APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS

INTRODUCCIÓN

Hay multitud de funciones para las cuales tiene gran interés el cálculo del área bajo su gráfica. Veamos algunos ejemplos: 

El área bajo la curva velocidad nos proporciona el espacio total recorrido. El área bajo la curva aceleración es la velocidad alcanzada. El área bajo la curva de ganancias nos proporciona las ganancias

acumuladas. El área bajo la curva potencia funcionando en cada instante nos

proporciona la energía consumida. El área bajo la curva que marca el caudal de agua vertida en un pantano

es el volumen de agua acumulada en el pantano.

Como ves, el cálculo del área bajo una curva no es solamente un problema de interés geométrico, sino una información muy práctica en muchos casos.

En este tema aprenderemos como, a través de la Integral Definida, podemos calcular el área bajo la curva.

OBJETIVOS

Comprender el papel que desempeña el área bajo una curva en muchas funciones concretas.

Aplicar la regla de Barrow para el cálculo automático de integrales definidas.

Conocer el signo de la integral y la diferencia entre integral y área encerrada por la curva.

Conocer el proceso de integración y su relación con el área bajo una curva.

Dominar el cálculo de áreas comprendidas entre una curva y el eje X y entre dos curvas.

1.- LA INTEGRAL DEFINIDA. REGLA DE BARROW.

Para hallar la integral definida , se procede así:

1. Se halla una primitiva de la función f(x): G(x)=f(x)dx. 2. Se calculan los valores G(b) y G(a). 

3. La integral buscada es  = G(b)-G(a)

Si  f(x)>0  en el intervalo [a,b]  , la coincide con el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje X en el intervalo [a,b].En esta escena puedes ver representada la función y = f(x) = x2-2x+2 cambiando los valores de los límites de integración a, b (modificando con los pulsadores o introduciendo el valor directamente) se obtiene el valor de la Integral definida aplicando la regla de Barrow.

Anota en tu cuaderno:

1) Calcula una primitiva  G(x) de f(x) = x2-2x+2.

2) Calcula G(b) y G(a)

3) Calcula la integral  I = G(b) -G(a) y comprueba el resultado con el que aparece en la escena.

4) Este resultado coincide con el valor del área del recinto coloreado de verde.

5) Modifica los valores de a, b y repite los pasos anteriores.

6) ¿Cuánto vale la integral si a=b?.

7) Coge un valor c entre a, b y  por ejemplo a=1 , c=2,  b=3 calcula la integral definida entre a, c , la integral definida entre  c,  b y la integral definida entre a, b .¿Qué relación existe entre ellas? 

2.- EL SIGNO DE LA INTEGRAL

Para hallar el signo de la integral  , realiza los ejercicios que se proponen en la siguiente escena. Se pueden deducir las siguientes propiedades:

1. Si  f(x)>0  en el intervalo [a,b] , la integral  >0 

2. Si  f(x)<0  en el intervalo [a,b] , la integral  <0 

3. Si  f(x) cambia de signo en el intervalo [a,b] , la integral   nos da la suma algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje X, cada un con su signo.En esta escena puedes ver representada la función y = f(x) = x2-1 cambiando los valores de los límites de integración a, b  vamos a ver el signo de la integral definida.

Anota en tu cuaderno:

1) Aplicando la Regla de Barrow calcula la integral de   f(x) = x2-1 entre a=1, b=2

2) ¿Qué signo tiene la integral?

3) Calcula, modificando los valores de a,b la integral de f(x) = x2-1 entre a=-1 , b=1

4) ¿Qué signo tiene  ahora la integral?

5) Calcula, modificando los valores de a,b la integral de f(x) = x2-1 entre a=-1 , b=2.

6) ¿Cuánto vale la integral ?.

7) Intenta encontrar una relación entre el signo de la función f(x) y el signo de la integral.

3.- CÁLCULO DEL ÁREA LIMITADA POR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y EL EJE XEn el punto anterior hemos visto el signo de la integral, por tanto si lo que se quiere es calcular el área se procederá así:

1. Si  f(x)>0  en el intervalo [a,b] , el área =  

2. Si  f(x)<0  en el intervalo [a,b] , el área =| | 3. Si  f(x) cambia de signo en el intervalo [a,b] , el intervalo se parte en dos (o más) mitades: [a,c] donde f(x)>0 y [c,b] donde f(x)<0 .Como la integral definida entre a, b es igual a la suma de la integral definida entre a, c más la integral definida entre c,  b ; el área es la suma algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje X, cambiando de signo esta última que es negativa.Según lo anterior para calcular el área comprendida entre una curva y = f(x) y el eje OX y las rectas x=a, x=b  se procede así:

1. Se resuelve la ecuación f(x)=0 para averiguar los puntos de corte de la curva con el eje OX. 2. Se ordenan de menor a mayor las soluciones que están en el intervalo [a,b] . Supongamos que son a<x1<x2<x3<b. 3. Se halla una primitiva de la función f(x): G(x)=f(x)dx. 4. Se calculan G(a), G(x1), G(x2), G(x3), G(b). 5. Las áreas de los recintos son los valores absolutos de las diferencias G(a)-G(x1), G(x2)-G(x1), G(x3)-G(x2), G(b)-G(x3). 6. El área pedida es la suma de las áreas de los recintos.En esta escena vamos a calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) = x3-5x2+6x y el eje X y las rectas x=-1, x=4. Para ir viendo los distintos pasos hay que ir modificando el pulsador de Paso. Modificando  los pulsadores f3,  f2,  f1,  f0,  a,  b se puede calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) = f3x3+f2x2+f1x+f0 y el eje X y las rectas x=a, x=b.

Anota en tu cuaderno:

1) Cambia el valor de Paso = 1 para ver el área pedida.

2) Resuelve la ecuación f(x) = 0.

3) Ordena de menor a mayor las soluciones obtenidas comprendidas entre ay b. (Paso = 2).

4) Calcula una primitiva  G(x) de f(x) (Paso = 3).

5) Calcula el valor de G(x) en cada una de las soluciones de f(x) = 0. (Paso = 4).

6) El área pedida es la suma de las áreas de cada recinto. Y la de estos el valor absoluto de las diferencias de G(x). (Paso = 5).

7) Modifica los valores a y  b, según los valores de la tabla, y calcula en tu cuaderno el área. (Observa como va afectando al número de recintos y a la expresión de I)

a 1 2.5 3.5 0 2 3 0 0 2b 4 4 4 4 4 4 2 3 3

8) Modificando los valores de f3, f2, f1, f0, a, b y repitiendo los pasos anteriores calcula en tu cuaderno el área limitada por la gráfica de la función   f(x) = x3-

4x2+3x y el eje X

4.- CÁLCULO DEL ÁREA LIMITADA POR LA GRÁFICA DE DOS FUNCIONES.Para calcular el área comprendida entre la gráfica de dos funciones y = f(x),  y = g(x) se procede así

1. Calculamos la función diferencia y = (f-g)(x). 2. El área comprendida entre la gráfica de dos funciones y = f(x),  y = g(x) es igual al área  comprendida entre la función diferencia  y = (f-g)(x) y el eje OX.  3. Procedemos igual que en el apartado anterior.

En esta escena calcularemos el área limitada por las gráficas de las funciones y = f(x) = 4-x2, y = g(x) = x+2 . Para ir viendo los distintos pasos hay que ir modificando el pulsador de Paso.

Anota en tu cuaderno:

1) Cambia el valor de Paso = 1 para ver el área pedida.

2) Resuelve la ecuación f(x)-g(x) = 0.

3) Ordena de menor a mayor las soluciones obtenidas. (Paso = 2).

4) Calcula una primitiva  G(x) de f(x)-g(x) (Paso = 3).

5) Calcula el valor de G(x) en cada una de las soluciones de f(x)-g(x) = 0. (Paso = 4).

6) El área pedida es la suma de las áreas de cada recinto. Y la de estos el valor absoluto de las diferencias de G(x). (Paso = 5).

7) Repitiendo los pasos anteriores calcula en tu cuaderno el área limitada por las gráficas de las funciones f(x) = x2+x-2 y g(x) = 2x