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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIAS
EXISTENCIA DE SOLUCIONES RADIALES PARA PROBLEMASSEMILINEALES ELÍPTICOS INDEFINIDOS
TRABAJO DE TITULACIÓN PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE
MATEMÁTICO
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN
ISRAEL EDUARDO CEVALLOS VASCONEZ
DIRECTOR: MARCO VINICIO CALAHORRANO RECALDE, PH.D.
Quito, agosto 2017
DECLARACIÓN
Yo ISRAEL EDUARDO CEVALLOS VASCONEZ, declaro bajo juramento que el trabajo
aquí escrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o
calificación profesional; y que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen
en este documento.
La Escuela Politécnica Nacional puede hacer uso de los derechos correspondientes a este
trabajo, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la
normatividad institucional vigente.
Israel Eduardo Cevallos Vasconez
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por ISRAEL EDUARDO CEVALLOS
VASCONEZ, bajo mi supervisión
Marco Vinicio Calahorrano Recalde, Ph.D.
DIRECTOR
AGRADECIMIENTOS
A Dios por la gran familia que me brindo, por la oportunidad de estudiar matemáticas y por
todos los amigos y profesores que ha puesto en mi camino a lo largo de mis estudios.
DEDICATORIA
Le dedico este trabajo a mi familia, amigos y profesores que han estado junto a mí a lo largo
de mis estudios de matemáticas y en especial a Ricardo sin quien no hubiera podido lograr
este y muchos otros objetivos en mi vida.
Índice de Contenido
Pág.
Resumen iii
Abstract iv
Notaciones v
Introducción vii
1 Algo de análisis no lineal. Definiciones y teoremas conocidos 1
1.1 Cálculo diferencial en espacios de Banach. Derivada de Fréchet . . . . . . 1
1.2 Espacios funcionales y teoremas de inmersión . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Operadores de Nemitski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Puntos críticos y formulación variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Condición de Palais-Smale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Lema de Deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Teorema de Ambrosetti-Rabinowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Ecuaciones semilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Definición del problema, formulación variacional y funcional asociado 11
2.1 Definición del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Formulación variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Funcional asociado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Aportes a la existencia de soluciones para el problema planteado 15
3.1 Lemas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Soluciones radiales 25
4.1 Radialidad de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Soluciones radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Lemas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
i
ii
4.4 Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Conclusiones y recomendaciones 36
5.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Anexos 37
A Definiciones y teoremas complementarios 38
A.1 Homotopía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.2 Lema de Deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.3 Valores propios para problemas con condiciones de frontera de Dirichlet . . 39
A.4 Condiciones sobre m(| · |) y el parámetro γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A.5 Teoremas y resultados adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.6 “A Nonlinear Dirichlet Problem on the Unit Ball and its Applications” . . . 43
Referencias 44
Resumen
Se estudia la existencia de soluciones radiales de problemas semilineales elípticos indefini-
dos sobre la bola unidad de Rn (n≥ 3) con condiciones de frontera de Dirichlet, cuyo término
no lineal es de la forma λm(|x|) f (u) donde m(| · |) es radialmente simétrica, discontinua y
cambia de signo. Este estudio se realiza utilizando técnicas variacionales y en especial el
“Lema del Paso de Montaña” de Ambrosetti-Rabinowitz.
Palabras clave: Ecuación semilineal, Problema a valores en la frontera, Solución radial, Do-
minio simétrico, Bola unidad, Cambio de signo.
iii
Abstract
We study the existence of radial solutions of indefinite semilinear elliptic equations in the unit
ball in Rn (n ≥ 3) with Dirichlet boundary conditions, whose nonlinear term has the form
λm(|x|) f (u) where m(| · |) is radially symmetric, discontinuous and changes sign. This study
is realized using variational tecniques and especially the Ambrosetti-Rabinowitz’s “Moun-
tain Pass Lemma”.
Keywords: Semilinear equation, Boundary value problem, Radial solution, Symmetric do-
main, Unit ball, Change of sign.
iv
Notaciones
Notaciones generales
B Bola abierta de centro 0 y radio 1 (B(0,1)).
BR Bola abierta de centro 0 y radio R (B(0,R)).
I Funcional de H10 (B) en R.
Ir Funcional de H10,rad(B) en R.
dI Derivada de Fréchet del funcional I.
Ω Abierto y acotado de Rn.
(PS) Condición de Palais-Smale.
(PS)c Condición de Palais-Smale de nivel c.
R Conjunto de los números reales.
R+ ]0;+∞[.
U Conjunto abierto de X .
2∗ Exponente crítico igual a 2n/(n−2).
m(·) Función discontinua en un punto y elemento de L∞(Ω).
c.t.p. Casi todo punto.
Espacios funcionales
X ,Y Espacios de Banach.
X ′ Dual topológico de X .
L(X ,Y ) Espacio de operadores lineales y continuos de X en Y .
H Espacio de Hilbert.
C1(X ,R) Funciones continuamente diferenciables de X en R.
C∞c (Ω) Espacio de funciones u ∈C∞(Ω) con soporte compacto.
C0,α(Ω) Espacio de funciones Hölder continuas.
M (Ω) Espacio de funciones medibles.
Lp(Ω) Espacio de Lebesgue con norma ‖ · ‖Lp(Ω).
v
vi
L∞(Ω) Espacio de Lebesgue con norma ‖ · ‖L∞(Ω).
Lp(|x|β dx) Espacio de Lebesgue con peso.
W k,p(Ω) Espacio de Sobolev con norma ‖ · ‖W k,p(Ω).
H10 (Ω) Clausura de C∞
c (Ω) en W 1,2(Ω).
E Espacio H10 (B).
H10,rad(B) Espacio de funciones de u ∈ H1
0 (B) tal que u es radial.
H−1(Ω) Espacio dual del espacio H10 (Ω).
Normas y productos escalares
| · | Norma euclidiana definida sobre Rn.
‖ · ‖Lp(Ω) Norma del espacio Lp(Ω).
‖ · ‖Lp(|x|β dx) Norma del espacio Lp(|x|β dx).
‖ · ‖ Norma del espacio H10 (Ω).
‖ · ‖r Norma del espacio H10,rad(B).
(·|·) Producto escalar del espacio H10 (Ω).
(·|·)r Producto escalar del espacio H10,rad(B).
Introducción
El principal interés de este trabajo es demostrar la existencia de soluciones radiales para
problemas semilineales elípticos indefinidos, a través de las técnicas del análisis no lineal.
De forma específica se busca la solución del problema semilineal elíptico de la forma:
−∆u = λm(|x|) f (u) x ∈ B
u = 0 x ∈ ∂B(1)
mediante el uso de las técnicas del análisis no lineal las cuales juegan un papel muy impor-
tante en la resolución de problemas semilineales elípticos. En general el análisis no lineal
proporciona técnicas muy poderosas para poder abordar de manera adecuada problemas se-
milineales elípticos. Técnicas como la teoría de puntos críticos ha sido utilizada en análisis
no lineal con mucho éxito. En concreto, se desea resolver el problema (1) mediante la utili-
zación de la teoría de puntos críticos. Las teorías variacionales mencionadas han tenido un
impresionante desarrollo a partir del trabajo de Antonio Ambrosetti y Paul H. Rabinowitz
[7], donde los autores logran demostrar el denominado Lema del “Paso de montaña” que
ha proporcionado un teorema general de existencia de soluciones para ciertos problemas no
lineales.
Problemas como (1) se los suele denominar indefinidos [2], es decir, se dice indefinidos
cuando la función “m” cambia de signo sobre el dominio de definición. Se debe observar que
llamaremos solución radial clásica del problema (1) de la manera usual (Lawrence. C. Evans
[20]) a una función u ∈C2(BR(0)) y que depende únicamente del radio. El principal interés
en este trabajo son las soluciones radiales débiles.
Problemas semilineales elípticos indefinidos con condiciones de Dirichlet han sido estudia-
dos con gran entusiasmo en las últimas décadas por matemáticos como Stanley Alama y
Manuel del Pino [1], los cuales aportan soluciones no triviales a este tipo de problemas don-
de el término no lineal es de la forma λu+ h(x) f (u) con h que cambia de signo y f tiene
crecimiento supercuadrático. Además, los profesores Stanley Alama y Gabriella Tarantello
[2] estudian problemas cuyo término no lineal es de la forma W (x) f (u) donde W (x) es una
función peso continua y que cambia de signo, en este caso los autores buscan soluciones
positivas, además de demostrar la multiplicidad.
Se tiene que uno de los principales intereses de este trabajo es extender los resultados obte-
vii
viii
nidos en [10], [11], [15], [18] y [23] y en consecuencia conocer como resolver este tipo de
problemas; en este sentido se aporta con nuevos resultados referentes a la resolución de pro-
blemas semilineales elípticos. Además debe señalarse que problemas semilineales elípticos
aparecen en diferentes campos de la física, química, etc., por ejemplo en física de plasma
(ver [14]) y en astrofísica (ver [16] y [17]). Un ejemplo de este tipo de ecuaciones semili-
neales es el problema de Hill (ver [25] y [26]). Para otras aplicaciones referirse a las citas de
[27].
A lo largo de este trabajo se describirá las herramientas básicas de la teoría de Puntos Crí-
ticos, los resultados relacionados al problema, la formulación variacional y la existencia de
soluciones radiales del problema (1).
CAPÍTULO 1
Algo de análisis no lineal. Definiciones y
teoremas conocidos
A lo largo de este capítulo se detallarán algunas definiciones y teoremas importantes para
el desarrollo de este trabajo. Se debe señalar que los resultados expuestos en el presente
capítulo son ya conocidos y fueron extraídos de [5], [6], [8], [20] y [28].
1.1 Cálculo diferencial en espacios de Banach. Derivada de
Fréchet
Sean X , Y dos espacios de Banach y sea L(X ,Y ) el espacio de los operadores lineales y
continuos de X en Y . Se tiene que para A ∈ L(X ,Y ) se escribirá Ax o A[x] en vez de A(x).
Además el espacio L(X ,Y ) dotado de la norma
||A||L(X ,Y ) = sup||Ax||Y : ||x||X ≤ 1
es un espacio de Banach. Por otro lado si Y =R, entonces se tiene que el espacio L(X ,R) es
llamado el dual topológico de X y es notado por X ′.
Definición 1.1. Sea U un subconjunto abierto de X. Se dice que I : U → Y es diferenciable
en el sentido de Fréchet en u ∈U, si existe A ∈ L(X ,Y ) tal que
I(u+h) = I(u)+Ah+o(h)
con h → 0. O de manera equivalente
lımh→0
||I(u+h)− I(u)−Ah||
||h||= 0.
Usualmente se nota dI(u) = A. Además, I se dice diferenciable sobre U si I es diferenciable
1
2
en cada punto de U.
Nota 1.1. A menudo es utilizada la notación I′(u) en vez de dI(u).
Nota 1.2. De la Definición 1.1 se tiene que si I es diferenciable en u ∈ U, entonces I es
continua en u.
En la literatura es muy usual que los autores intercambien el término diferenciable con el
término Fréchet diferenciable en el caso de este trabajo se utilizara el primero, a menos que
se indique lo contrarío. Además, se trabajara con funcionales de la forma I : X → R. De
ahora en adelante expondremos los resultados para X ′ en vez de L(X ,Y ).
Definición 1.2. Sea U ⊂X un subconjunto abierto. El funcional dI : U →X ′ que envía u∈U
en dI(u) ∈ X ′ es llamado derivada (de Fréchet) de I. Si la derivada dI es continua de U en
X ′ se dice que I es de clase C1 en U y se notará por I ∈C1(U,R).
Nota 1.3. En general dI es un operador no lineal.
Definición 1.3. Sea H un espacio de Hilbert y sea I ∈C1(H,R), gracias al teorema de Riesza
existe un único ∇I(u) ∈ H tal que
dI(u)[v] = (∇I(u)|v), ∀v ∈ H.
∇I(u) es llamado el gradiente de I en u.
1.2 Espacios funcionales y teoremas de inmersión
Sea Ω⊂Rn y u : Ω→R, se trabajará principalmente con los siguientes espacios de funciones
u:
• M (Ω), espacio de funciones medibles.
• C∞c (Ω), espacio de funciones u ∈C∞(Ω) con soporte compacto.
• C0,α(Ω), para α ∈ (0,1) es el espacio de funciones Hölder continuas tal que para
f ∈C(Ω,Y ) satisface
sup
[‖ f (u)− f (v)‖Y
‖u− v‖αX
: u,v ∈ Ω,u 6= v
]<+∞.
Además, si α = 1 se tiene el espacio de funciones Lipschitz continuas.
aVer el Teorema A.3
3
• Lp(Ω), para p ∈ [1,+∞) es el espacio de funciones Lebesgue integrables tal que para
u ∈ M satisface
‖u‖Lp(Ω) =
(∫
Ω
|u|pdx
)1/p
<+∞.
Mientras que para p =+∞ es el espacio de funciones tal que para u ∈ M satisface
‖u‖L∞(Ω) = supessx∈Ω
|u(x)|<+∞.
• W 1,p(Ω), para p ∈ [1,+∞) es el espacio de funciones de Sobolev definido por
W 1,p(Ω) =
u ∈ Lp(Ω) : ∃ g1, . . . ,gn ∈ Lp(Ω),
∫
Ω
u∂φ
∂xidx =
−∫
Ω
giφdx, ∀φ ∈C∞
c (Ω),∀i = 1, . . . ,n
,
se nota ∂u/∂xi := gi, para todo i = 1, . . . ,n.
• W k,p(Ω), para k ∈ [2,+∞) y p∈ [1,+∞) es el espacio de funciones de Sobolev definido
por recurrencia como
W k,p(Ω) =
u ∈W k−1,p(Ω) :
∂u
∂xi∈W k−1,p(Ω),∀i = 1, . . . ,n
.
• H10 (Ω), la clausura de C∞
c (Ω) en W 1,2(Ω).
Para las funciones u ∈ H10 (Ω) se cumple la desigualdad de Poincaré:
∫
Ω
|u|2dx ≤C
∫
Ω
|∇u|2dx
donde C =C(Ω) es una constante que posiblemente depende de Ω (abierto y acotado) pero
no de u.
Teorema 1.1 (Inmersiones de Sobolev). Sea Ω ⊂Rn un dominio acotado con frontera Lips-
chitz continua ∂Ω y sean k ≥ 1, 1 ≤ p ≤ ∞.
(i) si kp < n, entonces W k,p(Ω) → Lq(Ω) para todo 1 ≤ q ≤ np/(n− kp). La inmersión
es compacta si 1 ≤ q < np/(n− kp),
(ii) si kp = n, entonces W k,p(Ω) → Lq(Ω) para todo 1 ≤ q < ∞ y la inmersión es compac-
ta,
4
(iii) si kp > n, entonces W k,p(Ω) →C0,α(Ω), donde
α =
k−n/p si k−n/p < 1
1 si k−n/p > 1.
Si k−n/p = 1 la inmersión se tiene para cada α ∈ [0,1).
En el caso del espacio H10 (Ω) la condición de Lipschitz continuidad sobre la frontera de Ω
no es requerida. Luego se define
2∗ =
2n/(n−2) si n > 2
+∞ si n = 2
y se tiene que el Teorema 1.1 se convierte en
Teorema 1.2. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado. Entonces
(i) si n > 2, entonces H10 (Ω) → Lq(Ω) para todo 1 ≤ q ≤ 2∗. La inmersión es compacta
si 1 ≤ q < 2∗,
(ii) si n = 2, entonces H10 (Ω) → Lq(Ω) para todo 1 ≤ q < ∞,
(iii) si n < 2, entonces H10 (Ω) →C0,α(Ω), donde α = 1−n/2.
El valor notado por 2∗ es llamado exponente crítico de Sobolev, esto se debe al hecho que el
literal (i) del Teorema 1.2 falla para q > 2∗.
1.3 Operadores de Nemitski
Se comienza esta sección definiendo que es un operador de Nemitski y luego se expondrá
algunas propiedades y resultados importantes.
Definición 1.4 (Operador de Nemitski). Sea Ω un subconjunto abierto y acotado de Rn y sea
f : Ω×R→R una función dada. Si u∈M (Ω), se puede considerar la aplicación u 7→ f (u),
donde f (u) es la función a valores reales definida por
f (u) : Ω −→ R
x 7−→ f (u)(x) = f (x,u(x)).
Este operador es llamado operador de Nemitski asociado a f y será denotado con el mismo
símbolo f .
Definición 1.5 (Condición de Carathéodory). Se dice que f satisface la condición de Carat-
héodory, lo cual se notará como (Ca), si
5
(i) s 7→ f (x,s) es continua respecto a s ∈ R casi todo x ∈ Ω,
(ii) x 7→ f (x,s) es medible respecto a x ∈ Ω para todo s ∈ R.
Observación 1.1. Debe notarse que f (u) ∈ M (Ω) para toda u ∈ M (Ω).
Sean p ≥ 1 y q ≥ 1. Suponga que
| f (x,s)| ≤ a1 +a2|s|p/q (1.1)
con constantes a1,a2 ≥ 0.
Teorema 1.3. Sea Ω ⊂ Rn acotado y suponga que f satisface (Ca) y (1.1). Entonces el
operador de Nemitski f es continuo de Lp(Ω) en Lq(Ω).
Demostración. (Ver [6, pág. 16] Teorema 2.2).
Nota 1.4. El Teorema 1.3 puede ser demostrado asumiendo que a1 ∈ Lq(Ω) y a1(x)≥ 0.
En general se trabajará sobre el espacio H10 (Ω) y se supondrá que f satisface
( f .1) Existe a1 ∈ L2n/(n+2)(Ω) no negativa y a2 ≥ 0 constante tal que
| f (x,s)| ≤ a1(x)+a2|s|p (1.2)
para todo x ∈ Ω y s ∈ R, donde 1 < p < (n+2)/(n−2) = 2∗−1.
Teorema 1.4. Suponga que f satisface la condición (Ca) y ( f .1) y sea Ψ definida por
Ψ(u) =∫
Ω
F(x,u(x))dx
donde
F(u) =∫ u
0f (x, t)dt.
Entonces Ψ ∈C1(H10 (Ω),R).
Demostración. (Ver [5, pág. 7] Teorema 1.8 y Observación 1.9).
1.4 Puntos críticos y formulación variacional
Para I ∈C1(X ,R) se tiene la siguiente definición de punto crítico.
Definición 1.6 (Punto crítico). Un punto crítico de I es un punto z ∈ X tal que I es derivable
en z y dI(z) = 0. De donde se tiene que
dI(z)v = 0, ∀v ∈ X ,
6
dado que dI(u) es un elemento del espacio dual X ′.
Si dI(z) = 0 y I(z) = c, se dice que z es un punto crítico para I de nivel c. Si para algún c ∈R
el conjunto I−1(c) ⊂ X contiene al menos un punto crítico, se dice que c es un nivel crítico
para I.
Nota 1.5. La ecuación dI(z) = 0 es llamada ecuación de Euler o Euler-Lagrange asociada
al funcional I.
Ahora suponiendo que se desea resolver una ecuación en derivadas parciales no lineal, cuya
formulación variacional es notada por
A[u] = 0, (1.3)
se tiene que A[·] es un funcional diferencial parcial no lineal. Por otro lado, el cálculo de
variaciones identifica una importante clase de problemas no lineales que pueden ser resueltos
usando técnicas relativamente simples del análisis funcional no lineal. Uno de los problemas
de esta clase, es precisamente el de la forma (1.3), donde el funcional no lineal A[·] es la
derivada de un apropiado funcional de energía I[·], es decir, se tiene que
A[·] = dI[·]
de donde se sigue que el problema (1.3) se puede ver como
dI[u] = 0.
La ventaja de esta nueva formulación es que ahora se puede reconocer las soluciones de (1.3)
como puntos críticos del funcional I.
Se conoce que si un funcional I definido sobre X tiene un máximo o un mínimo en un punto
u ∈ X , entonces su derivada en este punto es cero. A continuación se definirá que son los
mínimos y máximos locales.
Definición 1.7 (Mínimos y máximos locales). Se dice que un funcional I tiene un mínimo o
un máximo local en un punto z ∈ X, si existe una vecindad N de z tal que
I(z)≤ I(u) (1.4)
o respectivamente
I(z)≥ I(u) (1.5)
para todo u ∈ N .
7
Si las desigualdades en (1.4) y (1.5) son estrictas, se dice que z es un mínimo o un máximo
local estricto respectivamente. Además si (1.4) y (1.5) se cumplen para todo u ∈ X , entonces
se dice que z es un mínimo o máximo global respectivamente.
Teorema 1.5. Si un funcional I es derivable en z ∈ X y se tiene un máximo o mínimo local
en z, entonces dI(z) = 0.
Demostración. (Ver [19, pág. 491] Corolario 9.3.3.)
Observación 1.2. Gracias a la Definición 1.3 se tiene que un punto crítico de un funcional
I es una solución de la ecuación ∇I(u) = 0.
1.5 Condición de Palais-Smale
En esta sección se definirá la Condición de Palais-Smale que permite obtener cierto criterio
de compacidad sobre un funcional, además se presenta un resultado de tipo topológico (Le-
ma de Deformación) el cual es utilizado en la demostración del Teorema 1.7. Se comienza
definiendo que es una sucesión de Palais-Smale.
Definición 1.8. Sea X un espacio de Banach real y sea I ∈C1(X ,R). Una sucesión uk∞
k=1 ⊂
X tal que
(i) I(uk)∞
k=1 es acotado (en R), y
(ii) dI(uk)→ 0 (en X ′) cuando k → ∞,
entonces uk∞
k=1 es llamada una sucesión de Palais-Smale para I. Sea c ∈ R. Si
(iii) I(uk)→ c (en R) cuando k → ∞, y
(iv) dI(uk)→ 0 (en X ′) cuando k → ∞,
entonces uk∞
k=1 es llamada una sucesión de Palais-Smale para I de nivel c. En este caso c
es llamado un nivel Palais-Smale para I.
A continuación se define la condición de Palais-Smale.
Definición 1.9 (Palais-Smale). Sea X un espacio de Banach real y sea I ∈C1(X ,R). Se dice
que I satisface la condición de Palais-Smale (notado por (PS)) si cada sucesión de Palais-
Smale para I tiene una subsucesión convergente (en X). Se dice que I satisface la condición
de Palais-Smale de nivel c (notado por (PS)c) si cada sucesión de Palais-Smale de nivel c
para I tiene una subsucesión convergente (en X).
Observación 1.3. Cuando el funcional I satisface la condición (PS), se puede verificar
inmediatamente que I satisface la condición (PS)c para todo c ∈ R.
Nota 1.6. La condición (PS)c es una condición de compacidad del funcional I en el sentido
que el conjunto de puntos críticos de I de nivel c es compacto.
8
1.6 Lema de Deformación
Definición 1.10. Sea X un espacio de Banach y sea I : X → R un funcional. Para b ∈ R se
define
Ab := u ∈ X : I(u)≤ b.
El conjunto Ab es denominado conjunto de subniveles de I. Cualquier punto u ∈ I−1(b) es
llamado un punto de nivel b.
Definición 1.11. Sea X un espacio de Banach y sea D⊆X un subconjunto. Una deformación
de D es una función continua η : [0,1]×D → D tal que η(0,u) = u para todo u ∈ D.
Se tiene que la función η es una homotopíab.
Definición 1.12. Sea X un espacio de Banach y sea A ⊆ D ⊆ X subconjuntos. Se dice que D
es deformable en A si existe una deformación η de D tal que
η(t,u) ∈ A, ∀u ∈ A, ∀t ∈ [0,1]
η(1,u) ∈ A, ∀u ∈ D.
Finalmente se presenta una versión particular del Lema de Deformación.
Teorema 1.6 (Versión particular del Lema de Deformación). Sea X un espacio de Banach
real. Suponga que I ∈C1(X ,R) y que satisface (PS). Para c,b ∈ R se define Kc = u ∈ X :
I(u) = c,dI(u) = 0 y Ab = u∈X : I(u)≤ b. Si c no es un nivel crítico de I, dado cualquier
ε > 0, existe un ε ∈ (0,ε) y η ∈C([0,1]×X ,X) tal que
(i) η(1,u) = u si I(u) 6∈ [c− ε,c+ ε],
(ii) η(1,Ac+ε)⊂ Ac−ε .
Demostración. (Ver [28, pág. 82] Teorema A.4.)
Para la versión general de este Lema y mayores detalles ver el Anexo A.1.
1.7 Teorema de Ambrosetti-Rabinowitz
Sea Bρ una bola en X centrada en 0 y de radio ρ con frontera ∂Bρ . Se tiene el siguien-
te teorema, el cual en la literatura suele ser denominado “Lema del Paso de Montaña” de
Ambrosetti-Rabinowitz.
Teorema 1.7 (Paso de Montaña). Sea X un espacio de Banach real y sea I ∈ C1(X ,R) que
satisface la condición de (PS). Suponga que I(0) = 0 y
bPara la definición ver el Anexo A.1.
9
(I1) existen constantes ρ,α > 0 tales que I|∂Bρ≥ α ,
(I2) existe un e ∈ X \Bρ tales que I(e)≤ 0.
Entonces I posee un nivel crítico c ≥ α . Además c puede ser caracterizado como
c = ınfg∈Γ
maxu∈g([0,1])
I(u) (1.6)
donde
Γ = g ∈C([0,1],X) : g(0) = 0,g(1) = e.
Demostración. Se tiene que
c = ınfg∈Γ
maxu∈g([0,1])
I(u)≤ maxu∈g([0,1])
I(u)<+∞, ∀g ∈ Γ
es decir, c es finito. Luego, si g ∈ Γ se tiene que g es continua, g(0) = 0 y g(1) = e, con
‖e‖> ρ , por lo cual se sigue que
g([0,1])∩∂Bρ 6= /0.
Por esto y como por (I1) se tiene que I(w)≥ α para todo w ∈ ∂Bρ , entonces
maxu∈g([0,1])
I(u)≥ ınfw∈∂Bρ
I(w)≥ α
de donde, tomando el ínfimo sobre Γ se sigue que c ≥ α .
Ahora, si se supone que c no es un nivel crítico de I, entonces se puede aplicar el Teorema
1.6 con ε = α/2 de donde existe ε ∈ (0,ε) y existe η una homotopía que satisface (i) y (ii).
Luego, de la definición de c se puede tomar g ∈ Γ tal que
maxu∈g([0,1])
I(u)≤ c+ ε. (1.7)
Además, se define h(t) := η(1,g(t)), de la definición de η se tiene que h ∈C([0,1],X).
Por otro lado, como c≥α y ε =α/2 se tiene que I(0)= 0<α/2≤ c−ε , es decir, I(0) 6∈ [c−
ε,c+ ε], esto junto al hecho de que g(0) = 0, por (i) del Teorema 1.6 se sigue que h(0) = 0.
De forma similar, por (I2) se tiene que I(e) ≤ 0 lo cual implica que I(e) 6∈ [c− ε,c+ ε] y
como g(1) = e se tiene que h(1) = e, esto gracias a (i) del Teorema 1.6. En consecuencia
h ∈ Γ y por (1.6)
c ≤ maxu∈h([0,1])
I(u). (1.8)
Pero por (1.7), g([0,1])⊂ Ac+ε y por (ii) del Teorema 1.6, esto implica que h([0,1])⊂ Ac−ε ,
10
es decir
maxu∈h([0,1])
I(u)≤ c− ε
lo cual contradice (1.8). Así, c es un nivel crítico de I.
Observación 1.4. Si se piensa en el gráfico de I como un paisaje con un valle en 0 rodeado
por un anillo de montañas y pasando estas montañas existe otro valle en e, la idea es buscar
un camino g que conecte 0 y e el cual atraviese a través de un “Paso de Montaña”, es decir,
un punto de silla para I. Pero se debe tener cuidado, puesto que el teorema solo asegura la
existencia de un punto crítico de nivel c, el cual no es necesariamente un verdadero punto
de silla.
1.8 Ecuaciones semilineales
Se tiene que una ecuación semilineal está definida como:
Definición 1.13. Una ecuación diferencial parcial es una ecuación semilineal, si el operador
no lineal involucra la función desconocida, pero no sus derivadas, es decir
Lu = f (x,u),
donde L es un operador diferencial lineal y f una función no lineal en la variable u.
CAPÍTULO 2
Problema semilineal elíptico indefinido,
formulación variacional y funcional
asociado
En este capitulo se definirá el problema a ser tratado, se realizará su formulación variacional
y se describirá el funcional asociado.
2.1 Definición del problema
El propósito de este trabajo es estudiar la existencia de soluciones radiales para el problema
semilineal −∆u = λm(|x|) f (u) x ∈ B
u = 0 x ∈ ∂B(2.1)
donde se busca u : B → R con B := B(0,1)⊂ Rn (n ≥ 3), λ ∈ R+, f una función no lineal y
m(| · |) una función que cambia de signo y que es discontinua.
Se considera las siguientes hipótesis sobre f : R→ R:
(f.1) f (s) = 0 para s ≤ 0 y f (s)> 0 para s > 0.
(f.2) f ∈C(R,R).
(f.3) Existen constantes a1,a2 ≥ 0 tal que
| f (s)| ≤ a1 +a2|s|p (2.2)
para todo s ∈ R, donde 1 < p < 2∗−1.
(f.4) Sea r > 0, 2 < µ < 2∗ y d1,d2 > 0 constantes tal que
0 < s f (s)−µF(s)≤ d1|s|2 +d2, ∀s ≥ r,
11
12
donde F está definida por
F(s) =∫ s
0f (t)dt.
(f.5) lıms→0
f (s)
s= 0.
Además se considera las siguientes hipótesis sobre m(| · |) : B → R:
(m.1) m ∈ L∞(B).
(m.2) m discontinua en |x|= γ donde 0 < γ < 1.
(m.3) m(|x|)> 0 para |x|< γ y m(|x|)< 0 para γ < |x|< 1.
En particular se tomará el caso donde m(| · |) esta definida por:
m(|x|) =
1 si 0 ≤ |x|< γ
−1 si γ < |x|< 1.
Observación 2.1. | · | es la norma euclidiana definida sobre Rn.
Observación 2.2. Por cambio de escala se podría tomar BR = B(0,R)⊂ Rn con R ∈ R+.
Observación 2.3. Se tiene que en el caso del problema (2.1) el operador de Nemitski es de
la forma
g(s)(u) = g(x,s) = m(|x|) f (s).
2.2 Formulación variacional
Multiplicando (2.1) por v ∈C∞c (B) y luego integrando sobre B se tiene que
−∫
B∆uvdx = λ
∫
Bm(|x|) f (u)vdx.
Ahora utilizando la fórmula de Green se tiene que
∫
B∇u∇vdx = λ
∫
Bm(|x|) f (u)vdx
para todo v ∈ C∞c (B). Luego por la densidad de C∞
c (B) en H10 (B) se tiene que se busca u ∈
H10 (B) tal que ∫
B∇u∇vdx = λ
∫
Bm(|x|) f (u)vdx (2.3)
para todo v ∈ H10 (B).
13
2.3 Funcional asociado
Ahora se supone que f satisface (f.3) con 1 < p < (n+2)/(n−2) = 2∗−1. Se define E :=
H10 (B) y la función
F(u) =∫ u
0f (s)ds,
además se tiene que ∂uF = f , por lo cual
|F(u)| ≤∫ u
0| f (s)|ds
≤∫ u
0a1 +a2|s|
pds
≤ a1|u|+a2|u|p+1
con p+1 < 2∗, por otro lado, del hecho que E = H10 (B) → L2∗(B) con inmersión compacta,
se tiene que F(u(·)) ∈ L1(B) y dado que u ∈ E, entonces se puede definir
Φ : E −→ R
u 7−→ Φ(u) =∫
Bm(|x|)F(u)dx.
Luego, se obtiene que la derivada de Fréchet de Φ es
dΦ(u)[v] =∫
Bm(|x|) f (u)vdx. (2.4)
Puesto que el producto escalar asociado al espacio E es
(u|v)E =∫
B∇u∇vdx,
que induce la norma asociada
‖u‖=
(∫
B|∇u|2dx
)1/2
.
Por otro lado, es claro que
d(‖u‖2)[v] = 2∫
B∇u∇vdx.a (2.5)
Gracias a (2.4) y (2.5), la formulación variacional (2.3) se puede reescribir como
12
d(‖u‖2)[v]−λdΦ(u)[v] = 0
aEsto se puede ver en [8, pág. 17].
14
y en consecuencia el funcional abstracto correspondiente será:
I : E −→ R
u 7−→ I(u) =12‖u‖2 −λΦ(u).
Nota 2.1. I es llamado funcional de energía asociado al problema (2.1).
Se tiene que la derivada de Fréchet del funcional I es
dI(u)v =∫
B∇u∇vdx−λ
∫
Bm(|x|) f (u)vdx.
Observación 2.4. Por la condición (f.1) sobre f se tiene que u = 0 es un punto crítico para
el funcional I. Además, se puede ver que I(0) = 0.
CAPÍTULO 3
Aportes a la existencia de soluciones para
el problema semilineal elíptico indefinido,
motivo de estudio.
En este capítulo se expondrá los principales resultados obtenidos en relación a la existencia
de soluciones para el problema (2.1). Para esto, se empieza recordando que el problema que
se desea resolver es −∆u = λm(|x|) f (u) x ∈ B
u = 0 x ∈ ∂B(3.1)
donde u : B → R es la incógnita, con B := B(0,1) ⊂ Rn (n ≥ 3), λ ∈ R+, f una función no
lineal y m(| · |) una función definida por
m(|x|) =
1 si 0 ≤ |x|< γ
−1 si γ < |x|< 1(3.2)
con 0 < γ < 1.
El funcional asociado al problema (3.1) es:
I : E −→ R
u 7−→ I(u) =12‖u‖2 −λ
∫
Bm(|x|)F(u)dx
donde E = H10 (B).
3.1 Lemas auxiliares
De la hipótesis (f.1) se tiene que f (0) = 0, en consecuencia se sigue que el problema (3.1)
admite la solución trivial u = 0. Además, en la Observación 2.4 se vio que u = 0 es un punto
15
16
crítico de I con I(0) = 0 y dI(0) = 0.
Lema 3.1. El funcional I es C1(E,R).
Demostración. El funcional I es de la forma
I : E −→ R
u 7−→ I(u) =12‖u‖2 −λΦ(u).
Puesto que es claro que el primer término del lado derecho en la última igualdad es C∞(E,R),
solo falta demostrar que Φ es C1(E,R).
Para esto, se recuerda que en la Observación 2.3 se vio que el operador de Nemitski asociado
al funcional I es
g(x,s) = m(|x|) f (s).
Ahora, por la hipótesis (f.2) la función f es continua y por la hipótesis (m.2) se tiene que la
función m(| · |) es discontinua sobre el conjunto de medida nula x ∈Rn : |x|= γ,0 < γ < 1,
gracias a lo cual
s 7→ g(x,s) es continua respecto a s ∈ R casi todo x ∈ B,
y por la hipótesis (m.1) se sigue que la función m(| · |) es medible y dado que f es una función
continua, por lo tanto
x 7→ g(x,s) es medible respecto a x ∈ B para todo s ∈ R.
Entonces se deduce que el operador g cumple con la condición de Carathéodory (Ca)a.
Luego, por la hipótesis (m.1) se tiene que m ∈ L∞(B) con ‖m‖L∞(B) = 1 y por la hipótesis
(f.3) se sigue que
|g(x,s)| ≤ a1 +a2|s|p, a1,a2 > 0
con 1 < p < (n+ 2)/(n− 2) = 2∗ − 1, es decir g satisface la hipótesis ( f .1)b. Gracias a
todo esto y al Teorema 1.4, el funcional Φ es C1(E,R) y finalmente se obtiene el resultado
deseado.
Se recuerda que la norma asociada al espacio de Sobolev H10 (Ω) es
‖u‖=
(∫
B|∇u|2dx
)1/2
.
aVer Definición 1.5.bVer Ecuación (1.2).
17
Lema 3.2. Sea Ω un conjunto abierto y acotado. Dada la sucesión uk∞
k=1 ⊂ H10 (Ω), si
‖uk‖2 =
∫
Ω
|∇uk|2dx <C
para todo k y C > 0 una constante que no depende de k. Entonces existe una subsucesión de
uk∞
k=1 (también notada por uk∞
k=1) y u ∈ H10 (Ω) tal que
(i) uk uc en H10 (Ω),
(ii) uk → u en Lq(Ω) para todo q ∈ [1,2n/(n−2)),
(iii) uk(x)→ u(x) c.t.p. en Ω.
Además existe w ∈ Lq(Ω) tal que
(iv) |uk(x)| ≤ w(x) c.t.p. en Ω y para todo k.
Demostración. Sea uk∞
k=1 ⊂ H10 (Ω) una sucesión tal que
‖uk‖2 =
∫
Ω
|∇uk|2dx <C (3.3)
para todo k y C > 0 una constante que no depende de k.
(i) H10 (Ω) al ser un espacio de Hilbert, por el Teorema A.4, es un espacio reflexivo. Por
otro lado, por la desigualdad (3.3) la sucesión uk∞
k=1 es un subconjunto acotado en
H10 (Ω), entonces por el Teorema A.5 se tiene que existe u ∈ H1
0 (Ω) y una subsucesión
de uk∞
k=1 notada de la misma forma tal que
uk u en H10 (Ω).
(ii) Por el Teorema 1.2 se tiene que la inmersión de H10 (Ω) en Lq(Ω) es compacta para
q ∈ [1,2n/(n−2)), por lo cual se obtiene que
uk → u en Lq(Ω) para todo q ∈ [1,2n/(n−2)).
(iii) Ahora, por el numeral anterior se tiene que uk∞
k=1 es una sucesión en Lq(Ω) y que
uk → u en Lq(Ω) para todo q ∈ [1,2n/(n−2)), entonces por el Teorema A.6 existe una
subsucesión de uk∞
k=1 otra vez notada de la misma manera tal que
uk(x)→ u(x) c.t.p. en Ω.
cLa notación indica la convergencia débil en el espacio indicado.
18
(iv) Finalmente, gracias al Teorema A.6 existe una función w ∈ Lq(Ω) tal que
|uk(x)| ≤ w(x) c.t.p. en Ω y para todo k.
Nota 3.1. Se denota por λ1 al primer valor propiod asociado al operador −∆ con condicio-
nes de Dirichlet sobre el dominio Ω. A veces se nota λ1(−∆) para resaltar la dependencia
del valor propio respecto del operador.
Lema 3.3. El funcional I verifica (PS)c para todo c ∈ R, es decir:
Si toda sucesión un∞
n=1 ⊂ E que satisface
(i) I(uk)→ c (en R) cuando k → ∞, y
(ii) dI(uk)→ 0 (en E ′) cuando k → ∞
para todo c ∈ R, entonces esta tiene una subsucesión convergente (en E).
Demostración. Sea c ∈ R y sea uk∞
k=1 una sucesión de Palais-Smale de nivel c, entonces
de (i) se tiene que I(uk)∞
k=1 es acotada, es decir, existe una constante C1 > 0 tal que
|I(uk)| ≤C1
y de (ii) se tiene que dI(uk) ∈ E ′, de donde existe C2 > 0 tal que
|dI(uk)uk| ≤C2‖uk‖
para todo k. Gracias a esto se tiene que para 2 < µ < 2∗
I(uk)−1µ
dI(uk)uk ≤ |I(uk)−1µ
dI(uk)uk|
≤C1 +C2
µ‖uk‖ (3.4)
≤C(1+‖uk‖)
donde C = maxC1,C2. Por otro lado se tiene que
I(uk)−1µ
dI(uk)uk =
(12−
1µ
)‖uk‖
2 +λ
µ
∫
Bm(|x|)( f (uk)uk −µF(uk))dx.
Luego, gracias a la hipótesis (f.4) con 2 < µ < 2∗, se sigue que
I(uk)−1µ
dI(uk)uk ≥
(12−
1µ−
d1λ
µλ1
)‖uk‖
2 −λ
(C3 +
D2
µ
). (3.5)
dPara mayores detalles sobre los valores propios ver el Anexo A.3.
19
De las desigualdades (3.4) y (3.5) se obtiene que
C(1+‖uk‖)≥
(12−
1µ−
λd1
µλ1
)‖uk‖
2 −λ
(C3 +
D2
µ
)
de donde
‖uk‖ ≤
√2Cµλ1 +2C3µλλ1 +2D2λλ1
µλ1 −2λ1 −2d1λ+
(Cµλ1
µλ1 −2λ1 −2d1λ
)2
+Cµλ1
µλ1 −2λ1 −2d1λ,
es decir, uk∞
k=1 es una sucesión acotada en E si y solo si
µλ1 −2λ1 −2d1λ > 0
de lo cual se obtiene la siguiente estimación para λ
λ ∗ =λ1
d1
(µ
2−1
)> λ .
Gracias a esto y al Lema 3.2 se tiene que existe u ∈ E y una subsucesión de uk∞
k=1 (también
notada por uk∞
k=1) tal que
(1) uk u en E,
(2) uk → u en Lq(B) para todo q ∈ [1,2∗),
(3) uk(x)→ u(x) c.t.p. en B.
Además existe w ∈ Lq(B) tal que
(4) |uk(x)| ≤ w(x) c.t.p. en B y para todo k.
Finalmente se probará que la sucesión uk → u en E lo cual es consecuencia de que 1 < p <
2∗− 1. Ahora, dado que uk∞
k=1 es una sucesión de Palais-Smale de nivel c, se sigue que
dI(uk)→ 0 y por el Lema 3.2 se tiene uk u en E por lo cual se obtiene
dI(uk)(uk −u)→ 0 y dI(u)(uk −u)→ 0
y gracias a esto
(dI(uk)−dI(u))(uk −u) = o(1)e. (3.6)
Luego, por la hipótesis (f.2) y (f.3) junto con los resultados del Lema 3.2 y el Teorema de
convergencia dominada de Lebesgue (Teorema A.8) se tiene que
∫
Bm(|x|) f (uk)ukdx →
∫
Bm(|x|) f (u)udx.
elımx→a f (x) = 0 si y solo si f (x) = o(1) en una vecindad de a.
20
Otra vez por los mismo argumentos anteriores se obtiene que
∫
Bm(|x|) f (uk)udx →
∫
Bm(|x|) f (u)udx.
De lo cual se puede deducir que
(dI(uk)−dI(u))(uk −u) = ‖uk −u‖2E −
∫
Bm(|x|)( f (uk)− f (u))(uk −u)dx
= ‖uk −u‖2E +o(1). (3.7)
Finalmente de (3.6) y (3.7) se tiene que
uk → u en E.
Lo cual demuestra que I satisface (PS)c para todo c ∈ R.
Se recuerda que el funcional asociado al problema (3.1) es:
I : E −→ R
u 7−→ I(u) =12‖u‖2 −λ
∫
Bm(|x|)F(u)dx
donde E = H10 (B) y λ ∈ R+.
Lema 3.4. El funcional I satisface (I1) del Teorema de Ambrosetti-Rabinowitz, es decir, I
satisface la siguiente condición:
(I1) existen constantes ρ,α > 0 tales que I|∂Bρ≥ α .
Demostración. Sea λ1 > 0 el primer valor propio asociado al operador −∆ con condiciones
homogéneas de Dirichlet sobre B. Fijando ε > 0 tal que
λ1
4λ> ε (3.8)
de donde se tiene que12−
ελ
λ1>
14.
Luego, gracias a la hipótesis (f.5) y utilizando la regla de l’Hôpital se sigue que
lıms→0
F(s)
s2 = 0
y por lo tanto, para ε en (3.8), existe δ > 0 tal que
|F(s)|< εs2
21
si |s|< δ . Ahora por la hipótesis (f.3) se obtiene
|F(s)|<C(s+ |s|p+1),
con 2 < p+1 < 2∗. De las dos últimas desigualdades se sigue que
|F(s)| ≤ εs2 +C|s|p+1.
Para todo s ∈ R. Gracias a esto se tiene que
I(u) =12‖u‖2 −λ
∫
Bm(|x|)F(u)dx
≥12‖u‖2 −λ
∫
BF(u)dx
≥12‖u‖2 −
λε
λ1‖u‖2 −Cλ‖u‖p+1
≥14‖u‖2 −Cλ‖u‖p+1
≥ ‖u‖2(
14−Cλ‖u‖p−1
)
donde C no depende de u ni de λ . Finalmente, para obtener la condición (I1) basta tomar
0 < ρλ <
(1
4λC
)1/(p−1)
y
0 < α ≤14(ρλ )
2 −Cλ (ρλ )p+1.
Observación 3.1. Dado que p−1 > 0 y
I(u)≥ ‖u‖2(
14−Cλ‖u‖p−1
)
para u ∈ E = H10 (B) con norma suficientemente pequeña, se tiene que
I(u)> 0 = I(0),
es decir, u = 0 es un mínimo local de I y por lo tanto un punto crítico del funcional.
Lema 3.5. El funcional I satisface (I2) del Teorema de Ambrosetti-Rabinowitz, es decir, I
satisface la siguiente condición:
(I2) existe un e ∈ E \Bρ tales que I(e)≤ 0.
22
Demostración. De la hipótesis (f.4) se tiene que para r > 0, 2 < µ < 2∗ y
s f (s)≥ µF(s), ∀s ≥ r
de donde por integración se tiene que existe C > 0 tal que
F(s)≥C|s|µ , ∀s ≥ r.
Luego, tomando ψ ∈ C∞c (B) tal que ψ ≥ 0 y supp(ψ) ⊂ B+ := x ∈ B : m(|x|) > 0. Si se
toma e = tψ con t > 0 se obtiene
I(e) = I(tψ)
=t2
2‖ψ‖2 −λ
∫
Bm(|x|)F(tψ)dx
=t2
2‖ψ‖2 −λ
∫
B+F(tψ)dx
=t2
2‖ψ‖2 −λ
∫
B+∩tψ≥rF(tψ)dx−λC1
≤t2
2‖ψ‖2 −λ tµ
∫
B+∩tψ≥rC|ψ|µdx−λC1
−→−∞
cuando t → +∞. Gracias a lo cual, para obtener la condición (I2) basta tomar t suficiente-
mente grande.
Observación 3.2. Se observaf que basta tomar m(| · |) acotado por arriba por un valor
positivo y acotado por abajo por un valor negativo.
3.2 Teorema principal
Para obtener el resultado deseado se utilizará una versión diferente del Teorema 1.7 que de
igual manera se llamará “Lema del Paso de Montaña” de Ambrosetti-Rabinowitz.
Teorema 3.1 (Paso de Montaña). Suponga que I ∈C1(H10 (Ω),R) satisface las condiciones
(I1), (I2) e I(0) = 0. Sea c definido por
c = ınfg∈Γ
maxu∈g([0,1])
I(u)
fSe debe notar que en los cálculos hechos anteriormente m(| · |) puede tener una forma más general, verel Anexo A.4. Se puede ver que es suficiente tomar m(| · |) acotado por arriba por un valor positivo y acotadopor abajo por un valor negativo. (Por la hipótesis (m.3) se tiene que la función m(| · |) cambia de signo en ladiscontinuidad).
23
donde
Γ = g ∈C([0,1],H10 (Ω)) : g(0) = 0,g(1) = e
y suponga que el funcional I satisface la condición (PS)c. Entonces c es un nivel crítico para
I, es decir, existe z ∈ H10 (Ω) tal que I(z) = c y dI(z) = 0. En particular z 6= 0 y z 6= e.
Demostración. (Ver [5, pág. 118] Teorema 8.2.)
En el siguiente teorema se resume los resultados de este capítulo para obtener la solución no
nula del problema (3.1).
Teorema 3.2. Suponga que f verifica las hipótesis:
(f.1) f (s) = 0 para s ≤ 0 y f (s)> 0 para s > 0.
(f.2) f ∈C(R,R).
(f.3) Existen constantes a1,a2 ≥ 0 tal que
| f (s)| ≤ a1 +a2|s|p
para todo s ∈ R, donde 1 < p < 2∗−1.
(f.4) Sea r > 0, 2 < µ < 2∗ y d1,d2 > 0 constantes tal que
0 < s f (s)−µF(s)≤ d1|s|2 +d2, ∀s ≥ r,
donde F está definida por
F(s) =∫ s
0f (t)dt.
(f.5) lıms→0
f (s)
s= 0.
Y suponga que m(| · |) está definida por (3.2). Entonces para todo λ ∈ (0,λ ∗) con
λ ∗ =λ1
d1
(µ
2−1
)
el problema −∆u = λm(|x|) f (u) x ∈ B
u = 0 x ∈ ∂B
tiene al menos una solución no trivial.
Demostración. De la Hipótesis (f.1) y la Observación 2.4 se obtiene que I(0) = 0 y por
el Lema 3.1 el funcional I es C1(E,R). Por otro lado, por el Lema 3.3 se demuestra que el
funcional I satisface la condición (PS)c para todo c∈R. Luego, gracias a los Lemas 3.4 y 3.5
24
se sigue que el funcional I cumple con las condiciones geométricas (I1) e (I2). Del Teorema
del “Paso de Montaña” de Ambrosetti-Rabinowitz. (Teorema 3.1) se puede concluir que
existe al menos una solución no nula.
Observación 3.3. Notar que u = 0 también es una solución del problema (3.1) y se tiene
que el problema al menos tiene dos soluciones, una solución nula de mínimo local y una
solución no nula de tipo Paso de Montaña.
CAPÍTULO 4
Soluciones radiales
En este capítulo se estudiará soluciones radiales para el problema (2.1) descrito abajo.
4.1 Radialidad de las soluciones
Puesto que se está trabajando sobre un dominio simétrico, con simetría radial, el cual es de
la forma B := B(0,1) y como la función m(·) es una función que depende radialmente de la
variable sobre el dominio B y no de su ángulo, es lógico buscar soluciones radiales, es decir,
independientes del ángulo, para el problema en estudio y en consecuencia se puede suponer
que la solución v(x) es de la forma
v(x) = u(|x|)
y el problema (2.1) será:
−∆v = λm(|x|) f (v) x ∈ B
v = 0 x ∈ ∂B(4.1)
el cual puede ser escrito como:
−∆u(|x|) = λm(|x|) f (u(|x|)) x ∈ B
u(|x|) = 0 x ∈ ∂B.(4.2)
Además si se hace el cambio de variable r = |x|, es decir, v(x) = u(|x|) = u(r) se tiene que el
problema (4.1) se escribe como la ecuación diferencial ordinaria más la condición de borde
siguiente
−u′′−n−1
ru′ = λm(r) f (u) r ∈ (0,1)
u(1) = 0.(4.3)
25
26
Adicionalmente en (4.3) se puede imponer la condición u′(0) = 0 o la condición u(0) = σ
con σ ∈ R+, si se busca soluciones no negativas.
Observación 4.1. Se observa que la ecuación (4.3) no depende del ángulo puesto que u es
independiente del mismo.
4.2 Soluciones radiales
Como se desea encontrar soluciones radiales es lógico buscarlas en el espacio funcional
H10,rad(B), el cual está definido por
H10,rad(B) := u ∈ H1
0 (B) : u es radiala
dotado de la misma norma de H10 (B), la cual esta notada por
‖u‖r :=
(∫
B|∇u|2dx
)1/2
, u ∈ H10,rad(B).
Nota 4.1. El espacio H10,rad(B) es la completación del subconjunto de funciones radialmente
simétricas en C∞c (B). Para mayores detalles ver el Anexo A.6, [23] y [9].
Se tiene la mayoración punto a punto
|u(|x|)| ≤C‖u‖r
|x|(n−2)/2.
Por otro lado se tiene que el espacio H10,rad(B) es un espacio de Hilbert con el producto
escalar
(u|φ)r :=∫
B∇u∇φdx ∀u,φ ∈ H1
0,rad(B).
Además, la inmersión de H10,rad(B) en Lp(|x|β dx)b es compacta para p< 2∗−1+2β/(n−2)
con β > 0.
Observación 4.2. Notar que el término |x|β es acotado sobre B.
Ahora utilizando la misma técnica del Capítulo 3, se busca resolver el problema
−∆u(|x|) = λ |x|β m(|x|) f (u(|x|)) x ∈ B
u(|x|) = 0 x ∈ ∂B.
aEs decir, la función u(|x|) no depende del ángulo del vector x en Rn.
bEl término |x|β permite ganar compacidad.
27
De aquí en adelante se utilizará la notación v := u(|x|). Entonces el problema se reescribe
como −∆v = λ |x|β m(|x|) f (v) x ∈ B
v = 0 x ∈ ∂B(4.4)
donde m(| · |) está definida por
m(|x|) =
1 si 0 ≤ |x|< γ
−1 si γ < |x|< 1(4.5)
con 0 < γ < 1.
Ahora multiplicando (4.4) por φ elemento del subconjunto de funciones radialmente simé-
tricas en C∞c (B) y luego integrando sobre B se tiene que
−∫
B∆vφdx = λ
∫
B|x|β m(|x|) f (v)φdx.
Ahora utilizando la fórmula de Green se tiene que
∫
B∇v∇φdx = λ
∫
B|x|β m(|x|) f (v)φdx
para todo φ elemento del subconjunto de funciones radialmente simétricas en C∞c (B). Luego
por la densidad del subconjunto de funciones radialmente simétricas en C∞c (B) en el espacio
H10,rad(B) se tiene que se busca v ∈ H1
0,rad(B) tal que
∫
B∇v∇φdx = λ
∫
B|x|β m(|x|) f (v)φdx
para todo φ ∈ H10,rad(B).
El problema (4.4) tiene el funcional asociado
Ir : H10,rad(B) −→ R
v 7−→ Ir(v) =12‖v‖2
r −λ
∫
B|x|β m(|x|)F(v)dx,
(4.6)
cuya derivada en el sentido de Fréchet es
dIr(v)φ =∫
B∇v∇φdx−λ
∫
B|x|β m(|x|) f (v)φdx,
lo cual será demostrado en el Lema 4.1.
28
4.3 Lemas auxiliares
De la hipótesis (f.1) se tiene que f (0) = 0, gracias a lo cual el problema (4.4) admite la
solución trivial v = 0. Además, se puede concluir que v = 0 es un punto crítico de Ir con
Ir(0) = 0 y dIr(0) = 0.
Lema 4.1. El funcional Ir definido por (4.6) es C1(H10,rad(B),R).
Demostración. El funcional Ir es de la forma
Ir : H10,rad(B) −→ R
v 7−→ Ir(v) =12‖v‖2
r −λ
∫
B|x|β m(|x|)F(v)dx.
(4.7)
Es claro que el primer término del lado derecho en la última igualdad es C∞(H10,rad(B),R)
c,
por lo cual, solo es necesario demostrar que el segundo término es C1(H10,rad(B),R). Para
esto, se ve que el operador de Nemitski asociado al funcional Ir es
h(x,s) = |x|β m(|x|) f (s).
Ahora, por la hipótesis (f.2) la función f es continua y por la hipótesis (m.2) se tiene que la
función | · |β m(| · |) es discontinua sobre el conjunto de medida nula x ∈ Rn : |x| = γ,0 <
γ < 1, por lo cual
s 7→ h(x,s) es continua respecto a s ∈ R casi todo x ∈ B.
Por la hipótesis (m.1) y como |x|β < 1 sobre B se sigue que la función | · |β m(| · |) es medible
y dado que f es una función continua, por lo tanto
x 7→ h(x,s) es medible respecto a x ∈ B para todo s ∈ R.
Entonces se deduce que el operador h cumple con la condición de Carathéodory (Ca)d.
Luego, por la hipótesis (m.1) se tiene que m ∈ L∞(B) con ‖m‖L∞(B) = 1, y dado que |x|β < 1
sobre B, entonces por la hipótesis (f.3), se sigue que
|h(x,s)| ≤ a1 +a2|s|p, a1,a2 > 0
con 1 < p < (n+2)/(n−2) = 2∗−1, es decir h satisface la hipótesis ( f .1). Gracias a todo
cVer [8].dVer Definición 1.5.
29
esto y al Teorema 1.4, el funcional
v 7→∫
B|x|β m(|x|)F(v)dx
es C1(H10,rad(B),R) y finalmente se sigue el resultado deseado.
Lema 4.2. Sea B = B(0,1) definido por x ∈ Rn : |x| < 1. Dada la sucesión vk
∞
k=1 ⊂
H10,rad(B), si
‖vk‖2r =
∫
B|∇vk|
2dx <C
para todo k y C > 0 una constante que no depende de k. Entonces existe una subsucesión de
vk∞
k=1 (también notada por vk∞
k=1) y v ∈ H10,rad(B) tal que
(i) vk ve en H10,rad(B),
(ii) vk → v en Lq(|x|β dx) para todo q ∈ [1,(n+2)/(n−2)+2β/(n−2)),
(iii) vk(x)→ v(x) c.t.p. en B.
Además existe w ∈ Lq(|x|β dx) tal que
(iv) |vk(x)| ≤ w(x) c.t.p. en B y para todo k.
Demostración. Sea vk∞
k=1 ⊂ H10,rad(B) una sucesión tal que
‖vk‖2r =
∫
Ω
|∇vk|2dx <C (4.8)
para todo k y C > 0 una constante que no depende de k.
(i) H10,rad(B) es un espacio de Hilbert, por el Teorema A.4, es un espacio reflexivo. Por
otro lado, por la desigualdad (4.8) la sucesión vk∞
k=1 es un subconjunto acotado
en H10,rad(B), entonces por el Teorema A.5 se tiene que existe v ∈ H1
0,rad(B) y una
subsucesión de vk∞
k=1 notada de la misma forma tal que
vk v en H10,rad(B).
(ii) Dado que la inmersión de H10,rad(B) en Lq(|x|β dx) es compacta para q ∈ [1,(n +
2)/(n−2)+2β/(n−2)) se obtiene que
vk → v en Lq(|x|β dx) para todo q ∈ [1,(n+2)/(n−2)+2β/(n−2)).
eLa notación indica la convergencia débil en el espacio indicado.
30
(iii) Ahora, por el numeral anterior se tiene que vk∞
k=1 es una sucesión en Lq(|x|β dx) y
que vk → v en Lq(|x|β dx) para todo q ∈ [1,(n+2)/(n−2)+2β/(n−2)), entonces por
el Teorema A.7 y se tiene que existe una subsucesión de vk∞
k=1 otra vez notada de la
misma manera tal que
vk(x)→ v(x) c.t.p. en B.
(iv) Finalmente, gracias al Teorema A.7 existe una función w ∈ Lq(|x|β dx) tal que
|vk(x)| ≤ w(x) c.t.p. en B y para todo k.
Sea λ1[|x|β ] > 0 el primer valor propio asociado al operador −∆ con condiciones homogé-
neas de Dirichlet sobre B (en H10,rad(B)), es decir, λ1[|x|β ] el primer valor propio asociado al
problema −∆v = λ |x|β v x ∈ B
v = 0 x ∈ ∂B.
Además, de este problema se puede deducir que
λ1[|x|β ]∫
B|x|β |v|2dx ≤
∫
B|∇v|2dx.
Para mayores detalles ver el Anexo A.3.
Lema 4.3. El funcional Ir verifica (PS)c para todo c ∈ R, es decir:
Si toda sucesión vn∞
n=1 ⊂ H10,rad(B) que satisface
(i) Ir(vk)→ c (en R) cuando k → ∞, y
(ii) dIr(vk)→ 0 (en (H10,rad(B))
′) cuando k → ∞
para todo c ∈ R, entonces esta tiene una subsucesión convergente (en H10,rad(B)).
Demostración. Sea c ∈ R y sea vk∞
k=1 una sucesión de Palais-Smale de nivel c, entonces
de (i) se tiene que Ir(uk)∞
k=1 es acotada, es decir, existe una constante C1 > 0 tal que
|Ir(vk)| ≤C1
y de (ii) se tiene que dIr(uk) ∈ (H10,rad(B))
′, de donde existe C2 > 0 tal que
|dIr(vk)vk| ≤C2‖vk‖r
para todo k. Gracias a esto se tiene que
Ir(vk)−1µ
dI(vk)vk ≤ |Ir(vk)−1µ
dIr(vk)vk|
31
≤C1 +C2
µ‖vk‖r (4.9)
≤C(1+‖vk‖r)
donde C = maxC1,C2. Por otro lado se tiene que
Ir(vk)−1µ
dIr(vk)vk =
(12−
1µ
)‖vk‖
2r +
λ
µ
∫
B|x|β m(|x|)( f (vk)vk −µF(vk))dx.
Luego gracias a la hipótesis (f.4) con 2 < µ < 2∗ y tomando en cuenta que |x|β ≤ 1 sobre B,
se sigue que
Ir(vk)−1µ
dIr(vk)vk ≥
(12−
1µ−
d1λ
µλ1[|x|β ]
)‖vk‖
2r −λ
(C3 +
D2
µ
). (4.10)
De las desigualdades (4.9) y (4.10) se obtiene que
C(1+‖vk‖r)≥
(12−
1µ−
d1λ
µλ1[|x|β ]
)‖vk‖
2r −λ
(C3 +
D2
µ
)
de donde
‖vk‖r ≤
√2Cµλ1[|x|β ]+2C3µλλ1[|x|β ]+2D2λλ1[|x|β ]
µλ1[|x|β ]−2λ1[|x|β ]−2d1λ+
(Cµλ1[|x|β ]
µλ1[|x|β ]−2λ1[|x|β ]−2d1λ
)2
+Cµλ1[|x|β ]
µλ1[|x|β ]−2λ1[|x|β ]−2d1λ,
es decir, vk∞
k=1 es una sucesión acotada en H10,rad(B) si y solo si
µλ1[|x|β ]−2λ1[|x|β ]−2d1λ > 0
de lo cual se obtiene la estimación para λ
λ =λ1[|x|β ]
d1
(µ
2−1
)> λ .
Gracias a esto y al Lema 4.2 se tiene que existe v ∈ H10,rad(B) y una subsucesión de vk
∞
k=1
(también notada por vk∞
k=1) tal que
(1) vk v en H10,rad(B),
(2) vk → v en Lq(|x|β dx) para todo q ∈ [1,(n+2)/(n−2)+2β/(n−2)),
(3) vk(x)→ v(x) c.t.p. en B.
Además existe w ∈ Lq(|x|β dx)) tal que
32
(4) |vk(x)| ≤ w(x) c.t.p. en B y para todo k.
Finalmente se probará que la sucesión vk → v en H10,rad(B) lo cual es consecuencia de que
1 < p < 2∗−1. Ahora, dado que vk∞
k=1 es una sucesión de Palais-Smale de nivel c, se sigue
que dIr(vk)→ 0 y por el Lema 4.2 se tiene vk v en H10,rad(B) por lo cual se obtiene
dIr(vk)(vk − v)→ 0 y dIr(v)(vk − v)→ 0
y gracias a esto
(dIr(vk)−dIr(v))(vk − v) = o(1)f. (4.11)
Luego por la hipótesis (f.2) y (f.3) junto con los resultados del Lema 4.2 y el Teorema de
convergencia dominada de Lebesgue (Teorema A.8) se tiene que
∫
B|x|β m(|x|) f (vk)vkdx →
∫
B|x|β m(|x|) f (v)vdx.
Otra vez por los mismo argumentos anteriores se obtiene que
∫
B|x|β m(|x|) f (vk)vdx →
∫
B|x|β m(|x|) f (v)vdx.
De lo cual se puede deducir que
(dIr(vk)−dIr(v))(vk − v) = ‖vk − v‖2 −∫
B|x|β m(|x|)( f (vk)− f (v))(vk − v)dx
= ‖vk − v‖2 +o(1). (4.12)
Finalmente de (4.11) y (4.12) se tiene que
vk → v en H10,rad(B).
Lo cual demuestra que Ir satisface (PS)c para todo c ∈ R.
Se recuerda que el funcional asociado al problema (4.4) es
Ir : H10,rad(B) −→ R
v 7−→ Ir(v) =12‖v‖2
r −λ
∫
B|x|β m(|x|)F(v)dx,
donde λ ∈ R+.
Lema 4.4. El funcional Ir satisface (I1) del Teorema de Ambrosetti-Rabinowitz, es decir, Ir
satisface la siguiente condición:
flımx→a f (x) = 0 si y solo si f (x) = o(1) en una vecindad de a.
33
(I1) existen constantes ρ,α > 0 tales que Ir|∂Bρ≥ α .
Demostración. Fijando ε > 0 tal que
λ1[|x|β ]
4λ> ε (4.13)
de donde se tiene que12−
ελ
λ1[|x|β ]>
14.
Luego, gracias a la hipótesis (f.5) y utilizando la regla de l’Hôpital se sigue que
lıms→0
F(s)
s2 = 0
y por lo tanto, para ε en (4.13) existe δ > 0 tal que
|F(s)|< εs2
si |s|< δ . Ahora por la hipótesis (f.3) se obtiene
|F(s)|<C(s+ |s|p+1),
con 2 < p+1 < 2∗. De las dos últimas desigualdades se sigue que
|F(s)| ≤ εs2 +C|s|p+1
para todo s ∈ R. Gracias a esto se tiene que
Ir(v) =12‖v‖2
r −λ
∫
B|x|β m(|x|)F(v)dx
≥12‖v‖2
r −λ
∫
B|x|β F(v)dx
≥12‖v‖2
r −λε‖v‖2L2(|x|β dx)
−Cλ‖v‖p+1Lp+1(|x|β dx)
≥12‖v‖2
r −λε
λ1[|x|β ]‖v‖2
r −Cλ‖v‖p+1r
≥14‖v‖2
r −Cλ‖v‖p+1r
≥ ‖v‖2r
(14−Cλ‖v‖p−1
r
)
donde C no depende de v ni de λ . Finalmente, para obtener la condición (I1) basta tomar
0 < ρλ <
(1
4λC
)1/(p−1)
34
y
0 < α ≤14(ρλ )
2 −Cλ (ρλ )p+1.
Observación 4.3. Se señala que la constante C obtenida en el Lema 4.4 no es la misma
constante obtenida en el Lema 3.4.
Observación 4.4. Se recuerda que B = x ∈Rn : |x|< 1 y que Bρ = v ∈ H1
0,rad(B) : ‖v‖r <
ρ.
Lema 4.5. El funcional Ir satisface (I2) del Teorema de Ambrosetti-Rabinowitz, es decir, Ir
satisface la siguiente condición:
(I2) existe un e ∈ H10,rad(B)\Bρ tales que Ir(e)≤ 0.
Demostración. De la hipótesis (f.4) por integración se tiene que existe C > 0 tal que
F(s)≥C|s|µ , ∀s ≥ s
donde s> 0 y 2< µ < 2∗. Ahora, tomando ψ ∈C∞c ∩H1
0,rad(B) tal que ψ(x)≥ 0 y supp(ψ)⊂
B+ := x ∈ B : m(|x|)> 0. Si se toma e = tψ con t > 0 se obtiene
Ir(e) = Ir(tψ)
=t2
2‖ψ‖2
r −λ
∫
B|x|β m(|x|)F(tψ)dx
=t2
2‖ψ‖2
r −λ
∫
B+|x|β F(tψ)dx
=t2
2‖ψ‖2
r −λ
∫
B+∩tψ≥s|x|β F(tψ)dx−λC1
≤t2
2‖ψ‖2
r −λ tµ∫
B+∩tψ≥s|x|βC|ψ|µdx−λC1
−→−∞
cuando t → +∞. Por lo cual, para obtener la condición (I2) basta tomar t suficientemente
grande.
4.4 Teorema principal
Ahora se presenta el Teorema principal de este capítulo y al igual que en la demostración del
Teorema 3.2 se utilizará el Teorema 3.1 llamado “Lema del Paso de Montaña” de Ambrosetti-
Rabinowitz.
35
Teorema 4.1. Suponga que f verifica las hipótesis:
(f.1) f (s) = 0 para s ≤ 0 y f (s)> 0 para s > 0.
(f.2) f ∈C(R,R).
(f.3) Existen constantes a1,a2 ≥ 0 tal que
| f (s)| ≤ a1 +a2|s|p
para todo s ∈ R, donde 1 < p < 2∗−1.
(f.4) Sea r > 0, 2 < µ < 2∗ y d1,d2 > 0 constantes tal que
0 < s f (s)−µF(s)≤ d1|s|2 +d2, ∀s ≥ r,
donde F está definida por
F(s) =∫ s
0f (t)dt.
(f.5) lıms→0
f (s)
s= 0.
Y suponga que m(| · |) está definida por (4.5). Entonces para todo λ ∈ (0, λ ) con
λ =λ1[|x|β ]
d1
(µ
2−1
)
el problema −∆v = λ |x|β m(|x|) f (v) x ∈ B
v = 0 x ∈ ∂B
tiene al menos una solución radial y no trivial.
Demostración. De la Hipótesis (f.1) se obtiene que I(0) = 0 y por el Lema 4.1 el funcional Ir
es C1(H10,rad(B),R). Por otro lado, por el Lema 4.3 se demuestra que el funcional Ir satisface
la condición (PS)c para todo c ∈ R. Luego, gracias a los Lemas 4.4 y 4.5 se sigue que el
funcional Ir cumple con las condiciones geométricas (I1) e (I2). Del Teorema del “Paso de
Montaña” de Ambrosetti-Rabinowitz. (Teorema 3.1) se puede concluir que existe al menos
una solución radial no nula.
Observación 4.5. Se señala que v = 0 también es una solución del problema (4.4) y se tiene
que el problema al menos tiene dos soluciones, una solución nula de mínimo local y una
solución radial no nula de tipo Paso de Montaña.
CAPÍTULO 5
Conclusiones y recomendaciones
5.1 Conclusiones
Se tiene las siguientes conclusiones:
1. Se ha demostrado que el problema estudiado al menos tiene una solución radial no
nula.
2. El término |x|β es muy importante puesto que permite ganar compacidad y obtener las
soluciones radiales buscadas.
3. Puesto que m(| · |) cambia de signo se tiene que realizar un estudio separado al estudio
clásico que se suele hacer en los textos.
4. La discontinuidad de m(| · |) en |x| = γ lleva a problemas diferentes de los estudiados
en la literatura.
5.2 Recomendaciones
Se tiene las siguientes recomendaciones:
1. Hacer un estudio cualitativo de las soluciones obtenidas en los Capítulos 3 y 4.
2. Estudiar la unicidad de las soluciones no triviales obtenidas en los Capítulos 3 y 4.
3. Ver si la solución no trivial obtenida en el Capítulo 3 presenta simetría.
4. Estudiar el signo de las soluciones obtenidas en los Capítulos 3 y 4.
36
Anexos
37
ANEXO A
Definiciones y teoremas complementarios
En este Anexo se exponen resultados complementarios a los resultados expuestos en los
capítulos principales del presente trabajo.
A.1 Homotopía
Definición A.1 (Homotopía). Sean T y S dos espacios topológicos. Una homotopía entre
dos funciones continuas f : T → S y g : T → S esta definida como la función continua
H : [0,1]×T → S
tal que
H(0,x) = f (x) y H(1,x) = g(x)
para todo x ∈ T .
A.2 Lema de Deformación
A continuación enunciamos la versión general del Lema de Deformación 1.6 presentado en
el Capitulo 1.
Teorema A.1 (Versión general del Lema de Deformación). Sea X un espacio de Banach real
y sea I ∈C1(X ,R) que satisface la condición (PS). Si c ∈ R, ε > 0 y V es una vecindad de
Kc, entonces existe un ε ∈ (0,ε) y η ∈C([0,1]×X ,X) tal que
(i) η(0,u) = u para todo u ∈ X,
(ii) η(t,u) = u para todo t ∈ [0,1] si I(u) 6∈ [c− ε,c+ ε],
(iii) η(t,u) es un homeomorfismo de X sobre X para cada t ∈ [0,1],
38
39
(iv) ||η(t,u)−u|| ≤ 1 para todo t ∈ [0,1] y u ∈ X,
(v) I(η(t,u))≤ I(u) para todo t ∈ [0,1] y u ∈ X,
(vi) η(1,Ac+ε \V )⊂ Ac−ε ,
(vii) si Kc = /0, η(1,Ac+ε)⊂ Ac−ε ,
(viii) si I(u) es par respecto a u, η(t,u) es impar respecto a u.
Demostración. (Ver [28, pág. 82] Teorema A.4.)
A.3 Valores propios para problemas con condiciones de fron-
tera de Dirichlet
Sea Ω un conjunto abierto y acotado de Rn. Se tiene el problema de valores propios lineal
−∆u = λu x ∈ Ω
u = 0 x ∈ ∂Ω.(A.1)
Gracias al operador linea y autoadjunto de Green K : L2(Ω)→H10 (Ω) de −∆ con condiciones
de Dirichlet homogéneas, se tiene que el problema (A.1) es equivalente al problema
u = λK(u), u ∈ L2(Ω). (A.2)
Observación A.1. Se puede tomar u ∈C0,α(Ω).
De acuerdo a la teoría de Riesz-Fredholma, el problema (A.2) se puede escribir como Aλ =
I −λK. A continuación se define que es un valor propio asociado al problema (A.1).
Definición A.2. Un número real λ tal que Ker(Aλ ) 6= 0 es un valor propio de (A.1). El
entero m tal que Ker(Akλ ) = Ker(Ak+1
λ) para todo k ≤ m, es llamado la multiplicidad de λ .
Nota A.1. Cuando la multiplicidad m es igual a 1 se dice que el valor propio es simple.
Teorema A.2.
(i) El problema (A.1) tiene una sucesión de valores propios λk∞
k=1 tal que
0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ . . . , λk ր+∞.
El primer valor propio λ1 es simple y su correspondiente función propia no cambia de
signo en Ω. Además, λ1 es el único valor propio con esta propiedad.
aPara mayores detalles revisar [13], Capítulo 6.
40
Se notará por ϕ1 la correspondiente función propia de λ1, tal que ϕ1(x)> 0 y ‖ϕ1‖L2(Ω)=
1. Además se nota por ϕi a la función propia correspondiente al valor propio λi tal
que∫
Ω
ϕhϕkdx =
1 si h = k
0 si h 6= k.
(ii) Se tiene que
λ1 = mın
∫
Ω
|∇u|2dx : u ∈ H10 (Ω),
∫
Ω
|u|2dx = 1
.
(iii) Dejando
Wk =
u ∈ H1
0 (Ω) :∫
Ω
∇u ·∇ϕhdx = 0
para h = 1, . . . ,k−1, se tiene que
λk = mın
∫
Ω
|∇u|2dx : u ∈Wk,∫
Ω
|u|2dx = 1
.
Observación A.2. De (ii) se puede deducir una expresión más precisa de la desigualdad de
Poincaré:
λ1
∫
Ω
|u|2dx ≤∫
Ω
|∇u|2dx.
Además se tiene que si ϕi es la función asociada al valor propio λi, entonces
−∆ϕi = λiϕi x ∈ Ω
ϕi = 0 x ∈ ∂Ω.
Se tienen las siguientes propiedades:
i) λk →+∞ cuando k →+∞.
ii) ϕk∞
k=1 es una base ortonormal para L2(Ω).
iii) Para cada k, ϕk ∈ L∞(Ω) y ϕk 6= 0 c.t.p. en Ω.
Nota A.2. λ1 también llamado el primer valor propio o valor propio principal.
Ahora se tiene que el problema de valores propios lineal
−∆u = λa(x)u x ∈ Ω
u = 0 x ∈ ∂Ω(A.3)
donde a ∈ L∞(Ω) tal que a(x) ≥ 0 y a(x) > 0 sobre un subconjunto de medida positiva de
Ω. Se nota por λ [a] los valores propios asociados al problema (A.3). Se tiene que existen
41
infinitos valores propios tal que
0 < λ1[a]< λ2[a]≤ λ3[a]≤ . . .
que satisfacen propiedades similares al Teorema A.2, adicionalmente satisfacen las siguien-
tes propiedades:
1. (Propiedad de monotonía) Si a < b, entonces λk[a]≥ λk[b] para todo k ≥ 1, además si
a < b en un subconjunto Ω′ ⊂ Ω con medida positiva, entonces λk[a]> λk[b] para todo
k ≥ 1.
2. (Propiedad de continuidad) Si am → a en Ln/2(Ω), entonces λk[am]→ λk[a] para todo
k ≥ 1.
A.4 Condiciones sobre m(| · |) y el parámetro γ
Se comienza analizando la condición de negatividad de la integral de m en relación al pará-
metro γ , es decir, se busca ver las condiciones sobre el parámetro γ tal que
∫
Bm(|x|)dx < 0,
si se tiene que
∫
Bm(|x|) =C
∫ 1
0m(r)rn−1dr
=C
(∫ γ
0rn−1dr−
∫ 1
γrn−1dr
)
=C
n(2γn −1)< 0
si y solo si
γ <
(12
)1/n
Ahora se expone como afecta el tamaño del salto en la discontinuidad de m(| · |) en |x| = γ .
Sean d,e > 0 constantes. Para m(| · |) : B → R definida por:
m(| · |) : B −→ R
x 7−→ m(|x|) =
d si 0 ≤ |x|< γ
−e si γ < |x|< 1
42
y se tiene que∫
Bm(|x|)< 0 si y solo si γ <
(e
d + e
)1/n
.
A.5 Teoremas y resultados adicionales
En esta sección se expondrá ciertos teoremas o resultados necesarios para la demostración
de varios lemas de los Capítulos 3 y 4.
Teorema A.3 (Riesz). Dada φ ∈ H ′, existe f ∈ H único tal que
〈φ ,v〉= ( f |v), ∀v ∈ H.
Además se verifica
‖ f‖H = ‖φ‖H ′ .
Demostración. (Ver [12, pág. 81] Teorema V .5.)
Teorema A.4. Sea H un espació de Hilbert. H es uniformemente convexo y por lo tanto
reflexivo.
Demostración. (Ver [12, pág. 79] Proposición V .1.)
Teorema A.5. Sea X un espacio de Banach reflexivo y sea xk∞
k=1 una sucesión acotada en
X. Entonces existe una subsucesión xk j∞
j=1 que converge en la topología débil σ(X ,X∗).
Demostración. (Ver [13, pág. 69] Teorema 3.18.)
Teorema A.6. Sean fk∞
k=1 una sucesión en Lp(Ω) y sea f ∈Lp(Ω), tal que ‖ fk− f‖Lp(Ω)→
0. Entonces existe una subsucesión fk j∞
j=1 y w ∈ Lp(Ω) tal que
1. fk j(x)→ f (x) c.t.p. en Ω,
2. | fk j(x)| ≤ w(x) c.t.p. en Ω y para todo k.
Demostración. (Ver [12, pág. 58] Teorema IV .9.)
Teorema A.7. Sean fk∞
k=1 una sucesión en Lp(|x|β dx) y sea f ∈ Lp(|x|β dx), tal que ‖ fk −
f‖Lp(|x|β dx) → 0. Entonces existe una subsucesión fk j∞
j=1 y w ∈ Lp(|x|β dx) tal que
1. fk j(x)→ f (x) c.t.p. en B,
2. | fk j(x)| ≤ w(x) c.t.p. en B y para todo k.
Demostración. La demostración de este teorema es similar a la del Teorema A.6 con cam-
bios menores. Ver [12, pág. 58] Teorema IV .9.
43
Teorema A.8 (Convergencia dominada de Lebesgue). Sea fk∞
k=1 una sucesión en L1(Ω)
que satisface
1. fk(x)→ f (x) c.t.p. en Ω,
2. existe g ∈ L1(Ω) tal que
| fk(x)| ≤ g(x)
c.t.p. en Ω y para todo k.
Entonces f ∈ L1(Ω) y
‖ fk − f‖L1(Ω) → 0.
Demostración. (Ver [13, pág. 90] Teorema 4.2.)
A.6 Resultados de “A Nonlinear Dirichlet Problem on the
Unit Ball and its Applications”
En esta sección se exponen los principales resultados de [23].
Lema A.1 (Radial). Sea u una función radialmente simétrica de Ω (bola unidad en Rn) con
u(1) = 0. Entonces
|u(|x|)| ≤1√
ωn(n−2)
‖∇u‖Lp(Ω)
|x|(n−2)/2
donde ωn es el área de la superficie de la bola unidad en Rn.
Sea E la completación del conjunto de funciones simétricas de C∞c (Ω) con la norma asociada
‖u‖E =
(∫
Ω
|∇u|2dx
)1/2
.
Lema A.2 (Compacidad). La aplicación u 7→ |x|m ·u de E en Lp(Ω) es compacta para p ∈
[1, m) donde
m =
2nn−2−2m
si m < n−22
∞ sino.(A.4)
Referencias
[1] Stanley Alama and Manuel Del Pino. Solutions of elliptic equations with indefinite
nonlinearities via morse theory and linking. Annales de l’I.H.P. Analyse non linéaire,
13(1):95–115, 1996.
[2] Stanley Alama and Gabriella Tarantello. On semilinear elliptic equations with indefinite
nonlinearities. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 1(4):439–475,
1993.
[3] Stanley Alama and Gabriella Tarantello. Elliptic problems with nonlinearities indefinite
in sign. Journal of Functional Analysis, 141(1):159–215, 1996.
[4] Stanley Alama and Gabriella Tarantello. On the solvability of a semilinear elliptic
equation via an associated eigenvalue problem. Mathematische Zeitschrift, 221(1):467–
493, 1996.
[5] Antonio Ambrosetti and Andrea Malchiodi. Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic
Problems. Number v. 10 in Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge
University Press, 2007.
[6] Antonio Ambrosetti and Giovanni Prodi. A Primer of Nonlinear Analysis. Cambridge
Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, 1995.
[7] Antonio Ambrosetti and Paul H. Rabinowitz. Dual variational methods in critical point
theory and applications. Journal of Functional Analysis, 14(4):349–381, 1973.
[8] Marino Badiale and Enrico Serra. Semilinear Elliptic Equations for Beginners: Exis-
tence Results via the Variational Approach. Universitext. Springer, 2011.
[9] Vivina Barutello, Simone Secchi, and Enrico Serra. A note on the radial solutions for
the supercritical hénon equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications,
341(1):720–728, 2008.
[10] Henri Berestycki, Italo Capuzzo-Dolcetta, and Louis Nirenberg. Superlinear indefinite
elliptic problems and nonlinear liouville theorems. Topological Methods in Nonlinear
Analysis, 4(1):59–78, 1994.
44
45
[11] Henri Berestycki, Italo Capuzzo-Dolcetta, and Louis Nirenberg. Variational methods
for indefinite superlinear homogeneous elliptic problems. Nonlinear Differential Equa-
tions and Applications NoDEA, 2(4):553–572, 1995.
[12] Haïm Brezis. Análisis funcional: teoría y aplicaciones. Alianza universidad textos.
Alianza, 1984.
[13] Haïm Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.
Universitext (Berlin. Print). Springer, 2010.
[14] Marco Calahorrano. El problema del plasma confinado. Multiplicidad de soluciones
cuando las no linealidades son indefinidas. Memorias del X Encuentro de Matemática
y sus Aplicaciones, pages 1–15, 2006.
[15] Marco Calahorrano. Existencia de soluciones positivas para problemas no lineales con
discontinuidades indefinidas. Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, 13(3):95–
101, 2007.
[16] Marco Calahorrano and Fernando Dobarro. Multiple solutions for inhomogeneous
elliptic problems arising in astrophysics. Mathematical Models and Methods in Ap-
plied Sciences, 3(02):217–230, 1993.
[17] Marco Calahorrano and Hermann Mena. Multiple solutions for inhomogeneous nonli-
near elliptic problems arising in astrophysics. Electronic Journal of Differential Equa-
tions, 2004(49):1–10, 2004.
[18] Marco Calahorrano and Miguel Yangari. Sistemas de ecuaciones diferenciales nolinea-
les indefinidas. Revista Politécnica, 29(1):133–137, 2010.
[19] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski. Introduction to Hilbert spaces with applica-
tions. Academic Press, 1990.
[20] Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. Graduate studies in mathematics.
American Mathematical Society, 2010.
[21] Basilis Gidas, Wei Ming Ni, and Louis Nirenberg. Symmetry and related properties via
the maximum principle. Communications in Mathematical Physics, 68(3):209–243,
1979.
[22] Noel J. Hicks. Notes on differential geometry. Van Nostrand mathematical studies. Van
Nostrand, 1965.
[23] Wei Ming Ni. A nonlinear dirichlet problem on the unit ball and its applications. In-
diana University Mathematics Journal, 31(6):801–807, 1982.
46
[24] Wei Ming Ni. On the elliptic equation ∆u+K(x)u(n+2)/(n−2) = 0, its generalizations,
and applications in geometry. Indiana University Mathematics Journal, 31(4):493–529,
1982.
[25] Duccio Papini and Fabio Zanolin. Periodic points and chaotic-like dynamics of planar
maps associated to nonlinear Hill’s equations with indefinite weight. Georgian Mathe-
matical Journal, 9(2):339–366, 2002.
[26] Duccio Papini and Fabio Zanolin. Some results on periodic points and chaotic dyna-
mics arising from the study of the nonlinear Hill equations. Rendiconti del seminario
matematico, Università e Politecnico di Torino, 65(1):115–157, 2007.
[27] Yao Qing-liu and Ma Qin-sheng. Existence of positive radial solutions for some semili-
near elliptic equations in annulus. Applied Mathematics and Mechanics, 23(12):1452–
1457, 2002.
[28] Paul H. Rabinowitz and Conference Board of the Mathematical Sciences. Minimax
Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations. Number
no. 65 in Conference Board of the Mathematical Science. Conference Board of the
Mathematical Sciences, 1986.
[29] Satoshi Tanaka. Uniqueness and nonuniqueness of nodal radial solutions of sublinear
elliptic equations in a ball. Nonlinear Analysis, 71(11):5256–5267, 2009.