un movimiento en el eje vertical en el cual se imprime velocidad inicial (V1) a la partícula pero hacia abajo. Es un movimiento uniformemente acelerado y por lo tanto las ecuaciones son las mismas pero con velocidad inicial (V1). Consideramos t1=0

gtVV 12 (1)

2

112 21 gttVyy .(2)

)(2 121

2

2

2

yygVV (3).

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

1. Lanzamiento de proyectiles o tiro Parabólico Es un movimiento bidimensional pues se realiza en el plano, se considera un movimiento rectilíneo uniforme en eje horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje vertical, por lo tanto en el eje horizontal la aceleración es cero (0) y en el eje vertical la aceleración es la aceleración de la gravedad (g).

En este movimiento no se lanza completamente horizontal, ni vertical, sino formando un ángulo ϴ con la horizontal como indica la figura.

Teniendo en cuenta lo anterior las ecuaciones del movimiento son:

cos11 tvxx (1)

2

112

1gttsenvyy (2)

y(m)

x(m)

ϴ

V1 Y(maX)

x(maX)



gtsenvvy 1(3)

cos1vvx (4)

A partir de estas 4 primeras ecuaciones se obtienen las siguientes incluyendo la ecuación de la parábola

)9(2

)7(

)6(2

)5(2

1

1

22

1max

2

1max

g

senVt

g

senVt

g

senVY

g

senVX

s

s

22

1

2

cos2

1tan

v

gxxY (9) Ecuación de la parábola

2. Movimiento Circular Uniforme

El movimiento circular es un movimiento periódico pues se repite en el espacio y en el tiempo por

lo tanto se miden magnitudes como, el periodo (T), la frecuencia(f), la velocidad angular(w) y la

amplitud del movimiento(r), que para el caso del movimiento circular uniforme, es el radio de la

trayectoria circular.

Periodo(T). Es el tiempo que la partícula se demora en realizar una vuelta. El periodo se da en

segundos en el sistema internacional o M.K.S.

s

s

n

tT

1 n es el número de vueltas

Frecuencia (f). Es el número de vueltas realizadas en la unidad de tiempo

HzHertzs

st

nf 11

ϴ V1

V2



Velocidad Angular (W): Es el espacio angular recorrido en la unidad de tiempo. Las unidades de medida en el sistema internacional o M.K.S son (rad/s)

s

rad

TW

2

En un movimiento circular Uniforme la aceleración es radial y la velocidad es tangente a la trayectoria curvilínea. La velocidad tangencial se le denomina también la velocidad lineal

s

mm

s

radWrV donde W es la velocidad angular

A la aceleración radial también se le llama aceleración centrípeta porque está dirigida hacia el centro de la trayectoria

rwac

s

m

m

s

m

r

Vac

2

2

2

2

2

La aceración centrípeta también se puede expresar en función de la velocidad angular.



UNIDAD 3: DINÁMICA

La dinámica es la parte de la física que estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas. Las descripciones del movimiento comienzan con una definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza, describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema. Los científicos actuales consideran que las leyes que formuló Newton dan las respuestas correctas a la mayor parte de los problemas relativos a los cuerpos en movimiento, pero existen excepciones. En particular, las ecuaciones para describir el movimiento no son adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente pequeños comparables a los tamaños moleculares. La comprensión de las leyes de la dinámica clásica le ha permitido al hombre determinar el valor, dirección y sentido de la fuerza que hay que aplicar para que se produzca un determinado movimiento o cambio en el cuerpo. Por ejemplo, para hacer que un cohete se aleje de la Tierra, hay que aplicar una determinada fuerza para vencer la fuerza de gravedad que lo atrae; de la misma manera, para que un mecanismo transporte una determinada carga hay que aplicarle la fuerza adecuada en el lugar adecuado. Hay tres conceptos que se usan todo el tiempo en dinámica. Estos conceptos son los de fuerza, masa y aceleración.

1. CONCEPTO DE FUERZA Se le llama fuerza a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo, o de producir variación en su forma es decir, de imprimirle una aceleración modificando la velocidad, la dirección o el sentido de su movimiento, incluso su forma física.



TIPOS DE FUERZAS Fuerzas Fundamentales

Fuerzas fundamentales son aquellas fuerzas del Universo que no se pueden explicar en función de otras más básicas. Las fuerzas o interacciones fundamentales conocidas hasta ahora son cuatro: gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil.

La gravitatoria es la fuerza de atracción que una masa ejerce sobre otra, y afecta a todos los cuerpos. La gravedad es una fuerza muy débil y de un sólo sentido, pero de alcance infinito.

La fuerza electromagnética afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y es la fuerza involucrada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria, puede tener dos sentidos (atractivo y repulsivo) y su alcance es infinito.

La fuerza o interacción nuclear fuerte es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Su alcance es del orden de las dimensiones nucleares, pero es más intensa que la fuerza electromagnética.

La fuerza o interacción nuclear débil es la responsable de la desintegración beta de los neutrones; los neutrinos son sensibles únicamente a este tipo de interacción. Su intensidad es menor que la de la fuerza electromagnética y su alcance es aún menor que el de la interacción nuclear fuerte.

FUERZAS MECANICAS ESPECIALES a) PESO DE UN CUERPO: El peso es la medida de la fuerza que ejerce la gravedad sobre un cuerpo. Cerca de la superficie de la tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente constante; esto significa que el peso de un objeto material es proporcional a su masa.

Realmente, dado que la intensidad de la fuerza gravitatoria varía según la posición, en los polos es igual a 9,83 m/s², en la línea ecuatorial es igual a 9,79 m/s² y en latitud de 45° es igual a 9.8 m/s², el peso depende de la ubicación. Si no se especifica lo contrario, se entiende que se trata del peso provocado por una intensidad de la gravedad definida como normal, de valor 9,81 m/s² .Al estado en el que un cuerpo tiene peso nulo, se le llama ingravidez.

El peso, al ser una fuerza, se mide con un dinamómetro (báscula o romana) y su unidad en el sistema internacional es el newton (N). El dinamómetro está formado por un resorte con un extremo libre y posee una escala graduada en unidades de peso. Para saber el peso de un objeto sólo se debe colgar del extremo libre del resorte, el que se estirará; mientras más se estire, más pesado es el objeto.



A diferencia de la masa, el peso depende de la posición relativa del objeto o de su distancia a la Tierra, y de la aceleración con que se mueve. También depende del planeta u otro cuerpo masivo que actúa sobre el objeto. En las proximidades de la Tierra, y mientras no haya una causa que lo impida, todos los objetos caen animados de una aceleración de la gravedad, g, por lo que están sometidos a una fuerza constante, que es el peso.

Los objetos diferentes son atraídos por fuerzas gravitatorias de magnitud distinta. La fuerza gravitatoria que actúa sobre un objeto de masa m se puede expresar matemáticamente por la expresión. g.mP Donde: P = peso, m = masa y g= aceleración de la gravedad (aproximadamente

9,8m/s2) No se debe confundir el peso con la masa ya que, según la ecuación expresada en la parte

superior, la masa es igual: g

Pm

En el uso moderno del campo de la mecánica, el peso y la masa son cantidades fundamentalmente diferentes: la masa es una propiedad intrínseca de la materia mientras que el peso es la fuerza que resulta de la acción de la gravedad en la materia Ejemplos:

1. ¿Cuánto pesa un hombre que tiene una masa de 100Kg?

Variables conocidas variables desconocidas

m= 100Kg P = ? g = 9,8m/s2 Como g.mP , reemplazando se tiene

Ns/m,KgP 98089100 2

2. ¿Cuál es la masa de un cuerpo que pesa un cuerpo que pesa 432 N?.

Variables conocidas variables desconocidas

P= 432N m = ? g = 9,8m/s2

Como 44,08Kg9,8m/s

432Kg.m/s

g

Pm

2

2

b) FUERZA NORMAL (N): La fuerza normal, es la fuerza ejercida por una superficie sobre un cuerpo que se encuentra apoyado en ella, se aprecia también como la reacción del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo y depende del peso del cuerpo, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el cuerpo. Supongamos que un bloque de masa m está en reposo sobre una superficie horizontal, las únicas fuerzas que actúan sobre él son el peso mg y la fuerza y la fuerza normal N. De las condiciones de equilibrio se obtiene



que la fuerza normal N es igual al peso m.g.

g.mN

Si ahora, el plano está inclinado un ángulo θ, el bloque está en equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado por lo que la fuerza normal N es igual a la componente del peso perpendicular al plano, cos.g.mN

c) FUERZA ELÁSTICA RECUPERADORA: La ley de Hooke

d) FUERZA DE ROZAMIENTO: La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay dos cuerpos en contacto y es una fuerza muy importante cuando se estudia el movimiento de los cuerpos. Es la causante, por ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento como, por ejemplo, un suelo rugoso).

Se entiende por elasticidad a la propiedad que poseen los cuerpos de recuperar su forma original una vez deformados por el efecto de una fuerza externa. Todos los cuerpos en mayor o menor grado son elásticos, dependiendo dicha elasticidad de factores tales como la estructura molecular interna y la fuerza exterior que se aplique. A las fuerzas de restauración, originadas en la parte interna del material, que tienen a regresar el cuerpo a su posición original y que están aplicadas sobre el cuerpo que origina la deformación se llaman Fuerzas Elásticas. Una fuerza puede deformar un resorte, como alargarlo o acortarlo. Cuanto mayor sea la fuerza, mayor será la deformación del resorte (Δx), en muchos resortes, y dentro de un rango de fuerzas limitado, es proporcional a la fuerza:

xkFe .

k: Constante que depende del material y dimensiones del resorte. Δx: Variación del resorte o estiramiento

con respecto a su longitud normal.

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza

de rozamiento estática.



Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con laque empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática. Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con laque empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que

la fuerza de rozamiento estática. La experiencia nos muestra que:

la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de la superficie de contacto entre los dos cuerpos, pero sí depende de cuál sea la naturaleza de esa superficie de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa.

la magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la normal entre los dos cuerpos, es decir: N.Fr

Donde es lo que conocemos como coeficiente de rozamiento.

Hay dos coeficientes de rozamiento: el estáticos

y el cinéticok

, siendo el primero mayor que el

segundo: s

> k

En el caso de deslizamiento en seco, cuando no existe lubricación, la fuerza de rozamiento es casi independiente de la velocidad. La fuerza de rozamiento tampoco depende del área aparente de contacto entre un objeto y la superficie sobre la cual se desliza. El área real de contacto (la superficie en la que las rugosidades microscópicas del objeto y de la superficie de deslizamiento se tocan realmente) es relativamente pequeña. Cuando un objeto se mueve por encima de la superficie de deslizamiento, las minúsculas rugosidades del objeto y la superficie chocan entre sí, y se necesita fuerza para hacer que se sigan moviendo. El área real de contacto depende de la fuerza perpendicular entre el objeto y la superficie de deslizamiento. Frecuentemente, esta fuerza no es sino el peso del objeto que se desliza. Si se empuja el objeto formando un ángulo con la horizontal, la componente vertical de la fuerza dirigida hacia abajo se sumará al peso del objeto. La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza perpendicular total.

Coeficientes de rozamiento estático y cinético

Superficies en contacto s

k

Cobre sobre acero 0.53 0.36

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/fuerzas.html#normal



Acero sobre acero 0.74 0.57 Aluminio sobre acero 0.61 0.47 Caucho sobre concreto 1.0 0.8 Madera sobre madera 0.25-0.5 0.2 Madera encerada sobre nieve húmeda

0.14 0.1

Teflón sobre teflón 0.04 0.04 e) FUERZA DE TENSION

Es la ejercida por una cuerda considerada de masa despreciable e inextensible, sobre un cuerpo que está ligado a ella.

ff)) FFUUEERRZZAA GGRRAAVVIITTAATTOORRIIAA

Uno de los aportes más importantes de Newton, fue la deducción teórica de las leyes observadas experimentalmente del movimiento de los planetas y de la Luna. Esta deducción, se basaba en las tres leyes del movimiento y en una cuarta ley que propuso para la fuerza gravitatoria, conocida como Ley de Gravitación Universal. Esta ley establece que todos los objetos del universo se atraen entre sí con una fuerza directamente proporcional a las masas de ambos objetos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.



La expresión matemática de esta ley es:

Debido a la pequeñez de la constante de gravitación la fuerza de gravedad sólo es apreciable entre cuerpos cuya masa sea muy grande (planetas, estrellas…)

2d

MmGF

Fuerza de atracción gravitatoria. Si se consideran cuerpos grandes la fuerza apunta hacia el centro

de los mismos.

Constante de Gravitación Universal. Tiene el mismo valor para todo el Universo.

Para el S.I:

Masas de los cuerpos en kg

Distancia entre los cuerpos en metros. Si son cuerpos grandes la distancia se toma entre los centros.

2

2111067,6

kg

mNG Combinando la Ley de Gravitación con

F = m a, podemos deducir cuál será la aceleración con que se mueve un cuerpo situado en la superficie de un planeta sometido a la acción de la fuerza gravitatoria:

Observa que el valor de la aceleración, no depende de la masa del cuerpo, sino de datos propios del planeta que consideremos tales como su masa y su radio.

2R

MmGF amF

22;

R

MGga

R

MmGam

;

M

m

F

R R Llamamos peso a la fuerza con que los cuerpos son atraídos por la Tierra (u otro planeta)

El peso de un cuerpo vale: P = m . g y se mide en newtons (N)

Para la Tierra g = 10 m/s2

Para Marte g = 3,7 m/s2

Diferencia claramente entre masa y peso. La masa es una propiedad del cuerpo; el peso, depende del valor de g. Como éste es distinto para cada planeta el peso de un cuerpo, o fuerza con que es atraído, varía de un planeta a otro. Un cuerpo de 1 kg de masa tendría la misma masa aquí y en Marte, pero su peso sería de 10 N en la Tierra y de 3,7 N en Marte. Marte lo atrae más débilmente.

Los conceptos de masa y peso se confunden en el lenguaje normal.



Ejemplo1.

Calcular la fuerza con que se atraen dos masas de 100 y 1000 kg. situadas a una distancia de 20 m. Solución:

11

2

m M N mF G 6,67 10

d

2

kg2

100 kg 1000 kg

2 220 m

81,67 10 N

Como se puede observar debido a la pequeñez de la constante de gravitación, la fuerza de atracción es muy débil, prácticamente inapreciable.

Ejemplo2.

Calcular la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de 50 kg. situado en su superficie. Datos: MTierra= 6 10 24 Kg ; RTierra = 6400 km

Solución:

11

2

m M N mF G 6,67 10

R

2

kg2

50 kg 246 10 kg

6 2 2(6,4 10 ) m488,5 N

En este caso, y debido a que la masa de la Tierra es muy grande, la fuerza de atracción es considerable. Observar que, en realidad, la ecuación que da el valor de la fuerza de gravedad se puede escribir separando la masa del cuerpo de los datos propios del planeta (en este caso la Tierra) de esta manera:

El término encerrado entre paréntesis, tiene un valor fijo e igual a 9,8 m/s2, que es el valor

de la aceleración de la gravedad o, también llamado, valor del campo gravitatorio.

De aquí que la fuerza con que un cuerpo es atraído por la Tierra (u otro planeta), peso, puede escribirse de forma más sencilla: P = m g, donde g es el valor de la aceleración de la

M

m

F

R R

Como se puede apreciar en la figura, siempre que la altura a la que se encuentre el cuerpo sea despreciable frente al valor del radio de la Tierra, se puede tomar d = RTierra

11

2

M N mF m G 50 kg 6,67 10

R

2

2kg

246 10 kg

6 2(6,4 10 ) m2 2

m50 kg 9,8 488,5 N

s



gravedad:

2. MASA La masa, en física, es la medida de la inercia, que únicamente para algunos casos puede entenderse como la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo. La unidad de masa, en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo (kg). Es una cantidad escalar y no debe confundirse con el peso, que es una cantidad vectorial que representa una fuerza. Ya que este último varía de un lugar a otro del espacio según el campo de gravedad en el que se encuentra inmerso. Por ejemplo el peso de un cuerpo en la Luna es apenas 1/6 con respecto al del mismo cuerpo situado en la superficie terrestre mientras la masa del propio cuerpo permanece idéntica en cualquier lugar. La masa es por lo tanto una magnitud invariable, que no depende de ningún modo de la situación física en la que se encuentra el cuerpo. 3. ACELERACIÓN

PPRRIINNCCIIPPIIOOSS FFUUNNDDAAMMEENNTTAALLEESS

Las leyes fundamentales de la mecánica, que rigen los fenómenos del mundo macroscópico fueron enunciadas por Isaac Newton (1643-1727) en el año 1687 con la publicación de su libro Philosophiae naturalis principia matemática, marcando la culminación de una de las revoluciones científicas más grandes de la historia de la Física. 11ºº PPrriinncciippiioo:: PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE IINNEERRCCIIAA

"Todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que alguna fuerza actúe sobre él y lo obligue a cambiar de estado".

2

Mg G

R

A partir de esta ecuación podemos calcular el valor de g para cualquier cuerpo celeste si conocemos sus datos. Por ejemplo para Marte: R Marte= 3400 km MMarte = 6,5 10

23 11

Marte 2

M N mg G 6,67 10

R

2

2kg

236,5 10 kg

6 2(3,4 10 ) m2 2

m3,5

s

La aceleración es una cantidad que me dice qué tan rápido está aumentando o disminuyendo la velocidad de un cuerpo. Digamos que si un objeto tiene una aceleración de 10 m/s 2, eso querrá decir que su velocidad aumenta en 10 m /s por cada segundo que pasa. (Es decir, si al principio su velocidad es cero, después de un segundo será de 10 m/s, después de 2 seg será de 20 m/s, etc.).



Es decir, si un objeto se viene moviendo con MRU, va a seguir moviéndose con MRU a menos que sobre el actúe una fuerza.

Para entender esto imagínate que vienes empujando un carrito de compras y de golpe lo soltaste. Si no hay rozamiento, el carrito va a seguir por inercia. La forma matemática de escribir la primera ley es:

Si F = 0 → a = 0 ( V = cte ) En otras palabras, si un objeto está en reposo, seguirá indefinidamente en ese estado excepto que alguna fuerza actúe sobre él para ponerlo en movimiento. De la misma manera, un objeto en movimiento libre de fricción, seguirá en esa condición a menos que actúe una fuerza externa que modifique su estado de movimiento. La masa de un cuerpo, es una medida de su inercia: cuanto más masa tiene un objeto, más inercia tiene. Basta con probar patear una lata de gaseosa vacía y una piedra. ¿Cuál de las dos se moverá más rápido?. Dentro de este concepto podemos distinguir dos tipos de inercia:

Inercia del reposo: un cuerpo en reposo permanece quieto si ninguna fuerza actúa sobre él.

Inercia del movimiento: un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme permanece en movimiento si ninguna fuerza actúa sobre él.

Ambos tipos de inercia dependen de la masa del objeto, denominada masa inercial que es una medida de la cantidad de materia que tiene el objeto. Recordemos que cuando definimos movimiento en el módulo anterior, siempre lo hacíamos respecto de un sistema de referencia: un objeto se mueve respecto de algo. El principio de inercia es válido para sistemas de referencia que no están acelerados, denominados sistemas inerciales. 22ºº PPrriinncciippiioo:: PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE MMAASSAA..

'Todo cuerpo sometido a la acción de una fuerza, recibe una aceleración proporcional a su intensidad y de la misma dirección y sentido'

F = m.a

Imaginemos una caja de 50 kg (masa) en reposo sobre el piso, libre de rozamiento: ¿Qué fuerza deberíamos aplicar para ponerla en movimiento a razón de 2 m/seg2?

F 50 Kg

1ra LEY



De acuerdo con el segundo principio, la fuerza necesaria sería: F = m . a = 50 kg . 2 m/seg2 = 100 kg.m/seg2 = 100 Newton ( 100 N ) Veamos cuáles son las unidades de fuerza, masa y aceleración en los tres sistemas:

Sistema Masa Aceleración Masa x aceleración Unidad de

Fuerza

Técnico u.t.(m) m/seg2 u.t.(m).m/seg2 Kg

M.K.S. Kg m/seg2 Kg.m/seg2 Newton (N)

C.G.S. gr cm/seg2 gr.cm/seg2 Dina (Dyn)

33ºº PPrriinncciippiioo:: PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE AACCCCIIÓÓNN YY RREEAACCCCIIÓÓNN

'Cuando un cuerpo ejerce una fuerza, denominada acción, sobre otro cuerpo, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido contrario denominada reacción.

Imaginemos el siguiente dispositivo: un carrito en cuyas paredes opuestas se colocan dos imanes de diferente poder con sus polos iguales enfrentados como muestra la figura: ¿Se moverá el carrito? La respuesta es no. ¿Por qué?. Si representamos las fuerzas de repulsión que ejercen mutuamente los imanes, veremos que son iguales y de sentido contrario: Como ambas fuerzas están aplicadas a objetos distintos, unidos entre sí por el carrito, la resultante del sistema sobre éste es nula. Veamos un ejemplo más simple que nos permitirá individualizar mejor este par de fuerzas de interacción llamas acción y reacción: cuando ejercemos fuerza con la mano sobre una pared, ¿Por qué la pared no se mueve?, la respuesta la tiene la Tercera Ley de Newton: porque la pared ejerce sobre la mano una fuerza igual y contraria sobre la mano, llamada reacción. Si alguna vez disparaste un rifle de aire comprimido, habrás notado que al efectuar el disparo, el rifle retrocede: la fuerza que el rifle ejerce sobre el balín de plomo (acción) es exactamente igual a la fuerza que ejerce este último sobre el rifle (reacción). Entonces: ¿por qué el rifle no se acelera

1 Kgf = 9,8 Newtons



con la misma intensidad que la bala?, piensen en la segunda ley de Newton y encontrarán la respuesta. “Es importante recordar que ambas fuerzas, acción y reacción, actúan sobre cuerpos diferentes.” Estos principios enunciados por Newton significaron un avance muy importante en la comprensión del mundo natural y ejercieron una gran influencia sobre la ciencia y la manera de entenderla. Durante dos siglos, las leyes de Newton del movimiento fueron la base de la mecánica. En el siglo XX, los fenómenos del mundo microscópico demostraron que estas leyes no podían explicar el comportamiento atómico. Surge así una barrera muy importante entre la física clásica (o física newtoniana) y la física cuántica del siglo XX. No obstante esto, los principios de Newton son un marco fundamental para la interpretación de los fenómenos macroscópicos del mundo que nos rodea.

Ejemplo:

Una persona desea patear una pelota de plomo que pesa 10 Kgf. ¿ En donde le va a doler más el pie ? :

a) - En la Tierra. ( P = 10 Kgf ) b) - En la Luna. ( P = 1,66 Kgf ) b) - En una nave espacial donde la pelota no pesa nada.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un cuerpo de m = 250 g es empujado hacia la derecha con una fuerza de 1,5 N. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es de 0,4. Calcular:

a) El valor de la fuerza de rozamiento. b) La aceleración con que se mueve. c) El valor de la fuerza con que se debe empujar si se quiere que deslice con velocidad

constante de 1 m/s

Solución:

Patear una pelota significa acelerarla hasta que adquiera una determinada velocidad. En los tres casos el pie le va a doler lo mismo. Lo que importa es la masa del objeto, no su peso. Los objetos solo tienen peso en la Tierra o en los planetas. Pero la masa es la cantidad de materia que tiene el cuerpo. Siempre tiene la misma cantidad de partículas. El dolor que la persona siente depende de la masa de lo que quiera patear, y la masa de un cuerpo no depende de en qué lugar del

universo esté.

F

P

N

Froz



a) Diagrama de fuerzas actuantes:

Eje Y : N – P = 0 ; N = P = m g

Cálculo de la fuerza de rozamiento: F roz = N = m g = 0,4 . 0,250 kg . 10 m/s2 = 1 N

b) Eje X : F – F roz = m a ; 2roz1,5 1 NF F

a 2 m/ sm 0,250 kg

c) Según la primera ley de Newton para que un cuerpo se mueva con velocidad constante la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él debe de ser nula:

La resultante de las que actúan según el eje Y es nula ya que : : N – P = 0

Para que sea nula la de las que actúan según el eje X habrá de cumplirse: F – Froz = 0. Por tanto: F = Froz = 1 N. La fuerza deberá equilibrar a la fuerza de rozamiento.

Para lograr que la velocidad se mantenga invariable en 1 m/s se comunicaría esa velocidad al cuerpo y entonces se haría F = 1 N.

2. Si el coeficiente de rozamiento es el mismo en los dos casos:

a) ¿Para cuál de los cuerpos será mayor la fuerza de rozamiento? b) ¿Cuál frenará antes?

a) Froz = N = m g ; Froz = m g

Como la fuerza de rozamiento depende del valor de la masa, será doble para el cuerpo de 1 kg.

b) Calculemos la aceleración de frenada (debida a la fuerza de rozamiento)

Froz = m a ; N = m a ; m g = m a ; a = g

Como se observa en la ecuación deducida, la aceleración de frenada es independiente de la masa, luego ambos cuerpos tardarán lo mismo en frenar (y recorrerán la misma distancia)

N

P

Froz

m = 1 kg N

P

Froz m = 0,5 kg



3. Un ascensor que sube acelerando a razón de 0,5 m/s2 lleva, apoyada en el piso, una caja que pesa 200 N ¿ que fuerzas actúan sobre la caja? ¿Cuánto valen cada una? Este tipo de problemas, conviene, para resolverlos realizar un diagrama de fuerzas, esto es: Aquí visualizamos las fuerzas que están actuando sobre el cuerpo: Estas son: el peso P (la fuerza con que la tierra lo atrae) y la fuerza de contacto que el piso del ascensor ejerce sobre el cuerpo Fc. De acuerdo con la ecuación de Newton y considerando positivas a todas las fuerzas que acompañan al movimiento, en este caso hacia arriba:

Fc – P = m . a Despejando:

Fc = m . a + P Para calcularlo debemos conocer la masa del cuerpo, su peso y la aceleración:

P = 200 N a = 0,5 m/s2

kg m/s

N

g

Pm

24,20

8,9

200

Sustituyendo estos valores, tenemos:

Fc = 20,4 kg . 0,5 m/s2 + 200 N = 210, 2 N 4. - Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda.

Datos:.

Hacemos un diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos:

a

P

Fc



Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton. Ahora resolver el sistema de 2 x 2 que me quedó. Tengo lo siguiente: Ahora sumo estas 2 ecuaciones para que se vaya la tensión.

T – froz d + PB – T = mA. a + mB. a – froz d + PB = ( mA + mB ). a

49 N – 19,6 N = 15 kg . a 15 kg . a = 29,4 kg.m/s2 a = 1,96 m/s2

¿ Cómo calculo ahora la tensión en la cuerda ? Bueno, sólo tengo que reemplazar esta aceleración en cualquiera de las ecuaciones del principio y despejar T. Por ejemplo: Para verificar este resultado se reemplaza la aceleración en la otra ecuación. 5. Calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la soga para el sistema de la figura. ( No hay rozamiento).

Ecuaciones ; amTPamfT BBAROZ d

cuerda la en Tensión 2,39

96,18,95

22

NT

s

m

s

mKgT

agmT

amgmT

amPTamTP

B

BB

BBBB

sistema. del m

nAceleració

2

2

22

22

BAROZ dB

BABROZ d

s96,1a

sm

Kg4,29aKg15

aKg15sm

Kg6,19sm

Kg49

aKg5Kg10sm

8,9Kg102,0sm

8,9Kg5

ammfP

amamTPfT

Un inconveniente y es que no sabemos si el sistema va para la derecha o para la izquierda. A es más pesado que B, pero el ángulo del plano inclinado es más pequeño, de manera que a simplemente no se puede saber la dirección de

del desplazamiento de los cuerpos.



Tomamos un sentido arbitrario para la aceleración y vemos qué pasa. Al final, los resultados del ejercicio dirá si la aceleración va en ese sentido o al revés. ¿ Cómo me doy cuenta de esto ?. Rta: Por el signo. Si el resultado es de signo menos es que va al revés.

En este caso suponemos que el sistema va a la derecha , es decir, que el cuerpo A sube y el B baja. Los diagramas de cuerpo libre quedan así: Las ecuaciones:

Estas 2 ecuaciones forman un sistema de 2 por 2. T – PA. sen 30 º = m A . a P B. sen 45 – T = m B . a Sumando las ecuaciones. T – P A . sen 30 º + P B. sen 45 – T = m A . a + m B . a

Las tensiones se simplifican porque una es positiva y la otra es negativa. Entonces : – P A . sen 30 º + P B. sen 45 = ( m A + m B ) . a Despejo a :

amTPx:BPara

amPxTA:Para

BB

AA

Ecuaciones

Diagramas de

cuerpo libre.

0357a

58

707,01055,0108a

707,05,0a

2

22

sm

KgKg

smKgsmKg

mm

PP

BA

BA



a = - 0,357 2s

m

La aceleración dio negativa !. ¿ Qué significa eso ?. quiere decir que la aceleración va al contrario de como se tomo inicialmente. Asumimos que iba para la derecha, pues no va para la derecha sino para la izquierda. (Es decir, A baja y B sube). Ahora calculo la tensión en la cuerda. Reemplazo la a que obtuve en cualquiera de las

ecuaciones del principio:

T – PA . Sen 30 º = m A . a Se reemplaza la aceleración pero con el signo obtenido.. ( Es decir, negativo ). Entonces reemplazo a por –0,375 m/s2: Verifico reemplazando la aceleración en la otra ecuación: PB. sen 45 – T = mB . a

cuerda la en Tensión

N14,37T

sm

357,0Kg85,0N80T

am30senPT

2

AA

(Verifica)

N14,37T

sm

0357Kg5707,0N50T

am707,0PT

amT45senP

2

BB

BB

Aceleración

del sistema

Recomendación: Toda la solución del problema consistió en hacer los diagramas de cuerpo libre. Una vez que los diagramas están hechos plantear las ecuaciones es más sencillo. Si un problema no sale, revisamos el diagrama de cuerpo libre.



UNIDAD 4: ESTÁTICA

CCOONNCCEEPPTTOO DDEE EESSTTAATTIICCAA EEQQUUIILLIIBBRRIIOO DDEE LLOOSS CCUUEERRPPOOSS:: La estática es la parte de la

mecánica que estudia, el equilibrio de los cuerpos. analiza métodos, sistemas ó procesos que permitan la solución de los esfuerzos y deformaciones a los cuales son sometidos dichos cuerpos u objetos. En la estática también se estudian los materiales, las estructuras, las vigas ó todos aquellos cuerpos que estén sometidos a esfuerzos de tracción , torsión, compresión, cortadura y flexión.

EEQQUUIILLIIBBRRIIOO DDEE LLOOSS CCUUEERRPPOOSS: Reposo y Equilibrio

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Beam_in_static_equilibrium2.s



Una partícula está en reposo cuando su velocidad es cero (0)

Una partícula está en equilibrio cuando su aceleración es cero (0)

Un cuerpo puede estar en reposo y equilibrio al mismo tiempo, pero también puede estar en equilibrio (a =0) y velocidad constante.

TTEEOORREEMMAASS TTIIPPOOSS DDEE EEQQUUIILLIIBBRRIIOO

1) Dos fuerzas iguales y directamente contrarias aplicada a un mismo punto ó dos puntos de un mismo cuerpo forman un sistema en equilibrio ∑ F = 0 equivale a decir F2 – F1 = 0

F1 F2 2) El estado de un cuerpo no se altera por que se introduzca ó se suprima en el cuerpo un sistema de fuerzas en equilibrio F1 F2 F3 ∑F = F1 + F2+ F3+ F4 - F1’- F2’ - F3’- F4’=0 ∑F = 0 F F4’ F4 F3’ F2’ F1’

3) Una fuerza actuando sobre un cuerpo puede desplazarse a lo largo de su línea de acción sin que se altere el efecto que produce sobre el cuerpo. ∑F = F2 – F1 = 0 F1 F2 ∑F = 0 4) En todo sistema de fuerzas en equilibrio, una cualquiera de las fuerzas es igual y directamente contraria a al resultante de las demás. 5) Cuando un cuerpo que tiene un punto fijo está sometido a una fuerza, el equilibrio requiere que la dirección de la fuerza pase por punto fijo.



F2 F3

F1

∑F = F1 + F2+ F3+ F? - F1’- F2’ - F3’- F?=0 ∑F = 0 ? ¿ F3’ F1’

F2’ TTIIPPOOSS DDEE EEQQUUIILLIIBBRRIIOO

Condiciones de equilibrio: Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, se requiere que la sumatoria de todas las fuerzas o torques que actúan sobre él sea igual a cero. Se dice que todo cuerpo tiene dos tipos de equilibrio, el de traslación y el de rotación. 1.- TRANSLACIONAL: Es aquel que surge en el momento en que todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se nulifican, o sea, la sumatoria de las mismas sea igual a cero.

∑Fx = 0 ∑Fy = 0 2.- ROTACIONAL: Es aquel que surge en el momento en que todas las torques o momentos de torsión que actúan sobre el cuerpo son nulos, o sea, la sumatoria de los mismos sea igual a cero.

∑Mx= 0 ∑My= 0 EEQQUUIILLIIBBRRIIOO DDEE LLOOSS CCUUEERRPPOOSS SSUUSSPPEENNDDIIDDOOSS YY AAPPOOYYAADDOOSS Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio en tres condiciones diferentes. 1.- Equilibrio Estable 2.- Equilibrio Inestable 3.- Equilibrio Indiferente PPAALLAANNCCAASS La palanca es una máquina simple que tiene como función transmitir una fuerza. Está compuesta por una barra rígida que puede girar libremente alrededor de un punto de apoyo llamado fulcro.

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_simple

http://es.wikibooks.org/wiki/Archivo:Precessing-top.gif



Puede utilizarse para amplificar la fuerza mecánica que se aplica a un objeto, para incrementar su velocidad o la distancia recorrida, en respuesta a la aplicación de una fuerza. Tipos de palanca: Las palancas se dividen en tres tipos o géneros, dependiendo de la posición relativa del fulcro (punto de apoyo) y los puntos de aplicación de las fuerzas: potencia y resistencia. El principio de la palanca es válido indistintamente del tipo, pero el efecto y forma de uso de cada tipo de palanca cambia considerablemente. PALANCA DE PRIMER GÉNERO: También llamada intermóvil. Se caracteriza porque el fulcro o punto de apoyo se sitúa entre la fuerza resistente (resistencia) y la fuerza motriz (potencia). Un ejemplo es la balanza romana. La fuerza obtenida puede ser mayor o igual que la fuerza aplicada.

F Q df dq En este tipo de palanca la potencia puede ser menor que la resistencia, aunque a costa de disminuir la velocidad transmitida y la distancia recorrida por la resistencia. Para que esto suceda, dp ha de ser mayor que dr. Cuando lo que se requiere es ampliar la velocidad transmitida a un objeto (o la distancia recorrida), se ha de situar el fulcro más próximo a la potencia (fuerza aplicada), de manera que dp sea menor que dr. Ejemplos de este tipo de palanca son el balancín, las tijeras, las tenazas o los alicates. Los remos o la catapulta (para ampliar la velocidad). En el cuerpo humano se encuentran varios ejemplos de primer género, como el conjunto: tríceps braquial - codo - antebrazo. PALANCA DE SEGUNDO GÉNERO: También llamada interresistente. Se caracteriza porque la resistencia se encuentra situada entre el fulcro y la potencia.

http://co.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Palanca+de+primer+g%E9nero&url=/kalipediamedia/cienciasnaturales/media/200709/24/fisicayquimica/20070924klpcnafyq_89.Ees.LCO.png



F df dq Q En este tipo de palanca la potencia es siempre menor que la resistencia, aunque a costa de disminuir la velocidad transmitida y la distancia recorrida por la resistencia. Ejemplos de este tipo de palanca son la carretilla y el cascanueces. PALANCA DE TERCER GÉNERO: También llamada interpotente. Se caracteriza porque la potencia se encuentra situada entre el fulcro y la resistencia. Q dq df F En este tipo de palanca la fuerza aplicada debe ser mayor que la fuerza obtenida. Este tipo de palancas se utiliza cuando lo que se requiere es ampliar la velocidad transmitida a un objeto o la distancia recorrida por él. Ejemplo de este tipo de palanca es el quitagrapas y la pinza de cejas. En el cuerpo humano, el conjunto: codo - bíceps braquial - antebrazo, también la articulación temporomandibular.



UNIDAD 5: TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA

TRABAJO MECÁNICO Es aquella magnitud escalar que nos indica que una o más fuerzas realizan trabajo mecánico cuando vencen la resistencia de otro agente y lo hacen mover de un punto a otro. Matemáticamente podemos decir: “El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento”.

Podemos realizar trabajo mecánico con fuerza constante o con una fuerza variable (forma integral). Casos con fuerza constante

1. Si la fuerza es aplicada en el sentido del movimiento ( = 0°)



2. Si la fuerza es aplicada perpendicular al movimiento ( = 90°)

3. Si la fuerza es aplicada en sentido contrario al movimiento ( = 180°)

Unidades de Trabajo

SISTEMA UNIDADES F d W

S.I. Newton metro Joule (J)

M.K.S. Newton metro Joule (J)

C.G.S. dina centímetro ergio

F.P.S. Poundal Pie poundal-pie

POTENCIA

Es aquella magnitud escalar que nos indica la rapidez con la que se puede realizar trabajo.



La potencia en términos de la velocidad está dada como:

Unidades de Potencia

SISTEMA UNIDADES W t P

S.I. Joule segundo Watt = Vatio (W)

M.K.S. Joule segundo Watt = Vatio (W)

C.G.S. ergio segundo ergio/s

F.P.S. poundal-pie segundo poundal-pie/s

ENERGIA La energía es una magnitud física que se muestra en múltiples manifestaciones. Definida como la capacidad de realizar trabajo y relacionada con el calor, se percibe fundamentalmente en forma de energía cinética, asociada al movimiento, y potencial, que depende sólo de la posición o el estado del sistema involucrado. Existen diferentes tipos de energía, en este capítulo nos ocuparemos sólo de la energía mecánica (cinética y potencial). Energía Cinética (Ek) Es una forma de energía que depende del movimiento relativo de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia, será por lo tanto energía relativa. Está definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde el reposo hasta la velocidad que posee. Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su rapidez, cuando un cuerpo está en movimiento posee energía cinética ya que al chocar contra otro puede moverlo y por lo tanto, producir un trabajo. Para que un cuerpo adquiera energía cinética o para ponerlo en movimiento, es necesario aplicarle una fuerza, cuanto mayor sea el tiempo que esté actuando dicha fuerza, mayor será la velocidad del cuerpo y por lo tanto, su energía cinética será también mayor, otro factor que influye en la energía cinética es la masa del cuerpo.

P = F.V

http://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n



Por ejemplo, en las montañas rusas la Energía Cinética es la que está representada por la masa y la velocidad, esta energía es la que permite que un cuerpo continúe su desplazamiento, y es la que permitirá que el tren de la montaña rusa llegue a una cima. Por eso, podemos decir que entre más velocidad tenga un tren, mayor energía cinética conserva. En el caso 1 se puede observar que el tren conserva mayor velocidad que el tren del caso 2, por ello podemos decir que en el primer caso, se tiene mayor energía cinética.

Energía Potencial (Ep)

Es una forma de energía que depende de la posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. Es decir, es aquel tipo de energía que posee un cuerpo debido a la altura a la cual se encuentra, con respecto al plano de referencia horizontal, considerado como arbitrario. Por lo tanto podemos afirmar que es una energía relativa.

Energía Mecánica (EM) Es la suma de la energía cinética y la energía potencial.

E K = m v 2

E K = Energía cinética

m = masa

v = velocidad

E p = mgh

E M = EK + EP



Principio de Conservación de la Energía “La energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma”. Conservación de la Energía Mecánica Cuando las fuerzas que actúan en un cuerpo son conservativas, la energía mecánica del cuerpo permanece constante.

Relación entre Trabajo y Energía

CANTIDAD DE MOVIMIENTO La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad. La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento. m = Masa

V = Velocidad (en forma vectorial) P = Vector cantidad de movimiento

IMPULSO El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

P = m.V

http://www.fisicapractica.com/fuerzas.php

http://www.fisicapractica.com/magnitudes.php

http://www.fisicapractica.com/modulo-vector.php



RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso también puede calcularse como: Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa:

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud vectorial, que se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. Enunciando la Ley de conservación de la cantidad de movimiento dice: En cualquier sistema o grupo de cuerpos que interactúen, la cantidad de movimiento total, antes de las acciones, es igual a la cantidad de movimiento total luego de las acciones. Por ejemplo si con un cuerpo de masa m1 y velocidad v1 se aplica una fuerza a otro cuerpo de masa m2 y velocidad v2, como por ejemplo, en un saque de tenis, en ese instante es aplicable el principio de acción y reacción y tenemos que m1.v1 = m2.v2, es decir la masa de la raqueta por su velocidad, en el momento del choque, debe ser igual a la masa de la pelota de tenis por la velocidad que adquiere, por lo tanto:

Siendo pf la cantidad de movimiento al final del intervalo y p0 al inicio del intervalo.

Cabe aclarar que en la práctica podemos aplicar el principio de conservación de la cantidad de

I = ∆p

F ∆t = ∆p

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Masa

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_cerrado



movimiento durante los choques, siempre que el tiempo que dura el impacto sea muy pequeño.

COLISIONES

Es una aceleración o desaceleración repentina causada por un impacto, por una gota de agua, una explosión, o cualquier otro tipo de contacto directo, pero lo que lo caracteriza es la duración del contacto que es muy corta y también es cuando se transmite la mayor cantidad de energía entre los cuerpos. En una colisión intervienen dos objetos que se ejercen fuerzas mutuamente. Cuando los objetos se encuentran cerca, interaccionan fuertemente durante un intervalo breve de tiempo. La fuerzas de éste tipo reciben el nombre de fuerzas impulsivas y se caracteriza por su acción muy intensa y su brevedad. Cómo las las fuerzas que se ejercen mutuamente son iguales y de sentido contrario, la cantidad de movimiento o Momento Lineal un instante después se conserva siempre y cuando sea un sistema aislado, como ya se había dicho antes. De hecho, según la segunda ley de Newton la fuerza es igual a la variación del momento lineal con respecto al tiempo. Si la fuerza resultante es cero, el momento lineal es constante. Ésta es una ley general de la Física y se cumplirá ya sea el choque elástico o inelástico. En el caso de un choque.

Esta formula supone, en el caso especial del choque, que el momento lineal antes de la

interacción será igual al momento lineal posterior al choque. Para caracterizar la elasticidad de un choque entre dos masas se define un coeficiente de restitución. Coeficiente de Restitución Es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas. En una colisión frontal alineada de dos esferas sólidas (como las que experimentan las bolas de billar) las velocidades después del choque (velocidades relativas de alejamiento) están relacionadas con las velocidades antes del choque (velocidades relativas de acercamiento), por la expresión:

Donde "e" es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1 se da en un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema. El valor 0 se da en un choque perfectamente inelástico, donde sólo se conserva el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se



"consume" durante el choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica y en sonido. Si el valor de “e” está comprendido entre 0 y 1(0<e<1) se considera un choque inelástico. Choque elástico Se denomina choque elástico o perfectamente elástico a una colisión entre dos o más cuerpos en la que éstos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En una colisión elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después del choque. Las colisiones en las que se producen deformaciones permanentes de los cuerpos se denominan inelásticas. Para el caso particular que ambas masas sean iguales, se desplacen según la misma recta y que la masa chocada se encuentre inicialmente en reposo, la energía se transferirá por completo desde la primera a la segunda, que pasa del estado de reposo al estado que tenía la masa que la chocó.

En otros casos se dan situaciones intermedias en lo referido a las velocidades de ambas masas, aunque siempre se conserva la energía cinética del sistema. Esto es consecuencia de que el término "elástico" hace referencia a que no se consume energía en deformaciones plásticas, calor u otras formas. Los choques perfectamente elásticos son idealizaciones útiles en ciertas circunstancias, como el estudio del movimiento de las bolas de billar, aunque en ese caso la situación es más compleja dado que la energía cinética tiene una componente por el movimiento de traslación y otra por el movimiento de rotación de la bola. Velocidades de igual sentido

Durante el choque cada cuerpo recibe una cantidad de movimiento que es igual a la velocidad perdida por el otro. Al recuperar su forma inicial, cada uno pierde o gana respectivamente, la cantidad de movimiento ganada o perdida en el momento del choque, la velocidad final de cada uno será:

v1f = (v2f + v2i).m2/m1 + v1i ó v1f = v2f + v2i - v1i

Velocidades de distinto sentido

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Choque_inel%C3%A1stico



Las dos partículas chocan de frente y luego se alejan del lugar de la colisión con diferentes velocidades V1F y V2F. En este caso los cuerpos literalmente rebotan, y la velocidad final de cada uno será:

v1f = (v2f - v2i).m2/m1 + v1i

Choque inelástico Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se conserva. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura. En el caso ideal de un choque perfectamente inelástico entre objetos macroscópicos, éstos permanecen unidos entre sí tras la colisión. La principal característica de este tipo de choque es que existe una disipación de energía, ya que tanto el trabajo realizado durante la deformación de los cuerpos como el aumento de su energía interna se obtiene a costa de la energía cinética de los mismos antes del choque. En cualquier caso, aunque no se conserve la energía cinética, sí se conserva el momento lineal total del sistema. Choque perfectamente inelástico De un choque se dice que es "perfectamente inelástico" (o "totalmente inelástico") cuando disipa toda la energía cinética disponible, es decir, cuando el coeficiente de restitución ”e” vale cero. En tal caso, los cuerpos permanecen unidos tras el choque, moviéndose solidariamente (con la misma velocidad). La energía cinética disponible corresponde a la que poseen los cuerpos respecto al sistema de referencia de su centro de masa. Antes de la colisión, la mayor parte de esta energía corresponde al objeto de menor masa. Tras la colisión, los objetos permanecen en reposo respecto al centro de masa del sistema de partículas. La disminución de energía se corresponde con un aumento en otra(s) forma(s) de energía, de tal forma que el principio de conservación de la energía se cumple en todo caso. Velocidades de igual dirección y sentido.

http://es.wikipedia.org/wiki/Choque_(f%C3%ADsica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Temperatura

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_interna

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_interna

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal



Supongamos un cuerpo 1 de masa m1 y velocidad v1 que se dirige a hacia el cuerpo 2 de masa m2

y velocidad v2, siendo ambas velocidades de igual dirección y sentido. Sobre cada cuerpo actuó en el momento del choque, el impulso que le provocó el otro cuerpo, entonces hay dos acciones de igual intensidad y sentido contrario, en consecuencia ambas cantidades de movimiento serán iguales y de sentido contrario. Luego del choque ambos cuerpos continúan juntos con una velocidad final común a ambos. La velocidad final será: m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f

cómo v1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos: v1f = v2f = vf m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf vf = (m1.v1i + m2.v2i)/(m1 + m2) Velocidades de igual dirección y sentido contrario

En este caso los cuerpos poseían velocidades de igual dirección pero de sentido contrario antes del choque, como en el caso anterior luego del impacto continúan juntos, con una velocidad final que estará dada por la diferencia de las cantidades de movimiento. La velocidad final será: m1.v1i - m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f como v1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos: v1f = v2f = vf m1.v1i - m2.v2i = (m1 + m2).vf vf = (m1.v1i - m2.v2i)/(m1 + m2)



La velocidad final mantendrá la misma dirección pero tendrá el sentido de la velocidad del cuerpo que antes del choque tenga más cantidad de movimiento.

EJERCICIOS

1. Un cuerpo de 15 kg se deja caer desde una altura de 10 metros. Calcular el trabajo realizado por el peso del cuerpo.

W = F.e = P.h = m.g.h = 15 * 9,8 * 10 = 1470 J

2. Sobre un cuerpo de 10 kg de masa actúa una fuerza de 100N que forma un ángulo de 30º con

la horizontal que hace que se desplace 5 m. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el suelo es 0,2, calcular el trabajo realizado por la normal, el peso, la fuerza de rozamiento y la fuerza aplicada sobre el cuerpo.

N F Fy Fr Fx P La normal y el peso son perpendiculares a la dirección del desplazamiento y, por tanto, no realizan trabajo. La fuerza de rozamiento se opone al movimiento del cuerpo, por lo que realiza un trabajo negativo. Para calcular la fuerza de rozamiento necesitamos conocer la normal “N”. De la figura se deduce que N + FY=P, de donde: N=P-Fy. Aplicando la definición de seno y coseno de un ángulo se deduce que: FY=F.sen30º y Fx=F.cos30º. El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento será igual a:

R yW=-F e=- N e=- (P-F ) e=- (m g-F sen30º) e=-0,2 (10 9,8-100 0,5) 5=-48 J

Sólo realiza trabajo la componente FX de la fuerza aplicada sobre el cuerpo:

XW=F e=F cos 30º e=100 0,866 5 433 J

3. Un cuerpo de 20 kg de masa que se mueve a una velocidad 2 m/s se somete a una

aceleración de 2 m/s2 durante 5 s. Calcular el trabajo efectuado sobre el cuerpo. El trabajo efectuado sobre el cuerpo es igual a la variación que experimenta su energía cinética.

2 2

C O

1 1W= E m v m v

2 2

Conocemos todos los datos excepto la velocidad del cuerpo después de los 5 s. Utilizamos la ecuación de un movimiento uniformemente acelerado para calcular esta velocidad:



0v=v a t=2+2 5=12 m/s

Sustituimos los datos en la ecuación de arriba:

2 2

C

1 1W= E 20 12 20 2 1400 J

2 2

4. El conductor de un coche de 650 kg que va a 90 km/h frena y reduce su velocidad a 50 km/h.

Calcular: a) La energía cinética inicial. b) La energía cinética final. c) El trabajo efectuado por los frenos.

90 km/h son 25 m/s y 50 km/h son 13,9 m/s.

a) 2 2

0

1Ec= m v 0,5 650 25 203125 J

2

b) 2 21

Ec= m v 0,5 650 13,9 62793,3 J2

d) C 0W= E Ec Ec 62793,3 203125 140331,7 J

5. Se dispara una bala de 10 gr con una velocidad de 500 m/s contra un muro de 10 cm de

espesor. Si la resistencia del muro al avance de la bala es de 3000 N, calcula la velocidad de la bala después de atravesar el muro.

El muro opone una resistencia al paso de la bala por lo que realiza un trabajo negativo:

2 2

C O

1 1W= E ; -F e m v m v

2 2

Sustituimos:

2 21 1 -3000 0,1 0,01 v 0,01 500

2 2

Despejamos “v” y calculamos y obtenemos una velocidad de 435,9 m/s. 6. Desde una altura de 10 m se deja caer un cuerpo de 5kg. Calcula su velocidad al llegar al

suelo. Al principio, el cuerpo sólo tiene energía potencial y, a medida que va cayendo, esta se va transformando en energía cinética. Cuando el cuerpo llega al suelo su energía cinética será igual a la energía potencial que tenía al principio.

2 2

1 2 1 2

1Em Em ; Ep Ec ; m.g.h = .m.v ; 5 9,8 10=0,5 5 v

2

de donde: v= 14 m/s. 7. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Determina la altura

máxima que alcanzará.



La energía mecánica inicial será igual a la energía cinética del cuerpo ya que se encuentra en el suelo. A medida que asciende, la energía cinética se va transformándose en energía potencial. En la altura máxima, la energía mecánica será igual a la energía potencial ya que la energía cinética vale cero al estar el cuerpo parado.

2

1 2 1 2

1Em Em ; Ec Ep ; .m.20 =m.9,8.h ; h=20,4 m

2

8. Desde una altura de 5 metros desliza por un plano inclinado un cuerpo de 2 kg de masa que

parte del reposo. Calcula la velocidad del cuerpo cuando abandona el plano inclinado suponiendo: 1. Qué no hay de rozamiento. 2. Qué hay rozamiento y el trabajo realizado por esta fuerza es de 15 J.

a) La energía potencial del cuerpo se transforma en energía cinética:

2

1 2 1 2

1Em Em ; Ep Ec ; 2 9,8 5 = 2 v ; v =9,9 m/s

2

b) Si consideramos que hay rozamiento la energía mecánica no se conserva, porque parte de esa energía pasa al suelo y al cuerpo en forma de energía térmica. La energía mecánica final será igual a la energía mecánica inicial menos el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

2

1 Fr 2 1 2

1Em W Em ; Ep 15 Ec ; 2 9,8 5-15 = 2 v ; v =9,1 m/s

2

9. En una atracción de la feria se deja caer desde una altura de 20 m una vagoneta con cuatro

personas con una masa total de 400 kg. Si el rizo tiene un diámetro de 7 m y suponemos que no hay rozamiento calcula:

a) La energía mecánica de la vagoneta en el punto A. b) La energía cinética de la vagoneta en el punto B. c) La velocidad de la vagoneta en el punto C.



d) La fuerza que tiene que realizar el mecanismo de frenado de la atracción si la vagoneta se tiene que detener en 10 m.

a) La energía mecánica en A será igual a su energía potencial:

PE m g h= 400 9,8 20=78400 J

b) La energía cinética en B será igual a la energía potencial arriba: Ec= 78400 J

c) En el punto C la energía mecánica será igual a la suma de la energía cinética y de la

energía potencial:

2 2

A C A C C

1Em Em ; Ep = m.g.h + .m.v ; 78400=400 9,8 7 0,5 400 v ; v=15,9 m/s

2

d) Cuando la vagoneta llega abajo, toda su energía potencial se ha transformado en energía cinética como ya hemos visto en el apartado b).

2 21Ec= m v ; 78400 = 0,5 400 v ; v = 19,8 m/s

2

El mecanismo de frenado de la atracción realiza un trabajo que se opone al movimiento y que hace que la velocidad pase de 19,8 m/s a 0 m/s.

2 2 2 2

C O

1 1 1 1W= E ; -F e m v m v ; -F 10 400 0 400 19,8 ; F = 7840,8 N

2 2 2 2

En la ecuación anterior podíamos poner (F) en vez de (-F) y al despejar la fuerza saldría negativa. Como ya hemos tenido en cuenta el sentido de la fuerza al poner el signo negativo en la ecuación, al despejar F lo que obtenemos es la intensidad de la fuerza (su módulo, su valor numérico).



10. Calcular la velocidad que debe llevar un cuerpo en el punto A de la Fig 1 para que se detenga al llegar a B,si el coeficiente de rozamiento es µ=0,2.

Bastará aplicar la conservación de la energía entre el punto de partida (A) y el de llegada (B), teniendo en cuenta la existencia de fuerzas disipativas (Rozamiento),y tomando como origen de energía potencial el punto de partida del móvil.El punto de llegada tiene h=10 m.

simplificando por m ,sustituyendo valores y teniendo en cuenta que resulta: vA=17,12 m/s

11. Un bloque comienza a desplazarse con velocidad v=7 m/s sobre una superficie horizontal rugosa. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es µ=0,3. Después de recorrer una distancia de 2 m encuentra una rampa inclinada 40 respecto a la horizontal y con el mismo coeficiente de rozamiento anterior. Hallar: a) Velocidad del bloque cuando alcanza la base de la rampa b) La distancia que recorrerá sobre la rampa antes de quedar momentáneamente en reposo.

1. Bastará aplicar la conservación de la energía entre el punto de partida A y la base de la

rampa B (Fig 2) (Sistema no conservativo debido a la fuerza de rozamiento) teniendo en cuenta la referencia elegida para la energía potencial:



Sustituyendo valores se obtiene para la velocidad en B:

2. Utilizando de nuevo la conservación de la energía bajo el mismo supuesto que en a apartado anterior, ahora entre los puntos B y C, resulta:

donde puede observarse la relación que sustituida en la anterior y para los valores

numéricos dados: 12. Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se está moviendo con una velocidad de 40 m/s

cuando es golpeada por un bate que invierte su dirección adquiriendo una velocidad de 60 m/s, ¿qué fuerza promedio ejerció el bate sobre la pelota si estuvo en contacto con ella 5 ms?

Datos: m = 0,15 kg vi = 40 m/s vf = - 60 m/s (el signo es negativo ya que cambia el sentido) t = 5 ms = 0,005 s

Δp = I

pf - pi = I m.vf - m.vi = F.t F = m.(vf - vi)/t

F = 0,15 kg.(- 60 m/s - 40 m/s)/0,005 s F = 0,15 kg.(- 100 m/s)/0,005 s F = - 3000 N

13. Una fuerza actúa sobre un objeto de 10 kg aumentando uniformemente desde 0 hasta 50 N

en 4 s. ¿Cuál es la velocidad final del objeto si partió del reposo?.

Datos: m = 10 kg vi = 0 m/s Fi = 0 N Ff = 50 N t = 4 s Para el impulso debe usarse la fuerza media, por lo tanto:

F = (Ff + Fi)/2 F = (50 N + 0 N)/2 F = 25 N

Δp = I

pf - pi = I m.vf - m.vi = F.t m.(vf - vi) = F.t vf - vi = F.t/m vf = F.t/m

vf = 25 N.4 s/10 kg vf = 10 m/s

14. Una partícula A de masa mA se encuentra sujeta por medio de un resorte comprimido a la partícula B de masa 2.mA, si la energía almacenada en el resorte es de 60 J ¿qué energía cinética adquirirá cada partícula luego de liberarlas?.

Datos: mA mB = 2.mA E ci = 60 J v Ai = v Bi = 0 m/s

Δ pi = Δ pf

p Ai + p Bi = p Af + p Bf mA.v Ai + mB.v Bi = mA.v Af + mB.v Bf mA.v Ai + 2.mA.v Bi = mA.v Af + 2.mA.v Bf

Como v Ai = v Bi = 0 m/s



0 = mA.v Af + 2.mA.v Bf mA.(v Af + 2.v Bf) = 0 v Af + 2.v Bf = 0 vA f = - 2.vB f (1) pero:

Δ Ec = 0 Ec i = Ec f Ec i = Ec Af + Ec Bf Ec i = mA.v Af ²/2 + mB.vB f ²/2 Ec i = mA.vA f ²/2 + 2.mA.vB f ²/2 Reemplazando por (1):

Ec i = mA.vA f ²/2 + 2.mA.(- vA f/2) ²/2 Ec i = mA.vA f ²/2 + mA.vA f ²/4 Ec i = 2.mA.vA f ²/4 + mA.vA f ²/4 2.Ec i = 3.mA.vA f ²/2 Pero:

mA.v Af ²/2 = Ec Af 3.Ec Af = 2.E ci Ec Af = 2.60 J/3 Ec Af = 40 J

Ec i = Ec Af + Ec Bf Ec Bf = Ec i - Ec Af Ec Bf = 60 J - 40 J Ec Bf = 20 J

15. Mediante un palo de golf se aplica a una pelota una fuerza de 242,2 N y adquiere una velocidad de 95 m/s. Si la masa de la pelota es de 0,05 kg, ¿durante cuánto tiempo actuó el palo sobre la pelota?.

Datos: m1 = 0,05 kg v1 = 95 m/s F = 242,2 N

Según la definición de impulso:

I = F.t = m.v

F.t = m1.v1 t = m1.v1/F t = 0,05 kg.(95 m/s)/242,2 N t = 0,0196 s

16. Una pelota de futbol de 850 g de masa adquiere una velocidad de 40 m/s mediante un

puntapié de 0,2 s de duración, ¿qué fuerza recibió la pelota?.

Datos: m1 = 850 g = 0,85 kg v1 = 40 m/s t = 0,2 s Según la definición de impulso y de la cantidad de movimiento:

F.t = m1.v1 F = m1.v1/t F = 0,85 kg.(40 m/s)/0,2 s F = 170 N

17. Dos masas idénticas chocan una contra otra y se acoplan juntas. Cuales son las velocidades de las masas inmediatamente después del acoplamiento si: a) Una masa en movimiento se aproxima a una estacionaria con una velocidad de 10 km/h b) Dos masas se aproximan una a la otra con velocidades de 20 km/h hacia la derecha y 15

km/h hacia la izquierda respectivamente c) Las dos masas se mueven en la misma dirección con velocidades de 20 km/h y 15 km/h a) V1 = 10 km/h V2= 0



m1 m2 m1 m2

+ =

mv1 + mv2 = mv como la velocidad 2 es cero (0) se cancela

mv1 = 2 mv = V v=

v= 5 km/h

b) V1 = 20 km/h V2= 15km/h

m1 m2 m1 m2

- =

mv1 - mv2 = 2mv

= V v= v= 2.5

km/h

c) V1 = 20 km/h V2= 15km/h

m1 m2 m1 m2

+ =

mv1 + mv2 = 2mv

m (m1 + m2) = 2 mv

= V v= v= 17.5 km/h

18. Un automóvil de 1500 kg. De masa choca contra un muro, como se ve en la figura. La Velocidad inicial Vi = - 15 m/seg y la velocidad final VF = 2.6 m/seg

Si el choque dura 0,15 seg. ¿Encuentre el impulso debido a este y la fuerza promedio ejercida sobre el automóvil?



Momento inicial Pi = m Vi

Pi = 1500 * (- 15) Pi = - 22500 kg. m/seg Momento final Pf = m Vf

Pf= 1500 * (-2,6) Pf= 3900 kg. m/seg El impulso es: I = ΔP = Pf - Pi

I = 3900 – (- 22500) I = 3900 + 22500 I = 26400 Newton * seg

La fuerza promedio ejercida sobre el automóvil es:

Fprom = = Fprom = 176000 Newton

19. Una masa de 1 kg con una rapidez de 4.5 m/sg choca con una masa estacionaria de 2 kg, si la colisión es completamente inelástica.

a) Cual es la rapidez de cada una de las masas después de la colisión. b) Que % de Eci debe tener después de la colisión. c) Cual es la cantidad de movimiento total después de la colisión

a) V1 = 10 km/h V2= 0

m1 m2 m1 m2

+ =

mv1 + mv2 = mv como la velocidad 2 es 0 se cancela

mv1 = 2 mv = V v= v= 1.5 km/h

b) Ecf = * Eci

Ecf = * Eci



Ecf = Eci Ecf = * 100 Eci Ecf = 33.33 Eci

c) = mv = 3 kg * 1.5 m/seg

= 4.5 kg* m/seg

20. Una pelota de 0.3 kg con una rapidez de 2 m/seg en la dirección positiva de las x tiene una colision frontal elástica con otra pelota estacionaria de 0.7 kg localizado en X=0 ¿Cuál es la distancia de separación de los objetos 2.5 seg después de la colisión?

Vi1 = 2 m/seg Vi2= 0

m1= 0.3 kg m2= 0.7 kg

V1= Vi1 * 2 m/s V1= -0.8 m/seg

V2= Vi1 * 2 m/s V2= 1.2 m/seg

X1 = V1 t X1 = - 0.8 * 2.5 seg X1 = - 2 m

X2 = V2 t X2 = 1.2 * 2.5 seg X2 = 3 m Distancia De Separación = 5 m

21. Un pez de 8 kg está nadando a 0,5 m/s hacia la derecha. Se traga otro pez de 0,25 kg que nada hacia él a 1,5 m/s. Calcular la velocidad del pez grande inmediatamente después de tragarse al pequeño.

m1.v1i + m2.v2i = m1.v1f + m2.v2f

como v1f y v2f son iguales porque ambos cuerpos siguen juntos entonces:

m1.v1i + m2.v2i = (m1 + m2).vf

vf =

vf = VF = 0.53 m/s

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