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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
“FORMAS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO QUE SE PROMUEVEN AL
RESOLVER PROBLEMAS NO RUTINARIOS”
T E S I S
Que para obtener el grado de Maestra en Ciencias en
Matemáticas y su Didáctica
Presenta:
Elizabeth Barrera Rodríguez
DIRECTORES DE TESIS:
Dr. Fernando Barrera Mora
Dr. Aarón Reyes Rodríguez
Mineral de la Reforma, Hidalgo, Enero de 2015.
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Resumen
En este trabajo se analizan las videograbaciones del proceso de solución de siete
problemas no rutinarios que llevó a cabo un estudiante de quinto año de primaria, con la
finalidad de caracterizar las formas de razonamiento desarrolladas. El análisis se centra
principalmente en la elección e implementación de las estrategias, es decir la ruta que va
desde la comprensión del problema hasta la obtención de la solución. Entre los
principales resultados de la investigación se destaca un cambio en las formas de
razonamiento del estudiante, ya que durante la solución de los primeros problemas el
pensamiento del estudiante se centra en la utilización de estrategias que involucran
proporcionalidad, aun cuando tales estrategias no son apropiadas. Además, se observa
que el estudiante obtiene información útil para avanzar en la solución de los problemas
a partir de sub-tareas, pero pierde de vista esa información. En contraste, en las últimas
tareas el estudiante es capaz de identificar los datos, seleccionar la estrategia apropiada
y utilizar la información de las sub-tareas por él mismo, sin ayuda del instructor.
Abstract
We analyzed video recordings of the solution process developed by a fifth-grade student
when he solved seven non-routine problems with the aim to characterize the ways of
reasoning performed. The analysis focuses particularly on the choice and
implementation of problem solving strategies. The results indicate a change in the forms
of reasoning employed, since in the solution of the first tasks, student’s thinking is
centered on the use proportionality strategies which were not useful for finding and
generalizing some figural patterns. It is also observed that the student was able to obtain
useful information starting from subtasks solution, but recurrently he did not integrate
this information into new phases for advancing on the solution process. In contrast, in
the last tasks the student correctly identified problems’ data, selected the appropriate
strategy and used information from the sub-tasks by himself to solve problems, without
help from the instructor.
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CONTENIDO
RESUMEN
ABSTRACT
CAPÍTULO I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Introducción
1.2 Revisión de la literatura
1.3 El problema de investigación
CAPÍTULO II.MARCO CONCEPTUAL
2.1 Las matemáticas y su aprendizaje
2.2 Resolución de problemas
2.3 Aprendizaje con entendimiento
2.4 Razonamiento Matemático
2.5 Integración de los Elementos del Marco
CAPITULO III. METODOLOGÍA
3.1 Características de la investigación
3.2 Los instrumentos de recolección de la información
3.3 Características de las actividades
3.3.1 Tarea 1. Ranas saltarinas
3.3.2 Tarea 2. Números triangulares
3.3.3 Tarea 3. Rectángulo
3.3.4 Tarea 4. Diagonales
3.3.5 Tarea 5. Tanque de tortugas
3.3.6 Tarea 6. Cerdos y gallinas
3.3.7 Tarea 7. Saludos
3.4 Análisis preliminar de las tareas
3.4.1 Solución de la tarea ranas saltarinas
3.4.2 Solución de la tarea números triangulares
3.4.3 Solución de la tarea rectángulo
3.4.4 Solución de la tarea diagonales
3.4.5 Solución de la tarea tanque de tortugas
3.4.6 Solución de la tarea cerdos y gallinas
3.4.7 Solución de la tarea saludos
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CAPÍTULO IV. RESULTADOS
4.1 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de las ranas saltarinas
4.2 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los números triangulares
4.3 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea del rectángulo
4.4 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de las diagonales
4.5 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea del tanque de tortugas
4.6 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los cerdos y gallinas
4.7 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los saludos
CAPÍTULO V. CONCLUSIONES
5.1 Respuesta a la pregunta de investigación
5.2 Limitaciones del trabajo
5.3 Propuestas a futuro
5.4 Reflexiones finales
REFERENCIAS
APÉNDICES
Apéndice A. Transcripción de la tarea 1: Ranas saltarinas
Apéndice B. Transcripción de la tarea 2: Números triangulares.
Apéndice C. Transcripción de la tarea 3: Rectángulo.
Apéndice D. Transcripción de la tarea 4: Diagonales.
Apéndice E. Transcripción de la tarea 5: Tanque de tortugas
Apéndice F. Transcripción de la tarea 6. Cerdos y gallinas.
Apéndice G. Transcripción de la tarea7: Saludos.
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CAPÍTULO I. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 Introducción
De acuerdo con los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM,
2000), el razonamiento ofrece formas poderosas para desarrollar una comprensión de un
amplio rango de fenómenos porque el razonamiento, y en particular el razonamiento
lógico, constituye el fundamento de las matemáticas (Ross, 1998). Los estudiantes
quienes desarrollan habilidades para razonar y pensar analíticamente tienden a notar
patrones y regularidades, además de que tienden a preguntarse cuáles son las razones de
que exista un patrón.
El entendimiento está relacionado muy estrechamente con el razonamiento (Figura 1).
No puede haber un entendimiento real si no se conocen las razones de por qué las cosas
funcionan como lo hacen. Si la habilidad para razonar no se desarrolla en los
estudiantes, entonces la actividad matemática consistirá únicamente en seguir o imitar
un conjunto de procedimientos, sin pensar y reflexionar por qué esos procedimientos
tienen sentido (Ross, 1998). El razonamiento es uno de los instrumentos principales
para desarrollar entendimiento y construir nuevo conocimiento matemático, ya que éste
es una herramienta para descubrir y explorar nuevas ideas y un medio para justificar
resultados (Ball y Bass, 2003). En este contexto, la demostración y justificación de
resultados matemáticos son la expresión de tipos particulares de razonamiento.
Figura 1. Relación entre el razonamiento y el entendimiento matemático.
INFO
RM
AL
FOR
MA
L
Razonamiento
Entendimiento
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El razonamiento es una habilidad básica, ya que conocer de memoria o manejar
rutinariamente a las ideas y procedimientos matemáticos es insuficiente para usarlos de
forma eficiente. Así, el razonamiento es un componente central en el aprendizaje de la
disciplina y en la resolución de problemas (Bergqvist, Lithner y Sumpter, 2008) porque
razonar lógicamente implica dar sentido a las ideas matemáticas, al identificar
elementos comunes que aparecen al analizar diversos casos particulares y determinar
cómo esos elementos comunes se conectan con otros conocimientos o experiencias
previas. Por otra parte, el razonamiento es fundamental para reconstruir algún
conocimiento en caso de que éste se haya olvidado. Por ejemplo, si un estudiante
aprendió a dividir fracciones, pero olvidó el algoritmo, puede reconstruir un
procedimiento para realizar la división si conoce el significado de fracción y de
división.
El resultado de la división de dos números puede interpretarse como cuántas veces cabe
el denominador en el numerador, así dividir entre es conceptualmente
equivalente a dividir 6 entre 3. Utilizando esta idea de división, el resultado de dividir
entre , puede obtenerse representando gráficamente ambas fracciones con una
cuadrícula apropiada (figura 1) y dado que cabe una vez y media en , entonces
el resultado de dividir entre es igual a 2
11 o
2
3(Barrera y Reyes, 2012).
Figura 2. Representaciones gráficas útiles para dar sentido a la división de fracciones.
En párrafos anteriores se ha señalado la importancia del razonamiento como parte de la
formación matemática de los estudiantes, pero ¿qué es el razonamiento?, y ¿qué
significa razonar matemáticamente? De acuerdo con Hanna (2014), en un sentido
amplio el razonamiento es la habilidad humana para realizar inferencias, ya sea
deductivas o de cualquier otro tipo, es decir, el proceso que permite obtener
conclusiones con base en evidencia o supuestos establecidos (NCTM, 2009). En esta
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misma línea de ideas autores como Lithner (2008), Bergqvist, Lithner y Sumpter (2008)
definen al razonamiento como la línea de pensamiento o la forma de pensar adoptada
por una persona para producir afirmaciones y obtener conclusiones. Esta línea de
pensamiento no necesariamente se basa en la lógica deductiva sino en algún tipo de
argumentos que guían el proceso de pensamiento y tienen sentido para la persona.
Aunque el razonamiento en matemáticas generalmente se asocia con el razonamiento
formal o demostración; es decir, la justificación de resultados mediante un proceso de
deducción lógica basada en un conjunto de supuestos, axiomas, definiciones y otros
teoremas, también se puede adoptar una visión amplia en la cual el razonamiento
matemático puede tomar muchas formas que van desde explicaciones informales hasta
deducciones lógicas y observaciones inductivas. El razonamiento generalmente inicia
con la exploración de relaciones, la formulación de conjeturas, las estrategias o rutas
fallidas, así como con explicaciones parciales antes de que se obtenga el resultado o
solución a un problema (NCTM, 2009).
1.2 Revisión de la literatura
La investigación sobre el razonamiento matemático ha seguido diferentes líneas; existen
trabajos que han buscado analizar los fundamentos del razonamiento utilizados por los
estudiantes al resolver problemas (Lithner, 2000; Lithner, 2003; Bergqvist, Lithner y
Sumpter, 2008). El principal resultado de esta línea de investigación es que las
consideraciones que llevan a cabo los estudiantes para seleccionar e implementar las
estrategias de solución raramente están bien fundamentadas matemáticamente.
Existen otros trabajos enfocados en identificar y caracterizar diferentes tipos de
razonamiento llevados a cabo por los estudiantes. Al respecto, algunos investigadores
han distinguido y caracterizado dos tipos esenciales de razonamiento, el razonamiento
imitativo y el razonamiento creativo (Lithner, 2008) o la relación entre estos tipos de
razonamiento y diferentes niveles de entendimiento (Skemp, 1976). En esta línea de
investigación hay trabajos que han analizado el tipo de razonamiento utilizado por
estudiantes universitarios al resolver ejercicios de los libros de texto (Lithner, 2003),
particularmente libros de texto de cálculo que se utilizan en el nivel licenciatura
(Lithner, 2004) o problemas de pruebas estandarizadas (Boesen, Lithner y Palm, 2010);
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sobre el razonamiento requerido al resolver exámenes de matemáticas en el nivel
universitario (Bergqvist, 2007), sobre la visión de los profesores de bachillerato acerca
del tipo de razonamiento que los estudiantes deben desarrollar al resolver exámenes de
cálculo para aprobarlos (Bergqvist, 2012). Los resultados de estas investigaciones
indican que los estudiantes hacen un uso frecuente del razonamiento imitativo al
resolver problemas (Lithner, 2003), lo cual puede debilitar su entendimiento acerca de
los conceptos matemáticos subyacentes en los algoritmos o procedimientos rutinarios
(McNeal, 1995).
Investigaciones relacionadas con el razonamiento imitativo y creativo han tratado de
identificar las oportunidades que ofrecen los profesores a los estudiantes para
desarrollar estos tipos de razonamiento cuando los primeros muestran cómo resolver
diversos tipos de problemas (Bergqvist y Lithner, 2012). Los resultados obtenidos
muestra que en la mayoría de los casos las exposiciones de los profesores permiten
desarrollar un razonamiento algorítmico, pero en una forma inadecuada, ya que no hay
una identificación clara y sistemática del tipo de tareas y los métodos apropiados para
resolver los problemas que pertenecen a estos tipos o categorías. En esta línea de ideas,
algunos trabajos se han enfocado en identificar en qué medida la forma de enunciar las
tareas propicia el desarrollo de diferentes tipos de razonamiento (Jonsson, Norqvist,
Liljekvist y Lithner, 2014), obteniendo como resultado que las tareas que conducen a
los estudiantes a crear sus propias soluciones, es decir, de llevar a cabo un razonamiento
creativo, ofrecen mejores oportunidades para que los estudiantes den sentido a las ideas
matemáticas.
Otra línea de investigación se ha enfocado en el tipo particular de razonamiento que
involucra la realización de demostraciones. El respecto, se ha obtenido evidencia de que
los estudiantes tienen serias dificultades para elaborar y entender demostraciones de
resultados matemáticos (Hanna y Jahnke, 1996; Hoyles, 1997), debido parcialmente a
que la realización de una demostración requiere coordinar habilidades tales como
identificar supuestos y organizar argumentos lógicos (Hoyles, 1997).
El análisis del problema de la enseñanza y el aprendizaje de la demostración ha seguido
diversas rutas; por ejemplo, algunos estudios han abordado la evolución de la noción de
demostración a través del tiempo o se han enfocado en el estatus de los objetos
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matemáticos, propiedades y relaciones que involucra la enseñanza y aprendizaje de la
demostración. Otros han centrado la atención en los procesos cognitivos de los
estudiantes cuando construyen o tratan de entender una demostración. Finalmente, otros
se han interesado en el papel de la prueba dentro del currículo matemático, en la
práctica en el salón de clase y el papel del profesor en el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la demostración (Olivero, 2003) o en la caracterización de las diferentes
formas que los estudiantes utilizan para convencerse a sí mismos y convencer a otros de
la veracidad de un resultado matemático (Harel y Sowder, 1998).
La mayor parte de las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la prueba
en matemáticas, anteriores a 1981, evalúan la habilidad de los estudiantes para realizar
cadenas de deducción, en problemas llevados a cabo con papel y lápiz; aunque también
existen algunos trabajos que toman como base problemas de respuesta abierta, sin
limitarse a analizar el éxito o fracaso en la construcción de argumentos deductivos en
las producciones escritas de los estudiantes. Los resultados de estas investigaciones
indican que incluso los alumnos universitarios no entienden lo que es una demostración
(Balacheff, 2000).
1.3 El problema de investigación
Este trabajo tiene como propósito documentar los diferentes tipos de razonamiento que
desarrolla un estudiante de quinto año de primaria (10 años de edad) al resolver siete
problemas matemáticos no rutinarios, es decir tareas para las cuales el estudiante no
puede simplemente recordar y aplicar un procedimiento o algoritmo para obtener la
solución. El estudiante trabajará con la ayuda del profesor haciendo todo lo posible por
pensar en voz alta durante sesiones con duración de hora y media. El análisis de las
formas de razonamiento incluye el determinar qué recursos, estrategias y herramientas
matemáticas utiliza el estudiantes durante el proceso de solución.
Los problemas se elegirán de forma que representen un reto intelectual para el
estudiante más que simplemente dificultades procedimentales o de cálculo. Se espera
que al abordar estos problemas el estudiante puede desarrollar un aprendizaje con
entendimiento de algunas ideas matemáticas, además de que adquiera habilidad para
poner en práctica diversas estrategias de resolución de problemas. El análisis del
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proceso de solución incluirá los tipos de razonamiento, así como la utilización de
recursos, estrategias y herramienta para llegar a la solución. El propósito de las tareas es
la de crear un contexto que permita al estudiante utilizar diferentes estrategias para
resolver los problemas, así como diversas heurísticas y contenidos matemáticos. Así, el
objetivo general de este trabajo consiste en identificar y analizar las formas de
razonamiento matemático que lleva a cabo un estudiante de quinto año de primaria al
resolver diferentes problemas matemáticos no rutinarios.
Objetivos particulares
1. Documentar el tipo de recursos, estrategias y heurísticas que emplea un estudiante de
quinto año de primaria al resolver problemas matemáticos no rutinarios.
2. Caracterizar el tipo de procesos cognitivos que desarrolla un estudiante de quinto año
de primaria al resolver problemas matemáticos no rutinarios.
3. Determinar si la resolución de problemas matemáticos no rutinarios puede favorecer
el desarrollo de un aprendizaje con entendimiento de algunas ideas matemáticas.
Pregunta de investigación
¿Cuáles son las características de las formas de razonamiento que desarrolla un
estudiante de quinto año de primaria (10 años de edad) al resolver problemas
matemáticos no rutinarios? Con esta pregunta se pretende obtener información que
puede ser útil desde el punto de vista didáctico, ya que permitirá identificar con cierto
nivel de detalle la forma en que el proceso de solución de tareas no rutinarias, durante
las cuales es posible poner en práctica algunos elementos del pensamiento matemático,
permite a un estudiante desarrollar un entendimiento de ideas matemáticas y diseñar
herramientas conceptuales reusables y modificables, lo cual es un objetivo básico del
proceso de instrucción en matemáticas.
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CAPÍTULO II. MARCO CONCEPTUAL
Un marco de investigación es una guía que permite estructurar las diversas etapas del
proceso investigativo; desde el planteamiento del problema, el proceso de recolección
de la información, la descripción y análisis de los datos, así como a la interpretación de
las posibles relaciones entre las variables que determinan el fenómeno de interés. El
marco de investigación constituye un recurso que permite articular elementos teóricos
así como la experiencia del investigador, para comprender e interpretar desde una
perspectiva particular el problema de investigación.
De acuerdo con Eisenhart (1991) existen tres tipos de marcos de investigación: teóricos,
prácticos y conceptuales. Se considera que el marco conceptual es de mayor utilidad
porque es flexible en el sentido de que puede construirse con base en elementos de
diferentes aproximaciones teóricas y de la experiencia del investigador, siempre y
cuando exista compatibilidad entre los diversos elementos que lo integran. Un marco
conceptual está conformado por un conjunto de conceptos y sus posibles relaciones, así
como por justificaciones acerca de por qué esos conceptos y relaciones son útiles para
explicar o entender el fenómeno que se estudia (Lester, 2005).
Toda investigación requiere de un marco conceptual ya que éste orientará las acciones
que desarrolle el investigador, pues un mismo problema puede analizarse desde
diferentes perspectivas; por ejemplo, al analizar por qué los estudiantes muestran bajo
rendimiento en las clases de matemáticas se puede optar por centrar la atención en el
profesor, así la observación se dirigirá a las actividades que propone y en las acciones
que desarrolla en el aula; en cambio, si se adopta una posición sociológica se intentará
explicar el fenómeno a partir de las características del contexto social en que se
desarrollan los estudiantes, de sus condiciones socioeconómicas o familiares.
En un marco de investigación también resulta necesario explicitar las concepciones que
el investigador sostiene sobre las matemáticas, el aprendizaje y la enseñanza de la
disciplina. Por esta razón en el primer apartado de este capítulo se describe la
concepción de las matemáticas que orienta este trabajo, así como sus implicaciones en
el aprendizaje y la enseñanza de la disciplina.
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El marco conceptual de esta investigación está integrado por algunos elementos del
marco de resolución de problemas, particularmente lo que se refiere al concepto de
heurística y su relevancia en la actividad matemática (Polya, 2005); el papel de los
conocimientos previos o recursos durante el proceso de resolución de un problema
(Schoenfeld, 1985). El elemento central del marco lo constituye la caracterización de
razonamiento propuesta por Bergqvist, Lithner y Sumpter (2008), la cual es muy similar
a la que se establece en diversos documentos de la Asociación Nacional de Profesores
de Matemáticas de los Estados Unidos de América (NCTM, 2000; 2009). Un tercer
elemento del marco lo constituye el concepto de aprendizaje con entendimiento, así
como algunas de las variables que permiten caracterizar a los ambientes que propician
el desarrollo de entendimiento matemático (Hiebert et al., 1997).
2.1. Las matemáticas y su aprendizaje
Las matemáticas durante mucho tiempo fueron consideradas como la ciencia de la
cantidad y el espacio, sin embargo esta disciplina además de los números y la forma,
también estudia el cambio, el azar, el movimiento y la variación o el caos. Para Steen
(1988) las matemáticas son la ciencia de los patrones y, en consecuencia, el trabajo de
los matemáticos consiste en buscar y examinar patrones abstractos y las teorías
matemáticas explican las relaciones entre patrones, los cuales pueden ser patrones
numéricos, patrones de forma, patrones de movimiento, patrones de comportamiento,
patrones de razonamiento o patrones de repetición (Devlin, 2000).
Las matemáticas son una ciencia deductiva rigurosa, pero también son una disciplina
que tiene como objetivo la búsqueda y entendimiento de patrones en el mundo que nos
rodea a partir de evidencia empírica. Las matemáticas son una actividad social, en la
cual una comunidad lleva a cabo intentos sistemáticos, basados en la observación,
estudio y experimentación, para determinar la naturaleza o principios de regularidades
que aparecen en sistemas definidos axiomáticamente o en modelos de sistemas
abstraídos de objetos o fenómenos que ocurren en el “mundo real” (Schoenfeld, 1994).
En esta línea de ideas, el aprendizaje de las matemáticas se lleva a cabo mediante la
resolución de problemas, es decir de tareas que representan un reto intelectual, ya que a
través de esta actividad se favorece el desarrollo de procesos mentales análogos a los
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empleados por los matemáticos profesionales al crear nuevos conocimientos, o al
utilizar las matemáticas para comprender el mundo que nos rodea. Es decir, aprender
matemáticas significa hacer matemáticas en niveles adecuados al contexto particular de
los estudiantes. Reconocemos que una parte importante de la actividad matemática
consiste en adquirir fluidez procedimental para aplicar algoritmos y procedimientos
rutinarios, pero también es importante que se dé sentido a las ideas o conceptos, y que
desarrollen habilidad para construir herramientas conceptuales modificables y
reutilizables que les permitan modelar fenómenos mediante el uso del lenguaje
matemático (Lesh y Doerr, 2003).
El aprendizaje de la disciplina incluye tanto buscar soluciones como memorizar
procedimientos; explorar e identificar patrones y desarrollar habilidad para aplicar
fórmulas; establecer conjeturas y desarrollar fluidez al aplicar procedimientos (NCR,
1989). Al estudiar matemáticas resulta relevante que los estudiantes aprendan a
formular preguntas y a buscar distintos caminos para abordar y encontrar respuesta a
esas preguntas, además de desarrollar una forma de pensar consistente con el quehacer
matemático (Santos-Trigo, 2007).
Los nuevos retos en el ámbito laboral requieren que los estudiantes desarrollen
flexibilidad para plantear y resolver problemas, habilidad para desarrollar métodos de
solución y sistemas conceptuales (modelos) que sean adaptables a diversas situaciones
problemáticas, ya que la aparición de nuevas tecnologías ha hecho obsoletas habilidades
algorítmicas convencionales que anteriormente se consideraban importantes (Hiebert el
al., 1997). Otro aspecto relevante es que los estudiantes deben entender que el aprender
matemáticas es un proceso continuo de dar sentido a las ideas o conceptos matemáticos.
2.2. Resolución de problemas
Este marco se enfoca en las fases de resolución de problemas formulados por Pólya
(2005), así como algunas de las variables que influyen en el proceso de resolución de un
problema identificadas por Schoenfel (1985).
Primera. Comprender el problema. El estudiante debe ver claramente lo que se pide,
considerando las principales partes del problema, identificando las incógnitas, los datos,
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la condición. Necesita hacerse preguntas que le permitan comprender el problema, por
ejemplo, ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición?
Segunda. Trazar un plan. Identificar las relaciones que existen entre los diversos
elementos, ver cómo se liga la incógnita con los datos a fin de encontrar la idea de la
solución, y así establecer un plan de resolución. Se recomienda pensar en problemas
conocidos que tengan una estructura parecida a la que se quiere resolver.
Tercera. Ejecución del plan. Se pone en acción el plan concebido, para lograrlo se
requiere una serie de circunstancias, es decir conocimientos ya adquiridos,
razonamiento y concentración.
Cuarta. Visión retrospectiva, una vez encontrada la solución, revisarla y discutirla. Es
importante establecer conexiones del problema en otros contextos.
Schoenfeld (1985) retoma algunas ideas de Pólya sobre la caracterización del proceso
de resolver problemas identificando un conjunto de categorías que influyen sobre el
proceso de resolución de un problema:
i) Los recursos básicos, comprenden el entendimiento de definiciones, hechos,
reglas y procedimientos
ii) Las estrategias heurísticas, incluyen el empleo de diagramas, el análisis de
casos particulares, el relajamiento de condiciones y planteamiento de submetas.
iii) El control, metacognición: supervisión y toma de decisiones.
iv) Sistema de creencias la visión del mundo de las matemáticas
Es importante mencionar que para este trabajo se consideran solo las dos primeras
categorías (i) Los recursos básicos y (ii) las heurísticas.
2.3. Aprendizaje con entendimiento
En la enseñanza de las matemáticas para entender se hace una pregunta básica: ¿Qué se
está entendiendo? Para dar respuesta a esta pregunta es necesario observar cuando un
estudiante sabe algo, el entender va más allá de decir que el conocimiento y habilidad es
suyo, es una cuestión de poder realizar una variedad de formas de pensamiento, entre lo
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que se pueden mencionar, explicar, reunir, evidenciar, encontrar ejemplos, generalizar,
aplicar conceptos, conjeturar, representar de diferentes maneras un problema.
El aprendizaje con entendimiento alienta la resolución de problemas, propiciando
diversas opciones que permitan sustituir procedimientos eficaces por aquellos
procedimientos utilizados normalmente. Es decir que haya un reconocimiento más allá
de las matemáticas escolares.
La comprensión es crucial para que exista entendimiento, ya que se puede utilizar de
forma flexible, adaptarse a nuevas situaciones y se puede utilizar para aprender cosas
nuevas. Si queremos que los estudiantes sepan qué es la matemática, deben entender y
conocer las matemáticas.
De acuerdo con Hiebert (1997), el aprendizaje con entendimiento se describe teniendo
en cuenta cinco dimensiones, cada una de ellas importante, pero si interactúan entre sí
cobran mayor relevancia, creando un ambiente para aprender con entendimiento. Las
dimensiones son:
1. La naturaleza de las tarea en el aula
2. El papel del profesor
3. La cultura social en el aula
4. Las herramientas matemáticas como apoyo para el aprendizaje
5. La equidad y accesibilidad
En este trabajo se centrará la atención únicamente en la naturaleza de las tareas, el papel
del profesor y en las herramientas matemáticas disponibles.
La naturaleza de las tareas en el aula
La naturaleza de las actividades que se desarrollen en clase debe tener como propósito
contribuir de manera significativa en el aprendizaje de los estudiantes. Se debe brindar a
los estudiantes la oportunidad de reflexionar, de comunicar y construir su aprendizaje
mediante la discusión de ideas, planteamiento de conjeturas, argumentación, búsqueda
de conexiones, resolución de problemas dejando atrás el identificar y ejecutar
procedimientos, memorizar, resolver ejercicios repetitivos que al paso del tiempo se
vuelve un problema en el que los estudiantes comprenden muy poco lo que es aprender
matemáticas.
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Las actividades de aprendizaje deben ser oportunidades para explorar las matemáticas y
llegar a establecer métodos para resolver problemas. Las actividades de aprendizaje
deben tener por lo menos tres aspectos:
La actividad debe representar un reto para el estudiante, que le encuentre sentido al
resolverla
La actividad debe involucrar conexiones, se diseñará de tal manera que el estudiante
sean capaz de utilizar sus conocimientos previos, para desarrollar una estrategia de
solución que le ayude a completar la tarea.
La actividad debe dar la oportunidad al estudiante de reflexionar sobre la
importancia de las ideas matemáticas, que el aprender matemáticas es un proceso
que incluye el encontrar relaciones para analizarlas y discutir sus conexiones con
otras ideas. Esta perspectiva logrará que el estudiante descubra relaciones, discuta
ideas, plantee conjeturas y evalué resultados.
El papel del profesor
El papel de profesor es establecer las actividades que serán problemas matemáticos para
el estudiante, a fin de que le permitan reflexionar y comunicar ideas matemáticas. El
profesor tiene el papel de seleccionar las actividades o tareas para contribuir a una
nueva cultura en el aula, donde los estudiantes trabajen sobre nuevos problemas de
forma individual para después hacerlo de forma colectiva y así discutir y reflexionar
sobre los métodos de solución y respuestas.
El profesor esta activamente comprometido en ayudar a los estudiantes a construir
entendimiento.
Las herramientas matemáticas como apoyo para el aprendizaje
La actividad matemática requiere el uso de herramientas, y estas herramientas influyen
en la manera en que pensamos acerca de la tarea. Las herramientas son un recurso
esencial y apoyo para la construcción de la comprensión matemática. Se deben tomar en
cuenta herramientas con las que el estudiante construya y fortalezca su aprendizaje con
entendimiento, la utilización de herramientas como materiales didácticos, software
educativo entre otros puede ayudar al estudiante para su aprendizaje.
Las herramientas deben ayudar a los estudiantes a hacer las cosas más fácilmente, o
ayudarlos a hacer cosas que no podían hacer solos.
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2.4. Razonamiento Matemático
Para este trabajo el razonamiento se entenderá como la línea de pensamiento, la forma
de pensar utilizada para producir afirmaciones y llegar a conclusiones durante la
solución de un problema (Lithner, 2008) que inicia con el entendimiento del enunciado
y generalmente finaliza con la obtención de una solución. Es importante señalar que en
este trabajo se hará una distinción entre los términos respuesta y solución. Una
respuesta es la información solicitada en el problema, mientras que una solución está
integrada por una respuesta junto con la justificación de por qué la respuesta es correcta
(Lithner, 2008). La solución a un problema que proporciona un estudiante es el insumo
básico para analizar el proceso de razonamiento porque esta solución representa un
resumen idealizado del mismo. Dado que un investigador no puede tener acceso directo
a línea de pensamiento (razonamiento) llevada a cabo por un estudiante, es necesario
realizar inferencias a partir de los productos de ese proceso de pensamiento (solución al
problema).
Si las matemáticas se consideran sólo como hechos y habilidades aisladas entonces hay
poca utilidad para fomentar la comprensión (Hielber, 1997). Una de las actividades
centrales del profesor de matemáticas consiste en ofrecer oportunidades a los
estudiantes para aprender, a su vez las oportunidades que tienen los estudiantes para
aprender se relacionan con las formas de razonamiento que los estudiantes desarrollan al
resolver problemas matemáticos (Bergqvist y Lithner, 2012).
Como ya se mencionó, el proceso de razonamiento inicia con el entendimiento de un
problema y finaliza con la obtención de la solución, por esta razón y con objeto de
facilitar el análisis se llevará a cabo una distinción de cuatro fases principales que dan
estructura al proceso:
a) Entendimiento de la actividad o situación problemática
b) Elección de la estrategia
c) Aplicación de la estrategia
d) Obtención de una respuesta y realización de una visión retrospectiva.
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1. Entendimiento del problema. El resolutor se enfrenta a una situación problemática,
por lo que no conoce un camino o ruta que le permita obtener una respuesta de forma
inmediata; así que, en primer término debe identificar la información que se le
proporciona en el problema determinar si es suficiente, redundante o incompleta.
Además debe de identificar de forma precisa cuál es la incógnita o información que se
solicita en el problema.
2. Concepción de un plan. Con base en sus conocimientos previos el resolutor tiene que
llevar a cabo procesos mentales entre los que se encuentra el recordar, elegir, construir,
descubrir, adivinar, entre otros, con la finalidad de determinar las herramientas y los
posibles caminos que lo pueden ayudar a avanzar en el proceso de solución.
3. Implementación del plan o estrategia de solución. El resolutor ejecuta la ruta
planteada en la fase anterior, lo cual lo puede llevar a obtener una respuesta o a
reconsiderar aquello que hizo en alguna de las fases previas.
4. Visión retrospectiva. Una vez obtenida la respuesta se analiza por qué ésta o la ruta
de solución son correctas, es decir esta fase permite al resolutor completar la solución
del problema.
Podemos formarnos una imagen del proceso de razonamiento como una gráfica dirigida
en la que cada vértice representa tanto un estado momentáneo de conocimiento como
una sub-tarea; cada arco que tiene como vértice inicial a y como vértice final a
representa la implementación de una estrategia. Así, el conocimiento que se tiene en
junto con aquel que se deriva de la implementación de , conduce a un nuevo estado
de conocimiento , es decir a un nuevo ciclo de comprensión del problema (Lithner,
2008). Entonces, una razón es la motivación que sustenta la transición entre dos vértices
de la gráfica entre los cuales existe un arco.
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Figura 3. Representación gráfica del proceso de razonamiento1.
2.5. Integración de los Elementos del Marco
El aprendizaje de las matemáticas se lleva a cabo mediante la resolución de problemas,
en este proceso se da la oportunidad de explorar, identificar patrones y desarrollar
habilidades para aplicar fórmulas, hacer conjeturas y aplicar procedimientos. Al resolver
un problema los recursos básicos y las heurísticas influyen de manera importante para el
planteamiento de sub-metas.
El aprendizaje con entendimiento alienta la resolución de problemas, al hablar de
entendimiento va más allá de lo que el estudiante conoce, es una forma de pensar en la
que puede explicar, evidenciar, generalizar, conjeturar o representar de diferentes
maneras un problema, es una forma de razonamiento. El razonamiento y el
entendimiento están estrechamente relacionados, el razonamiento es uno de los
instrumentos principales para desarrollar entendimiento, este enfoque se engloba en la
resolución de problemas desde comprender el problema, ver claramente lo que se pide
considerando las partes principales del problema representadas por esquemas, tablas o
representaciones gráficas, para trazar un plan y ejecutarlo, es en la ejecución donde
entran en juego los elementos del pensamiento matemático: explorar relaciones, obtener
regularidades, formular conjeturas, comunicar ideas, justificar resultados, formular
problemas y de esta menara demostrar resultados.
1 Adaptado de Lithner (2008).
v1
v2
v3
v4
v6
v5
v7
v8
Tarea
Respuesta 1
Respuesta 2
a12
a23
a34
a25
a54
a16 a67
a78
20
El razonamiento y el entendimiento parten de lo informal a lo formal, en la parte de lo
informal del razonamiento se encuentran las heurísticas que permiten a los estudiantes
avanzar en la solución de los problemas y transitar hacia los aspectos formales de las
matemáticas involucrados en la elaboración de una demostración.
Figura 4. Integración de los elementos del marco
INFO
RM
AL
FOR
MA
L
Razonamiento
Entendimiento
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Explorar relaciones
Observar regularidades
Formular conjeturas
Justificar resultados
Comunicar ideas
Formular problemas
Heurísticas Demostración
Elementos del Pensamiento Matemático
21
CAPÍTULO III. METODOLOGÍA
3.1 Características de la investigación
La metodología es de tipo cualitativo, ya que interesa documentar las cualidades del
proceso de razonamiento seguido por un estudiante al resolver problemas no rutinarios.
Es importante destacar que no interesa cuantificar el número de tareas que resolvió
correctamente, sino categorizar en forma cualitativa las características importantes de
los procesos de razonamiento llevados a cabo por el estudiante. Los problemas tienen
como objetivo proveerle al estudiante elementos que le permitan reflexionar y
comunicar ideas matemáticas en el proceso de resolución de problemas, con la finalidad
de construir aprendizaje con entendimiento.
3.2 Los instrumentos de recolección de la información
Las tareas con las que se llevará a cabo la investigación son no rutinarias, es decir tareas
para las cuales es posible diseñar varios métodos de solución, por lo que requieren que
el estudiante lleve a cabo una actividad intelectual que va más allá de la aplicación de
reglas, fórmulas o algoritmos. El estudiante abordará las tareas individualmente,
tratando de “pensar en voz alta” durante la solución del problema, cada sesión de
trabajo durará 90 minutos, una vez por semana, trabajando siete actividades. Cuando el
estudiante no pueda avanzar en la solución el profesor ofrecerá algunas sugerencias, o
formulará preguntas que centren la atención del estudiante en variables o procesos
relevantes que le permitan superar las dificultades a las que se enfrenta, pero sin
proporcionar la solución de la tarea.
Las tareas fueron seleccionadas con el objetivo de fomentar un aprendizaje con
entendimiento, ya que el estudiante deberá diseñar sus propias estrategias de solución, y
durante este proceso se identificarán los tipos de razonamiento que le permitieron
seleccionar y utilizar un conjunto de recursos, estrategias y herramienta para obtener la
solución. El propósito de las tareas es crear un ambiente que promueva el desarrollo de
una actitud inquisitiva.
22
La principal fuente de evidencia para este trabajo es la observación por lo que se
filmaran los procesos de solución de las tareas del estudiante, complementando con las
referencias de otras investigaciones sobre razonamiento.
El análisis de los videos servirán para identificar recursos, argumentos, estrategias y
formas de razonamiento durante el desarrollo de la tarea, también se pretende observar
la intervención del profesor cuando existan dificultades para que el estudiante continúe.
Con estos elementos de análisis y observaciones, se determinará el proceso de
razonamiento en la solución de problemas por parte del estudiante, especificando qué
recursos y estrategias lo promovieron.
3.3 Características de las actividades
Se buscó que las tareas promovieran la participación del estudiante en un proceso de
resolución de problemas, que incluye:
a) Introducción a la tarea. El profesor da una introducción para explicar al estudiante
en que consiste la tarea.
b) Presentación de la solución. El estudiante presenta la solución donde el profesor
tiene la oportunidad de cuestionar para analizar y si es posible orientar a una
solución.
c) Analizar los resultados. Se utilizaran filmaciones para analizar la forma en que el
estudiante presenta la solución de la tarea, así se puede observar momentos y formas
de pensar del estudiante y cómo avanzó en la solución.
d) Presentación de resultados. Caracterizar los aspectos más importantes del
razonamiento y explicar los orígenes y las consecuencias de los tipos de
razonamiento.
3.3.1. Tarea 1. Ranas saltarinas: esta actividad se lleva a cabo en dos etapas, en la
primera de ellas el estudiante tienen que pasar las ranas verdes a la posición que ocupan
las ranas marrones y viceversa (figura 5) con base en las siguientes reglas: cada
movimiento consiste en avanzar ya sea saltando a la piedra libre que se tiene enfrente, o
saltando sobre una rana de color diferente para llegar a la piedra que está libre. Es
importante mencionar que no se puede retroceder ni saltar sobre una rana del mismo
color.
23
Fig. 5. Ranas saltarinas
Una vez que el estudiante completó la tarea se le solicita contar cuantos movimientos
requirió para lograr el objetivo del juego. Posteriormente tiene que analizar otros casos
particulares con la finalidad de que conjeture cuántos movimientos son necesarios para
completar el juego si se tienen n ranas de cada color.
3.3.2. Tarea 2. Números triangulares. Los números triangulares son aquellos que
pueden representar gráficamente mediante una disposición triangular de puntos como se
muestra en la figura 6. Los primeros números triangulares son 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,
36. Cada número triangular se puede calcular como la suma de números enteros
consecutivos. El objetivo de la tarea es que el estudiante encuentre una fórmula que le
permita calcular el n-ésimo número triangular.
Figura 6. Primeros cinco números triangulares.
3.3.3. Tarea 3. Rectángulo. En rectángulo ABCD se traza la diagonal AC y se ubica un
punto P sobre la diagonal. A partir de P se trazan perpendiculares a los lados como se
muestra en la figura 7. ¿Cuál es la relación que existe entre el área del rectángulo EBFP
y el área del rectángulo HPGD? ¿Una de las áreas es mayor que la otra? ¿Las áreas son
iguales? Justifica tu respuesta
24
Figura 7. Rectángulos
3.3.4. Tarea 4. Diagonales. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de
lados?
3.3.5. Tarea 5. Tanque de tortugas: Emilia quiere llenar un tanque para su tortuga con 4
cubetas de agua. En cada viaje Emilia llena la cubeta desde una fuente y camina hacia el
tanque, pero en el camino derrama
del contenido de la cubeta. ¿Cuántos viajes tiene
que hacer para llenar el tanque?
3.3.6. Tarea 6. Cerdos y gallinas. En una granja se crían cerdos y gallinas, si se
contaron un total de 19 cabezas y 60 patas. ¿Cuántos animales hay de cada especie?
3.3.7. Tarea 7. Saludos. En una fiesta, cada persona saludó con un apretón de manos al
resto de las personas que se encontraban en la reunión. Si se contó un total de 190
saludos, ¿cuántas personas asistieron a la fiesta?
3.4 Análisis Preliminar de las Tareas
A continuación se presenta la solución de cada tarea, para posteriormente hacer un
análisis preliminar de los recursos utilizados para cada tarea.
3.4.1 Solución de la tarea ranas saltarinas
Solución.
Analizar los movimientos posibles que se pueden efectuar.
Valorar cada movimiento mentalmente antes de efectuarlos.
Analizar casos particulares para identificar patrones o regularidades
Se debe evitar el movimiento de que dos ranas del mismo color queden en piedras
contiguas.
25
En la siguiente tabla se muestra el número de movimientos necesarios para cuatro ranas
de cada lado, en donde:
V: ranas verdes
M: ranas marrón
O: Piedra vacía
Para 3 ranas de cada lado se necesitan 15 movimientos.
Un patrón nos permite encontrar la solución para n ranas de cada color.
Realizar otras combinaciones de movimientos posibles para diferentes números de
ranas:
Para una rana de cada color
En la siguiente tabla se muestra el número de movimientos necesarios para una rana de
cada lado, en donde:
V: ranas verdes
M: ranas marrón
O: Piedra vacía.
0 V O M
1 O V M
2 M V O
3 M O V
Para una rana de cada lado se necesitan 3 movimientos.
Para dos ranas de cada color
0 V V V O M M M
1 V V O V M M M
2 V V M V O M M
3 V V M V M O M
4 V V M O M V M
5 V O M V M V M
6 O V M V M V M
7 M V O V M V M
8 M V M V O V M
9 M V M V M V O
10 M V M V M O V
11 M V M O M V V
12 M O M V M V V
13 M M O V M V V
14 M M M V O V V
15 M M M O V V V
26
En la siguiente tabla se muestra el número de movimientos necesarios para dos ranas de
cada lado, en donde:
V: ranas verdes
M: ranas marrón
O: Piedra vacía.
0 V V O M M
1 V O V M M
2 V M V O M
3 V M V M O
4 V M O M V
5 O M V M V
6 M O V M V
7 M M V O V
8 M M O V V
Para 2 ranas de cada lado se necesitan 8 movimientos.
Con esta información las combinaciones se puedo organizar en una tabla para identificar
algún patrón, si lo hay, donde la primer columna representa el número de ranas ( ) y la
segunda columna el número de movimientos ( ).
1 3
2 8
3 15
Se observa que las diferencias van aumentando en dos unidades, es decir ;
, entonces la siguiente diferencia debe ser 9, por lo tanto para 4 ranas de
cada lado se necesitan 24 movimientos. La sucesión quedará:
3, 8, 15, 24, 35, 48, …
Por lo tanto la representación general es:
3.4.2 Solución de la tarea números triangulares
Solución
Primeramente se propone hacer una representación gráfica de los números triangulares,
para identificar cómo se van construyendo, y posteriormente identificar regularidades.
27
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 =10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 =15
así sucesivamente, el número triangular correspondiente al paso será:
Llamaremos S, a esta suma
También se puede representar
Si se suman estas dos representaciones, se tiene:
Entonces:
Despejando tenemos la fórmula general de los números triangulares:
3.4.3 Solución de la tarea rectángulo
Solución.
En la representación gráfica se nota que la diagonal del rectángulo lo divide en dos
triángulos con áreas iguales. De donde se observa que el triángulo CPG es congruente al
triangulo CPF y que el triángulo EAP es congruente al triangulo HAP. De aquí que el
área del rectángulo BEPF es la misma área que la del rectángulo DHPG.
28
3.4.4 Solución de la tarea diagonales
Solución 1.
Cada vértice tiene diagonales, esto es porque las diagonales son las líneas que
unen a un vértice con los otros vértices del polígono, excepto cuando estas diagonales
forman un lado del polígono, es decir el vértice no tiene diagonal consigo mismo,
entonces, el número de diagonales por vértice es número de vértices menos el vértice,
menos los dos vértices cuyas diagonales con él forman lados del polígono, entonces
.
Como n es el número de vértices, el número de diagonales es igual al número de
vértices por el número de diagonales por vértice . Al hacer esto se repite 2
veces el número de diagonales total, ya que al contar todos los vértices, se cuenta cada
diagonal dos veces. Por ello la regla general se divide entre dos, obteniendo:
Solución 2.
En un triángulo no hay diagonales:
Un cuadrilátero tiene 2 diagonales:
Un pentágono tiene 5 diagonales:
29
Un hexágono tiene 9 diagonales:
El polígono de 7 lados tiene diagonales:
Entonces para un polígono de n lados, el número de diagonales es:
De cada vértice salen n-3 diagonales, como hay n vértices, el número de diagonales es:
La regla general para calcular el número de diagonales que tiene un polígono regular de
lados es:
3.4.5 Solución de la tarea tanque de tortugas
Solución
Se pierde 1/3 de agua entonces la cubeta lleva 2/3 de agua.
El tanque se llena con 4 cubetas es decir 12/3. Utilizando una regla de tres simple:
30
Entonces el estanque se llena con (12/3)/(2/3)=12/2=6
Emilia tiene que hacer 6 viajes para llenar el estanque.
3.4.6 Solución de la tarea cerdos y gallinas
Solución 1.
Teniendo en cuenta que las cabezas deben sumar 19, probar con casos particulares:
Supongamos 10 cerdos y 9 gallinas. Calcular la cantidad de patas que tendrá que haber:
Cerdos: sabiendo que cada uno tiene 4 patas, el total de patas de cerdos se obtiene
multiplicando por la cantidad supuesta de cerdos, es decir,
Gallinas: sabiendo que cada una tiene 2 patas, el total de patas de gallina se obtiene
multiplicando por la cantidad supuesta de gallinas, es decir .
El total de patas sería . Faltan 2 pata patas.
Asumiendo que las patas que faltan sean de gallina. Ahora suponer que hay 11 cerdos y
8 gallinas. En este caso, se procede como se hizo anteriormente, resulta que el total de
patas es 60, por lo tanto la solución es: 11 cerdos y 8 gallinas.
Solución 2.
Si es la cantidad de cerdos y la cantidad de gallinas, tenemos:
patas
cabezas
Como cada cerdo tiene 4 patas por eso se representa con 4c y las gallinas tienen 2 patas
por eso se representa 2g.
De la segunda ecuación resulta;
Que reemplazada en la primera ecuación queda;
Es decir:
Por lo tanto:
31
Entonces:
Sustituyendo en la segunda ecuación:
Por lo tanto:
En el corral hay 11 cerdos y 8 gallinas.
3.4.7 Solución de la tarea saludos
Solución 1
Haciendo una representación gráfica de cómo las personas saludan, los colores ayudaran
a identificar cuantos saludos da cada persona y no confundir las veces de saludos que
tenemos:
Para dos personas:
Saludan con un apretón de manos.
Para tres personas:
Una persona saluda a las otras dos personas, el color azul lo representa. Las otras dos
personas se saludan entre sí, representada en color verde. Por lo tanto en una reunión de
tres personas necesitan 3 apretones de manos.
Para cuatro personas:
32
Una persona saluda a las otras tres personas, el color azul lo representa. Las otras tres
personas se saludan entre sí, representada en color verde. Por lo tanto en una reunión de
cuatro personas necesitan 6 apretones de manos.
Para cinco personas:
Una persona saluda a las otras cuatro personas, el color azul lo representa. Una de las
cuatro personas saluda a las otras tres que no ha saludado, representada en color verde.
Una de las tres personas saluda a las otras dos personas, representada en color rojo. Y
las otras dos personas se saludan entre sí, representada en color negro. Por lo tanto en
una reunión de cinco personas necesitan 10 apretones de manos.
Al representar estos casos, se puede observar una relación con los números triangulares,
es decir:
1, 3, 6, 10,…
Entonces para encontrar el número de personas que asistieron a la fiesta, se puede
obtener mediante la regla general de los números triangulares, es decir:
Si se encuentra “n” que es el número de personas que asistieron a la fiesta, se tiene:
Por lo tanto:
Como la expresión es una ecuación cuadrática se puede factorizar:
33
De esta expresión, se pueden observar dos soluciones, pero una de ellas es negativa así
que no se considera solución para esta tarea, por lo tanto la solución es:
El número de personas que asistieron a la fiesta es 19 personas.
Solución 2.
La expresión cuadrática también se puede resolver mediante la fórmula general
cuadrática, identificando cada literal de la fórmula.
√
De la expresión cuadrática ; se identifican las literales:
Sustituyendo en la fórmula:
√
√
De aquí se obtienen las soluciones; primera solución:
La segunda solución:
Por lo tanto la solución para la tarea es la primera, asistieron a la fiesta 19 personas.
Una vez resueltas las tareas se hace el análisis preliminar, donde se muestran las ideas
centrales, las heurísticas y recursos utilizados.
34
Tabla 1. Elementos centrales identificados en el análisis preliminar de las tareas
Tarea Ideas
centrales Heurísticas Recursos
Ranas
saltarinas
Casos
particulares
Construcción de
tablas
Operaciones aritméticas básicas
Identificación de patrones
Conexiones con representaciones gráficas y
numéricas
Números
triangulares
Sumas Representación
esquemática de los
números triangulares
Operaciones aritméticas básicas
Suma de números consecutivos
Identificación de patrones
Conexiones con representaciones gráficas y
numéricas
Rectángulo Principio de aditividad de
las áreas
Representación gráfica de figuras
geométricas
Identificación de figuras geométricas Congruencia de triángulos
Diagonales Estrategia
algebraica
Representación
gráfica de polígonos
regulares
Operaciones aritméticas básicas
Identificación de polígonos regulares de n
lados
Conexiones con representaciones gráficas y
numéricas
Identificación de patrones
Tanque de
tortugas
Estrategia de
conteo
Operaciones aritméticas básicas
Regla de tres simple
Despejes simples de una variable
Cerdos y
gallinas
Estrategia
algebraica
Representación de la
información en una
ecuación
Operaciones básicas aritméticas
Despejes simples de una variable
Despejes simples de una variable Solución de ecuaciones de 1er grado
Sustitución de ecuaciones
Saludos Búsqueda de
patrones
Construcción de
esquemas
Conexiones con representaciones gráficas y
numéricas
Operaciones aritméticas básicas
Solución de ecuaciones de 2do grado
Identificación de patrones
35
CAPÍTULO IV. RESULTADOS
En este capítulo se llevará a cabo la caracterización de los aspectos más importantes del
razonamiento, identificando las ideas centrales, conocimientos previos, tipo de
heurísticas utilizadas y las dificultades observadas en el proceso de resolución de las
tareas.
4.1 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de las ranas saltarinas
En primer término el estudiante soluciono el problema de cambiar de posición las ranas,
se dio cuenta que el número de movimientos necesarios es 15. Posteriormente el
instructor le solicitó encontrar el número de movimientos necesarios para completar el
juego con una y dos ranas de cada color. El estudiante obtuvo los siguientes resultados:
con una rana de cada lado son necesarios tres movimientos de cada rana, con dos ranas
de cada lado el resultado es 8 movimientos. Se pidió al estudiante que organizara los
datos en una tabla en una cuyas columnas se colocó número de ranas ( ) y el número de
movimientos de cada rana ( ) para completar el juego.
Una vez de que construyó la tabla se le preguntó cuántos movimientos eran necesarios
para completar el juego si se contaba con cuatro ranas de cada color (Figura 8). En los
resultados de la tabla centro la atención en un solo valor de y el correspondiente valor
de y propuso una regla de correspondencia, sin embargo cuando se le pido aplicar esa
regla de correspondencia para otros valores de r se dio cuenta que tal regla no
proporcionaba el respectivo valor de . El estudiante estaba confundido y no sabía
cómo continuar.
Figura 8. Tabla de número de ranas y movimientos
36
El estudiante no fue capaz de identificar la regla, así que se le propusieron otras tablas
para identificar qué es lo que se le solicitaba. (Figura 9)
Figura 9. Tablas propuestas por el profesor para identificar patrones
Con el propósito de que el estudiante entendiera lo que se le solicitaba se le propusieron
como ejemplo otras dos tablas para identificar la regla de correspondencia la cual era
fácil, (Figura 9) en la primera tabla identifica la regla de correspondencia es el doble de
, en la segunda tabla que se le puso como ejemplo identifica la regla de
correspondencia más 4 (Figura 10)
Figura 10. Identificación de patrones
El instructor le menciona al estudiante que debe hacer algo análogo a lo que hizo en las
tablas para encontrar la regla de correspondencia general, utilizando la metáfora de la
función al introducir un número en una máquina, haciendo analogías a estas tablas el
estudiante identifica las diferencias en los movimientos (metáfora de función como una
máquina, ver figura 112)
2 Figura tomada de http://www.mathwarehouse.com/algebra/relation/evaluating-function.php
37
Figura 11. Función como una máquina
La estrategia que el estudiante utiliza calcular las primeras diferencias de los valores de
m, con la finalidad de identificar si estas diferencias sean constantes. Pero se da cuenta
que no, ya que al observar las diferencias de los primeros movimientos observa que: De
tres a ocho serían cinco pero de ocho a quince ya no sería cinco porque ya ocho más
cinco me da trece, y entonces para quince me faltarían dos… por lo que se da cuenta
que las primeras diferencias no son contantes, sin embargo tratar de encontrar el valor
correspondiente de 4 para r, conjetura que es 22, es decir sigue pensando o considerando
la diferencia constante. En el siguiente dialogo se observa la conjetura: … no sé pero yo
como que creo que de ocho a quince pues son siete, luego entonces pues se suman el quince y el
siente más pues siete más quince me da pues 22. (Figura 12)
Figura 12. Identificación de diferencias en la tabla
Sigue utilizando la estrategia de que las diferencias son constantes. Ve toda la
información pero en algún momento se olvida de todo lo que ya observó porque sigue
insistiendo en que la diferencia es constante, le cuesta trabajo relacionar con los
siguientes movimientos.
Por lo que se le pide que resuelva el juego con cuatro ranas y ahora obtuvo 24. Ahora se
le pide con 5 ranas cuantos movimientos deben ser. La estrategia que sigue es observar
las diferencias y encuentra un patrón, ya que para los primeros números ha encontrado
38
la relación, y coloca como resultado 35, porque suma 24 más 9 porque las diferencias
van incrementándose en dos unidades. Es decir para este proceso recursivo no se le
dificulta encontrar el número de movimientos para 5 ranas.
Ahora se le pide que verifique la regla para cualquier número de ranitas, cuántos
movimientos se necesitan para 20 ranitas. La idea es que el alumno identifique la regla
de correspondencia porque sigue anclado en la cuestión recursiva de obtener el siguiente
a partir del anterior. Al enfrentarse a esta situación centra la atención en el últ imo dato
que tiene, el de 5 ranas que necesita 35 movimientos al parecer retoma la idea de las
tablas que se proporcionaron como ayuda para identificar el patrón y da por hecho que
si multiplica 20 por 7 es el número de movimientos para 20 ranas. Al verificar su
resultado se da cuenta de que no es correcto. Así que se la pide que encuentre el número
de movimientos para 8 ranas y coloca 96.
Se le pide que de forma recursiva encuentre el número de movimientos para 6 y 7 ranas
y esto lo hace de forma correcta, después se le pide que encuentre el de 8 ranas pero
tiene dificultades y no sabe qué hacer, después de pensar por unos minutos da como
resultado 90, pero no es correcto.
En la tabla en cuyas columnas coloca el resultado de movimientos de tener 6, 7 y 8
ranas se le pregunta cómo se obtuvieron los resultados, observa que se pueden obtener
mediante la multiplicación del número de ranas por otra cantidad y en estas operaciones
se observa un patrón, pero le cuesta trabajo identificar, así que con ayuda del profesor
identifica la relación de los resultados para encontrar el patrón y escribe la tabla de la
figura 13:
Figura 13. Identificación de la regularidad
39
Ahora si el número de ranas no es recursivo y se quiere saber el número de
movimientos para 20 ranas, al plantearle este situación al estudiante le toma tiempo
responder, así que el profesor interviene para que identifique la relación que hay entre el
número de la columna de la tabla y la operación que da como resultado el número de
movimientos, le pregunta cómo va obteniendo los números de la multiplicación,
responde que va dividiendo el número de movimientos entre el número de ranas pero
esto no funciona porque se necesitaría saber el número de movimientos para conocer el
número de ranas, no logra encontrar una relación hasta que el profesor le ayuda
mencionando como se relaciona el 6 con el 8, el 5 con 7 y 4 con 6 con esto el profesor
centra la atención en lo factores, en ese momento es cuando identifica que la diferencia
es dos por lo que ahora puede terminar y presentar el resultado de movimientos para 20
ranas, y escribe 20 por 22 Figura 14. Cuando dirige la atención a estos números puede
identificar cual es la regla general para obtener los valores de , multiplicando por
otro número que es dos veces más que .
Figura 14. Identificación de la regla general
Comentarios: El estudiante usa una estrategia de tipo aditivo y obtiene los valores de
forma recursiva, necesita mucho apoyo para encontrar el patrón ya que el estudiante no
está acostumbrado, y tiene dificultades para identificar la regla general. Es capaz de
identificar regularidades. Si cambian las reglas se confunde y no sabe qué hacer. En
muchos de los casos centra su atención solamente en una parte de la información
generalmente un renglón de la tabla aunque ya haya tenido información global pero la
pierde de vista.
40
Tabla 2. Elementos centrales identificados en el análisis de las ranas saltarinas
Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Considerar
primeras
diferencias de
los valores de m
Operaciones
aritméticas básicas
Construcción de
tablas
Para identificar patrones
Para representar la regla general. Tiene
dificultad aun cuando lo tiene escrito en
el pizarrón, le cuesta trabajo identificar
la regla.
Si cambian las condiciones se confunde, no sabe qué hacer.
Centra la atención en una parte de la
información
Para establecer la relación entre los dos
factores que permiten encontrar lo
valores de m con los valores de r.
Figura 15. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución
de la tarea de las ranas saltarinas
41
4.2 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los números
triangulares.
El profesor dibujo la representación de los primeros 3 números triangulares, se le
solicitó que colocara el número 4, 5 y 10 en su representación triangular los construye
siguiendo una regularidad colocando como base del triángulo el número de puntos que
le indica el número y disminuyendo el número de puntos hasta construir el triángulo,
haciéndolo sin ninguna dificultad.
Figura 16. Representación de algunos números triangulares
Al preguntarle cuándo vale el número triangular 10 realiza la suma de los puntos
ordenados en el esquema dando como resultado 54, conjetura que para encontrar el
número triangular con base 10 es la suma de 10 más 9 más 8 más 7 más 6 más 5 más 4
más 3 más 2 y más 1. El estudiante puede identificar como se van construyendo los
números triangulares, el siguiente dialogo lo confirma: Por ejemplo si me dijera diez, diez
más nueve más ocho más siete más seis más cuatro, más tres, más dos y más uno, ese sería el
cálculo.
No tiene dificultad para la representación numérica del número 7 que le da como
resultado 28. La idea de pedirle que represente el número 7 es que pase de la
representación gráfica a la representación numérica ya que este número no está
representado gráficamente, comienza la suma con el número de la base hasta uno. Ve
que ese número triangular es la suma de números naturales consecutivos pero va de
atrás hasta uno y lo hace así porque está influenciado por la representación gráfica y
tiene sentido porque las figuras las empieza construyendo por la base, porque esta
relacionando esa representación numérica con la representación gráfica.
42
Figura 17. Representación numérica de un número triangular
Ahora se le pide que encuentre el número triangular 100, utiliza una estrategia de
proporcionalidad, es decir si ya conoce el número triangular 10 conjetura que hay una
relación de proporcionalidad entre los números triangulares, si conoce el número
triangular 10 entonces para encontrar el número triangular 100 piensa que como 100 es
diez veces diez entonces el número triangular 100 va a ser 10 veces 10. Esta
conjeturando que la relación de los números triangulares es proporcional.
Se le solicita nuevamente que dé el valor del número triangular 10, y el estudiante trata
de calcular el valor con operaciones mentales, pero para apoyar lo que estaba haciendo
mentalmente el profesor le sugiere que lo represente como una suma tal como lo hizo
con el número 7, entonces escribe la operación para calcular el número 10 como la
suma de los primeros diez números naturales, obtiene como resultado 55 que es
correcto, sigue con la idea de proporcionalidad, el siguiente dialogo lo confirma:
Profesor: a ver ¿cómo le hiciste para calcular el número triangular siete?, calcula el número
triangular diez
Estudiante: (escribe en el pizarrón la operación para el número triangular diez, escribe 55 como
resultado) luego multiplicaría 55 por diez porque diez es la décima parte de cien y entonces el
número triangular cien es 55, digo 550
El profesor pone a prueba la conjetura del estudiante de que los números triangulares
son proporcionales y le pregunta, el dos que parte es del 10 a lo que contesta la quinta
parte, entonces al multiplicar el número triangular dos por cinco no le da el número
triangular 10, el estudiante se confunde al observar que su regla no da el resultado
correcto, este tipo de estrategia de poner a prueba la conjetura es una alternativa para
que el estudiante verifique sus resultados. Como el estudiante no sabe qué hacer para
encontrar el número 100, el profesor le pide que encuentre el número 20.
43
Después de unos minutos contesta 110 como resultado, centro su atención en el número
triangular 10 tomando en cuenta que 10 es la mitad de 20. Continúa con la idea de
proporcionalidad, pierde de vista la información global y sigue anclado en la idea de
proporcionalidad, al parecer no toma en cuenta la construcción de los números
triangulares ya que pierde elementos cuando muestra el resultado diciendo que
multiplicó 10 por 2, 9 por 2, etc…
El profesor vuelve a centrar la atención en casos específicos, haciendo la representación
de suma para los primeros números triangulares con su respectiva representación gráfica
ya que no sabe cómo continuar. Se le sugiere representar estos datos los organice en una
tabla para visualizar mejor la información. Con la construcción de la tabla en cuyas
columnas coloca el número natural y su respetivo numero triangular, busca relaciones
de los elementos que se encuentran en ella.
Relaciona los números de la columna que indica de que número triangular se está
hablando con la segunda columna, utilizo una estrategia multiplicativa, ahora centro la
atención en la primer columna y busco una relación entre estos números para encontrar
los números de la segunda columna, realizo la multiplicación de los primeros dos
números y los dividió entre dos para relacionarlos con el primer número de la segunda
columna, después multiplico el segundo número con el tercer número de la primera
columna para relacionarlo con el segundo número de la segunda columna. En resumen
realizó operaciones con la primera columna para obtener los de la segunda columna.
Figura. 18. Identificación de la relación de las dos columnas
Aunque ya identificó la regularidad tiene dificultad para extender la regla, cuando trata
de calcular el 100 lo dice de la siguiente manera: “…… y ahora vi que para calcular
cuántos números hay del cien tenemos que multiplicar al nueve por cien pues sería…”, pero se
da cuenta de lo que hace y después de reflexionar hacer el cálculo para 99 multiplica
44
100 por 99 y para 100 lo hace de forma correcta. Logra identificar la regla general
aunque no lo expresa de forma algebraica.
Tabla 3. Elementos centrales identificados en el análisis de los números triangulares
Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Los números
triangulares son
proporcionales
Operaciones
aritméticas básicas
Construcción de
esquemas
Relacionar
esquemas con
sumas
Identificación de patrones
Centra la atención en casos particular y
no logra ver la información de forma
global
Comentarios: necesita ayuda para identificar patrones y regularidades aunque ya en la
medida que se hizo en la actividad de las ranas, logra la construcción de los números
triangulares pero cuando hace la representación numérica no logra conectar esta
representación con lo que hace gráficamente al extender el valor de los números. Pierde
de vista información global, llega a encontrar la regla general aunque no la muestra de
forma algebraica.
45
Figura 19. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución
de la tarea de los números triangulares
4.3 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea del rectángulo
Se apoya en la representación gráfica, identifica los elementos, centrando la atención en
las partes que son conocidas por él. Centra su atención en la diagonal AC, utiliza el
principio de aditividad de las áreas, diciendo que el rectángulo ABCD se divide en dos
triángulos de áreas iguales, después de esto pone su atención en el rectángulo CFPG
utilizando el mismo principio diciendo que los triángulos CFP y CGP son de áreas
iguales, sigue observando la figura en forma global, después observa que el rectángulo
46
AEPH también lo divide la diagonal AC entonces sigue utilizando el principio de
aditividad de las áreas ya que el triángulo AEP y el triángulo AHP son de áreas iguales.
Es capaz de aislar los elementos de la configuración, identifica las figuras que se forman
tomando como referencia la diagonal AC. La figura la ve de diferentes formas
concentrándose en cada parte que identifica de la figura, va identificando por partes y
centrando su atención en cada parte para analizarla.
Con esta información global puede identificar que los triángulos AEP y AHP son
iguales porque forman el rectángulo AEPH y tienen la misma área y que los triángulos
CPG y CGP también son iguales porque forman el rectángulo CFPG y tienen la misma
área y que a ambos rectángulos los divide la diagonal AC. Con esta conclusión dice que
el triángulo AEP y el triángulo CPF están asociados con el rectángulo EBFP al igual
que el triángulo APH y el triángulo CPG están asociado con el rectángulo HPGD,
entonces está haciendo un proceso de inferencia porque a los dos rectángulos se les está
quitando la misma área entonces si es igual el área de los rectángulos.
Tabla 4. Elementos centrales identificados en el análisis del rectángulo
Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Principio de
aditividad de
las áreas
Identificación de
figuras geométricas
Construcción de
esquemas
Ninguna dificultad
Comentarios: no tiene dificultades en identificar figuras geométricas. No pierde de
vista la información global, es capaz de aislar elementos de la configuración general
para analizarlas como como sub-figuras y está utilizando el principio de aditividad de
las áreas. En ningún momento se apoya en fórmulas. Centra la atención en partes de la
figura pero en cualquier parte sino que lo centra en cada rectángulo en donde puede ver
que las áreas son iguales, establece conexiones y establece relaciones porque va
relacionando todos los elementos que va encontrando.
47
Figura 20. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución
de la tarea del rectángulo
4.4 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de las diagonales.
El profesor representa esquemáticamente 5 polígonos diferentes en los cuales es
estudiante identifica cuántas diagonales salen de cada vértice y escribe en el de tres
vértices 0 diagonales, en el cuatro vértices 2 diagonales, en le cinco vértices 5
diagonales, en el de seis vértices 9 diagonales y en el de siete vértices 11 diagonales.
Para obtener la regla general centra su atención en el polígono de cuatro vértices e
intenta escribirla pero aún no tiene todos los elementos para emplear una regla, tiene
confusión al tratar de escribir la regla.
Identifica cuantas diagonales salen de los polígonos que tiene en el pizarrón, en el
polígono de cuatro vértices sale una diagonal de cada vértice, en el polígono de cinco
vértices salen dos diagonales de cada lado, en el polígono de seis vértices salen tres
diagonales, e incluso en el de diez vértices identifica que salen 7 diagonales de cada
vértice pero cuando se extiende a 20 responde 14, lo cual no es correcto, pero después
de unos instantes piensa, hace operaciones y corrige dando como resultado 17, el cual es
correcto. Es decir identifica patrones de corto alcance pero cuando se salta a 20 no logra
identificar el número de diagonales. Esto se observa cuando el profesor le pide que del
resultado para el polígono de 100 vértices y responde 50.
Conjetura que si conoce el número de lados del polígono entonces el número de
diagonales es la mitad del número de lados. Entonces el profesor pone a prueba la
48
conjetura peguntándole que pasa si tiene un polígono de cinco lados, cuántas diagonales
salen, a lo que responde que dos pero no es la mitad, cuando lo hace para el polígono de
seis lados si se cumple la conjetura pero no así para el de siete lados, por lo tanto no es
válida su conjetura y se da cuenta, pero no sabe qué hacer para continuar. El profesor le
sugiere que dibuje una tabla en cuyas columnas contenga el lado (L) y el número total
de diagonales que sale de cada vértice (V). La tabla la construye sin dificultada hasta el
polígono de 7 lados (Figura 21), pero no logra hacer una conexión con los datos de la
tabla, por lo que el profesor le pregunta que si sabe el número de lados cómo le hace
para encontrar el número de diagonales que salen de cada vértice.
Figura 21. Tabla de lados del polígono y número de diagonales
Después de unos instantes observa una relación de la tabla donde suma la primera fila
de columna L más la segunda fila de la columna V es igual a la segunda fila de la
columna L, es decir 3 más 1 igual a 4; 4 más 2 igual a 6, etc… pero no le ayuda a
encontrar la regla, no logra conectar los resultados de la tabla y por un momento no sabe
qué hacer. El profesor le pregunta cómo le hizo para encontrar el número de diagonales
para el polígono de 10 lados, a lo que contesta:
Porque de cada lado, entonces digamos son tres vértices los que no se van a unir. Entonces por
ejemplo aquí B no se va a unir con B sólita entonces ya vamos restando un vértice, tampoco se
va a poder unir con A, porque ese ya estaba unido y tampoco con C porque igual ya estaba
unido.
Al exponer esta idea puede concretar la regla general que la expresa como el número de
lados del polígono por el número de lados de polígono menos tres entre dos. En este
caso sí logro poner la regla general como una expresión algebraica
49
Figura 23. Representación algebraica de la regla general
Tabla 5. Análisis de la Tarea 4. Diagonales
Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Operaciones
aritméticas básicas
Construcción de
esquemas
Relacionar
esquemas con sumas
Para identificar patrones de largo
alcance
Comentarios: Logra identificar patrones de corto alcance pero tiene dificultades para
identificar los de largo alcance se introducen dos dificultades porque se quita la parte
gráfica.
Figura 24. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución
de la tarea de las diagonales
50
4.5 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea del tanque de tortugas
Inicia con la representación esquemática de las cubetas de agua, utiliza cuatro
rectángulos divididos en tercios (Figura 25)
Figura 25. Representación esquemática de las cubetas
Afirma que como está dividida en tercios cada una de las cubetas entonces hay 12
tercios en total, esta afirmación es correcta (Figura 25). Identifica y relaciona todos los
datos del problema. Conjetura que cada cubeta tiene dos tercios porque pierde 1 tercio
en el camino, la valida mediante el esquema rellenando solo dos tercios ya que el otro
tercio lo perdió, y asume que es el primer viaje (Figura 26).
Figura 26. Representación esquemática del primer viaje
Para el segundo viaje toma el tercio que se perdió de la primera cubeta y lo completa
con un tercio de la segunda cubeta (Figura 27). Utiliza una estrategia de conteo.
Figura 27. Representación esquemática del segundo viaje
Continua con esta idea, hasta dar su resultado que es 6 viajes. Lo cual es correcto.
Plantea otra estrategia para de dar solución al problema que del total de las cuatro
51
cubetas dividirlo entre dos tercios porque cada viaje lleva en realidad dos tercios. Es
decir 12/3 entre 2/3.
Tabla 7. Análisis de la Tarea 6. Tanque de tortugas
Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Técnica de
conteo.
Operaciones
aritméticas básicas
Construcción de
esquemas
No tiene dificultades
Comentarios: No pierde de vista la información del problema, tiene la idea clara de
cómo resolver la tarea e incluso plantea dos estrategias para encontrar la solución.
Puede expresar la regla en forma algebraica, razona con base en la figura. Se observa
avance en su proceso de razonamiento pero sigue teniendo dificultad en la información
global.
Figura 28. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución
de la tarea del tanque de tortugas
52
4.6 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los cerdos y gallinas.
Comienza escribiendo el número de cabezas y de patas. La idea principal que utiliza es el de
proponer un caso particular ya que plantea: 10 cabezas de cerdo y como los cerdos tienen cuatro
patas, multiplica 10 por 4 y le da como resultado 40 patas de cerdo; entonces asume que son 9
cabezas de gallina ya que en total hay 19 cabezas entonces 19 menos 10 son 9, y como las
gallinas tienen dos patas multiplica 9 por dos lo que le da como resultado 18 patas de gallinas.
Con estos resultados asegura que 40 patas de cerdo más 18 patas de gallinas da como resultado
58 patas, pero no es la respuesta, le faltan dos.
Ajusta para continuar con la estrategia de caso particular, ahora plantea con 11 cerdos,
multiplica 11 que son los cerdos por 4 patas son en total 44 patas; como plante que son 11
cerdos entonces asume que deben ser 8 gallinas para un total de 19 cabezas, multiplica 8 por 2
patas de cada gallina y le da como resultado 16 patas, al verificar sus resultados suma 44 patas
de cerdo más 16 patas de gallina es igual a 60 patas.
Tabla 7. Análisis de la Tarea 6. Cerdos y gallinas
Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Casos
particulares
Operaciones
aritméticas
básicas
Construcción de
esquemas
No tiene dificultades
Comentarios: Identifica la información del problema, plantea una estrategia de casos
particulares en la cual él mismo verifica el resultado y ajusta en un momento dado, no
pierde de vista la información global y puede asumir que es lo que la hace falta para
ajustar su respuesta, no presenta dificultad alguna.
53
Figura 29. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución
de la tarea de los cerdos y gallinas
4.7 Procesos de razonamiento utilizados al resolver la tarea de los saludos.
Piensa en un caso más sencillo, trasforma el problema de una manera recíproca, quiere
ver el comportamiento si conoce el número de personas cuántos saludos, hace un
razonamiento reciproco y toma un caso particular el de cinco personas con número
triangulares para tratar de encontrar una relación. Al analizar el caso de cinco personas
quiere saber qué ocurre de personas a saludos, empieza a relacionar este caso de cinco
personas con números triangulares porque empieza a decir si hay cinco personas se
pueden relacionar con cuatro, el siguiente con tres, el siguiente con dos y el otro con
uno nada más, por lo que si suma 5 más 4 más 3 más 2 más 1 lo está relacionado con
números triangulares.
Esta estrategia lo va haciendo con casos particulares lo hace con 30 y no daba el
resultado, después prueba con 20 y no le da el resultado a lo que conjetura que esta entre
54
20 y 10 y vuelve a hacerlo con 15 pero como era muy pequeño hizo la prueba con 19 y
en ese momento le dio el resultado.
Tabla 8. Análisis de la Tarea 7. Saludos
Ideas
centrales
Conocimientos
previos Heurísticas Dificultades
Casos
particulares
Operaciones
aritméticas
básicas
Construcción de
esquemas
No tiene dificultades
Comentarios: Identifica la información del problemas haciendo analogía con
problemas resueltos con anterioridad, utiliza casos particulares y puede plantear la tarea
en una sub-tarea más sencilla para resolver. Realiza operaciones mentales y justifica el
resultado.
Figura 30. Diagrama que muestra el proceso de razonamiento empleado en la resolución
de la tarea de los saludos
55
CAPÍTULO V. CONCLUSIONES
Con la información proporcionada de cada tarea el estudiante no tiene problemas para
identificar y analizar los datos, sabe lo que tiene que resolver y formula esquemas o
representaciones de la información, aunque en cierto momento llega a perder de vista la
información global.
En las primeras actividades el estudiante requiere ayuda del profesor para identificar
patrones o regularidades, se observa principalmente porque no tiene experiencia en
resolver este tipo de tareas, conforme va resolviendo las tareas se observa un avance
significativo al resolver los problemas ya que en las últimas sesiones no necesita la
ayuda del profesor, al parecer no tiene noción en resolución de problemas, pero
conforme va avanzando observa patrones, regularidades y hace conexiones con la
información, llega a conjeturar y validar la conjetura mediante casos particulares.
Conforme el estudiante va avanzando en la resolución de las tareas, se pueden observar
formas de razonamiento que se pueden describir de la siguiente manera:
1. Se cumple con una situación problemática, la actividad o tarea
2. Elige una estrategia, esta elección es apoyada por sus conocimientos previos, en un
sentido amplio puede elegir, recordar, construir o descubrir para resolver la
situación problemática. Plantea conjeturas.
3. Reconsideración de la estrategia, si la conjetura no es válida vuelve a plantearse otra
estrategia, en determinado momento si no sabe qué hacer el profesor interviene, de
esta manera puede identificar nueva información para plantear otra estrategia de
solución.
4. Presenta resultados.
Es importante cuando un estudiante resuelve un problema que tienen que ven con
identificación de patrones, tener en cuenta dos proceso, en el primero, el estudiante debe
obtener información local del problema y en el segundo, obtener información global del
problema, por ejemplo cuando es estudiante propone una conjetura, el profesor pone a
prueba esa conjetura, con un ejemplo, para ver si funciona o no y si no funciona el
estudiante debe tener la capacidad para procesar la información que obtuvo de la
conjetura errónea para continuar con la solución, a esto se le puede decir que es un
56
proceso de actualización de la información para mostrar la capacidad de decidir qué
información es necesaria y cuál se descarta porque no ayuda a obtener la solución. El
siguiente esquema muestra cómo se va actualizando la información.
La ayuda del profesor es de manera inquisitiva, consiste en formular preguntas que
conduzcan al objetivo del aprendizaje, que lleven a entender y proponer la solución a la
tarea. En este tipo de problemas no rutinarios es importante mantener la relación de las
conexiones de las representaciones gráfica y numérica.
Es importante mencionar que para las primeras actividades, el estudiante tiene dificultad
en la identificación de regularidades, en presentar la información en esquemas o tablas y
en hacer conexiones de la información, la ayuda del profesor es fundamental para llegar
a la solución, centra la atención en casos particulares perdiendo de vista la información
global. Hace conjeturas, pero presenta problemas para validarlas, el profesor las pone a
prueba y es cuando se da cuenta de que son erróneas, por un momento no sabe qué
hacer hasta que interviene el profesor de manera inquisitiva para ayudar a resolver la
tarea.
Conforme va resolviendo las siguientes actividades la intervención de profesor va
disminuyendo, el estudiante identifica regularidades, hace conjeturas y puede validarlas
pero todavía requiere que el profesor las ponga a prueba, presenta resultados en forma
57
algebraica, emplea conocimientos propios y puede hacer conexiones de las
representaciones gráficas y numéricas.
En las últimas tareas la ayuda del profesor es casi nula, el estudiante es capaz de
representar la información en un esquema o en una tabla, hace conjeturas para después
validarlas, utiliza diferentes estrategias de solución, propone casos particulares, utiliza
conocimientos previos para verificar resultados, puede centrar la atención en elementos
conocidos, puede hacer conexiones de las representaciones gráficas y numéricas y
presenta resultados.
5.1. Respuesta a la pregunta de investigación
¿Cuáles son las características de las formas de razonamiento que desarrolla un
estudiante de quinto año de primaria (10 años de edad) al resolver problemas
matemáticos no rutinarios? El razonamiento es la forma de pensar adaptada para
producir afirmaciones y llegar a conclusiones, las características de las formas de
razonamiento observadas en este trabajo de investigación son:
- Identificación de la información. El estudiante identifica los datos, la incógnita y
plantea una alternativa de solución.
- Utilización de esquemas. Los esquemas y tablas son de gran ayuda para observar la
información de forma particular y global
- Conocimientos previos. Cuando el alumno conecta los conocimientos previos con la
información global de problema tiene una visión general de cómo resolver el
problema.
- Identificación de patrones. Después de la identificación de la información y la ayuda
de esquemas, representaciones o tablas el estudiante puede identificar patrones y
regularidades.
- Formulación de conjeturas. Con los elementos antes mencionados el estudiante es
capaz de formular conjeturas.
- Validación de conjeturas. Aunque en determinado momento sus conjeturas son
erróneas, tiene la capacidad de validar conjeturas mediante casos particulares o
ejemplos, reflexionando sobre las rutas o métodos para llegar a la solución
- Presentación de resultados. Comunicar resultados y justificarlos
58
Tabla 9. Nivel y formas de ayuda que proporciona el profesor
Nivel
de
ayuda
Tarea Características de las formas de
razonamiento del estudiante
Formas de ayuda
que proporciona el
profesor
Mucha
Ranas
saltarinas
Identifica la información y resuelve el juego
para 1, 2 y 3 ranas
Organiza la información en una tabla a
sugerencia del profesor
Conjetura que las diferencias son constantes, pero cuando el profesor pone a prueba su
conjetura es errónea.
Pierde de vista la información global
Identifica patrones sencillos que el profesor
propone.
Sigue utilizando la estrategia de diferencias
constantes
Resuelve casos particulares
Identifica un patrón, pero sólo para los valores
de la tabla que propuso
Tiene dificultad para encontrar patrones de largo alcance
Pierde de vista la información de la sub-tarea
Logra encontrar una relación entre las
columnas de la tabla mediante multiplicación
del número de movimientos
Identifica la regla pero tiene dificultad para
identificar relaciones.
Presenta la información de manera verbal, no
es capaz de hacer una representación
algebraica
Sugiere que organice la
información en una tabla
Pone a prueba las
conjeturas para que
identifique la información
de cada sub-tarea.
Propone tablas con
patrones sencillos para
que el estudiante
identifique y sepa lo que
se le pide
Va relacionando uno de
los factores con el número
de ranas, para que
identifique la regla general
Números
triangulares
Identifica la información y representa algunos
números triangulares
Identifica la regularidad Pierde de vista la información de la sub-tarea
Sigue anclado a la idea de proporcionalidad
Hace conjeturas pero resultan erróneas
Se confunde cuando el profesor pone a prueba
sus conjeturas
Pierde de vista información global
Construye una tabla con la información global
Encuentra una regularidad
Utiliza una estrategia multiplicativa
Logra identificar la regla, pero no logra
escribirla de forma algebraica
Se dibujan los 3 primeros
números triangulares.
Se pone a prueba la
conjetura para que el
estudiante identifique la
información global
Centrar la atención en
casos particulares
Sugiere que los datos se
organicen en una tabla
Poca Diagonales
Identifica la información Intenta escribir de forma algebraica la regla. Puede identificar patrones de corto alcance Tiene problemas para identificar patrones de largo alcance. Hace conjeturas No sabe qué hacer cuando el profesor pone a prueba las conjeturas resultan erróneas.
Construye una tabla con la información de casos particulares No logra hacer conexión con la información de la tabla Conjetura: son tres vértices los que no se van a unir.
Se hace la representación gráfica de 5 polígonos Pone a prueba la conjetura para que identifique información global
Sugiere organice los datos obtenidos en una tabla Pregunta ¿cómo le hace para encontrar el número de diagonales?
59
Logra identificar la regla general Expresa en forma algebraica la regla general
Ninguna
Cerdos y
gallinas
Identifica la información Propone casos particulares y verifica el resultado utilizando operaciones básicas aritméticas El resultado no es correcto, entonces ajusta utilizando la estrategia de caso particular Puede asumir que es lo que le falta para ajustar Presenta solución
La intervención del profesor es solo para que el estudiante justifique su resultado
Saludos
Identifica información Hace analogías, piensa en un caso sencillo Transforma el problema de manera recíproca Utiliza casos particulares Relaciona casos particulares con números triangulares Obtiene resultado
La intervención del profesor es solo para que el estudiante justifique su resultado
Rectángulo
Identifica información
Centra la atención en partes conocidas del diagrama Utiliza el principio de aditividad de las áreas Observa la figura de forma global Es capaz de aislar elementos de la figura Puede centrar la atención en cada parte aislada Analiza cada parte aislada Conjetura y valida la conjetura.
No hay intervención del
profesor
Tanque de tortugas
Identifica la información Relaciona datos de la tarea con conocimientos previos. Representa la información en un esquema Hace conjeturas Valida conjeturas Utiliza estrategias de conteo Plantea otra estrategia de solución
Justifica solución Presenta solución
No hay intervención del profesor
5.2. Limitaciones del trabajo
En relación al trabajo faltó la interacción con el estudiante de manera directa, para
observar las formas de razonar del estudiante, incluso el medio en el que se
desenvuelve, el nivel socioeconómico, el tipo de actividades o tareas que resuelve en la
escuela, sus aficiones, si tiene otras actividades recreativas o deportivas.
Hizo falta la interacción con otros estudiantes, sería interesante ver el comportamiento
de un grupo, en el cual posiblemente se pueden identificar otras formas de razonamiento
al resolver las tareas. Para este caso la evaluación del aprendizaje sería otro aspecto a
analizar en la investigación
5.3 Propuestas a futuro
Los problemas no rutinarios permiten la reflexión del estudiante, ya que son
interesantes para el aprendizaje de las matemáticas, utilizando estrategias de solución
60
que permiten el análisis para profundizar en diversas investigaciones, por ello se
recomienda:
1. Que los resultados de la investigación sean publicados o dados a conocer en
diversos foros para que otros profesores tengan la posibilidad de aplicarlos, tomando
en cuenta las estrategias, técnicas y procedimientos.
2. Replicar la experiencia de problemas no rutinarios con grupos de estudiantes de
nivel medio superior e incluso con estudiantes de los primeros ciclos de Educación
Superior, para observar si los comportamientos y dificultades son los mismos.
3. Que el investigador desarrolle un dominio del contenido matemático que le permita
seleccionar, organizar, estructurar e implementar actividades de enseñanza. Debe ser
capaz de analizar e interpretar las diversas maneras que el estudiante construye el
conocimiento matemático.
4. Estimular a los estudiantes a dialogar con el profesor, así como entre ellos, darse la
oportunidad de compartir sus ideas y escuchar la de los demás.
5.4. Reflexiones Finales
En el aula como profesores tenemos que establecer actividades de aprendizaje, donde
los estudiantes puedan reflexionar y comunicar ideas matemáticas con el fin de que
construyan un aprendizaje con entendimiento. Reflexionando sobre mi práctica docente
es necesario incorporar estrategias de aprendizaje, seleccionando actividades en las que
el análisis, la comprensión de conceptos matemáticos, la reflexión y la resolución de
problemas permitan que los estudiantes desarrollen formas de razonamiento
matemático.
Con este trabajo he tenido la oportunidad de experimentar nuevas estrategias de
enseñanza, las formas de razonar de los estudiantes van sugiriendo cómo aprenden y
por lo tanto es necesario proponer nuevas formas de enseñar. Otro aspecto importante
que me queda claro es que el enseñar matemáticas va más allá de mostrar fórmulas para
resolver problemas, se requiere de un entendimiento para buscar una estrategia de
solución, este planteamiento sugiere que podemos implementar estrategias donde el
estudiante razone antes de proponer una solución, analizar la información, conjeturar,
validar la conjetura, observar la información de manera local para después verla de
manera global y así presentar resultados.
61
Es necesario que los problemas se redacten con un lenguaje claro y preciso relacionado
con la realidad de los estudiantes de manera que utilicen estrategias o técnicas para
llegar a la solución, esto es uno de los aspectos que me ha dejado este trabajo. Como
profesores de matemáticas necesitamos poner en práctica estas estrategias para orientar
y estimular en los estudiantes los procesos de reflexión, análisis y razonamiento
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64
APÉNDICES
Apéndice A. Transcripción de la tarea 1: Ranas saltarinas
Estudiante: De tres a ocho serían cinco pero de ocho a quince ya no sería cinco porque ya
ocho más cinco me da trece, y entonces para quince me faltarían dos, ahí seria con dos ¿no?
Profesor: ¿Por qué?
Estudiante: Porque… no sé pero yo como que creo que de ocho a quince pues son siete, luego
entonces pues se suman el quince y el siente más pues siete más quince me da pues 22
Profesor: La pregunta que te hago es ¿si pones cinco ranitas cuántos movimientos vas a
necesitar?
Estudiante: (escribe en el pizarrón) es como la misma relación pero de tres a ocho hay cinco
de relación y entonces me daría once pero pues cinco más dos me da siete y ocho más siete me
da quince, de quince… bueno de ocho a quince son siete de relación más dos pues me da veinticuatro y entonces pues yo supongo que… de quince a veinticuatro hay nueve de relación
más dos pues yo supongo… que… nos daría treintaicinco
Profesor: si tu resultado es cierto, fíjate, imagina que solo tiene el resultado de uno y te pido que me des el resultado de cuatro, si fuera cierto lo que me dice, tres lo tendría que multiplicar
por cuatro y me daría doce y ¿cuánto me da?
Estudiante: Me da veinticuatro
Profesor: Entonces crees que el resultado esté correcto
Estudiante: No porque, hay dos de cuatro en un lado y otras cuatro en otro lado, entonces pues
se multiplicaría este resultado por dos, doscientos ochenta
Profesor: ¿A poco si?
Estudiante: Bueno eso es lo que creo
Profesor: Te voy a poner uno más fácil, a ver el de ocho, de ocho, cuánto sería? Si tuviera ocho
ranitas de cada lado
Estudiante: cuarenta y ocho no… (Reflexiona, hace operaciones mentales) noventa y seis
Profesor: Ahora con ese resultado obtén el de ocho,
Estudiante: ¿con el de siete? (piensa, reflexiona, silencio por un momento) pues me está dando
de resultado noventa
Profesor: Ese resultado es correcto
Estudiante: Entonces el resultado de ocho no era noventa y seis
Profesor: Entonces el de veinte, tampoco es correcto
Estudiante: Tampoco es doscientos ochenta
Profesor: No
Estudiante: (escribe en el pizarrón) ya aquí no se podría…
Profesor: es que te equivocaste no es noventa es ochenta
Estudiante: Ah!
Profesor: ahora te digo que en la tabla coloques el 20 ahí en las ranas, abajo del ocho, cuál
sería el resultado?
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Estudiante.: (hace operaciones mentales)
Profesor: Fíjate cómo vas obteniendo los números el 4, 5, 6, 7 y 8
Estudiante: voy viendo pues seis, pues un número por… dividiendo este entre seis
Profesor: Pero qué relación hay entre este seis y este ocho; entre este cinco y el siete; entre
este cuatro y este seis
Estudiante: que se van llevando de dos… entonces aquí es veintidós
Profesor: ajá
Estudiante: veinte por veintidós... cuatrocientos cuarenta
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Apéndice B. Transcripción de la tarea 2: Números triangulares.
Estudiante: El número uno, el número uno del triángulo es un puntito como base, el número
dos son dos puntitos como base, entonces el siguiente puntito tendría que ser uno, el número
tres, tres puntitos como base y luego siguen dos, uno y así sucesivamente.
Profesor: Si.
Estudiante: Por ejemplo si me dijera diez, diez más nueve más ocho más siete más seis más
cuatro, más tres, más dos y más uno, ese sería el cálculo
Profesor: Esta bien.
Estudiante: Bueno el número siete lo voy a escribir como si fuera el número triangular
Profesor: No, no le pongas nada solo pon como harías la cuenta.
Estudiante: (escribe la operación en el pizarrón y escribe 28)
Profesor: cómo supiste que son 28, como le hiciste.
Estudiante: Pues lo sumé.
Profesor: Haber dime cómo?
Estudiante: Primero sume siete más seis, me dio como resultado trece, y luego cinco más
cuatro, bueno trece más cinco, dieciocho más dos veintidós, digo más cuatro veinte dos más
tres veinticinco más dos veintisiete y más uno veinte ocho
Profesor: ahora como le harías para encontrar el número triangular 100
Estudiante: Bueno, creo… sabiendo ya cuanto es el número triangular diez lo multiplicaría por
diez
Profesor: a ver, ¿cómo?
Estudiante: (piensa…)
Profesor: a ver cómo le hiciste para calcular el número triangular siete, calcula el número
triangular diez
Estudiante: (escribe en el pizarrón la operación para el número triangular diez, escribe 55
como resultado) luego multiplicaría 55 por diez porque diez es la décima parte de cien y
entonces el número triangular cien es 55, digo 550
Profesor: Entonces vamos a ver si funciona tu regla, el dos que parte es del diez?
Estudiante: es la quinta parte.
Profesor: Entonces si multiplicas el número triangular dos, por cinco te da el número
triangular diez?
Estudiante: No, no me da. El resultado es mucho menor
Profesor: Entonces, crees que esta bien el resultado que me dices para el resultado del número
triangular cien. Cómo le harías para calcular el número triangular cien
Estudiante: (Piensa…)
Profesor: Más fácil el veinte
Estudiante: (piensa…) 110
Profesor: Cómo le hiciste?
Estudiante: Pues vi que, 55 de hasta abajo, aquí era como la mitad de la base de veinte,
entonces dije: diez más diez, aquí multiplique todos estos números por dos en lugar de diez dije
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veinte y luego en lugar de nueve dieciocho y así ocho dieciséis, siete catorce, seis doce, cinco
diez, cuatro ocho, tres seis, dos cuatro, uno dos.
Profesor: y cuánto te dio como resultado?
Estudiante: 110
Profesor: No son 110. Pon ejemplos con lo que ya tiene tu tabla para ver que sí funciona tu
regla.
Estudiante: de que estos dos me dan como mitad me da este, estos dos entre dos igual a este, y
así voy, sacando… y ahora vi que para calcular cuántos números hay del cien tenemos que
multiplicar al nueve por cien pues sería
Profesor: por qué noventa y nueve
Estudiante: digamos pensemos en noventa y nueve, aunque no lo tengamos, noventa y nueve
por cien me da 900, digo 9900, y la mitad de 9900… me podría dar, digamos aquí… 9900 la
mitad es…(hace cálculos mentales) 4955. No 4950 y pues entonces decimos 4950 entre 99, 100 más 101 que es el que sigue me da…10100. Bueno y al darme 10100 entonces veo que fue el
resultado de cien y así voy siguiendo
Profesor: Bueno y entonces cuál es el resultado de cien?
Estudiante: 10100, bueno 10100 es lo que da 100 por 101 entonces me da 5500, no 5050 es el
resultado de cien
Profesor: Anótalo
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Apéndice C. Transcripción de la tarea 3: Rectángulo.
Estudiante: Bueno apoyándome con esta línea roja, supe que… pues entonces que era la mitad,
entonces esta partido por dos triángulos rectángulos y luego entonces aquí observé que hay
otro rectángulo que ese lo atravesaba por esta línea roja entonces ahí supe que esta parte que era la que sobraba pues se repartía en amarillo y en café, entonces es como si repartiera esté
al café este a la parte del amarillo; está a la parte del café, este a la parte del amarillo y está a
la parte del amarillo. Y si digamos los juntáramos, todas esas piezas nos daría en total la mitad del cuadrado digo rectángulo
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Apéndice D. Transcripción de la tarea 4: Diagonales.
Estudiante: La fórmula sería al fijarnos en este (señala el pizarrón) digamos cuatro, de cada una de cada vértice sale una línea y como son cuatro pues entonces cuatro por una cuatro entre
dos saldría pues el resultado o dos.
Profesor: Sabes ¿por qué se divide entre dos?
Estudiante: Porque es el número…. Porque es número de veces que se puede pasar de… que puede haber de una misma línea, por ejemplo DB y BD. Bueno, la fórmula sería “ene” por
número de… o número de… sería de vértices por “ene” por “ele” o por número de lados…
Profesor: Pero los vértices es igual a los lados.
Estudiante: Ah sí es cierto. Entonces, por el número de veces que puede salir? De cada vértice,
cuántas rayitas pueden salir de cada vértice
Profesor: Y ¿cuántas pueden salir?
Estudiante: En este caso en el de cinco, podrían salir dos… (Escribe)
Profesor: Si pero recuerda “ene” es el número de lados
Estudiante: “ene” por el número de rayitas que sales
Profesor: ¿cuántas salen?
Estudiante: Saldrían (en el de cinco) en este caso dos, o por número…
Profesor: Fíjate, es que si es cinco salen dos, si es seis…
Estudiante: Si es seis salen tres
Profesor: Si es siete?
Estudiante: Salen cuatro
Profesor: Si es diez
Estudiante: Si es diez salen siete
Profesor: Si es veinte
Estudiante: si es veinte salen catorce… Ah… no siete…
Profesor: Fíjate cómo vas haciéndole, si son cuatro…
Estudiante: Son diez y siete
Profesor: si son cien
Estudiante: si son cien son… cincuenta, si salen como cincuenta, porque me doy cuenta de que por ejemplo en estos cuatro, cuatro vértices
Profesor: Cuántas diagonales pueden salir de cada vértice
Estudiante: Pues por ejemplo, ahí (señala el de cuatro) pueden salir una de cada vértice,
Profesor: ¿En el de cinco?
Estudiante: En el de cinco dos
Profesor: ¿en el de seis?
Estudiante: tres
Profesor: ¿en el de siete?
Estudiante: cuatro
Profesor: ¿en el ocho?
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Estudiante: cinco
Profesor: ¿en el de diez?
Estudiante: siete
Profesor: ¿en el de 20?
Estudiante: diecisiete
Profesor: ¿en el de 100?
Estudiante: mmm…
Profesor: Fíjate si sabes el número de lados, ya sabes cuentas diagonales salen ¿qué tienes que
hacer?
Estudiante: agregarle un cero
Profesor: y ¿cómo?
Estudiante: No, no
Profesor: Haber en el de 100
Estudiante: Entonces son cien vértices
Profesor: En el de siete vértices, ¿Cuántas diagonales hay?
Estudiante: cuatro
Profesor: ¿cómo hiciste para saber cuántas?
Estudiante: Fui notando de que en unas no se podía que eran las de a lado
Profesor: Y ¿cuántas son?
Estudiante: Son dos, si son dos las de al lado
Profesor: Fíjate, lo que quiero es que pongas atención en esto: si tienes cinco vértices, cuántas
diagonales pueden salir de cada vértice
Estudiante: dos
Profesor: Cinco y dos, en el de seis, son seis lados, ¿cuántas salen?
Estudiante: tres
Profesor: Entonces sabes el número de lados ¿cómo sabes cuánta diagonales
Estudiante: Porque es la mitad
Profesor: En el de cinco?
Estudiante: En el de cinco son, dos
Profesor: Y ¿es la mitad?
Estudiante: No
Profesor: ¿en el de seis?
Estudiante: tres
Profesor: Y es la mitad
Estudiante: si es la mitad
Profesor: en el de siete
Estudiante: salen cuatro
Profesor: Y es la mitad
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Estudiante: No, no es la mitad, entonces va ocurriendo una variación
Profesor: Pero cómo, a ver, para saber cuántas diagonales
Estudiante: mmm….
Profesor: Si quieres ve haciendo una tabla donde anotes los lados y el número de diagonales
que salen de cada vértice, no el total sino el número de diagonales que sale de cada vértice
Estudiante: (escribe en pizarrón) Entonces veamos de tres salen ninguno, de cuatro vértices salen uno por cada vértice, de cinco son dos, de seis salen tres, de siete salen cuatro, pero
entonces ahí…
Profesor: Entonces si sabes el número de lados cómo le haces para encontrar el número de
diagonales que sale de cada lado
Estudiante: mmm… aquí por ejemplo veo una variación, tres más uno cuatro, cuatro más dos
seis, cinco más tres ocho, saldría aquí el ocho.
Profesor: Si pero esto no te está ayudando.
Estudiante: no…
Profesor: ¿Qué operaciones tienes que hacer con el número de lados para encontrar el número
de diagonales que salen de cada vértice?
Estudiante: Seria…
Profesor: Fíjate como le hiciste para encontrar el de diez, si te digo tengo una figura de diez
cuantas diagonales hay en cada vértice?
Estudiante: siete
Profesor: ¿cómo le hiciste para saberlo?
Estudiante: ah! ya, ya vi. Porque de cada lado, entonces digamos son tres vértices los que no
se van a unir. Entonces por ejemplo aquí B no se va a unir con B sólita entonces ya vamos restando un vértice, tampoco se va a poder unir con A, porque ese ya estaba unido y tampoco
con C porque igual ya estaba unido,
entonces es el número menos tres, entonces aquí saldría, “ene” por “ene menos tres” entre dos
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Apéndice E. Transcripción de la tarea 5: Tanque de tortugas
Estudiante: Aquí las representé, esta, esta, esta y esta, y las rellena cerca de una fuente, dice
que cada vez que las llena se le cae una tercera parte de la cubeta, pues yo lo que hice para
saber cuántos viajes tenía que hacer, fue digamos pues esta se divide en tercios, entones como son cuatro, hay doce tercios y como dice que cada vez se le cae uno, es como si cada uno
tuviera dos tercios, porque solo lleva estos dos tercios y sobra este. Luego ya llevaríamos por
ejemplo un primer viaje y luego llena este y este tercio y los completa y después ya llevaría dos viajes. O bien se podría hacer doce o sea doce tercios entre dos porque cada vez lleva dos
tercios, dos terceras partes. O bien se podría hacer, como le estaba haciendo de que cada viaje
lleva uno y uno, aquí va el primer viaje, segundo viaje, tercer viaje, cuatro viaje, quinto viaje y
sexto viaje
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Apéndice F. Transcripción de la tarea 6. Cerdos y gallinas.
Estudiante: Bueno si fueran diez cabezas y que las 10 (escribe) fueran de cerditos que tienen
cuatro patas
Bueno entonces serían pues cuarenta. Más nueve por dos, que las gallinas tienen dos patas, entonces serían dieciocho. Más cuarenta, cincuentaiocho.
Profesor: ¿Por qué deben ser nueva gallinas?
Estudiante: Porque serían las que sobraron, porque serían 10 cabezas de cerditos, por ejemplo aquí (señala el pizarrón)
Sobran nueve cabezas entonces esas serían de gallinas. Pero no! Entonces nos faltan dos, y si
lo hiciéramos con once cerditos (escribe) cuarenta y cuatro más ocho de gallinas, más 16. Si
más ocho por dos dieciséis, cuarenta y cuatro más dieciséis ya nos daría ahí las sesenta.
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Apéndice G. Transcripción de la tarea7: Saludos.
Estudiante: Me acorde cuando estábamos haciendo, una vez que hicimos un ejercicio de
cuantas combinaciones se podría hacer entre pantalones, cuántos pantalones podría escoger, sí
cuantos pantalones podría escoger de diferentes estilos, si podría comprar dos y me fui
acordando, y si podríamos comprar uno y así. Y dije a pues primero intenté con un número menor, con cinco y dije, veamos cinco por seis, treinta para ver si me da un número triangular
treinta y quince y luego entonces cheque con el método que habíamos hecho, uno podría están
con dos, tres, cuatro y cinco dos podría estar con dos, tres, cuatro y cinco. Tres y sí porque iba reduciendo, había empezado en uno y había ido sumándose, entonces dije, voy a intentar con
números triangulares, voy a hacer y fui sacando números al tanteo..
Profesor: Pero ya no entendí porque números triangulares
Estudiante: Ah! porque digamos cuando me acorde de las combinaciones (escribe en el
pizarrón) como había dicho que todos se saludaron a todos, entonces dije pues… digamos aquí
(escribe en el pizarrón) uno saludo al dos, uno también saludo al tres, uno a cuatro y uno a
cinco, dos saludo a tres, también a uno pero ya estaba contado, dos a cuatro, dos a cinco, tres a cuatro, tres a cinco, cuatro a cinco, cinco ya no saludó a nadie, entonces como fueron
disminuyendo los números, es como si hubiera sido el piquito, luego ya solo me quedan aquí
tres números, bueno digamos al principio podía saludar cuatro, y este que se saludó a si mismo se podría decir entonces seria..
Profesor: Pero no se puede saludar a si mismo
Estudiante: Bueno digamos ese saludo a todos a esto cuatro, serian cinco personas. Luego, ya solo sobraban con esta cuatro personas y fue así subiendo, luego tres, luego dos, luego uno y fu
haciéndose números triangulares.
Y luego entonces dije, bueno voy a probar con treinta, me quedaba muy grande para ser 190,
luego entonces dije, voy a probar con veinte no! me quedaba igual todavía muy grande, entonces ha de estar entre veinte y diez. Entonces, primero probé con quince después probé con
quince y después probé con quince y después al ver que estaba igual muy chiquito, probé con
diez y nueve, después con diez y nueve ya fue cuando me salió, me salió 380 de resultado y ya lo dividí luego entre 2 y me salió ya el 190.
Profesor: Entonces ¿cuántas personas fueron a la fiesta?
Estudiante: Mmm... Fueron 19.
Profesor: ¿Por qué 19 y no 20?
Estudiante: Ah, porque si hubieran sido 20 hubiera salido, hubieran ido… ah! no, porque si
hubiera sido con 20 hubiera… más saludos, hubiera entonces 210 saludos y ya no se cumple la
condición.