apuntes mecánica vectorial

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[Escribir texto] Sistemas mecánicos Tema 1: Mecánica Vectorial Curso 2009-2010, Cuatrimestre de Primavera Vega Pérez Gracia Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en la IngenieríaEscuela Universitaria de Ingeniería Industrial de Barcelona (EUETIB) Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)

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Page 1: Apuntes Mecánica Vectorial

[Escribir texto]

Sistemas mecánicos Tema 1: Mecánica Vectorial

Curso 2009-2010, Cuatrimestre de Primavera

Vega Pérez Gracia Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en la IngenieríaEscuela Universitaria de Ingeniería Industrial de Barcelona (EUETIB) Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)

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Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

1

TEMA 1: MECÁNICA VECTORIAL (Se trata de un tema básicamente no presencial

que sirve de nexo entre la asignatura de Física I y Sistemas Mecánicos. Este tema se trabaja enteramente de forma no presencial, con material de soporte y seguimiento de los profesores) 1.Introducción a la mecánica y resolución de problemas de equilibrio que se pueden simplificar a un problema de equilibrio de un punto. 2. Fuerzas en el espacio y sistemas de fuerzas: momento de un sistema tridimensional de fuerzas respecto a un punto, momento de un sistema tridimensional de fuerzas respecto a un eje, par de fuerzas y sistemas fuerza-par equivalentes. 3. Sistemas de fuerzas distribuidas: sistema equivalente más sencillo posible de un sistema de fuerzas paralelas en el espacio, sistema equivalente más sencillo posible de un sistema de fuerzas coplanarias, momento torsor.

1. INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA

1.1. Mecánica: introducción La mecánica es la parte de la física que estudia las condiciones de reposo o de movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas, tratando también de su respuesta frente a la acción de dichas fuerzas. En el primer caso se habla de estática, en el segundo de dinámica. Se puede diferenciar en tres partes diferentes, según sea el cuerpo estudiado (sólidos, gases y líquidos):

1. Mecánica de sólidos rígidos: a. Estática: proporciona métodos para la determinación de las reacciones en los

apoyos y de las relaciones entre las distribuciones de fuerzas interiores y cargas exteriores en estructuras estacionarias. Es la base para iniciar, posteriormente, el estudio de la mecánica de cuerpos deformables.

b. Cinemática: se trata del análisis del movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo producen. A partir de esta base se estudia la cinemática de máquinas (bielas, engranajes, …).

c. Dinámica (o cinética): es el estudio de cuerpos sometidos a fuerzas no equilibradas. Se obtienen en estos casos movimientos acelerados y se analiza la relación entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que lo producen. Está basada en las leyes de Newton y en las ecuaciones integradas del movimiento (trabajo y energía, impulso, cantidad de movimiento).

2. Mecánica de sólidos deformables (o mecánica de los materiales): se trata del estudio

de las fuerzas internas y de las deformaciones que tienen lugar en las estructuras cuando se aplican cargas externas.

3. Mecánica de fluidos (o hidráulica): se analizan los gases o los líquidos en condiciones

de reposo o de movimiento. Los fluidos se pueden separar en dos grupos: a. Fluidos compresibles: cuando la densidad ρ cambia con la presión P y la

temperatura T. b. Fluidos incompresibles: cuando el volumen V del fluido es constante frente a

variaciones de presión, ∆P.

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Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

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En este curso se centra en la estática del sólido rígido. 1.2. Magnitudes fundamentales de la mecánica Los conceptos básicos que se han de conocer para iniciar el estudio de la mecánica son los siguientes:

1. Espacio: se trata de la región geométrica donde tienen lugar los sucesos de interés en la mecánica. En el espacio se define la posición del sólido estudiado o e un punto determinado a partir de un origen y a unas coordenadas definidas. La medida que se utiliza para describir el tamaño de un sistema físico se denomina longitud, y se define la distancia como las veces que cabe entre dos puntos determinados una medida patrón. Al trabajar en este curso, consideraremos siempre un sistema de referencia fijo en el espacio, es decir, un sistema de referencia absoluto.

2. Tiempo: es el intervalo que transcurre entre dos sucesos, con el que se define el instante

en el que ocurre el evento determinado. Las medidas de tiempo se efectúan por comparación con un suceso repetible, como puede ser la traslación y la rotación de la Tierra. Para medir fracciones de tiempo se utiliza un reloj; se trata de un dispositivo que sirve para indicar el paso del tiempo. Básicamente, los relojes funcionan por:

a. Oscilación de un péndulo. b. Oscilación de un resorte espiral y un volante regulador (volante de inercia). c. Oscilación de un cristal piezoeléctrico.

Se define el periodo como el tiempo que tarda cada uno de estos dispositivos en finalizar un ciclo de movimiento, es decir, una oscilación completa. Y se define la frecuencia del movimiento al número de ciclos (u oscilaciones) que se realizan en una unidad de tiempo determinada.

3. Masa: propiedad que caracteriza a la materia y, en concreto, a los cuerpos. Se llama

materia a toda sustancia que ocupa un espacio, denominando cuerpo a aquella materia limitada por una superficie cerrada. Se define el concepto de inercia como la propiedad de un cuerpo que hace que éste se resista a cualquier cambio de movimiento. La masa es una medida cuantitativa de la inercia. Se define como el cociente entre la densidad del cuerpo y su volumen.

V

dM =

La resistencia que ofrece un cuerpo a la variación de su movimiento de traslación sólo depende de su masa, y no de la forma y del tamaño del cuerpo. Por este motivo, también puede definirse como la proporcionalidad entre la fuerza resultante aplicada sobre un cuerpo y la aceleración alcanzada por éste:

a

FM =

Sin embargo, la resistencia que un cuerpo opone a la variación de su movimiento de rotación no depende únicamente de su masa, sino también de cómo está distribuida ésta respecto al centro de rotación. Hablamos en este caso de su momento de inercia respecto al punto o al eje de giro.

4. Fuerza: es la acción de un cuerpo sobre otro. Puede ser una acción a distancia o de

contacto. Un ejemplo del primer caso es la acción gravitatoria. Se representa como un vector, es decir, a partir de un punto de aplicación, un módulo, una dirección y un sentido. Una fuerza no existe en solitario, ya que ningún cuerpo puede ejercer una fuerza sobre otro si no opone resistencia el segundo. Por lo tanto tendremos siempre las fuerzas por parejas (acción y reacción), caracterizadas por un mismo módulo y sentidos

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opuestos, y aplicadas en cada uno de los cuerpos que actúan entre sí. El efecto exterior que produce una fuerza sobre un cuerpo puede ser:

a. Aceleración del cuerpo. b. Desarrollo de fuerzas resistentes, denominadas reacciones.

Las tres primeras magnitudes fundamentales que se han comentado (espacio, tiempo y masa) son magnitudes absolutas, lo que quiere decir que son independientes entre sí y que no pueden expresarse en función de las otras de forma sencilla. Sin embargo, la última magnitud (fuerza), es una magnitud no absoluta, ya que está relacionada directamente con la maza del cuerpo y con la forma en la que varía su velocidad, es decir, con el espacio y con el tiempo. 1.3. Unidades de medida Básicamente, las unidades empleadas por la mecánica son:

1. Unidades fundamentales: a. Masa. b. Longitud. c. Tiempo.

2. Unidades derivadas (aquellas cuya definición se basa en medidas de otras magnitudes

físicas): d. Fuerza. e. Velocidad. f. Aceleración. g. Áreas de superficies. h. Volumen.

Hay que tener en cuenta que en el sistema internacional (SI en adelante), la masa es una unidad fundamental y la fuerza una unidad derivada, pero que en otros sistemas, como en el U.S. Customary System (sistema gravitatorio británico), la fuerza es la unidad fundamental y la masa la derivada. El SI fue adoptado en 1960 en la XI Conferencia Internacional de Pesas y Medidas, definiendo tres clases de unidades:

a. Unidades de base. b. Unidades complementarias. c. Unidades derivadas.

Al SI se le denomina también sistema MKS, nombre que proviene de las tres unidades básicas o fundamentales: metro para la longitud, kilo para la masa y segundo para el tiempo. El valor de cada magnitud fundamental está definido a partir de una unidad patrón elegida arbitrariamente. a. Longitud: el patrón es el metro en el SI. Se define como:

1. Barra de platino iridiado que se guarda en la Ofinicna Internacional de Pesas y Medidas en Sèvres (Francia).

2. Diezmillonésima parte de la distancia entre el polo y el ecuador, medida a lo largo del meridiano de París. Con las medidas de precisión actuales se ha constatado que la diferencia entre el metro patrón que se construyó y la longitud que se deseaba medir es de un 0.023%.

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Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

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3. En 1961 se definió un patrón atómico para la longitud, considerando por lo tanto 1 metro como: 1 650 763.73 longitudes de onda λ en el vacío de la raya rojo-anaranjada del espectro del isótopo del Kripton 86.

La relación con el patrón del SI y los patrones de otros sistemas es la siguiente:

1. 1 Yarda = 0.9144 m (según un acuerdo internacional). 2. 1 pulgada (1 in) = 25.4 mm. 3. 1 pie (1 ft) = 0.3048 m.

b. Tiempo. La unidad patrón del tiempo se define como:

1. Duración del día. 2. Unidad de tiempo: segundo:

a. 1/86 400 de 1 día solar medio. b. 1/31 557 700 de 1 año solar medio.

3. Patrones secundarios de tiempo: a. Relojes de cristal de cuarzo: los mejores llegan a tener un error máximo de 0.02

s al año. b. Reloj atómico: basado en las vibraciones periódicas del átomo de cesio 133. Se

trata del patrón de tiempos adoptado en la XIII Conferencia General de Pesas y Medidas en 1967. Con este patrón, el segundo se define como la duración de 9 192 631 770 ciclos de vibración del átomo de Cs 133.

c. Sistema de unidades gravitatorio británico (U.S.C.S.): en este sistema se definen:

1. Longitud: pie (ft). 2. Fuerza: libra (lb): peso a nivel del mar y a 45º de latitud de un patrón de platino

conservado en el Bureau of Standarts en Washington D.C., cuya masa es de m = 0.45359243 kg.

3. Tiempo: segundo (s) 4. Masa: slug. Se trata de una unidad derivada, en este sistema de unidades. Un slug es la

masa que se acelera 1 pie por segundo al cuadrado cuando se le aplica una fuerza de 1 libra:

ft1

s1lb1slug1

2

=

1.4. Elementos que se necesitan para el desarrollo de la asignatura

a. Conceptos matemáticos:

1. Ley de los senos y de los cosenos. 2. Resultante de fuerzas concurrentes en dos dimensiones. Principio de transmisibilidad de

vectores. 3. Descomposición de una fuerza en sus componentes. 4. Adición de fuerzas en dos dimensiones. 5. Producto de un escalar por una fuerza. 6. Vectores en 3-D. 7. Producto vectorial de dos vectores. 8. Producto escalar y aplicación a la proyección de un vector sobre un eje. 9. Producto mixto.

b. Conceptos físicos:

1. Leyes de Newton. 2. Ley de gravitación. Peso. 3. Equilibrio de una partícula.

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4. Diagrama de sólido libre. 5. Momento de una fuerza respecto a un punto. 6. Fuerzas equivalentes. 7. Teorema de Varignon. 8. Componentes rectangulares del momento de una fuerza. 9. Momento de una fuerza aplicada en un punto, respecto a otro punto arbitrario. 10. Sólido rígido. 11. Momento de una fuerza respecto a un eje. 12. Invariantes en un sistema de vectores deslizantes:

a. Resultante general. Invariante vectorial. b. Momento resultante general del sistema respecto a un punto. Invariante escalar.

1. Ley de los cosenos y de los senos

Ley de los cosenos:

αααα−−−−++++==== cosCB2CBA 222 Figura 1

Ley de los senos:

αααα====

ββββ====

γγγγ senC

senB

senA Figura 2

2. Suma de fuerzas concurrentes en dos dimensiones. Principio de los vectores deslizantes

Las fuerzas son magnitudes vectoriales, por lo que, para definirlas, se necesita:

- Punto de aplicación.

- Línea de aplicación (dirección).

- Sentido.

- Módulo.

Las fuerzas son vectores deslizantes. Por este motivo se puede aplicar el principio de

transmisibilidad según el cual podemos desplazarlas a lo largo de su línea de aplicación sin que

se modifique la acción sobre el cuerpo, de tal manera que se obtienen fuerzas equivalentes, tal

como se muestra en las figuras 3 y 4.

Figura 3. Fuerzas equivalentes aplicadas sobre un cuerpo. Principio de transmisibilidad.

Page 7: Apuntes Mecánica Vectorial

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6

Figura 4. Sistemas de fuerzas equivalentes. Principio de transmisibilidad.

Para sumar fuerzas concurrentes en dos dimensiones gráficamente, se aplica la ley del

paralelogramo. La suma vectorial de fuerzas cumple las propiedades:

- Conmutativa.

- Asociativa.

- La resta de fuerzas se puede considerar como una suma cambiándole el sentido a la fuerza

que resta (figura 5).

Figura 5. Resta gráfica de fuerzas concurrentes en dos dimensiones

3. Descomposición de una fuerza en sus componentes, en dos dimensiones

Cuando conocemos una fuerza Fry una de sus componentes 1C

r, siempre podremos determinar

la segunda componente 2Cr, tal como se muestra en la figura 6. Para ello se unen los extremos

de los dos vectores conocidos y se traza la línea paralela a la que así se obtiene, partiendo del

punto de aplicación de ambas fuerzas. La componente buscada sigue esta línea de aplicación, y

su módulo queda determinado por la línea paralela a la componente conocida de la fuerza, tal

como puede verse en la figura 6.

Figura 6. Obtención de la componente de una fuerza, conocidas la mencionada fuerza y la otra

componente.

Por otro lado, si conocemos la fuerza y las líneas de aplicación de las componentes, siempre

podremos determinar estas dos últimas gráficamente, tal como se muestra en la figura 7.

Fr

1Cr

Fr

1Cr 1C

r

Fr

2Cr

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7

Figura 7. Obtención de las componentes de una fuerza, conocidas sus líneas de aplicación y la

mencionada fuerza.

Componentes rectangulares

Un caso particular de componentes de fuerzas, de especial interés, es cuando se trabaja con

coordenadas cartesianas y con componentes rectangulares. En este caso, las fuerzas y sus

componentes quedan definidas, gráficamente, tal como muestra la figura 8.

Figura 8. Componentes rectangulares de una fuerza. Coordenadas cartesianas.

En coordenadas cartesianas se utilizan los vectores unitarios ir y j

r para definir las direcciones

vertical (y) y horizontal (x). Con estos vectores unitarios, las componentes de una fuerza

cualquiera Fr quedan tal como puede verse en la figura 9.

Figura 9. Vectores unitarios que definen las líneas de aplicación de las componentes de una

fuerza, en coordenadas cartesianas. Estas líneas de aplicación coinciden con los ejes cartesianos

(x,y).

Fr

xFr

yFr

x

y

xFr

yFr

x

y

ir

jr θθθθ

Fr

Fr F

r

Fr

1Cr

2Cr

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A partir de estos vectores unitarios, se pueden definir las fuerzas componentes (vectores

componentes) como:

iFF xx

rr====

jFF yy

rr====

Y el módulo de estos vectores componentes se define a partir del ángulo θ que forma la fuerza

con los ejes, como:

θθθθ==== cosFFx

θθθθ==== senFFy

Pudiendo, de esta manera, escribir la fuerza Fr en función de sus componentes definidas

mediante los vectores directores unitarios como:

jFiFFFF yxyx

rrrrr++++====++++====

4. Adición de fuerzas en dos dimensiones

La resultante de un sistema de fuerzas concurrentes en dos dimensiones, como las que se

muestran en la figura 10, puede definirse como:

n321 FFFFRrrrrr

++++++++++++====

Figura 10. Sistema de n fuerzas concurrentes.

La resultante Rr, así definida, puede desarrollarse en función de sus componentes, como:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))nynxy3x3y2x2y1x1n321yx FFFFFFFFFFFFRRRrrrrrrrrrrrrrrr

++++++++++++++++++++++++++++====++++++++++++====++++====

De manera que puede obtenerse cada una de las componentes de la resultante, xRr y yR

r a partir

de las componentes de cada una de las fuerzas del sistema:

1Fr

2Fr

3Fr

nFr

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9

nxx3x2x1x FFFFRrrrrr

++++++++++++====

nyy3y2y1y FFFFRrrrrr

++++++++++++====

De forma general, la resultante de un sistema de n fuerzas iFr, concurrentes en el espacio, es:

∑∑∑∑====

====n

1iiFRrr

5. Producto de un escalar por una fuerza

El producto de un escalar n por una fuerza Fr equivale a sumar n veces dicha fuerza,

vectorialmente, de tal manera que su módulo aumenta n veces. Esto se expresa como:

FnFFFFvecesn

rrrrr====++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++++++

6. Fuerzas en el espacio (3-D)

Una fuerza Fr en el espacio se representa en coordenadas cartesianas tal como se muestra en la

figura 11.

Considerando la figura 11, podemos definir los módulos de la componente yFr y de la

proyección de la fuerza sobre

el plano (x,z), pfr como:

yy cosFF θθθθ====

yp senFf θθθθ====

Con la proyección pfr se pueden determinar las otras dos componentes de la fuerza a partir como

las componentes de dicha proyección:

ΦΦΦΦθθθθ====ΦΦΦΦ==== cossenFcosfF ypx

yp senFf θθθθ====

ΦΦΦΦθθθθ====ΦΦΦΦ==== sensenFsenfF ypz

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10

Figura 11. Descomposición de una fuerza Fr en el espacio

El módulo de la fuerza Fr se obtiene como:

2z

2y

2x FFFF ++++++++====

Y el vector Fr queda expresado por:

kFjFiFF zyx

rrrr++++++++====

Fuerzas en el espacio: cosenos directores

Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que forma el vector fuerza Fr con cada

uno de los ejes rectangulares. En la figura 12 se representa el ángulo θy, en la figura 13 el

ángulo θz y en la figura 14 el ángulo θx.

Figura 12. Ángulo θy.

x

y

z

Fr

zFr

yFr

xFr

θθθθy

y

x

z

Fr

zFr

yFr

xFr

kr

jr

ir

ΦΦΦΦ

θθθθy

pfr

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11

Figura 13. Ángulo θz.

Figura 14. Ángulo θx.

Mediante los cosenos directores se pueden definir las tres componentes de la fuerza Fr como:

xx cosFF θθθθ====

yy cosFF θθθθ====

zz cosFF θθθθ====

Los ángulos θx, θy y θz definen la dirección de la fuerza Fr en el espacio, y cumplen la siguiente

condición:

1coscoscos z2

y2

x2 ====θθθθ++++θθθθ++++θθθθ

x

y

z

Fr

zFr

yFr

xFr

θθθθz

x

y

z

Fr

Fr

yFr

Fr

θθθθx

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Suma de fuerzas concurrentes en el espacio

Cuando tenemos n fuerzas aplicadas en un mismo punto del espacio, la resultante se define

como:

∑∑∑∑====

====n

1iiFRrr

Pudiendo escribirse en componentes, de tal manera que:

(((( )))) kFjFiFkFjFiFkRjRiRRn

1iz

n

1iy

n

1ix

n

1izyxzyx

rrrrrrrrrr

++++

++++

====++++++++====++++++++==== ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

================

Cada una de las componentes de la resultante es:

∑∑∑∑====

====n

1ixx FR

∑∑∑∑====

====n

1iyy FR

∑∑∑∑====

====n

1izz FR

Siendo el módulo de la resultante:

2z

2y

2x RRRR ++++++++====

Con los módulos de la resultante y los de cada una de las componentes, se pueden definir los

cosenos directores como:

RR

cos xx ====θθθθ

R

Rcos y

y ====θθθθ

RR

cos zz ====θθθθ

7. Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores Pr y Q

r es otro vector, V

r(ver la figura 15), definido como:

QPVrrr

××××====

Page 14: Apuntes Mecánica Vectorial

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13

Figura 15. Producto vectorial de dos vectores Pr y Q

r.

Este nuevo vector Vr se define con las siguientes condiciones:

- La línea de aplicación de Vr es perpendicular al plano definido por los vectores P

r y Q

r.

- El módulo de Vr se calcula como:

θθθθ==== senPQV

- El sentido del vector QPVrrr

××××==== se define como:

o Si al ir de Pr hacia Q

r el sentido del giro es horario, el vector V

r es negativo.

o Si al ir de Pr hacia Q

r el sentido del giro es antihorario, el vector V

r es positivo.

Producto vectorial de los vectores directores:

Con las anteriores definiciones se llega a que:

0kkikjjki

ijk0jjkji

jikkij0ii

====××××====××××−−−−====××××

====××××====××××====××××

−−−−====××××====××××====××××

rrrrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrrrr

Propiedades del producto vectorial:

1) El producto vectorial es anticonmutativo.

PQQPVrrrrr

××××−−−−====××××====

2) El producto vectorial es distributivo respecto a la suma.

(((( )))) RPQPRQPVrrrrrrrr

××××++++××××====++++××××====

3) No se cumple la propiedad asociativa.

(((( )))) (((( )))) RQPRQPrrrrrr

××××××××≠≠≠≠××××××××

Producto vectorial en componentes y componentes rectangulares del producto vectorial:

Desarrollando el producto vectorial utilizando los vectores en componentes, se obtiene:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))kQPQPjQPQPiQPQPkQjQiQkPjPiPQPV xyyxzxxzyzzyzyxzyx

rrrrrrrrrrrr−−−−++++−−−−++++−−−−====++++++++××××++++++++====××××====

Pr

QPVrrr

××××====

Qr

θθθθ

Page 15: Apuntes Mecánica Vectorial

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14

A partir de esta expresión se pueden obtener las tres componentes del producto vectorial, en

coordenadas cartesianas:

yzzyx QPQPV −−−−====

zxxzy QPQPV −−−−====

xyyxz QPQPV −−−−====

De forma compacta, el producto vectorial se puede escribir como un determinante:

zyx

zyx

QQQ

PPP

kji

QPV

rrr

rrr====××××====

8. Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores se define como:

θθθθ====⋅⋅⋅⋅==== cosQPQPVrr

Siendo V un escalar.

Propiedades del producto escalar

1) Conmutativa:

PQQPVrrrr

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====

2) Distributiva respecto a la suma

(((( )))) SPQPSQPrrrrrrr

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅

3) Producto escalar de los vectores directores (coordenadas cartesianas):

1ii ====⋅⋅⋅⋅rr

1jj ====⋅⋅⋅⋅rr

1kk ====⋅⋅⋅⋅rr

0ji ====⋅⋅⋅⋅rr

0ki ====⋅⋅⋅⋅rr

0kj ====⋅⋅⋅⋅rr

4) Producto escalar en componentes rectangulares:

(((( )))) (((( ))))kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx

rrrrrrrr++++++++⋅⋅⋅⋅++++++++====⋅⋅⋅⋅

zzyyxx QPQPQPQP ++++++++====⋅⋅⋅⋅rr

5) Si Pr y Q

r son iguales:

Page 16: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

15

22z

2y

2x PPPPPP ====++++++++====⋅⋅⋅⋅

rr

9. Producto mixto de tres vectores

Se define como:

(((( ))))SQPrrr

××××⋅⋅⋅⋅

Propiedades del producto mixto:

1) No es conmutativo:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))PQSSPQQSPQPSPSQSQPrrrrrrrrrrrrrrrrrr

××××⋅⋅⋅⋅−−−−====××××⋅⋅⋅⋅−−−−====××××⋅⋅⋅⋅−−−−====××××⋅⋅⋅⋅====××××⋅⋅⋅⋅====××××⋅⋅⋅⋅

2) Es un escalar que se calcula mediante un determinante:

(((( ))))zyx

zyx

zyx

SSS

QQQ

PPP

SQP ====××××⋅⋅⋅⋅rrr

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))xyyxzzxxzyyzzyx SQSQPSQSQPSQSQPSQP −−−−++++−−−−++++−−−−====××××⋅⋅⋅⋅rrr

10. Leyes de Newton

• Si la resultante de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es nula, el cuerpo sigue en reposo

o sigue moviéndose con velocidad constante.

• Si la resultante de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo no es nula, el cuerpo presenta un

movimiento acelerado:

mF

a ====

• Ley de acción y reacción.

11. Ley de la Gravitación. Peso.

Dos partículas de masas M y m se atraen mutuamente con fuerzas iguales y opuestas que se

pueden representar como:

rr

mMGF

3

rr====

Siendo 2

211

kgMm

1067.6G −−−−××××==== la constante de gravitación universal.

Page 17: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

16

En el caso concreto de la Tierra, la distancia r = R es el radio medio, que tiene un valor de 6

371 km, y M es la masa de la Tierra, que, aproximadamente es de 5 976 × 1024 kg. Con estos

datos se tiene que la aceleración g es:

2R

MGg ====

Resultando un valor medio de g = 9.81 m/s2.

Con esta aceleración, el peso se define como:

gmP ====

12. Equilibrio de una partícula

Una partícula está en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella es

nula.

Si esta condición se analiza gráficamente, esto quiere decir que cuando se usa la regla del

polígono para sumar fuerzas, éste debe cerrarse, tal como se muestra en la figura 16.

Figura 16. Partícula en equilibrio. Se comprueba que el polígono es cerrado, de tal manera que

se cumple que ∑∑∑∑ ======== 0FR i

Matemáticamente, la condición que se ha de cumplir para que exista equilibrio es que la

resultante total del sistema, obtenida como la suma vectorial de las n fuerzas que actúan sobre la

partícula, ha de ser nula.

∑∑∑∑====

========n

1ii 0FRrr

Page 18: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

17

Esta condición se puede separar en dos cuando se utilizan coordenadas cartesianas: la resultante

de las fuerzas horizontales ha de ser cero y la resultante de las fuerzas verticales ha de ser

también cero:

∑∑∑∑====

====n

1ixi 0F

∑∑∑∑====

====n

1iyi 0F

Algunos problemas de estática se pueden resolver considerando el equilibrio de una partícula.

Para ello se debe realizar el diagrama de sólido libre, es decir, el esquema que muestra las

condiciones físicas del problema, y seleccionar una partícula representativa, que se representará

junto con todas las fuerzas que actúan sobre ella.

El siguiente problema es un ejemplo de estos casos en los cuales la solución se obtiene

utilizando el equilibrio de una partícula.

Problema ejemplo 1: Calcula el peso de un cubo sostenido tal como se indica en la figura 17.

La tensión en el cable 1 es de 10 N, en el cable 2 de 30 N y en el cable 3 de 20 N.

Figura 17. Problema ejemplo nº 1

Solución del problema ejemplo nº 1:

Diagrama de sólido libre:

Page 19: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

18

El problema, tal como está planteado, se puede reducir a un problema de equilibrio de la

partícula A:

Analizando cada cable por separado:

Cable 1:

)485.0,728.0,485.0(r

r

m123.4232rr

m)2,3,2(r

N101T

1

11

22211

1

−−−−========λλλλ

====++++++++========

−−−−====

====

rr

r

r

Siendo la tensión T1:

)485.0,728.0,485.0()N10(1T1T 1 −−−−⋅⋅⋅⋅====λλλλ====r

Cable 2:

)1,0,0(r

r

m2rr

m)2,0,0(r

N302T

2

22

22

2

========λλλλ

========

====

====

rr

r

r

Siendo la tensión T2:

)1,0,0()N30(2T2T 2 ⋅⋅⋅⋅====λλλλ====r

Cable 3:

Page 20: Apuntes Mecánica Vectorial

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19

)371.0,557.0,743.0(r

r

m385.5234rr

m)2,3,4(r

N203T

3

33

22233

3

========λλλλ

====++++++++========

====

====

rr

r

r

Siendo la tensión T3:

)371.0,557.0,743.0()N20(3T3T 3 ⋅⋅⋅⋅====λλλλ====r

Para calcular el peso, como el punto A debe estar en equilibrio, se aplica la condición de

equilibrio a todas las componentes verticales (según el eje z):

N25.42W

0N20371.0N10483.0N30W03T1T2TW

0F

ZZ

z

====⇒⇒⇒⇒

====××××++++××××++++++++−−−−⇒⇒⇒⇒====++++++++++++−−−−

++++↑↑↑↑====∑∑∑∑

13. Diagrama de sólido libre

Cuando no se puede resolver el problema reduciéndolo al equilibrio de una partícula, es

necesario plantear el diagrama de sólido libre. En este diagrama debemos representar el

elemento que nos interesa estudiar con sus dimensiones y son todas las fuerzas que actúan sobre

él. Un ejemplo del diagrama de sólido libre se muestra en la figura 18.

Figura 18. Planteamiento de un problema 2-D y la representación del sólido libre.

Page 21: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

20

2. FUERZAS EN EL ESPACIO Y SISTEMAS DE FUERZAS

2.1. Momento de una fuerza respecto a un punto

a. Definición y unidades

Cuando se tiene una fuerza aplicada sobre un punto, su efecto depende de:

- Su módulo.

- Su dirección.

- Su sentido.

- Su punto de aplicación.

Los efectos de esta fuerza sobre el cuerpo en el que se aplica pueden ser desplazamientos

rectilíneos acelerados o giros.

Se aplica una fuerza Fr

en un punto A de un cuerpo cualquiera, tal como puede verse en la

figura 19. Se tiene que:

El vector de posición del punto A, OAr ====r

La fuerza Fr

aplicada en A

Figura 19. Momento que crea en el punto O una fuerza Fr

aplicada en el punto A.

Si se observa la sección del cuerpo de la figura 19 que corta el plano formado por el vector de

posición y por la fuerza se puede ver el ángulo que forman estos dos vectores sobre el plano

(figura 20).

Determinan un plano

Page 22: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

21

Figura 20. Vectores posición ( rr), fuerza (F

r

) y momento en el punto O ( 0Mr

). Ángulo formado

por los dos primeros vectores sobre el plano que definen.

Se define el momento que la fuerza Fr

, aplicada en A, hace sobre el punto O, como:

FrM0

rrr××××====

Siendo:

- La línea de aplicación del momento 0Mr

es perpendicular al plano definido por rr y F

r

.

- El sentido del momento sigue las reglas definidas con el producto vectorial.

- El módulo del momento se calcula como (ver la figura 20):

dFsenFrM0 ====θθθθ====

Donde: θ es el ángulo que forman los vectores rr y F

r

d es la distancia desde el punto O, perpendicular a la línea de aplicación de la

fuerza Fr

.

Se puede afirmar que, físicamente, el momento 0Mr

indica la tendencia del sólido rígido a girar

alrededor de un eje situado en el punto O, y dirigido a lo largo de la línea de aplicación de 0Mr

, a

consecuencia de la fuerza Fr

aplicada.

Unidades del momento:

Las unidades del momento son de fuerza por longitud: [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LF , es decir, que tendremos unidades

de Nm, Ncm, kNm, etc.

Page 23: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

22

b. Conceptos de interés

1. La existencia de un momento, 0Mr

, aplicado en un punto O, define completamente la

línea de acción de la fuerza Fr

:

o La línea de acción de la fuerza deberá estar situada en el plano que contiene a O

y que es perpendicular a 0Mr

.

o La distancia perpendicular a la línea de acción de la fuerza, desde el punto O es:

F

Md 0====

o El sentido de 0Mr

define a qué lado del punto O está la línea de acción de la

fuerza Fr

.

2. Fuerzas equivalentes:

o Dos fuerzas Fr

y 'Fr

son equivalentes si:

� Son iguales ( 'FFrr

==== ), tanto en módulo, como en sentido y dirección.

� Tienen momento iguales respecto a un mismo punto O: '00 MM

rr==== .

Esta condición se cumple para todo punto O, si se cumple para un punto en concreto.

3. Teorema de Varignon:

o Si hay varias fuerzas aplicadas en el punto A, el momento que producen

respecto al punto O se puede calcular como la suma de momentos que produce

cada una de las fuerzas individualmente respecto a dicho punto O, o como el

momento que produce la suma de fuerzas (es decir, la resultante) respecto de O:

(((( ))))

∑∑∑∑∑∑∑∑========

====××××====××××====

====××××++++××××++++++++××××++++××××++++××××====

====++++++++++++++++++++++++××××====

n

1ii0

n

1ii

1i321

ni3210

MRrFr

Fr...Fr...FrFrFr

F...F...FFFrM

rrrrr

rrrrrrrrrr

rrrrrrr

Figura 21. n fuerzas iFr

aplicadas en el punto A, siendo Rr

la resultante.

4. Componentes rectangulares del momento de una fuerza.

Sean los vectores rr y F

r

:

Page 24: Apuntes Mecánica Vectorial

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23

zyx

0

zyx FFF

zyx

kji

FrMkFjFiFF

kzjyixr

rrr

rrrrrrr

rrrr

====××××====⇒⇒⇒⇒

++++++++====

++++++++====

Obteniendo:

−−−−====

−−−−====

−−−−====

xyz

zxy

yzx

FyFxM

FxFzM

FzFyM

5. Momento de una fuerza aplicada en A respecto a otro punto B, arbitrario, que no se

corresponde con el origen de coordenadas:

Sea una fuerza Fr

de componentes rectangulares: ZYX F,F,Frrr

aplicada en el punto A, tal como se

muestra en la figura 22. Sea otro punto B arbitrario que no se corresponde con el origen, siendo

el vector de posición de B respecto de A:

Figura 22. Momento de una fuerza aplicada en A respecto a otro punto B, arbitrario.

El momento de la fuerza Fr

respecto al punto B se calcula como:

(((( ))))zyx

B/AB/AB/ABAB/AB

FFF

zyx

kji

FrrFrM

rrr

rrrrrr====××××−−−−====××××====

BAB/A rrrrrr

−−−−====

Page 25: Apuntes Mecánica Vectorial

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24

2.2. Momento de una fuerza respecto a un eje

a. Aplicación del producto escalar: ángulo formado por dos vectores

θθθθ====⋅⋅⋅⋅ cosQPQPrr

?QyPporformadoángulo¿kQjQiQQ

kPjPiPP

zyx

zyx rrrrrr

rrrr

⇒⇒⇒⇒

++++++++====

++++++++====

PQ

QPQPQPcosQPQPQPcosQPQP zzyyxx

zzyyxx

++++++++====θθθθ⇒⇒⇒⇒++++++++====θθθθ====⋅⋅⋅⋅

rr

b. Aplicación del producto escalar: proyección de un vector sobre un eje

Sea la proyección mostrada en la figura 23.

→→→→←←←←−−−−

→→→→→→→→++++====

θθθθ====

OE/OAsi)(

OE/OAsi)(OAP

cosPP

OE

OE

Figura 23. Proyección de un vector sobre el eje E, que pasa por el punto O.

Sea Qr

un vector con línea de acción OE, entonces:

Q

QPQPQP

QQP

PQPcosQPQP zzyyxx

OEOE

++++++++====

⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====θθθθ====⋅⋅⋅⋅

rrrr

Sea λλλλ====rr

Q , un vector unitario, en la dirección del eje OE; entonces la proyección OEP es:

zzyyxxOE cosPcosPcosPP

PP θθθθ++++θθθθ++++θθθθ====λλλλ⋅⋅⋅⋅====

λλλλ

λλλλ⋅⋅⋅⋅====

rrrr

Siendo zyx ,, θθθθθθθθθθθθ los ángulos del eje OE con los ejes cartesianos x, y, z.

Page 26: Apuntes Mecánica Vectorial

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25

c. Momento de una fuerza respecto a un eje

El momento de una fuerza respecto a un eje OE, llamado MOE, indica la tendencia de la fuerza

Fr

que produce el momento, a darle al sólido rígido un movimiento de rotación alrededor del eje

fijo OE.

Este momento se define como la proyección sobre el eje OE (definido por un vector unitario λλλλr

)

del momento de la fuerza Fr

respecto a un punto cualquiera del eje (figura 24), siendo siempre

un escalar.

(((( ))))zyx

zyx

zyx

OE

FFF

rrrFrMM

λλλλλλλλλλλλ

====××××⋅⋅⋅⋅λλλλ====⋅⋅⋅⋅λλλλ====rrrrr

Figura 24. Momento de la fuerza Fr

respecto al eje OE.

d. Momento de una fuerza respecto a un eje, cuando el eje no pasa por el centro de

coordenadas

Cuando el eje no pasa por el centro de coordenadas (ver la figura 25):

Figura 25. El eje E no pasa por el centro de coordenadas.

BAB/A rrrrrr

−−−−====

Page 27: Apuntes Mecánica Vectorial

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26

(((( ))))zyx

B/AB/AB/A

zyx

B/ABBE

FFF

zyxFrMM

λλλλλλλλλλλλ

====××××⋅⋅⋅⋅λλλλ====⋅⋅⋅⋅λλλλ====rrrrr

Se cumple que el momento respecto al eje, MBE, es independiente del punto B del eje escogido

para calcularlo (figura 26).

Figura 26. Seleccionando otro punto, C, del eje E.

Se calcula el momento respecto al eje E, pero tomando el momento respecto al punto C del eje:

(((( )))) (((( )))){{{{ }}}}FrrFrMM CAC/ACCE

rrrrrrrrr××××−−−−⋅⋅⋅⋅λλλλ====××××⋅⋅⋅⋅λλλλ====⋅⋅⋅⋅λλλλ====

Tomando:

(((( )))) (((( ))))BCBACAC/A rrrrrrrrrrrrrr

−−−−−−−−−−−−====−−−−====

Queda:

(((( )))){{{{ }}}} (((( )))){{{{ }}}} (((( )))){{{{ }}}}FrrFrrFrrM CBBACACE

rrrrrrrrrrr××××−−−−++++××××−−−−⋅⋅⋅⋅λλλλ====××××−−−−⋅⋅⋅⋅λλλλ====

Y como tanto los punto B como C están sobre el mismo eje, se cumple que:

(((( ))))CB rrrrr

−−−−λλλλ

Quedando, de esta forma, el momento respecto al eje como:

(((( )))){{{{ }}}} BEBACE MFrrM ====××××−−−−⋅⋅⋅⋅λλλλ====rrrr

Page 28: Apuntes Mecánica Vectorial

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27

e. Componentes del momento respecto a un eje

−−−−====

−−−−====

−−−−====

⇒⇒⇒⇒

λλλλλλλλλλλλ

====

xyz

zxy

yzx

zyx

zyx

OE

FyFxM

FxFzM

FzFyM

FFF

zyxM

o Las componentes Fx, Fy, Fz de una fuerza sobre un sólido rígido miden la

tendencia de la fuerza Fr

a mover el sólido en las direcciones x, y, z.

o Mx, My, Mz miden la tendencia de esa misma fuerza Fr

a hacer girar el sólido

rígido respecto a los ejes x, y, z.

2.3. Invariantes de un sistema de vectores deslizantes

1. Resultante general

Vector obtenido sumando todos los vectores del sistema:

∑∑∑∑====i

iFRrr

2. Momento resultante general del sistema respecto al punto O

(((( ))))∑∑∑∑∑∑∑∑ ××××====××××========i

iii

OiO ROPFOPMMrrrr

3. Centro de reducción O’

Se contempla qué ocurre si se calcula el momento respecto a un polo O’ diferente del anterior

punto O (ver la figura 27):

RO'OMRO'OROPR)O'OOP(RP'OM O'O

rrrrrrr××××++++====××××++++××××====××××++++====××××====

Quedando, por lo tanto:

RO'OMM O'O

rrr××××++++====

En esta última expresión puede verse que la última parte del segundo término es el momento de

la resultante, supuestamente aplicada en el punto O, respecto al punto O’:

====×××× RO'Or

Momento de la resultante aplicada en O, respecto a O’

Page 29: Apuntes Mecánica Vectorial

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28

Figura 27. Centro de reducción O’.

Caso particular: cuando las líneas de acción de las fuerzas concurren en el punto O.

En este caso, el momento de las fuerzas respecto al punto O es cero, por lo que se cumple:

RO'OM0M '00

rrr××××====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒

Es decir, que el momento de un sistema de fuerzas concurrentes en un punto es el momento de

la resultante aplicada en el punto de concurrencia. Esta es otra forma de enunciar el teorema de

Varignon.

4. Invariantes de un sistema

● Primer invariante: invariante vectorial, Rr

● Segundo invariante: invariante escalar

Para determinar el segundo invariante, se considera el momento respecto a un punto O’, que no

es invariante, ya que si el polo cambia, varía la magnitud del resultado:

RO'OMM O'O

rrr××××++++====

Si se multiplica toda esta expresión del momento respecto a O’ por el vector Rr

, queda:

(((( )))) RRO'ORMRM O'O

rrrrrr⋅⋅⋅⋅××××++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

El último término de este resultado es cero, ya que se tiene el producto mixto con dos de los

vectores paralelos entre sí (en este caso, se trata del mismo vector Rr

). Por lo tanto, queda:

(((( )))) RMRM

0

RRO'ORMRM O'OO'O

rrrr

44 344 21

rrrrrr⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅××××++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

Page 30: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

29

Se obtiene una invariante denominada trinomio invariante, que es el producto escalar del

momento respecto a un punto por la resultante del sistema.

Para normalizar esta expresión, se divide por el módulo de la resultante, Rr

:

cteR

RMO ====⋅⋅⋅⋅rr

A esta última expresión se le denomina invariante escalar. Esta invariante dice que es una

constante la proyección del momento resultante general en la dirección de la resultante general.

2.4. Par de fuerzas

a. Definición

Un par de fuerzas es un sistema de vectores de:

● Igual módulo

● Rectas de aplicación paralelas

● Sentidos opuestos

b. Características

• La resultante de un par de fuerzas es cero: 0R ====r

• El momento de un par (ver la figura 28), es:

Figura 28. Par de fuerzas

{{{{ }}}} (((( )))){{{{ }}}} (((( ))))(((( )))) FQPFOQOPFOQFOPMO

rrrrr××××====××××−−−−++++====−−−−××××++++××××====

Este momento del par cumple que:

Page 31: Apuntes Mecánica Vectorial

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30

- Es independiente del centro de reducción

- Es invariante

c. Módulo del momento del par

El módulo del momento del par (ver la figura 27), se obtiene como:

FQPMO

rr××××====

dFsenQPFMMM 0O ⋅⋅⋅⋅====αααα⋅⋅⋅⋅============r

Figura 29. Par de fuerzas y brazo del par.

d. Propiedades del par de vectores

● El momento del par es invariante.

● El momento de un par es un vector libre.

● Dos pares son equivalentes si tienen el mismo momento.

● Un par puede girarse en su plano y trasladarse paralelamente a sí mismo, sin alterar su

momento.

● En un sistema formado por varios pares, el momento total es la suma de momentos de

los distintos pares: ∑∑∑∑====

iiMM

rr

● Dos pares se equilibran si sus momentos son de igual módulo y de sentidos opuestos:

21 MMrr

−−−−====

2.5. Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par

Cualquier fuerza que actúe sobre un sólido rígido, puede moverse a un punto arbitrario O, si se

le añade un par de momento igual al que hace la fuerza respecto a dicho punto O, situada en su

Page 32: Apuntes Mecánica Vectorial

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31

posición inicial (ver la figura 30). Al resultado se le denomina sistema par-fuerza, y es un

sistema equivalente al inicial del cual se había partido.

Figura 30. Sistemas fuerza-par equivalentes

2.6. Problemas ejemplo

1. Momento respecto a un punto: Calcula el momento que el momento que sobre el punto A

ejerce la fuerza de 100 N aplicada sobre el extremo B de la barra de la figura.

Solución del problema:

Se trabaja a partir del esquema siguiente:

Siendo los vectores:

jN100Prr

−−−−====

(((( )))) (((( )))) jº30sinm5.1iº30cosm5.1rrrr

++++====

El momento que la fuerza jN100Prr

−−−−==== aplicada en B ejerce sobre el punto A de la barra es:

Page 33: Apuntes Mecánica Vectorial

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32

kNm9.129kNmº30cos5.1100

0N1000

0mº30sin5.1mº30cos5.1

kji

PrMA

rr

rrr

rrr−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====

−−−−

====××××====

Siendo, por lo tanto, la solución del problema:

Nm9.129kNm9.129MA ====−−−−====rr

3. Momento respecto a un eje: El tablón de masa 150 kg, que se muestra en la figura está

sostenido por dos apoyos en el suelo en los puntos A y B, por un cable que pasa por una

anilla sin rozamiento en el punto C y por un segundo tensor fijado al punto D. Sabiendo

que el módulo de la tensión T1 sobre el cable ECF es de 150 N, calcula la tensión del

segundo cable, DG.

Solución del problema:

Se representa el diagrama de sólido libre, teniendo en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre

el sólido y sus dimensiones:

Page 34: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

33

En el diagrama de sólido libre se muestran las 6 fuerzas que actúan sobre el objeto, dos de ellas

representadas en componentes. De las 6 fuerzas se tienen 7 incógnitas, ya que nos proporcionan

datos suficientes tanto para poder calcular tanto el peso Wr

como las tensiones CETr

y CFTr

.

Según las condiciones de equilibrio, para que éste se produzca, la resultante ha de ser nula y el

momento respecto a cualquier punto del espacio o a cualquier eje también (estén o no

contenidos en el cuerpo analizado).

Si se utilizan las condiciones de equilibrio habituales, es decir, resultante y momento nulo, se

trabaja con 6 ecuaciones, de manera que se tiene un sistema con más incógnitas que ecuaciones.

En el diagrama de sólido libre se puede ver que hay un eje respecto al cual no ejercen momento

siete fuerzas: el peso y las reacciones en los apoyos, ya que las líneas de aplicación de estas

fuerzas cortan o coinciden con dicho eje, que es la base AB del tablón. Por lo tanto, respecto a

este eje, las fuerzas que ejercen momento son las debidas a los tres tensores. Por lo tanto,

planteando equilibrio de momentos respecto al eje AB de la figura, se tiene una única incógnita:

la tensión del cable DG.

0MMMM

0M

)DGT(AB)CFT(AB)CET(AB

3

1iABi

3

1iABi

====++++++++====

====

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

Para calcular el momento que cada una de las tensiones ejerce sobre el eje AB, deben seguirse

los siguientes pasos:

1) Calcular el vector unitario que define al eje AB.

Page 35: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

34

2) Calcular la fuerza que ejerce el segmento CE del cable ECF sabiendo que su módulo es

de 150 N:

a. Se calcula el vector unitario que define la dirección del cable y que será

también el vector que defina la dirección de la fuerza que ejerce.

b. Se obtiene el vector fuerza buscado multiplicando su módulo de 150 N por el

vector unitario calculado.

3) Calcular la fuerza que ejerce el segmento CF del cable ECF. Como la anilla no tiene

rozamiento, el módulo de la fuerza es el mismo que en el segmento CE:

a. Se calcula el vector unitario que define la dirección del cable y que será

también el vector que defina la dirección de la fuerza que ejerce.

b. Se obtiene el vector fuerza buscado multiplicando su módulo de 150 N por el

vector unitario calculado.

4) Obtener la expresión de la fuerza que ejerce el cable DG en función del módulo de la

tensión, T, que es desconocido:

a. Se calcula el vector unitario que define la dirección del cable y que será

también el vector que defina la dirección de la fuerza que ejerce.

b. Se obtiene la expresión buscada multiplicando el vector unitario calculado por

la incógnita T.

5) Se plantea el equilibrio de los momentos respecto al eje:

0MMMM

0M

)DGT(AB)CFT(AB)CET(AB

3

1iABi

3

1iABi

====++++++++====

====

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

Teniendo en cuenta que el momento respecto al eje que ejerce cada una de las fuerzas se obtiene

como el producto escalar del vector unitario que define la dirección del eje por el momento que

la fuerza ejerce respecto a un punto cualquiera del eje, por ejemplo, respecto al punto A:

(((( ))))∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============

××××⋅⋅⋅⋅λλλλ====⋅⋅⋅⋅λλλλ====3

1iiAAB

3

1i)iT(AAB

3

1iABi TrMM

rrrrr

Siguiendo los pasos planteados para resolver el problema:

1) Vector unitario que define al eje AB. En este caso es sencillo, ya que según los ejes

tomados en el diagrama de sólido libre, este vector es el vector unitario que define al eje

y, es decir, el vector jr

. De forma general, debería calcularse como:

a. Se obtiene el vector AB :

jm2ABr

====

b. Se calcula el módulo del vector AB :

m2AB ==== c. Se divide el vector por su módulo:

jm2

jm2AB

rr

r========λλλλ

Page 36: Apuntes Mecánica Vectorial

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35

2) Fuerza que ejerce el segmento CE del cable ECF sabiendo que su módulo es de 150 N.

a. Vector unitario que define le línea de aplicación de la fuerza:

k995.0i0995.0m005.1

km1im1.0

m005.1)m1()m1.0(CE

km1im1.0CE

CE

22

rrrr

r

rr

−−−−====−−−−

====λλλλ

====++++====

−−−−====

b. Vector tensión sabiendo que el módulo de la fuerza es de 150 N:

kN25.149iN925.14)k995.0i0995.0()N150()N150(T CECE

rrrrrr−−−−====−−−−====λλλλ====

3) Fuerza que ejerce el segmento CF del cable ECF sabiendo que su módulo es de 150 N.

a. Vector unitario que define le línea de aplicación de la fuerza:

k88.0j176.0i44.0m1358.1

km1jm2.0im5.0

m1358.1)m1()m2.0()m5.0(CF

km1jm2.0im5.0CF

CF

222

rrrrrr

r

rrr

−−−−++++====−−−−++++

====λλλλ

====++++++++====

−−−−++++====

b. Vector tensión sabiendo que el módulo de la fuerza es de 150 N:

kN132jN4.26iN66)k88.0j176.0i44.0()N150()N150(T CFCF

rrrrrrrr−−−−++++====−−−−++++====λλλλ====

4) Expresión de la fuerza que ejerce el cable DG, siendo su módulo T una incógnita.

a. Vector unitario que define le línea de aplicación de la fuerza:

k894.0i447.0m118.1

km1im5.0

m118.1)m1()m5.0(DG

km1im5.0DG

DG

22

rrrr

r

rr

−−−−−−−−====−−−−−−−−

====λλλλ

====++++====

−−−−−−−−====

b. Expresión del vector tensión en función de T:

kT894.0iT447.0)k894.0i447.0(TTT DGDG

rrrrrr−−−−−−−−====−−−−−−−−====λλλλ====

5) Suma de momentos respecto del eje AB igual a cero:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 0TrTrTrTrM DGADABCFACABCEACAB

3

1iiAAB

3

1iABi ====××××⋅⋅⋅⋅λλλλ++++××××⋅⋅⋅⋅λλλλ++++××××⋅⋅⋅⋅λλλλ====××××⋅⋅⋅⋅λλλλ==== ∑∑∑∑∑∑∑∑

========

rrrrrrrrrrrr

Siendo los vectores de posición los que se muestran en la figura:

km1jm2r

km1r

AD

ACrrr

rr

++++====

====

Page 37: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

36

Queda, por lo tanto:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

0Tm447.0Nm66Nm925.14

T894.00T447.0

m1m20

010

N132N4.26N66

m100

010

N25.1490N925.14

m100

010

TrTrTrM DGADABCFACABCEACAB

3

1iABi

====−−−−++++====

====

−−−−−−−−

++++

−−−−

++++

−−−−

====

====××××⋅⋅⋅⋅λλλλ++++××××⋅⋅⋅⋅λλλλ++++××××⋅⋅⋅⋅λλλλ====∑∑∑∑====

rrrrrrrrr

Despejando:

N04.181m447.0

Nm66Nm925.14T ====

++++====

Una vez que se conoce el módulo de la tensión, se determina totalmente la fuerza multiplicando

dicho módulo por el vector unitario de dirección de la línea de aplicación:

kN85.161iN925.80N04.181TT DGDGDG

rrrrr−−−−−−−−====λλλλ====λλλλ====

3. Invariantes de un sistema de vectores deslizantes: Sea el sistema de 4 vectores

deslizantes aplicados en los puntos (2,0,1), (0,1,1), (1,2,-1) y (3,1,-2), que se muestran en la

figura. Calcula los invariantes del sistema.

Solución del problema:

Los invariantes del sistema son dos: el invariante vectorial (la resultante) y el invariante escalar

(la proyección del momento respecto a un punto cualquiera en la dirección de la resultante).

1) Invariante vectorial:

Page 38: Apuntes Mecánica Vectorial

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37

{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}} kj5i7k2i5j4k3ji2FFFFR 4321

rrrvrrvrrrrrrr−−−−++++====++++++++++++−−−−++++====++++++++++++====

kj5i7Rrrrr

−−−−++++====

2) Invariante escalar:

a. Se calcula el momento que ejerce el sistema de fuerzas respecto a un punto

cualquiera, por ejemplo respecto al centro de coordenadas, O:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) k8j3i3j6i2k10j5i4ij6k2j2

200

213

kji

005

121

kji

040

110

kji

312

102

kji

FrFrFrFrM 44332211O

rrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrr

−−−−−−−−−−−−====−−−−++++−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−++++++++====

====−−−−++++−−−−++++++++

−−−−

====××××++++××××++++××××++++××××====

b. Se obtiene el producto escalar del momento previamente calculado por la

resultante:

(((( )))) (((( )))) 281,5,78,3,3RMO −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅rr

c. Se calcula el módulo de la resultante:

66.8157R 222 ====++++++++====r

d. Se divide el producto escalar calculado por el módulo de la resultante:

Nm233.366.828

R

RMO −−−−====−−−−

====⋅⋅⋅⋅r

rr

4. Sistemas fuerza-par equivalentes: Dada la fuerza F de 50 N que se aplica con un ángulo de

60º en el punto A del cajón, tal como se muestra en la figura, a) sustituye esta fuerza por un

sistema fuerza-par equivalente aplicado en C, y b) sustituye la fuerza F aplicada en A por dos

fuerzas paralelas aplicadas en los puntos B y C, de tal manera que los sistemas resultantes sean

equivalentes.

Solución del problema:

a) Sistema fuerza-par equivalente aplicado en C.

1. En primer lugar, se dibuja el diagrama de sólido libre:

Page 39: Apuntes Mecánica Vectorial

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38

j5.0r C/A

rr−−−−====

jº60sinN50iº60cosN50Frrr

−−−−====

2. A continuación se calcula el momento que la fuerza F aplicada en A ejerce sobre el

punto C:

kNm5.12º60cos5.050

0º60sin50º60cos50

05.00

kji

FrM C/AC

r

rrr

rrr====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

−−−−====××××====

3. Se traslada la fuerza F al punto C y se añade el momento que se ha calculado. Con esto

ya se tiene el sistema fuerza-par equivalente, que se representa en el diagrama.

Fuerza en C: N50F ====r

Momento: Nm5.12M ====r

b) Sistema equivalente formado por dos fuerzas paralelas aplicadas en C y en D.

1. Se parte, por ejemplo, del resultado obtenido en el apartado anterior, es decir, de una

fuerza aplicada en C y de un momento aplicado sobre el plano:

60º

Page 40: Apuntes Mecánica Vectorial

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39

2. Se calcula el par que se necesita aplicar para que se produzca el momento de 12.5 Nm,

sabiendo que, como todas las fuerzas se han de aplicar en C y en D, las dos líneas de

aplicación de las fuerzas deben pasar por estos puntos. Además, la línea de aplicación

de las fuerzas debe tener un ángulo de 60º respecto a la horizontal, para que se llegue a

un resultado final con fuerzas paralelas, ya que la línea de aplicación de la fuerza de 50

N tiene ese ángulo. En la siguiente figura se pueden ver las líneas de aplicación de las

dos fuerzas que crean el par, la fuerza de 50 N y el brazo del par, que se deberá calcular.

Brazo del par, L: m5.0º60cosm1L ====⋅⋅⋅⋅====

Fuerza del par, P: Nm5.12� PL====

N25

m5.0

Nm5.12P ========

Page 41: Apuntes Mecánica Vectorial

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40

3. Una vez calculado el par, se tiene el siguiente sistema de fuerzas:

Siendo el sentido de las fuerzas P del par el que se

obtiene para que el signo del momento se mantenga.

4. Para finalizar, como en el punto C hay dos fuerzas aplicadas, ambas sobre la misma

línea de aplicación, se suman vectorialmente para tener una única fuerza, de tal manera

que queda:

Fuerza aplicada en el punto C: N50FC ====r

N25−−−− N25====

Fuerza aplicada en el punto D: N25FD ====r

Siendo, por lo tanto, el resultado final, que queda representado en la siguiente figura:

60º 60º 60º

60º

Page 42: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

41

3. SISTEMAS DE FUERZAS DISTRIBUÍDAS

3.1. Sistemas de fuerzas coplanarias

Sea un sistema de fuerzas coplanarias, que están contenidas en un plano P, tal como se muestra

en la figura 31. Se tienen n fuerzas y m pares.

Figura 31. Sistema de fuerzas coplanarias contenidas en el plano P

Si se trasladan las fuerzas a un punto de aplicación común contenido en el plano P, se forman

pares adicionales, ya que, para tener sistemas equivalentes, es necesario añadir los momentos

que correspondan.

La fuerza resultante del sistema

La fuerza resultante del sistema equivalente, una vez que se han trasladado todas las fuerzas a

un mismo punto y se han añadido los pares necesarios, viene dada por:

jFiFFRn

1iiy

n

1iix

n

1ii

rrrrrr

++++

======== ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============

El momento resultante del sistema

El momento resultante del sistema equivalente se puede calcular como la suma del momento

debido a los pares más los momentos añadidos al realizar la translación de fuerzas al mismo

punto de aplicación común:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]kM...MMkdF...dFdFM m21nn2211

rrr++++++++++++++++++++++++++++====

Donde:

n21 d,...,d,d son las distancias perpendiculares desde el punto común al que se han

trasladado las fuerzas, hasta las líneas de acción de dichas fuerzas en su posición inicial.

Page 43: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

42

m21 M,...,M,M son los momentos de los pares de fuerzas existentes en un inicio sobre el

plano.

Sistema equivalente más sencillo posible cuando la resultante es distinta de cero

El primer caso analizado es aquel en el que la fuerza resultante es diferente de cero, es decir, el

caso de que:

0R ≠≠≠≠r

Lo que quiere decir que se cumple que:

∑∑∑∑∑∑∑∑========

≠≠≠≠≠≠≠≠n

1iiy

n

1iix 0Fo/y0F

rr

Cuando esto sucede, es posible desplazar la fuerza resultante desde el punto seleccionado

previamente como punto de aplicación común a todas las fuerzas, hasta un segundo punto en

una posición paralela, de tal manera que se introduzca un nuevo par que cancele el momento

resultante Mr calculado.

De esto se deduce que, si las componentes de la resultante en cualquier dirección del plano no

son nulas, el sistema de fuerzas coplanarias inicial se puede reemplazar por una única fuerza

situada en una línea de acción específica.

Sistema equivalente más sencillo cuando la resultante es nula

Este es el caso de una resultante nula,

0R ====r

, es decir: ∑∑∑∑∑∑∑∑========

========n

1iiy

n

1iix 0Fy0F

rr

Ahora no hay ninguna fuerza aplicada en el punto común, por lo que no se puede trasladar en el

plano para eliminar el momento resultante.

Por lo tanto, en este caso, la resultante más sencilla posible del sistema de fuerzas coplanarias,

es un par cuyo momento es igual al momento resultante calculado previamente, o bien, si el

momento resultante es nulo, la resultante más sencilla posible es nula.

Sistema equivalente más sencillo posible. Resumen

Se puede resumir diciendo que el menor sistema equivalente posible en el caso de fuerzas

coplanarias ha de ser:

Page 44: Apuntes Mecánica Vectorial

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43

- Una única fuerza situada en una línea de aplicación dada.

- Un único par de fuerzas de momento determinado.

- Un vector nulo (si la resultante y el momento son nulos).

3.2. Sistemas de fuerzas paralelas en el espacio

Se tiene un sistema de fuerzas paralelas en el espacio, algunas de las cuales pueden ser pares, tal

como se muestra en la figura 32. El eje vertical (z) se selecciona de tal manera que sea paralelo

a las fuerzas.

Se tienen n+2m fuerzas, de las cuales m son pares y, por lo tanto, sus planos son paralelos al eje

z (vertical), tal como se muestra en la figura 32. Estos pares están formados por fuerzas iguales

y opuestas paralelas al eje z.

Para calcular el sistema equivalente más sencillo posible de este sistema, se deben hacer las

siguientes operaciones:

1. Resultante del sistema

Se desplazan todas las fuerzas al origen y se calcula la resultante, obteniendo:

kFRn

1ii

rr

==== ∑∑∑∑====

Figura 32. Sistema de fuerzas paralelos entre sí, m son pares y n fuerzas puntuales

Page 45: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

44

2. Momento resultante del sistema

Cuando se han trasladado todas las fuerzas al origen y se ha calculado la resultante, se obtiene

un sistema equivalente al inicial (de la figura 32) cuando se calcula el momento que las fuerzas

del sistema inicial ejercían respecto al origen (o el punto al que se han trasladado dichas fuerzas

y en el que se aplica la resultante).

El momento del sistema equivalente, respecto al origen, es:

(((( )))){{{{ }}}} {{{{ }}}}∑∑∑∑∑∑∑∑========

++++++++××××++++====m

1i

iyix

n

1i

iiiOR jMiMkFjyixMrrrrrr

Donde iF representa a todas las fuerzas que no forman pares, y iM el momento de los pares.

Calculando el producto vectorial que aparece en la expresión anterior, se tiene la siguiente

relación para el momento del sistema equivalente:

(((( )))){{{{ }}}} {{{{ }}}}∑∑∑∑∑∑∑∑========

++++++++++++−−−−====m

1i

iyix

n

1i

iiiiOR jMiMiFyjFxMrrrrr

Se observa que el momento obtenido, ORMr

, es un vector que siempre resulta paralelo al plano

xy y, por lo tanto, perpendicular a la dirección de las fuerzas.

De este modo, se ha obtenido una única fuerza y un único momento, representados en la figura

33.

Figura 33. Sistema equivalente, formado por una resultante aplicada en el origen, Rr, y un

momento, ORMr

.

3. Sistema equivalente más sencillo posible

A partir del sistema calculado anteriormente, se busca el sistema equivalente más sencillo

posible, considerando dos posibilidades:

Page 46: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

45

a. Que la resultante sea cero

b. Que la resultante sea distinta de cero

a. Si la resultante es distinta de cero

0R ≠≠≠≠r

En este caso, es posible desplazar de nuevo la fuerza Rr hasta otra línea de aplicación, paralela a

la primera y, por lo tanto, de acción paralela al eje z y perpendicular al momento ORMr

, de tal

manera que el momento que cree compense el que ya existía.

La distancia entre el eje z y la nueva línea de aplicación es d. El valor de esta distancia d se ha

de calcular para que se consiga compensar el momento ORMr

(ver la figura 34), de tal manera que

se cumpla:

● ORMdR ====

● El sentido de dR ha de ser opuesto al del momento ORMr

que ya se tenía en un

principio.

Figura 34. Sistema equivalente más sencillo cuando la resultante no es nula. Se traslada a una

línea de aplicación paralela al eje z distante de dicho eje una distancia d, de tal manera que el

momento que crea en la nueva posición sea igual y de sentido contrario al momento ya

existente.

El resultado de estas operaciones es una única fuerza que tiene una línea de aplicación concreta,

determinada por su intersección con el plano P formado por los ejes xy (punto P), tal como se

muestra en la figura 34.

b. Si la resultante es nula

0R ====r

Page 47: Apuntes Mecánica Vectorial

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46

En este caso no se puede trasladar el vector fuerza resultante para compensar el momento, por lo

que el sistema equivalente más simple es un sistema de fuerzas paralelas formando un par, o

bien un momento igual al que ya existía.

Si el momento existente era nulo, el sistema equivalente más sencillo posible es un vector nulo.

c. Resumiendo

La resultante más sencilla posible de un sistema de fuerzas paralelas, dependiendo de las

condiciones del problema, puede ser uno de los tres casos siguientes:

● Una única fuerza con una línea de acción específica.

● Un único par de fuerzas.

● Un vector nulo.

3.3. Problemas ejemplo

1. Sistema de fuerzas y pares contenidos en un plano: Sea el sistema de fuerzas contenidas en

el plano xy que se muestra en la figura, siendo:

jiF;j3F;i3F;j4i2F 1121

rrrrrrrrrr++++−−−−====−−−−========++++==== , donde las unidades de los ejes se dan en

metros y las de las fuerzas en Newton. Calcula el sistema equivalente más sencillo posible.

Solución al problema: Para resolver este problema se han de seguir los siguientes pasos:

- Se calcula la resultante del sistema.

- Se calculan los momentos que ejercen las fuerzas y los pares respecto a un punto del

sistema o respecto a cada uno de los dos ejes respecto a los que las fuerzas hacen

momento (ejes x e y).

- La resultante puede ser igual a cero o distinta de cero:

o Si la resultante es igual a cero, el sistema equivalente más sencillo posible

es un par cuyo momento respecto a los ejes x e y o respecto a un punto es el

calculado.

Page 48: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

47

o Si la resultante es distinta de cero, el sistema equivalente más sencillo

posible es una única fuerza situada en un punto del plano de tal manera que

su momento respecto a los ejes x e y o respecto a un punto, es igual al

calculado.

1. Resultante del sistema: se obtiene como la suma vectorial de todas las fuerzas involucradas:

j2i4FFFFR 4321

rrrrrrr++++====++++++++++++====

0R ≠≠≠≠r

2. Se calcula el momento respecto al punto (0,0,0) que ejercen todas las fuerzas y pares del

sistema. En este ejemplo particular no hay pares:

====××××++++××××++++××××++++××××====++++++++++++====443322114_03_02_01_00

FrFrFrFrMMMMMrrrrrrrrrrrrr

k22

011

014

kji

030

044

kji

003

053

kji

0r

rrrrrrrrr

−−−−====

−−−−

++++

−−−−

++++++++====

3. Sistema equivalente más sencillo posible:

La resultante es distinta de cero, por lo tanto, el sistema equivalente más sencillo posible es

una fuerza (la resultante calculada), aplicada según una línea de aplicación determinada, tal

como se representa en la siguiente figura:

Para determinar la línea de aplicación de la resultante, se calcula el momento que ejerce

sobre el punto (0,0,0) estando situada en un punto arbitrario (a,b,0). Este momento, debe ser

igual al que ejercían sobre el mismo punto todas las fuerzas del sistema inicial; en los dos

casos, debe resultar un vector perpendicular al plano que forman los vectores de posición de

las fuerzas con los vectores fuerza.

(((( )))) kb4a2

024

0ba

kji

R)0,b,a(M0

r

rrr

rr−−−−========××××====

Igualando los momentos en los dos casos, ya que se trata de sistemas equivalentes, se

obtiene:

j2i4Rrrr

++++====

Page 49: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

48

(((( )))) kb4a2k22M0

rrr−−−−========

Con lo que se obtiene una relación entre los puntos a y b que nos proporciona la ecuación de

una recta. Esta recta es la línea de aplicación de la resultante:

5y2xb4a222 −−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====

Para dibujar claramente esta línea, se pueden determinar los puntos de intersección de la

misma con los ejes de coordenadas:

- Intersección con el eje x:

m5.2y0xsi ====⇒⇒⇒⇒====

- Intersección con el eje y:

m5x0ysi −−−−====⇒⇒⇒⇒====

Por lo tanto, la solución del problema, es una fuerza resultante distinta de cero: j2i4Rrrr

++++==== ,

que tiene una línea de aplicación que pasa por los puntos: )0,5(y)5.2,0( −−−− .

2. Sistema de fuerzas y pares paralelos en el espacio: Sea el sistema de fuerzas y pares, todos

ellos paralelos al eje z que se muestran en la figura, siendo

Nk10F;Nk6F;Nk4F 321

rrrrrr====−−−−====−−−−==== . Calcula el sistema equivalente más sencillo

posible.

Solución al problema: Para resolver este problema, como en el anterior, se han de seguir los

siguientes pasos:

Page 50: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

49

- Se calcula la resultante del sistema.

- Se calculan los momentos que ejercen las fuerzas y los pares respecto a un punto del

sistema, por ejemplo, respecto al origen.

- La resultante puede ser igual a cero o distinta de cero:

o Si la resultante es igual a cero, el sistema equivalente más sencillo posible

son dos fuerzas, es decir, un par cuyo momento respecto al punto

considerado (por ejemplo, respecto al origen) es igual al calculado a partir

del sistema de fuerzas inicial.

o Si la resultante es distinta de cero, el sistema equivalente más sencillo

posible es una única fuerza cuya línea de aplicación –paralela al eje z–,

corta al plano XY por un punto determinado, de tal manera que el momento

que esta resultante así situada crea respecto al punto escogido es igual al

momento que se obtenía respecto a ese mismo punto, utilizando el sistema

de fuerzas inicial.

1. Resultante del sistema:

(((( )))) 0kN864R ====++++−−−−−−−−====rr

La resultante es nula.

2. Momento del sistema inicial respecto del origen:

Momento que ejerce la fuerza 1Fr respecto del origen:

(((( ))))Nmj4i16

400

041

kji

FrM 111

rr

rrr

rrr++++−−−−====

−−−−

====××××====

Momento que ejerce la fuerza 2Fr respecto del origen:

(((( ))))Nmj24i48

600

084

kji

FrM 222

rr

rrr

rrr−−−−−−−−====

−−−−

−−−−====××××====

Momento que ejerce la fuerza 3Fr respecto del origen:

(((( ))))Nmj20i30

1000

032

kji

FrM 333

rr

rrr

rrr−−−−========××××====

Momento que ejerce el par respecto del origen: el par está situado en un plano paralelo a los

ejes Z e Y, y perpendicular al eje X. Por lo tanto, el momento de este par únicamente tendrá

componente según este último eje:

iNm6Mpar

rr−−−−====

El momento total del sistema respecto al origen es:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))Nmj40i40jNm20244iNm6304816MO

rrrrr−−−−−−−−====−−−−−−−−++++−−−−++++−−−−−−−−====

3. Sistema equivalente más sencillo posible:

Page 51: Apuntes Mecánica Vectorial

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50

Como la resultante es nula, el sistema equivalente más sencillo posible son dos fuerzas

paralelas al eje Z que forman un par cuyo momento respecto al origen es:

(((( ))))Nmj40i40MO

rrr−−−−−−−−====

3. Resultante más sencilla posible en el caso de fuerzas y pares aplicados sobre una viga:

Sea la viga de la figura sobre la que se aplican los pares y fuerzas mostrados. Calcula el

sistema equivalente más sencillo posible.

Solución al problema: Este problema es un ejemplo particular del caso de un sistema de

fuerzas y pares coplanarios. Por lo tanto, para resolverlo, es necesario seguir los pasos ya

indicados anteriormente:

1. Se calcula la resultante del sistema:

(((( )))) (((( )))) jN50iN32.12jN10º30sin2050iN5º30cos20Rrrrrr

−−−−====++++−−−−−−−−++++−−−−====

2. Se calcula el momento que ejercen las fuerzas y pares respecto a un punto determinado.

El punto seleccionado es el extremo izquierdo de la viga (punto O):

- Momento que generan las fuerzas:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) Nm268.7m2.0N5m3N10m1.0Nº30cos20m2Nº30sin20 ====−−−−++++−−−−−−−−

- Momento que generan los pares:

(((( )))) (((( )))) Nm20m2N15Nm10 −−−−====⋅⋅⋅⋅++++−−−−

- Momento total del sistema de fuerzas y pares:

Nm732.12kNm732.12MO ====−−−−====rr

3. Se determina el sistema equivalente más sencillo posible según sea la resultante: igual a

cero o distinta de cero:

- La resultante es distinta de cero, luego, el sistema equivalente más sencillo posible

es una única fuerza situada en un punto determinado de la viga, siendo dicha fuerza

igual a la resultante calculada.

- El punto de aplicación de esta fuerza sobre la viga se calcula considerando que el

momento que debe hacer respecto del punto O ha de ser el mismo que el momento

que hacen las fuerzas y los pares del sistema inicial. De este modo se calcula la

distancia d que se muestra en la figura:

Page 52: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

51

Nmd50MO ====r

� Nm732.12==== � m927.3d ====⇒⇒⇒⇒

- Por lo tanto, el sistema equivalente más sencillo posible es una fuerza:

jN50iN32.12Rrrr

−−−−==== , aplicada sobre la viga a una distancia: m927.3d ==== del

extremo O indicado sobre la viga.

3.4. Reducción de un sistema de fuerzas a un torsor o una llave de torsión

Caso general 3D: sistema de fuerzas que puede tener un sistema equivalente de fuerza-par en un

punto O

Este sistema consta de:

Una fuerza R

Un vector par R

OMr

Ambos son:

- Distintos de cero

- No perpendiculares entre sí

En este caso el sistema no puede reemplazarse por una sola fuerza o un solo vector del par

(momento)

El momento R

OMr

puede sustituirse por dos pares:

- Uno de momento 1Mr

a lo largo de Rr

- Otro de momento 2Mr

en un plano perpendicular a Rr

Figura 35. Fuerza y momento de direcciones cualesquiera. El momento se puede separar en una

componente paralela a la línea de aplicación de la fuerza y una componente perpendicular a

dicha línea de aplicación

=R M0

R

o

R

M1

M2o

Page 53: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

52

El par 2Mr

y la fuerza Rr pueden sustituirse por una sola fuerza R

raplicada en una línea de

acción paralela a la anterior y que pase por un punto A ≠ O.

Figura 36. La fuerza y el momento perpendicular se pueden sustituir por un sistema equivalente

de una única fuerza con el igual a la primera, situada en una línea de aplicación paralela a la

primera, que pasa por un punto determinado.

El sistema se reduce a:

Un par que actúa perpendicular a Rr(momento paralelo a R

r).

Figura 37. El sistema de una fuerza y un momento de direcciones cualesquiera se ha podido

sustituir por una sistema de una fuerza y un momento con una misma línea de aplicación.

Este sistema fuerza-par recibe en nombre de llave de torsión.

Esta combinación resultante de empuje y torsión es la misma que se encuentra en las

operaciones de perforación y enroscado (apretar y aflojar tornillos…).

Definiciones:

Eje de la llave de torsión: línea de acción de Rr.

Paso de la llave de torsión:

Llave de torsión: dos vectores colineales:

1) Una fuerza: Rr

2) Un vector par (momento):

Siendo la proyección de R

OMr

sobre la línea de aplicación de Rr:

o

R

Ao

R

M2o

o

R

M1

A

R

Mp 1====

RpMr

====1

1MR

MRM

R

0

1

rr⋅⋅⋅⋅

====

Page 54: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

53

Figura 38. Sistema de llave de torsión equivalente al sistema inicial.

Ejemplo:

Reemplace las tres fuerzas mostradas por:

a) Un sistema fuerza-par en A

b) Un sistema fuerza-par de eje común

Respuesta:

Sistema de fuerza y par no paralelos ni perpendiculares entre sí:

Para obtener el sistema fuerza-par de eje común:

R

r

o

M0R

=

R

o

M1

A

Eje de lallave de torsión

RrRpRrMMR

rrrrrrr××××++++====××××++++==== 10

x

y

z

250 N

120 N

120 N

20 mm

160 mm

100 mm

200 mm

40 mmA

kNiNkNiNRrrrrr

250)120()250()120( −−−−====−−−−−−−−====

{{{{ }}}} [[[[ ]]]]{{{{ }}}}jNmkNmjNm

iNkmjmkNimMR

Arrr

rrrrrr

2.191250...

)120()16.0()1.0()250()2.0(

−−−−−−−−========

====−−−−××××++++−−−−++++−−−−××××====

kNiNkNiNRrrrrr

250)120()250()120( −−−−====−−−−−−−−====

kNmjNmM R

A

rrr)12()8.30( −−−−====

Page 55: Apuntes Mecánica Vectorial

Mecánica vectorial SISTEMAS MECÁNICOS (STM) Vega Perez Gracia

54

, quedando: , de tal manera que:

X = 0.1232 m.

El paso de la llave de torsión se calcula como: , resultando

p = 48 mm.

El eje de la llave de torsión está situado en: Eje x en ( x = 123.2 mm, y = 0 ).

A x

y

z

R = -250 N k

30 Nm j

-12 Nm k

A xx

y

z

=

R = -250 N k

-12 Nm k

jkixrrr

)8.30()250( ====−−−−×××× jjxrr

)8.30(250 ====

mN

Nm

R

Mp 048.0

250

121 ====−−−−−−−−

========