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AIDER EPNAPUNTES • MECÁNICA CLÁSICA I

Semestre 2020-B Jhon Chiliquinga, Kevin Cárdenas

Estos apuntes se basan en las clases de la materia “Mecánica Clásica I”, dictadas en la

carrera de Física de la EPN durante el semestre 2020-B por el profesor PhD. Ramón Xulvi.

El estilo del documento fue revisado por el profesor Andrés Merino (proyecto Alephsub0).

ÍNDICE

1 Sistemas de partículas 31.1 Dinámica de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Dinámica rotacional de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . 81.3 Trabajo de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Energía cinética y trabajo de un sistema de partículas . . . . . . . . 131.5 Relación entre la energía cinética en el sistema de laboratorio y al

centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Energía potencial y trabajo de un sistema de partículas . . . . . . . 151.7 Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Movimiento en medios resistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Sistemas de masa variable: Eyección de masa . . . . . . . . . . . . . 20

2 Gravitación Newtoniana 242.1 Campo gravitatorio (~g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Energía potencial gravitacional y potencial gravitacional . . . . . . 262.3 Líneas de fuerza o de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Superficie equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Secciones cónicas: Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Problema de los dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.1 Análisis del valor de la excentricidad . . . . . . . . . . . . . 452.7 Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Cinemática de colisiones y teoría de dispersión 483.1 Cinemática de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Teoría de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.1 Ejemplo: Dispersión de esferas duras . . . . . . . . . . . . . 633.3 Dispersión por potenciales centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1

Jhon Chiliquinga, Kevin Cárdenas Mecánica Clásica I

3.3.1 Caso del potencial de Coulomb (Dispersión de Rutherford) 673.4 Sección eficaz en el sistema CM y en el sistema laboratorio . . . . . 69

4 Sistemas de referencia no inerciales 724.1 Física en sistemas de referencia no inerciales . . . . . . . . . . . . . 72

4.1.1 Relación entre los vectores~r, ~v y~a entre diferentes sistemasde referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Análisis sistema de referencia fijado en la Tierra . . . . . . . . . . . 784.2.1 Análisis de la aceleración en un sistema de referencia fijo en

la Tierra rotando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5 Relatividad Especial 825.1 Principios de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2 Deducción de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . 835.3 Experimento de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4 Invariante espacio-temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5 Transformación de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.6 Contracción y dilatación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6.1 Contracción espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.6.2 Dilatación temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.7 Teoremas de Conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.7.1 Conservación del momento lineal bajo una transformación

de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.7.2 Conservación de energía bajo una transformación de Galileo 955.7.3 Conservación en relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . 955.7.4 Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.8 Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.8.1 Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.9 Relación energía-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.9.1 Fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.10 Espacio de Minkowski Cuadrivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.10.1 Tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.11 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2

Mecánica Clásica I Jhon Chiliquinga, Kevin Cárdenas

1. SISTEMAS DE PARTÍCULAS

1.1 Dinámica de un sistema de partículas

Consideremos un sistema S en el que se tiene N partículas y fuera de este setiene N.

ij k

Sistema (S)

N partıculas N partıculas

Se quiere buscar el momento lineal (~P) que tiene el sistema de partículas, paraello tomemos en cuenta el momento lineal de la partícula i dentro del sistema:

~pi = mi~vi. (1)

Entonces, se define ~P como:

~P =N

∑i=1

~pi =N

∑i=1

mi~vi. (2)

Ahora, se quiere encontrar la fuerza total sobre la partícula i dentro del siste-ma. Para ello dividamos las fuerzas en dos, las producidas por partículas dentrodel sistema y las que son producidas por partículas fuera del sistema:

~Fi = ~F(ex)i + ~F(in)

i , (3)

donde ~F(ex)i se refiere a las fuerzas producidas por partículas externas al sistema y

~F(in)i a las producidas por partículas internas.

3


Por otro lado, se puede expresar a ~F(in)i como sigue:

~F(in)i =

N

∑j=1

~F(in)ji , (4)

donde ~F(in)ji se refiere a la fuerza ejercida por la partícula j interna al sistema sobre

la partícula i. Además, se define:

~F(in)ii = 0.

Es decir que una partícula no interactúa consigo misma. Esto se hace para po-der hacer el sumatorio (4) hasta N.

Ahora, si se quiere encontrar la fuerza total sobre S entonces se hace un suma-torio para las fuerzas dadas por (3), es decir:

~FS =N

∑i=1

~Fi =N

∑i=1

(~F(ex)

i +N

∑j=1

~F(in)ji

)

=N

∑i=1

~F(ex)i

︸︷︷︸Fuerza externa

total sobre S

+N

∑i=1

N

∑j=1

~F(in)ji

= ~F(ex)S +

N

∑i=1

N

∑j=1

~F(in)ji .

Si dentro del sistema la interacción entre partículas cumple la tercera ley deNewton por lo menos en su versión débil, entonces:

~Fij = −~Fji.

Tomando esta última ecuación en cuenta se sigue que:

N

∑i=1

N

∑j=1

~F(in)ji =

N

∑i,j=1i<j

~Fji + ~Fij =N

∑i,j=1i<j

~Fji − ~Fji = 0

Finalmente, se tiene que

~FS = ~F(ex)S , (5)

con un tratamiento mayor se puede conseguir la siguiente expresión:

~FS = ~F(ex)S = ∑

i

~F(ex)i = ∑

imi ~ai

4


= ∑i

mid~vidt

= ∑i

ddt

(mi ~vi)

=ddt

(∑

imi ~vi

)=

ddt

(∑

i~pi

)

=ddt(~P).

En resumen:

~FS = ~P. (6)

Ahora, si recordamos la definición del centro de masa (posición, velocidad yaceleración) también se puede escribir la fuerza sobre el sistema como:

~FS = ∑i

mid2~ridt2 =

d2

dt2

(∑

imi ~ri

)

=d2

dt2

(∑i (mi ~ri)

MM)

M = ∑i mi

=d2

dt2

(~RCM M

)= M

d2~RCMdt2

= M ~aCM.

Donde M es la masa total del sistema, ~RCM el vector de posición del centro demasas y~aCM la aceleración del centro de masas definido como la segunda deriva-da con respecto al tiempo de ~RCM.

Con este resultado, la segunda ley de Newton para sistemas de partículas tienela forma:

~FS = M ~aCM = ~P. (7)

Ahora, si no existen fuerzas externas al sistema, entonces:

~F(ex)S = 0,~FS = 0,

es decir, la fuerza total es cero. De (7) se tiene que:

M ~aCM = 0,

d~vCMdt

= 0,

~vCM = cte,

5


que es la primera ley de Newton para sistemas de partículas.Además, se puede escribir al momento lineal del sistema como:

~P = ∑i

mi ~vi = M(

∑i mi ~viM

)= M~vCM.

Entonces, si no hay fuerzas externas también se sigue que:

~P = cte.

Ahora, supongamos que se tienen dos sistemas de partículas, S1 y S2.

k

l

S2 : N2 partıculas

ij

S1 : N1 partıculas

Adicionalmente, supongamos que no hay más partículas en el universo apartede los dos sistemas considerados. Calculemos la fuerza total sobre S1, para ellocalculemos en primer lugar la fuerza sobre la partícula i.

~Fi =N2

∑k=1

~F(ex)ki +

N1

∑j=1

~F(in)ji ,

con esto se tiene:

~FS1 =N1

∑i=1

~Fi =N1

∑i=1

[N2

∑k=1

~F(ex)ki +

N1

∑j=1

~F(in)ji

]

=N1

∑i=1

N2

∑k=1

~F(ex)ki + 0,

En resumen

~FS1 =N1

∑i=1

N2

∑k=1

~F(ex)ki . (8)

Ahora, encontremos la fuerza total sobre S2 siguiendo el mismo proceso.

~Fk =N1

∑i=1

~F(ex)ik +

N2

∑l=1

~F(in)lk .

6


~FS2 =N2

∑k=1

~Fk =N2

∑k=1

[N1

∑i=1

~F(ex)ik +

N2

∑l=1

~F(in)lk

]

=N2

∑k=1

N1

∑i=1

~F(ex)ik + 0.

Es decir:

~FS2 =N2

∑k=1

N1

∑i=1

~F(ex)ik , (9)

si suponemos que las partículas cumplen la tercera ley de Newton se tiene:

~FS2 =N2

∑k=1

N1

∑i=1

~F(ex)ik = −

N2

∑k=1

N1

∑i=1

~F(ex)ki .

Finalmente se consigue:~FS2 = −~FS1 ,

como no hay más partículas en el universo lo único que está actuando sobre S1 esS2 y viceversa. Con esto se puede decir que la fuerza que provoca S1 sobre S2 esigual al negativo de la fuerza que provoca S2 sobre S1, es decir:

~FS1/S2 = −~FS2/S1 . (10)

En el caso de interacciones electromagnéticas la tercera ley Newton fuerteno se cumple, pero sí la débil, entonces, en sistemas que tienen este tipo deinteracciones solo se cumple la versión débil de esta ley.

Leyes de Newton para sistemas de partículas

Primera Ley

Si sobre un sistema de partículas no actúan fuerzas externas o la fuerzatotal sobre este es cero, entonces la velocidad del centro de masas delsistema es constante.

~FS = 0 =⇒ ~vCM.

Segunda Ley

7


Si dentro del sistema las partículas cumplen, por lo menos, la versióndébil de la tercera ley de Newton, se tiene que:

~FS = M ~aCM = ~P.

Tercera Ley

Si se tienen dos sistemas de partículas S1 y S2 y dentro de los sistemaslas partículas cumplen la tercera ley de Newton, se tiene que:

~FS1/S2 = −~FS2/S1 .

Con todas las consideraciones expuestas anteriormente.

1.2 Dinámica rotacional de un sistema de partículas

Al igual que con el momento lineal, en un sistema de partículas se puede defi-nir el momento angular.

Para una partícula i cualquiera el momento angular de esta, ~Li, está definidopor:

~Li =~ri × ~pi, (11)

donde~ri es la posición de la partícula con respecto a un origen de coordenadas y~pi es el momento de la misma. Con esto se puede afirmar que el momento angulardepende de la elección del sistema de coordenadas.

El momento angular de un sistema de N partículas se define como:

~L =N

∑i=1

~Li =N

∑i=1

~ri × ~pi. (12)

También será de utilidad definir el torque sobre un sistema de partículas. Re-cordemos que para una partícula i, el torque producido por una fuerza ~Fi se escri-be como:

~τi =~ri × ~Fi. (13)

Con esto se puede definir el torque total sobre un sistema de partículas:

~τ =N

∑i=1

~ri × ~Fi, (14)

8


ahora, nos interesa encontrar ~L.

~L =d~Ldt

=N

∑i=1

:0(~ri × ~pi

)︸︷︷︸~ri=~vi ‖ ~pi

+N

∑i=1

(~ri × ~pi

)

=N

∑i=1

~ri × ~Fi︸︷︷︸~Fi :=~pi

,

finalmente:

~L = ~τ. (15)

Ahora, elaboremos un poco más la expresión precedente y veamos a qué serefiere cada término de ~L que aparecerá.

~L =N

∑i=1

~ri ×(~F(ex)

i + ~F(in)i

)

=N

∑i=1

~ri × ~F(ex)i +

N

∑i=1

~ri × ~F(in)i

=N

∑i=1

~ri × ~F(ex)i +

N

∑i=1

~ri ×[

N

∑j=1

~F(in)ji

]

=N

∑i=1

~ri × ~F(ex)i +

N

∑i=1

N

∑j=1

(~ri × ~F(in)

ji

).

El primer término se lo puede escribir de la siguiente manera:

~τ(ex) =N

∑i=1

~τ(ex)i =

N

∑i=1

~ri × ~F(ex)i , (16)

donde ~τ(ex) se refiere al torque producido sobre el sistema por fuerzas externas aeste. Entonces se tiene que:

~L = ~τ(ex) +N

∑i=1

N

∑j=1

(~ri × ~F(in)

ji

).

Analicemos el segundo término. En primer lugar supongamos que las partícu-las dentro del sistema cumplen la tercera ley de Newton, al menos en su versión

9


débil, de manera que:

N

∑i=1

N

∑j=1

(~ri × ~F(in)

ji

)=

N

∑i<j

i,j=1

(~ri × ~F(in)

ji +~rj × ~F(in)ij

)

=N

∑i<j

i,j=1

(~ri × ~F(in)

ji −~rj × ~F(in)ji

)

=N

∑i<j

i,j=1

(~ri −~rj

)× ~F(in)

ji .

La cantidad~ri −~rj representa a la posición de la partícula i con respecto a j,entonces está sobre la línea que une a las dos partículas. Ahora, si en el sistema secumple la versión fuerte de la tercera ley de Newton entonces ~F(in)

ji está sobre esta

misma línea. Si se hace esa consideración entonces~ri −~rj ‖ ~F(in)ji , con lo cual:

N

∑i=1

N

∑j=1

(~ri × ~F(in)

ji

)= 0.

Uniendo todos estos resultados y con las consideraciones hechas se tiene que:

~L = ~τ(ex). (17)

De esto se tiene que si en el sistema no se cumple la tercera ley de Newtonfuerte entonces ~L = ~τ, resultado que recoge tanto fuerzas externas como internas.Si se cumple la versión fuerte entonces ~L = ~τ(ex).

Ahora, supongamos que no existen torques o que la suma de todos se cancela(tanto internos como externos), e n este caso:

~L = ~τ = 0 =⇒ ~L = cte.

Es decir, el momento angular se conserva. Si en el sistema se cumple la versiónfuerte solo basta con que se cancelen los torques externos, pero en general es tantoexternos como internos.

Si se tiene un sistema en el cual el torque se anula solo en una componente,por ejemplo, en la componente z, entonces solo la componente z del mo-mento angular se conserva.

~τ = (τx, τy, 0) =⇒ Lz = cte.

10


Medición de algunas cantidades con respecto al centro de masas

Supongamos que se define un sistema de coordenadas x, y, z en un espaciodonde se tiene un sistema de partículas. En este se encuentra el centro de masasCM y se define las coordenadas x′, y′, z′.

z

x

y

z′

x′y′

CM

~R CM~r i~r ′i

La posición de una misma partícula i puede ser descrita desde los dos sistemasde coordenadas diferentes. Se nota como~ri a la posición descrita desde el sistemax, y, z y~r′i descrita desde el sistema centro de masas.

Por suma vectorial estas cantidades se relacionan de la siguiente manera.

~ri = ~RCM +~r′i .

Derivando las expresiones anteriores se pueden conseguir las siguientes rela-ciones:

~ri = ~RCM +~r′i~vi =~vCM +~v′i~ai =~aCM +~a′i.

Las cuales relacionan la posición, velocidad y aceleración de una partícula conrespecto a un sistema de coordenadas arbitrario con su centro de masas.

Ahora, vamos a relacionar el momento angular de un sistema de partículasmedido desde cualquier sistema de coordenadas con el medido con respecto alsistema centro de masas.

~L =N

∑i=1

~ri × ~pi =N

∑i=1

(~RCM +~r′i

)×mi ~vi

11


=N

∑i=1

(~r′i + ~RCM

)×mi

(~v′i +~vCM

)

=N

∑i=1

~r′i ×mi ~v′i︸︷︷︸Momento agular

desde CM

+N

∑i=1

~ri′ ×mi ~vCM

+N

∑i=1

~RCM ×mi ~v′i +N

∑i=1

~RCM ×mi ~vCM

= ~L′ +

(N

∑i=1

mi ~r′i

)×~vCM

+ ~RCM ×(

N

∑i=1

mi ~v′i

)+ ~RCM ×M~vCM.

Notemos que algunos términos se pueden simplificar. Analicemos el sumato-rio del segundo término:

N

∑i=1

mi ~r′i = M∑N

i=1 mi ~r′iM

= M~R′CM.

Se tiene la definición de la posición del CM con respecto al CM, es decir, escero.

N

∑i=1

mi ~r′i = 0.

Ahora el sumatorio del tercer término:

N

∑i=1

mi ~v′i = M∑N

i=1 mi ~v′iM

= M~v′CM,

donde se tiene la velocidad del CM con respecto al CM, es decir, es cero.

N

∑i=1

mi ~v′i = 0.

Finalmente se tiene el siguiente resultado:

~L = ~L′ + ~RCM ×M ~vCM. (18)

De esta última expresión se deduce que si el CM no se mueve con respecto alsistema considerado entonces el momento angular medido es igual al medido conrespecto al CM.

12


1.3 Trabajo de un sistema de partículas

Recordemos que la definición de trabajo sobre una partícula hecho por unafuerza ~Fi para ir de un punto 1 a un punto 2 es:

Wi12 =

∫ 2

1~Fi · ~dri, (19)

donde ~dri es un vector diferencial en dirección tangente al camino seguido de lapartícula y en sentido de su movimiento.

Supongamos que se tiene un sistema de N partículas que está en una configu-ración 1 en el tiempo t1 y pasa a una configuración 2 en el tiempo t2.

i~dri

Configuracion inicial (1) Configuracion final (2)

Tiempo t1 Tiempo t2

Tomando en cuenta el trabajo sobre cada partícula la definición de trabajo enun sistema de partículas al ir de una configuración 1 a una configuración 2 vienedado por:

W12 =N

∑i=1

(∫ 2

1~Fi · ~dri

). (20)

1.4 Energía cinética y trabajo de un sistema de partículas

En un sistema de partículas con N partículas la energía cinética se define como:

T =N

∑i=1

12

miv2i . (21)

13


Ahora, desarrollemos más la definición de trabajo:

W12 =N

∑i=1

∫ 2

1~Fi · ~dri =

N

∑i=1

∫ 2

1mi ~ri · ~dri

=N

∑i=1

∫ 2

1mi ~ri ·~ri dt =

N

∑i=1

∫ 2

1

mi2

d(~ri)2

dtdt

=N

∑i=1

∫ 2

1

ddt

(12

mi v2i

)dt =

N

∑i=1

∫ 2

1d(

12

mi v2i

)

=N

∑i=1

[(12

mi v2i

)

2−(

12

mi v2i

)

1

]

= T2 − T1.

Donde T1 y T2 son las energías cinéticas en el estado 1 y en el estado 2 res-pectivamente. Por tanto, para llevar un sistema de partículas de un estado 1 a unestado 2 el trabajo necesario es la diferencias de energías cinéticas.

W12 = T2 − T1. (22)

1.5 Relación entre la energía cinética en el sistema de laboratorio y al centrode masas

Por definición se tiene que:

T =N

∑i=1

12

mi v2i ,

además, se define la energía cinética T′ como:

T′ =N

∑i=1

12

mi v′2i ,

la cual es la energía cinética medida desde el sistema centro de masas. Ahora,encontremos la forma de relacionarlas:

T =N

∑i=1

12

mi v2i =

N

∑i=1

12

mi ( ~vCM +~vi)2

=N

∑i=1

12

mi

[v2

CM + v′2i + 2~vCM ·~v′i]

14


=N

∑i=1

12

mi v′2i +N

∑i=1

12

mi v2CM +

N

∑i=1

mi ~vi ·~vCM

= T′ +12

M v2CM +

>

0[N

∑i=1

mi ~v′i

]·~vCM.

Por lo tanto:

T = T′ +12

M v2CM. (23)

1.6 Energía potencial y trabajo de un sistema de partículas

Solo actúan fuerzas conservativas

Supongamos que todas las fuerzas que actúan sobre el sistema son conservati-vas, es decir, existe una función escalar V (potencial) tal que:

~F = −∇V.

Entonces, hagamos el cálculo del trabajo en función de esto:

W12 =N

∑i=1

∫ 2

1~Fi · ~dri =

N

∑i=1

∫ 2

1

(~F(ex)

i + ~F(in)i

)· ~dri

=N

∑i=1

∫ 2

1~F(ex)

i · ~dri +N

∑i=1

∫ 2

1~F(in)

i · ~dri.

Analicemos el término de las fuerzas internas, y lo denominaremos “trabajointerno” W(in)

12 :

W(in)12 =

N

∑i=1

∫ 2

1~F(in)

i · ~dri =N

∑i,j=1

∫ 2

1~F(in)

ji · ~dri

=N

∑i,j=1i<j

∫ 2

1

(~F(in)

ji · ~dri + ~F(in)ij · ~drj

)

=N

∑i,j=1i<j

∫ 2

1

(~F(in)

ji · ~dri − ~F(in)ji · ~drj

)

=N

∑i,j=1i<j

∫ 2

1~F(in)

ji ·(~dri − ~drj

).

15


Ahora analicemos el potencial en el sistema. Como nos interesa saber qué pasacon las partículas del sistema, entonces el potencial se lo calculará en donde hayalas partículas, es decir depende de la posición de las partículas.

Se trabajará con potenciales que no dependan del tiempo, es decir, que de-penda solo de coordenadas espaciales.

Cuando el potencial se crea por las fuerzas internas al sistema, este dependede las posiciones relativas de las partículas, es decir, si quiero calcular el potencialdebido a las partículas i y j entonces este dependerá de:

Vij = Vij(xi, yi, zi, xj, yj, zj).

Si se añade una partícula k entonces:

Vijk = Vijk(xi, yi, zi, xj, yj, zj, xk, yk, zk).

Este último potencial se puede escribir como:

Vijk︸︷︷︸Creado por

las 3

= Vij + Vik + Vjk︸︷︷︸Se suman los potencialesde cada par de partículas

.

Entonces, para analizar el potencial total de un sistema de partículas sumo lospotenciales creado por cada par de partículas. Por eso, puedo analizar el poten-cial creado por dos partículas aleatorias y luego hacer el sumatorio para todo elsistema.

V(in) =N

∑i,j=1i<j

Vij. (24)

La condición de i < j se la impone para “no contar dos veces” el mismo parde partículas.

Ahora, calculemos dVij

dVij =∂Vij

∂xidxi +

∂Vij

∂yidyi +

∂Vij

∂zidzi

︸︷︷︸∇V∣∣(xi ,yi ,zi)

·~dri

16


+∂Vij

∂xjdxj +

∂Vij

∂yjdyj +

∂Vij

∂zjdzj

︸︷︷︸∇V∣∣(xj ,yj ,zj)

·~drj

= ∇V∣∣(xi ,yi ,zi)

· ~dri +∇V∣∣(xj ,yj ,zj)

· ~drj.

El gradiente del potencial evaluado en el punto donde se encuentra la partículai es la fuerza que siente i, y como solo se analiza el par de partículas entonces estafuerza es la que hace j sobre i, es decir:

−∇V∣∣(xi ,yi ,zi)

= ~Fji.

Siguiendo el mismo razonamiento se sigue que:

−∇V∣∣(xj ,yj ,zj)

= ~Fij,

entonces:

dVij = −~Fji · ~dri − ~Fij · ~drj = −(~Fji · ~dri + ~Fij · ~drj

)

= −(~Fji · ~dri − ~Fji · ~drj

)= −~Fji ·

(~dri − ~drj

),

con este resultado se sigue que:

W(in)12 =

N

∑i,j=1i<j

∫ 2

1~F(in)

ji ·(~dri − ~drj

)= −

N

∑i,j=1i<j

∫ 2

1dVij

= −N

∑i,j=1i<j

Vij∣∣21 = V(in)

1 −V(in)2 .

De la misma manera se obtiene un resultado similar para las fuerzas externas,entonces:

W12 =N

∑i=1

∫ 2

1~Fi · ~dri

= V(ex)1 −V(ex)

2 + V(in)1 −V(in)

2

= V1 −V2,

donde V = V(in) + V(ex).

17


Actúan fuerzas conservativas y no conservativas

En este caso se tiene que:

W12 =N

∑i=1

∫ 2

1~Fi · ~dri =

N

∑i=1

∫ 2

1

(~F(c)

i + ~F(nc)i

)· ~dri.

Donde ~F(c)i se refiere a las fuerzas conservativas y ~F(nc)

i a las no conservativas.

W12 =N

∑i=1

∫ 2

1~F(c)

i · ~dri +N

∑i=1

∫ 2

1~F(nc)

i · ~dri

= V1 −V2 + W(nc)12︸︷︷︸

Trabajo debidoa fuerzas no

conservativas

1.7 Conservación de la energía

Tomando en cuenta los resultados anteriores se tienen dos igualdades:

W12 = T2 − T1, W12 = V1 −V2 + Wnc12 ,

igualando las expresiones se consigue:

T2 − T1 = V1 −V2 + W(nc)12 ,

T2 + V2 = T1 + V1 + W(nc)12 .

Ahora, se define Energía Mecánica (E) como:

E = T + V. (25)

con esto, la ecuación (25) se puede escribir como:

E2 = E1 + W(nc)12 . (26)

Si todas las fuerzas en un sistema son conservativas, entonces:

E1 = E2, (27)

lo cual quiere decir que, si todas las fuerzas son conservativas, entonces la energía seconserva.

18


Conservación de la energía

Un sistema de partículas pasa de la configuración 1 a la configuración2, con energías E1 y E2 respectivamente. Si actúan solo fuerzas conservativas

∆E = E2 − E1 = 0.

Si actúan fuerzas conservativas y no conservativas

∆E = E2 − E1 = W(nc)12 .

Donde W(nc)12 es el trabajo hecho por las fuerzas no conservativas.

1.8 Movimiento en medios resistivos

Se considera un cuerpo moviéndose a través de un fluido a una velocidad ~v.

~v

El cuerpo, por estar dentro de este fluido, experimenta una fuerza de resisten-cia que tiene la siguiente forma:

~Fr = −k η~v.

Donde ~v es la velocidad del cuerpo con respecto al fluido, k es una constanteque depende del cuerpo y η la viscosidad del fluido.

Por ejemplo, para un sólido esférico, la constante k es k = 6πR, con R el radiodel cuerpo.

Como la cantidad kη es una constante se puede resumir como k = k η.

19


~Fr = −k~v. (28)

Es decir, la fuerza es proporcional a la velocidad relativa y en dirección contra-ria.

La expresión anterior solo sirve para ciertos límites de velocidad. Para veloci-dades relativamente altas se tiene:

~Fr = −k v2 ~uv, (29)

donde ~uv es el vector unitario en dirección de la velocidad.

1.9 Sistemas de masa variable: Eyección de masa

Se va a estudiar el caso de un cohete que está en el espacio.

El combustible se quemay ası se mueve el cohete.

La masa del coheteno cambia, va dismin-uyendo la masa de com-bustible.

Así planteado no hay fuerzas externas y la masa va disminuyendo, pues elcombustible se va quemando. Con esto la masa en el cohete cambia.

Definamos las siguientes cantidades:

• m(t): masa del cohete.

• M: masa del cohete sin combustible (cantidad fija).

• mc(t): masa del combustible dentro del cohete.

m(t) = M + mc(t).

20


El “truco” en el análisis del problema es que se va a ir redefiniendo el sistemaen análisis.

Combustible quemado.

Sistema a analizar(Sistema abierto).

Sistema total (Sis-tema cerrado).

No interesa saber qué pasa con el combustible expulsado, sino con el cohete.En cada momento t vamos a estudiar el sistema del cohete, que es un subsistemadel sistema total.

Si nos interesáramos en el sistema total entonces sería correcto escribir que:

~F(ex) = (M + mc(0)) ~aCM.

Ahora, para resolver el problema se hará la siguiente suposición importante:

• La masa del combustible quemado no ejerce ninguna fuerza apreciable sobreel cohete.

Con esta suposición se cumple, sobre el subsistema, lo siguiente:

~F(ex) = 0,

como no actúa ninguna fuerza externa, entonces, el momento lineal se conserva.

[M + mc(t)]~v(t)︸︷︷︸Momento en un instante t

= [M + mc(t + ∆t)]~v(t + ∆t) + [mc(t)−mc(t + ∆t)]~vg(t + ∆t)︸︷︷︸

Momento en un instante t + ∆t

,

donde ∆t es un incremento pequeño de tiempo, ~v representa a la velocidad delcentro de masas del subsistema con respecto al sistema de referencia inercial labo-

21


ratorio y~vg es la velocidad del gas que sale con respecto al sistema de laboratorio.

m(t)~v(t) = m(t + ∆t)~v(t + ∆t) + [m(t)−m(t + ∆t)]~vg(t + ∆t),

m(t)~v(t) = m(t + ∆t)[~v(t + ∆t)−~vg(t + ∆t)] + m(t)~vg(t + ∆t),

m(t)[~v(t)−~v(t + ∆t)] + m(t)[~v(t + ∆t)−~vg(t + ∆t)] = −m(t + ∆t)~ve,

donde ~ve se la denomina velocidad de escape, la cual se define como:

~ve = ~vg(t)−~v(t), (30)

la cual se considera constante, entonces se cumple que:

~ve = ~vg(t + ∆t)−~v(t + ∆t),

⇓m(t)[~v(t)−~v(t + ∆t)]−m(t)~ve = −m(t + ∆t)~ve,

m(t)[~v(t)−~v(t + ∆t)] = ~ve[−m(t + ∆t) + m(t)],

m(t)[~v(t + ∆t)−~v(t)] = ~ve[m(t + ∆t)−m(t)].

Dividiendo para ∆t y tomando el límite para ∆t→ 0 se tiene:

lım∆t→0

(m(t)[~v(t + ∆t)−~v(t)]

∆t

)= lım

∆t→0

(~ve[m(t + ∆t)−m(t)]

∆t

),

m(t) lım∆t→0

(~v(t + ∆t)−~v(t)

∆t

)= ~ve lım

∆t→0

(m(t + ∆t)−m(t)

∆t

),

m(t)d~vdt

= ~vedmdt

,

m(t)~a =dmdt

~ve. (31)

Ahora, supusimos que el cohete está aislado. Supongamos que está bajo laacción de una fuerza externa, entonces se hace una derivación diferente.

Sobre el subsistema, para un instante t se cumple que:

~F(ex)(t) =d~Pdt

(t).

Calculemos d~Pdt :

d~Pdt

= lım∆→0

~P(t + ∆t)− ~P(t)∆t

,

22


para ello calculemos las componentes necesarias:

~P(t) = m(t)~v(t),

~P(t + ∆t) = m(t + ∆t)~v(t + ∆t) + [m(t)−m(t + ∆t)]︸︷︷︸Masa del combustible que sale

~vg(t + ∆t),

~P(t + ∆t)− ~P(t) = [m(t + ∆t) + m(t)−m(t)]~v(t + ∆t)

+ [m(t)−m(t + ∆t)]~vg(t + ∆t)−m(t)~v(t)

= [m(t) + ∆m]~v(t + ∆t)− ∆m~vg(t + ∆t)−m(t)~v(t)

= m(t)~v(t + ∆t) + ∆m[~v(t + ∆t)−~vg(t + ∆t)]

−m(t)~v(t)

= m(t) [~v(t + ∆t)−~v(t)] + ∆m [~v(t + ∆t)−~vg(t + ∆t)].

Con esto se consigue:

d~Pdt

= lım∆t→0

m(t) [~v(t + ∆t)−~v(t)] + ∆m [~v(t + ∆t)−~vg(t + ∆t)]∆t

= lım∆t→0

m(t) [~v(t + ∆t)−~v(t)]∆t

+ lım∆→0

∆m [~v(t + ∆t)−~vg(t + ∆t)]∆t

= m(t) lım∆t→0

~v(t + ∆t)−~v(t)∆t

+ [~v(t + ∆t)−~vg(t + ∆t)] lım∆→0

∆m∆t

= m(t)d~vdt−~ve

dmdt

,

finalmente:

~F(ex)(t) = m(t)~a(t)− dmdt

~ve. (32)

En el caso de no haber fuerzas externas la expresión anterior se convierte en(31).

En el caso del sistema estudiado dmdt < 0, ya que se va perdiendo masa. En

el caso de estudiar un sistema en el que aumente la masa entonces dmdt > 0

y la ecuación anterior se cumple.

La razón para que se considere como un sistema de masa variable es porquese va perdiendo masa del sistema abierto que se está analizando, mas noporque la masa de cada partícula cambie.

23


2. GRAVITACIÓN NEWTONIANA

Supongamos que se tienen dos partículas con masa m1 y m2.

~ur

~F1/2

rm1

m2

La fuerza que hace la masa m1 sobre m2 viene dada por:

~F1/2 = −Gm1m2

r2 ~ur,

donde G es la constante de gravitación universal. Ahora, supongamos que se tieneuna masa puntual y otra que no lo es.

i m2

m1

En este caso se debería contabilizar la fuerza que hace cada partícula que formala masa m1 sobre m2.

24


z

x y

~r2~ri

~ri2~uri2i m2

m1

Si denotamos a m1 como el sistema S1 se tienen los siguientes resultados:

~ri2 =~r2 −~ri,

~uri2 =~r2 −~ri|~r2 −~ri|

,

~FS1/2 =N

∑i=1

~Fi2 = −GN

∑i=1

mi m2

|~ri2|2~uri2 .

Ahora, supongamos que S1 no es un sistema discreto, sino un sistema conti-nuo. En este caso la fuerza gravitacional sobre m2 viene dada por:

~FS1/2 = −G m2

∫ dmr2 ~u2, (33)

donde r se refiere a la distancia desde la masa dm hasta la partícula m2 y ~u2 elvector unitario desde dm hasta m2.

Además, si la distribución de masa tiene una densidad ρ que depende de laposición de dm, se tiene que:

dm = ρ dV, (34)

donde dV es un diferencial de volumen. Con esto se puede escribir:

~F = −G m2

∫ρ~u2

r2 dV. (35)

25


2.1 Campo gravitatorio (~g)

El campo gravitatorio se define como:

~g =~F

m2, (36)

~g = −G∫

ρ ~u2

r2 dV, (37)

y en el caso de tener masas puntuales se tiene:

~g =G m1 ~ur

r2 . (38)

A esta cantidad se la suele llamar gravedad o aceleración gravitatoria, ya que tienedimensiones de aceleración.

[~g] =ms2 .

2.2 Energía potencial gravitacional y potencial gravitacional

Ahora, la fuerza gravitacional es una fuerza central, por lo tanto es una fuerzaconservativa.

∴ ~F = −∇V,

donde V es la energía potencial gravitacional. Ahora, vamos a encontrar una ener-gía potencial tal que V = V(r), con esto se tiene que:

∇V =dVdr

~ur.

Con esto, para un par de partículas puntuales se tiene:

−Gm1 m2

r2 ~ur = −dVdr

~ur,

dVdr

=G m1 m2

r2 ,

V(r) = −G m1 m2

r+ C C ∈ R.

En el caso gravitatorio se supone V = 0 cuando r → ∞, por tanto se tomaC = 0. Entonces:

V(r) = −Gm1 m2

r. (39)

Ahora, el potencial gravitatorio se define como energía potencial por unidad de

26


masa:

Φ = −Gm1

r=

Vm2

, (40)

además, se cumple que:

~g = −∇Φ. (41)

Si se tiene una distribución de masa y se quiere calcular el potencial en unpunto dado se suman las contribuciones de cada partícula.

Si esta distribución fuera discreta, por ejemplo, sería:

Φ =

(−∑

i,ji<j

G mi mj

ri

)1

m2.

Si la distribución es continua, entonces:

Φ = −∫ G

rdm, (42)

donde r es la distancia de dm al punto donde se quiere calcular Φ.

Ejercicio 1. Encontrar el potencial gravitatorio y el campo gravitatorio de uncuerpo esférico homogéneo hueco.

Solución. Como es un cascaron esférico homogéneo, entonces ρs (densidad super-ficial) es constante.

• Un punto fuera de la esfera:

El diagrama para esta situación es el siguiente:

27


P

Si se escoge un diferencial de área (dA), este tendrá asociado un diferencialde masa (dm) de la siguiente manera:

dm = ρsdA.

Ahora, escojamos un dm que esté a la misma distancia de P.

R

dθ

r d

θ

P

dA

28


Todos estos “anillos” van a tener una contribución similar al campo por estara la misma distancia y porque la esfera es homogénea.

Ahora, podemos encontrar una expresión para dA:

dA = 2πR sen(θ) Rdθ︸︷︷︸espesor

,

dA = 2πR2 sen(θ)dθ.

Ahora:

dm = ρs 2πR2 sen(θ)dθ︸︷︷︸dA

,

y como la esfera es homogénea se puede calcular la densidad como:

ρs =M

4πR2 ,

donde M es la masa total de la esfera. Entonces:

dm =12

M sen(θ)dθ.

Por otro lado se tiene:

d2 = (R sen(θ))2 + (r− R cos(θ))2,

d =√

R2 + r2 − 2Rr cos(θ).

Con estos resultados por fin se puede calcular el potencial de la siguientemanera:

Φ = −∫ G

ddm,

Φ = −G∫ π

0

12 M sen(θ)√

R2 + r2 − 2Rr cos(θ)dθ

= −G12

M(

1rR

) ∫ π

0

rR sen(θ)√R2 + r2 − 2Rr cos(θ)

dθ

= −GM

2rR

(√R2 + r2 − 2Rr cos(θ)

) ∣∣∣∣∣

π

0

= −GM2rR

(√(r + R)2 −

√(r− R)2

)

29


= −GM2rR

(r + R− (r− R)︸︷︷︸r>R

) = −GM2rR

(2R),

Φ = −GMr

.

Con esto se deduce que el potencial creado por esta distribución de masa esel mismo que el potencial creado por una partícula puntual asumiendo quetoda su masa esté en el centro.

Ahora, para calcular el campo gravitatorio se toma el gradiente

~g = −∇Φ = −dΦdr

~ur,

~g = −GMr2 ~ur.

Como se puede ver, se tiene una simetría esférica.

• Un punto dentro de la esfera:

El procedimiento es exactamente igual, pero esta vez r < R. Entonces:

Φ = −GM2rR

(√(r + R)2 −

√(r− R)2

)

= −GM2rR

(r + R− (R− r)︸︷︷︸r<R

)

= −GM2rR

(2r),

Φ = −GMR

,

y consecuentemente:

~g = 0.

Por tanto, no hay gravedad dentro de una esfera hueca. Con esto la teoría dela tierra hueca queda desmontada.

30


En resumen:

Φ =

−MGr si r > R,

−MGR si r ≤ R.

~g =

−MGr2 ~ur si r > R,

0 si r < R.

Ejercicio 2. Encontrar el potencial gravitatorio y el campo gravitatorio de uncuerpo esférico homogéneo macizo.

Pista. En este caso se toma diferenciales de volumen en forma de cascarones esfé-ricos y se utilizan los resultados del anterior ejercicio. Al final se llega a la siguienterespuesta:

Φ =

−MGr

si r > R,

−MGR3 (3R2 − r2) si r ≤ R.

~g =

−MGr2 ~ur si r > R,

−MGR3 r ~ur si r < R.

2.3 Líneas de fuerza o de campo

Son las lineas que, dado un punto, indica la dirección y sentido a la que unapartícula se aceleraría si se la pusiera en ese punto.

31


2.4 Superficie equipotenciales

Si en un sistema se tiene un potencial Φ, entonces las superficies equipotencialesvienen definidas por:

Φ(x, y, z) = cte. (43)

De esto se tiene que las superficies equipotenciales no se pueden cruzar, puessignificaría que mínimo en un punto el potencial tiene dos valores distintos.

Además se tiene que el campo gravitatorio, dado por −∇Φ, es perpendiculara estas superficies.

2.5 Secciones cónicas: Elipse

Para definir a las secciones cónicas se escoge un punto llamado foco y una rectallamada directriz.

Foco

P

Directriz

d

r

t

θ

Se define un número fijo ε ≥ 0 llamado excentricidad. Con esto, P pertenece auna sección cónica sí y solo sí:

r = εt.

Es decir, si r/t = cte. Es mucho más fácil describirlo en coordenadas polarescon origen en el foco. Con esto:

r = ε(d− r cos(θ)). (44)

Entonces, todos los puntos P = P(r, θ) que cumplan con esta condición sonparte de una sección cónica.

εdr

= 1 + ε cos(θ). (45)

Dependiendo del valor de ε se tienen diferentes lugares:

32


• ε > 0: Circunferencia

• 0 < ε < 1: Elipse

• ε = 1: Parábola

• ε > 1: Hipérbola

Ahora nos centraremos en la elipse, es decir, sea ε tal que 0 < ε < 1. Su estudioserá necesario más adelante.

r2 r2

r

θ

R

θb

a

d

Distancia a ladirectriz

Nos interesa describir la elipse como si el sistema de referencias estuviera enel foco.

Despejamos r de (45).

r =εd

1 + ε cos(θ), (46)

si r es el máximo entonces r = r2, si es el mínimo r = r1.

r(π) =εd

1− ε,

r(0) =εd

1 + ε,

33


r1 =εd

1 + ε,

r2 =εd

1− ε.

Usualmente no se mide d, sino el semieje mayor y el semieje menor, entonceslo que se quiere es desarrollar expresiones útiles sin depender de d.

r1 + r2 = 2a,

a =r1 + r2

2

=12

(εd

1 + ε+

εd1− ε

).

a =εd

1− ε2 . (47)

Además, b2 + (R cos(θ))2 = R2.

R cos(θ) = a− r1

=r1 + r2

2− r1

=r2 − r1

2

=12

(εd

1− ε− εd

1 + ε

)

=12

(εd + ε2d− εd + ε2d

1− ε2

)

=ε2d

1− ε2 ,

R cos(θ) = εa. (48)

Ahora, por definición de sección cónica se tiene:

R = ε(d− R cos(θ)) = ε(d + a− r1)

= ε

(d +

εd1− ε2 −

εd1 + ε

)

= εd[

1− ε2 + ε− ε(1− ε)

1− ε2

]

= εd(

11− ε2

)=

εd1− ε2 ,

34


R = a. (49)

Con estos resultados se llega a:

b = a√

1− ε2, (50)

entonces:

ε =

√1−

(ba

)2. (51)

Además, reemplazando algunos de los resultados en (46) se consigue:

r =a(1− ε2)

1 + ε cos(θ), (52)

o también

r =b√

1− ε2

1 + ε cos(θ), (53)

con lo cual nos deshicimos del parámetro d.

2.6 Problema de los dos cuerpos

El problema de los dos cuerpos se refiere al estudio de la dinámica entre doscuerpos que interactúan entre sí.

z

yx

~r1 ~r2

~F21

~F12

1

2

Y lo único que se va a asumir es que la interacción sea central y que cumpla latercera ley de Newton.

Se quiere encontrar~r1(t) y~r2(t). Para lograrlo, se estudiará el problema prime-ramente desde el sistema CM.

35


z

yx

~r1 ~r2

~r

1

2z′

y′x′

~rCM

Se denotarán con magnitudes primadas aquellas medidas desde CM. Además,se define~r = ~r2 −~r1. Como~r es la posición relativa de 2 entonces no importa elsistema de referencias escogido, es decir~r =~r′.

Por definición, se tiene el siguiente resultado:

~r′CM =m1~r′1 + m2~r′2

m1 + m2= 0,

m1~r′1 + m2~r′2 = 0,

con esto se tiene que:

m1~r′1 + m2~r′2 = 0,~r =~r′2 −~r′1.

⇔

m1(~r′2 −~r) + m2~r′2 = 0,m1~r′1 + m2(~r +~r′1) = 0.

⇔

~r′2 =m1

m1 + m2~r,

~r′1 = − m2

m1 + m2~r.

Ahora, las interacciones de las partículas vienen dadas por la segunda ley deNewton.

~F12 = m2~r2, ~F21 = m1~r1,

d~r2

dt=

~F12

m2.

d~r1

dt=

~F21

m1.

Restando las expresiones anteriores se tiene:

ddt(~r2 −~r1

)=

~F12

m2−

~F21

m1,

d~vdt

=~F12

m2+

~F12

m1,

36


donde ~v = ~r = ~r2 −~r1.

d~vdt

=m2 + m1

m1m2~F12,

~F12 = µd~vdt

. (54)

Donde µ es la masa reducida del sistema. Ahora, como la interacción es central,la fuerza se deriva de un potencial V = V(r). De la ecuación (54) se tiene que:

−dVdr

~ur = µd~vdt

,

donde ~ur es un vector unitario radial de un sistema de coordenadas centrado enla masa m2. Con esto:

−dVdr

~ur = µd~vdr·~v,

−dVdr

~ur =µ

2dv2

dr~ur.

Como en ambos lados de la igualdad se tiene el mismo unitario lo obviaremosen lo que resta de la derivación.

12

µdv2

dr+

dVdr

= 0,

ddr

(12

µv2 + V)= 0,

12

µv2 + V = cte. (55)

De acuerdo a (55) la cantidad de la izquierda de la ecuación se conserva, perono se sabe qué es. Ahora, analicemos la energía total desde el CM. Recordandoque V no depende del sistema de referencias se tiene:

E =12

m1v′21 +12

m2v′22 + V =12[m1 ~r′1 ·~r′1 + m2 ~r′2 ·~r′2

]+ V

=12

[m1

(− m2

m1 + m2

)2~r ·~r + m2

(m1

m1 + m2

)2~r ·~r

]+ V

=12

v2m2m1

[m2

(m1 + m2)2 +m1

(m1 + m2)2

]+ V

=12

µv2 + V.

Entonces, (55) dice que la energía total medida desde el CM se conserva.

37


Analicemos el momento angular desde el CM:

~LCM = m1~r′1 ×~v′1 + m2~r′2 ×~v′2

= m1

(− m2

m1 + m2

)~r×

(− m2

m1 + m2

)~v

+ m2

(m1

m1 + m2

)~r×

(m1

m1 + m2

)~v

= m1

(m2

m1 + m2

)2~r×~v + m2

(m1

m1 + m2

)2~r×~v

=~r×~v m1m2

(m2

(m1 + m2)2 +m1

(m1 + m2)2

)

= µ~r×~v.

Como no hay torques externos, pues se supone un sistema aislado, entonces~LCM se conserva, es decir~r y ~v están en el mismo plano siempre. Con esto, el pro-blema se puede estudiar de forma bidimensional, es decir, mediante únicamentedos coordenadas r, θ.

Tomemos el siguiente sistema centrado en m1.

y′′

x′′

~r

θ

Estudiemos el problema en coordenadas polares. El vector~r solo tiene compo-nentes en ~ur, con esto:

~r = r~ur =⇒ ~r = r ~ur + rθ ~uθ = ~v.

Con esto, calculemos~LCM.

~LCM = µ~r×~v = µ(~r ~ur)× (r ~ur + θr ~uθ)

= µ

[r2θ(~ur × ~uθ) + rr

:0(~ur × ~ur)

].

38


Con esto, el módulo de~LCM es:

|~LCM| = L = µr2θ. (56)

Ahora, calculemos la energía total del sistema con coordenadas polares. De

(56) se tiene que θ2 =L2

µ2r4 , entonces:

E =12

µv2 + V,

E =12

µ(r2θ2 + r2) + V,

E =12

µr2 +12

µr2θ2 + V,

E =12

µr2 +12

µr2 L2

µ2r4 + V,

E =12

µr2 +12

L2

µr2 + V,

12

µr2 = E− L2

2µr2 −V,

r =

√2µ

(E−V − L2

2µr2

). (57)

Se quiere encontrar la ecuación de la trayectoria, es decir θ(r). Para ello encon-

tremos dθ =θ

rdr.

De (56), θ = Lµr2 y de (57) se tiene r, con esto:

dθ =L/µr2

√2µ

(E−V − L2

2µr2

) dr,

∫ θ(r)

θ0

dθ =∫ r

r0

L/r2

µ

√2µ

(E−V − L2

2µr2

) dr,

θ(r)− θ0 =∫ r

r0

L/r2√

2µ(

E−V − L2

2µr2

) dr,

39


finalmente:

θ(r) = θ0 +

∫ r

r0

L/r2√

2µ(

E−V − L2

2µr2

) dr. (58)

La expresión que acabamos de conseguir:

θ(r) = θ0 +

∫ r

r0

L/r2√

2µ(

E−V − L2

2µr2

) dr.

Será muy importante para secciones posteriores ya que solo se asumióque la interacción sea central, no una interacción en específico.

Ahora, llamaremos potencial efectivo (Ve f f ) a la cantidad:

Ve f f = V +L2

2µr2 , (59)

con esto, la ecuación (57) tiene la forma:

r =

√2µ

(E−Ve f f

), (60)

como tenemos una raíz cuadrada entonces se consigue una condición para la ener-gía total que puede tener el sistema en análisis

E > Ve f f .

Tomemos el potencial gravitatorio, por ejemplo. Entonces:

Ve f f = −Gm1m2

r+

L2

2µr2 .

40


r

Ener

gıa

L2/2µr2

VVe f f

y ahora, tomemos diferentes valores de energía total.

r1r2r3 r4 r5

E1

E2

E3

E4

r

Ener

gıa

Ve f f

Analicemos los diferentes casos:

• E1: En este caso la energía total es igual al mínimo de la potencial, entonces,la partícula solo puede tomar un valor de energía potencial en un r fijo.

• E2: Ahora, la energía total tiene dos puntos de corte con Ve f f , entonces, lapartícula puede tomar todos los valores que estén por debajo. Pero sigueconfinada entre dos valores de r.

• E3 = 0: Con este valor de energía la partícula ya no está confinada y tieneuna cota inferior de r. Puede venir del infinito, llegar a un valor mínimo yluego volver al infinito.

41


• E4 : Es lo mismo que el caso anterior con respecto a las cotas.

Ahora, resolvamos la ecuación de la trayectoria en el caso del potencial gravi-tatorio.

V = −Gm1m2

r= − k

r,

entonces:

θ − θ0 =∫ r

r0

L

r√

2µ(Er2 + kr− L2

2µ )dr =

L√2µE

∫ r

r0

dr

r√

r2 + krE − L2

2µE

=

L√

2µE1√

L2/2µEarcsin

(kr/E− L2/µE

r√

k2/E2 + 2L2/µE

) ∣∣∣∣∣

r

r0

= arcsin

(kr/E− L2/µE

r√

k2/E2 + 2L2/µE

)− arcsin

(kr0/E− L2/µE

r0√

k2/E2 + 2L2/µE

)

= arcsin

kE

(r− L2

µk

)

kE r√

1 + 2L2Eµk2

= arcsin

kE

(r0 − L2

µk

)

kE r0

√1 + 2L2E

µk2

= arcsin

1− L2

µkr√1 + 2L2E

µk2

− arcsin

1− L2

µkr0√1 + 2L2E

µk2

.

Ponemos como condición inicial que θ0 = 0 cuando r0 = rmin.

rmin

rθ

Ahora, se debe encontrar el valor de rmin, para ello veamos el gráfico de ener-gía.

42


rmin

E

r

Ener

gıa

Ve f f

Para encontrar rmin se haceE = Ve f f .

E = Ve f f ,

E = − krmin/max

+L2

2µr2min/max

,

r2min/maxE = −krmin/max +

L2

2µ.

Con esto se puede encontrar el valor máximo y mínimo de r, el máximo puedeno existir.

r2 +kE

r− L2

2µE= 0,

r = − k2E± 1

2

√k2

E2 +2L2

µE

=k

2E

(−1±

√1 +

2L2Eµk2

).

Ahora, el valor mínimo es:

rmin =k

2E

(√1 +

2L2Eµk2 − 1

),

con esto se tiene:

43


θ −0

θ0 = arcsin

1− L2

µkr√1 + 2L2E

µk2

− arcsin

µk2

2E

(√1 + 2L2E

µk2 − 1)− L2

µk2

2E

(1 + 2L2E

µk −√

1 + 2L2Eµk2

)

= arcsin

1− L2

µkr√1 + 2L2E

µk2

− arcsin

− µk2

2E

(1−

√1 + 2L2E

µk2

)− L2

µk2

2E

(1−

√1 + 2L2E

µk2

)+ L2

= arcsin

1− L2

µkr√1 + 2L2E

µk2

− arcsin(−1)

= arcsin

1− L2

µkr√1 + 2L2E

µk2

+

π

2,

reordenando términos:

θ − pi2

= arcsin

1− L2

µkr√1 + 2L2E

µk2

,

sen(

θ − π

2

)=

1− L2

µkr√1 + 2L2E

µk2

,

− cos(θ) =1− L2

µkr√1 + 2L2E

µk2

,

−√

1 +2L2Eµk2 cos(θ) = 1− L2

µkr,

L2

µkr= 1 +

√1 +

2L2Eµk2 cos(θ). (61)

Ahora, recordemos la forma de las secciones cónicas:

εdr

= 1 + ε cos(θ).

Si definimos:

ε =

√1 +

2L2Eµk2 , (62)

44


entonces la ecuación (61) define una sección cónica. Además:

εd =L2

µk. (63)

2.6.1. Análisis del valor de la excentricidad

En función de lo que valgan L y E entonces se tienen diferentes valores de ε.En primer lugar, la condición que siempre se debe cumplir es:

1 +2L2Eµk2 ≥ 0,

con lo cual, el valor de energía mínima es:

Emin = −µk2

2L2 , (64)

el cual es el valor mínimo del potencial efectivo.

• E = Emin: En este caso ε = 0, entonces, la trayectoria será una circunferencia.

• Emin < E < 0: Aquí 0 < ε < 1 entonces la trayectoria es una elipse.

• E = 0: Ahora, ε = 1, entonces se tiene una parábola.

• E > 0: Finalmente, se tiene ε > 1, entonces se tiene que la trayectoria es unahipérbola.

2.7 Leyes de Kepler

Kepler dio sus 3 leyes de forma empírica.

1. Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de susfocos

2. El vector posición de cualquier planeta respecto del Sol, barre áreasiguales de la elipse en tiempos iguales.

3. El cuadrado del periodo τ de revolución es proporcional al cubodel semieje mayor a de la elipse.

Para analizar el movimiento de las planetas se usarán resultados anteriores, yaque, como se vio, el potencial sería el mismo que para partículas masivas.

45


La primera ley se puede probar con los resultados obtenidos anteriormente ylos datos conocidos, ya que 0 < ε < 1.

Además, se pueden encontrar la distancia mínima y máxima de acercamientoentre el planeta en estudio y el sol.

rmin =L2

µk +√

µ2k2 + 2L2Eµ, (65)

rmax =L2

µk−√

µ2k2 + 2L2Eµ. (66)

Con esto se puede calcular el perihelio y el afelio del sistema Sol-Tierra, porejemplo.

La interpretación gráfica de la segunda ley de Kepler es:

A1 = A2~r

A2A1

∆t∆t

Si una partícula empieza a moverse en un punto verde entonces el área quebarre ~r hasta llegar al punto rojo correspondiente es la misma si se demora elmismo tiempo ∆t.

Matemáticamente, la segunda ley dice que:

dAdt

= cte,

de los cálculos previamente hechos se tiene que:

L = µr2θ = cte.

Ahora tomemos un segmento de elipse.

46


r

r

dθ

d`

El área dA de este segmento es:

dA =12

r d` =12

r2dθ,

si calculo dAdt se tiene:

dAdt

=12

r2 dθ

dt=

12

r2θ

=L

2µ,

con lo cual se demuestra la segunda ley de Kepler, pues L = cte siempre que lainteracción sea central, en particular, la interacción gravitacional.

dAdt

=L

2µ= cte. (67)

Para la tercera ley hay que mostrar que:

τ2 ∝ a3, (68)

además, según sus observaciones, la constante de proporcionalidad era la mismapara todos los planetas.

Partimos de la ecuación (67).

dAdt

=L

2µ,

∫ A

0dA =

L2µ

∫ τ

0dt,

A =L

2µτ,

τ =2µ

Lπab.

47


De resultados anteriores:

b = a√

1− ε2, a =εd

1− ε2 ,

∴ b =√

aεd.

Además, como εd = L2

µk , entonces b = L√

aµk .

τ =2µ

LπaL

√a

µk,

τ2 = 4µ2π2a2 aµk

,

τ2 =4µπ2

ka3,

con esto se prueba que:τ2 ∝ a3.

Ahora, en el caso del sistema solar se tiene que la masa del sol (m1) es muchomayor que la de cualquier planeta (m2), es decir, m1 m2.

µ =m1m2

m1 + m2≈ m1m2

m1= m2.

Con esto se tiene que:

τ2 ≈ 4π2m2

Gm1m2a3,

τ2 ≈ 4π2

Gm1a3.

Entonces, dentro del error experimental, se tendría la misma constante de pro-porcionalidad para todos los planetas.

3. CINEMÁTICA DE COLISIONES Y TEORÍA DE DISPERSIÓN

3.1 Cinemática de colisiones

Se va a estudiar la colisión entre 2 partículas.

48


Partıcula 2

Partıcula 1

Sitio deinteraccion

Se va a tomar en cuenta como que hay un sitio en donde las dos partículasinteractúan, fuera de esta no interactúan.

La interacción no solo se produce si chocan las 2 partículas, pueden no chocar-se y aún así interactuar.

En general, cuando se produce la interacción, las masas con las que entran noson las mismas con las que salen.

m2

m2

m1

m1

En algunos casos incluso pueden aparecer nuevas partículas luego de la coli-sión.

Para estudiar las colisiones nos van a servir dos principios: Conservación delmomento lineal y conservación de la energía.

Se puede usar estos dos principios pues se asume que el sistema de dos partí-culas es aislado.

• Conservación del momento lineal

49


~p1 + ~p2 = ~p1 +~p2.

Las magnitudes con barra se usarán para representar las cantidades despuésde la colisión.

~Ps =~Ps,

m1~v1 + m2~v2 = m1~v1 + m2~v2.

• Conservación de la energía

Se define:Q = Ts − Ts = Vs −Vs. (69)

La segunda igualdad viene del hecho que:

Ts + Vs = Ts + Vs,

Ts − Ts = Vs −Vs.

Se puede clasificar a las colisiones tomando en cuenta la magnitud Q.

• Q = 0 : Colisión o choque elástico. La energía cinética antes y después delchoque es la misma.

• Q > 0 : En este caso se tiene Ts > Ts y Vs > Vs, este comportamiento vienede la conservación de energía, si la energía cinética aumenta, la potencialdebe bajar para conservar la energía.

Para un sistema de dos partículas se tiene:

12

m1v21 +

12

m2v22 =

12

m1v21 +

12

m2v22 + Q. (70)

Esto es porque en teoría de colisiones nos interesa cómo cambia la energíacinética.

Otra forma de estudiar este cambio es estudiarlo mediante el momento lineal.La energía cinética se puede escribir como:

12

mv2 =12(mv)2

m=

p2

2m, (71)

entonces, la ecuación (70) se puede escribir como:

p21

2m1+

p22

2m2=

p21

2m1+

p22

2m2+ Q. (72)

50


Muchas veces es mejor analizar las colisiones en el sistema centro de masas.En este sistema, las partículas se acercan hasta colisionar en el CM.

Recordemos qué la cantidad de movimiento lineal de un sistema aislado calcu-lado desde el CM es cero

~P′s = 0.

Esto se cumple tanto antes y después de la colisión.

~p′1 + ~p′2 = 0,~p′1 +~p

′2 = 0,

~p′1 = −~p′2, ~p′1 = −~p′2. (73)

Partiendo de la ecuación (72) se tiene:

p′212m1

+p′21

2m2=

p′212m1

+p′21

2m2+ Q,

p′212

[1

m1+

1m2

]=

p′212

[1

m1+

1m2

]+ Q,

p′212µ

=p′212µ

+ Q. (74)

Donde µ es la masa reducida del sistema. Hay que tener en cuenta que la ecua-ción precedente es solo sirve con respecto al CM.

En este tema nos va a interesar un caso en particular. En este caso se asume quela partícula 2 está inicialmente en reposo en el sistema de laboratorio y la partícula1 colisiona con una velocidad~v1. Además, el choque es elástico, Q = 0 y las masasno cambian. Luego de la colisión, las partículas 1 y 2 salen con un ángulo ψ y ϕ

respectivamente.Desde el sistema de laboratorio la situación es la siguiente.

• Antes:

1 ~v1 2~vCM

• Después:

51


~vCM

~v1

ψ

~v2

ϕ

Y desde el sistema CM el esquema es:

• Antes:

CM~v′1 ~v′2

• Después:

~v′2

~v′1

En el sistema CM las partículas deben salir en direcciones opuestas para con-servar el momento total igual a 0.

Concentrémonos en encontrar todas las cantidades importantes en el sistemade laboratorio, pues son las que se pueden medir.

~v1

ψ

~v2

ϕ

θ

φ = π − θ

Encontremos relaciones entre los ángulos.

52


Primero, se tienen las siguientes relaciones entre las velocidades:

~vCM =m1~v1 + m2

0~v2

m1 + m2=

m1~v1

m1 + m2= cte,

~v′1 = ~v1 −~vCM, ~v2 =0

~v2 −~vCM,

~v′1 =m2~v1

m1 + m2. ~v′2 = − m1~v1

m1 + m2.

Como Q = 0 y las masas no cambian entonces, de la ecuación (74) se tiene:

p′212µ

=p′212µ

+ 0,

p′21 = p′21 ,

(m1v′1)2 = (m1v′1)

2,

v′1 = v′1.

Como la ecuación (74) también se puede expresar en términos de la partícula2 se tiene el mismo resultado con 2

v′1 = v′1,v′2 = v′2,

con estos resultado se tiene:

v′1 =m2v1

m1 + m2,

v′2 =m1v1

m1 + m2.

(75)

Ahora, tomemos en consideración las relaciones con los ángulos:

v1

ψ

v2

ϕ

v′1

v′2

θ

φ = π − θ×

53


v1 sen(ψ) = v′1 sen(θ), (76)

v1 cos(ψ) = v′1 cos(θ) + vCM, (77)

v2 sen(ϕ) = v′2 sen(φ) = v′2 sen(θ), (78)

v2 cos(ϕ) = v′2 cos(φ) + vCM = −v′2 cos(θ) + vCM. (79)

Dividiendo (76) para (77):

tan(ψ) =v′1 sen(θ)

v′1 cos(θ) + vCM=

sen(θ)cos(θ) + vCM

v′1

.

Con las relaciones anteriores se consigue:

vCM

v′1=

m1v1m1+m2

m2v1m1+m2

=m1

m2,

entonces:

tan(ψ) =sen(θ)

cos(θ) + m1m2

. (80)

Ahora, dividiendo (78) para (79):

tan(ϕ) =v′2 sen(θ)

vCM − v′2 cos(θ)=

sen(θ)vCMv′2− cos(θ)

,

además:vCM

v′2=

m1v1m1+m2

m1v1m1+m2

= 1.

Con esto:

tan(ϕ) =sen(θ)

1− cos(θ)=

2 cos(

θ2

)sen

(θ2

)

1− cos2(

θ2

)+ sen2

(θ2

)

=cos

(θ2

)

sen(

θ2

) =sen

(π2 − θ

2

)

cos(

π2 − θ

2

)

= tan(

π

2− θ

2

),

54


es decir,

ϕ =π

2− θ

2. (81)

Se puede mostrar que si m1 = m2 entonces las partículas salen formandoun ángulo recto.

Ahora, vamos a encontrar expresiones para la energía cinética.

T =12

m2v21 = T1,

T′ =12

m1v′21 +12

m1v′22 ,

reemplazando términos:

T′ =12

m1m2

2v21

(m1 + m2)2 +12

m2m2

1v21

(m1 + m2)2

=12

m1m2

(m1 + m2)2 v21(m2 + m1) =

12

m1m2

m1 + m2v2

1

=m2

m1 + m2T,

en resumen:T′ =

m2

m1 + m2T, (82)

por lo cual se tiene que T′ < T siempre.Ahora, veamos las ecuaciones entre las energías cinéticas antes y después.

T1

T=

v21

v21

,

nuevamente, reemplazando términos:

v21

v21=

1v2

1

[v′21 + v2

CM + 2v′21 vCM cos(θ)]

=1v2

1

[v′21 +

m21v2

1(m1 + m2)2 + 2v′1

m1v1

m1 + m1cos(θ)

]

=v′21v2

1+

m21

(m1 + m2)2 + 2v′1v1

m1

m1 + m2cos(θ).

Como se tiene que:

v′1 =m2

m1 + m2v1,

55


entonces:

T1

T=

m22

(m1 + m2)2 +m2

1(m1 + m2)2 + 2

m1m2

(m1 + m2)2 cos(θ)

=1

(m1 + m2)2

[m2

1 + m22 + 2m1m2 cos(θ)

]

=(m1 + m2)

2 − 2m1m2 + 2m1m2 cos θ)

(m1 + m2)2 ,

T1

T= 1− 2m1m2

(m1 + m2)2 (1− cos(θ)). (83)

Ahora, como el choque es elástico se tiene:

T − T = Q = 0,

T1 + T2 = T,

T1

T+

T2

T= 1,

T2

T=

2m1m2

(m1 + m2)2 (1− cos(θ)). (84)

donde θ es medido con respecto al sistema CM, pero lo que se quiere es tenerlomedido con respecto al laboratorio. Entonces se quiere una relación directa entreθ y ψ o ϕ.

Se parte de la ecuación (80) y sea c = tan(ψ) y a = m1m2

.

c =sen(θ)

cos(θ) + a,

c2 =sen2(θ)

(cos(θ) + a)2 ,

c2 =1− cos2(θ)

(cos(θ) + a)2 ,

(cos(θ) + a)2c2 = 1− cos2(θ),

a2c2 + 2ac2 cos(θ) + cos2(θ)c2 = 1− cos(θ),

cos2(θ)(c2 + 1) + 2ac2 cos(θ) + a2c2 − 1 = 0.

Resolviendo para cos(θ) se tiene:

cos(θ) =−2ac2 ±

√4a2c4 − 4(c2 + 1)(a2c2 − 1)

2(c2 + 1)

56


= − ac2

c2 + 1±√

4a2c4 − 4(a2c4 − c2 + a2c2 − 1)2(c2 + 1)

= − ac2

c2 + 1± 1

2(c2 + 1)

√4a2c4 − 4a2c4 + 4c2 − 4a2c2 + 4

= − ac2

c2 + 1± 1

2(c2 + 1)

√4(c2 − a2c2 + 1)

= − ac2

c2 + 1± 1

c2 + 1

√c2 − a2c2 + 1

= − ac2

c2 + 1± ac

c2 + 1

√1a2 − 1 +

1a2c2

=ac

1 + c2

[−c±

√1a2 − 1 +

1a2c2

]

=m1

m2

tan(ψ)1 + tan2(ψ)

[− tan(ψ)±

√m2

2m2

1+ m

m22

m21 tan2(ψ)

− 1

].

Se debe tener en cuenta la siguiente identidad trigonométrica:

1 + tan2(ψ) =1

cos2(ψ).

Con esto:

cos(θ) = −m1

m2cos2(ψ) tan2(ψ)± m1

m2cos2(ψ) tan(ψ)

√(m2

m1

)2+

(m2

m1

)2 ( 1tan2(ψ)

)− 1

= −m1

m2sen2(ψ)± m1

m2cos(ψ) sen(ψ)

√(tan2(ψ) + 1

tan2(ψ)

)(m2

m1

)2− 1

= −m1

m2sen2(ψ)± m1

m2cos(ψ) sen(ψ)

√1

sen2(ψ)

(m2

m1

)2− 1

= −m1

m2sen2(ψ)± m1

m2cos(ψ)

√(m2

m1

)2− sen2(ψ),

cos(θ) = −m1

m2sen2(ψ)± m1

m2cos(ψ)

√(m2

m1

)2− sen2(ψ). (85)

Reemplazando en la ecuación (83) se tiene:

T1

T=

m21

(m1 + m2)2

[cos(ψ) +

√(m2

m1− sen2(ψ)

)]2

. (86)

57


Además, recordemos que ϕ = π2 − θ

2 , entonces:

cos(θ) = − cos(2ϕ),

cos(θ) = − cos2(ϕ) + sen2(ϕ),

reemplazando en (84) se tiene:

TT

=4m1m2 cos2(ϕ)

(m1 + m2)2 . (87)

Finalmente, relacionemos ψ y ϕ. Tomando (81) y (80) se tiene:

tan(ψ) =sen(π − 2ϕ)

cos(π − 2ϕ) + m1m2

=sen(2ϕ)

− cos(2ϕ) + m1m2

,

tan(ψ) =sen(2ϕ)

m1m2− cos(2ϕ)

. (88)

Ahora, calculemos otra relación entre ψ y ϕ tomando en cuenta las energíascinéticas.

Por conservación de momento se tiene:

m1v1y = m2v2y,

m1v1 sen(ψ) = m2v2 sen(ϕ),

sen(ϕ) =m1v1

m2v2sen(ψ) =

√m2

1v21√

m22v2

2

sen(ψ) =

√m1T1

m2T2sen(ψ),

sen(ϕ) =

√m1T1

m2T2sen(ψ). (89)

3.2 Teoría de dispersión

Para poder estudiar problemas de dispersión se van a hacer distintas suposi-ciones.

En primer lugar, cuando se estudia un proceso de dispersión no se ve que dospartículas chocan, sino:

58


b

La interaccion de-pende de esta dis-tancia.

La interaccion seproduce dentro deesta zona.

En este proceso se tiene una partícula proyectil en movimiento y una partículablanco que se supone en reposo. Entonces, se tiene la primera suposición.

Se supone que hay un volumen alrededor del blanco tal que si entra,la partícula siente la fuerza de interacción. Si no entra no la siente.

Experimentalmente no se puede controlar la distancia b. Lo que se hace es lan-zar partículas desde un “cañón” con una apertura A, entonces lo que se controlaes el área.

θ

A

Con esto el problema se vuelve un problema estadístico, se quiere ver cuántaspartículas se dispersan con un ángulo θ o θ′.

Se supone que todas las partículas lanzadas son iguales y sus veloci-dades iniciales también lo son.

Con esta suposición, las trayectorias de las partículas son paralelas entre sí alinicio, es decir, cuando salen del área A.

Se necesita que la distribución de partículas que inciden sea homo-génea dentro del área A.

59


El número de partículas por unidad de tiempo que salen de A debeser suficiente para que los cálculos estadísticos sean válidos, perosuficientemente pequeño para que no interaccionen entre sí, es decir,para que la desviación se deba solo al blanco.

dd′

A

Si d′ > d no ocurre interacción y si d′ < d sí ocurre.Las partículas que son lanzadas observan un área de interacción πd2. A esta

área que observan las partículas se la denota como σ y se la denomina seccióneficaz total de dispersión y sus unidades típicas experimentales son los barns.

1 barn = 10−28 m2.

Tomando en cuenta esta sección de dispersión, la probabilidad de que la par-tícula se disperse debido al blanco es de:

P =σ

A.

Lo que nos va a interesar conocer es σ. Supongamos un blanco y una partí-cula del haz. La partícula está inicialmente a una distancia s, al cual se le llamaparámetro de dispersión. Cuando entra al volumen de interacción se empieza adispersar.

ss + dsθ θ + dθ

ds

60


Nos interesa estudiar las partículas que pasan por el anillo formado por latrayectoria de la partícula original y otra partícula que pasa a una distancia s + dsque, al estar más lejos, se va a dispersar un ángulo θ + dθ con dθ < 0. Todas laspartículas que pasen a través de este anillo van a salir con un ángulo entre θ + dθ

y θ.Analizando el anillo se puede encontrar el diferencial de área por donde salen.

sdsdϕ

dϕ

Ahora, analicemos el anillo que se forma por las trayectorias de salida.

r

Viendo de frente al anillo que se forma se tiene:

61


r2sin(θ)dϕdθ

dϕ

rsin(θ)

En estos dos elementos de área el dϕ es el mismo si la dispersión se realiza me-diante una interacción central, ya que, como se vio anteriormente, el movimientose da en un plano.

Como experimentalmente no se tiene control sobre el número de partículas, sedefine el “el número de partículas por unidad de superficie y tiempo” que van aincidir en el blanco (I). A esta cantidad se le llama intensidad del haz de partícu-las y es constante. Entonces, el número de partículas que inciden sobre la secci’neficaz a través del diferencial de superficie por unidad de tiempo es Isdsdϕ.

Con esto podemos calcular el número de partículas que salen a través de undiferencial de ángulo sólido dΩ. Se define N(θ, ϕ)dΩ como el número de partícu-las que salen a través del ángulo sólido, es decir, N(θ, ϕ) = N(Ω) es el número departículas por ángulo sólido.

Ahora, definimos la sección eficaz diferencial de dispersión. Esta es el área através de la cual las partículas van a salir dispersadas dΩ.

dσ = sdsdϕ. (90)

Entonces, el número de partículas por unidad de tiempo calculado antes es:

Isdsdϕ = Idσ,

y por la conservación del flujo de partículas se tiene que:

Idσ = N(Ω)dΩ,

62


dσ

dΩ=

N(Ω)

I. (91)

La ecuación (91) nos explica tanto procesos clásicos como cuánticos. Lo únicoque explica es una continuidad. A nivel clásico, el dσ es el “pedazo” de anilloque se ha visto. A nivel cuántico es simplemente una cantidad que se obtiene dedespejar (91).

Para obtener la sección eficaz total se integra respecto al diferencial de ángulosólido.

σ =∫ dσ

dΩdΩ. (92)

En donde dΩ = dSr2 , donde dS es el diferencial de superficie.

A nivel clásico se tiene:

Isdsdϕ︸︷︷︸lo que entra

= N(Ω) sen(θ)dθdϕ︸︷︷︸lo que sale

,

suponiendo la interacción central podemos eliminar los dϕ. Con lo cual:

N(Ω)

I︸︷︷︸dσ/dΩ

=sds

sen(θ)dθ,

entonces:dσ

dΩ=

ssen(θ)

∣∣∣ dsdθ

∣∣∣. (93)

La cantidad ds/dθ depende del modelo usado, por eso la relación más generales (91).

3.2.1. Ejemplo: Dispersión de esferas duras

Se consideran dos esferas, una de radio a que será la dispersada y otra de radiob que es el blanco.

63


a

b

Si la distancia entre los centros es mayor que a + b no hay dispersión. En estecaso sí hay dispersión. Haciendo un esquema del proceso de dispersión se tendrá.

α

α

αθ

ϕ

s

Nos interesa hallar σ. Primero s = (a + b) sen(α) y θ = π − 2α.

σ(θ) =dσ

dΩ=

ssen(θ)

∣∣∣ dsdθ

∣∣∣.

Ahora, como ds/dθ < 0, pues son inversamente proporcionales, se tiene:

σ(θ) = − ssen(θ)

dsdθ

.

64


Con las relaciones anteriores se tiene la siguiente relación entre s y θ.

s = (a + b) sen(− θ

2+

π

2

)

= (a + b) cos(

θ

2

)

dsdθ

= − a + b2

, sen(

θ

2

).

Entonces, finalmente:

σ(θ) =s(a + b)2 sen(θ)

sen(

θ

2

)=

s(a + b)

2 2 sen(

θ2

)cos

(θ2

) sen(

θ

2

)

=s4

a + b

cos(

θ2

) =(a + b) cos

(θ2

)

4a + b

cos(

θ2

)

=(a + b)2

4,

con lo cual:

σ =∫ dσ

dΩdΩ =

∫ dσ

dΩsen(θ)dθdϕ = 2π

∫ π

0

(a + b)2

4sen(θ)dθ,

σ = −π(a + b)2

2cos(θ)

∣∣∣π

0= −π(a + b)2

2(−1− 1),

σ = π(a + b)2. (94)

3.3 Dispersión por potenciales centrales

θ

2

1

s ~r

ϕ

~v

Supongamos que el potencial es central. Puedo describir todo el movimientoen un plano, en particular, se lo describirá con coordenadas polares.

Cuando 1 está muy lejos ϕ → 0, r → ∞. Todo el problema se puede estudiar

65


como el problema los dos cuerpos.

ϕ(r)− ϕ(0) =

∫ r

r0

L/r2√

2µ(

E−V − L2

2µr2

) dr.

Debemos encontrar s = f (θ). Empecemos encontrando L, así:

L = µvr sen(ϕ),

y como en el infinito V se considera cero, entonces:

E =12

µv2∞ =⇒ v∞ =

√2Eµ

.

con lo cual, como L se conserva, se puede calcular en el infinito.

L = µv∞ r sen(ϕ)︸︷︷︸s

= µs

√2Eµ

,

ϕ− ϕ0 =

∫ r

r0

s√

2µE

r2√

2µ (E−V − L2/2µr2)dr =

∫ r

r0

s/r2√

1− VE −

s22µE2µr2E

dr

=

∫ r

r0

s/r2√

1− VE − s2

r2

dr =

∫ r

r0

s/r√r2 − Vr2

E − s2dr.

rminϕ0 θ = π − 2ϕ0

ϕ0 ϕ0

ϕ0 es el mismo para los dos ángulos por la simetría de la trayectoria con res-

66


pecto a rmin. Calculando ϕ como una integral indefinida se tiene:

ϕ =

∫s/r√

r2 − Vr2

E − s2dr + C, (95)

con C una constante.

3.3.1. Caso del potencial de Coulomb (Dispersión de Rutherford)

En este caso V = k/r, si k > 0 la interacción es de atracción y si k < 0 es derepulsión. Sustituyendo en (95) se tiene:

ϕ =

∫s/r√

r2 − krE − s2

dr + C = s1√s2

arcsin

− kr

E − 2s2

r

√(kE

)2+ 4s2

+ C

= arcsin

− krE − 2s2

2r

√(k

2E

)2+ s2

+ C = arcsin

− k

2E − s2

r√(k

2E

)2+ s2

+ C

= arcsin

− k

2Es − sr√(

k2Es

)2+ 1

+ C,

y sea a = k2E , entonces:

ϕ = arcsin

− a

s − sr√

1 +( a

s)2

+ C. (96)

Ahora, queremos ϕ(rmin) = 0, entonces, encontremos rmin. Para este escenariose cumple que:

E =kr+

L2

2µr2 =⇒ E =kr+

s2Er2 ,

r2 − kE

r− s2 = 0,

rmin,max = a±√

a2 + s2.

67


rmin siempre existe y como E > 0, se escoge el signo +. Entonces:

ϕ(rmin) = arcsin

− a

s − sa+√

a2+s2√1 + a2

s2

+ C = arcsin

−

√1 + a2

s2√1 + a2

s2

+ C

= arcsin(−1) + C = −π

2+ C = 0,

∴ C =π

2.

Con esto:

ϕ− π

2= arcsin

( − as − s

r√1 + a2/s2

),

sen(

ϕ− π

2

)=

− as − s

r√1 + a2/s2

,

− cos(ϕ) =− a

s − sr√

1 + a2/s2,

cos(ϕ) =as +

sr√

1 + a2/s2.

ϕϕ

ϕ ϕ θ

Pusimos el origende ϕ aquı con lacondicion de ϕ0 = 0

θ = π − 2ϕ

Si r → ∞ ϕ→ ϕ, entonces:

cos(ϕ) =a/s√

1 + a2/s2,

cos2(ϕ) =a2/s2

1 + a2/s2 ,

cos2(ϕ) +a2

s2 cos2(ϕ) =a2

s2 ,

68


cos2(ϕ) =a2

s2 sen2(ϕ),

s2

a2 = tan2(ϕ).

Como ϕ = π−θ2 , entonces:

s = a cot(

θ

2

).

Ahora, encontremos ds/dθ.

dsdθ

= − a2

1

sen2(

θ2

) ,

entonces:

σ(θ) =dσ

dΩ=

ssen(θ)

a2

1

sen2(

θ2

)

=a

2 sen(θ)a cot(θ/2)sen2(θ/2)

=a2

2 sen(θ)cos(θ/2)

sen2(θ/2),

σ(θ) =a2

41

sen2(

θ2

) .

3.4 Sección eficaz en el sistema CM y en el sistema laboratorio

Recordemos que (95) viene representada desde el CM, pero lo que nos interesaes el ángulo en el sistema de laboratorio. Se analizará cómo pasar de un sistemade referencia a otro dependiendo desde dónde se analiza una la interacción engeneral.

De cinemática de colisiones de tiene:

v1

ψ2v′1

β

θ×vCM

Queremos calcular σ(ψ).

69


CMlabθ

ψ

Debe cumplirse que:σ(θ)dΩ = σ(ψ)dΩlab.

Que nos dice que el mismo número de partículas tiene que pasar por un dife-rencial de área sin importar si se ve desde el centro de masas o desde el laborato-rio.

σ(θ) sen(θ)dθdϕ = σ(ψ) sen(ψ)dψdϕ,

σ(θ) sen(θ)dθ = σ(ψ) sen(ψ)dψ,

σ(ψ) = σ(θ)sen(θ)sen(ψ)

dθ

dψ. (97)

Nos bastaría encontrar una relación entre θ y ψ. Ahora, del triángulo de velo-cidades:

β = θ − ψ.

Además, por ley de senos:

vCMsen(θ − ψ)

=v′1

sen(ψ),

sen(θ − ψ)

sen(ψ)=

vCM

v′1.

Si v2 = 0 entonces vCM/v′1 = m1/m2.

sen(θ − ψ)

sen(ψ)=

m1

m2. (98)

Definimos una función χ(θ, ψ) tal que:

χ(θ, ψ) =sen(θ − ψ)

sen(ψ)=

m1

m2,

70


y dχ = 0. Calculando el diferencial de χ se tiene:

dχ(θ, ψ) =∂χ

∂θdθ +

∂χ

∂ψdψ = 0,

de lo cual se puede encontrar las siguientes relaciones para obtener lo que se de-sea:

dθ

dψ= −

∂χ∂ψ

∂χ∂θ

,

∂χ

∂ψ=− cos(θ − ψ) sen(ψ)− sen(θ − ψ) cos(ψ)

sen2(ψ)= −

[cos(θ − ψ)

sen(ψ)+

sen(θ − ψ)

sen(ψ)tan(ψ)

],

∂χ

∂θ=

cos(θ − ψ)

sen(ψ),

finalmente:

dθ

dψ=

cos(θ − ψ) sen(ψ) + sen(θ − ψ) cos(ψ)sen(ψ) cos(θ − ψ)

=[cos(θ) cos(ψ) + sen(θ) sen(ψ)] sen(ψ) + [sen(θ) cos(ψ)− cos(θ) sen(ψ)] cos(ψ)

sen(ψ) cos(θ − ψ)

=sen(θ) sen2(ψ) + sen(θ) cos2(ψ)

sen(ψ) cos(θ − ψ),

dθ

dψ=

sen(θ)sen(ψ) cos(θ − ψ)

.

Reemplazando lo obtenido en la ecuación que relaciona las secciones eficacesse tiene el siguiente resultado:

σ(ψ) = σ(θ)sen2(θ)

sen2(ψ)

1cos(θ − ψ)

.

Queremos reescribir en función solo de ψ, para lo cual se usará (98). En primerlugar se tiene:

cos(θ − ψ) =√

1− sen2(θ − ψ) =

√1−

(m1

m2

)2sen2(ψ),

además:

sen(θ − ψ)

sen(ψ)cos(ψ) =

m1

m2cos(ψ),

sen(θ − ψ)

sen(ψ)cos(ψ) + cos(θ − ψ) =

m1

m2cos(ψ) + cos(θ − ψ),

71


sen(θ − ψ) cos(ψ) + cos(θ − ψ) sen(ψ)sen(ψ)

=m1


sen(θ)sen(ψ)

=m1


sen(θ)sen(ψ)

=m1

m2cos(ψ) +

√1−

(m1

m2

)2sen2(ψ),

y reemplazando en (97):

σ(ψ) = σ(θ)

[m1m2

cos(ψ) +

√1−

(m1m2

)2sen2(ψ)

]2

√1−

(m1m2

)2sen2(ψ)

. (99)

• Caso m1 m2:

Se da usualmente cuando se tienen muchos blancos, es decir, una plancha.

θ ≈ ψ =⇒ σ(θ) = σ(ψ).

4. SISTEMAS DE REFERENCIA NO INERCIALES

4.1 Física en sistemas de referencia no inerciales

Definición 1: –Sistema de referencia inercial–Un sistema de referencia inercial S es un sistema de referencia en el cual secumple la primera ley de Newton también conocida como la ley de la iner-cia (1.1).

Definición 2: –Sistema de referencia no inercial–Si un segundo sistema de referencia S′ está acelerado o rotando con respectoa S entonces se dice que S′ es un sistema de referencia no inercial.

Para el estudio del movimiento de una partícula con respecto a cierto sistemade referencia S se definen los siguientes vectores.

• ~r/S: posición de una partícula medida por S.

• ~v/S: velocidad de una partícula medida por S, donde ~v/S = ddt (~r/S).

• ~a/S: aceleración de una partícula medida por S, donde~a/S = ddt (~v/S).

72


4.1.1. Relación entre los vectores~r,~v y~a entre diferentes sistemas de referencia

Consideremos dos sistemas de referencia S y S′.

a) S′ está acelerado con respecto a S

z

x

yS

z′

x′

y′S ′

~R(t)~r(

t)

~r ′(t)

De manera general, para este caso, la relación entre los vectores~r, ~v y~a me-didos por S y los medidos por S′ se escribe como sigue

~r/S = ~R +~r/S′ ,

~v/S = ~R +~v/S′ ,

~a/S = ~R +~a/S′ ,

donde ~R = ~rS′/S es el vector posición de S′ medido con respecto a S y ~R =d2

dt2 (~R), ~R = ddt (

~R).

Si se multiplica por la masa de la partícula en estudio, m, entonces se obtieneque

m~a/S = m~R + m~a/S′ ,

donde:

• m~a/S es la fuerza que experimenta la partícula medida por S.

• m~a/S′ es la fuerza que experimenta la partícula medida por S′.

73


• m~R es la fuerza que experimenta la partícula debido al movimientodel sistema de referencia S′ medido por el sistema S y se conoce comofuerza ficticia.

Una fuerza ficticia no es una fuerza real ya que no existe alguna in-teracción entre dos cuerpos. Se trata de un término de la fuerza totalque sufre una partícula que se toma en cuenta para poder relacionarla información de un sistema de referencia con otro.

b) S′ centrado en el origen de S y rota con velocidad angular ω con respectoa S

x3

x1

x2S

x′3

x′1

x′2

S ′

~r(t)

~ω

Se definen los vectores unitarios asociados a cada sistema de referencia como~ei para S y ~e′i para S′ con i = 1, 2, 3. Para este caso es conveniente hallar la

derivada con respecto al tiempo de ~ei es decir hallaremos ~e′i =ddt (

~e′i).

~ω

~u

~u+

~du

~du

θ

dφ

74


Para simplificar notación se usará ~u = ~e′i . Por geometría de diferenciales setiene que

|~du| = |dφ|(sen(θ)|~u|), (100)

donde dφ es un ángulo infinitesimal que ha rotado S′ con respecto a S.

Ahora, por definición, ~ω es el cambio del ángulo de rotación con respecto altiempo. Es decir, se puede escribir al módulo de ~ω como sigue

|~ω| =∣∣∣∣dφ

dt

∣∣∣∣ . (101)

Entonces, dividiendo para un diferencial de tiempo dt la ecuación (100) yreemplazando (101) podemos escribir

∣∣∣∣d~udt

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣d~e′idt

∣∣∣∣∣ = |~ω||~u| sen(θ)

entonces, de la definición de producto vectorial, finalmente se tiene que

~e′i =ddt(~e′i) = ~ω×~e′i . (102)

Se define al vector posición con respecto a S′ como

~r′ =3

∑i=1

x′i~e′i , (103)

y al vector posición con respecto a S como

~r =3

∑i=1

xi~ei. (104)

De manera que, con respecto a S′ la velocidad ~v/S′ = ~v′ = ddt (

~r′) resulta

~v′ =3

∑i=1

x′i~e′i =

3

∑i=1

v′i~e′i . (105)

Ahora, debido a que los orígenes de cada sistema de referencia coincidenentonces se tiene que

~r = ~r′. (106)

Siendo así, para hallar ~v/s = ~v = ddt (~r) y relacionarla con ~v′ entonces pode-

75


mos usar la ecuación (106) y se obtiene lo siguiente

~v =ddt

(~r) =ddt(~r′). (107)

Debido a que con respecto a S los vectores unitarios ~e′i varían con respecto altiempo se sigue que

~v =ddt(x′1)~e′1 + x′1

ddt(~e′1) +

ddt(x′2)~e′2 + x′2

ddt(~e′2) +

ddt(x′3)~e′3 + x′3

ddt(~e′3)

=3

∑i=1

x′i~e′i +

3

∑i=1

x′i~e′i .

Tomando en cuenta las ecuaciones (105) y (102) podemos escribir

~v = ~v′ +3

∑i=1

x′i(~ω×~e′i)

= ~v′ + ~ω×3

∑i=1

x′i~e′i ,

y reemplazando (103) se obtiene que

~v = ~v′ + ~ω×~r′. (108)

Para el vector~a/S =~a se tiene que~a = ddt (~v) y se define

~a/S′ = ~a′ =ddt(~v′) =

3

∑i=1

v′i~e′i , (109)

donde, v′i =ddt (xi) = xi. Ahora, derivemos la ecuación (108) con respecto al

tiempo, se obtiene lo siguiente

~a =ddt(v′1~e′1 + v′2~e′2 + v′3~e′3) +

ddt(~ω×~r).

En el caso más general se tomará ~ω 6= cte (es decir, ~ω es una función deltiempo) y se halla que

~a =3

∑i=1

v′i~e′i +

3

∑i=1

v′i~e′i + ~ω×~r + ~ω× d

dt(~r). (110)

76


Tomando en cuenta las ecuaciones (109) y (102) se tiene que

~a = ~a′ +3

∑i=1

v′i(~ω×~e′i) + ~ω×~r + ~ω×~v

= ~a′ + ~ω×3

∑i=1

v′i~e′i + ~ω×~r + ~ω×~v

= ~a′ + ~ω×3

∑i=1

v′i~e′i

︸︷︷︸~v′

+~ω×~r + ~ω× = ~v′ + ~ω×~r′

~v.

Reemplazando la ecuación (108) en la última expresión la aceleración se es-cribe como

~a = ~a′ + 2~ω× ~v′ + ~ω×~r + ~ω× (~ω×~r′). (111)

Finalmente, se pueden resumir los resultados antes encontrados como sigue

~r′ =~r,~v′ = ~v− ~ω×~r,~a′ =~a− 2~ω× ~v′ − ~ω× (~ω×~r)− ~ω×~r.

Donde se denomina:

• Aceleración de Coriolis al término

~aCor = −2~ω× ~v′. (112)

• Aceleración Centrífuga al término

~aCen = −~ω× (~ω×~r). (113)

• Aceleración de Euler al término

~aEu = −~ω×~r. (114)

Si se multiplica por la masa, m, a cualquier término de la aceleraciónse obtiene la fuerza y tiene la misma notación que su respectivo tér-mino de la aceleración. Es decir

~FCor = m~aCor = m(2~ω× ~v′),

se conoce como Fuerza de Coriolis.

77


4.2 Análisis sistema de referencia fijado en la Tierra

x3

x1

x2

S

x′3

x′1

x′2

S ′

~r(t)

~ωT

Para el estudio de una partícula visto desde la Tierra se toma en cuenta que latierra rota con cierta velocidad angular |~ωT | = ωT ≈ 7,27× 10−5 rad

s con respecto aun sistema de referencia fijo en el centro de la tierra al cual notaremos S de maneraque al sistema de referencia que rota con la Tierra se lo nota S′.4.2.1. Análisis de la aceleración en un sistema de referencia fijo en la Tierra

rotando

Como ωT = cte entonces, de la ecuación (111), se tiene que la relación entre lasaceleraciones sigue la siguiente expresión:

~a′ =~a− 2~ωT × ~v′ − ~ωT × (~ωT ×~r′). (115)

Para el caso de una partícula moviéndose en la Tierra tomando en cuenta surotación, esta experimenta una aceleración de la gravedad ~g′ y se relaciona conla aceleración de la gravedad |~g| ≈ 9,81[m/s2], la aceleración de la gravedad sintomar en cuenta la rotación de la Tierra, de la siguiente manera

~g′ = ~g +~aCor +~aCen. (116)

78


Definición 3: –Latitud–Se denomina latitud al ángulo α medido desde una línea que va desde el centrode la Tierra hacia la línea ecuatorial hasta la línea que va desde el centro de laTierra hasta cierto punto en la superficie de la Tierra.

~R

~r

α

~ω

• Aceleración de CoriolisA partir de (112), estudiemos el caso en el que una partícula se mueve convelocidad ~v′ y considerando que su dirección es alguna de las direccionescardinales (Norte, Sur, Este u Oeste).

~R

~ω

N

S

N

S

S

N

– En el hemisferio Norte se tiene que una partícula siempre se desvía desu dirección inicial hacia la derecha.

79


S

N

EO

~v′

~v′

~v′

~v′

– En el hemisferio Sur se tiene que una partícula siempre se desvía de sudirección inicial hacia la izquierda.

S

N

EO

~v′

~v′

~v′

~v′

Además, el módulo de la aceleración de Coriolis se escribe de manera gene-ral como |~aCor| = |~ω × ~v′| = ωv′ sen(β) con β el ángulo entre el vector ~ω y~v′.

• Aceleración centrífugaA partir de (113), si se realiza el producto cruz se halla que la aceleracióncentrífuga siempre apunta hacia afuera de la tierra y es paralela a la líneaecuatorial.

80


~R

~ω

~aCen

~r

~R

~aCen

Es conveniente escribir a la aceleración centrífuga en dos componentes. Unadirigida hacia el centro de la Tierra y otra tangente a la superficie de la Tierra.

Primero, hallemos el módulo de la aceleración centrífuga de la siguiente ma-nera

|~aCen| = aCen

= | − ~ω× (~ω×~r)|= |~ω||~ω×~r|sen

(π

2

)

︸︷︷︸~ω⊥~ω×~r

= |~ω|(|~ω||~r| sen(ϑ))

= ω2|~r| sen(ϑ).

Con ϑ el ángulo entre ~ω y~r. Ahora, como ϑ = π2 − α y si se considera a la

partícula en estudio sobre la superficie de la tierra, se tiene que |~r| = R ≈6371[km] con R el radio de la Tierra, entonces

aCen = ω2R cos(α). (117)

A continuación notaremos la componente dirigida al centro de la tierra comoz y a la componente tangente a la superficie de la Tierra como x, de maneraque buscamos expresar a la aceleración centrífuga como

~aCen =~aCenr +~aCenx

= aCenr r + aCenx x.

81


x

r

α

~aCen

α

~g

~g′

Del gráfico podemos observar que

~aCenr = −aCen cos(α)r, ~aCenx = aCen sen(α)x,

= −ω2R cos2(α)r. = ω2R cos(α) sen(α)x.

Finalmente, tomando en cuenta la ecuación (116) si la partícula está en re-poso, es decir ~v′ = 0, de (112) se tiene que~aCor = 0 y como ~g = gr entoncesse puede escribir ~g′, también conocida como gravedad efectiva, de la siguientemanera

~g′ = (g−ω2R cos2(α))r + ω2R cos(α) sen(α)x. (118)

5. RELATIVIDAD ESPECIAL

5.1 Principios de la relatividad

1. Las leyes físicas deben tener la misma forma para todo sistema dereferencia inercial.

Aquí se incluyen los fenómenos electromagnéticos.

2. La velocidad de la luz tiene que ser la misma para cualquier sistemade referencia inercial.

82


Para que se puedan cumplir estos postulados se tuvo que introducir nuevastransformaciones entre sistemas de referencia, pues con las transformaciones deGalileo no se cumplían.

Aquellas transformaciones que cumplen los principios de la relatividad se lla-man “Transformaciones de Lorentz”.

5.2 Deducción de las transformaciones de Lorentz

xO

xO′

v

Suponemos que en t = 0 los dos orígenes O y O′ coinciden. Si en t = 0 O daun pulso luminoso desde su origen, esto implica que:

3

∑i=1

x2i = (ct)2. (119)

La ecuación (119) representa la distancia recorrida por la luz en un instante t.Para O′ también se hace lo mismo, ya que la velocidad de la luz (c) es la mismapor el segundo principio:

3

∑i=1

x′2i = (ct)2. (120)

Pero esto no puede pasar, pues el sistema O′ se ha movido.Lo que se hizo fueproponer quqe el tiempo no es absoluto, sino que el tiempo en O′ transcurre deforma diferente, pues no hay otra manera. Entonces:

3

∑i=1

x′2i = (ct′)2. (121)

Si se quiere que se cumpla el segundo principio de relatividad se debe incluir“otro tiempo”, es decir, el tiempo no es absoluto.

83


Ahora, las nuevas transformaciones deben ser tales que a bajas velocidades sereduzcan a las transformaciones de Galileo.

Transformacionesque buscamos

Transformacionesde Galileo

v c

Solo se analizarán las transformaciones solo en el eje x = x1, pues ahí se mue-ve.

Partimos de:x′1 = k[x1 − vt].

Tal que lımvc k = 1 y que cuando no se cumple esta condición explique losfenómenos electromagnéticos.

Buscamos una transformación lineal para que haya una correspondencia pun-to a punto (biyectiva) de lo que ve el sistema O y O′.

Debemos encontrar k que en principio suponemos k = k(v). Si se encuentra ktal que explique los fenómenos, entonces se acepta, caso contrario, se desecha.

Supongamos ahora el proceso contrario, es decir, qué pasa en O desde O′.

x1 = k′[x′1 + vt′]. (122)

Esto por la simetría del movimiento. La simetría también implica que:

k(v) = k′(v). (123)

Esto se sigue del primer postulado. El único cambio que podemos hacer escambiar el signo de la velocidad. De (122) y (123) se sigue:

x1 = k[k(x1 − vt) + vt′],

x1 = k2x1 − k2vt + kvt′,

x1 − k2x1 + k2vt = kvt′,

x1

kv− k2x1

kv+ kt = t′,

t′ = kt +x1

kv[1− k2]. (124)

Además, de analizar (120) y (121) para el eje x1 solamente se llega a:

x′1 = ct′,x1 = ct,

84


entonces:x′1 = k(x1 − vt) =⇒ ct′ = k(ct− vt).

Reemplazando t′ se tiene:

c[kt +

x1

kv[1− k2]

]= k[ct− vt],

ckt +cx1

kv[1− k2] = kct− kvt,

c2tkv

[1− k2] = −kvt,

c2 − c2k2 = −k2v2,

k =1√

1− v2/c2,

entonces:x′1 =

1√1− v2/c2

[x1 − vt]. (125)

Es lineal, entonces habrá una relación 1 a 1. Además lımvc x′1 = x1− vt. Ade-más, con las relaciones conseguidas se puede mostrar:

t′ =1√

1− v2/c2

[t− v

c2 c1

]. (126)

Finalmente, se consigue:

Transformacionesde Lorentz

x′1 =x1 − vt√1− v2/c2

,

x′2 = x2,

x′3 = x3,

t′ =t− v

c2 x1√1− v2/c2

.

Transformacionesinversas

x1 =x′1 + vt√1− v2/c2

,

x2 = x′2,

x3 = x′3,

t =t′ + v

c2 x1√1− v2/c2

.

Usualmente se suele usar la notación γ = 1/√

1− v2/c2.

85


5.3 Experimento de Michelson-Morley

Detector (telescopio)

S `1

`2M1

M2

Si hay una diferencia de camino óptico entre los dos haces se produce un pa-trón de interferencia en el telescopio. Si el interferómetro se mueve en la direcciónhorizontal a través del éter va a haber una diferencia aunque `1 = `2. Experimen-talmente no se vio eso.

• Supongamos que el interferómetro está en reposo con respecto al éter. Ana-licemos el tiempo de ida del rayo 1.

c∆t1 = `1 ⇒ ∆t1 =`1

c.

El tiempo de ida y de regreso es:

∆t1 =2`1

c.

Para el rayo 2:

∆t2 =2`2

c.

Si `1 = `2 ⇒ ∆t1 = ∆t2 y no hay patrón de interferencia.

• Suponemos que el interferómetro se mueve con respecto al éter a una velo-cidad v.

86


Detector (telescopio)

S `1

`2M1

M2v

Sea O el sistema en el cual el éter está en reposo y O′ el sistema de referenciadel interferómetro.

xO

xO′

v

`1

Camino de ida del rayo 1.

cta = `1 + vta︸︷︷︸

Tiempo de la luzen ir hasta el es-pejo M1

Recorrido conrespecto al siste-ma del éter

Camino de vuelta del rayo 1.

ctb = `1 − vtb,

∆t1 = ta + tb

=`1

c− v+

`1

c + v

87


= `1

(c + v + c− v(c− v)(c + v)

)

= `1

(2c

c2 − v2

),

∆t1 =2`1/c

1− v2

c2

.

Ahora veamos qué pasa con el rayo 2.

De

ida

De

regreso

Espejo

vtc vtd

v

De ida:(ctc)

2 = (vtc)2 + `2

2 =⇒ tc =`2√

c2 − v2.

De regreso:

(ctd)2 = (vtd)

2 + `22 =⇒ td =

`2√c2 − v2

,

∴ ∆t2 =2`2√

c2 − v2.

Con esto y suponiendo que `1 = `2 = `:

∆t1 =2`/c

1− v2/c2 ,

∆t2 =2`/c√

1− v2/c2.

88


Como se puede ver estos tiempos son diferentes, pero no se midió este desface,es decir, se debía dar ∆t1 = ∆t2. Incluso el experimento se podía girar, con lo quese vería un corrimiento con respecto al supuesto patrón original.

Se propuso que el brazo en la dirección x se encogía, de tal manera que:

`1 = `01︸︷︷︸√

1− v2/c2

Longitud enreposo conrespecto al eter

Entonces:

∆t1 =2`√

1− v2/c2/c1− v2/c2 =

2`/c√1− v2/c2

.

Con esto ∆t1 = ∆t2, con lo cual se explica el resultado experimental. Esta teoríapropone que solo se acortan las distancias en la dirección de movimiento, mientrasque en la dirección perpendicular no pasa nada.

En el sistema del interferómetro se mide que es la misma distancia `01, ya quelas reglas que se usan también se acortan.

5.4 Invariante espacio-temporal

Se define:

O′ : x′2 + y′2 + z′2 − c2t′2 = s′2,

O : x2 + y2 + z2 − c2t2 = s2,

en ambos sistemas de coordenadas. No se debe confundir con lo anterior x2 +

y2 + z2 = c2t2, sino que se define un numerito x2 + y2 + z2 − c2t2 y se va a ver queson los mismos entre O′ y O.

Consideremos s′:

s′2 = γ2(x− vt)2 + y2 + z2 − c2γ2(

t− xvc2

)2

= γ2x2 − 2γ2vxt + γ2v2t2 + y2 + z2 − c2γ2(

t2 − 2xvtc2 +

x2v2

c4

)

= γ2x2 − 2γ2vxt + γ2v2t2 + y2 + z2 − c2γ2t2 + 2xγ2vt− γ2x2 v2

c2

= x2γ2(

1− v2

c2

)+ y2 + z2 − γ2c2t2

(1− v2

c2

)

=

(1− v2

c2

)γ2(x2 − c2t2) + y2 + z2 = x2 + y2 + z2 = s2,

89


∴ s′2 = s2.

Esta cantidad puede ser negativa, positiva o cero. En el caso de s2 = 0 enton-ces s′2 = 0, esto quiere decir que la velocidad de la luz es constante. Esto no essorpresa, pues así se construyeron las transformadas de Lorentz.

5.5 Transformación de velocidades

Ahora nos preguntamos, ¿qué pasa con las velocidades al pasar de un sistemaa otro?

v′x =dx′

dt′, v′y =

dy′

dt′, v′z =

dz′

dt′.

Entonces, para la velocidad en x′:

v′x =d

dt′(γ(x− vt)) =

ddt(γ(x− vt))

dtdt′

= γ

[dxdt− v]

γ

[1 +

vc2

dx′

dt′

]

= γ2[vx − v][1− v

c2 v′x]

.

Se tiene una ecuación para v′x.

vx − v + v′xvc2 (vx − v)

1− v2/c2 = v′x,

v′x

(1−

vc2 (vx − v)

1− v2

c2

)=

vx − v

1− v2

c2

,

v′x

1− v2

c2 − vvxc2 + v2

c2

1− v2

c2

=

vx − v

1− v2

c2

,

v′x(

1− vvx

c2

)= vx − v,

v′x =vx − v1− vvx

c2. (127)

La velocidad que observaO′ para la partícula en la posición x la puedo calcularcon las observaciones hechas en O.

Una forma menos rigurosa para obtener este mismo resultado es:

v′x =dx′

dt′=

γ(dx− vdt)

γ(

dt− vc2

dxdt dt

)

90


=dx− vdt

dt(

1− vc2 vx

)

=vx − v1− vvx

c2.

Ahora, con respecto al eje y se puede mostrar que:

v′y =vy

1− vvxc2

√1− v2/c2. (128)

Para v′y se necesitan mediciones de vx y vy enO. Las transformaciones para lasvelocidades y las transformaciones inversas, respectivamente son:

v′x =vx − v1− vvx

c2,

v′y =1γ

vy

1− vvxc2

,

v′z =1γ

vz

1− vvxc2

.

vx =v′x + v

1 + vv′xc2

,

vy =1γ

v′y

1 + vv′xc2

,

vz =1γ

v′z1 + vvx

c2.

5.6 Contracción y dilatación

A continuación estudiaremos la relación entre las distancias que mide un siste-ma de referencia con respecto a otro y de igual manera para intervalos de tiempode algún evento.

5.6.1. Contracción espacial

Caso 1: Varilla sólida homogénea en reposo con respecto a O′.Con respecto a O la distancia de la varilla es:

L = x f − xi, (129)

y con respecto a O′ la distancia de la varilla es:

L′ = x′f − x′i . (130)

Ahora, a partir de las transformaciones de Lorentz se tiene que:

x = γ(

x′ + vt′)

, (131)

91


t′ = γ(t− xv/c2), (132)

Es decir,

L = γ(

x′f + vt′f)− γ

(x′i + vt′i

)(133)

= γ

(

*

L′x′f − x′i + v(t′f − t′i)

)(134)

= γ(

L′ + v(

γ(t f − x f v/c2)− γ(ti − xiv/c2)))

(135)

= γ(

L′ + vγ(

t f − ti − v/c2(x f − xi)))

. (136)

Como con respecto a O, x f y xi se miden en tiempos iguales, entonces t f = ti

y con (129), se sigue que

L = γ(

L′ − γv2/c2 (L))

, (137)

L = γL′ − γ2v2/c2 (L) , (138)

L(

1 +7

11−v2/c2

γ2v2/c2)= γL′, (139)

L

(1− v2/c2 + v2/c2

1− v2/c2

)= γL′, (140)

Lγ2 = γL′. (141)

Finalmente,

L =L′

γ= L′

√1− v2/c2. (142)

Como γ > 1 entonces se observa que la longitud se contrae con respecto alobservador en O.

Caso 2: Varilla sólida homogénea en reposo con respecto a O.Tomando las mismas definiciones anteriormente mencionadas y recordando

las transformaciones de Lorentz

x′ = γ (x− vt) , (143)

t = γ(

t′ + x′v/c2)

, (144)

se puede escribir que

L′ = x′f − x′i = γ(

x f − vt f

)− γ (xi − vti) , (145)

92


= γ(

: Lx f − xi − v(t f − ti))

, (146)

= γ(

L− v(

γ(t′f + x′f v/c2)− γ(t′i + x′iv/c2)))

, (147)

= γ(

L− vγ(

t′f − t′i + v/c2(x′f − x′i)))

. (148)

Como con respecto a O′, x′f y x′i se miden en tiempos iguales, entonces t′f = t′iy con (130), se sigue que

L′ = γ(

L− γv2/c2 (L′))

, (149)

L′ = γL− γ2v2/c2 (L′)

, (150)

L′(

1 +7

11−v2/c2

γ2v2/c2)= γL, (151)

L′(

1− v2/c2 + v2/c2

1− v2/c2

)= γL, (152)

L′γ2 = γL. (153)

Finalmente,

L′ =Lγ= L

√1− v2/c2. (154)

A partir de estos resultados se puede concluir que

La longitud del objeto con respecto al sistema que lo observa en movimien-to es menor a la longitud del objeto con respecto al sistema en reposo.

5.6.2. Dilatación temporal

Caso 1: Reloj en reposo con respecto a O′.Con respecto a O′ un intervalo de tiempo se escribe como

∆t′ = t′f − t′i, (155)

y con respecto a O∆t = t f − ti. (156)

Reemplazando (144) para el momento final e inicial en (156) se sigue que

∆t = γ(t′f + x′f v/c2)− γ(t′i + x′iv/c2) (157)

= γ

(

*

∆t′t′f − t′i + v/c2(x′f − x′i)

). (158)

93


Con respecto a O′ el reloj se encuentra en la misma posición x′f = x′i y se hallaque

∆t = γ∆t′. (159)

Es decir, el intervalo de tiempo que mide O es mayor que el intervalo de tiem-po que mide O′.

Caso 2: Reloj en reposo con respecto a O ¿qué mide O′?Tomando la misma notación antes mencionada y reemplazando (132) para el

momento final e inicial en (155) se sigue que

∆t′ = γ(

t f − x f v/c2)− γ

(ti − xiv/c2

)(160)

= γ(

:∆tt f − ti − v/c2(x f − xi))

. (161)

Con respecto a O′ el reloj se encuentra en la misma posición x f = xi y se hallaque

∆t′ = γ∆t. (162)

Es decir, el intervalo de tiempo que mide O es mayor que el intervalo de tiem-po que mide O′.

5.7 Teoremas de Conservación

5.7.1. Conservación del momento lineal bajo una transformación de Galileo

Suponemos un sistema de 2 partículas. Con respecto a O:

~p = m1~v1 + m2~v2 = cte.

El observador O′ observaría ~p′. Para cualquier partícula se tiene que:

~v′i = ~vi −~vO′/O = ~vi −~v.

Entonces:

~p′ = m1~v′1 + m2~v′2 = m1(~v1 −~v) + m2(~v2 −~v)

= m1~v1 + m2~v2︸︷︷︸cte

− (m1 + m2)~v︸︷︷︸cte

= cte.

Por lo tanto, se conserva el momento lineal bajo una transformación de Galileo.

94


5.7.2. Conservación de energía bajo una transformación de Galileo

En O se tiene:E =

12

m1v21 +

12

m2v22 + V12 = cte.

En O′:

E′ =12

m1v′21 +12

m2v′22 + V′12

=12(~v1 −~v)2 +

12

m2(~v2 −~v)2 + V12

=12

m1v21 +

12

m2v22 + V12 +

12

m1v2 +12

m2v2

︸︷︷︸cte

−m1~v~v1 −m2~v~v2

= cte−~v(m1~v1 + m2~v2)︸︷︷︸~v~p

.

5.7.3. Conservación en relatividad especial

Ahora, nos preguntamos ¿qué pasa con el momento lineal y la energía en rela-tividad especial?

x′O′

y′

v0

v

xO

y

v0

∗Choque

Suponemos que O lanza una partícula hacia y y que O′ hace lo mismo perohacia −y′ y que estas partículas son de la misma masa. Además, se asume que sucolisión es una colisión elástica

Desde O:

95


O

∗

1

2

Desde O′:

∗

O′ 1

2

Analicemos cantidades desde O:

~v0 = v0~j,

~p = mv0~j.

Como es elástico, los módulos desde el CM de las velocidades no van a cam-biar. Las cantidades medidas desde el centro de masa son:

~v1cm = ~v1 −~vCM,

~v2cm = ~v2 −~vCM.

Como |~v1cm| = |~v1cm| y la partícula 1 regresa, entonces:

~v1cm = −~v1cm,

~v1 −~vCM = −(~v1 − ~vCM),

|~v1| = |~v1|,

~p1 = −mv0~j,

∆~p1 = −2mv0~j.

96


Hagamos el mismo estudio pero desde O′.

~p′2 = −mv0~j, ~v′2 = −v0~j,

~p′2 = mv0~j. ~v

′2 = v0~j.

Según las transformadas de Lorentz:

vy2 =v′y2

√1− v2/c2

1 + vv′x2c2

= v0

√1− v2/c2,

~v2 = v~i− v0

√1− v2/c2 ~j.

Además, después se tiene:

~v2 = v~i + v0

√1− v2/c2 ~j,

∆~p2 = 2mv0

√1− v2/c2 ~j.

Como es un sistema aislado, sí se conserva la cantidad de movimiento.

~p1 + ~p2 = ~p1 +~p2,

~p1 − ~p1 = −(~p2 − ~p2),

∆~p1 = −∆~p2,

|∆~p1| = |∆~p2|.

Pero, según los resultados obtenidos, estas dos cantidades no son iguales, en-tonces no se conservó la cantidad de movimiento. Si no se conserva el momentolineal, entonces qué se conserva.

Se define una nueva cantidad:

~p = γm~v =m~v√

1− v2/c2. (163)

Si v c, esta cantidad se reduce al momento de la mecánica newtoniana. Esteresultado nos propone que la conservación del momento en mecánica newtonianaes aproximada.

En relatividad es común llamar a la masa de la partícula como masa en reposo

97


(m0).

~p = γm0~v . (164)

De esta manera, definiendo una “masa” m = γm0, se conserva la forma de lamecánica newtoniana. Con esta nueva definición de cantidad de movimiento sepuede mostrar que sí se cumple que ∆~p = 0.

5.7.4. Fuerzas

Se propone la definición usual de fuerza, pero ahora usando el nuevo momen-to.

~F =d~pdt

. (165)

~F =d(m~v)

dt=

ddt

(m0~v√

1− v2/c2

)

=m0

d~vdt√

1− v2/c2− m0~v(−2~v/c2)

2(√

1− v2/c2)3

d~vdt

=m0√

1− v2/c2

d~vdt

+m0v2/c2

(√

1− v2/c2)3

d~vdt

=m0

(√

1− v2/c2)2

d~vdt

=m~a√

1− v2/c2,

~F =m~a√

1− v2/c2. (166)

En donde se ha introducido m = m0γ. En otra notación se tiene:

~F = γ3m0~a.

Se consigue una forma diferente a la propuesta por la mecánica newtoniana.

En las fórmulas anteriores se ha introducido a una aceleración. Se puedendeducir relaciones para las aceleraciones entre distintos sistemas de refe-rencia, pero las expresiones resultantes son enrevesadas, entonces, estudiarla dinámica de un sistema se vuelve complicado rápidamente, por lo cualnunca se hace. Lo que se hace es trabajar con cantidades conservadas.

98


5.8 Energía

Se define la energía a través del trabajo:

Wab =∫ b

a~F · d~r =

∫ b

a

d~pdt· d~r

=∫ b

a

ddt

(m0~v√

1− v2/c2

)· d~r

=∫ b

a

ddt

(m0~v√

1− v2/c2

)·~vdt

=∫ b

av

ddt

(m0v√

1− v2/c2

)dt

=∫ v

0vd(

m0v√1− v2/c2

).

En donde simplemente se ha particularizado poniendo la velocidad en a iguala cero. Integrando por partes se tiene:

Wab =vm0v√

1− v2/c2

∣∣∣∣∣

v

0

−∫ v

0

m0v√1− v2/c2

dv

=m0v2

√1− v2/c2

+√

1− v2/c2 c2m0

∣∣∣∣∣

v

0

=m0v2

√1− v2/c2

+√

1− v2/c2 c2m0 −m0c2

=m0v2 + m0c2(1− v2/c2)√

1− v2/c2−m0c2

= m0c2(

1√1− v2/c2

− 1)

,

Wab = mc2 −m0c2.

Por similitud, Wab debe ser la energía cinética.

Wab = T(v)− T(0).

Se define la energía cinética de la partícula como:

T = mc2 −m0c2, (167)

que es el trabajo necesario para acelerar una partícula desde el reposo hasta v.

99


En mecánica relativista no se habla de energía potencial. Se asume que exis-te siempre la conservación de la energía.

Veamos qué pasa cuando v c, con la energía cinética T = mc2 −m0c2, paraeso se hará un desarrollo de Taylor

T = m0c2((1− v2/c2)−1/2 − 1

)

= m0c2(

1 +v2

2c2 − 1)

= m0c2 vv2

2c2 ,

T(v c) =12

m0v2.

5.8.1. Energía potencial

Partimos de la suposición de que la energía siempre se conserva

TB + VB = TA + VA,

TB − TA = VA −VB︸︷︷︸∆V

.

Con la definición anterior de T:

mBc2 −mAc2 = ∆V,

c2(mB −mA) = ∆V.

Entonces, el cambio de la energía potencial se a a relacionar con un cambio demasas. Todo lo que tenga que ver con diferencias de energías potenciales se reflejaen las diferencias de masas.

Se define a a energía total como:

E = T + m0c2 = mc2. (168)

A la cantidad m0c2 se la llama energía en reposos de la partícula, pues resulta quees así porque para v = 0⇒ T = 0.

Como es la diferencia, es razonable llamarle energía en reposos al términom0c2; simplemente por existir tiene energía. Como:

mc2 = T + m0c2.

100


Tiene sentido que mc2 sea la energía total.

5.9 Relación energía-momento

Se parte de la definición de momento:

~p =m0~v√

1− v2/c2=⇒ p2 =

m20v2

1− v2/c2 ,

a partir de lo cual se sucede el siguiente razonamiento:

p2c2 =m2

0v2c2

1− v2/c2 =m2

0c4

1− v2/c2v2

c2

=m2

0c4

1− v2/c2

(1− 1 +

v2

c2

)

=m2

0c4

1− v2/c2

(1−

(1− v2

c2

))

=m2

0c4

1− v2/c2 −m20c4

= m2c4 −m20c4

= E2 −m20c4,

finalmente,E2 = p2c2 + E2

0, (169)

con E0 la energía en reposos.Ahora, partamos de E = m0c2/

√1− v2/c2:

E =m0c2

√1− v2/c2

vv=

m0v√1− v2/c2

︸︷︷︸p

c2

v=

pc2

v, (170)

v =pc2

E, (171)

y como ~v ‖ ~p, entonces:

~v =c2

E~p. (172)

101


5.9.1. Fotones

Los fotones cuentan con m0 = 0. De las expresiones antes deducidas:

E = pc =⇒ p =Ec

.

Como v = pc2

E :

v =pc2

E=

Ec

c2

E= c.

Entonces, todo objeto con m0 = 0 se mueve a una velocidad v = c.Ahora, supongamos que una partícula tiene cierta masa en reposo m0:

E =m0c2

√1− v2/c2

.

Si v → c entonces E → ∞. Eso significa que para mover una partícula masivase necesita energía infinita, entonces, no se puede observar partículas masivas amás de la velocidad de la luz.

5.10 Espacio de Minkowski Cuadrivectores

Hemos visto que:x2

1 + x22 + x2

3 − c2t2 = s2,

es un invariante Lorentz. Se puede ver como:

ds2 = dx21 + dx2

2 + dx23 − c2t2,

ds′2 = ds2.

Ahora, en R3, ds =√

dx21 + dx2

2 + dx23. Para este espacio se define una métrica

gij.

ds2 = gijdxidxj gij =

1 0 00 1 00 0 1

.

En el espacio de Minkowski se define otra métrica:

gij =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

.

102


Introducimos esto de otra forma definiendo una nueva coordenada como:

x4 = ict, dx24 = −c2dt2,

con lo cual:ds2 = dx2

1 + dx22 + dx2

3 + dx24.

Entonces esto nos dice que ds2 se puede ver como un diferencial de longituden un espacio de 4 dimensiones tal que una está relacionada al tiempo y es comouna variable imaginaria, pero no es así, no es imaginaria, sino que es una métricadiferente.

Con esta definición la invarianza se ve así:

4

∑i=1

x2i =

4

∑i=1

x′2i ,

lo cual puede ser visto también como un vector en 4 dimensiones:

~x = (x1, x2, x3, x4),

tal que al hacer una transformación:

~x′ = (x′1, x′2, x′3, x′4),

por lo cual:|~x| = |~x′|,

y esa transformación es la transformación de Lorentz.Lo que hace una transformación de Lorentz es tomar un vector de ese espacio y

mandarlo a otro vector tal que conserva su módulo. Este tipo de transformacionesse pueden ver como una transformación ortogonal en 4 dimensiones.

Matemáticamente se puede ver como una rotación en el espacio de Minkows-ki. Los vectores ~x = (x1, x2, x3, x4) se llaman cuadrivectores, por lo tanto es unarotación de cuadrivectores.

La transformación se puede ver como una aplicación lineal a la que se le asociauna matriz. En el caso de las transformaciones hechas en el eje x, esta se caracterizacomo:

x′1x′2x′3x′4

=

γ 0 0iγ v

c0 1 0 00 0 1 0

− iγ vc

0 0 γ

x1

x2

x3

x4

.

103


Definimos β = v/c, entonces, la matriz asociada a la transformación es:

λ =

γ 0 0 iγβ

0 1 0 00 0 1 0−iγβ 0 0 γ

. (173)

Cada elemento de esta matriz se lo representa con λµν. Sea A un cuadrivectory A′ el cuadrivector transformado, con esto, y usando el convenio de Einstein, latransformación se puede poner como:

A′µ = λµν Aν. (174)

5.10.1. Tiempo propio

Definimos el intervalo de tiempo que mide O como dt y el que mide O′ comodt′. Al tiempo medido en un sistema que está en reposo con respecto a lo que semide se llama tiempo propio.

Si se analiza el invariante ds con el tiempo propio se tiene:

ds′2 = dx′21 + dx′22 + dx′23 − c2dt′2.

Si el sistema está en reposo entonces se cumple que:

dx′i = 0, i = 1, 2, 3

con lo cual dt′ = dτ y t′ = τ, por lo tanto:

ds′2 = −c2dτ2.

Adicionando el hecho de la invarianza a este resultado y aplicándolo a unsistema cualquiera con dx′i 6= 0:

ds2 = dx21 + dx2

2 + dx23 − c2dt2 = ds′2,

dτ2 = − 1c2

[dx2

1 + dx22 + dx2

3 − c2dt2]

,

dτ2 = − 1c2

[4

∑i=1

dx2i

],

dτ =ic

√√√√ 4

∑i=1

dx2i ,

104


dτ =ic

ds,

lo cual nos dice que dτ es invariante Lorentz por la invarianza de ds.Ahora, definimos a un cuadrivector como χ, entonces:

dχ = (dx1, dx2, dx3, dx4),

y calculamos dχ/dτ,

dχ

dτ=

(dx1

dτ,

dx2

dτ,

dx3

dτ,

dx4

dτ

)

=

(d~xdτ

, icdtdτ

).

Con ~x el vector tridimensional. La cantidad d~x/dτ es una velocidad, pero aúnno se sabe con respecto a qué, y dt/dτ es una especie de velocidad en esta dimen-sión.

A las cantidades dxi/dτ con i = 1, 2, 3 se las puede calcular como:

dxidτ

=dxidt

dtdτ

,

con t el tiempo que mide O, es decir:

dxidt

= vi,

en donde vi es la velocidad que mide O, entonces:

dxidτ

= vidtdτ

= vi1√

1− v2/c2= viγ,

por lo tanto:

dχ

dτ= (γv1, γv2, γv3, γic)

= γ(~v, ic).

Ahora, multipliquemos todo el resultado anterior por m0:

m0dχ

dτ= (m0γ~v, im0γc),

y recordando que el trimomento es ~p = m0γ~v y la energía es E = m0γc2, se

105


consigue:

P =

(~p, i

Ec

). (175)

A este cuadrivector se le llama cuadrivector de momento o cuadrimomento y estecuadrivector es un invariante Lorentz

P = |~p|2 − E2

c2 = p2 − E2

c2 =p2c2

c2 −E2

c2 = −m20c4

c2 = −m20c2,

en donde en el último paso se usó E2 = p2c2 + m20c4. De la invarianza de m0 y c se

tiene que P es un invariante independientemente del sistema de referencia.En mecánica relativista no se tiene conservación del momento y de la energía

por separado, lo que se conserva es el cuadrimomento.Ahora, debe haber una matriz asociada a la transformación del cuadrimomen-

to:

P′1P′2P′3P′4

=

γ 0 0 iγ β

0 1 0 00 0 1 0

−iγ β 0 0 γ

P1

P2

P3

P4

.

Entonces:

Transformacionesde Lorentz del

cuadrimomento=

P′1 = γ(P1 + iβP4),

P′2 = P2,

P′3 = P3,

P′4 = γ(P4 − iβP1).

Transformacionesde Lorentz del

cuadrimomento=

p′1 = γ(p1 − Eβ/c),

p′2 = p2,

p′3 = p3,

E′ = γ(E− cβp1).

Estas transformaciones mezclan momento y energía.

5.11 Efecto Doppler

Supongamos que se tienen dos sistemas de referencias, del origen de uno seemite radiación a una frecuencia ν.

106


xO

xO′

v

La frecuencia que mide O′ es diferente a la frecuencia emitida por O. Estecambio de frecuencia no se da por un cambio de velocidad de la onda, sino porun cambio en el tiempo de medición.

Supongamos que estoy en el sistema S y que el receptor está en el sistema Rque inicialmente se encuentra a una distancia x0.

xS

xR

v

x0

Supongamos que en t = 0 (tiempo medido por S) emite un pulso de luz P1. Ent = τ emite P2, en t = 2τ emite P3, . . ., en t = nτ = T emite pn+1. La frecuencia enla que emite S es:

ν =1τ

.

Lo que me interesa es calcular con qué diferencia de tiempos le llega a R lospulsos medido desde S. Para ello nos hacemos la pregunta, ¿cuándo le llega elpulso P1 a R?

La distancia que recorre la luz debe ser:

x0 + vt1,

107


si se demoró en llegar un tiempo t1, con lo cual se tiene:

ct1 = x0 + vt1,

t1 =x0

c− v.

Supongamos que en tn salió el último pulso (tn = T) y que le llega a R en t2. Elintervalo de tiempo que debe recorrer la luz del último pulso será t2 − tn y debecumplir que:

c(t2 − tn) = x0 + vt2,

c(t2 − nτ) = x0 + vt2,

t2 =x0 + cnτ

c− v.

La diferencia entre que llega el primero y el último será t2 − t1. Recordemos,TODO medido con respecto a S.

t2 − t1 =x0

c− v− x0

c− v+

cnτ

c− v,

t2 − t1 =cnτ

c− v.

Recordemos:

• t1 : instante de tiempo en el que yo (S) observo que le llega a R elprimer pulso.

• t2 : instante de tiempo en el que yo (S)observo que le llega a R elúltimo pulso que he emitido.

Además, sea x1 la posición de R en t1 y x2 la posición de R en t2. Queremosx2 − x1:

x2 − x1 = c(t2 − nτ)− ct1

= c(t2 − t1)− cnτ

= c(

cnτ

c− v

)− cnτ

=c2nτ − c2nτ + vcnτ

c− v.

x2 − x1 =vcnτ

c− v.

108


Ahora, veamos qué mide R. El receptor mide t′1 y t′2. Entonces, el periodo queobserva R es:

t′2 − t′1n

= τ′.

Como t′ = γ(t− vx/c2):

t′2 − t′1n

=γ

n

(t2 − x2

vc2 −

(t1 − x1

vc2

))

=γ

n

(t2 − t1 −

vc2 (x2 − x1)

)

=γ

n

(cnτ

c− v− v2cnτ

(c− v)c2

)

=γτc

c− v

(1− v2

c2

)

=γτ

1− v/c(1− v2/c2) =

τ√

1− v2/c2

1− v/c

=τ√(1− v/c)(1 + v/c)

1− v/c

= τ

√1 + v/c1− v/c

,

se tiene la siguiente relación:

ν′ = ν

√1− v/c1 + v/c

.

A partir de la ecuación obtenida se puede deducir diferentes casos de estudiopara dos distintas configuraciones:

• Los sistemas de referencias se alejan:

ν′ = ν

√1− v/c1 + v/c

, (176)

y como ν′ < ν se tiene un corrimiento al rojo.

• Los sistemas de referencias se acercan:

ν′ = ν

√1 + v/c1− v/c

, (177)

y como ν′ > ν se tiene un corrimiento al azul.

El efecto Doppler incluye el hecho que la velocidad de la señal no es infinita,sino que tarda un tiempo en llegar a R. No se toma para nada el “medio” con

109


el cual se propaga la onda. Además, solo se toma en cuenta la velocidad relativaentre sistemas de referencia.

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