aplicaciones de la integral definida longitud de una …

Ing. Rimachi Fernández Manuel Análisis Matemático I Aplicación de integrales

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Vamos apl icar las integrales definidas en curvas para hal lar la

longi tud de la curva, el área bajo la curva o entre curvas s iempre en

coordenadas rectangulares .

LONGITUD DE UNA CURVA

Como medimos la longitud de una curva con los instrumentos de medición que poseemos.

La lógica es estirar la curva y resuelto el problema, pero si fuera la parte de un sólido muy

pequeño ò muy grande, sí que es un problema. La idea es partirla en pequeños trozos tan

pequeños que cada trozo sea un segmento de recta, en algunos tramos se podrá pero en

otros tramos no, por ello lo ideal sería que la distancia entre puntos sea tan pequeña casi

como pegados que su distancia en cada uno sea casi cero.

Luego la distancia de = B – A = (

√ = √ = √

A este proceso también se le

conoce como rectificación

de una curva. A

B

Y

X


Por lo tanto la longitud de ese pequeño segmento sería: √ , la suma de

todos los pequeños segmentos, asumiendo que tienen la misma longitud sería:

∑√

Como se quiere que sea tan pequeño, casi cero se toman el límite tal como lo definió

Newton, pero sabemos que el límite de la sumatoria es interpretado como una integral

definida:

∑√

∫ √

Se ha deducido la formula de la longitud de una curva entre un punto inicial (a) y final (b).

Ejemplo.

Hallar la distancia de la curva generada por F(x) = x2 - 3 desde el punto (1,-2) hasta el

punto (3,6)

Solución: Graficamos para observar la curva “no es necesario hacerlo”, pero por razones

pedagógicas mostramos la curva.

; La cual al hacer cero obtenemos: x= 0

= 2; siempre positivo luego x=0 es un mínimo

Graficando: (0,-3) punto crítico

1 3

(0,-3)

Es la longitud de

la curva a medir

X

Y


Acaso, influye conocer la curva para determinar la longitud entre los puntos determinados,

cuando existe una fórmula que solo pide la primera derivada de la función, además de los

puntos que se quiere medir.

Otro principio importante para aplicar la formula es que la función sea continua y

diferenciable entre los puntos a medir, con esta consideración no necesitamos del gráfico.

Si no estamos seguros de su continuidad o diferenciabilidad es mejor hacer el trazo para

observar los límites que debemos considerar.

Para el ejercicio anterior, el dominio de la función es luego es continua en como [1,3]

se encuentra en el dominio es continua.

La derivada de la función es , luego existe para todo punto del intervalo [1,3]

por lo tanto es diferenciable.

Como: [ ] No se

necesita graficar.

∫ √ { }

∫ √

Resolviendo la integral: ∫ √

Si hacemos , entonces ∫ √

=

∫

Que sabemos es: como

√ ;

luego:

√

√ |

Evaluando;

√

√ ) -

√

√ )

Rpta: 6/√ -2/√ +

√ )

√ ).

A veces es mejor aplicar la formula considerando los límites en el eje “y”

√

Entonces consideramos la integral con respecto a “y”

√

Los límites a considerar son: [ ] [ ]


La formula se reescribe:

∫ √ { }

∫ √ {

√ }

La solución de esta integral dará el mismo valor hallado líneas arriba, recuerde que solo su

práctica le dirá cuando es preferible tomar en cuenta este cambio.

Hallar la longitud de la curva generada por la circunferencia .

Solución:

En este caso ya nos indican que es una circunferencia y no nos dan los límites, razón por la

que debemos hacer el trazo para deducir los límites. Se sabe que esta es una circunferencia

de centro (0,0) y radio 3.

Observe el eje “x”. Por lo que se puede hallar la distancia de la curva desde (-3,0) hasta

(3,0) y luego multiplicarla por 2. También puede considerar desde hasta

Estaría tomando solo un cuarto de la circunferencia y al final deberá multiplicar por 4.

Para hallarla integral debe despejar la variable “y”.

Derivando la función: √

√

√

Aplicando la fórmula: (en el caso de considerar la mitad de la circunferencia)

∫ √

√

∫ √

Haciendo

(

)

-3

-3

3

3


∫ √

∫ |

Evaluando resul ta

Nota: se sabe que la longi tud de la ci rcunferencia es

¿Le parece un problema despejar la variable?

Puede derivar una función implícita:

En este caso de todas maneras debe despejar la variable “y”:

√

A modo de recordatorio “una función es cont inua en su dominio” por lo

tanto s i sabe hal l ar el dominio de la función sabrá cuál es e l dominio. En

los s iguientes ejercicios se recomienda pract icar para no tener que hacer

el t razo. De no ser posible recuerde Máximos y Mínimos para graficar .

Ejercicios .

Hal le la longi tud de la curva determinada p or:

[ ]

(

)

√

(

)


LONGITUD DE UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES

Las funciones a veces deben ser diseñadas en coordenadas polares para

faci l i tar su gráfico, luego podemos asumir la longi tud de la curv a en

función de la forma polar Comprendida entre los

ángulos que determinan la curva:

Ejercicio:

Hal lar la longi tud de la curva: comprendida entre [0,2 ]

, luego:

∫ √

∫ √

∫ √

√ ∫ √

√ ∫ √ √

√

√ ∫√

√

√ ∫√

√

√ ∫

√

√ ∫

√ √ √ |

√ {√ √ } √

∫ √ |


¿Cómo pudo sal i r la longi tud cero?

Lo que sucede es re lat ivo a los l ímites y debe observar como es la curva

para determinar mejor los l ímites .

Graficando la curva:

Al ser s imétrica es mejor elegir de [0, 180] y luego multip l icarlo por 2

√ √ | √ {√ } √

La longi tud es de:

Aunque no s iempre sea necesario en el caso de coordenadas rectangulares

no es lo mismo en coordenadas polares porque la curva por lo general es

cerrada y la s imetr ía le ayuda a determinar los l ímites de la integral .

√ √ √ √


AREA BAJO UNA CURVA

Para determinar o faci l i tar las áreas observemos sus graficas :

Cuando la función es posit iva : S i la función es posi t iva en un intervalo

[a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de

abscisas . El área de la función v iene dada por:

∫

Para hal lar el área seguiremos los s iguientes pasos:

1º Se grafica la función y se observa su t razo. Esta sobre el eje “x” o

debajo del eje “x”.

2º El área ( la parte sombreada) es igual a la integral def inida de la

función que t iene como l ímites de integración los puntos de corte que

aparecen al hacer en la función F(x)=0 .

Ejemplos

1 . Calcular el área del recinto l imitado por la curva y = 9 − x2 y el eje X.

En primer lugar graf icamos y observamos la curva sobre el e je “x”

Hal lamos los puntos de corte del t razo con el eje X para conocer los

l ímites de integración.

Haciendo

Es lo mismo a resolver la ecuación:

Conociendo los l ímites ya podemos hal lar la integral .


∫

|

2. Calcular el área l imitada por la curva , e l eje X y las rectas:

x = 6, x = 12.

3 . Calcular el á rea del t r iángulo de vért ices

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Luego su ecuación punto pendiente: y = (x-3)

Ecuación de la recta que pasa por BC:

; Luego su ecuación punto pendiente: y= -3/2 (x -8)

∫

F(x)=36/x

a.- Existe asíntota vertical cuando x=0

b.- Existe asíntota horizontal. .

Coincide con el eje “x”.

c.- No existe asíntota oblicua.

∫

| ||

①

②


∫

El área total 18+ 3 = 21

Cuando la función es negativa : Si la función es negat iva en un intervalo

[a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de

abscisas . El área de la función v iene dada por:

∫

En este caso observando la gráf ica se da cuenta de la posición.

Ejemplo:

1 . Calcular el área del recinto l imitado por la curva y = x2 − 4x y el

eje X.

Si no recuerda los t razos de las cónicas , debe recurri r a máximos y

mínimos.

haciendo

③ calculando la segunda derivada de

Al ser posi t ivo el punto crí t ico es un mínimo.

Como interpretación el área no puede ser negat iva, razón por la que el

s igno corrige este valor .

Calculando los puntos de intersección:

∫

|


2. Hallar el área l imitada p or la curva y el eje X entre π/2 y

3π/2.

En este caso a pesar de tener los l ímites es tablecidos no sabemos s i la

curva se encuentra debajo o sobre el eje “x”.

LA FUNCIÓN ES POSITIVA Y NEGATIVA A LA VEZ

En ese caso la curva muestra zonas por encima y por debajo del eje

de abscisas . Para calcular el área de la función seguiremos los

s iguientes pasos:

1º Grafique la función para observar las zonas sobre y debajo del eje

“x” . Luego calcule los puntos de corte con el eje “x”

2º Se ordenan los l ímites separando las regiones sobre y debajo del eje

“x” de integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales def inidas de cada región.

Ejemplos:

1 . Hallar el área l imitada por la recta , e l eje de

abscisas y las ordenadas correspondientes a .

Los ejes “x = 0” y “x = 4” son rectas vert icales .

∫ |


La función es

, y por los modelos anteriores

∫

∫

∫

{

}

|

∫

{

}

|

2. Calcular el á rea de la región del plano l imitada por el cí rculo x2+y

2 = 9

1 . - Siendo √

Inicialmente puede observar que ex is ten 2 regiones; una sobre el eje “x” y

otra debajo del eje “x”; en ambos casos los l ímites son desde -3 hasta 3.

1.- Grafique la recta y observara las regiones

2.- Como los límites están señalados por x=0 y x=4,

sin embargo puede encontrar el valor que separa las

regiones haciendo F(x)=0.

3.- Ahora puede determinar 2 áreas según sus

límites, desde 0 hasta 2 y desde 2 hasta 4.

1.- Cuando hace el grafico observa la región que

tiene que hallar el área.

2.- luego debe encontrar la región entre los

límites x=0 y x=3.

3.- El área total será 4 veces el área determinada.


Al ser las 2 regiones iguales puede considerar ∫

; pero como la

función es par ∫

2 . - El área a encontrar es ∫ √

Resolviendo solo la integral : ∫ √

∫

∫

|

Pero s i

Ahora podemos cambiar los l ímites:

|

Evaluando la integral :

Pero el área total era (

)

Nota: el área de la circunferencia es

AREA ENTRE REGIONES

Las regiones son formadas por la inter sección de curvas y estas pueden

estar sobre el eje “x” ò debajo el eje “x”; se t rata de hal lar los l ímites

en la cual se encierran mediante la igualdad de sus ecuaciones, luego

visual izar la zona para saber cómo poder hal lar el área , a veces es

recomendable cambiar el sent ido de la curva para que se resuelva de una

manera más senci l la .

1. Calcular el á rea del recinto l imitado por la parábola y = x2 + 2 y la

recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4) .

Solución: La ecuación de la recta (y-0)=m(x+1) donde m=2.

Es lo mismo a tomar en cuenta los puntos y t razar la recta.


∫

∫

|

- =

Gráficamente se hal la el área de F(x) a la cual le res ta el área de G(x)

y queda el área pedida.

2 . Hallar el á rea de la f igura l imitada por: F(x) = x2, G(x) = x y las

rectas: x = 0, x = 2 .

∫ ∫

|

1.- Halle las graficas y las ecuaciones de la recta F(x)=

2x+2 y Parábola G(x)= x2 + 2.

2.-La intercepción resulta de igualar ambas ecuaciones:

X2+2 = 2x+2 x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 ; x = 2

3.- El área de la región limitada es el área bajo la recta

menos el área bajo la Parábola.

1.- Debe graficar para observar la zona del área.

2.-Igualando las ecuaciones.

X2 = x x2 – x = 0 (x)(x – 1) = 0 x = 0 ; x = 1

3.- Se puede apreciar 2 regiones y los límites de

cada región.

F(x) G(x)

F(x)

G(x)


∫ ∫

|

(

)

El área Total es 1 Rpta .

3. Hallar el á rea de la región del plano l imita da por las curvas y = ln x,

y=2 y los ejes coordenados.

En esta caso los l ímites sobre este eje “y” son y=0 hasta y=2

∫ |

4 . Hallar el á rea del recinto plano y l imitado por la parábola y = 4x − x2

y l as tangentes indicadas en la curva en los pun tos de intersección con el

eje X.

Este problema requiere que sepa hallar las ecuaciones de las

tangentes, así como la intercepción de rectas.

1.- Graficando la función y haciendo F(x) = 0, se encuentran los

puntos sobre el eje “x”; por donde pasan las rectas tangentes. Es

decir en x=0 y en x=4

2.- Una recta tiene ecuación y=m.x y la otra y=m(x-4);

reemplazando cada recta en la ecuación de la Parábola.

Mx=4x-x2 m=4-x m=4 F(x)=4x

M(x-4)=-x(4-x) m=-4 G(x)=-4x+16

Ambas rectas se interceptan en el punto (2,8)

① ②

Este es el caso que si cambia la orientación

de la curva, es decir no observa el área

respecto al eje “x” sino, respecto al eje “y”.

1.- Debe despejar la función con respecto a

la variable Y, es decir no


Debe hal lar 2 áreas , cada una debajo de cada recta

∫ ∫

|

∫ ∫

|

Luego el área total es

5. Calcular el á rea l imitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e

y=x2.

6. Hallar el área de la región l imitada por las parábolas ;

y

Solución: ambas parábolas muestran su vért ice y los ejes hacia donde se

abre el eje focal ; solo fal ta mostrar los puntos de intersección.

Hal lando los puntos de inter sección

Luego, puntos de intercepción son x=1 y x=3 “los l ímites de la integral”

Graficando:

1.- Debe graficar para visualizar el área, si no recuerda

las cónicas haga uso de máximos, mínimos y asíntotas.

2.- Iguale las ecuaciones para hallar los límites de

integración.

4x=x4 4x- x4 = 0 x(4- x3)= 0 x= 0 y x= 41/3

∫ √

√

|

√

√


∫ ∫

|

∫

∫

|

El área total:

(

)

Hasta aquí se ha resuelto varios problemas considerando que la región se encuentra sobre el

eje “x” o debajo del eje “x”; pero si la región se encontrara atravesando el eje.

De una manera general considere siempre la función que esta encima de la otra y restarla,

por ejemplo en el primer grafico debe ser: F(x) – G(x); no interesa donde se encuentre el

grafico; en la segunda la región puede considerar el primer grafico menos el segundo, es

decir la recta menos la parábola.

Finalmente en este caso no se ha resuelto gráficos cuya posición necesita partir en

secciones por lo general debe considerar otra vista, me refiero al eje “y” para hacer sencillo

el ejercicio.

1 3

∫

∫

∫ ∫

Como toda la región se encuentra debajo del

eje “x”.

F(x)

F(x) G(x)

G(x)


∫

∫

√

∫ √

∫

√

∫

√

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

√

∫

∫ √

∫

√

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